Transformimet elementare të matricës gjejnë zbatim të gjerë në problema të ndryshme matematikore. Për shembull, ato përbëjnë bazën e metodës së njohur të Gausit (metoda e eliminimit të të panjohurave) për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare.
Transformimet elementare përfshijnë:
1) ndërrimi i dy rreshtave (kolonave);
2) shumëzimi i të gjithë elementëve të një rreshti (kolone) të një matrice me një numër që nuk është i barabartë me zero;
3) shtimi i dy rreshtave (kolonave) të matricës, shumëzuar me të njëjtin numër jozero.
Të dy matricat quhen ekuivalente nëse njëri prej tyre mund të merret nga tjetri pas një numri të kufizuar shndërrimesh elementare. Në rastin e përgjithshëm, matricat ekuivalente nuk janë të barabarta, por kanë të njëjtën rang.
Llogaritja e përcaktorëve duke përdorur transformimet elementare
Duke përdorur transformimet elementare, është e lehtë të llogaritet përcaktori i një matrice. Për shembull, ju duhet të llogarisni përcaktuesin e një matrice:
Atëherë mund të hiqni faktorin:
tani, duke zbritur nga elementet j kolona e th, elementet përkatëse të kolonës së parë, shumëzuar me, marrim përcaktorin:
që është: ku
Pastaj përsërisim të njëjtat hapa për dhe, nëse të gjithë elementët, atëherë më në fund marrim:
Nëse për ndonjë përcaktues të ndërmjetëm rezulton se elementi i tij lart majtas, atëherë është e nevojshme të riorganizoni rreshtat ose kolonat në atë mënyrë që elementi i ri lart majtas të mos jetë i barabartë me zero. Nëse Δ ≠ 0, atëherë kjo mund të bëhet gjithmonë. Duhet të kihet parasysh se shenja e përcaktuesit ndryshon në varësi të cilit element është kryesori (d.m.th., kur matrica transformohet në atë mënyrë). Atëherë shenja e përcaktorit përkatës është.
SHEMBULL Duke përdorur transformimet elementare, zvogëloni matricën
në një pamje trekëndore.
Zgjidhja Së pari, ne shumëzojmë rreshtin e parë të matricës me 4, dhe të dytën me (–1) dhe shtojmë rreshtin e parë me të dytin:
Tani le të shumëzojmë rreshtin e parë me 6, dhe të tretën me (–1) dhe të shtojmë rreshtin e parë me të tretën:
Së fundi, shumëzojeni rreshtin e dytë me 2, dhe të 3-tin me (–9) dhe shtoni rreshtin e dytë me të tretën:
Rezultati është një matricë trekëndore e sipërme
Shembull. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur aparatin e matricës:
Zgjidhje. Le ta shkruajmë këtë sistem ekuacionesh lineare në formë matrice:
Zgjidhja e këtij sistemi të ekuacioneve lineare në formë matrice është:
ku është matrica e anasjelltë me matricën A.
Përcaktues i matricës së koeficientit Aështë e barabartë me:
pra matrica A ka një matricë të anasjelltë.
2. Maltsev A.I. Bazat e Algjebrës Lineare. - M .: Nauka, 1975 .-- 400 f.
3. Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Një udhëzues për matematikën për inxhinierë dhe studentë të kolegjeve teknike. - Moskë: Nauka, 1986 .-- 544 f.
Transformimet elementare të matricës janë shndërrime të tilla të matricës si rezultat i të cilave ruhet ekuivalenca e matricave. Kështu, shndërrimet elementare nuk e ndryshojnë grupin e zgjidhjeve të sistemit të ekuacioneve algjebrike lineare që përfaqëson kjo matricë.
Transformimet elementare përdoren në metodën Gaussian për të sjellë një matricë në një formë trekëndore ose me shkallë.
Përkufizimi
Konvertimet elementare të vargut quajtur:
Në disa kurse të algjebrës lineare, ndërrimi i rreshtave të matricës nuk ndahet në një transformim elementar të veçantë për shkak të faktit se ndërrimi i çdo dy rreshti të matricës mund të merret duke shumëzuar çdo rresht të matricës me një konstante dhe duke shtuar në çdo rresht i matricës një rresht tjetër i shumëzuar me një konstante,.
Në mënyrë të ngjashme, transformimet elementare të kolonës.
Transformimet elementare e kthyeshme.
Emërtimi tregon se matrica mund të merret nga transformimet elementare (ose anasjelltas).
Vetitë
Invarianca e renditjes nën transformimet elementare
Ekuivalenca e SLAE-ve nën Transformimet Elementare
Le të thërrasim transformimet elementare mbi sistemin e ekuacioneve algjebrike lineare :- rirregullimi i ekuacioneve;
- shumëzimi i një ekuacioni me një konstante jozero;
- shtimi i një ekuacioni në një tjetër shumëzuar me disa konstante.
Gjetja e matricave të anasjellta
| Teorema (për gjetjen e matricës së kundërt). Lëreni që përcaktori i matricës të mos jetë i barabartë me zero, le të përcaktohet matrica nga shprehja. Pastaj, me një transformim elementar të rreshtave të matricës në matricën e identitetit në përbërje, transformimi në ndodh njëkohësisht. |
Reduktimi i matricave në një formë të shkallëzuar
Le të prezantojmë konceptin e matricave me shkallë: Matrica ka pamje me shkallë , nëse: Atëherë pohimi i mëposhtëm është i vërtetë:Përkufizime të ngjashme
Matrica elementare. Matrica A është elementare nëse shumëzimi i një matrice arbitrare B me të çon në transformime elementare të rreshtave në matricën B.
Letërsia
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Algjebra lineare: Libër shkollor universitar... - Botimi i 6-të, Fshirë. - M .: FIZMATLIT, 2004 .-- 280 f.
Fondacioni Wikimedia. 2010.
Shihni se çfarë janë "Transformimet e matricës elementare" në fjalorë të tjerë:
Prezantimi. Eh, në kuptimin e saktë të këtij termi janë pjesët primare, të mëtejshme të pazbërthyeshme, nga të cilat, sipas supozimit, përbëhet e gjithë lënda. Në moderne fizikë, termi “E. h." zakonisht përdoret jo në kuptimin e tij të saktë, por më pak rreptësisht për emrin ... ... Enciklopedi fizike
Prezantimi. E. h. Në kuptimin e saktë të këtij termi janë grimcat primare, të mëtejshme të pazbërthyeshme, nga të cilat, sipas supozimit, përbëhet e gjithë lënda. Në konceptin e “E. h." në fizikën moderne gjen shprehje ideja e esencave primitive, ... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike
Ky term ka kuptime të tjera, shih Matricën. Matrica është një objekt matematikor i shkruar në formën e një tabele drejtkëndore të elementeve të një unaze ose fushe (për shembull, numra të plotë, numra realë ose kompleksë), i cili përfaqëson ... ... Wikipedia
Matrica është një objekt matematikor i shkruar në formën e një tabele drejtkëndore të numrave (ose elementeve të unazave) dhe që lejon veprime algjebrike (mbledhje, zbritje, shumëzim, etj.) ndërmjet saj dhe objekteve të tjera të ngjashme. Rregullat e ekzekutimit ... ... Wikipedia
Matrica është një objekt matematikor i shkruar në formën e një tabele drejtkëndore të numrave (ose elementeve të unazave) dhe që lejon veprime algjebrike (mbledhje, zbritje, shumëzim, etj.) ndërmjet saj dhe objekteve të tjera të ngjashme. Rregullat e ekzekutimit ... ... Wikipedia
Matrica është një objekt matematikor i shkruar në formën e një tabele drejtkëndore të numrave (ose elementeve të unazave) dhe që lejon veprime algjebrike (mbledhje, zbritje, shumëzim, etj.) ndërmjet saj dhe objekteve të tjera të ngjashme. Rregullat e ekzekutimit ... ... Wikipedia
Matrica është një objekt matematikor i shkruar në formën e një tabele drejtkëndore të numrave (ose elementeve të unazave) dhe që lejon veprime algjebrike (mbledhje, zbritje, shumëzim, etj.) ndërmjet saj dhe objekteve të tjera të ngjashme. Rregullat e ekzekutimit ... ... Wikipedia
Matrica është një objekt matematikor i shkruar në formën e një tabele drejtkëndore të numrave (ose elementeve të unazave) dhe që lejon veprime algjebrike (mbledhje, zbritje, shumëzim, etj.) ndërmjet saj dhe objekteve të tjera të ngjashme. Rregullat e ekzekutimit ... ... Wikipedia
Transformimet elementare të matricës janë shndërrime të tilla të matricës si rezultat i të cilave ruhet ekuivalenca e matricave. Kështu, shndërrimet elementare nuk e ndryshojnë grupin e zgjidhjeve të sistemit të ekuacioneve algjebrike lineare që përfaqëson kjo matricë.
Transformimet elementare përdoren në metodën Gaussian për të sjellë një matricë në një formë trekëndore ose me shkallë.
Përkufizimi
Konvertimet elementare të vargut quajtur:
Në disa kurse të algjebrës lineare, ndërrimi i rreshtave të matricës nuk ndahet në një transformim elementar të veçantë për shkak të faktit se ndërrimi i çdo dy rreshti të matricës mund të merret duke shumëzuar çdo rresht të matricës me një konstante. k (\ stili i ekranit k), dhe duke i shtuar çdo rreshti të matricës një rresht tjetër të shumëzuar me konstanten k (\ stili i ekranit k), k ≠ 0 (\ stili i ekranit k \ neq 0).
Në mënyrë të ngjashme, transformimet elementare të kolonës.
Transformimet elementare e kthyeshme.
Emërtimi tregon se matrica A (\ stili i ekranit A) mund të merret nga B (\ stili i ekranit B) nga shndërrimet elementare (ose anasjelltas).
Vetitë
Invarianca e renditjes nën transformimet elementare
| Teorema (mbi pandryshueshmërinë e rangut nën transformimet elementare). Nëse A ∼ B (\ stili i ekranit A \ sim B), pastaj r a n g A = r a n g B (\ stili i ekranit \ mathrm (rang) A = \ mathrm (rang) B). |
Ekuivalenca e SLAE-ve nën Transformimet Elementare
Le të thërrasim transformimet elementare mbi sistemin e ekuacioneve algjebrike lineare :- rirregullimi i ekuacioneve;
- shumëzimi i një ekuacioni me një konstante jozero;
- shtimi i një ekuacioni në një tjetër shumëzuar me disa konstante.
Gjetja e matricave të anasjellta
| Teorema (për gjetjen e matricës së kundërt). Le të përcaktorin e matricës A n × n (\ stili i shfaqjes A_ (n \ herë n)) nuk është e barabartë me zero, le të matricës B (\ stili i ekranit B) të përcaktuara nga shprehja B = [A | E] n × 2 n (\ stili i shfaqjes B = _ (n \ herë 2n))... Pastaj, me një transformim elementar të rreshtave të matricës A (\ stili i ekranit A) te matrica e identitetit E (\ stili i ekranit E) si pjese e B (\ stili i ekranit B) duke u transformuar në të njëjtën kohë E (\ stili i ekranit E) për të A - 1 (\ stili i shfaqjes A ^ (- 1)). |
Tre operacionet e ardhshme quhen transformimet elementare të rreshtave të matricës:
1) Shumëzimi i rreshtit të i-të të matricës me numrin λ ≠ 0:
të cilin do ta shkruajmë në formën (i) → λ (i).
2) Ndërrimi i dy rreshtave në matricë, për shembull rreshtat i-të dhe k-të:
të cilin do ta shkruajmë në formën (i) ↔ (k).
3) Shtimi i rreshtit të i-të të matricës së rreshtit të tij k-të me koeficientin λ:
të cilin do ta shkruajmë në formën (i) → (i) + λ (k).
Veprime të ngjashme në kolonat e një matrice quhen transformimet elementare të kolonës.
Çdo transformim elementar i rreshtave ose kolonave të një matrice ka transformimi elementar i anasjelltë, e cila e kthen matricën e transformuar në atë origjinale. Për shembull, transformimi i anasjelltë për një ndërrim të dy vargjeve është që të ndërrohen të njëjtat vargje.
Çdo transformim elementar i rreshtave (kolonave) të matricës A mund të interpretohet si shumëzim i A në të majtë (djathtas) me një matricë të një lloji të veçantë. Kjo matricë merret nëse i njëjti transformim kryhet përsëri matricë njësi... Le të hedhim një vështrim më të afërt në transformimet elementare të vargut.
Le të fitohet matrica B duke shumëzuar rreshtin e i të matricës m × n A me numrin λ ≠ 0. Atëherë B = Е i (λ) А, ku matrica Е i (λ) fitohet nga matrica e identitetit E. i rendit m duke shumëzuar rreshtin i-të të tij me numrin λ.
Le të fitohet matrica B si rezultat i ndërrimit të rreshtave i-të dhe k-të të matricës A të tipit m × n. Pastaj B = F ik A, ku matrica F ik përftohet nga matrica identitare E e rendit m duke ndërruar rreshtat i-të dhe k-të të saj.
Le të fitohet matrica B duke i shtuar rreshtit i-të të matricës m × n A rreshtin e saj k-të me koeficientin λ. Atëherë B = G ik (λ) А, ku matrica G ik fitohet nga matrica identitare E e rendit m si rezultat i shtimit të rreshtit të k-të me koeficient λ në rreshtin i-të, d.m.th. në kryqëzimin e rreshtit të i-të dhe kolonës k-të të matricës E, elementi zero zëvendësohet me numrin λ.
Transformimet elementare të kolonave të matricës A zbatohen në të njëjtën mënyrë, por në të njëjtën kohë shumëzohen me matrica të një lloji të veçantë jo në të majtë, por në të djathtë.
Duke përdorur algoritme që bazohen në transformimet elementare të rreshtave dhe kolonave, matricat mund të shndërrohen në forma të ndryshme. Një nga algoritmet më të rëndësishme të tilla formon bazën e vërtetimit të teoremës së mëposhtme.
Teorema 10.1. Duke përdorur transformimet elementare të rreshtave, çdo matricë mund të reduktohet në pamje me shkallë.
◄ Vërtetimi i teoremës konsiston në ndërtimin e një algoritmi specifik për reduktimin e matricës në një formë hap pas hapi. Ky algoritëm konsiston në përsëritje të shumta në një rend të caktuar prej tre operacionesh të lidhura me ndonjë element aktual të matricës, i cili zgjidhet në bazë të vendndodhjes në matricë. Në hapin e parë të algoritmit, ne zgjedhim atë majtas sipër si element aktual i matricës, d.m.th. [A] 11.
një*. Nëse elementi aktual është zero, shkoni te operacioni 2 *. Nëse nuk është e barabartë me zero, atëherë rreshti në të cilin ndodhet elementi aktual (rreshti aktual) shtohet me koeficientët përkatës në rreshtat më poshtë, në mënyrë që të gjithë elementët e matricës në kolonën poshtë elementit aktual të bëhen zero. Për shembull, nëse elementi aktual është [A] ij, atëherë si koeficient për rreshtin e k-të, k = i + 1, ..., duhet të marrim numrin - [A] kj / [A] ij. Ne zgjedhim elementin e ri aktual, duke zhvendosur në matricë një kolonë në të djathtë dhe një rresht poshtë, dhe vazhdojmë në hapin tjetër, duke përsëritur operacionin 1 *. Nëse një zhvendosje e tillë nuk është e mundur, d.m.th. arrihet kolona ose rreshti i fundit, ne ndalojmë konvertimin.
2 *. Nëse elementi aktual në ndonjë rresht të matricës është i barabartë me zero, atëherë ne shikojmë përmes elementeve të matricës të vendosura në kolonën poshtë elementit aktual. Nëse nuk ka midis tyre jozero, shkoni te operacioni 3 *. Le të ketë një element jozero në vijën k-të nën elementin aktual. Ne ndërrojmë linjat aktuale dhe k-të dhe kthehemi në funksionimin 1 *.
3 *. Nëse elementi aktual dhe të gjithë elementët poshtë tij (në të njëjtën kolonë) janë të barabartë me zero, ne ndryshojmë elementin aktual, duke zhvendosur një kolonë djathtas në matricë. Nëse një kompensim i tillë është i mundur, domethënë, elementi aktual nuk është në kolonën më të djathtë të matricës, atëherë ne përsërisim operacionin 1 *. Nëse tashmë kemi arritur skajin e djathtë të matricës dhe ndryshimi i elementit aktual është i pamundur, atëherë matrica ka një formë shkallëzore dhe ne mund të ndalojmë transformimet.
Meqenëse matrica është e fundme dimensionet, dhe në një hap të algoritmit, pozicioni i elementit aktual zhvendoset në të djathtë me të paktën një kolonë, procesi i transformimit do të përfundojë dhe në jo më shumë se n hapa (n është numri i kolonave në matricë) . Kjo do të thotë se do të vijë momenti kur matrica do të ketë një formë të shkallëzuar.
Shembull 10.10. Ne e transformojmë matricën 
në një pamje të shkallëzuar duke përdorur transformimet elementare të vargut.
Duke përdorur algoritmin nga vërtetimi i Teoremës 10.1 dhe duke shkruar matricat pas përfundimit të veprimeve të saj, marrim
Transformimet elementare të matricës përfshijnë:
1. Ndryshimi i renditjes së rreshtave (kolonave).
2. Hedhja e rreshtave (kolonave) zero.
3. Shumëzimi i elementeve të çdo rreshti (kolone) me një numër.
4. Shtimi i elementeve të çdo rreshti (kolone) elementesh të një rreshti (kolone) tjetër, të shumëzuar me një numër.
Sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare (Konceptet dhe përkufizimet bazë).
1. Sistemi m ekuacionet lineare me n quhet i panjohur sistemi i ekuacioneve të formës:
2.Vendimi sistemi i ekuacioneve (1) quhet bashkësia e numrave x 1 , x 2 , ..., x n , duke konvertuar çdo ekuacion të sistemit në identitet.
3. Sistemi i ekuacioneve (1) quhet të përbashkët nëse ka të paktën një zgjidhje; nëse sistemi nuk ka zgjidhje, quhet jokonsistente.
4. Sistemi i ekuacioneve (1) quhet Siguri nëse ka vetëm një zgjidhje, dhe të papërcaktuara nëse ajo ka më shumë se një zgjidhje.
5. Si rezultat i transformimeve elementare, sistemi (1) shndërrohet në një sistem ekuivalent me të (d.m.th., ka të njëjtin grup zgjidhjesh).
Tek transformimet elementare sistemet e ekuacioneve lineare përfshijnë:
1. Heqja e linjave të pavlefshme.
2. Ndryshimi i renditjes së rreshtave.
3. Shtimi i elementeve të çdo rreshti të elementeve të një rreshti tjetër, të shumëzuar me një numër.
Metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.
1) Metoda e matricës së kundërt (metoda e matricës) për zgjidhjen e sistemeve të n ekuacioneve lineare me n të panjohura.
Sistemi n ekuacionet lineare me n quhet i panjohur sistemi i ekuacioneve të formës:
Le të shkruajmë sistemin (2) në formë matrice, për këtë prezantojmë shënimin.
Matrica e koeficientit para variablave:
X = është një matricë e variablave.
В = - matrica e anëtarëve të lirë.
Atëherë sistemi (2) do të marrë formën:
A× X = B- ekuacioni matricor.
Pasi kemi zgjidhur ekuacionin, marrim:
X = A -1 × B
Shembull:
;
;
1) │А│ = 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4 0 matrica А -1 ekziston.
3)
Ã
=
4) A -1 = × Ã = 
;
X = A -1 × B 
Përgjigje:
2) Rregulla e Kramerit për zgjidhjen e sistemeve të n - ekuacioneve lineare me n - të panjohura.
Konsideroni një sistem prej 2 ekuacionesh lineare me 2 të panjohura:
Le ta zgjidhim këtë sistem duke përdorur metodën e zëvendësimit:
Nga ekuacioni i parë vijon:
Duke zëvendësuar në ekuacionin e dytë, marrim:
Ne e zëvendësojmë vlerën në formulën për, marrim:
Përcaktor Δ - përcaktor i matricës së sistemit;
Δ x 1 - përcaktor i ndryshueshëm x 1 ;
Δ x 2 - përcaktor i ndryshueshëm x 2 ;
Formulat:
x 1 =;x 2 =;…,x n =;Δ 0;
- quhen nga formulat Cramer.
Gjatë gjetjes së përcaktorëve të të panjohurave X 1 , X 2 ,…, X n kolona e koeficientëve për variablin, përcaktori i së cilës gjendet, zëvendësohet me kolonën e anëtarëve të lirë.
Shembull: Zgjidh një sistem ekuacionesh me metodën e Cramer-it
Zgjidhja:
Së pari, le të përpilojmë dhe llogarisim përcaktuesin kryesor të këtij sistemi:
Meqenëse Δ ≠ 0, sistemi ka një zgjidhje unike që mund të gjendet nga rregulli i Cramer-it:
ku Δ 1, Δ 2, Δ 3 fitohen nga përcaktorja Δ duke zëvendësuar përkatësisht kolonat 1, 2 ose 3 me kolonën e termave të lirë.
Në këtë mënyrë:
Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.
Konsideroni sistemin:
Matrica e zgjeruar e sistemit (1) është një matricë e formës:
Metoda e GausitËshtë një metodë e eliminimit të njëpasnjëshëm të të panjohurave nga ekuacionet e sistemit, duke filluar nga ekuacioni i dytë me m- ekuacioni i th.
Në këtë rast, me transformime elementare, matrica e sistemit reduktohet në një trekëndësh (nëse m = n dhe përcaktor i sistemit ≠ 0) ose hap pas hapi (nëse m< n ) formë.
Pastaj, duke u nisur nga ekuacioni i fundit sipas numrit, gjenden të gjitha të panjohurat.
Algoritmi i metodës Gaussian:
1) Krijoni një matricë të zgjeruar të sistemit, duke përfshirë një kolonë anëtarësh të lirë.
2) Nëse a 11 0, atëherë rreshti i parë ndahet me a 11 dhe shumëzojeni me (- a 21) dhe shtoni rreshtin e dytë. Në mënyrë të ngjashme, arrini m- Linja e saj:
Faqja I ndahet me a 11 dhe shumëzojeni me (- a m 1) dhe shtoni m- th fq.
Në këtë rast, nga ekuacionet, duke filluar nga e dyta në m- pra variabli është i përjashtuar x 1 .
3) Në hapin e tretë, rreshti i dytë përdoret për transformime të ngjashme elementare të rreshtave nga 3 në m- thuyu. Kjo do të përjashtojë variablin x 2 duke filluar nga rreshti i 3-të në m- thuyu, etj.
Si rezultat i këtyre transformimeve, sistemi do të reduktohet në një formë trekëndore ose shkallëzore (në rastin e një forme trekëndore, nën zerot kryesore diagonale).
Reduktimi i sistemit në një formë trekëndore ose me shkallë quhet me rrjedhën e drejtpërdrejtë të metodës së Gausit, dhe gjetja e të panjohurave nga sistemi që rezulton quhet e kundërta.
Shembull:
Kursi i drejtpërdrejtë. Le të japim një matricë të zgjeruar të sistemit
me ndihmën e shndërrimeve elementare në një formë hap pas hapi. Riorganizoni rreshtat e parë dhe të dytë të matricës A b, marrim matricën:
Le të shtojmë rreshtin e dytë të matricës që rezulton me të parën të shumëzuar me (‒2), dhe rreshtin e tretë të tij - me rreshtin e parë të shumëzuar me (‒7). Ne marrim matricën
Në rreshtin e tretë të matricës që rezulton, shtoni rreshtin e dytë të shumëzuar me (‒3), si rezultat i së cilës marrim një matricë të shkallëzuar
Kështu, ne e kemi sjellë këtë sistem ekuacionesh në një formë hap pas hapi:
,
Lëvizja e kundërt. Duke u nisur nga ekuacioni i fundit i sistemit të marrë hap pas hapi të ekuacioneve, gjejmë në mënyrë të njëpasnjëshme vlerat e të panjohurave:
