Transformimi i valëzimit është një transformim i ngjashëm me transformimin Furier (ose shumë më tepër si transformimi i dritares së Furierit) me një funksion vlerësimi krejtësisht të ndryshëm. Dallimi kryesor qëndron në sa vijon: transformimi Furier e zbërthen sinjalin në komponentë në formën e sinusit dhe kosinusit, d.m.th. funksionet e lokalizuara në hapësirën Fourier; përkundrazi, transformimi i valëve përdor funksione të lokalizuara si në hapësirën reale ashtu edhe në atë Furier. Në përgjithësi, transformimi i valëzimit mund të shprehet me ekuacionin e mëposhtëm:
ku * është simboli i konjugacionit kompleks dhe funksioni ψ - disa funksione. Funksioni mund të zgjidhet në mënyrë arbitrare, por duhet të kënaqet rregulla të caktuara.
Siç mund ta shihni, transformimi i valëve është në fakt një grup i pafund transformime të ndryshme në varësi të funksionit të vlerësimit që përdoret për llogaritjen e tij. Kjo është arsyeja kryesore pse termi « transformimi i valëzimit» përdoret në situata shumë të ndryshme dhe për aplikime të ndryshme. Ekzistojnë gjithashtu shumë lloje të klasifikimit të opsioneve të transformimit të valëve. Këtu tregojmë vetëm ndarjen bazuar në ortogonalitetin e valëzimit. Mund të përdoret valëzimet ortogonale për transformimin e valëzuar diskrete dhe valëzimet jo ortogonale për të vazhdueshme. Këto dy lloje transformimesh kanë vetitë e mëposhtme:
- Transformimi i valëzuar diskrete kthen një vektor të dhënash me të njëjtën gjatësi si hyrja. Zakonisht, edhe në këtë vektor, shumë të dhëna janë pothuajse zero. Kjo korrespondon me faktin se ai zbërthehet në një grup valësh (funksionesh) që janë ortogonale me përkthimin dhe shkallëzimin e tyre paralel. Prandaj, ne e zbërthejmë një sinjal të tillë në të njëjtat ose më pak koeficientë të spektrit të valëve si numri i pikave të të dhënave të sinjalit. Një spektër i tillë valësh është shumë i mirë për përpunimin dhe kompresimin e sinjalit, për shembull, pasi këtu nuk marrim informacion të tepërt.
- Në të kundërt, transformimi i valëve të vazhdueshme kthen një grup një dimension më të madh se hyrja. Për të dhënat njëdimensionale, marrim një imazh të planit kohë-frekuencë. Mund të gjurmoni lehtësisht ndryshimin në frekuencat e sinjalit gjatë kohëzgjatjes së tij dhe ta krahasoni këtë spektër me spektrat e sinjaleve të tjera. Meqenëse këtu përdoret një grup valësh jo ortogonale, të dhënat janë shumë të ndërlidhura dhe kanë shumë tepricë. Kjo ndihmon për të parë rezultatin në një formë më afër perceptimit njerëzor.
Detaje shtesë rreth transformimit të valëve janë të disponueshme në mijëra burime të internetit rreth valëve në ueb, ose p.sh. këtu.
Biblioteka e përpunimit të të dhënave Gwyddion zbaton të dyja këto transformime dhe modulet duke përdorur transformimin e valëve janë të disponueshme në meny. Përpunimin e të dhënave → Transformimet integrale.
Transformimi i valëzuar diskrete
Transformimi i valëzimit diskret (DWT) është një zbatim i një transformimi valëzues duke përdorur një grup diskrete të shkallëve dhe përkthimeve të valëve që i binden disa rregullave specifike. Me fjalë të tjera, ky transformim zbërthen sinjalin në një grup reciprokisht ortogonal valësh, i cili është ndryshimi kryesor nga transformimi i valëve vale të vazhdueshme (CWT), ose zbatimi i tij për seritë kohore diskrete, ndonjëherë i quajtur transformimi i valëve të vazhdueshme diskrete në kohë (DT). -CWT).
Një valë valësh mund të ndërtohet nga një funksion i shkallës që përshkruan vetitë e tij të shkallëzueshmërisë. Kufizimi është se funksioni i shkallës duhet të jetë ortogonal ndaj transformimeve të tij diskrete, gjë që nënkupton disa kufizime matematikore mbi to, të cilat përmenden kudo, d.m.th. ekuacioni homotetik
ku S- faktori i shkallës (zakonisht i zgjedhur si 2). Për më tepër, zona nën funksion duhet të normalizohet dhe funksioni i shkallëzimit duhet të jetë ortogonal me përkthimet e tij numerike, d.m.th.
Pas prezantimit të disa kushte shtesë(sepse kufizimet e mësipërme nuk çojnë në e vetmja zgjidhje) mund të marrim rezultatin e të gjitha këtyre ekuacioneve, d.m.th. bashkësi e fundme koeficientësh një k të cilat përcaktojnë funksionin e shkallëzimit si dhe valëzimin. Valaza fitohet nga funksioni i shkallëzimit si N ku N- një numër i plotë çift. Më pas formohet grupi i valëve bazë ortonormale, të cilin e përdorim për të zbërthyer sinjalin. Duhet të theksohet se zakonisht vetëm disa koeficientë një k do të jetë jo zero, gjë që thjeshton llogaritjet.
Figura e mëposhtme tregon disa funksione të shkallëzimit dhe valëzimet. Familja më e famshme e valëve ortonormale është familja Daubechies. Valët e saj zakonisht shënohen me numrin e koeficientëve jo zero një k, kështu që zakonisht flasim për valë valësh Daubechies 4, Daubechies 6, etj. Përafërsisht, me rritjen e numrit të koeficientëve të valëve, funksionet bëhen më të buta. Kjo shihet qartë kur krahasohen valët Daubechies 4 dhe 20 të paraqitura më poshtë. Një tjetër nga valët e përmendura - valëzimi më i thjeshtë Haara që përdor valë katrore si një funksion shkallëzues.
Funksioni i shkallëzimit Haar dhe valëzimi (majtas) dhe komponentët e tyre të frekuencës (djathtas).
Funksioni i shkallëzimit të Daubechies 4 dhe valëzimi (majtas) dhe komponentët e tyre të frekuencës (djathtas).
Funksioni i shkallëzimit të Daubechies 20 dhe valëzimi (majtas) dhe komponentët e tyre të frekuencës (djathtas).
Ekzistojnë disa lloje të zbatimit të algoritmit diskrete të transformimit të valëve. Më i vjetri dhe më i famshmi është algoritmi Mull (piramidal). Në këtë algoritëm, dy filtra - zbutës dhe jo-zbutës përbëhen nga koeficientët e valëve dhe këta filtra aplikohen në mënyrë periodike për të marrë të dhëna për të gjitha shkallët e disponueshme. Nëse përdoret komplet i plotë të dhëna D = 2 N dhe gjatësia e sinjalit është L, fillimisht llogariten të dhënat D/2 për shkallë L / 2 N - 1, pastaj të dhënat ( D /2)/2 për shkallë L / 2 N - 2, … derisa të përfundoni me 2 elementë të të dhënave për shkallën L/2. Rezultati i këtij algoritmi do të jetë një grup me të njëjtën gjatësi si hyrja, ku të dhënat zakonisht renditen nga më shkallë të madhe tek më i vogli.
Gwyddion përdor një algoritëm piramidal për të llogaritur transformimin e valëzuar diskrete. Transformimi i valëzuar diskrete në hapësirën 2D është i disponueshëm në modulin DWT.
Transformimi i valëzuar diskrete mund të përdoret për të thjeshtë dhe heqje e shpejtë zhurma nga një sinjal i zhurmshëm. Nëse marrim vetëm numër i kufizuar koeficientët më të lartë të spektrit të transformimit të valëve diskrete, dhe nëse kryejmë transformimin e valëve inverse (me të njëjtën bazë), mund të marrim një sinjal pak a shumë të pastruar nga zhurma. Ka disa mënyra për të zgjedhur shanset për t'u ruajtur. Gwyddion zbaton Pragun Universal, Pragun Përshtatës të Shkallës dhe Pragun Përshtatës Scale-Hapësirë. Për të përcaktuar pragun në këto metoda, së pari përcaktojmë vlerësimin e variancës së zhurmës të dhënë nga
ku Y ij korrespondon me të gjithë koeficientët e nën-rangut të shkallës më të lartë të dekompozimit (ku pritet të jetë prezente pjesa më e madhe e zhurmës). Përndryshe, varianca e zhurmës mund të merret në mënyrë të pavarur, për shembull, si varianca e sinjalit AFM kur nuk është në proces skanimi. Për nënbandën e frekuencës më të lartë (pragu universal) ose për çdo nënbandë (për pragun adaptues të shkallës) ose për rrethinat e secilit piksel në nënbandën (për shkallën dhe pragun përshtatës të hapësirës), varianca llogaritet si
Vlera e pragut llogaritet në formën përfundimtare si
Kur dihet pragu për një shkallë të caktuar, ne mund të heqim të gjithë koeficientët më pak se vlera e pragut (pragu i vështirë) ose mund të ulim vlerën absolute të këtyre koeficientëve me vlerën e pragut (pragu i butë).
Heqja e zhurmës DWT ofrohet në meny Përpunimin e të dhënave → Transformimet integrale→ Heqja e zhurmës DWT.
Transformimi i vazhdueshëm i valëzimit
Transformimi i valëve të vazhdueshme (CWT) është një zbatim i transformimit të valëzimit duke përdorur shkallë arbitrare dhe valë valë praktikisht arbitrare. Valët e përdorura nuk janë ortogonale dhe të dhënat e marra nga ky transformim janë shumë të ndërlidhura. Për sekuencat kohore diskrete, ky transformim mund të përdoret gjithashtu, me kufizimin që mbartja e valëve më të vogla duhet të jetë e barabartë me kampionimin e të dhënave. Kjo nganjëherë referohet si transformimi i valëve të vazhdueshme në kohë diskrete (DT-CWT) dhe është metoda më e përdorur për llogaritjen e CWT në aplikimet e botës reale.
Në parim, transformimi i valetë vale funksionon duke përdorur drejtpërdrejt përkufizimin e transformimit të valëzimit, d.m.th. ne llogarisim konvolucionin e sinjalit me valëzimin e shkallëzuar. Për çdo shkallë, ne marrim në këtë mënyrë një grup me të njëjtën gjatësi N, i cili është sinjali hyrës. Duke përdorur M peshore të zgjedhura në mënyrë arbitrare, marrim një fushë N×M, e cila përfaqëson drejtpërdrejt rrafshin kohë-frekuencë. Algoritmi i përdorur për këtë llogaritje mund të bazohet në konvolucionin e drejtpërdrejtë ose në konvolucionin me anë të shumëzimit të hapësirës Furier (kjo nganjëherë quhet transformim i shpejtë valëzues).
Zgjedhja e valëzimit për t'u përdorur në zbërthimin kohë-frekuencë është gjëja më e rëndësishme. Me këtë zgjedhje, ne mund të ndikojmë në zgjidhjen e rezultatit në kohë dhe frekuencë. Është e pamundur të ndryshohen karakteristikat kryesore të transformimit të valëve në këtë mënyrë (frekuencat e ulëta kanë rezolucion i mirë në frekuenca dhe të këqija në kohë; frekuencat e larta kanë rezolucion të dobët të frekuencës dhe rezolucion të mirë kohor), por mund të rrisni pak rezolucionin e përgjithshëm të frekuencës ose kohës. Kjo është drejtpërdrejt proporcionale me gjerësinë e valëzimit të përdorur në hapësirën reale dhe Furier. Nëse, për shembull, përdorim valëzimin Morlet (pjesa reale është funksioni i kosinusit të amortizuar), atëherë mund të presim rezolucion të lartë në frekuenca, pasi një valë e tillë është shumë mirë e lokalizuar në frekuencë. përkundrazi, duke përdorur valëzimin e derivativit Gaussian (DOG), marrim një lokalizim të mirë në kohë, por të dobët në frekuencë.
Transformimi i vazhdueshëm i valëve zbatohet në modulin CWT, i cili është i disponueshëm në meny Përpunimin e të dhënave → Transformimet integrale→ C.W.T.
Burimet
A. Bultheel: Bull. Belg. Math. Soc.: (1995) 2
S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. përpunimi i imazhit, (2000) 9 f. 1532
S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Përpunimi i imazhit, (2000) 9 f. 1522
Dihet se një sinjal arbitrar për të cilin kusht 
mund të përfaqësohet nga një sistem funksioni ortogonal:
, (18)
koeficientët përcaktohen nga relacioni
,
ku 
është katrori i normës ose energjia e funksionit bazë. Seria (18) quhet seri e përgjithësuar e Furierit. Në këtë rast, produktet e formës së përfshirë në serinë (18) përfaqësojnë densitetin spektral të sinjalit, dhe koeficientët përfaqësojnë spektrin e sinjalit. thelbi analiza spektrale sinjal është për të përcaktuar koeficientët. Duke ditur këta koeficientë, është e mundur të sintetizohen sinjale (të përafërta) për një numër fiks rreshtash:
.
Seritë e përgjithësuara të Furierit për një sistem të caktuar funksionet bazë dhe numri i termave, jep sintezën më të mirë sipas kriterit të gabimit mesatar katror minimal, që kuptohet si vlera
.
Transformimet e njohura (Hadamard, Karhunen-Loev, Fourier) "dobët" paraqesin sinjalin jo-stacionar në koeficientët e zgjerimit. Le ta tregojmë këtë në shembullin e mëposhtëm. Le të jepet një funksion jo-stacionar
dhe transformimi i tij Furier (Fig. 9).
Analiza e fig. 9 tregon se jo-stacionariteti i sinjalit të kohës përfaqësohet nga një numër i madh koeficientësh jozero me frekuencë të lartë. Kjo shkakton problemet e mëposhtme:
Është e vështirë të analizosh një sinjal kohor nga imazhi i tij Furier;
Një përafrim i pranueshëm i sinjalit të kohës është i mundur kur merret parasysh një numër i madh koeficientësh me frekuencë të lartë;
Cilësi e dobët vizuale e imazheve reale të rindërtuara nga koeficientët me frekuencë të ulët; etj.
Problemet ekzistuese kërkuan zhvillimin e një aparati matematikor për konvertimin e sinjaleve jo-stacionare. Nje nga mënyrat e mundshme analiza e sinjaleve të tilla është bërë transformimi i valëve (WT).
Oriz. 9. Transformimi Furier i një sinjali sinusoidal me hapa të vegjël në kryqëzimin zero
VP e një sinjali njëdimensional është përfaqësimi i tij në formën e një serie të përgjithësuar Furier ose integral Furier mbi një sistem funksionesh bazë të lokalizuara si në domenin hapësinor ashtu edhe në frekuencën. Një shembull i një funksioni të tillë bazë është valëzimi Haar, i cili përcaktohet nga shprehja
(20)
Grafikisht, valëzimi Haar përfaqësohet si më poshtë:
Oriz. 10. Funksioni bazë i valëzimit Haar
Le të shqyrtojmë procesin e zbërthimit të sinjalit në sistemin e funksioneve të bazës Haar. Funksioni i parë bazë, ndryshe nga të gjithë ata pasues, është një vijë e drejtë. Në rastin e një baze të normalizuar, ndërthurja e funksionit bazë të parë me sinjalin origjinal do të përcaktojë vlerën mesatare të tij. Le të jepet një sinjal diskret me një gjatësi të mostrave. Funksioni bazë i normalizuar në interval përshkruhet me shprehjen . Pastaj konvolucioni i këtij funksioni me sinjalin çon në shprehje
Nëse sintetizojmë sinjalin me koeficientin duke përdorur funksionin sintetizues, do të marrim një komponent konstante që korrespondon me vlerën mesatare të sinjalit. Për të qenë në gjendje të përshkruajmë sinjalin në mënyrë më të detajuar, ne llogarisim koeficientin e dytë duke përdorur funksionin bazë të përfaqësuar nga shprehja (20):
Analiza shprehje e dhënë tregon se koeficienti karakterizon ndryshimet në vlerat mesatare të gjysmave të sinjalit. Nëse tani kryejmë një sintezë në dy koeficientë me një funksion bazë sintetizues për koeficientin e dytë
marrim përafrimin e mëposhtëm:
Operacioni i mëtejshëm i analizës, d.m.th., llogaritja e koeficientëve dhe sintezës, është e ngjashme me atë të marrë në shqyrtim, me ndryshimin se të gjitha veprimet përsëriten për gjysmën e sinjalit, pastaj për një të katërtën, e kështu me radhë. Në përsëritjen e fundit, analiza kryhet për çifte variablash të rastësishëm (Fig. 11).
Oriz. 11. Shndërrimi i çifteve të ndryshoreve të rastit
Si rezultat, sinjali origjinal përshkruhet saktësisht nga koeficientët e transformimit të valëve Haar. Koeficientët e valëve të sinjalit (19) janë paraqitur në Fig. 10.
Nga figura mund të shihet se jostacionariteti i sinjalit (rënie të mprehta) lokalizohen në një numër të vogël koeficientësh valëzues. Kjo çon në mundësinë e rindërtimit më të mirë të sinjalit jo-stacionar nga të dhënat jo të plota.
Oriz. 12. Koeficientët valëzues të një periudhe të funksionit (19)
Gjatë llogaritjes së koeficientëve të valëve, funksionet bazë mbuluan sinjalin e analizuar si më poshtë (Fig. 12). Nga fig. 12 tregon se sistemi i funksioneve të bazës Haar në një hapësirë diskrete duhet të specifikohet nga dy parametra: zhvendosja dhe frekuenca (shkalla):
,
ku është shkalla e funksionit bazë; - ndërrim. Në rastin diskrete, parametri i shkallës , ku është çdo numër i plotë pozitiv, parametri i zhvendosjes . Kështu, i gjithë grupi i funksioneve bazë mund të shkruhet si
.
VP diskrete përpara dhe inverse llogariten me formula
,
.
Duhet të theksohet se nëse numri i mostrave është , atëherë vlera maksimale është . Vlera më e madhe për rrymën është .
Për sinjalet e vazhdueshme, shprehjet integrale të mëposhtme do të jenë të vlefshme:
,
.
Kështu, duke specifikuar funksionet e valëve, është e mundur të kryhet zgjerimi i sinjalit në kuptimin e bazës së valëzimit të sinjaleve të vazhdueshme ose diskrete.
Oriz. 13. Shpërndarja e funksioneve të bazës Haar në analizën e sinjalit
Një funksion mund të formojë një bazë valëzuese nëse plotëson kushtet e mëposhtme:
1. Kufizimi i normës:
.
2. Funksioni wavelet duhet të jetë i kufizuar si në kohë ashtu edhe në frekuencë:
Dhe 
, në .
Kundërshembull: funksioni delta dhe funksioni harmonik nuk e plotësojnë këtë kusht.
3. Mesatarja zero:
Nëse e përgjithësojmë këtë kusht, mund të marrim formulën , e cila përcakton shkallën e butësisë së funksionit . Besohet se sa më e lartë të jetë shkalla e butësisë së funksionit bazë, aq më të mira janë vetitë e tij të përafrimit.
Si shembull, ne paraqesim funksionet e mëposhtme të njohura të valëve:
, 
.
Për VP, si dhe për DFT, ekziston një algoritëm i shpejtë i transformimit. Konsideroni përsëri VP të Haar. Nga fig. 13 tregon se funksionet me një faktor të shkallës së vogël përdorin të njëjtat mostra sinjalesh për të llogaritur koeficientët si funksionet me një faktor në shkallë të madhe. Në këtë rast, operacioni i përmbledhjes së të njëjtave mostra përsëritet në mënyrë të përsëritur. Prandaj, për të zvogëluar volumin e llogaritjeve, këshillohet që të llogaritet IP nga faktori më i vogël i shkallës. Si rezultat, marrim koeficientët e valëve, të cilët janë vlerat mesatare 
dhe dallimet 
. Për koeficientët përsëritni këtë procedurë. Në këtë rast, mesatarja e koeficientëve 
do të korrespondojë me mesataren e katër mostrave të sinjalit, por shpenzohen një operacion shumëzimi dhe një operacion mbledhjeje. Procesi i dekompozimit përsëritet derisa të llogariten të gjithë koeficientët e spektrit.
Le të shkruajmë algoritmin e transformimit të shpejtë të valëve Haar në formë matrice. Lëreni vektorin 
madhësia 8 elemente. Matrica e transformimit Haar mund të shkruhet si
Transformimi i Vazhdueshëm i valëzimit
Vetitë e transformimit të valëzimit
Kërkesat e valëve
Për të zbatuar transformimin e valëzimit, funksionet e valëzimit duhet të plotësojnë kriteret e mëposhtme:
1. Vala duhet të ketë një energji të fundme:
2. Nëse transformimi i Furierit është për, d.m.th.
atëherë duhet të plotësohet kushti i mëposhtëm:
Ky kusht quhet kushti i pranueshmërisë dhe prej tij rrjedh se valëzimi me një komponent të frekuencës zero duhet të plotësojë kushtin ose, në një rast tjetër, valëzimi duhet të ketë një mesatare të barabartë me zero.
3. Kriter shtesëështë paraqitur për valët komplekse, përkatësisht, se për to transformimi Furier duhet të jetë njëkohësisht real dhe duhet të ulet për frekuenca negative.
4. Lokalizimi: valëzimi duhet të jetë i vazhdueshëm, i integrueshëm, të ketë një mbështetje kompakte dhe të jetë i lokalizuar si në kohë (në hapësirë) ashtu edhe në frekuencë. Nëse valëzimi ngushtohet në hapësirë, atëherë frekuenca mesatare e saj rritet, spektri i valëve lëviz në rajonin e frekuencave më të larta dhe zgjerohet. Ky proces duhet të jetë linear - ngushtimi i valëzimit përgjysmë duhet të rrisë frekuencën mesatare dhe gjerësinë spektrale të tij gjithashtu me një faktor prej dy.
1. Lineariteti
2. Invarianca e prerjes
Zhvendosja e sinjalit në kohë me t0 çon në një zhvendosje të spektrit të valëve gjithashtu me t0.
3. Invarianca nën shkallëzim
Shtrirja (ngjeshja) e sinjalit çon në ngjeshje (shtrirje) të spektrit të valëve të sinjalit.
4. Diferencimi
Nga kjo rrjedh se nuk ka dallim nëse duhet të diferencohet funksioni apo valëzimi analizues. Nëse valëzimi analizues jepet me një formulë, atëherë mund të jetë shumë i dobishëm për analizën e sinjalit. Kjo veçori është veçanërisht e dobishme nëse sinjali jepet si një seri diskrete.
Transformimi i valëzimit për një sinjal të vazhdueshëm në lidhje me funksionin e valëzimit përcaktohet si më poshtë:
ku do të thotë konjugati kompleks për, parametri korrespondon me zhvendosjen e kohës dhe quhet parametri i pozicionit, parametri specifikon shkallëzimin dhe quhet parametri i shtrirjes.
funksioni i peshës.
Mund të përcaktojmë një funksion të normalizuar si më poshtë
që nënkupton zhvendosjen e kohës me b dhe shkallëzimin e kohës me a. Atëherë formula e transformimit të valëzimit do të ndryshojë në
Sinjali origjinal mund të rikthehet duke përdorur formulën e transformimit të anasjelltë
Në rastin diskrete, parametrat e shkallëzimit a dhe zhvendosja b përfaqësohen nga vlera diskrete:
Pastaj valëzimi analizues ka formën e mëposhtme:
ku m dhe n janë numra të plotë.
Në këtë rast, për një sinjal të vazhdueshëm, transformimi i valëzuar diskrete dhe i tij transformim i anasjelltë do të shkruhet në formulat e mëposhtme:
Sasitë njihen gjithashtu si koeficientë valëzues.
ka një konstante normalizimi.
Në praktikë, DTWS duhet të zbatohet për sinjalet me gjatësi të kufizuar. Kështu, ai duhet të modifikohet në mënyrë që të merret një sekuencë koeficientësh me të njëjtën gjatësi nga një sinjal me gjatësi të caktuar. Transformimi që rezulton quhet transformimi i valëzuar diskrete (DWT).
Së pari ne përshkruajmë DWT në formë matrice, dhe më pas në bazë të bankave të filtrit, e cila përdoret më shpesh në përpunimin e sinjalit.
Në të dyja rastet, supozojmë se baza funksionon dhe 
të përcaktuara në mënyrë kompakte. Kjo automatikisht garanton që sekuencat janë të fundme. 
Dhe 
. Më tej, supozoni se sinjali që do të konvertohet ka gjatësi 
.
Përshkrimi i matricës dwt
Shënoni me vektor 
sekuenca e gjatësisë së fundme 
për disa 
. Ky vektor shndërrohet në vektor 
, që përmban sekuencat 
Dhe 
, secila gjysmë gjatësi. Transformimi mund të shkruhet si shumëzim matricë 
, ku matrica 
- katror dhe përbëhet nga zero dhe elementë 
shumëzuar me 
. Për shkak të pronave 
marrë në seksionin 2.3, matrica 
është ortonormale dhe matrica e saj e kundërt është e barabartë me atë të transpozuar. Si ilustrim, merrni parasysh shembullin e mëposhtëm. Le të marrim një filtër të gjatësisë 
, një sekuencë gjatësie 
, por si vlera fillestare -
. Pasoja 
merrni nga 
sipas formulës (2.35), ku 
. Atëherë operacioni i shumëzimit matricë-vektor do të paraqitet si
.
(2.52)
Transformimi i kundërt është shumëzimi 
te matrica e anasjelltë 
:
.
(2.53)
Kështu, shprehja (2.51) është një hap DWT. DWT e plotë duhet të shumëzojë në mënyrë të përsëritur gjysmën e sipërme të vektorit 
në një matricë katrore 
, madhësia e së cilës 
. Kjo procedurë mund të përsëritet d herë derisa gjatësia e vektorit të jetë 1.
Në rreshtin e katërt dhe të tetë të matricës (2.51) sekuenca 
i zhvendosur në mënyrë rrethore: koeficientët që janë jashtë matricës në të djathtë vendosen në të njëjtin rresht në të majtë. Kjo do të thotë që DWT ka saktësisht një periudhë gjatësi N Sinjali DTWS 
të fituara me vazhdimësi periodike të pafundme 
. Pra, DWT, kur përcaktohet në këtë mënyrë, përdor periodicitetin e sinjalit, si në rastin e DFT.
Përshkrimi i matricës së DWT është i shkurtër dhe i qartë. Megjithatë, në përpunimin e sinjalit, DWT përshkruhet më shpesh duke përdorur një diagram bllok të ngjashëm me atë të një sistemi analize-sinteze (shih Figurën 1.1).
Përshkrimi i dwt me anë të blloqeve të filtrit
Duke marrë parasysh transformimet e nën-bandës në Kapitullin 1, ne interpretuam barazitë e ngjashme me (2.45) dhe (2.46) si filtrim të ndjekur nga decimation me një faktor prej dy. Meqenëse në këtë rast ka dy filtra 
Dhe 
, atëherë banka e filtrit është me dy breza dhe mund të përshkruhet siç tregohet në Fig. 2.5.
Filtrat F Dhe E do të thotë filtrim me filtra 
Dhe 
, respektivisht. Në degën e poshtme të qarkut kryhet filtrimi me kalim të ulët. Rezultati është një përafrim i sinjalit, një nënbandë me frekuencë të ulët (LF) pa detaje. Një nën brez me frekuencë të lartë (HF) është caktuar në krye të qarkut. Vini re se gjatë përpunimit të sinjaleve, konstante 
nxirret gjithmonë nga banka e filtrit dhe sinjali shumëzohet me 2 (shih Figurën 3.2, Kapitulli 3).
Pra, qarku në Fig. 2.5 ndan sinjalin e nivelit 
për sinjale me dy nivele 
. Më tej, transformimi i valëzimit fitohet duke aplikuar në mënyrë rekursive këtë skemë në pjesën LF. Kur kryeni një transformim valetë të një imazhi, çdo përsëritje e algoritmit kryhet fillimisht në rreshtat, pastaj në kolonat e figurës (ndërtohet e ashtuquajtura piramida Mallat). Në kodekët video ADV6xx, përdoret një piramidë e modifikuar Mallat, kur në çdo përsëritje nuk kryhet domosdoshmërisht një transformim si në rreshta ashtu edhe në kolona. Është krijuar për më shumë kontabilitet të plotë perceptimi vizual i njeriut.
Transformimi që rezulton është i ngjashëm me (2.51). Megjithatë, ka disa dallime. Gjatë filtrimit të një sinjali me gjatësi të kufizuar, përballemi me problemin e vazhdimit të tij në kufi. Ekzekutimi i matricës së DWT është ekuivalent me vazhdimin periodik të sinjalit në kufi. Ky lloj vazhdimi është i detyrueshëm për filtrat ortogonalë. Në rastin e filtrave biortogonalë, shfaqen disa mundësi të tjera për shkak të simetrisë së karakteristikave të tyre. Kjo çështje do të diskutohet më në detaje në Kapitullin 3.
Qarku që kryen DWT mund të përfaqësohet gjithashtu siç tregohet në figurën 2.6. Këtu, filtrimi rekurziv dhe decimimi zëvendësohen me një operacion filtri dhe një operacion decimation për nën-band. Përcaktimi i filtrave përsëritës 
Dhe 
më e lehtë për të dhënë domeni i frekuencës.
Transformimet diskrete të valëzimit.
6.3.3.1. Informacion i pergjithshem rreth transformimeve të valëve.
Transformimi i valëve të sinjaleve është një përgjithësim i analizës spektrale, një përfaqësues tipik i së cilës është transformimi klasik Furier.
Transformimet e valëve (WT) ndahen në diskrete (DWT) dhe të vazhdueshme (CWT). DWT përdoret për transformimin dhe kodimin e sinjalit, CWT për analizën e sinjalit.
Në analizën e valëve, roli i funksioneve bazë luhet nga funksione të një lloji të veçantë, të quajtur valë valësh. Termi "wavelet" (valëzimi) në përkthim nga anglishtja do të thotë "valë e vogël (e shkurtër)". Valët janë një emër i përgjithësuar për familjet e funksioneve dtematike të një forme të caktuar, të cilat janë lokale në kohë dhe frekuencë, dhe në të cilat të gjitha funksionet merren nga një funksion bazë (gjenerues) me anë të zhvendosjeve dhe zgjerimeve të tij përgjatë boshtit kohor.
Transformimet e valëve marrin në konsideratë funksionet e analizuara të kohës në terma të lëkundjeve të lokalizuara në kohë dhe frekuencë.
Tipar dallues Analiza e valëve është se mund të përdorë familjet e funksioneve që zbatojnë opsione të ndryshme marrëdhëniet e pasigurisë. Prandaj, studiuesi ka mundësinë e një zgjedhjeje fleksibël midis tyre dhe përdorimin e atyre funksioneve të valëve që zgjidhin në mënyrë më efektive detyrat.
Fusha kryesore e aplikimit të transformimeve të valëve është analiza dhe përpunimi i sinjaleve dhe funksioneve që nuk janë të palëvizshme në kohë, kur rezultatet e analizës duhet të përmbajnë jo vetëm reagimi i frekuencës sinjali (shpërndarja e energjisë së sinjalit mbi komponentët e frekuencës), por edhe informacioni për koordinatat lokale në të cilat shfaqen grupe të caktuara të komponentëve të frekuencës ose në të cilat ndryshim i shpejtë komponentët e frekuencës së sinjalit.
Në figurën 3.1, sinjali i analizuar përbëhet nga dy deezianë të moduluar. Transformimi i valëve Morlet tregon qartë lokalizimin e tyre hapësinor dhe frekuencor, ndërsa spektri Fourier jep vetëm lokalizimin e frekuencës.
Një nga idetë kryesore dhe veçanërisht të frytshme të paraqitjes së valëve të sinjaleve është ndarja e funksioneve të përafrimit të sinjalit në dy grupe: të përafërta - të përafërta, me dinamikë kohore mjaft të ngadalshme të ndryshimeve dhe detajimi - me dinamikë lokale dhe të shpejta të ndryshimeve në sfond. të dinamikës së qetë, me ndarjen dhe detajimin e tyre të mëvonshëm në nivele të tjera të zbërthimit të sinjalit. Kjo është e mundur si në domenin e kohës ashtu edhe në frekuencën e përfaqësimit të sinjalit me valë.
| Foto |
Figura 3.1 - transformimi i valës së sinjalit
6.3.3.2. Funksionet themelore të transformimeve të valëve.
Valët kanë formën e paketave të valëve të shkurtra me kohëzgjatje mesatare zero, të lokalizuara përgjatë boshtit të argumentit, të pandryshueshme në zhvendosje dhe lineare ndaj operacionit të shkallëzimit. Për sa i përket lokalizimit në kohë dhe paraqitje të frekuencës, valët zënë një pozicion të ndërmjetëm midis funksioneve harmonike të lokalizuara në frekuencë dhe funksionit Dirac të lokalizuar në kohë.
Funksioni i bazës së valëve është një lloj lëkundjeje "e shkurtër". Për më tepër, koncepti i frekuencës së analizës spektrale zëvendësohet nga një shkallë, dhe për mbivendosje " valë të shkurtra» i gjithë boshti kohor prezantoi një zhvendosje të funksioneve në kohë. Baza e valëve janë funksionet e përkohshme të tipit:
, (3.1)
ku b është zhvendosja;
a është shkalla.
Funksioni duhet të ketë sipërfaqe zero. Transformimi Furier i funksioneve të tilla është zero në frekuencën zero 
dhe ka formën e një filtri brezpass. Kuptime të ndryshme parametri i shkallëzimit "a" korrespondon me bankën e filtrit të brezit. Familjet e valëve në domenin e kohës ose të frekuencës përdoren për të përfaqësuar sinjalet dhe funksionet si mbivendosje të valëve në nivele të ndryshme të shkallës së zbërthimit të sinjalit.
nuk varet nga parametrat dhe . Vektor, dhënë sipas funksionit, ka një gjatësi konstante në hapësirë:
.
Në praktikë, funksioni bazë përdoret shpesh si funksion
quhet kapelja meksikane.
6.3.3.3. Transformimi i valetë i vazhdueshëm.
Le të ketë një funksion dhe një funksion të jetë një funksion bazë. Transformimi i vazhdueshëm i valëzimit përshkruhet nga një shprehje e formës:
. (3.2)
Nëse funksioni bazë përshkruhet nga shprehja:
,
atëherë rezultati është transformimi i zakonshëm i Furierit (në këtë rast, parametri nuk përdoret).
Për të mbuluar të gjithë boshtin kohor të hapësirës nga funksioni i valëzimit, përdoret operacioni i zhvendosjes (zhvendosja përgjatë boshtit të kohës): 
, ku vlera e b për CWP është një vlerë e vazhdueshme. Për të mbuluar gjithçka diapazoni i frekuencës përdoret operacioni i shkallëzimit të përkohshëm të valëzimit me ndryshim të vazhdueshëm të ndryshores së pavarur: 
. Kështu, duke u zhvendosur përgjatë ndryshores së pavarur (tb), valëzimi ka aftësinë të lëvizë përgjatë gjithë boshtit numerik të një sinjali arbitrar, dhe duke ndryshuar variablin e shkallës "a" (në një pikë fikse (tb) të boshtit) për të "shikuar" spektrin e frekuencës së sinjalit në një interval të caktuar të lagjes së kësaj pike.
Kështu, një transformim vale i vazhdueshëm është një zbërthim i një sinjali mbi të gjitha zhvendosjet dhe ngjeshjet/zgjerimet e mundshme të disa funksioneve të kufizuara të lokalizuara - një valë valë. Në këtë rast, ndryshorja "a" përcakton shkallën e valëzimit dhe është ekuivalente me frekuencën në transformimet Furier, dhe ndryshorja "b" është zhvendosja e valëzimit sipas sinjalit nga pika e fillimit në zonën e përcaktimi i tij, shkalla e të cilit përsërit shkallën kohore të sinjalit të analizuar.
Koncepti i shkallës VP ka një analogji me shkallën e hartave gjeografike. Vlerat në shkallë të gjerë korrespondojnë me paraqitjen globale të sinjalit, dhe vlera të ulëta shkalla ju lejon të dalloni detajet. Për sa i përket frekuencës, frekuencat e ulëta korrespondojnë me informacionin e sinjalit global, dhe frekuencat e larta korrespondojnë me informacion i detajuar dhe veçori që kanë një shtrirje të vogël, d.m.th. shkalla e valëve, si njësi e shkallës së paraqitjes së sinjaleve kohë-frekuencë, është e kundërta e frekuencës. Zmadhoni si operacion matematik, zgjeron ose ngjesh sinjalin. Vlerat e shkallës së madhe korrespondojnë me zgjerimet e sinjalit, dhe vlerat e vogla korrespondojnë me versionet e ngjeshur. Në përkufizimin e valëzimit, faktori i shkallës porështë në emërues. Përkatësisht, por> 1 zgjeron sinjalin, por < 1 сжимает его.
6.3.3.4. Transformimi i valëzuar diskrete.
Në parim, kur përpunohen të dhënat në një PC, mund të kryhet një version i diskretizuar i transformimit të valëve të vazhdueshme me caktimin e vlerave diskrete të parametrave (a, b) të valëve me një hap arbitrar a dhe b. Rezultati është një numër i tepërt i koeficientëve, që tejkalon shumë numrin e mostrave të sinjalit origjinal, i cili nuk kërkohet për rindërtimin e sinjalit.
Transformimi i valëzuar diskrete (DWT) ofron informacion të mjaftueshëm si për analizën e sinjalit ashtu edhe për sintezën e sinjalit, duke qenë në të njëjtën kohë ekonomik për sa i përket numrit të operacioneve dhe kujtesës së kërkuar. DWP funksionon me vlera diskrete të parametrave por Dhe b, të cilat jepen, si rregull, në formën e funksioneve të fuqisë:
,
,
ku 
;
Numrat e plotë;
Parametri i shkallës;
Parametri i zhvendosjes.
Baza e hapësirës në paraqitje diskrete:
Koeficientët e valëve të transformimit të drejtpërdrejtë:
. (3.5)
Vlera e "a" mund të jetë arbitrare, por zakonisht vendoset në 2, dhe transformimi quhet transformimi diadik i valëzimit. Për transformimin diadik të zhvilluar algoritmi i shpejtë llogaritjet, të ngjashme me transformimin e shpejtë të Furierit, i cili paracaktoi përdorimin e tij të gjerë në analizën e grupeve të të dhënave dixhitale.
E kundërta transformim diskret për sinjale të vazhdueshme me një bazë hapësire valetë ortogonale të normalizuar:
. (3.6)
Numri i valëve të përdorura nga faktori i shkallës m përcakton nivelin dekompozimi sinjal, ndërsa niveli zero (m = 0) zakonisht merret si niveli i zgjidhjes maksimale kohore të sinjalit, d.m.th. vetë sinjali dhe nivelet pasuese (m< 0) образуют ниспадающее pemë valëzuese. NË software llogaritjet për të shmangur përdorimin e numërimit negativ me m, shenja minus zakonisht transferohet drejtpërdrejt në pamje tjetër funksionet bazë:
6.3.3.5. Lokalizimi frekuencë-kohë i analizës së valëve.
Sinjale reale janë zakonisht të fundme. Spektri i frekuencës së sinjaleve është në përpjesëtim të zhdrejtë me kohëzgjatjen e tyre. Prandaj, analiza mjaft e saktë e sinjalit me frekuencë të ulët duhet të kryhet në intervale të mëdha të vendosjes së tij, dhe me frekuencë të lartë - në ato të vogla. Nëse përbërja e frekuencës së sinjalit pëson ndryshime të rëndësishme në intervalin e vendosjes së tij, atëherë transformimi Furier jep vetëm të dhëna mesatare për përbërjen e frekuencës së sinjalit me një rezolucion konstant të frekuencës. Një lokalizim i caktuar frekuencë-kohë i analizës krijohet nga shkëputja e transformimit Furier me dritare, i cili i jep familjeve të spektrave të frekuencës të lokalizuara në kohë, por brenda një gjerësie konstante të dritares së funksionit të dritares, dhe për rrjedhojë edhe me një vlerë konstante prej si rezolucioni i frekuencës ashtu edhe i kohës.
Në kontrast me transformimin e Furierit me dritare, transformimi i valëve, me vlera të ngjashme diskrete të zhvendosjeve b, jep një familje të spektrave të faktorëve të shkallës por shtrëngim-shtrirje:
. (3.8)
Nëse supozojmë se çdo valë valësh ka një "gjerësi" të caktuar të dritares së saj kohore, e cila korrespondon me një frekuencë të caktuar "mesatare" të imazhit spektral të valëzimit, e kundërt me faktorin e saj të shkallës por, atëherë familjet e faktorëve të shkallës së transformimit të valëve mund të konsiderohen të ngjashme me familjet e spektrave të frekuencës së transformimit Furier me dritare, por me një dallimi themelor. Faktorët e shkallës ndryshojnë "gjerësinë" e valëve dhe, në përputhje me rrethanat, frekuencën "mesatare" të imazheve të tyre Furier, dhe, rrjedhimisht, çdo frekuencë ka kohëzgjatjen e vet të dritares kohore të analizës dhe anasjelltas. Pra vlera të vogla të parametrave por, duke karakterizuar komponentët e shpejtë në sinjale, korrespondojnë me frekuenca të larta dhe vlerat e mëdha – frekuenca të ulëta. Duke ndryshuar shkallën, valët janë në gjendje të zbulojnë dallimet në frekuenca të ndryshme, dhe për shkak të zhvendosjes (parametri b) për të analizuar vetitë e sinjalit në pika të ndryshme gjatë gjithë intervalit kohor në studim. Dritarja kohore shumëdimensionale e transformimit të valëve është përshtatur për zbulimin optimal të frekuencës së ulët dhe karakteristikat e frekuencës së lartë sinjale.
Kështu, në frekuencave të larta rezolucion më i mirë në kohë, dhe me frekuencë të ulët. Për komponentin me frekuencë të lartë të sinjalit, ne mund të specifikojmë pozicionin e tij kohor më saktë, dhe për komponentin me frekuencë të ulët, vlerën e tij të frekuencës.
Informacioni me frekuencë të lartë (në shkallë të vogël) llogaritet në bazë të intervaleve të gjata të sinjalit, dhe informacioni me frekuencë të ulët llogaritet në bazë të atyre të mëdha. Meqenëse sinjalet e analizuara janë gjithmonë të fundme, kur llogariten koeficientët në kufijtë e specifikimit të sinjalit, zona e besueshmërisë shkon përtej kufijve të sinjalit, dhe për të zvogëluar gabimin e llogaritjes, sinjali plotësohet duke vendosur kushtet fillestare dhe përfundimtare.
6.3.3.6. Avantazhet dhe disavantazhet e analizës wavelet.
Përparësitë e analizës së valëve përfshijnë:
Transformimet wavelet kanë të gjitha avantazhet e transformimeve Fourier;
Bazat e valëve mund të lokalizohen mirë si në frekuencë ashtu edhe në kohë;
Kur ndahen proceset e mirë-lokalizuara në shumë shkallë në sinjale, mund të merren parasysh vetëm ato nivele të shkallës së dekompozimit që janë me interes;
Bazat e valëve, në kontrast me transformimin Furier, kanë shumë të ndryshme funksionet bazë, vetitë e të cilit janë të fokusuara në zgjidhjen e problemeve të ndryshme.
Disavantazhi i transformimeve të valëve është kompleksiteti i tyre relativ.
6.3.3.7. Vetitë e analizës së valëve.
Marrja e informacionit objektiv në lidhje me sinjalin bazohet në vetitë e transformimit të valëzimit, të përbashkëta për valët e të gjitha llojeve. Le të shqyrtojmë kryesoret e këtyre pronave. Për të treguar funksionimin e transformimit të valëzimit të funksioneve arbitrare x(t), do të përdorim indeksin TW.
Lineariteti.
TW[α x 1 (t)+β x 2 (t)] = α TW+β TW.
Invarianca e prerjes. Zhvendosja e sinjalit në kohë me t 0 çon në një zhvendosje të spektrit të valëve gjithashtu me t 0:
TW = X(a, b-t o).
Invarianca e shkallëzimit. Shtrirja (ngjeshja) e sinjalit çon në ngjeshje (shtrirje) të spektrit të valëve të sinjalit:
TW = (1/a o) X(a/a o, b/a o).
Diferencimi.
D n (TW)/dt n = TW.
TW = (-1) n x(t) dt.
Nuk ka rëndësi nëse duhet të diferencohet funksioni apo valëzimi analizues. Nëse valëzimi deelising jepet nga një formulë, atëherë kjo mund të jetë shumë e dobishme për heqjen e sinjaleve. Është e mundur të analizohen veçoritë e rendit të lartë ose variacionet në shkallë të vogël të sinjalit x(t) duke injoruar komponentët polinomialë në shkallë të gjerë (tendenca dhe sfondi rajonal) duke diferencuar numrin e kërkuar të herëve ose valëzimin ose vetë sinjalin. Kjo veçori është veçanërisht e dobishme kur sinjali jepet si një seri diskrete.
Një analog i teoremës së Parsevalit për valët ortogonale dhe biortogonale.
X 1 (t) x 2 *(t) \u003d X ψ -1 a -2 X (a, b) X * (a, b) da db.
Nga kjo rrjedh se energjia e sinjalit mund të llogaritet në terma të koeficientëve të transformimit të valëve.
Bazat përpunimi dixhital sinjale: tutorial/ Yu.A. Bryukhanov, A.A. Priorov, V.I. Dzhigan, V.V. Khryashçev; Yaroslavl shteti. un-t im. P.G. Demidov. - Yaroslavl: YarGU, 2013. - 344 f. (fq. 270)
