Për të rikthyer sinjalin e vazhdueshëm origjinal nga ai i kampionuar me shtrembërime (gabime) të vogla, është e nevojshme të zgjidhni në mënyrë racionale hapin e kampionimit. Prandaj, kur konvertohet një sinjal analog në një diskret, lind domosdoshmërisht pyetja në lidhje me madhësinë e hapit të kampionimit. Ideja e mëposhtme nuk është e vështirë për t'u kuptuar në mënyrë intuitive. Nëse sinjal analog ka një spektër me frekuencë të ulët të kufizuar nga një frekuencë e caktuar e sipërme F e, (d.m.th. funksion u(t) ka formën e një kurbë që ndryshon pa probleme, pa ndryshime të mprehta në amplitudë), atëherë nuk ka gjasa që gjatë një intervali të vogël kohor të kampionimit ky funksion të ndryshojë ndjeshëm në amplitudë. Është mjaft e qartë se saktësia e rindërtimit të një sinjali analog nga sekuenca e mostrave të tij varet nga madhësia e intervalit të marrjes së mostrave. Sa më i shkurtër të jetë, aq më pak funksioni u(t) do të ndryshojë nga një kurbë e lëmuar që kalon nëpër pikat e referencës. Megjithatë, me zvogëlimin e intervalit të marrjes së mostrave, kompleksiteti dhe vëllimi i pajisjeve të përpunimit rritet ndjeshëm. Nëse intervali i marrjes së mostrave është mjaft i madh, gjasat e shtrembërimit ose humbjes së informacionit gjatë rindërtimit të një sinjali analog rritet.

Vlera optimale e intervalit të kampionimit përcaktohet nga teorema e Kotelnikovit (emrat e tjerë janë teorema e kampionimit, teorema e K. Shannon, teorema e X. Nyquist: teorema u zbulua fillimisht në matematikën e O. Cauchy, dhe më pas u përshkrua përsëri nga D. Carson dhe R. Hartley), e vërtetuar prej tij në 1933, teorema e V. A. Kotelnikov ka një rëndësi të rëndësishme teorike dhe praktike: bën të mundur marrjen e saktë të një sinjali analog dhe përcakton mënyrën optimale për ta rikthyer atë në fundin marrës nga vlerat e mostrës.

Fig. 14.1. Përfaqësimi i densitetit spektral

Sipas një prej interpretimeve më të famshme dhe të thjeshta të teoremës së Kotelnikov, një sinjal arbitrar u(t), spektri i të cilit është i kufizuar nga një frekuencë e caktuar F e mund - të rikthehet plotësisht sipas renditjes së vlerave të tij të referencës, duke ndjekur me një interval kohor

Intervali dhe frekuenca e marrjes së mostrave F e(1) në inxhinierinë radio shpesh quhen respektivisht intervali dhe frekuenca Nyquist. Në mënyrë analitike, teorema e Kotelnikov është paraqitur pranë

(2)

ku k është numri i mostrës; - vlera e sinjalit në pikat e referencës; - frekuenca e sipërme e spektrit të sinjalit.

Për të vërtetuar teoremën e Kotelnikov, merrni parasysh një sinjal arbitrar të vazhdueshëm u(t), dendësia spektrale e të cilit është e përqendruar në brezin e frekuencës (vija e ngurtë në Fig. 14.1).

Le të plotësojmë mendërisht grafikun e densitetit spektral në mënyrë simetrike me vlera që përsëriten me një pikë (vijat e ndërprera në Fig. 14.1). Ne zgjerojmë funksionin periodik të marrë në këtë mënyrë në një seri Furier, duke e zëvendësuar në formulë

argument t në s, frekuenca (formalisht) P në k. Pastaj

(3)

Duke supozuar se në raport

periudha është , dhe ne shkruajmë intervalin e kampionimit

(4)

Le të përdorim formulën e transformimit të anasjelltë të Furierit dhe të paraqesim sinjalin e vazhdueshëm origjinal në formën e mëposhtme:

(5)

Në të njëjtën mënyrë, ne shkruajmë vlerën e sinjalit të mostrës për një referencë k-të kohe. Sepse koha , Kjo

Duke e krahasuar këtë shprehje me formulën për C k, vërejmë se Duke marrë parasysh këtë marrëdhënie, funksioni spektral (3), pas transformimeve të thjeshta, do të marrë formën:

Pastaj do të bëjmë si më poshtë: do të zëvendësojmë shprehjen në relacion, do të ndryshojmë rendin e integrimit dhe të mbledhjes, do ta paraqesim relacionin si dhe do të llogarisim integralin.

Si rezultat, marrim formulën e mëposhtme:

Nga kjo marrëdhënie rezulton se funksion të vazhdueshëm u(t) me të vërtetë përcaktohet nga grupi i vlerave të saj diskrete të amplitudës në momentet referuese në kohë, gjë që vërteton teoremën e Kotelnikov.

Sinjalet më të thjeshta të formës ortogonale me njëri-tjetrin në intervalin kohor -, quhen funksionet e kampionimit, funksionet bazë ose funksionet Kotelnikov. Grafiku k-të Funksionet e Kotelnikov janë paraqitur në Fig. 2. Secili prej funksioneve bazë s k (t) zhvendosur në lidhje me një funksion të ngjashëm më të afërt s k-1 (t) ose s k+1 (t) për intervalin e kampionimit. Analiza elementare e formulës (10) dhe grafikut në Fig. 14.3 tregon se sinjali s k (t) pasqyrohet

Oriz. 14.2. Orari funksioni bazë Kotelnikova

Fig. 14.3. Përafrimi i një sinjali të vazhdueshëm nga seria Kotelnikov me funksionin sinx/x, i cili karakterizon gjithashtu mbështjellësin e densitetit spektral pulsi drejtkëndor.

Paraqitja (më saktë, përafrimi) i një të dhënë sinjal i vazhdueshëm u(t) në serinë Kotelnikov (2) ilustrohet nga diagramet në Fig. 14.3. grafiku (këtu tregohen funksionet bazë pa argument për thjeshtësi t Katër termat e parë të serisë u ndërtuan, që korrespondojnë me mostrat e sinjalit në kohët 0, 2 dhe 3, të marra në përputhje me teoremën e Kotelnikov. Duke përmbledhur këto terma të serisë në çdo pikë referimi në kohë kDt, sinjali i vazhdueshëm përafrohet absolutisht me saktësi, pavarësisht nga numri i mostrave të zgjedhura. Në intervalin midis çdo kampioni, sinjali u(t) përafrohet më saktë, aq më shumë terma të serisë Kotelnikov (2) përmblidhen.

Le të vlerësojmë mundësinë e zbatimit të teoremës së Kotelnikov në sinjal pulsi u(t) me kohëzgjatje të kufizuar T X. Siç dihet, sinjale të tilla teorikisht kanë pafundësi gamë të gjerë. Sidoqoftë, në praktikë njeriu mund të kufizohet në një frekuencë të caktuar të sipërme F V përtej të cilit spektri përmban një pjesë të papërfillshme të energjisë në krahasim me energjinë e të gjithë sinjalit origjinal. Në inxhinierinë radio, një kriter i tillë është përmbajtja e 90% të fuqisë mesatare të sinjalit brenda spektrit. Në këtë rast, sinjali u(t) me kohëzgjatje T X me frekuencën e kufirit të sipërm të spektrit F V mund të përfaqësohet nga seria e Kotelnikovit me një të caktuar numër i kufizuar numëron

(10)

Këtu është numri i mostrave.

Fig.14.4. Paraqitja e një impulsi drejtkëndor me numërim.

Teorema e Kotelnikovit (teorema e kampionimit)

Problemi i kampionimit të sinjalit spektër të kufizuar i mbuluar gjerësisht në literaturë dhe bazohet në teoremën e Kotelnikovit (teorema e Nyquist-Shannon, ose teorema e kampionimit). Besohet se veprat e para themelore në këtë fushë ishin vepra e V. A. Kotelnikov "On gjerësia e brezit"eteri" dhe teli në telekomunikacion" (1933) dhe artikulli i K. Shannon "Komunikimi në prani të zhurmës" (1949). Artikulli i K. Shannon u shkrua në bazë të veprës së E. T. Uttaker "Funksionet e përfaqësuara nga shtrirja e teorisë së interpolimit" (1915). Problemi i përfaqësimit të një funksioni sipas vlerave individuale dhe rivendosja e tij duke përdorur interpolim filloi të zgjidhej në shekullin e 18-të. në veprat e O. Cauchy, P.-S. Laplace, etj., dhe më vonë u përshkrua përsëri nga D. Carson dhe R. Hartley.

Për të rikthyer sinjalin origjinal të vazhdueshëm nga ai i kampionuar me gabime të vogla, është e nevojshme të zgjidhni në mënyrë racionale hapin e kampionimit. Prandaj, kur konvertohet një sinjal analog në një diskret, lind domosdoshmërisht pyetja në lidhje me madhësinë e hapit të kampionimit Në. Nuk është intuitivisht e vështirë të kuptosh idenë e arsyeshme të mëposhtme. Nëse një sinjal analog ka një spektër me frekuencë të ulët të kufizuar nga një frekuencë e sipërme F B(d.m.th. funksioni u(t) ka formën e një kurbë që ndryshon pa probleme pa ndryshime të mprehta në amplitudë), atëherë nuk ka gjasa në një interval të vogël kohor të kampionimit Në ky funksion mund të ndryshojë ndjeshëm në amplitudë.

Saktësia e rindërtimit të një sinjali analog nga mostrat e tij varet nga intervali i marrjes së mostrave Në. Sa më i shkurtër të jetë, aq më pak do të ndryshojë funksioni u(t) nga kurba që kalon nëpër pikat e referencës. Megjithatë, me një interval në rënie Në kompleksiteti dhe vëllimi i pajisjeve të përpunimit rriten ndjeshëm. Në interval i madh marrjen e mostrave Në gjasat e shtrembërimit ose humbjes së informacionit gjatë rivendosjes së një sinjali analog rritet.

Është vendosur vlera optimale e intervalit të kampionimit Teorema e Kotelnikovit. Sipas një prej interpretimeve më të famshme dhe më të thjeshta të kësaj teoreme sinjal arbitrar u(t), spektri i të cilit është i kufizuar në një frekuencë të caktuar F B mund të rikthehet plotësisht nga sekuenca e vlerave të tij të referencës, duke ndjekur në intervale

Intervali i kampionimit Në dhe frekuencës F d = F n në teorinë e lidhjes ato nganjëherë quhen në përputhje me rrethanat intervali Dhe Frekuenca e Nyquist.

Në mënyrë analitike, teorema e Kotelnikov është paraqitur pranë

Ku k- numri i referencës; u(kAt) - vlerat e sinjalit të vazhdueshëm u(t) në pikat e referencës; me në = 2nF n = k/At - frekuenca e sipërme e spektrit të sinjalit.

Për të vërtetuar teoremën, merrni parasysh një sinjal analog u(f), dendësia spektrale 5(co) e së cilës është e përqendruar në brezin -oo në t në co, frekuenca co t = co në në Në Dhe P në k. Pastaj

Oriz. 6.2. Paraqitja e dendësisë spektrale me një funksion periodik

Duke supozuar në formulën (2.21) periudha është 2со in, dhe intervali i kampionimit Në= l/pra n, marrim

Duke përdorur konvertim i anasjelltë Furier (2.30), ne e shkruajmë sinjalin si

Në të njëjtën mënyrë, ne shkruajmë vlerën e sinjalit të mostrës për disa k-vo numërimin mbrapsht. Sepse t = kAt = kn/ me në, atëherë

Duke e krahasuar këtë formulë me formulën (6.4), vërejmë se C k = Atu(kAt). ME Duke marrë parasysh këtë lidhje, funksioni spektral (6.3) pas transformimeve do të marrë formën

Le ta zëvendësojmë relacionin (6.6) me formulën (6.5), të ndryshojmë rendin e integrimit dhe të përmbledhjes dhe të imagjinojmë n/Në =

Nga kjo formulë del se funksioni i vazhdueshëm u(t) përcaktohet me të vërtetë nga grupi i vlerave të saj diskrete të amplitudës në momentet e referencës kohore t = kAt, që vërteton teoremën e Kotelnikovit. Sinjalet

ortogonale në intervalin [-°°, +°°], quhen funksionet e kampionimit ose funksionon Kotelnikov. Orari k- Funksioni i Kotelnikov është paraqitur në Fig. 6.3. Secili prej funksioneve s k (t) zhvendosur në lidhje me më të afërt s k,(?) ose s k + l (t) për intervalin e kampionimit Në. Analiza e Formulës

(6.7) dhe grafika në Fig. 6.3 tregon se sinjali s k (t) pasqyrohet nga funksioni sinx/xy që karakterizon mbështjellësin e densitetit spektral të një impulsi drejtkëndor.

Oriz. 6.3.

Paraqitja e sinjalit u(t) Seria e Kotelnikov (6.3) është ilustruar nga diagramet në Fig. 6.4. Grafiku paraqet katër termat e parë të serisë, që korrespondojnë me mostrat e sinjalit në momentet 0, Në, 2 në dhe ZD?, të marra në përputhje me teoremën e Kotelnikov. Kur përmbledh këto terma të serisë në çdo moment referimi kAt sinjali i vazhdueshëm rindërtohet absolutisht me saktësi pavarësisht nga numri i mostrave të përzgjedhura. Në intervalin ndërmjet çdo mostre sinjali u(t)është restauruar më saktë, sa më shumë terma të serisë (6.3) janë përmbledhur. Vini re se nuk do të ishte plotësisht e saktë të lidhni mostrat e sinjaleve diskrete në një grafik me vija të drejta, pasi kur rindërtoni një sinjal të vazhdueshëm nga një diskret, përdoren funksione më komplekse interpolimi.

Në praktikë, kjo teoremë ka një rëndësi të madhe. Për shembull, shumica e sinjaleve audio mund të konsiderohen, me një farë shkalle saktësie, si sinjale me spektër të kufizuar. Spektri i tyre është nën 20 kHz. Kjo do të thotë që kur marrim mostra në një frekuencë prej të paktën 40 kHz, atëherë mund të rivendosim pak a shumë saktë sinjalin origjinal audio analog nga mostrat e tij dixhitale.

Oriz. 6.4.

Shembulli 6.1

Sinjali kolona zanore V kanal televiziv kufizuar nga frekuenca e sipërme /„ = 12 kHz. Le të përcaktojmë intervalin Në ndërmjet mostrave, të nevojshme për riprodhimin e pashtrembëruar të sinjalit të kampionuar. Zgjidhje

Përcaktoni intervalin e marrjes së mostrave: Në= 1/(2/ in) = 1/(2 12 -10 ') ~ 42 10 6 s.

Më pas, u propozuan shumë në mënyra të ndryshme përafrimi i sinjaleve me një spektër të kufizuar, duke përgjithësuar teoremën e kampionimit:

• për funksionet, mostrat e të cilave merren në kohë arbitrare;
• për funksione shumëdimensionale (për shembull, për sinjalet televizive);
• për funksionet nga të cilat janë marrë mostra si të vetë funksionit ashtu edhe të derivatit të tij.

Le të vlerësojmë mundësinë e aplikimit të teoremës së Kotelnikov në një sinjal pulsi u(t) kohëzgjatje të kufizuar T f. Sinjale të tilla teorikisht kanë një spektër pafundësisht të gjerë. Sidoqoftë, gjithmonë mund të kufizoni veten në frekuencën e sipërme F B, përtej së cilës spektri përmban një pjesë të vogël të energjisë në krahasim me energjinë e të gjithë sinjalit. Në teorinë e komunikimit, një kriter i tillë është përmbajtja e 90% të fuqisë mesatare të sinjalit brenda kufijve të spektrit. Në këtë rast sinjali u(t) kohëzgjatja T I me frekuencën e kufirit të sipërm të spektrit F B mund të përfaqësohet nga një seri Kotelnikov me një numër të kufizuar mostrash

Këtu L g = TJAt- numri i numërimeve.

Shembulli 6.2

Le të imagjinojmë pranë Kotelnikov një puls tensioni drejtkëndor të amplitudës dhe kohëzgjatjes së njësisë t" për dy raste: spektri i funksionit të përafërt kufizohet nga vlerat e frekuencës së sipërme F Bl = 1/(2t u) dhe F d2. = 1/t„.

Zgjidhje

Për rastin e parë, intervali i marrjes së mostrave Në= 1/(2F B) = m dhe, që do të thotë se pulsi do të përfaqësohet nga vetëm dy vlera referente - në fillim dhe në fund të pulsit. Duke zëvendësuar vlerat e amplitudës dhe kohëzgjatjes së pulsit në formulën (6.8), ne shkruajmë një model matematikor të funksionit të përafërt:

Në rastin e dytë, pulsi diskretizohet nga tre mostra të barabarta të marra në momente t = 0, t (1/2 dhe t i, d.m.th. në fillim, në mes dhe në fund të pulsit. Pastaj

Diagramet e kohës së funksioneve të përafërta u2(t) Dhe u 3 (t) dhe termat e serisë Kotelnikov që i formojnë ato janë paraqitur në Fig. 6.5.

Oriz. 6.5. Paraqitja e një impulsi drejtkëndor me numërime:

A- dy; 6 - tre

Shembull b.3

Le të përcaktojmë frekuencën minimale të kampionimit sipas Kotelnikov, në të cilën sinjali harmonik u(t) = cos(2 nF 0 t +

Zgjidhje

Gjatë zgjedhjes së intervalit të kampionimit Në = 1/(2F B), ku F B - frekuenca e kufirit të sipërm të spektrit, sinjali i vazhdueshëm u(t) mund të rindërtohet nga leximet (Fig. 6.6, A). Nëse raporti i frekuencës F 0 u = = cos (knF 0 /F B + %).

Në rastin kufizues kur frekuenca e sinjalit F 0 priret në shkallën e mostrës F B në të majtë, d.m.th. F 0 = lim( Fn- p), në çdo periudhë të sinjalit origjinal duhet të ketë

por kryhen dy numërime.

Rivendosja e funksionit varet nga faza e mostrave të sinjalit në lidhje me mostrat. Nëse maksimumi i sinusoidit bie në mes të intervalit ndërmjet mostrave, atëherë gabimi është më i madh, por nëse është për mostër, atëherë është më i vogli.

Oriz. 6.6.

A - në F 0 në dy pika

Natyrisht, mostrat mund të bien vlera zero sinusoidet, ekstremet ose vlerat e ndërmjetme. Meqenëse faza e mostrave në lidhje me sinusoidin e kampionuar është e panjohur a priori, pas rindërtimit të sinjalit me një filtër, sinusoidi mund të mos jetë i dukshëm. Në këtë shembull, saktësia më e lartë e rindërtimit të valës sinus do të jetë kur të dy mostrat merren në vlerat e saj maksimale. Lëkundjet në hyrjen e filtrit të kalimit të ulët ka një formë dhëmbi sharre të së njëjtës frekuencë me frekuencën e sinusoidit (vijat e ndërprera në Fig. 6.6, b).

Nëse mostrat merren jo mjaftueshëm shpesh dhe kushtet e teoremës së Kotelnikov janë shkelur, atëherë një restaurim i qartë sinjal harmonik e pamundur. Në këto raste, përmes momenteve të referencës kohore, është e mundur të vizatohen një numër i pafund kurbash, dendësia spektrale e të cilave është jo zero jashtë brezit. -F n F Mund të argumentohet se gabimi në rindërtimin e valës sinus në një shkallë kampionimi prej 2F 0 mund të jetë 100%. Vetëm kjo është e mjaftueshme për të konfirmuar korrektësinë e përfundimeve të deklaruara.

Shembulli 6.4

Sinjali i vazhdueshëm i kampionuar në përputhje me teoremën e Kotelnikov u(t) ka dy lexime në boshtin e kohës (Fig. 6.7). Le të llogarisim vlerën e menjëhershme të sinjalit origjinal në momentin e kohës t = 1 µs.

Oriz. 6.7.

Zgjidhje

Sipas Fig. 6.7 ne përcaktojmë se intervali i kampionimit = 210 (, dhe frekuenca e sipërme e spektrit të sinjalit origjinal me in = te/Në= 1,57- 10 f> s -1. Sipas formulës

(6.8) seria Kotelnikov në këtë rast merr formën

Nga kjo marrëdhënie gjejmë vlerën e menjëhershme të sinjalit analog në momentin kohor t= 1 µs: u(t= 1 µs) = 22,3 V.

Më poshtë, do të formulohet dhe vërtetohet teorema e Kotelnikov (teorema e kampionimit) - një teoremë themelore për sistemet e përpunimit të sinjalit dixhital, telekomunikacionin dhe teorinë e komunikimit. Teorema u formulua dhe u vërtetua nga akademiku sovjetik V.A. Kotelnikov në vitet '30 të shekullit të 20-të. Thelbi i teoremës është se në vend që të transmetoni një sinjal analog të vazhdueshëm, mund të transmetoni përkatësin e tij sinjal diskret.

Deklarata e teoremës: një sinjal i vazhdueshëm, spektri i të cilit nuk përmban frekuenca më të mëdha se fm, mund të përfaqësohet në mënyrë unike nga vlerat e tij të menjëhershme (mostrat), të ndara me intervale kohore të barabarta, gjatësia e të cilit nuk duhet të kalojë 1/ 2 fm.

Me fjalë të tjera, periudha e marrjes së mostrave duhet të jetë të paktën dy herë më e vogël se periudha e komponentit të frekuencës më të lartë të spektrit të sinjalit të vazhdueshëm, d.m.th. për çdo periudhë të komponentit të frekuencës më të lartë duhet të ketë të paktën dy numërime (mostra). Kështu, shpejtësia e kampionimit duhet të jetë të paktën dyfishi i frekuencës më të lartë në spektrin e sinjalit të vazhdueshëm. Sinjali diskret që rezulton mund të transmetohet në çdo linjë komunikimi dhe prej tij sinjali analog origjinal mund të rikthehet në mënyrë unike nga një filtër me kalim të ulët në anën e marrësit.

Nga ana tjetër, një sinjal i vazhdueshëm mund të ketë një spektër të pafund frekuence, por meqenëse harmonikat e këtij sinjali mund të ulen në mënyrë monotonike në amplitudë me rritjen e numrit harmonik, atëherë me një shkallë saktësie spektri i një sinjali të tillë mund të konsiderohet i kufizuar.

Saktësia e riprodhimit të një sinjali të vazhdueshëm përcaktohet kryesisht nga karakteristikat e filtrit të kalimit të ulët dhe nuk ndikon në korrektësinë e teoremës së Kotelnikov në në këtë rast. Gjithashtu, saktësia e riprodhimit të një sinjali të vazhdueshëm përcaktohet nga numri i niveleve të kuantizimit në procesin e marrjes së mostrave. Megjithatë, nëse zgjidhni numrin e niveleve të kuantizimit në përputhje me diapazoni dinamik dhe ndjeshmëria e një sistemi të caktuar, atëherë saktësia e riprodhimit të një sinjali të vazhdueshëm nuk do të degradohet nga procesi i marrjes së mostrave. Ky pohim, në veçanti, mund të jetë i vërtetë në një masë të caktuar kur niveli i zhurmës i pranishëm në sinjalin origjinal është më i madh se hapi i kuantizimit. Në këtë rast, nuk ka kuptim të rritet numri i niveleve të kuantizimit, pasi kjo nuk do të çojë në një rritje të saktësisë së marrjes së mostrave.

Teorema e Kotelnikov përcakton gjithashtu se sinjali i vazhdueshëm dhe sinjali diskret përkatës i marrë sipas rregullave të mësipërme përmbajnë të njëjtin informacion, prandaj paraqitja e njërit prej këtyre dy sinjaleve nga tjetri është një me një.

Ne e fillojmë vërtetimin e teoremës duke shqyrtuar një sinjal abstrakt të vazhdueshëm ndihmës, të përfaqësuar nga një sekuencë e pafund pulsesh me një periudhë të caktuar përsëritjeje (Fig. 1). Sinjali i vazhdueshëm në studim dhe spektri i tij janë paraqitur në Fig. 2. Qëllimi i prezantimit të një sinjali ndihmës: të tregohet se pas disa transformimeve ai dhe sinjali diskret i marrë në përputhje me teoremën e Kotelnikov përmbajnë të njëjtin informacion.

Më pas, për të rivendosur sinjalin e vazhdueshëm origjinal nga sinjali i marrë duke shumëzuar sinjalet origjinale dhe ndihmëse, është e nevojshme të kaloni sinjalin që rezulton përmes një filtri me kalim të ulët, i cili do të shtypë të gjitha frekuencat mbi fm. Megjithatë, kjo qasje kërkon shpjegim për një sinjal diskret. Fakti është se në daljen e DAC, nuk formohet një sekuencë pulsesh me gjerësi infiniteminale, por një sinjal hapi. Kjo shpjegohet me vetë parimin e funksionimit të DAC. Nëse ekzaminoni spektrin e sinjalit të marrë në daljen e DAC, rezulton se ai është mjaft i shtrembëruar në krahasim me spektrin e sinjalit të marrë në vërtetimin e teoremës. Kjo mund të shpjegohet me faktin se sinjali në daljen DAC është një konvolucion i sinjalit të marrë në vërtetimin e teoremës dhe një sinjal në formën e një impulsi drejtkëndor me një kohëzgjatje që korrespondon me kohëzgjatjen e periudhës së kampionimit. Përsëri, sipas teorisë së llogaritjes operacionale, imazhi i konvolucionit të origjinaleve të dy funksioneve është i barabartë me produktin e imazheve të tyre.

Sinjali i marrë në daljen DAC dhe spektri i tij janë paraqitur në Fig. 5. Vija me pika shënon spektrin e një impulsi drejtkëndor. Pjesët e dyfishuara të spektrit tregohen të pa shumëzuara me një funksion të formës sin(x)/x. Spektri i çdo impulsi drejtkëndor jepet nga një funksion i ngjashëm me sin(x)/x. Për të rivendosur një sinjal të vazhdueshëm të burimit në këtë rast, është e nevojshme të llogaritet përgjigja e impulsit të një filtri me kalim të ulët në atë mënyrë që, pas aplikimit të këtij filtri, të kryhet edhe një operacion ndarjeje në spektrin e sinjalit që rezulton nga një funksioni i zgjedhur në mënyrë të përshtatshme i formës sin(x)/x.

Meqenëse në raste praktike nuk është e mundur të arrihet një përgjigje e saktë e llogaritur e impulsit të filtrit, mund të ndodhë një zhvendosje e spektrit të përgjigjes së impulsit në rajonin e frekuencës së ndërprerjes së filtrit. Gjerësia e pjerrësisë varet nga lloji i filtrit analog të përdorur. Për shembull, kur përdorni një filtër Bessel, gjerësia e pjerrësisë është mjaft domethënëse, dhe kur përdorni një filtër Chebyshev, gjerësia e pjerrësisë është shumë më e vogël, por filtri Chebyshev ka një sërë disavantazhesh të tjera, të cilat diskutohen në kapitulli “Përdorimi i filtrave dixhitalë”. Për shkak të pjerrësisë në rajonin e frekuencës së ndërprerjes, një pjesë e spektrit në afërsi të frekuencës së ndërprerjes është e papërdorur dhe më pas përdoret një filtër me një frekuencë ndërprerjeje që tejkalon fm nga gjerësia e pjerrësisë.

Si përfundim, duhet të theksohet se sinjali ndihmës i konsideruar në vërtetimin e teoremës së Kotelnikov është thjesht abstrakt dhe nuk mund të ekzistojë në natyrë, pasi është e pamundur të merret një gjerësi pulsi pafundësisht e vogël. Megjithatë, mund të bëhen disa thjeshtëzime bazuar në faktin e mëposhtëm. Çdo sistemi linear ka shpejtësi të kufizuar, pra punon në një interval kohor të fundëm. Nëse kjo diagrami elektrik, atëherë performanca, si rregull, përcaktohet nga vlerat e kondensatorëve të përfshirë në qark. Nëse në hyrjen e një sistemi të tillë aplikohet një impuls me amplitudë njësi dhe gjatësia e të cilit është shumë më e vogël se kufiri i poshtëm i intervalit kohor të funksionimit të qarkut, atëherë ky impuls do të perceptohet në të njëjtën mënyrë si një ideal ( d.m.th., duke pasur një gjerësi infinite të vogël dhe sipërfaqe njësi). Kështu, në rastet praktike ka një përafrim të sinjalit ndihmës që përdoret në vërtetimin e teoremës.

Përpunimi dixhital i sinjalit(DSP, DSP - Përpunimi dixhital i sinjalit në anglisht) - konvertimi i sinjaleve të paraqitura në formë dixhitale.

Çdo sinjal i vazhdueshëm (analog) mund t'i nënshtrohet kampionimit të kohës dhe kuantizimit të nivelit (digjitalizimit), domethënë të paraqitet në formë dixhitale. Nëse shpejtësia e kampionimit të sinjalit nuk është më e vogël se dy herë frekuenca më e lartë në spektrin e sinjalit (d.m.th.), atëherë sinjali diskret që rezulton është ekuivalent me sinjalin duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël (LSM) (shih: Teorema e Kotelnikov).

Me ndihmë algoritme matematikore konvertohet në ndonjë sinjal tjetër që ka vetitë e kërkuara. Procesi i konvertimit të sinjaleve quhet filtrim, dhe pajisja që kryen filtrimin quhet filtër. Meqenëse mostrat e sinjalit vijnë nga shpejtësi konstante, filtri duhet të jetë në gjendje të përpunojë mostrën aktuale përpara se të mbërrijë tjetra (më shpesh para se të arrijë tjetra). n numëron, ku n — vonesë filtër), domethënë përpunoni sinjalin në kohë reale. Për të përpunuar sinjale (filtrim) në kohë reale, përdoren pajisje speciale llogaritëse - procesorë dixhital të sinjalit.

E gjithë kjo është plotësisht e zbatueshme jo vetëm për sinjalet e vazhdueshme, por edhe për ato me ndërprerje, si dhe për sinjalet e regjistruara në pajisjet e ruajtjes. NË rastin e fundit shpejtësia e përpunimit nuk është e rëndësishme, pasi të dhënat nuk do të humbasin me përpunim të ngadaltë.

Ekzistojnë metoda të ndryshme të përpunimit të sinjalit në kohore(anglisht) domeni i kohës) dhe ne frekuenca(anglisht) domeni i frekuencës) zona. Ekuivalenca e transformimeve kohë-frekuencë përcaktohet në mënyrë unike përmes transformimit Fourier.

Përpunimi i sinjalit të fushës së kohës përdoret gjerësisht në oshilografinë moderne elektronike dhe oshiloskopët dixhitalë. Analizuesit e spektrit dixhital përdoren për të përfaqësuar sinjalet në fushën e frekuencës. Për të studiuar aspektet matematikore të përpunimit të sinjalit, përdoren paketat e zgjerimit (më shpesh nën emrin Përpunimi i sinjalit) të sistemeve kompjuterike. matematikë MATLAB, Mathcad, Mathematica, Maple, etj.

NË vitet e fundit Gjatë përpunimit të sinjaleve dhe imazheve, përdoret gjerësisht një bazë e re matematikore për paraqitjen e sinjaleve duke përdorur "valë të shkurtra" - valëzimet. Mund të përdoret për të përpunuar sinjale jo-stacionare, sinjale me ndërprerje dhe veçori të tjera, dhe sinjale në formën e shpërthimeve.

Përpunimi dixhital i sinjalit - disa koncepte bazë.

Madhësitë fizike, nëse nuk zbret në nivelin kuantik, ndryshojnë vazhdimisht. Megjithatë përpunimi dixhital sinjalet funksionojnë ekskluzivisht me sasi diskrete, dhe diskretiteti manifestohet në dy mënyra - kur kuantizohet sipas kohës dhe kur kuantizohet sipas amplitudës së sinjalit. Ky ndërlikim i dukshëm justifikohet plotësisht nga fakti se për përpunim mund të përdorim dixhital makinat informatike, duke eliminuar plotësisht problemin e paqëndrueshmërisë së parametrave, i cili është kaq i dhimbshëm kur përpunohet analog. Një avantazh po aq i rëndësishëm është se kostoja e përpunimit dixhital është e ulët dhe vazhdon të bjerë, edhe për lloje shumë komplekse të përpunimit. Kjo ju lejon të krijoni sisteme efikase përpunimi i sinjalit me kosto të arsyeshme. Sa i pranueshëm është një zëvendësim i tillë? A nuk çon në humbje të saktësisë?

Një sinjal diskret merret nga një sinjal analog me një operacion kampionimi - marrja e mostrave (matja) në një interval kohor T. Në parim, përpunimi dixhital me kampionim të pabarabartë në kohë është gjithashtu i mundur, por kjo temë është shumë më pak e zhvilluar matematikisht dhe, me sa duket. , nuk ka një interes kaq të madh praktik. Me këtë operacion, duket e mundur që informacioni i përmbajtur në vlerat e sinjalit në intervalet midis mostrave mund të humbasë. Kushtet në të cilat është e mundur të rivendoset një sinjal analog nga ai dixhital i marrë prej tij, domethënë, ruajtja e të gjithë informacionit të përmbajtur fillimisht në sinjal, shprehen nga teorema Nyquist-Whittaker-Kotelnikov-Shannon (në varësi të autorit predikimet, mund të gjenden të gjitha kombinimet e mundshme të këtyre emrave). Kjo kërkon që gjerësia e brezit të sinjalit të hyrjes të jetë të paktën dy herë më e ngushtë se frekuenca e kampionimit, domethënë f c = 1/2f d. (Shpesh jepet një formulim i veçantë i tij, i cili është i vërtetë për sinjalet, brezi i frekuencës së të cilëve fillon me frekuencë zero - "në mënyrë që frekuencat më të mëdha se gjysma e frekuencës së kampionimit të mos jenë të pranishme").

Nëse ekzistojnë frekuenca të tilla, ndodh efekti i maskimit (zëvendësimit) të frekuencave. Një manifestim i qartë i kësaj është iluzioni që shfaqet shpesh në filma - një rrotë rrotulluese papritmas fillon të rrotullohet në drejtim të kundërt. Këtu, shpejtësia e kornizës është analoge me shpejtësinë e mostrës dhe kur rrota bën më shumë se gjysmë rrotullimi midis kornizave të njëpasnjëshme, duket se rrotullohet në drejtim të kundërt dhe me një shpejtësi të ndryshme. Për frekuencën f, nën të maskohen frekuencat (2f c ±f), (4f c ±f), (6f c ±f), etj. Përdoret gjithashtu termi "aliases", nga pseudonimet. Mosmarrja parasysh e këtij efekti mund të çojë në gabime të mëdha: për shembull, në një studim të kryer në një laborator serioz, u zbulua prania e frekuencave prej 22 dhe 28 herc në elektroencefalogramin e të gjithë pacientëve, në ndryshim nga subjektet e shëndetshme. Megjithatë, duke vënë re se shkalla e kampionimit në Ky studim u miratua si 128 Hz, ne shohim se këto frekuenca janë "fantazma", duke gjeneruar ndërhyrje në frekuencat 100 dhe 150 Hz - harmonia e dytë dhe e tretë e frekuencës së rrjetit (burimi i tyre mund të jetë, për shembull, pajisje jolineare në qarqet e fuqisë së pajisjeve , siç janë ndreqësit dhe transformatorët). Regjistrimi i tyre ekskluzivisht te pacientët ishte për faktin se në një mjedis spitalor, krahasuar me një laborator universitar ku regjistroheshin EEG-të e subjekteve të shëndoshë, niveli i interferencës ishte dukshëm më i lartë.

Luftimi i efektit të maskimit të frekuencës (antialiazimit) çon në nevojën për filtrim paraprak të sinjalit, duke përjashtuar frekuencat mbi gjysmën e frekuencës së kampionimit, dhe për shkak të papërsosmërive të filtrave realë, frekuenca e ndërprerjes zgjidhet dukshëm më e ulët se ajo e kërkuar teorikisht. zakonisht tre deri në katër herë më e ulët se frekuenca e marrjes së mostrave. Kjo papërsosmëri nuk është shkaktuar nga paaftësia e inxhinierëve elektrikë, por është e një natyre themelore. Fakti është se një sinjal me një brez të kufizuar frekuencash, në parim, nuk mund të jetë me gjatësi të kufizuar, dhe nëse është i kufizuar në kohë, atëherë ai përmban një brez frekuence me gjerësi të pafundme. (Ky kufizim përcaktohet nga lidhja e pasigurisë midis gjatësisë së pulsit dhe brezit të tij të frekuencës - një puls pafundësisht i shkurtër përmban të gjitha frekuencat e mundshme "në embrion" dhe një valë sinusale me monofrekuencë duhet të shtrihet nga minus në plus pafundësi.) Prandaj, një filtër që është shumë cilësore do të ketë shumë kohe e madhe institucionet, dhe "ideali" është përgjithësisht i pafund.

(IP) - SI, i projektuar për të kthyer një sasi të matur në një sasi ose sinjal tjetër informacioni matëse, i përshtatshëm për përpunim, ruajtje, transformime të mëtejshme, tregues ose transmetim.

Bazuar në vendndodhjen e tyre në qarkun matës, ata bëjnë dallimin midis primarit dhe atij të ndërmjetëm dhënës matës.

fillore , i quajtur edhe sensor,— Ky është transduktori matës mbi të cilin vepron drejtpërdrejt sasia e matur.

Pushoni dhënës matës quhen të ndërmjetme. Ato janë të vendosura pas parësore dhënës matës dhe mund të kryejë operacione të ndryshme të konvertimit të sinjalit matës.

Zakonisht këto përfshijnë:

Ndryshimi në llojin fizik të një sasie;

Transformimi në shkallë (linear ose jolinear);

Transformimi i shkallës në kohë;

Konvertimi nga analog në dixhital;

Konvertimi dixhital në analog;

Transformimi funksional (ndonjë operacionet matematikore mbi vlerat e madhësisë).

Duhet të kihet parasysh se ky klasifikim është mjaft arbitrar. Së pari, një SI mund të ketë disa primare (për shembull, një termoelement në qarkun e një termometri termoelektrik). Së dyti, specifika e matjeve analitike gjithashtu çon në një shkelje të parimit të klasifikimit të specifikuar.

Matjet analitike paraqesin një transformim të sasisë së matur, e cila është një parametër informues i mjedisit të analizuar. (parametri informues— parametri që mbart informacion për vlerën e matur), dhe duke e krahasuar me masën.

Zakonisht ato kryhen duke përdorur një kombinim dhënës matës, duke përfshirë llojet e mëposhtme dhënës matës:

IP1: dhënës matës përbërja e tipit - përbërja, duke siguruar transformime në shkallë të gjerë të mostrës së analizuar. Mostra karakterizohet nga një parametër informues ME(përmbajtja e komponentit të matur) dhe një kombinim i parametrave joinformues CH, të cilët përfshijnë përmbajtjen e komponentëve të padetektueshëm (ndërhyrës) dhe parametrat termodinamikë mjedisi i analizuar. Gjatë kalimit përmes IP1, ndodhin proceset e pastrimit, tharjes, ndryshimit të temperaturës dhe presionit të përzierjes në vlerat e kërkuara dhe, pas këtyre transformimeve të mjedisit të analizuar, zgjedhja e sasisë së kërkuar të tij. IP1 zakonisht quhet njësia e mbledhjes dhe përgatitjes së mostrës;

IP2: dhënës matës përbërja e llojit - pronë, duke siguruar shndërrimin e vlerës së matur C në një ose një tjetër pronë fizike dhe kimike, të përshtatshme për matje dhe regjistrim të mëvonshëm. Në shumë raste, ky transformim ndodh në dy faza: marrja e një produkti të ndërmjetëm në fazën e lëngshme ose të ngurtë që përmban përbërësin. Ynpom (C), dhe më pas duke e kthyer atë në një pronë F (Ynpom).

IP3: dhënës matës tipi tipar - sinjali dalës, duke siguruar konvertimin e vlerës së matur në një dalje sinjal matës W. Në mënyrë tipike, ky konvertim kryhet gjithashtu në dy faza: në një sinjal të ndërmjetëm Wnpom(F) dhe më pas në sinjalin dalës W (Wnpom). Në këtë rast, transformimi Wnpm V Wështë shndërrimi i një sasie elektrike në një tjetër.

Pasi të keni marrë sinjale dalëse nga objekti i analizuar duke përdorur një grup dhënës matës, vlera e matur krahasohet me masën duke përdorur varësinë e kalibrimit dhe krijohen vlerat e vlerësuara C* të vlerës së matur C.

Ky grup transduktorësh matës nuk përshtatet në klasifikimin e mësipërm, pasi vlera e matur ndikon drejtpërdrejt jo vetëm në transduktorin e parë matës të qarkut matës, por edhe në grupin e tyre, duke përfshirë IP1, IP2 dhe transduktorin e parë të grupit IP3. Në këtë rast, vetëm konverteri i dytë i grupit IP3 është i ndërmjetëm. Nga kjo rezulton se në instrumentet analitike rolin e transduktorit matës primar e kryen një grup dhënës matës, të cilët kryejnë transformimin e njëpasnjëshëm, në disa faza, të sasisë së matur në sinjal matës.

Instrumentet matëse përfshijnë masat, transduktorët matës, instrumente matëse, instalimet matëse dhe sistemet e matjes së informacionit. Masa quhet një instrument matës i krijuar për t'u riprodhuar vlera e vendosur sasi fizike.

Transduktor- ky është një instrument matës i krijuar për të gjeneruar një sinjal të informacionit matës në një formë të përshtatshme për transmetim, konvertim të mëtejshëm, përpunim dhe ruajtje, por jo i përshtatshëm për perceptimin e drejtpërdrejtë nga vëzhguesi. Transduktori matës të cilit i jepet vlera e matur quhet dhënës matës primar.

Në varësi të natyrës së vlerave që konvertohen, dallohen llojet e mëposhtme të dhënësve matës:

Konvertuesit e sasive elektrike në sasi elektrike (ndarësit e tensionit, transformatorët e instrumenteve);

Konvertuesit e sasive magnetike në sasi elektrike (bobina matëse);

Konvertuesit e sasive jo elektrike në elektrikë (transduktorë termikë dhe matës deformues, reostatikë, kapacitiv).

Në varësi të llojit të sinjaleve hyrëse dhe dalëse, dhënësit matës dallohen:

- konvertues analog , të cilat kanë sinjale analoge në hyrje dhe në dalje;

- analog-konvertues dixhital duke pasur një sinjal analog në hyrje dhe një sinjal dixhital (të koduar) në dalje;

- dixhitale-konvertues analog, të cilat kanë një hyrje dixhitale dhe një sinjal analog në dalje.

Transformatorët matës parësorë të vendosur direkt në objektin e studimit dhe të hequr nga vendi i përpunimit, shfaqjes dhe regjistrimit të informacionit të matjes quhen sensorë.

Instrumentet matëse- një instrument matës i krijuar për të gjeneruar një sinjal të informacionit matës në një formë të aksesueshme për perceptimin e drejtpërdrejtë nga një vëzhgues.

Nga dukuritë fizike, e cila përbën bazën e punës, instrumentet matëse mund të ndahen në instrumente matëse elektrike (elektromekanike, elektrotermike, elektrokimike, etj.) dhe pajisjet elektronike. Sipas qëllimit të tyre, ato ndahen në instrumente për matjen e madhësive fizike elektrike dhe jo elektrike (magnetike, termike, kimike, etj.), dhe sipas mënyrës së paraqitjes së rezultateve - në tregues dhe regjistrim. Në varësi të regjistrimit të vlerës së matur - instrumente matëse analoge dhe dixhitale.

Instalimet matëse- një grup instrumentesh matëse, duke përfshirë masat, instrumentet matëse dhe konvertuesit, pajisje ndihmëse, të bashkuar skema e përgjithshme, me të cilin mund të matni një ose më shumë madhësi fizike.

Gama e matjes- diapazoni i vlerave të sasisë së matur, për të cilën janë normalizuar gabimet e lejuara të instrumentit matës. Kufizohet në vlerat më të mëdha dhe më të vogla.

Gama e vlerave të shkallës, e kufizuar nga fillestari dhe vlerat përfundimtare peshore quhen varg indikacionesh.

Në zgjerimin kanonik Kotelnikov, intervali i kampionimit proces i rastësishëm përcaktohet nga intervali i korrelacionit të tij, vlera maksimale e densitetit spektral dhe vlera e densitetit spektral në frekuencën zero.

Intervali i kampionimit është më i madh ose i barabartë me intervalin e korrelacionit të procesit.

Nga teoria klasike e sinjalit dihet se vlerat e mostrave të marra përmes intervalit Kotelnikov janë reciprokisht të pakorreluara nëse spektri i sinjalit në brezin e frekuencës që ai zë është uniform (zhurmë e bardhë). Sidoqoftë, në praktikë, kryesisht përdoren sinjale, spektri i të cilave është i pabarabartë, kështu që korrelacioni midis mostrave nuk është zero. Në këtë rast, shkalla e korrelacionit rritet me rritjen e frekuencës së kampionimit. Një shembull tipik i sinjaleve të tilla është fjalimi, ku korrelacioni midis mostrave ngjitur është mjaft i lartë, duke iu nënshtruar teoremës së Kotelnikov gjatë procesit të kampionimit.

Koncepti përdoret shpesh intervali i korrelacionit"ose" koha e korrelacionit", me të cilën nënkuptojmë madhësinë e zhvendosjes kohore, mbi të cilën korrelacioni mund të neglizhohet në kushtet e një eksperimenti të caktuar. Në mënyrë tipike, intervali i korrelacionit përcaktohet si .

Nëse intervali i korrelacionit e barabartë me zero, atëherë procesi i rastësishëm quhet i pakorreluar, ose zhurmë e bardhë. Përndryshe, procesi i rastësishëm është i ndërlidhur. Si shembull në Fig. Figura 4.1 tregon një shembull të një procesi të rastësishëm të korreluar (lart) dhe të pakorreluar (poshtë). Proceset reale janë të gjitha të ndërlidhura sepse ato kanë fuqi të kufizuar dhe, për rrjedhojë, gjerësi bande të kufizuar.

Megjithatë, gjatë një intervali të caktuar kohor (frekuencat) ato mund të konsiderohen përafërsisht të pakorreluara.

Koha e kampionimit Δτ = τ k+1- τ k(ose frekuencën përkatëse

Marrja e mostrave të sinjalit Δφ = 1/Δτ);

Koha e marrjes së mostrave të sinjalit konvertuesit kryesorë ose frekuenca përkatëse e kampionimit të sinjalit zgjidhet në varësi të kërkesave për gabimin e matjes, duke marrë parasysh faktin se frekuenca e kampionimit të sinjalit përcaktohet nga diapazoni i kërkuar i frekuencës së sinjalit të matur dhe kufizimet e karakteristikave amplitudë-frekuencë të konvertuesve primar. .

Duhet të jetë së paku dy deri në tre herë frekuenca maksimale e mundshme. diapazoni i frekuencës sinjali i matur (për matje dinamike). Fundi i formularit.

Sistemi i automatizuar i kontrollit të procesit është ndërtuar sipas një hierarkie me tre nivele:

• niveli më i ulët - niveli i instrumenteve dhe aktivizuesve;
• niveli i mesëm - niveli i kontrollorëve dhe pajisjeve të komunikimit
• niveli i sipërm - niveli i serverëve dhe stacioneve të operatorit

Për shkak të kërkesave të larta për besueshmërinë e sistemit të kontrollit në industrinë kimike, të gjitha nivelet e sistemit të kontrollit të procesit janë të tepërta. Për të siguruar transferim të pandërprerë të të dhënave ndërmjet nënsistemeve dhe niveleve të hierarkisë, përdoren kanale transmetimi të të dhënave shumë të besueshme dhe rezistente ndaj zhurmës. Aktualisht, teknologjia e fibrave optike është dëshmuar mirë për këto qëllime. rrjet unazash Ethernet industrial.

Përpunimi i informacionit kryhet në modulin qendror të procesorit të kontrolluesit, i cili siguron besueshmëri të lartë të sistemit të kontrollit dhe garanton ekzekutimin e të gjitha algoritmeve të nevojshme, i cili është ndërtuar mbi një parim modular, duke lejuar zëvendësim i shpejtë modulet e dështuara.

Shfaqja e informacionit rreth mënyrave të kontrollit të instalimit dhe kontrolli i tij aktivizuesit kryhet nga një stacion pune i automatizuar operatori (AWS), i implementuar në 2 kompjuterë industrialë identikë në një gatishmëri "të nxehtë" me paketën e instaluar Vizualizimi i bazuar në OR Sistemet Windows XP.

Të gjitha sinjalet reale të vazhdueshme janë funksione të lëmuara të kohës. Kërcimet në vlera praktikisht nuk vërehen në to. Prandaj, sinjale të tilla mund të përfaqësohen nga një sekuencë e vlerave të tyre, të marra me një hap të caktuar kohor. Vlera e sinjalit në një moment të caktuar quhet numërimin mbrapsht .

Kjo foto tregon sinjali i vazhdueshëm dhe mostrat e tij me hapa të ndryshëm kohorë. Me një hap të vogël (Fig. b), sekuenca e leximeve përshkruan sinjalin mjaft saktë, por me një hap të madh (Fig. c), forma e sinjalit nuk mund të rikthehet nga leximet, pasi pikat e tij ekstreme karakteristike mungojnë.

Sa shpesh duhet të merren mostra në mënyrë që të mund të përdoren për të rindërtuar plotësisht sinjalin?

Përgjigja për këtë pyetje jepet nga një teoremë e vërtetuar në vitin 1933 nga shkencëtari sovjetik akademik. V.A.Kotelnikov. dhe emëruar pas tij.

Sipas kësaj teoreme çdo sinjal i vazhdueshëm me një spektër të fundëm (që ka vlera maksimale) mund të përfaqësohet në formën e mostrave diskrete, frekuenca e kampionimit të të cilave duhet të zgjidhet të paktën dy herë më e lartë se vlera maksimale e spektrit të sinjalit: transmetojeni atë në një linjë komunikimi dhe më pas rivendosni sinjalin origjinal analog.

Teorema e Kotelnikov është baza për marrjen e mostrave të sinjaleve të vazhdueshme në kohë, pasi, së pari, dëshmon se një sinjal i vazhdueshëm mund të zëvendësohet me vlerat e tij diskrete, dhe së dyti, jep një rregull për llogaritjen e hapit të kampionimit - . Me këtë hap kampionimi, seria Kotelnikov jep një paraqitje të saktë kohore të sinjalit kompleks.

Kuptimi fizik i teoremës së Kotelnikov.

Teorema e Kotelnikov thotë se nëse keni nevojë të transmetoni një sinjal të vazhdueshëm me një spektër të kufizuar mbi një kanal komunikimi, atëherë nuk keni nevojë të transmetoni të gjitha vlerat e tij: mjafton vetëm ta transmetoni atë. vlerat e çastit(numëron) në intervale. Meqenëse sinjali përcaktohet plotësisht nga këto vlera, ai mund të rindërtohet prej tyre në fundin marrës të sistemit të komunikimit. Për ta bërë këtë, mjafton të lidhni leximet me një kurbë të qetë. Kjo mund të shpjegohet me faktin se sinjali midis mostrave mund të ndryshojë vetëm pa probleme, pasi frekuencat më të larta japin ndryshime të shpejta, mungojnë në sinjal. Në fund të fundit, leximet merren mjaft shpesh, dhe sa më shpesh aq më i lartë frekuencë maksimale.

Zbatimi praktik i teoremës së Kotelnikovit.

Marrja e mostrave sinjali kryhet mjaft thjesht: periodikisht për një kohë të shkurtër pas një intervali, çelësi mbyll qarkun nga burimi i sinjalit në ngarkesë - marrim lexime. Më pas, këto mostra, pasi kanë kaluar nëpër kanalin e komunikimit, arrijnë në hyrjen e një filtri ideal të kalimit të ulët (LPF) me një frekuencë të sipërme transmetimi. Dalja e filtrit është sinjali origjinal i vazhdueshëm.

Skema strukturore sistemet e komunikimit duke përdorur teoremën e Kotelnikovit.

Në anën transmetuese, mostrat e sinjalit merren në momente. Më pas, leximet transmetohen në çfarëdo mënyre nëpërmjet kanalit të komunikimit. Një filtër ideal me kalim të ulët në skajin marrës rikthen sinjalin origjinal.

Shkalla e përsëritjes së pulsit, e quajtur gjithashtu frekuenca marrjen e mostrave , përcaktohet nga teorema e Kotelnikov:

.

Për shembull, frekuenca e kampionimit për një sinjal të folur (telefonik) që ka vlerën maksimale të spektrit të sinjalit , do të jetë e barabartë me . Sipas rekomandimeve të CCITT dhe përkatësisht,.

Teorema e Kotelnikov në telekomunikacionin shumëkanalësh.

I transferueshëm Në vend të sinjaleve të vazhdueshme, një sekuencë pulsesh (mostrash) lejon ndarjen e përkohshme të kanaleve. Fakti është se me transmetimin e pulsit, periudha e përsëritjes së pulseve zakonisht është shumë më e gjatë se kohëzgjatja e tyre, domethënë, pulset kanë një cikël të madh pune - me një cikël të madh pune, ekziston një hendek midis pulseve të një sinjali ku mund të vendosen impulse nga sinjale të tjera. Kjo metodë quhet ndarja e kohës . Aktualisht tashmë është zbatuar sisteme me shumë kanale transmetimet me ndarje kohore të kanaleve në sinjale të të folurit 12, 15, 30, 120, 480, 1920.

Në 1933, V. A. Kotelnikov vërtetoi një teoremë, e cila është një nga parimet themelore të inxhinierisë teorike të radios. Kjo teoremë krijon mundësinë e rindërtimit arbitrarisht të saktë të vlerave të menjëhershme të një sinjali me një spektër të kufizuar bazuar në vlerat e referencës (mostrat) të marra në intervale të rregullta.

Ndërtimi i një baze ortonormale.

Siç është treguar, çdo dy sinjale me spektër të kufizuar që i përkasin familjes

janë ortogonale. Duke zgjedhur në mënyrë të përshtatshme faktorin e amplitudës A, është e mundur të sigurohet që norma e secilit prej këtyre sinjaleve të bëhet unitet. Si rezultat, do të ndërtohet një bazë ortonormale, duke lejuar që dikush të zgjerojë një sinjal arbitrar me një spektër të kufizuar në një seri të përgjithësuar Fourier.

Mjafton të merret parasysh vetëm funksioni

meqenëse shpejtësia e çdo sinjali është e njëjtë pavarësisht nga ndërrimi i kohës. Sepse

funksionon dhe do të jetë ortonormale nëse

Një koleksion i pafund funksionesh

formon një bazë Kotelnikov në hapësirë ​​lineare sinjale me frekuencë të ulët me spektra të kufizuar më lart nga vlera Një funksion i veçantë quhet funksion referencë.

Seriali Kotelnikov. Nëse është një sinjal arbitrar, dendësia spektrale e të cilit ndryshon nga zero vetëm në brezin e frekuencës - , atëherë ai mund të zgjerohet në një seri të përgjithësuar Fourier duke përdorur bazën Kotelnikov:

Koeficientët Rad, siç dihet, janë produktet skalare të sinjalit të dekompozuar dhe funksioni i referencës:

Një mënyrë e përshtatshme për të llogaritur këta koeficientë është përdorimi i formulës së përgjithësuar të Rayleigh. Është e lehtë të kontrollohet nëse funksioni i referencës brenda segmentit ka një densitet spektral të barabartë me . Kjo mund të shihet nga një krahasim i formulave (5.3) dhe (5.13). Atëherë, nëse është spektri i sinjalit që studiohet atëherë

Vlera në mbajtëse kaçurrelë nuk është asgjë më shumë se, d.m.th., vlera e menjëhershme e sinjalit në pikën e referencës

Kështu,

prej nga vijon shprehja e serisë Kotelnikov:

Bazuar në barazinë e fundit, teorema e Kotelnikov zakonisht formulohet si më poshtë: një sinjal arbitrar, spektri i të cilit nuk përmban frekuenca mbi Hz, mund të rikthehet plotësisht nëse dihen vlerat e referencës së këtij sinjali të marra në intervale të barabarta kohore.

Shembulli 5.1. Sinjali i dhënë

Duke zgjedhur një interval të caktuar fiks midis mostrave, ne jemi në gjendje të rindërtojmë pa mëdyshje nga mostrat çdo sinjal, spektri i të cilit nuk përmban komponentë në frekuenca më të larta. frekuenca e ndërprerjes

Nëse atëherë teorema e Kotelnikov është e zbatueshme për sinjalin harmonik në shqyrtim; vlerat e referencës (mostrat) e një sinjali të caktuar

Në rastin kufizues, kur frekuenca priret në të majtë, d.m.th.

Duhet të ketë saktësisht dy mostra për çdo periudhë të sinjalit harmonik.

Nëse kushtet e teoremës së Kotelnikov janë shkelur dhe mostrat e kohës nuk merren mjaft shpesh, atëherë një rindërtim i qartë i sinjalit origjinal është thelbësisht i pamundur. Një numër i pafund kurbash mund të vizatohen përmes pikave të referencës, dendësia spektrale e të cilave është jo zero jashtë brezit -

Oriz. 5.2. Zbatimi i harduerit i sintezës së sinjalit duke përdorur serinë Kotelnikov

Zbatimi i harduerit i sintezës së sinjalit të përfaqësuar nga seria Kotelnikov.

Një tipar i rëndësishëm i teoremës së Kotelnikovit është natyra e saj konstruktive; ai jo vetëm që tregon mundësinë e zbërthimit të sinjalit në serinë e duhur, por gjithashtu përcakton metodën e rivendosjes së një sinjali të vazhdueshëm të specifikuar nga vlerat e tij të referencës (Fig. 5.2).

Le të ketë një grup gjeneratorësh që krijojnë funksione leximi në terminalet e daljes. Gjeneratorët janë të kontrollueshëm - amplituda e sinjaleve të tyre është në përpjesëtim me vlerat e referencës.Nëse i kombinojmë lëkundjet në dalje duke i ushqyer ato te mbledhësi, atëherë nga dalja e grumbulluesit në përputhje me formulën (5.18) do të jetë e mundur. për të marrë vlerat e menjëhershme të sinjalit të sintetizuar s(t).

Shembulli 5.2. Një impuls video drejtkëndor me amplitudë njësi dhe kohëzgjatje nuk i përket numrit të sinjaleve me një spektër të kufizuar. Sidoqoftë, moduli i densitetit të tij spektral zvogëlohet mjaft shpejt (sipas ligjit) me rritjen e frekuencës.

Përshkrimi i një sinjali të tillë me dy mostra në fillim dhe në fund të pulsit do të nënkuptojë zëvendësimin e lëkundjes origjinale me një sinjal me një spektër të kufizuar më lart nga frekuenca. Modeli matematik i këtij sinjali është:

Nëse përshkruajmë pulsin me tre mostra të barabarta, atëherë arrijmë në një sinjal të përafërt që përmban frekuenca deri në

Natyrisht, me një rritje të numrit të termave të marrë parasysh, d.m.th., me një ulje të intervalit kohor midis mostrave, saktësia e përafrimit do të rritet.

Vlerësimi i gabimit që lind kur përafrohet një sinjal arbitrar me serinë Kotelnikov.

Nëse është një sinjal arbitrar, atëherë ai mund të përfaqësohet si një shumë k, e cila përfshin një sinjal me një spektër me vlerë të kufizuar, si dhe një sinjal gabimi të përafrimit me një spektër, i cili në rastin e përgjithshëm zë një brez frekuencash të pafundme.

Spektrat e sinjaleve të treguara nuk mbivendosen, prandaj sinjalet janë ortogonale, dhe energjitë e tyre, d.m.th., katrorët e normave, mblidhen:

Si masë e gabimit të përafrimit, mund të marrim një distancë të barabartë me normën e sinjalit të gabimit. Nëse është spektri i energjisë i sinjalit, atëherë nga teorema e Rayleigh

Shembulli 5.3. Duke pasur parasysh një impuls video eksponencial, i karakterizuar nga spektri i energjisë dhe norma

Kohëzgjatja efektive e këtij pulsi (shih Kapitullin 2)

Spektri i sinjalit në shqyrtim është i pakufizuar. Prandaj, së pari duhet ta nënshtroni sinjalin ndaj filtrimit të kalimit të ulët duke e kaluar atë përmes një filtri me kalim të ulët (LPF). Vlera e frekuencës së sipërme të brezit të kalimit të filtrit duhet të zgjidhet në varësi të asaj se sa shpesh merren mostrat e sinjalit në daljen e filtrit të kalimit të ulët. Le të supozojmë se mostrat maten në intervale me kalimin e kohës. Sipas teoremës së Kotelnikov, kjo do të thotë se .

Sinjali nga dalja e filtrit të kalimit të ulët rindërtohet saktësisht sipas vlerave të tij të referencës. Sidoqoftë, në lidhje me pulsin origjinal të videos, një gabim është i pashmangshëm. Në këtë rast, norma e sinjalit të gabimit është