Filtra dixhitalë (Leksion)
Sipas llojit të përgjigjes së impulsit, filtrat dixhitalë ndahen në dy klasa të mëdha:
· Filtra me përgjigje impulsive të fundme (FIR - filtra, filtra transversalë, filtra jo rekurzivë). Emëruesi i funksionit të transferimit të filtrave të tillë është një konstante e caktuar.
FIR - filtrat karakterizohen nga shprehja:
· Filtrat me përgjigje impulsive të pafundme (IIR - filtra, filtra rekurzivë) përdorin një ose më shumë prej daljeve të tyre si hyrje, domethënë formojnë një reagim. Vetia kryesore e filtrave të tillë është se përgjigja e tyre kalimtare e impulsit ka një gjatësi të pafundme në domenin e kohës, dhe funksioni i transferimit ka një formë racionale të pjesshme.
IIR - filtrat karakterizohen nga shprehja:
Dallimi midis filtrave FIR dhe filtrave IIR është se për filtrat FIR përgjigja e daljes varet nga sinjalet hyrëse, ndërsa për filtrat IIR përgjigja dalëse varet nga vlera aktuale.
Përgjigje impulsiveËshtë reagimi i qarkut ndaj një sinjali të vetëm.
Esinjal binar
Kështu, një sinjal i vetëm në vetëm një pikë është i barabartë me unitet - në pikën e origjinës.
I arrestuari esinjal binar përkufizohet si më poshtë:
Kështu, sinjali i vetëm i vonuar vonohet nga k periudha e kampionimit.
Sinjalet dhe spektrat
Dualiteti (dualiteti) i paraqitjes së sinjaleve.
Të gjitha sinjalet mund të përfaqësohen në planin e kohës ose të frekuencës.
Për më tepër, ka disa plane frekuence.
Plani kohor.
Transformimet.
Plani i frekuencës.
Për të parë sinjalin në planin kohor, ekziston një pajisje:
Le të imagjinojmë se ka një sinjal sinusoidal mjaft të gjatë (në 1 sekondë 1000 herë një sinusoid u përsërit):
Le të marrim një sinjal me një frekuencë dyfishin e asaj:
Le të shtojmë këto sinjale. Ne marrim jo një sinusoid, por një sinjal të shtrembëruar:
Transformimet nga plani kohor në planin e frekuencës kryhen duke përdorur transformimet Furier.
Për të parë sinjalin në planin e frekuencës, ekziston një pajisje:
Frekuenca ciklike ose rrethore ( f).
Plani i frekuencës do të tregojë serifin:
Vlera e kryqëzimit është proporcionale me amplituda e sinusoidit, dhe frekuenca është:
Për formën e dytë të valës, domeni i frekuencës do të tregojë një kryqëzim të ndryshëm:
Dy pika do të shfaqen në domenin kohor të sinjalit të përmbledhur:
Të dy paraqitjet e sinjaleve janë ekuivalente dhe përdorin ose të parën ose përfaqësimin tjetër, cilado që është më e përshtatshme.
Transformimet nga plani kohor në planin e frekuencës mund të bëhen në mënyra të ndryshme. Për shembull: duke përdorur transformimet Laplace ose duke përdorur transformimet Fourier.
Tri forma të shkrimit të serive Furier.
Ekzistojnë tre forma të shkrimit të serive Fourier:
· Forma sinus - kosinus.
· Forma reale.
· Forma komplekse.
1.) Në formën sinus - kosinus seria Fourier është:
Shumëfishat e frekuencës të përfshira në formulë kω 1 quhen harmonike; harmonikët numërohen sipas indeksit k; frekuenca ωk =kω 1 quhet k-harmonike e sinjalit.
Kjo shprehje thotë si vijon: se çdo funksion periodik mund të paraqitet si një shumë harmonike, ku:
T- periudha e përsëritjes së këtij funksioni;
ω - frekuenca rrethore.
, ku
t- koha aktuale;
T- periudha.
Në një zgjerim Furier, gjëja më e rëndësishme është periodiciteti. Për shkak të tij, bëhet kampionimi në frekuencë, fillon një numër i caktuar harmonike.
Për të vendosur mundësinë e zbërthimit trigonometrik për një funksion të caktuar periodik, duhet të vazhdohet nga një grup i caktuar koeficientësh. Një pajisje për përcaktimin e tyre u shpik nga Euler në gjysmën e dytë të shekullit të 18-të dhe në mënyrë të pavarur nga Fourier në fillim të shekullit të 19-të.
Tre formulat e Euler për përcaktimin e koeficientëve:
; 
; 
Formulat e Euler-it nuk kanë nevojë për ndonjë provë. Këto formula janë të sakta për një numër të pafund harmonish. Seria Fourier është një seri e cunguar, pasi nuk ka numër të pafund harmonike. Koeficienti i serisë së cunguar llogaritet duke përdorur të njëjtat formula si për serinë e plotë. Në këtë rast, gabimi mesatar katror është minimal.
Fuqia e harmonikëve zvogëlohet me rritjen e numrit të tyre. Nëse shtoni / hiqni disa komponentë harmonikë, atëherë rillogaritja e pjesës tjetër të termave (harmonikë të tjerë) nuk kërkohet.
Pothuajse të gjitha funksionet janë tek ose çift:
EDHE FUNKSIONI
FUNKSIONI TEKT
Karakterizohet nga ekuacioni:
Për shembull, funksioni Cos:
ku: t = −t
Një funksion i barabartë është simetrik në lidhje me
boshti i ordinatave.
Nëse funksioni është çift, atëherë të gjithë koeficientët sinus bk kosinusi kushtet.
Karakterizohet nga ekuacioni:
Për shembull, funksioni Mëkati:
Funksioni tek është simetrik në lidhje me qendrën.
Nëse funksioni është tek, atëherë të gjithë koeficientët e kosinusit ak do të jetë e barabartë me zero dhe vetëm sinusit kushtet.
2.) Forma reale të dhënat e serisë Fourier.
Disa shqetësime të formës sinus-kosinus të serisë Fourier është se për secilën vlerë të indeksit të mbledhjes k(d.m.th., për çdo harmonik me një frekuencë kω 1) ka dy terma në formulë - sinus dhe kosinus. Duke përdorur formulat e transformimeve trigonometrike, shuma e këtyre dy termave mund të shndërrohet në një kosinus të së njëjtës frekuencë me një amplitudë të ndryshme dhe një fazë fillestare:
, ku
;
Nëse S(t) është një funksion i barabartë, faza φ mund të marrë vetëm vlerat 0 dhe π , dhe nëse S(t) është një funksion tek, pastaj vlerat e mundshme për fazën φ janë të barabartë + π /2.
Nëse bk= 0, pastaj tg φ = 0 dhe këndi φ = 0
Nëse ak= 0, pastaj tg φ - pafund dhe kënd φ =
Në këtë formulë, mund të ketë një minus (në varësi të drejtimit që merret).
3.) Forma komplekse të dhënat e serisë Fourier.
Kjo formë e paraqitjes së serisë Fourier është ndoshta më e përdorura në inxhinierinë radio. Përftohet nga forma reale duke paraqitur kosinusin si gjysmë shuma të eksponencialeve komplekse (një paraqitje e tillë rrjedh nga formula e Euler-it ejθ = Cosθ + jSinθ):
Duke zbatuar këtë transformim në formën reale të serisë Fourier, marrim shumat e eksponentëve kompleksë me eksponentë pozitivë dhe negativë:
Dhe tani ne do t'i trajtojmë eksponentët me një shenjë minus në eksponent si terma të një serie me numra negativë. Në kuadër të së njëjtës qasje të përgjithshme, termi konstant a 0/2 do të bëhet anëtare e rreshtit të numrit zero. Rezultati është një formë komplekse e shkrimit të serisë Fourier:
Formula për llogaritjen e koeficienteve Kk Seria Fourier:
Nëse S(t) eshte nje madje funksioni, koeficientët e serisë Kk do të jetë i pastër reale, dhe nëse S(t) - funksion i rastësishëm, koeficientët e serisë rezultojnë të jenë thjesht imagjinare.
Kompleti i amplitudave të harmonikave të serisë Fourier shpesh quhet spektri i amplitudës, dhe tërësia e fazave të tyre është spektri fazor.
Spektri i amplitudave është pjesa reale e koeficientëve Kk Seria Fourier:
Re ( Kk) Është spektri i amplitudës.
Spektri i sinjaleve drejtkëndëshe.
Konsideroni një sinjal në formën e një sekuence pulsesh drejtkëndëshe me një amplitudë A, kohëzgjatja τ dhe periudha e përsëritjes T... Referenca e kohës merret të jetë e vendosur në mes të pulsit.
Ky sinjal është një funksion i barabartë, prandaj, për ta përfaqësuar atë, është më i përshtatshëm të përdoret forma sinus-kosinus e serisë Fourier - ai do të përmbajë vetëm terma kosinus ak e barabartë me:
Nga formula mund të shihet se kohëzgjatja e pulseve dhe periudha e përsëritjes së tyre nuk përfshihen në të veçmas, por ekskluzivisht në formën e një raporti. Ky parametër - raporti i periudhës me kohëzgjatjen e pulsit - quhet cikli i detyrës sekuencë pulsesh dhe shënohen me shkronjën: g: g = T/ τ. Ne e futim këtë parametër në formulën e marrë për koeficientët e serisë Fourier, dhe më pas e sjellim formulën në formën Sin (x) / x:
Shënim: Në literaturën e huaj, në vend të ciklit të detyrës, përdoret një vlerë reciproke, e quajtur cikli i detyrës dhe e barabartë me τ / T.
Me këtë formë shënimi, bëhet qartë e dukshme se me çfarë është vlera e termit konstant të serisë: pasi në x→ 0 mëkat ( x)/x→ 1, atëherë
Tani mund të shkruani vetë paraqitjen e një sekuence pulsesh drejtkëndëshe në formën e një serie Fourier:
Amplituda e termave harmonikë të serisë varen nga numri harmonik sipas Sin ( x)/x.
mëkat ( x)/x ka një karakter petali. Duke folur për gjerësinë e këtyre petaleve, duhet theksuar se për grafikët e spektrave diskrete të sinjaleve periodike, ekzistojnë dy mundësi për gradimin e boshtit horizontal - në numra harmonikë dhe në frekuenca.
Në figurë, gradimi i boshtit korrespondon me numrat e harmonikave, dhe parametrat e frekuencës së spektrit janë paraqitur në grafik duke përdorur linjat e dimensionit.
Pra, gjerësia e lobeve, e matur në numrin e harmonikëve, është e barabartë me ciklin e punës së sekuencës (në k = ng ne kemi Mëkati (π k /g) = 0 nëse n≠ 0). Kjo nënkupton një veti të rëndësishme të spektrit të një sekuence pulsesh drejtkëndëshe - nuk ka harmonikë (zero amplituda) me numra që janë shumëfish të ciklit të punës.
Distanca e frekuencës midis harmonikave ngjitur është e barabartë me shkallën e përsëritjes së pulsit - 2 π /T... Gjerësia e lobeve të spektrit, e matur në njësi të frekuencës, është 2 π /τ , domethënë është në përpjesëtim të zhdrejtë me kohëzgjatjen e pulsit. Ky është një manifestim i ligjit të përgjithshëm - sa më i shkurtër të jetë sinjali, aq më i gjerë është spektri i tij.
konkluzioni : për çdo sinjal, dihen zgjerimet e serisë së tij Fourier. Duke ditur τ dhe T ne mund të llogarisim sa harmonikë nevojiten për të transmetuar fuqinë.
Metodat për analizën e sistemeve lineare me koeficientë konstante.
Problemi në vendosjen:
Ekziston një sistem linear (nuk varet nga amplituda e sinjalit):
KOEFT: DS b0, b1, b3
…………………
PORT_VVOD EQU Y: FFC0; përcaktoni portat hyrëse.
PORT_VIVOD EQU Y: FFC1; përcaktoni portat e daljes.
ORG P: 0; organizimi i memories P.
RISET: JMP START; kërcim i pakushtëzuar te etiketa FILLO.
P: 100; programi do të fillojë nga qeliza e qindta.
START: MOVE BUF_X, R0; adresa fillestare X futet në R0.
MOVE # ORDFIL─1, M0; përkth. në mod. arith. (shkruaj. numër për 1 burrë. se rendi. i këtij buferi.)
LËVIZI # KOEFAT, R4; cikli organizativ. buffers për koeficientët. në memorien Y.
LËVIZI # M0, M4; meqenëse gjatësia duhet të jetë e njëjtë, atëherë nga M0 në M4.
CLRA; rivendosni baterinë.
REP # ORDFIL; përsërisni operacionin e lidhur me zinxhir.
LËVIZJE A, X: (R4) +; të përdorura autoinkrement dhe të gjitha qelizat janë të buferuara. rivendosur në zero.
LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0); bajt. transferimi i leximeve (fund zgjuar. te b0).
REP # ORDFIL─1; Reps. funksionimi me zinxhir (i zgjuar 39 herë pa rrumbullakosje)
MAC X0, Y0, A X: (R0) +, X0 Y: (R4) +, Y0; zgjuar X0 në Y0, res. në ak; përgatitore. sl. opera.
MOVEP A, Y: PORT_VIVOD; përmbajtja e transferimit të bajtit bateri.
JMP LOOP; kërcim i pakushtëzuar te etiketimi LOOP.
Rendi i projektimit të filtrave dixhitalë.
Rendi i projektimit të filtrave dixhitalë lidhet kryesisht me llojin e filtrit përgjatë vijës së përgjigjes së frekuencës. Një nga problemet që haset shpesh në praktikë është krijimi i filtrave që kalojnë sinjalet në një brez të caktuar frekuencash dhe vonojnë pjesën tjetër të frekuencave. Ka katër lloje:
1.) Filtra me kalim të ulët (LPF; termi anglisht - filtër me kalim të ulët), frekuenca kalimi më pak se një frekuencë e caktuar ndërprerjeje ω 0.
2.) Filtra me kalim të lartë (HPF; termi anglisht - filtër me kalim të lartë), frekuenca kalimi më të mëdha se një frekuencë e caktuar ndërprerjeje ω 0.
3.) Filtrat brez-pass (PF; termi anglisht - filtër brez-pass), frekuencat e kalimit në një gamë të caktuar ω 1…. ω 2 (ato gjithashtu mund të kenë një frekuencë mesatare ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).
4.) Filtrat e nivelit (emrat e tjerë të mundshëm - filtri i nivelit, filtri i nivelit, filtri brez-stop; termi anglisht - filtri band-stop), duke kaluar në dalje të gjitha frekuenca, Përveç kësaj shtrirë në një gamë të caktuar ω 1…. ω 2 (ato gjithashtu mund të karakterizohen nga një frekuencë mesatare ω 0 = (ω 1 + ω 2) / 2 dhe gjerësia e brezit Δ ω = ω 2 – ω 1).
Forma ideale e përgjigjes së frekuencës së këtyre katër llojeve të filtrave:
Megjithatë, një përgjigje e tillë ideale (drejtkëndore) e frekuencës nuk mund të realizohet fizikisht. Prandaj, në teorinë e filtrave analogë, janë zhvilluar një sërë metodash. përafrimet përgjigje drejtkëndore e frekuencës.
Përveç kësaj, pasi të keni llogaritur filtrin e kalimit të ulët, mund të ndryshoni frekuencën e tij të ndërprerjes me transformime të thjeshta, ta ktheni atë në një filtër me kalim të lartë, një filtër brezi ose me parametra të specifikuar. Prandaj, llogaritja e filtrit analog fillon me llogaritjen e të ashtuquajturit prototipi i filtrit, i cili është një filtër me kalim të ulët me një frekuencë ndërprerjeje prej 1 rad / s.
1.) Filtri Butterworth:
Funksioni i transferimit të filtrit Butterworth nuk ka zero dhe polet e tij janë të vendosura në mënyrë të barabartë s-aeroplanët në gjysmën e majtë të një rrethi me rreze njësi.
Për një filtër Butterworth, frekuenca e ndërprerjes përcaktohet nga niveli 1 /. Filtri Butterworth ofron sa më të sheshtë kulmi në brezin e kalimit.
2.) Filtri Chebyshev i llojit të parë:
Funksioni i transferimit të filtrit Chebyshev të tipit I gjithashtu nuk ka zero, dhe polet e tij janë të vendosura në gjysmën e majtë të elipsës në s- aeroplanë. Për një filtër Chebyshev të llojit të parë, frekuenca e ndërprerjes përcaktohet nga niveli i valëzimit në brezin e kalimit.
Krahasuar me një filtër Butterworth të të njëjtit rend, filtri Chebyshev siguron një kthim më të pjerrët në përgjigjen e frekuencës në rajonin e kalimit nga brezi i kalimit në brezin e ndalimit.
3.) Filtri Chebyshev i llojit të dytë:
Funksioni i transferimit të filtrit Chebyshev tip II, ndryshe nga rastet e mëparshme, ka si zero ashtu edhe pole. Filtrat Chebyshev të llojit të dytë quhen gjithashtu filtra të kundërt Chebyshev. Frekuenca e ndërprerjes së filtrit të dytë Chebyshev nuk është fundi i brezit të kalimit, por stop band start... Koeficienti i transmetimit të filtrit në frekuencën zero është i barabartë me 1, në frekuencën e ndërprerjes është në një nivel të caktuar valëzimi në brezin e ndalimit. Në ω → ∞, koeficienti i transmetimit është zero për një rend filtri tek dhe një nivel valëzim për një çift. Në ω = 0 Përgjigja e frekuencës së filtrit Chebyshev të llojit të dytë është sa më e sheshtë që të jetë e mundur.
4.) Filtra eliptikë:
Filtrat eliptikë (filtrat Cauer; termat anglisht - filtri eliptik, filtri Cauer) në një farë kuptimi kombinojnë vetitë e filtrave Chebyshev të llojit të parë dhe të dytë, pasi përgjigja e frekuencës së një filtri eliptik ka një valëzim të një vlere të caktuar, si në brezi i kalimit dhe në brezin e ndalimit. Për shkak të kësaj, është e mundur të sigurohet pjerrësia maksimale e mundshme (me një rend filtri fiks) të pjerrësisë së përgjigjes së frekuencës, d.m.th., zona e tranzicionit midis brezave të kalimit dhe ndalimit.
Funksioni i transferimit të një filtri eliptik ka pole dhe zero. Zerot, si në rastin e një filtri Chebyshev të llojit të dytë, janë thjesht imagjinare dhe formojnë çifte komplekse të konjuguara. Numri i zerave të funksionit të transferimit është i barabartë me numrin maksimal çift që nuk e kalon rendin e filtrit.
Funksionet e MATLAB për llogaritjen e filtrave Butterworth, Chebyshev të llojit të parë dhe të dytë, si dhe filtrat eliptikë, ju lejojnë të llogaritni filtrat analogë dhe diskretë. Funksionet e llogaritjes së filtrit kërkojnë specifikimin e rendit të filtrit dhe frekuencën e tij të ndërprerjes si parametra hyrës.
Rendi i filtrit varet nga:
- nga pabarazia e lejuar në brezin e kalimit nga madhësia e zonës së pasigurisë. (Sa më e vogël të jetë zona e pasigurisë, aq më e pjerrët është rrokullisja e përgjigjes së frekuencës.)
Për filtrat FIR, renditja është disa dhjetëra ose qindra, dhe për filtrat IIR, rendi nuk i kalon disa njësi.
Piktogramet ofrojnë një mundësi për të parë të gjithë koeficientët. Dizajni i filtrit kryhet në një dritare.
Shpesh, përshkrimi matematik i sinjaleve përcaktuese, madje edhe të thjeshta në strukturë dhe formë, është një detyrë e vështirë. Prandaj, përdoret një teknikë origjinale, në të cilën sinjalet komplekse reale zëvendësohen (përfaqësohen, përafrohen) nga një grup (shuma e ponderuar, d.m.th., një seri) modelesh matematikore të përshkruara nga funksionet elementare. Kjo siguron një mjet të rëndësishëm për analizimin e kalimit të sinjaleve elektrike përmes qarqeve elektronike. Përveç kësaj, prezantimi i sinjalit mund të përdoret si fillestar në përshkrimin dhe analizën e tij. Në këtë rast, problemi i anasjelltë mund të thjeshtohet ndjeshëm - sinteza sinjale komplekse nga një grup funksionesh elementare.
Paraqitja spektrale e sinjaleve periodike nga seria Fourier
Seritë e përgjithësuara të Furierit.
Ideja themelore e paraqitjes spektrale të sinjaleve (funksioneve) daton më shumë se 200 vjet më parë dhe i përket fizikanit dhe matematikanit J. B. Fourier.
Konsideroni një sistem funksionesh elementare ortogonale, secila prej të cilave është marrë nga një funksion fillestar - prototip. Ky funksion prototip luan rolin e një "blloku ndërtimi" dhe përafrimi i kërkuar gjendet duke kombinuar përkatësisht blloqe identike. Furieri tregoi se çdo funksion kompleks mund të përfaqësohet (i përafërt) si një shumë e fundme ose e pafundme e një serie lëkundjesh të shumta harmonike me amplituda, frekuenca dhe faza fillestare të caktuara. Ky funksion mund të jetë, në veçanti, rryma ose voltazhi në qark. Rrezja e diellit, e zbërthyer nga një prizëm në një spektër ngjyrash, është një analog fizik i transformimeve matematikore të Furierit (Fig. 2.7).
Drita që del nga prizmi ndahet në hapësirë në ngjyra ose frekuenca të veçanta të pastra. Spektri ka një amplitudë mesatare në çdo frekuencë. Kështu, funksioni i intensitetit kundrejt kohës u shndërrua në një funksion të amplitudës kundrejt frekuencës. Një ilustrim i thjeshtë i arsyetimit të Furierit është paraqitur në Fig. 2.8. Një kurbë periodike që është mjaft komplekse në formë (Fig. 2.8, a) - kjo është shuma e dy harmonikëve të frekuencave të ndryshme, por të shumëfishta: të vetme (Fig. 2.8, b) dhe dyfishuar (Fig. 2.8, v).
Oriz. 2.7.
Oriz. 2.8.
a- lëkundje komplekse; b, c- Sinjalet e përafërta të 1 dhe 2
Me ndihmën e analizës spektrale të Furierit, një funksion kompleks përfaqësohet nga shuma e harmonikave, secila prej të cilave ka frekuencën, amplituda dhe fazën fillestare të saj. Transformimi Furier përcakton funksionet që përfaqësojnë amplituda dhe fazën e komponentëve harmonikë që korrespondojnë me një frekuencë specifike, dhe faza është pika e fillimit të sinusoidit.
Transformimi mund të merret me dy metoda të ndryshme matematikore, njëra prej të cilave përdoret kur funksioni origjinal është i vazhdueshëm dhe tjetra kur jepet nga një grup vlerash të veçanta diskrete.
Nëse funksioni në studim merret nga vlera me intervale të caktuara diskrete, atëherë ai mund të ndahet në një seri sekuenciale funksionesh sinusoidale me frekuenca diskrete - nga frekuenca më e ulët, themelore ose kryesore, dhe më pas me frekuenca dy herë, tre herë. etj. mbi kryesorin. Një shumë e tillë e komponentëve quhet pranë Furierit.
Sinjalet ortogonale. Një mënyrë e përshtatshme për përshkrimin spektral të një sinjali sipas Furierit është paraqitja e tij analitike duke përdorur një sistem funksionesh elementare ortogonale të kohës. Le të ketë një hapësirë sinjali Hilbert u 0 (t) y G/,(?), ..., u n (t) me energji të fundme, të përcaktuar në një interval kohor të fundëm ose të pafund (t v 1 2). Në këtë segment, ne përcaktojmë një sistem (nëngrup) të pafundëm funksionesh elementare të ndërlidhura të kohës dhe e quajmë atë bazë".
ku r = 1, 2, 3,....
Funksione u (t) dhe v (t) janë ortogonale në intervalin (?,? 2) nëse produkti i tyre skalar, me kusht që asnjë nga këto funksione ns të mos jetë identikisht zero.
Në matematikë, kjo jepet në hapësirën e sinjaleve Hilbert baza e koordinatave ortogonale, d.m.th. sistemi i funksioneve të bazës ortogonale.
Vetia e ortogonalitetit të funksioneve (sinjaleve) lidhet me intervalin e përcaktimit të tyre (Fig. 2.9). Për shembull, dy sinjale harmonike m, (?) = = Sin (2nr / 7'0) dhe u., (t)= mëkat (4 nt / T Q)(d.m.th., me frekuenca / 0 = 1/7 '0 dhe 2/0, respektivisht) janë ortogonale në çdo interval kohor, kohëzgjatja e të cilit është e barabartë me një numër të plotë gjysmë periodash T 0(fig. 2.9, a). Prandaj, në periudhën e parë, sinjalet dhe (1) dhe u 2 (t) janë ortogonale në intervalin (0, 7 "0/2), por në intervalin (0, ЗГ 0/4) nuk janë ortogonale. Pa Fig. 2.9, b sinjalet janë ortogonale për shkak të ndryshimit në kohën e shfaqjes së tyre.
Oriz. 2.9.
a- në intervalin; b - për shkak të ndryshimit në kohën e ndodhjes Paraqitja e sinjalit u (t) modelet elementare thjeshtohen shumë nëse zgjidhet sistemi i funksioneve bazë vff), posedimi i pronës ortonormaliteti. Nga matematika dihet nëse për ndonjë çift funksionesh nga sistemi ortogonal (2.7) kushti
pastaj sistemi i funksioneve (2.7) ortonormale.
Në matematikë, një sistem i tillë i funksioneve bazë të formës (2.7) quhet një bazë ortonorale.
Lëreni në një interval kohor të caktuar | r, t 2| sinjal arbitrar aktiv u (t) dhe për përfaqësimin e tij përdoret sistemi ortonormal i funksioneve (2.7). Dizajni arbitrar i formës valore u (t) në boshtin e bazës së koordinatave quhet zgjerimi në një seri të përgjithësuar Furier. Ky zgjerim ka formën
ku c, janë disa koeficientë konstante.
Për të përcaktuar koeficientët nga tek seritë e përgjithësuara Furier, ne zgjedhim një nga funksionet bazë (2.7) v k (t) me numër arbitrar për të. Ne i shumëzojmë të dyja anët e zgjerimit (2.9) me këtë funksion dhe integrojmë rezultatin me kalimin e kohës:
Për shkak të ortonormalitetit të bazës së funksioneve të zgjedhura në anën e djathtë të kësaj barazie, të gjithë termat e shumës për i ^ për të do të zhduket. Vetëm i vetmi anëtar i shumës me numrin i = te, Kjo është arsyeja pse
Produkt i formularit c k v k (t), i përfshirë në serinë e përgjithësuar Fourier (2.9), është komponenti spektral sinjal u (t), dhe grupi i koeficientëve (projeksionet e vektorëve të sinjalit në boshtet e koordinatave) (с 0, с, ..., nga tek,..., me „) definon plotësisht sinjalin e analizuar ii (t) dhe e quajti atë spektrit(nga lat. spektrit- imazh).
Thelbi paraqitje spektrale (analiza) i sinjalit konsiston në përcaktimin e koeficientëve me i në përputhje me formulën (2.19).
Zgjedhja e një sistemi racional ortogonal të bazës së koordinatave të funksioneve varet nga qëllimi i kërkimit dhe përcaktohet nga dëshira për të thjeshtuar sa më shumë që të jetë e mundur aparatin matematikor të analizës, transformimeve dhe përpunimit të të dhënave. Si funksione bazë aktualisht përdoren polinomet Chebyshev, Hermite, Laguerre, Lezhandre etj.. Më i përhapuri është shndërrimi i sinjaleve në bazat e funksioneve harmonike: eksponencial kompleks. exp (J 2ft) dhe funksionet reale trigonometrike sinus-kosinus të lidhura me formulën e Euler-it f> x= cosx + y "sinx. Kjo për faktin se oscilimi harmonik teorikisht ruan plotësisht formën e tij kur kalon nëpër qarqe lineare me parametra konstante, dhe ndryshon vetëm amplituda e tij dhe faza fillestare. Metoda simbolike, e zhvilluar mirë në teorinë e qarkut, përdoret gjithashtu gjerësisht. Operacioni i paraqitjes së sinjaleve përcaktuese në formën e një grupi komponentësh konstante ( komponent konstant) dhe zakonisht quhen shumat e dridhjeve harmonike me frekuenca të shumta zbërthimi spektral. Përdorimi mjaft i përhapur i serisë së përgjithësuar të Furierit në teorinë e sinjalit shoqërohet gjithashtu me vetinë e tij shumë të rëndësishme: për sistemin e zgjedhur ortonormal të funksioneve. v k (t) dhe një numër fiks termash në serinë (2.9), ai ofron paraqitjen më të mirë të sinjalit të dhënë u (t). Kjo veti e serisë Fourier është e njohur gjerësisht.
Në paraqitjen spektrale të sinjaleve, më së shumti përdoren bazat ortonormale të funksioneve trigonometrike. Kjo është për shkak të sa vijon: lëkundjet harmonike janë më të lehtat për t'u gjeneruar; sinjalet harmonike janë të pandryshueshme në lidhje me transformimet e kryera nga qarqet elektrike lineare stacionare.
Le të vlerësojmë paraqitjen kohore dhe spektrale të sinjalit analog (Fig. 2.10). Në fig. 2.10, a tregon një diagram kohor të një sinjali të vazhdueshëm me një formë komplekse, dhe Fig. 2.10, b - zbërthimi spektral i tij.
Konsideroni paraqitjen spektrale të sinjaleve periodike si një shumë e funksioneve harmonike ose eksponenciale komplekse me frekuenca që formojnë një progresion aritmetik.
Periodike thirrni sinjalin dhe "(?). duke përsëritur në intervale të rregullta (fig. 2.11):
ku G është periudha e përsëritjes ose përsëritjes së impulseve; n = 0,1, 2,....
Oriz. 2.11. Sinjali periodik
Nëse Tështë periudha e sinjalit u (t), atëherë periodat do të jenë edhe shumëfishat e saj: 2Г, 3 T etj. Një sekuencë periodike pulsesh (ato quhen pulset video) përshkruhet me shprehjen
Oriz. 2.10.
a- diagrami i kohës; b- spektri i amplitudës
Këtu u Q (t)- forma e një pulsi të vetëm, e karakterizuar nga amplituda (lartësia) h = E, kohëzgjatja т „, periudha e T = 1 / F (F - frekuenca), pozicioni i pulseve në kohë në lidhje me pikat e orës, për shembull t = 0.
Për analizën spektrale të sinjaleve periodike, sistemi ortogonal (2.7) është i përshtatshëm në formën e funksioneve harmonike me frekuenca të shumta:
ku ω, = 2p / T- shkalla e përsëritjes së pulsit.
Duke llogaritur integralet, duke përdorur formulën (2.8), është e lehtë të verifikohet ortogonaliteti i këtyre funksioneve në intervalin [-Г / 2, Г / 2 |. Çdo funksion plotëson kushtin e periodicitetit (2.11), pasi frekuencat e tyre janë të shumëfishta. Nëse sistemi (2.12) shkruhet si
atëherë marrim një bazë ortonormale për funksionet harmonike.
Imagjinoni një sinjal periodik, më i zakonshmi në teorinë e sinjalit trigonometrike(sinus kosinus) formë Seria Fourier:
Nga kursi i matematikës dihet se ekspansioni (2.11) ekziston, d.m.th. seria konvergon nëse funksioni (në këtë rast, sinjali) u (t) në intervalin [-7/2, 7/2] kënaq Kushtet e Dirichlet(ndryshe nga teorema e Dirichlet-it, ato shpesh interpretohen në një mënyrë të thjeshtuar):
- nuk duhet të ketë thyerje të llojit të 2-të (me degë që shkojnë në pafundësi);
- funksioni është i kufizuar dhe ka një numër të kufizuar ndërprerjesh të llojit të parë (kërcime);
- funksioni ka një numër të fundëm ekstremesh (d.m.th., ngritje dhe ulje).
Formula (2.13) përmban komponentët e mëposhtëm të sinjalit të analizuar:
Komponent konstant
Amplituda e komponentëve të kosinusit
Amplituda e komponentëve sinusoidale
Komponenti spektral me frekuencë ω, në teorinë e komunikimit quhet i pari (bazë) harmonike, dhe komponentët me frekuenca iso, (n> 1) - harmonike më të larta sinjal periodik. Hapi në frekuencën Aco midis dy sinusoideve ngjitur nga zgjerimi Fourier quhet rezolucioni i frekuencës spektrit.
Nëse sinjali është një funksion i barabartë i kohës u (t) = u (-t), atëherë në shënimin trigonometrik të serisë Fourier (2.13) nuk ka koeficientë sinusoidalë B n, pasi në përputhje me formulën (2.16) ato zhduken. Për sinjal u (t), përshkruar nga një funksion tek i kohës, përkundrazi, sipas formulës (2.15), koeficientët kosinus a n(komponent konstant a 0 gjithashtu mungon), dhe seria përmban komponentët B n.
Kufijtë e integrimit (nga -7/2 në 7/2) nuk duhet të jenë të njëjtë si në formulat (2.14) - (2.16). Integrimi mund të kryhet në çdo interval kohor 7 - rezultati nuk do të ndryshojë. Kufijtë specifikë janë zgjedhur për lehtësi llogaritëse; për shembull, mund të jetë më e lehtë të integrosh nga 0 në 7 ose -7 në 0, e kështu me radhë.
Dega e matematikës që vendos marrëdhëniet midis funksionit të kohës u (t) dhe koeficientët spektralë a n, b n, quhen analiza harmonike për shkak të funksionit të lidhjes u (t) me terma sinusoidalë dhe kosinusorë të kësaj shume. Më tej, analiza spektrale kufizohet kryesisht nga shtrirja e analizës harmonike, e cila gjen përdorim ekskluziv.
Shpesh përdorimi i formës sinus-kosinus të serisë Fourier nuk është plotësisht i përshtatshëm, pasi për secilën vlerë të indeksit të mbledhjes P(d.m.th., për çdo harmonik me një frekuencë mOj) dy terma shfaqen në formulën (2.13) - kosinus dhe sinus. Nga pikëpamja matematikore, është më e përshtatshme të përfaqësohet kjo formulë si një seri ekuivalente e Furierit në formë reale /.
ku A 0 = a 0 / 2; A n = yja 2 n + B - amplituda; harmonika e n-të e sinjalit. Ndonjëherë në relacionin (2.17) një shenjë plus vendoset përpara cp A, atëherë faza fillestare e harmonikës shkruhet si cp dhe = -arctg ( b n fa n).
Në teorinë e sinjalit, forma komplekse e serisë Fourier përdoret gjerësisht. Përftohet nga forma reale e serisë duke paraqitur kosinusin në formën e gjysmës së shumës së eksponencialeve komplekse duke përdorur formulën e Euler-it:
Duke zbatuar këtë transformim në formën reale të serisë Fourier (2.17), marrim shumat e eksponentëve kompleksë me eksponentë pozitivë dhe negativë:
Dhe tani ne do të interpretojmë eksponencialet në formulën (2.19) në frekuencën ω, me një shenjë minus në eksponent si terma të një serie me numra negativë. Në kuadër të së njëjtës qasje, koeficienti A 0 do të bëhet anëtar i serisë me numër zero. Pas transformimeve të thjeshta, arrijmë te formë e integruar Seria Furier
Amplituda komplekse P th harmonike.
vlerat C n me numra pozitivë dhe negativë P janë të konjuguara komplekse.
Vini re se seria Fourier (2.20) është një ansambël eksponencialesh komplekse exp (jn (o (t) me frekuenca që formojnë një progresion aritmetik.
Le të përcaktojmë marrëdhënien midis koeficientëve të formave trigonometrike dhe komplekse të serisë Fourier. Është e qartë se
Gjithashtu mund të tregohet se koeficientët a n= 2C w coscp „; b n = 2C / I sincp, f.
Nëse u (t)është një funksion çift, koeficientët e serisë C do të jenë reale, dhe nëse u (t) - funksioni është tek, koeficientët e serisë bëhen imagjinare.
Paraqitja spektrale e një sinjali periodik nga forma komplekse e serisë Fourier (2.20) përmban frekuenca pozitive dhe negative. Por frekuencat negative nuk ekzistojnë në natyrë, dhe ky është një abstraksion matematik (kuptimi fizik i frekuencës negative është rrotullimi në drejtim të kundërt me atë që merret si pozitiv). Ato shfaqen si pasojë e paraqitjes formale të lëkundjeve harmonike në formë komplekse. Kur kalon nga forma komplekse e shënimit (2.20) në formën reale (2.17), frekuenca negative zhduket.
Spektri i sinjalit gjykohet qartë nga imazhi i tij grafik - diagrami spektral (Fig. 2.12). Të dallojë amplitudë-frekuencë dhe spektrat e frekuencës fazore. Një grup amplitudash harmonike Një n(fig. 2.12, a) quhen spektri i amplitudës, fazat e tyre (Fig. 2.12, b) e marte I - spektri fazor. Agregati C n = |C n eshte nje spektri kompleks i amplitudës(fig. 2.12, v). Në diagramet spektrale, boshtet e abshisave paraqesin frekuencën aktuale, por boshtet e ordinatave përfaqësojnë ose amplituda reale ose komplekse ose fazën e komponentëve harmonikë përkatës të sinjalit të analizuar.
Oriz. 2.12.
a - amplituda; b - faza; v - Spektri i amplitudës së një serie komplekse Furier
Spektri i sinjalit periodik quhet sunduar ose diskrete, meqenëse përbëhet nga vija të veçanta me lartësi të barabartë me amplituda Një n harmonike. Nga të gjitha llojet e spektrave, spektri i amplitudës është më informuesi, pasi lejon që dikush të vlerësojë përmbajtjen sasiore të disa harmonikëve në përbërjen e frekuencës së sinjalit. Në teorinë e sinjalit, është vërtetuar se spektri i amplitudës është funksioni i njëtrajtshmërisë, dhe faza - i rastësishëm.
shënim barazlargësi(barazia nga origjina) e spektrit kompleks të sinjaleve periodike: frekuencat simetrike (pozitive dhe negative), në të cilat ndodhen koeficientët spektralë të serisë trigonometrike Fourier, formojnë një sekuencë të barabartë të largët (..., -jo v..., -2co p -co p 0, v 2co, ..., NCOV...) që përmban frekuencën co = 0 dhe ka një hap co t = 2n / 7 '. Koeficientët mund të marrin çdo vlerë.
Shembulli 2.1
Le të llogarisim amplituda dhe spektrat fazor të një sekuence periodike pulsesh drejtkëndëshe me amplitudë β, kohëzgjatje τ dhe një periudhë përsëritjeje T. Funksioni i sinjalit - çift (Fig. 2.13).
Oriz. 2.13.
Zgjidhje
Dihet që një impuls video drejtkëndor ideal përshkruhet nga ekuacioni i mëposhtëm:
ato. është formuar si diferencë ndërmjet dy funksioneve të njësisë a (?) (funksionet e përfshirjes), të zhvendosur në kohë nga të ashtuquajturat.
Një tren me valë katrore është një shumë e njohur e impulseve të vetme:
Meqenëse sinjali i dhënë është një funksion i barabartë i kohës dhe gjatë një periudhe vepron vetëm në intervalin [t dhe / 2, t dhe / 2], atëherë sipas formulës (2.14)
ku q = T/ T". 
Duke analizuar formulën që rezulton, mund të shihni se periudha e përsëritjes dhe kohëzgjatja e pulsit përfshihen në të në formën e një raporti. Ky parametër q - raporti i periudhës me kohëzgjatjen e pulseve - i quajtur cikli i detyrës sekuenca periodike e pulseve (në literaturën e huaj, në vend të ciklit të detyrës, përdoret reciproku - faktori i mbushjes, nga anglishtja, cikli i detyrës e barabartë me m dhe / 7); në q = 2 një sekuencë pulsesh drejtkëndëshe, kur kohëzgjatja e pulseve dhe intervalet ndërmjet tyre bëhen të barabarta, quhen gjarpërues(nga greqishtja paiav5poq - model, stoli gjeometrike).
Për shkak të barazisë së funksionit që përshkruan sinjalin e analizuar, në serinë Fourier, së bashku me komponentin konstant, do të jenë të pranishëm vetëm komponentët kosinus (2.15):
Në anën e djathtë të formulës (2.22), faktori i dytë ka formën e një funksioni elementar (sinx) / x. Në matematikë, ky funksion shënohet si sinc (x), dhe vetëm për vlerën X= 0 është e barabartë me një (lim (sinx / x) = 1), kalon
përmes zeros në pikat x = ± n, ± 2n, ... dhe zbehet me rritjen e argumentit x (Fig. 2.14). Së fundi, seria trigonometrike Furier (2.13), e cila përafron sinjalin e dhënë, shkruhet në formën
Oriz. 2.14. Grafiku i funksionit sinx / x
Funksioni i sinusit ka karakter petal. Duke folur për gjerësinë e petaleve, duhet theksuar se për grafikët e spektrave diskrete të sinjaleve periodike, ekzistojnë dy mundësi për gradimin e boshtit horizontal - në numra harmonikë dhe frekuenca. Për shembull, në Fig. 2.14 diplomimi i ordinatës korrespondon me frekuencat. Gjerësia e lobeve, e matur në numrin e harmonikave, është e barabartë me ciklin e punës të sekuencës. Kjo nënkupton një veti të rëndësishme të spektrit të një sekuence pulsesh drejtkëndëshe - nuk ka harmonikë (zero amplituda) me numra që janë shumëfish të ciklit të punës. Kur cikli i punës është i barabartë me tre, çdo harmonik i tretë zhduket. Nëse cikli i punës do të ishte i barabartë me dy, atëherë vetëm harmonikat teke të frekuencës themelore do të mbeten në spektër.
Nga formula (2.22) dhe Fig. 2.14 rrjedh se koeficientët e një numri harmonikësh më të lartë të sinjalit kanë një shenjë negative. Kjo për faktin se faza fillestare e këtyre harmonikave është P. Prandaj, është zakon të përfaqësohet formula (2.22) në një formë të modifikuar:
Me një regjistrim të tillë të serisë Fourier, vlerat e amplitudave të të gjithë përbërësve më të lartë harmonikë në grafikun e diagramit spektral janë pozitive (Fig. 2.15, a).
Spektri i amplitudës së sinjalit varet kryesisht nga raporti i periudhës së përsëritjes T dhe kohëzgjatja e pulsit m dhe, d.m.th. nga cikli i punës q. Distanca e frekuencës midis harmonikave ngjitur është e barabartë me shkallën e përsëritjes së pulsit me 1 = 2n / T. Gjerësia e lobeve spektrale, e matur në njësi të frekuencës, është e barabartë me 2n / mn, d.m.th. është në përpjesëtim të zhdrejtë me kohëzgjatjen e pulsit. Vini re se për të njëjtën kohëzgjatje pulsi m dhe me një rritje në
Oriz. 2.15.
a- amplituda;b- faza
periudha e përsëritjes së tyre T frekuenca themelore ω zvogëlohet dhe spektri bëhet më i dendur.
E njëjta pamje vërehet nëse kohëzgjatja e pulsit m është e shkurtuar dhe në një periudhë konstante T. Në këtë rast, amplituda e të gjitha harmonikave zvogëlohet. Ky është një manifestim i ligjit të përgjithshëm (parimi i pasigurisë së V. Heisenberg - Parimi i pasigurisë) ', sa më e shkurtër të jetë kohëzgjatja e sinjalit, aq më i gjerë është spektri i tij.
Fazat e komponentëve përcaktohen nga formula cp n = arctan (b n / a n). Që këtu koeficientët B "= 0, atëherë
ku m = 0, 1, 2,....
Lidhja (2.24) tregon se gjatë llogaritjes së fazave të komponentëve spektralë, kemi të bëjmë me pasiguri matematikore. Për ta zbuluar atë, le t'i drejtohemi formulës (2.22), sipas së cilës amplitudat e harmonikëve ndryshojnë periodikisht shenjën në përputhje me ndryshimin në shenjën e funksionit sin (nco 1 x 1I / 2). Një ndryshim në shenjë në formulën (2.22) është i barabartë me një zhvendosje fazore të këtij funksioni me P. Prandaj, kur ky funksion është pozitiv, faza e harmonikut (p u = 2 tp, dhe kur negative - = (2t + 1 ) Për të(Fig. 2.15, b). Vini re se megjithëse amplituda e komponentëve në spektrin e pulseve drejtkëndore zvogëlohet me rritjen e frekuencës (shih Fig. 2.15, a), ky zbërthim është mjaft i ngadalshëm (amplitudat zbehen në mënyrë të kundërt me frekuencën). Për të transmetuar impulse të tilla pa shtrembërim, kërkohet një gjerësi bande e pafundme e kanalit të komunikimit. Për shtrembërime relativisht të pavëmendshme, vlera e ndërprerjes së brezit të frekuencës duhet të jetë shumë herë më e madhe se vlera e kundërt me gjerësinë e pulsit. Sidoqoftë, të gjitha kanalet reale kanë një gjerësi bande të fundme, gjë që çon në shtrembërime në formën e pulseve të transmetuara.
Seritë Furier të sinjaleve periodike arbitrare mund të përmbajnë një numër pafundësisht të madh termash. Gjatë llogaritjes së spektrave të sinjaleve të tilla, llogaritja e shumës së pafundme të serisë Furier shkakton vështirësi të caktuara dhe nuk kërkohet gjithmonë, prandaj, ato janë të kufizuara në përmbledhjen e një numri të fundëm termash (seri është "i cunguar").
Saktësia e përafrimit të sinjalit varet nga numri i komponentëve të përmbledhur. Le ta shqyrtojmë këtë duke përdorur një shembull të përafrimit me shumën e tetë harmonikave të para të një sekuence pulsesh drejtkëndëshe (Fig. 2.16). Sinjali ka formën e një gjarpërimi unipolar me një periudhë përsëritjeje Se amplituda E= 1 dhe kohëzgjatja e pulsit m dhe = T/ 2 (sinjali i dhënë është një funksion i barabartë - Fig. 2.16, a; cikli i detyrës q= 2). Përafrimi është paraqitur në Fig. 2.16, b, dhe grafikët tregojnë numrin e harmonikave të përmbledhura. Në përafrimin e një sinjali periodik të dhënë (shih Fig. 2.13) nga seria trigonometrike (2.13), përmbledhja e harmonikëve të parë dhe më të lartë do të kryhet vetëm mbi koeficientët tek Poo pasi edhe për vlerat e tyre dhe kohëzgjatjen e pulsit m dhe = T/ 2 = = mt / co, vlera sin (mo, T H / 2) = sin (wt / 2) zhduket.
Forma trigonometrike e serisë Furier (2.23) për një sinjal të caktuar ka formën
Oriz. 2.16.
a - sinjal i dhënë; 6 - fazat e ndërmjetme të përmbledhjes
Për lehtësinë e prezantimit, seria Fourier (2.25) mund të shkruhet në një mënyrë të thjeshtuar:
Është e qartë nga formula (2.26) se harmonikët që përafrojnë meanderin janë tek, kanë shenja të alternuara dhe amplituda e tyre është në përpjesëtim të zhdrejtë me numrat. Vini re se një sekuencë pulsesh drejtkëndëshe nuk është e përshtatshme për përfaqësim nga një seri Fourier - përafrimi përmban pulsime dhe kërcime, dhe shuma e çdo numri komponentësh harmonikë me çdo amplitudë do të jetë gjithmonë një funksion i vazhdueshëm. Prandaj, sjellja e serisë Fourier në afërsi të ndërprerjeve është me interes të veçantë. Nga grafikët në Fig. 2.16, b është e lehtë të shihet se si me një rritje të numrit të harmonikëve të përmbledhur, funksioni që rezulton i afrohet gjithnjë e më shumë formës së sinjalit origjinal u (t) kudo, me përjashtim të pikave të thyerjes së tij. Në afërsi të pikave të ndërprerjes, përmbledhja e serisë Furier jep një pjesë të pjerrët, dhe pjerrësia e pjerrësisë së funksionit që rezulton rritet me rritjen e numrit të harmonikave të përmbledhura. Pikërisht në pikën e ndërprerjes (e shënojmë si t = t 0) Seria Furier u (t 0) konvergon në gjysmën e shumës së kufirit të djathtë dhe të majtë:
Në seksionet e kurbës së përafërt ngjitur me thyerjen, shuma e serisë jep pulsime të dukshme, dhe në Fig. 2.16 mund të shihet se amplituda e emetimit kryesor të këtyre pulsimeve nuk zvogëlohet me një rritje të numrit të harmonikëve të përmbledhur - ajo vetëm tkurret horizontalisht, duke iu afruar pikës së ndërprerjes.
Në P-? në pikat e thyerjes, amplituda e nxjerrjes mbetet konstante,
dhe gjerësia e saj do të jetë pafundësisht e ngushtë. Nuk ndryshojnë as amplituda relative e pulsimeve (në raport me amplituda e kërcimit) dhe amplituda relative; ndryshon vetëm frekuenca e valëzimit, e cila përcaktohet nga frekuenca e harmonikave të fundit të përmbledhura. Kjo është për shkak të konvergjencës së serisë Fourier. Le të marrim një shembull klasik: a do të arrini ndonjëherë një mur nëse ecni gjysmën e distancës së mbetur me çdo hap? Hapi i parë do të çojë në gjysmën e rrugës, i dyti në treçerek, dhe pas hapit të pestë do të keni kaluar pothuajse 97% të rrugës. Ju pothuajse e keni arritur qëllimin tuaj, por sado hapa të tjerë të bëni, nuk do ta arrini kurrë atë në kuptimin e rreptë matematikor. Ju mund të provoni vetëm matematikisht se në fund do të jeni në gjendje t'i afroheni çdo distancë të caktuar arbitrarisht të vogël. Kjo provë do të jetë e barabartë me demonstrimin se shuma e numrave është 1 / 2.1 / 4.1 / 8.1 / 16, etj. priret në unitet. Ky fenomen, i natyrshëm në të gjitha seritë Fourier për sinjalet me ndërprerje të llojit të parë (për shembull, kërcimet, si në ballinat e pulseve drejtkëndore), quhet Efekti Gibbs*. Në këtë rast, vlera e pikut të parë (më të madh) të amplitudës në lakoren e përafërt është rreth 9% e nivelit të kërcimit (shih Fig. 2.16, P = 4).
Efekti Gibbs çon në një gabim fatal në përafrimin e sinjaleve periodike të pulsit me ndërprerje të llojit të parë. Efekti ndodh në rast të shkeljeve të mprehta të monotonitetit të funksioneve. Në kërcime, efekti është maksimal; në të gjitha rastet e tjera, amplituda e pulsimeve varet nga natyra e shkeljes së monotonitetit. Për një numër aplikimesh praktike, efekti Gibbs shkakton probleme të caktuara. Për shembull, në sistemet e riprodhimit të zërit, ky fenomen quhet "kumbues" ose "kërcim". Në këtë rast, çdo bashkëtingëllore e mprehtë ose tingull tjetër i papritur mund të shoqërohet nga një tingull i shkurtër i pakëndshëm për veshin.
Seria Fourier mund të aplikohet jo vetëm për sinjale periodike, por edhe për sinjale me kohëzgjatje të kufizuar. Në të njëjtën kohë, koha është negociuar.
intervali, për të cilin është ndërtuar seria Fourier, dhe në raste të tjera sinjali konsiderohet i barabartë me zero. Për të llogaritur koeficientët e një serie, kjo qasje do të thotë vazhdim periodik sinjal jashtë intervalit të konsideruar.
Vini re se natyra (për shembull, dëgjimi i njeriut) përdor parimin e analizës së sinjalit harmonik. Një person kryen një transformim virtual të Furierit sa herë që dëgjon një tingull: veshi e kryen këtë automatikisht, duke e paraqitur tingullin si një spektër vlerash të njëpasnjëshme të zhurmës për tonet me lartësi të ndryshme. Truri i njeriut e konverton këtë informacion në tingull të perceptuar.
Sinteza harmonike. Në teorinë e sinjalit, së bashku me analizën e sinjalit harmonik, sinteza harmonike- marrja e dridhjeve të specifikuara të një forme komplekse duke përmbledhur një sërë përbërësish harmonikë të spektrit të tyre. Në thelb, sinteza e një sekuence periodike të pulseve drejtkëndore nga shuma e një numri harmonike u krye më sipër. Në praktikë, këto operacione kryhen në një kompjuter, siç tregohet në Fig. 2.16, b.
- Jean Baptiste Joseph Fourier (J. B. J. Fourier; 1768-1830) - matematikan dhe fizikan francez.
- Josiah Gibbs (J. Gibbs, 1839-1903) - fizikan dhe matematikan amerikan, një nga themeluesit e termodinamikës kimike dhe fizikës statistikore.
Një sinjal periodik i çdo forme me një periudhë T mund të përfaqësohet si një shumë
lëkundjet harmonike me amplituda dhe faza fillestare të ndryshme, frekuencat e të cilave janë shumëfisha të frekuencës themelore. Harmonika e kësaj frekuence quhet themelore ose e para, pjesa tjetër - harmonikat më të larta.
Forma trigonometrike e serisë Fourier:
,
ku 
- komponent konstant;
- amplituda e komponentëve të kosinusit;
- amplituda e komponentëve sinusoidale.
Sinjali i barabartë ( 
) ka vetëm kosinus, dhe tek ( 
- vetëm terma sinusoidë.
Forma ekuivalente trigonometrike e serisë Fourier është më e përshtatshme:
,
ku 
- komponent konstant;
- amplituda e harmonikës së n-të të sinjalit. Agregati i amplitudave të komponentëve harmonikë quhet spektri i amplitudës;
- faza fillestare e harmonikës së n-të të sinjalit. Tërësia e fazave të komponentëve harmonikë quhet spektri fazor.
Spektri i një sekuence periodike pulsesh drejtkëndëshe. Varësia e spektrit nga periudha e përsëritjes së pulsit dhe kohëzgjatja e tyre. Gjerësia e spektrit. Seria Fourier pppi
Le të llogarisim amplituda dhe spektrat fazor të AEFI që kanë një amplitudë 
, kohëzgjatja 
, periudha në vijim 
dhe ndodhet në mënyrë simetrike rreth origjinës (sinjali është një funksion i barabartë).
Figura 5.1 - Diagrami i kohës AEFI.
Një sinjal në një interval prej një periudhe mund të regjistrohet:
Llogaritjet:
,
Seria Fourier për PPPI është:
Figura 5.2 - Diagrami spektral i amplitudës së AEFI.
Figura 5.3 - Diagrami spektral fazor i AEFI.
Spektri AEFI është linear (diskret) (i përfaqësuar nga një grup linjash spektrale individuale), harmonik (vijat spektrale janë në të njëjtën distancë nga njëra-tjetra ω 1), në rënie (amplitudat e harmonikave zvogëlohen me rritjen e numrit), ka një petal struktura (gjerësia e secilit lob është 2π / τ), e pakufizuar (intervali i frekuencës në të cilin ndodhen linjat spektrale është i pafund);
Në ciklin e punës me numër të plotë, përbërësit e frekuencës me frekuenca që janë shumëfish të ciklit të punës mungojnë në spektër (frekuencat e tyre përkojnë me zerot e mbështjelljes së spektrit të amplitudës);
Me rritjen e ciklit të punës, amplituda e të gjithë komponentëve harmonikë zvogëlohet. Për më tepër, nëse shoqërohet me një rritje të periudhës së përsëritjes T, atëherë spektri bëhet më i dendur (ω 1 zvogëlohet), me një ulje të kohëzgjatjes së pulsit τ - gjerësia e secilit lob bëhet më e madhe;
Gama e frekuencës që përmban 95% të energjisë së sinjalit (e barabartë me gjerësinë e dy lobeve të para të mbështjellësit) merret si gjerësia e spektrit AEFI:
ose 
;
Të gjitha harmonikët e vendosura në një lob mbështjellës kanë të njëjtën fazë, të barabartë me 0 ose π.
Përdorimi i transformimit Furier për analizën e spektrit të sinjaleve jo periodike. Spektri i një impulsi të vetëm drejtkëndor. Transformimet integrale të Furierit
Sinjalet e komunikimit janë gjithmonë të kufizuara në kohë dhe për këtë arsye nuk janë periodike. Ndër sinjalet jo periodike, impulset e vetme (SS) janë me interesin më të madh. OI mund të konsiderohet si një rast kufizues i një sekuence periodike pulsesh (PPI) me një kohëzgjatje 
me një periudhë pafundësisht të madhe të përsëritjes së tyre 
.
Figura 6.1 - PPI dhe OI.
Një sinjal jo periodik mund të përfaqësohet si shuma e një numri pafundësisht të madh lëkundjesh pafundësisht të afërta në frekuencë me amplituda shumë të vogla. Spektri OI është i vazhdueshëm dhe prezantohet nga integralet Fourier:
-
(1) - transformimi i drejtpërdrejtë i Furierit. Ju lejon të gjeni në mënyrë analitike funksionin spektral për një formë të caktuar sinjali;
-
(2) - transformimi i anasjelltë i Furierit. Ju lejon të gjeni në mënyrë analitike formën për një funksion të caktuar spektral të sinjalit.
Forma komplekse e transformimit integral të Furierit(2) jep një paraqitje spektrale të dyanshme (me frekuenca negative) të një sinjali jo periodik 
si një shumë e dridhjeve harmonike 
me amplituda komplekse pafundësisht të vogla 
frekuencat e të cilit mbushin vazhdimisht të gjithë boshtin e frekuencës.
Dendësia komplekse spektrale e një sinjali është një funksion kompleks i frekuencës, duke bartur në të njëjtën kohë informacion si për amplituda ashtu edhe për fazën e harmonikave elementare.
Moduli i densitetit spektral quhet densitet spektral i amplitudave. Mund të konsiderohet si përgjigja e frekuencës së spektrit të vazhdueshëm të një sinjali jo periodik.
Argumenti i densitetit spektral 
quhet dendësia spektrale e fazave. Mund të konsiderohet si karakteristikë e frekuencës fazore të spektrit të vazhdueshëm të një sinjali jo periodik.
Le të transformojmë formulën (2):
Forma trigonometrike e transformimit integral të Furierit jep një paraqitje spektrale njëkahëshe (pa frekuenca negative) të një sinjali jo periodik:
.
Në shekullin e kaluar, Ivan Bernoulli, Leonard Euler dhe më pas Jean-Baptiste Fourier ishin të parët që përdorën paraqitjen e funksioneve periodike me seri trigonometrike. Kjo pikëpamje është studiuar me detaje të mjaftueshme në kurse të tjera, kështu që ne kujtojmë vetëm marrëdhëniet dhe përkufizimet bazë.
Siç u përmend më lart, çdo funksion periodik u (t) për të cilat barazia u (t) = u (t + T) , ku T = 1 / F = 2p / W , mund të përfaqësohet nga një seri Fourier:
Çdo term në këtë seri mund të zgjerohet duke përdorur formulën e kosinusit për ndryshimin midis dy këndeve dhe të përfaqësohet si dy terma:
,
ku: A n = C n cosφ n, B n = C n sinφ n
, kështu që 
, a 
Shanset Një n dhe Në n përcaktohen nga formula e Euler-it:
; 
.
Në n = 0 :
a B 0 = 0.
Shanset Një n dhe Në n , janë vlerat mesatare të produktit të funksionit u (t) dhe lëkundjet harmonike me frekuencë nw në një interval kohëzgjatjeje T ... Ne tashmë e dimë (Seksioni 2.5) se këto janë funksione të ndërlidhura që përcaktojnë masën e marrëdhënies së tyre. Prandaj, koeficientët Një n dhe B n na tregoni "sa" sinusoidë ose kosinus me frekuencë nP të përfshira në këtë funksion u (t) , i zgjeruar në një seri Fourier.
Kështu, ne mund të përfaqësojmë funksionin periodik u (t)
si shumë dridhjesh harmonike, ku numrat C n
janë amplituda, dhe numrat φ n
- fazat. Zakonisht në letërsi 
quhet spektri i amplitudave dhe 
- spektri i fazave. Shpesh merret parasysh vetëm spektri i amplitudave, i cili përshkruhet si linja të vendosura në pika nP
në boshtin e frekuencës dhe që ka një lartësi që korrespondon me numrin C n
... Sidoqoftë, duhet të mbahet mend se për të marrë një korrespondencë një-për-një midis funksionit të përkohshëm u (t)
dhe spektri i tij, është e nevojshme të përdoret si spektri i amplitudës ashtu edhe spektri fazor. Kjo mund të shihet nga një shembull kaq i thjeshtë. Sinjalet do të kenë të njëjtin spektër amplitudë, por funksione të përkohshme krejtësisht të ndryshme.
Një spektër diskret mund të ketë jo vetëm një funksion periodik. Për shembull, sinjali: nuk është periodik, por ka një spektër diskret të përbërë nga dy linja spektrale. Gjithashtu, nuk do të ketë një sinjal rreptësisht periodik që përbëhet nga një sekuencë pulsesh radio (pulse me mbushje me frekuencë të lartë), në të cilën periudha e përsëritjes është konstante, por faza fillestare e mbushjes me frekuencë të lartë ndryshon nga pulsi në puls sipas për ndonjë ligj. Sinjale të tilla quhen pothuajse periodike. Siç do të shohim më vonë, ato gjithashtu kanë një spektër diskret. Hetimin e natyrës fizike të spektrave të sinjaleve të tilla, do ta kryejmë në të njëjtën mënyrë si për ato periodike.
Sinjali quhet periodike nëse forma e tij përsëritet në mënyrë ciklike në kohë. Një sinjal periodik në përgjithësi shkruhet si më poshtë:
Këtu është periudha e sinjalit. Sinjalet periodike mund të jenë të thjeshta ose komplekse.
Për paraqitjen matematikore të sinjaleve periodike me një periodë, shpesh përdoret kjo seri, në të cilën lëkundjet harmonike (sinusoidale dhe kosinusike) të frekuencave të shumta zgjidhen si funksione bazë:
ku . është frekuenca këndore themelore e sekuencës së funksioneve. Me funksionet e bazës harmonike, nga kjo seri marrim një seri Fourier, e cila në rastin më të thjeshtë mund të shkruhet në formën e mëposhtme:
ku koeficientët
Nga seria Fourier mund të shihet se, në rastin e përgjithshëm, një sinjal periodik përmban një komponent konstante dhe një grup lëkundjesh harmonike të frekuencës themelore dhe harmonikave të saj me frekuencat. Çdo lëkundje harmonike e serisë Fourier karakterizohet nga një amplitudë dhe një fazë fillestare.
Diagrami spektral dhe spektri i një sinjali periodik.
Nëse ndonjë sinjal paraqitet si një shumë e lëkundjeve harmonike me frekuenca të ndryshme, atëherë kjo do të thotë se zbërthimi spektral sinjal.
Diagrami spektral sinjali është një paraqitje grafike e koeficientëve të serisë Fourier të këtij sinjali. Ka diagrame amplitudë dhe fazore. Për të ndërtuar këto diagrame, frekuencat harmonike vizatohen në një shkallë të caktuar përgjatë boshtit horizontal dhe amplituda dhe fazat e tyre vizatohen përgjatë boshtit vertikal. Për më tepër, amplituda e harmonikës mund të marrë vetëm vlera pozitive, fazat - si vlera pozitive ashtu edhe negative në interval.
Diagramet spektrale të një sinjali periodik:
a) - amplituda; b) - faza.
Spektri i sinjalitështë një grup përbërësish harmonikë me vlera specifike të frekuencave, amplitudave dhe fazave fillestare, të cilat së bashku formojnë një sinjal. Në praktikë, diagramet spektrale quhen më koncize - spektri i amplitudës, spektri fazor... Interesi më i madh tregohet në diagramin spektral të amplitudës. Mund të përdoret për të vlerësuar përqindjen e harmonikëve në spektër.
Karakteristikat spektrale luajnë një rol të rëndësishëm në teknologjinë e telekomunikacionit. Duke ditur spektrin e sinjalit, mund të llogarisni dhe vendosni saktë gjerësinë e brezit të amplifikatorëve, filtrave, kabllove dhe nyjeve të tjera të kanaleve të komunikimit. Njohja e spektrave të sinjalit është e nevojshme për ndërtimin e sistemeve shumëkanale me multipleksim të ndarjes së frekuencës. Pa njohuri për spektrin e ndërhyrjes, është e vështirë të merren masa për ta shtypur atë.
Nga kjo mund të konkludojmë se spektri duhet të jetë i njohur për të kryer transmetimin e sinjalit të pashtrembëruar mbi kanalin e komunikimit, për të siguruar ndarjen e sinjalit dhe për të zbutur interferencat.
Për të vëzhguar spektrat e sinjaleve, ekzistojnë pajisje të quajtura analizuesit e spektrit... Ato lejojnë vëzhgimin dhe matjen e parametrave të përbërësve individualë të spektrit të një sinjali periodik, si dhe matjen e densitetit spektral të një sinjali të vazhdueshëm.
