5. Qarqet elektrike lineare në mënyrën e ndikimeve periodike joharmonike. Teoria e qarkut elektrik

5. Qarqet elektrike lineare në mënyrën e ndikimeve periodike joharmonike

5.1. Sinjale periodike jo harmonike

Kur transmetoni informacion përmes kanaleve të komunikimit në procesin e konvertimit të sinjaleve në pajisje të ndryshme Si rregull, përdoren dridhje joharmonike, pasi dridhjet thjesht harmonike nuk mund të jenë bartës të informacionit. Për të transmetuar mesazhe, lëkundjet harmonike modulohen në amplitudë - modulimi i amplitudës(AM), frekuenca - modulimi i frekuencës(FM) ose faza - modulimi fazor(FM), ose përdorni sinjalet e impulsit, moduluar në amplitudë - modulim impuls-amplitudë (AIM), gjerësi - modulimi i gjerësisë së pulsit(PWM), pozicioni i kohës - modulimi i kohës së pulsit (PWM). Ka të tjera, më shumë sinjale komplekse të formuara sipas ligjeve të veçanta. Tipar dallues sinjalet e treguara janë të një natyre komplekse jo-harmonike. Rrymat dhe tensionet e formuara në pajisje të ndryshme pulsi dhe dixhitale (19. Sinjalet dhe qarqet diskrete) kanë një formë jo sinusoidale, sinjalet harmonike që kalojnë nëpër pajisje të ndryshme jolineare (11. Qarqet elektrike jolineare nën ndikime harmonike) fitojnë një -karakteri sinusoidal etj.. E gjithë kjo shpie në nevojën e zhvillimit të metodave speciale për analizën dhe sintezën e qarqeve elektrike nën ndikimin e rrymave dhe tensioneve periodike josinusoidale dhe jo periodike. Këto metoda bazohen në paraqitjet spektrale të veprimeve jo-sinusoidale bazuar në një zgjerim serie ose integral Furier.

Nga analiza matematikore dihet se funksioni periodik joharmonik f (t) plotësimi i kushteve të Dirichlet mund të zgjerohet në një seri Fourier:
(5.1)
ku një k,b k - koeficientët e zgjerimit të përcaktuar nga ekuacionet
(5.2)

Madhësia përfaqëson mesataren gjatë periudhës së vlerës së funksionit f (t) dhe quhet komponent konstant.

Në studimet teorike, në vend të formulës (5.1), zakonisht përdoret një tjetër, bazuar në zëvendësimin e ndryshores së pavarur:
(5.3)
ku
(5.4)

Ekuacioni (5.3) është forma trigonometrike e serisë Fourier. Kur analizoni zinxhirët, shpesh është më i përshtatshëm të përdoret forma komplekse e serisë Fourier, e cila mund të merret nga (5.3) duke përdorur formulat Euler:
(5.5)

Duke zëvendësuar (5.5) në ekuacionin (5.3), pas transformimeve të thjeshta, marrim formën komplekse të serisë Fourier:
(5.6)
ku A k - amplitudë komplekse k harmonik:
(5.7)
ku - amplituda; - faza fillestare k th harmonike.

Zëvendësimi i vlerave një k dhe b k nga (5.4) në (5.7), marrim:
(5.8)

Seti i amplitudave 0.5 Një k = 0,5A –k në zgjerim (5.6), i vendosur kundrejt frekuencave pozitive dhe negative përkatëse, formon një simetrik rreth boshtit të koordinatave (për shkak të njëtrajtshmërisë së koeficientëve një k) spektri i amplitudës së linjës.

Kompleti i ordinatave k = – –k nga (5.7) i përfshirë në zgjerimin (5.6) dhe i shtyrë kundrejt frekuencave pozitive dhe negative përkatëse, formon një simetrik rreth origjinës së boshtit të koordinatave (për shkak të çuditshmërisë së koeficientëve b k)spektri fazor linear.

Zgjerimi (5.3) mund të paraqitet në një formë tjetër. Duke pasur parasysh atë një k = Një k cos k dhe b k= Një k mëkat k, atëherë pas zëvendësimit në (5.3) marrim:
(5.9)

Nëse e konsiderojmë komponentin konstant a 0/2 si një harmonik zero me faza fillestare 0 = 0, atëherë zgjerimi (5.9) merr formën
(5.10)

Në rastin e veçantë kur funksioni f(a) është simetrik rreth boshtit të ordinatave (Fig.5.1, a), vetëm harmonikët çift (kosinus) do të shfaqen në zgjerim (5.3):

(5.11)

dhe me simetri f(a) në lidhje me origjinën (Fig.5.1, b) harmonike tek
(5.12)

Gjatë zhvendosjes së origjinës së funksionit f(a) spektri i amplitudës së tij nuk ndryshon, por ndryshon vetëm spektri fazor. Në të vërtetë, ne e zhvendosim funksionin f(a) përgjatë boshtit të kohës në të majtë nga t 0 dhe shënoni.

Pastaj zgjerimi (5.9) merr formën
(5.13)

Shembull. Zgjeroni lëkundjet drejtkëndore në një seri Fourier (Fig.5.1, b). Duke pasur parasysh atë f(a) është simetrik në lidhje me origjinën, vetëm harmonikët sinusoidale (5.12) mbeten në zgjerim (5.3), ku b k përcaktohet sipas (5.4):

Zëvendësimi b k në (5.12), marrim një zgjerim në një seri Fourier:
(5.14)

Tjetra, le të lëvizim f(a) p / 2 në të majtë (shih Fig.5.1, a). Pastaj, sipas (5.13), marrim

(5.15)

Kjo do të thotë, ne kemi marrë një zgjerim në përbërësit e kosinusit, siç duhet të jetë për një sinjal simetrik rreth boshtit të ordinatave.

Në disa raste, kur funksioni periodik f(a) jepet grafikisht dhe ka formë komplekse, zgjerimi i tij në një seri Fourier mund të kryhet grafikisht në mënyrë analitike. Thelbi i saj qëndron në faktin se periudha e sinjalit T(fig.5.2) ndahet në m intervalet janë të barabarta, dhe pikat e pushimit f(a) nuk duhet të bjerë në mes të seksioneve të ndara; përcaktoni vlerën e sinjalit f(a n) në mes të çdo seksioni të ndarjes.

Gjeni koeficientët e zgjerimit një k dhe b k duke zëvendësuar integralin në (5.2) me shumën e fundme
(5.16)

Ekuacioni (5.16) programohet lehtësisht dhe gjatë llogaritjes një k dhe b k, mund të përdoret një kompjuter.

5.2. RMS, vlera mesatare dhe fuqia e një sinjali periodik joharmonik

Për saktësi, ne supozojmë se f(t) ka kuptimin e rrymës i(t). Pastaj vlera efektive e rrymës periodike joharmonike përcaktohet sipas (3.5), ku i(t) përcaktohet nga ekuacioni (5.10):
(5.17)

Duke zëvendësuar këtë vlerë aktuale në (3.5), pas integrimit marrim
(5.18)

dmth vlera efektive e rrymës periodike joharmonike Unë plotësisht i përcaktuar nga vlerat efektive të harmonikave të tij Unë k dhe nuk varet nga fazat e tyre fillestare k.

Në te njejtën mënyrë gjejmë vlerën efektive të tensionit periodik jo-sinusoidal:
(5.19)

Vlera mesatare aktuale përcaktohet sipas shprehjes së përgjithshme (3.9). Për më tepër, ata zakonisht marrin vlerën mesatare i(t) në vlere absolute
(5.20)

Në mënyrë të ngjashme, përcaktohet U Të mërkurën (2).

Për sa i përket teorisë së qarkut, interes i madh paraqet mesataren fuqia aktive një sinjal inharmonik dhe shpërndarja e tij ndërmjet harmonikave individuale.

Fuqia mesatare aktive e një sinjali periodik jo sinusoidal
(5.21)
ku
(5.22)

k- zhvendosja fazore midis rrymës dhe tensionit k th harmonike.

Zëvendësimi i vlerave i(t) dhe u(t) nga (5.22) në ekuacionin (5.21), pas integrimit fitojmë:
(5.23)
domethënë, fuqia mesatare aktive e një sinjali periodik joharmonik gjatë një periudhe është e barabartë me shumën e fuqive të harmonikave individuale. Formula (5.23) është një nga format e të njohurit Barazitë e Parsevalit.

Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë fuqia reaktive
(5.24)
dhe fuqi e plote
(5.25)

Duhet theksuar se, në ndryshim nga sinjalet harmonike për sinjale joharmonike
(5.26)

Madhësia P isc = mban emrin fuqia e shtrembërimit dhe karakterizon shkallën e ndryshimit në format e rrymës i(t) dhe tensionit u(t).

Përveç fuqisë së shtrembërimit, sinjalet periodike joharmonike karakterizohen gjithashtu nga një numër i koeficientët:fuqia, k m = P / S; formon K f = U / U cf (2); amplituda K a = U m / U; shtrembërimet k dhe = U 1 / U; harmonike k r = dhe etj.

Për sinjalin sinusoidal k f = / 21.11; k a = 1,41; k u = 1; k r = 0.

5.3. Spektrat e sinjaleve periodike joharmonike

Konsideroni sekuencën e pulseve drejtkëndore të paraqitur në Fig. 5.3, a... Sinjalet e kësaj forme përdoren shumë gjerësisht në inxhinieri radio dhe telekomunikacion: telegrafi, sistemet dixhitale sistemet e transmetimit komunikim shumëkanalësh me ndarje kohore të kanaleve, puls të ndryshëm dhe pajisje dixhitale dhe të tjerë (shih Kap. 19). Sekuenca e pulsit karakterizohet nga parametrat bazë të mëposhtëm: amplituda e pulsit A dhe mund të ketë kuptim si të tensionit ashtu edhe të rrymës. ">, kohëzgjatja e tij t dhe periudha pasuese T... Raporti i periudhës T deri në kohëzgjatje t dhe thirri cikli i detyrës dhe shënohet me q = T / t dhe... Në mënyrë tipike, vlerat e ciklit të punës së impulseve qëndrojnë në rangun e disa njësive (në pajisjet matëse, pajisjet transmetim diskret dhe përpunimin e informacionit), deri në disa qindra ose mijëra (në radar).

Për të gjetur spektrin e një sekuence pulsesh drejtkëndëshe, përdorim serinë Fourier në formë komplekse (5.6). Amplituda komplekse k-th harmonik është i barabartë sipas (5.8) pas kthimit në variablin origjinal t.

(5.27)

Zëvendësimi i vlerës A k në ekuacionin (5.6), marrim një zgjerim në një seri Fourier:
(5.28)

Në fig. 5.4 tregon spektrin e amplitudave komplekse për q= 2 dhe q= 4. Siç shihet nga figura, spektri i një sekuence pulsesh drejtkëndëshe është spektër diskret me një zarf (vijë e ndërprerë në Fig.5.4), e cila përshkruhet nga funksioni
(5.29)
quhet funksioni i numërimit (shih Kapitullin 19). Numri i vijave spektrale midis origjinës përgjatë boshtit të frekuencës dhe zeros së parë të mbështjelljes është q- 1. Komponenti konstant i sinjalit (vlera mesatare) , dhe vlerën efektive A=, d.m.th. sa më i madh të jetë cikli i punës, aq më i ulët është niveli i komponentit konstant dhe vlera efektive e sinjalit. Me rritjen e ciklit të punës q numri i komponentëve diskrete rritet - spektri bëhet më i dendur (shih Fig. 5.4, b), dhe amplituda e harmonikave zvogëlohet më ngadalë. Duhet theksuar se, në përputhje me (5.27), spektri i sekuencës së konsideruar të pulseve drejtkëndore është real.

Nga spektri i amplitudave komplekse (5.27), mund të dallohet amplituda Një k = |A k| dhe spektri fazor k= arg A k treguar në Fig. 5.5 për rastin q= 4. Nga figurat mund të shihet se spektri i amplitudës është çift, dhe spektri fazor është një funksion tek i frekuencës. Për më tepër, fazat e harmonikave individuale marrin ose vlerë zero ndërmjet nyjeve, ku sinusi është pozitiv, ose ±, ku sinusi është negativ (Fig.5.5, b)

Bazuar në formulën (5.28), marrim formën trigonometrike të zgjerimit në serinë Fourier në harmonikë çift (krahaso me (5.15)):
(5.30)

Kur sekuenca e pulsit zhvendoset përgjatë boshtit të kohës (Fig.5.2, b) në përputhje me (5.13), spektri i tij i amplitudës do të mbetet i njëjtë dhe spektri i fazës do të ndryshojë:
(5.31)

Në rastin kur sekuenca periodike ka një formë bipolare (shih Fig. 5.1), nuk do të ketë asnjë komponent konstant në spektër (krahaso (5.30) dhe (5.31) me (5.14) dhe (5.15)).

Në mënyrë të ngjashme, mund të studiohet përbërja spektrale e sinjaleve periodike joharmonike të një forme të ndryshme. Tabela 5.1 tregon zgjerimin Furier të disa prej sinjaleve më të zakonshme.

Tabela 5.1

	Llojet e sinjaleve	Zgjerimi i serisë Furier
1
2
3
4
5
6

5.4. Llogaritja e qarqeve me ndikime periodike joharmonike

Parimi i mbivendosjes qëndron në qendër të llogaritjes së qarqeve elektrike lineare nën ndikimin e sinjaleve periodike joharmonike. Thelbi i tij në lidhje me ndikimet joharmonike është të zbërthejë një sinjal periodik joharmonik në një nga format e serisë Fourier (shih 5.1. Sinjalet periodike joharmonike. Zgjerimi në një seri Furier) dhe të përcaktojë reagimin e zinxhirit nga secili harmonik veç e veç. Reaksioni që rezulton gjendet me mbivendosje (mbivendosje) të reaksioneve të pjesshme që rezultojnë. Kështu, llogaritja e qarqeve nën ndikimet periodike joharmonike përfshin detyrën e analizimit të përbërjes spektrale të sinjalit (zgjerimi i tij në një seri Furier), llogaritja e qarkut nga çdo komponent harmonik dhe detyrën e sintezës, si rezultat i së cilës Sinjali i daljes që rezulton përcaktohet si funksion i kohës (frekuencës) ose efektivit të tij (vlerës së pikut).

Kur zgjidhet problemi i analizës, zakonisht përdoret forma trigonometrike (5.3) ose komplekse (5.6) e serisë Fourier me numër i kufizuar termat e zgjerimit, gjë që çon në disa gabime në përafrimin e sinjalit të vërtetë. Koeficientët e zgjerimit një k dhe b k në (5.3) ose Një k dhe k në (5.6) përcaktohen duke përdorur ekuacionet (5.4), (5.7) dhe (5.8). Në këtë rast, sinjali i hyrjes f(a) duhet të specifikohet në mënyrë analitike. Nëse sinjali specifikohet grafikisht, për shembull, në formën e një oshilogrami, atëherë për të gjetur koeficientët e zgjerimit një k dhe b k mund të përdoret metoda grafike-analitike (shih (5.16)).

Llogaritja e qarkut nga harmonikat individuale zakonisht kryhet duke përdorur një metodë simbolike. Duhet pasur parasysh se më k-th harmonik reaktancë induktive X L(k) = kL, a kapaciteti X C(k) = 1/(kС), d.m.th k th reaktans induktiv harmonik në k herë më shumë, dhe kapacitiv në k herë më pak se në harmoninë e parë. Kjo, në veçanti, shpjegon faktin se harmonikat e larta në kapacitet janë më të theksuara, dhe në induktivitet ato janë më të dobëta sesa në tensionin e aplikuar ndaj tyre. Rezistencë aktive R në frekuenca të ulëta dhe të mesme mund të konsiderohen të pavarura nga frekuenca.

Pas përcaktimit të rrymave dhe tensioneve të dëshiruara nga harmonikat individuale me metodën e mbivendosjes, gjendet përgjigja e qarkut që rezulton ndaj një efekti periodik joharmonik. Në këtë rast, ose përcaktoni vlerë e menjëhershme sinjali që rezulton bazuar në llogaritjen e amplitudave dhe fazave të harmonikëve individualë, ose amplitudës së tij ose vlerave rms sipas ekuacioneve (5.18), (5.19). Gjatë përcaktimit të reagimit që rezulton, duhet të mbahet mend se, në përputhje me nocionin periodik dridhjet harmonike në planin kompleks, vektorët e harmonikëve të ndryshëm rrotullohen me frekuenca të ndryshme këndore.

Shembull. Tek qarku i paraqitur në fig. 5.6, voltazhi i aplikuar u(t) në formën e pulseve drejtkëndëshe me një periudhë përsëritjeje T= 2t dhe dhe amplituda A u = 1B (shih Fig.5.3, b). Përcaktoni çastit dhe vlerë efektive tensioni i kapacitetit.

Zgjerimi i këtij tensioni në një seri Furier përcaktohet nga formula (5.31). Le të kufizohemi në tre kushtet e para të zgjerimit (5.31): harmonika k-të është një gjendje e një qarku elektrik që përbëhet nga elementë reaktivë me karakteristika të ndryshme, në të cilin zhvendosja e fazës ndërmjet rryma hyrëse dhe tensionit të aplikuar k-x harmonike është zero... Fenomeni i rezonancës mund të përdoret për të izoluar harmonikat individuale nga një sinjal periodik jo-sinusoidal. Duhet theksuar se një rezonancë e rrymës në një frekuencë dhe një rezonancë e tensionit në një tjetër mund të arrihet njëkohësisht në një qark.

Shembull. Për qarkun e paraqitur në fig. 5.7, për një 1 të dhënë, L 1 gjej vlerën C 1 dhe C 2, në të cilën rezonanca e tensionit në harmonikun e parë dhe rezonanca aktuale në harmonikën e 5-të ndodhin njëkohësisht.

Nga gjendja e rezonancës së tensionit, gjejmë se hyrja reaktancë qarku në harmonikën e parë duhet të jetë zero:
(5.32)

dhe në të pestën - pafundësia (përçueshmëria reaktive hyrëse në harmonikën e pestë duhet të jetë e barabartë me zero):
(5.33)

Nga kushtet (5.32) dhe (5.33) gjejmë vlerën e dëshiruar të kapaciteteve:

Ndër sistemet e ndryshme të funksioneve ortogonale që mund të përdoren si bazë për paraqitje sinjalet e radios, një vend ekskluziv zënë funksionet harmonike (sinusoidale dhe kosinusore). Rëndësia e sinjaleve harmonike për inxhinierinë radio është për shkak të një sërë arsyesh.

Veçanërisht:

1. Sinjalet harmonike janë të pandryshueshme nën transformimet e kryera nga lineare stacionare qarqet elektrike... Nëse një qark i tillë ngacmohet nga një burim lëkundjesh harmonike, atëherë sinjali në dalje të qarkut mbetet harmonik me të njëjtën frekuencë, duke ndryshuar nga sinjali i hyrjes vetëm në amplitudë dhe fazë fillestare.

2. Teknika për gjenerimin e sinjaleve harmonike është relativisht e thjeshtë.

Nëse ndonjë sinjal paraqitet si shumë e lëkundjeve harmonike me frekuenca të ndryshme, atëherë thonë - se është kryer zbërthimi spektral i këtij sinjali. Komponentët individualë harmonikë të sinjalit formojnë spektrin e tij.

2.1. Sinjalet periodike dhe seritë Furier

Modeli matematik i një procesi që përsëritet në kohë është një sinjal periodik me vetinë e mëposhtme:

Këtu T është periudha e sinjalit.

Detyra është të gjesh zbërthimin spektral të një sinjali të tillë.

Seria Furier.

Le të vendosim në intervalin kohor të konsideruar në Kre. I baza ortonormale e formuar nga funksione harmonike me frekuenca të shumta;

Çdo funksion nga kjo bazë plotëson kushtin e periodicitetit (2.1). Prandaj, - pasi të keni kryer dekompozimin ortogonal të sinjalit në këtë bazë, d.m.th., duke llogaritur koeficientët

marrim zbërthimin spektral

e cila vlen në të gjithë pafundësinë e boshtit kohor.

Një seri e formës (2.4) quhet seri Fourier e sinjalit të dhënë. Le të prezantojmë frekuencën themelore të sekuencës që formon sinjalin periodik. Duke llogaritur koeficientët e zgjerimit me formulën (2.3), ne shkruajmë serinë Fourier për një sinjal periodik

me koeficientë

(2.6)

Pra në rast i përgjithshëm sinjali periodik përmban një komponent konstante të pavarur nga koha dhe një grup të pafund lëkundjesh harmonike, të ashtuquajturat harmonike me frekuenca që janë shumëfisha të frekuencës themelore të sekuencës.

Çdo harmonik mund të përshkruhet nga amplituda e tij dhe faza fillestare Për këtë, koeficientët e serisë Fourier duhet të shkruhen në formën

Duke zëvendësuar këto shprehje në (2.5), marrim një tjetër, - një formë ekuivalente të serisë Fourier:

e cila ndonjëherë është më e përshtatshme.

Diagrami spektral i një sinjali periodik.

Pra, është zakon të telefononi imazh grafik Koeficientët e serisë Furier për një sinjal specifik. Të dallojë diagramet spektrale të amplitudës dhe fazës (Fig. 2.1).

Këtu, në boshtin horizontal, në një shkallë të caktuar, vizatohen frekuencat e harmonikave dhe në boshtin vertikal, amplituda e tyre dhe fazat fillestare.

Oriz. 2.1. Grafikët spektralë disa sinjale periodike: a - amplitudë; b - faza

Ata janë veçanërisht të interesuar për diagramin e amplitudës, i cili lejon të gjykojë përqindjen e disa harmonikëve në spektrin e një sinjali periodik.

Le të shohim disa shembuj specifikë.

Shembulli 2.1. Seria Furier sekuencë periodike impulse video drejtkëndëshe me parametra të njohur, madje në lidhje me pikën t = 0.

Në inxhinierinë radio, raporti quhet cikli i detyrës së sekuencës. Duke përdorur formulat (2.6), gjejmë

Është i përshtatshëm për të shkruar formulën përfundimtare të serisë Fourier në formë

Në fig. 2.2 tregon diagramet e amplitudës së sekuencës së konsideruar në dy raste ekstreme.

Është e rëndësishme të theksohet se një sekuencë e pulseve të shkurtra, që ndjekin njëri-tjetrin mjaft rrallë, ka një përbërje të pasur spektrale.

Oriz. 2.2. Spektri i amplitudës së një sekuence periodike pulsesh video drejtkëndëshe: a - në cikël të lartë pune; b - në ciklin e ulët të punës

Shembulli 2.2. U formua seria Furiere e një treni periodik pulsi sinjal harmonik specie të kufizuara në nivel (supozohet se).

Ne prezantojmë një parametër të veçantë - këndin e prerjes, të përcaktuar nga lidhja prej nga

Në përputhje me këtë, vlera është e barabartë me kohëzgjatjen e një pulsi, e shprehur në masë këndore:

Një regjistrim analitik i pulsit që gjeneron sekuencën në shqyrtim ka formën

Komponenti konstant i sekuencës

Koeficienti i amplitudës së harmonikës së parë

Në mënyrë të ngjashme, llogariten amplituda - komponentët harmonikë në

Rezultatet e marra zakonisht shkruhen si më poshtë:

ku funksionon i ashtuquajturi Berg:

Grafikët e disa prej funksioneve të Berg janë paraqitur në Fig. 2.3.

Oriz. 2.3. Komplotet e disa funksioneve të para të Bergut

Forma komplekse e serisë Fourier.

Zbërthimi spektral i një sinjali periodik gjithashtu mund të kryhet disi jonik duke përdorur sistemin funksionet bazë i përbërë nga eksponentë me eksponentë imagjinarë:

Është e lehtë të shihet se funksionet e këtij sistemi janë periodike me një periudhë të ortonormalizuar në një interval kohor që nga koha kur

Seritë Furier të një sinjali periodik arbitrar në në këtë rast merr formën

me koeficientë

Zakonisht përdoret forma e mëposhtme e shënimit:

Shprehja (2.11) është një seri Furiere në formë komplekse.

Spektri i sinjalit në përputhje me formulën (2.11) përmban përbërës në gjysmëboshtin e frekuencës negative, dhe. Në serinë (2.11), termat me frekuenca pozitive dhe negative kombinohen në çifte, për shembull: dhe shumat e vektorëve ndërtohen - në drejtim të rritjes së këndit të fazës, ndërsa vektorët rrotullohen në drejtim i kundërt... Fundi i vektorit që rezulton në çdo moment të kohës përcakton vlerën aktuale të sinjalit.

Një interpretim i tillë vizual i zbërthimit spektral të një sinjali periodik do të përdoret në seksionin vijues.

Sinjalet periodike mund t'i nënshtrohen zgjerimit të serisë Fourier. Për më tepër, ato përfaqësohen si një shumë e funksioneve harmonike, ose eksponenciale komplekse me frekuenca që formojnë një progresion aritmetik. Që të ekzistojë një dekompozim i tillë, një fragment sinjali me kohëzgjatje prej një periudhe duhet të plotësojë kushtet e Dirichlet:

1. Nuk duhet të ketë ndërprerje të llojit të dytë (me degët e funksionit që shkojnë në pafundësi).

2. Numri i ndërprerjeve të llojit të parë (kërcimeve) duhet të jetë i fundëm.

Numri i ekstremeve duhet të jetë i kufizuar.

Seria Fourier mund të përdoret për të përfaqësuar jo vetëm sinjale periodike, por edhe sinjale me kohëzgjatje të kufizuar. Në këtë rast, përcaktohet intervali kohor për të cilin vizatohet seria Fourier, dhe në raste të tjera sinjali konsiderohet i barabartë me zero. Për llogaritjen e koeficientëve të një serie, kjo qasje në fakt nënkupton një vazhdim periodik të sinjalit përtej kufijve të intervalit të konsideruar.

Metodat Furier përdoren për të analizuar qarqet ose sistemet lineare: për të parashikuar përgjigjen (përgjigjen) e sistemit; për të përcaktuar funksionin e transferimit; për të vlerësuar rezultatet e testit.

Një sinjal periodik arbitrar shprehet përmes një numri të pafund harmonish me frekuenca në rritje:

			anëtarët kryesorë;
			termat harmonikë (për n> 1, n është një numër i plotë);
			koeficientët harmonikë;
			term konstant ose komponent DC.

Periudha e funksionit
duhet të barabartë 2π ose një shumëfish; përveç funksionit
duhet të jetë e paqartë Seria Fourier mund të konsiderohet si një "recetë" për çdo sinjal periodik nga komponentët sinusoidalë. për të rreshti i dhënë kishte rëndësi praktike, duhet të konvergonte, d.m.th. shumat e pjesshme të serisë duhet të kenë një limit.

Procesi i krijimit të një sinjali periodik arbitrar nga koeficientët që përshkruajnë përzierjen e harmonikëve quhet sintezë. Procesi i kundërt i llogaritjes së koeficientëve quhet analizë. Llogaritja e koeficientëve lehtësohet nga fakti se mesatarja e produkteve të kryqëzuara të një sinusoidi dhe kosinusi (dhe anasjelltas) është e barabartë me 0.

Le të prezantojmë bazën në hapësirën e Hilbertit:
Për thjeshtësi, do të supozojmë se është ortonormale.

Pastaj çdo funksion
nga hapësira e Hilbertit mund të paraqitet përmes projeksioneve vektoriale X në boshtin bazë nga seria e përgjithësuar e Furierit:

Seritë Furier janë veçanërisht të dobishme kur përshkruajnë sinjale periodike arbitrare me një energji të fundme të çdo periode. Përveç kësaj, ato mund të përdoren për të përshkruar sinjale jo periodike që kanë një energji të kufizuar në një interval të fundëm. Në praktikë, integrali Fourier përdoret për të përshkruar sinjale të tilla.

konkluzionet

1. Seria Fourier përdoret gjerësisht për të përshkruar sinjalet periodike. Integrali Fourier përdoret për të përshkruar sinjalet jo periodike.

konkluzioni

1. Mesazhet, sinjalet dhe zhurmat si vektorë (pika) në hapësirë ​​lineare mund të përshkruhet në termat e një grupi koordinatash në një bazë të caktuar.

2. Për termocentralet, më interesantja gjatë shfaqjes së sinjaleve është hapësira euklidiane n-dimensionale.
, hapësira e pafund Hilbert
dhe hapësirë ​​diskrete Hamming 2 n... Në këto hapësira prezantohet koncepti i produktit skalar të dy vektorëve (x, y) .

3. Çdo funksion të vazhdueshëm koha si element mund të përfaqësohet nga një seri e përgjithësuar e Furierit në një bazë të caktuar ortonormale.

Letërsia

Kryesor:

Teoria komunikimi elektrik: Teksti mësimor. Për universitetet / A.G. Zyuko, D. D. Klovsky, V. I. Korzhik, M. V. Nazarov; Ed. D. D. Klovsky. - M .: Radio dhe komunikim, 1998 .-- 433 f.

Shtesë:

Prokis J. Komunikimi dixhital: Per. nga anglishtja / Ed. D.D. Klovsky. - M .: Radio dhe komunikim, 2000. - 800 f.

Bernard Sklar. Komunikimi dixhital. Bazat teorike dhe zbatimi praktik: Per. nga anglishtja - M.: Shtepi botuese"Williams", 2003. - 1104 f.

A.S. Sukhorukov Teoria e komunikimit elektrik: Shënime leksioni. Pjesa 1. - M.: MTUCI, QENDRA TE, 2002 .-- 65 f.

A.S. Sukhorukov Teoria komunikimi dixhital: Tutorial. Pjesa 2. - M.: MTUSI, 2008 .-- 53 f.

Vërejtje hyrëse

V këtë seksion do të merret parasysh paraqitja e sinjaleve periodike duke përdorur serinë Fourier. Seritë Furier janë baza e teorisë analiza spektrale, sepse, siç do të shohim më vonë, transformimi Furier i një sinjali jo periodik mund të merret si kalim në kufirin e serisë Furier me një periudhë përsëritje të pafundme. Si rezultat, vetitë e serisë Fourier janë gjithashtu të vlefshme për transformimin Furier të sinjaleve jo periodike.

Ne do të shqyrtojmë shprehjet e serisë Fourier në forma trigonometrike dhe komplekse, dhe gjithashtu do t'i kushtojmë vëmendje kushteve të Dirichlet për konvergjencën e serisë Fourier. Përveç kësaj, ne do të ndalemi në detaje në shpjegimin e një koncepti të tillë si frekuenca negative e spektrit të sinjalit, e cila shpesh shkakton vështirësi në njohjen me teorinë e analizës spektrale.

Sinjali periodik. Seritë Trigonometrike Furier

Le të ketë një sinjal periodik të kohës së vazhdueshme, i cili përsëritet me një periudhë s, d.m.th. , ku është një numër i plotë arbitrar.

Si shembull, Figura 1 tregon një sekuencë pulsesh drejtkëndëshe me kohëzgjatje c, të përsëritura me një periudhë s.

Figura 1. Sekuenca periodike

Impulse drejtkëndëshe

Nga kursi i analizës matematikore dihet se sistemi i funksioneve trigonometrike

me frekuenca të shumta, ku rad / s është një numër i plotë, formohet bazë ortonormale për zgjerimin e sinjaleve periodike me një periudhë që plotëson kushtet e Dirichlet.

Kushtet e Dirichlet për konvergjencën e serisë Fourier kërkojnë që një sinjal periodik të specifikohet në një segment, duke përmbushur kushtet e mëposhtme:

Për shembull, funksioni periodik nuk i plotëson kushtet e Dirichlet-it, sepse funksioni ka ndërprerje të llojit të dytë dhe merr vlera të pafundme në, ku është një numër i plotë arbitrar. Pra funksioni nuk mund të përfaqësohet nga një seri Fourier. Ju gjithashtu mund të jepni një shembull të funksionit , e cila është e kufizuar, por gjithashtu nuk i plotëson kushtet e Dirichlet-it, pasi ka një numër të pafund pikash ekstreme kur i afrohet zeros. Grafiku i funksionit treguar në figurën 2.

Figura 2. Grafiku i funksionit :

A - dy periudha përsëritjeje; b - në afërsi

Figura 2a tregon dy periudha përsëritjeje të funksionit , dhe në figurën 2b - zona në afërsi. Mund të shihet se kur i afrohemi zeros, frekuenca e lëkundjeve rritet pafundësisht dhe një funksion i tillë nuk mund të përfaqësohet nga një seri Furier, sepse nuk është pjesë-pjesë monotonike.

Duhet të theksohet se në praktikë nuk ka sinjale me kuptime të pafundme rrymë apo tension. Funksionon me numër i pafund si ekstreme gjithashtu në detyrat e aplikuara nuk takohen. Të gjitha sinjalet periodike reale plotësojnë kushtet e Dirichlet dhe mund të përfaqësohen nga një seri e pafundme trigonometrike Fourier e formës:

Në shprehjen (2), koeficienti vendos komponentin konstant të sinjalit periodik.

Në të gjitha pikat ku sinjali është i vazhdueshëm, seria Fourier (2) konvergon në vlerat e këtij sinjali, dhe në pikat e ndërprerjes së llojit të parë - në vlerën mesatare, ku dhe janë kufijtë majtas dhe djathtas të përkatësisht pikën e thyerjes.

Dihet gjithashtu nga kursi i analizës matematikore se përdorimi i një serie të cunguar Furier që përmban vetëm termat e parë në vend të një shume të pafundme çon në një paraqitje të përafërt të sinjalit:

në të cilin sigurohet minimumi i katrorit mesatar të gabimit. Figura 3 ilustron përafrimin e një sekuence periodike të pulseve drejtkëndore dhe një sinjali periodik të dhëmbit sharrë duke përdorur një numër të ndryshëm termash të serisë Fourier.

Figura 3. Përafrimi i sinjaleve nga një seri e cunguar Furier:

A - impulse drejtkëndëshe; b - sinjali i dhëmbit të sharrës

Seritë Furier në formë komplekse

Në seksionin e mëparshëm, ne shqyrtuam serinë trigonometrike të Furierit për zgjerimin e një sinjali periodik arbitrar që plotëson kushtet e Dirichlet. Duke zbatuar formulën e Euler-it, mund të tregohet:
Pastaj seria trigonometrike Furier (2) duke marrë parasysh (4):

Kështu, një sinjal periodik mund të përfaqësohet nga shuma e një komponenti konstante dhe eksponentëve kompleksë që rrotullohen në frekuenca me koeficientë për frekuenca pozitive dhe për eksponentë kompleksë që rrotullohen në frekuenca negative.

Konsideroni koeficientët për eksponencialet komplekse që rrotullohen në frekuenca pozitive:

Shprehjet (6) dhe (7) përkojnë, përveç kësaj, komponenti konstant mund të shkruhet gjithashtu përmes një eksponenciale komplekse me frekuencë zero:

Kështu, (5), duke marrë parasysh (6) - (8), mund të përfaqësohet si një shumë e vetme kur indeksohet nga minus pafundësia në pafundësi:

Shprehja (9) është një seri Furiere në formë komplekse. Koeficientët e serisë Furier në formë komplekse lidhen me koeficientët dhe seritë në formë trigonometrike dhe përcaktohen si për frekuencat pozitive ashtu edhe ato negative. Nënshkrimi në përcaktimin e frekuencës tregon numrin harmonik diskret, me nënshkrime negative që korrespondojnë me frekuencat negative.

Nga shprehja (2) rezulton se për një sinjal real koeficientët dhe seria (2) janë gjithashtu reale. Megjithatë, (9) lidh një sinjal real me një grup koeficientësh kompleks-konjuguar të lidhur me frekuencat pozitive dhe negative.

Disa shpjegime për serinë Fourier në formë komplekse

Në seksionin e mëparshëm, ne bëmë kalimin nga seria trigonometrike Fourier (2) në serinë Fourier në formë komplekse (9). Si rezultat, në vend që të zgjerojmë sinjalet periodike në bazë të funksioneve reale trigonometrike, kemi marrë një zgjerim në bazë të eksponencialeve komplekse, me koeficientë kompleksë, madje në zgjerim u shfaqën frekuenca negative! Për aq sa kjo pyetjeështë keqkuptuar shpesh, është e nevojshme të jepen disa sqarime.

Së pari, eksponentët kompleksë janë përgjithësisht më të lehtë për t'u punuar sesa funksionet trigonometrike. Për shembull, gjatë shumëzimit dhe pjesëtimit të eksponencialeve komplekse, mjafton të mblidhen (zbriten) eksponentët, ndërsa formulat e shumëzimit dhe pjesëtimit për funksionet trigonometrike janë më të vështira.

Diferencimi dhe integrimi i eksponentëve, qoftë edhe kompleks, është gjithashtu më i lehtë se funksionet trigonometrike, të cilat ndryshojnë vazhdimisht gjatë diferencimit dhe integrimit (sinusi kthehet në kosinus dhe anasjelltas).

Nëse sinjali është periodik dhe real, atëherë seria trigonometrike Furier (2) duket të jetë më vizuale, sepse të gjithë koeficientët e zgjerimit, dhe mbeten reale. Megjithatë, shpesh duhet të merret me sinjale periodike komplekse (për shembull, në modulim dhe demodulim, përdoret paraqitja kuadratike e mbështjelljes komplekse). Në këtë rast, kur përdoret seria trigonometrike Furier, të gjithë koeficientët dhe zgjerimet (2) do të bëhen komplekse, ndërsa kur përdoret seria Fourier në formë komplekse (9), të njëjtat koeficientë zgjerimi do të përdoren si për hyrjen reale ashtu edhe për kompleksin. sinjale.

Dhe së fundi, është e nevojshme të ndalemi në shpjegimin e frekuencave negative që u shfaqën në (9). Kjo pyetje shpesh keqkuptohet. V Jeta e përditshme nuk hasim në frekuenca negative. Për shembull, ne kurrë nuk akordojmë radion tonë në një frekuencë negative. Le të shohim analogjinë e mëposhtme nga mekanika. Le të ketë një lavjerrës mekanik pranveror që kryen dridhje të lira me disa frekuencë. A mundet një lavjerrës të lëkundet në një frekuencë negative? Sigurisht që jo. Duke qenë se nuk ka stacione radio që transmetojnë në frekuenca negative, kështu që frekuenca e lëkundjeve të një lavjerrës nuk mund të jetë negative. Por një lavjerrës pranveror është një objekt njëdimensional (lavjerrësi lëkundet përgjatë një linje të drejtë).

Mund të japim edhe një analogji tjetër nga mekanika: një rrotë që rrotullohet me një frekuencë. Rrota, ndryshe nga lavjerrësi, rrotullohet, d.m.th. një pikë në sipërfaqen e rrotës lëviz në një aeroplan, në vend që thjesht të vibrojë përgjatë një linje të drejtë. Prandaj, për një vendosje të paqartë të rrotullimit të rrotës, nuk mjafton të vendoset shpejtësia, sepse duhet vendosur edhe drejtimi i rrotullimit. Kjo është pikërisht arsyeja pse ne mund të përdorim shenjën e frekuencës.

Pra, nëse rrota rrotullohet me një frekuencë rad / s në të kundërt të akrepave të orës, atëherë supozojmë se rrota rrotullohet me një frekuencë pozitive, dhe nëse në drejtim të akrepave të orës, atëherë frekuenca e rrotullimit do të jetë negative. Kështu, për vendosjen e rrotullimit, frekuenca negative pushon së qeni e pakuptimtë dhe tregon drejtimin e rrotullimit.

Dhe tani gjëja më e rëndësishme që duhet të kuptojmë. Lëkundja e një objekti njëdimensional (për shembull, një lavjerrës sustë) mund të përfaqësohet si shuma e rrotullimeve të dy vektorëve të paraqitur në Figurën 4.

Figura 4. Lëkundje e një lavjerrës sustë

Si shuma e rrotullimeve të dy vektorëve

në rrafshin kompleks

Lavjerrësi lëkundet përgjatë boshtit real të planit kompleks me një frekuencë përgjatë ligji harmonik... Lëvizja e lavjerrësit tregohet si një vektor horizontal. Vektori i sipërm rrotullohet në planin kompleks me një frekuencë pozitive (në drejtim të kundërt të akrepave të orës), dhe vektori i poshtëm rrotullohet në një frekuencë negative (në drejtim të akrepave të orës). Figura 4 ilustron qartë marrëdhënien e njohur nga kursi i trigonometrisë:

Kështu, seria Furier në formë komplekse (9) paraqet sinjale periodike njëdimensionale si shuma e vektorëve në planin kompleks që rrotullohen me frekuenca pozitive dhe negative. Vini re se në rastin e një sinjali real, sipas (9), koeficientët e zgjerimit për frekuencat negative janë komplekse të konjuguara me koeficientët përkatës për frekuencat pozitive. Në rastin e një sinjali kompleks, kjo veti e koeficientëve nuk plotësohet për faktin se dhe janë gjithashtu kompleks.

Spektri i sinjaleve periodike

Seria Fourier në formë komplekse është zbërthimi i një sinjali periodik në shumën e eksponencialeve komplekse që rrotullohen në frekuenca pozitive dhe negative në shumëfisha të rad / s me koeficientët kompleks përkatës që përcaktojnë spektrin e sinjalit. Koeficientët kompleks mund të përfaqësohen me formulën e Euler-it si, ku është spektri i amplitudës, a është spektri fazor.

Meqenëse sinjalet periodike zbërthehen në një rresht vetëm në një rrjet me frekuencë fikse, spektri i sinjaleve periodike është linear (diskret).

Figura 5. Spektri i një sekuence periodike

Pulset drejtkëndore:

A - spektri i amplitudës; b - spektri fazor

Figura 5 tregon një shembull të amplitudës dhe spektrit fazor të një sekuence periodike pulsesh drejtkëndëshe (shih figurën 1) në c, kohëzgjatjen e pulsit c dhe amplituda e pulsit B.

Spektri i amplitudës së sinjalit real origjinal është simetrik në lidhje me frekuencën zero, dhe spektri i fazës është antisimetrik. Vini re se vlerat e spektrit fazor dhe korrespondojnë me të njëjtën pikë në rrafshin kompleks.

Mund të konkludohet se të gjithë koeficientët e zgjerimit të sinjalit të reduktuar janë thjesht real, dhe spektri fazor korrespondon me koeficientët negativë.

Vini re se dimensioni i spektrit të amplitudës përkon me dimensionin e sinjalit. Nëse përshkruan ndryshimin e tensionit me kalimin e kohës, i matur në volt, atëherë amplituda e harmonikëve të spektrit do të ketë edhe dimensionin e volteve.

konkluzionet

Ky seksion diskuton paraqitjen e sinjaleve periodike duke përdorur serinë Fourier. Shprehjet janë dhënë për seritë e Furierit në forma trigonometrike dhe komplekse. ne kemi dhënë Vëmendje e veçantë kushtet Dirichlet për konvergjencën e serisë Furier, dhe shembuj të funksioneve për të cilat seritë Furier divergjojnë janë dhënë.

Ne u ndalëm në shprehjen e serisë Furier në formë komplekse dhe treguam se sinjalet periodike, reale dhe komplekse, përfaqësohen nga një sërë eksponencialesh komplekse me frekuenca pozitive dhe negative. Në këtë rast, koeficientët e zgjerimit janë gjithashtu kompleks dhe karakterizojnë amplituda dhe spektri fazor i sinjalit periodik.

Në pjesën tjetër, ne do të hedhim një vështrim më të afërt në vetitë e spektrave të sinjaleve periodike.

Implementimi i softuerit në bibliotekën DSPL

Dötsch, G. Udhëzues aplikim praktik Transformimi i Laplasit. Moskë, Nauka, 1965, 288 f.

a) Sekuenca e pulseve drejtkëndore .

Fig 2. Sekuenca e pulseve drejtkëndore.

Ky sinjal është një funksion i barabartë dhe për paraqitjen e tij është i përshtatshëm për t'u përdorur sinus kosinus Seria Fourier:

. (17)

Kohëzgjatja e pulseve dhe periudha e përsëritjes së tyre përfshihen në formulën që rezulton në formën e një raporti, i cili quhet cikli i punës së trenit me impuls :.

. (18)

Vlera e termit konstant të serisë, duke marrë parasysh korrespondon:

.

Paraqitja e një sekuence pulsesh drejtkëndëshe në formën e një serie Furier është:

. (19)

Grafiku i funksionit është në formë lobi. Boshti horizontal është i graduar në numra harmonikë dhe në frekuenca.

Fig 3. Paraqitja e një sekuence pulsesh drejtkëndëshe

në formën e një serie Furier.

Gjerësia e petalit, e matur në numrin e harmonikave, është e barabartë me ciklin e punës (për, kemi, nëse). Kjo nënkupton një veti të rëndësishme të spektrit të një sekuence pulsesh drejtkëndëshe - në të nuk ka harmoni me numra që janë shumëfish të ciklit të detyrës ... Distanca e frekuencës ndërmjet harmonikave ngjitur është e barabartë me shpejtësinë e përsëritjes së pulsit. Gjerësia e lobeve, e matur në njësi të frekuencës, është e barabartë me, d.m.th. është në përpjesëtim të zhdrejtë me kohëzgjatjen e sinjalit. Mund të konkludojmë: sa më i shkurtër të jetë pulsi, aq më i gjerë është spektri .

b) Sinjali i dhëmbit të sharrës .

Fig 4. Sinjali i dhëmbit të sharrës.

Përshkruhet një formë valore e dhëmbit sharrë brenda një periudhe funksion linear

, . (20)

Ky sinjal është një funksion tek, prandaj, seria e tij Fourier në formën sinus-kosinus përmban vetëm përbërës sinus:

Seria Fourier e sinjalit të sharrës është:

Për spektrat e sinjaleve drejtkëndore dhe të sharrës, është karakteristikë që amplituda e harmonikëve me një rritje të numrit të tyre ulet proporcionalisht .

v) Treni i pulseve trekëndore .

Seria Fourier është:

Fig 5. Sekuenca e impulseve trekëndore.

Siç mund ta shihni, ndryshe nga një sekuencë pulsesh drejtkëndëshe dhe sharrë, për një sinjal periodik trekëndor, amplituda e harmonikëve zvogëlohet në përpjesëtim me fuqinë e dytë të numrave harmonikë. Kjo për faktin se shkalla e zbërthimit të spektrit varet nga shkalla e butësisë së sinjalit.

Leksioni numër 3. Transformimi Furier.

Vetitë e transformimit të Furierit.