A mundet rangu i një matrice të jetë zero? Koncepti i renditjes së matricës

“Nëse doni të mësoni të notoni, atëherë futuni me guxim në ujë dhe nëse doni të mësoni për të zgjidhur problemet, Kjo zgjidhin ato.»
D. Polya (1887-1985)

(Matematikan. Ka dhënë një kontribut të madh në popullarizimin e matematikës. Shkroi disa libra se si të zgjidhen problemet dhe si të mësohet zgjidhjen e problemeve.)

Merrni parasysh matricën

Le të theksojmë në të k-rreshta Dhe k-kolona (k≤(min(m,n))). Nga elementët e vendosur në kryqëzimin e rreshtave dhe kolonave të zgjedhura, ne do të përpilojmë një përcaktues kth urdhëroj. Të gjithë përcaktorët e tillë quhen të miturit e kësaj matrice.

Le të shqyrtojmë të gjitha minoret e mundshme të matricës A, të ndryshme nga zero.

Rangu i matricës Aështë rendi më i madh i minorit jozero të kësaj matrice.

Nëse të gjithë elementët e një matrice janë të barabartë me zero, atëherë grada e kësaj matrice merret e barabartë me zero.

Një i mitur, rendi i të cilit përcakton gradën e matricës quhet bazë.

Një matricë mund të ketë disa minore bazë.

Rangu i matricës A shënohet me r(A). Nëse r(A)=r(B), pastaj matricat A Dhe NË quhen ekuivalente. Ata shkruajne A̴∼B.

Karakteristikat e renditjes së matricës:

1. Kur një matricë transpozohet, rangu i saj nuk ndryshon.
2. Nëse fshini rreshtin zero (kolona) nga matrica, rangu i matricës nuk do të ndryshojë.
3. Rangu i matricës nuk ndryshon gjatë transformimeve elementare të matricës.

Me transformime elementare nënkuptojmë:

• Rirregullimi i rreshtave të matricës;
• Shumëzimi i një vargu me një numër të ndryshëm nga zero;
• Shtimi i elementeve të një rreshti të elementeve përkatës të një rreshti tjetër, të shumëzuar me një numër arbitrar.

Gjatë llogaritjes së renditjes së një matrice, mund të përdoren transformimet elementare, metoda e reduktimit të matricës në një formë hap pas hapi dhe metoda e kufirit të të miturve.

Metoda për reduktimin e një matrice në një shkallë Ideja është që me ndihmën e transformimeve elementare kjo matricë të reduktohet në një matricë hapash.

Matrica quhet shkeli , nëse në secilën prej rreshtave të tij elementi i parë jozero është djathtas se ai i mëparshmi (d.m.th., merren hapat, lartësia e çdo hapi duhet të jetë e barabartë me një).

Shembuj të matricave të hapave:

Shembuj të matricave jo-echelon:

SHEMBULL: Gjeni gradën e matricës:

ZGJIDHJE:

Le ta reduktojmë këtë matricë në një matricë hapash duke përdorur transformime elementare.

1. Ndërroni rreshtin e parë dhe të tretë.

2. Marrim zero nën një në kolonën e parë.

Duke shtuar rreshtin e parë të shumëzuar me (-3) në rreshtin e dytë, rreshtin e parë të shumëzuar me (-5) në rreshtin e tretë dhe rreshtin e parë të shumëzuar me (-3) në rreshtin e katërt, marrim

Për ta bërë më të qartë se ku tjetër duhet të merrni zero, le të vizatojmë hapat në matricë. (Matrica do të hapet nëse ka zero kudo nën hapa)

3. Duke shtuar rreshtin e tretë të shumëzuar me (-1) në rreshtin e tretë dhe rreshtin e dytë të shumëzuar me (-1) në rreshtin e katërt, marrim zero nën hapat në kolonën e dytë.

Nëse i vizatojmë përsëri hapat, do të shohim që matrica është e shkallëzuar.

Grada e saj është r=3(numri i rreshtave të matricës së hapit, në secilën prej të cilave të paktën një element është i ndryshëm nga zero). Prandaj, rangu i kësaj matrice r=3.

Zgjidhja mund të shkruhet si kjo:

(Numrat romakë tregojnë numrat e rreshtave)

Përgjigje: r=3.

Rendi i vogël k+1, që përmban një të vogël të rendit k thirrur në kufi me të miturën.

Metoda e vogël kufitare bazohet në faktin se rangu i një matrice të caktuar është i barabartë me rendin e një minori të kësaj matrice që është jo zero, dhe të gjitha minoret në kufi me të janë të barabartë me zero.

Përkufizimi. Rangu i matricësështë numri maksimal i rreshtave linearisht të pavarur të konsideruar si vektorë.

Teorema 1 në rangun e matricës. Rangu i matricës quhet rendi maksimal i një minoreje jozero të një matrice.

Ne diskutuam tashmë konceptin e një të mitur në mësimin mbi përcaktorët, dhe tani do ta përgjithësojmë atë. Le të marrim një numër të caktuar rreshtash dhe një numër të caktuar kolonash në matricë, dhe kjo "sa" duhet të jetë më e vogël se numri i rreshtave dhe kolonave të matricës, dhe për rreshtat dhe kolonat kjo "sa" duhet të jetë të njëjtin numër. Pastaj në kryqëzimin e sa rreshtave dhe sa kolonave do të ketë një matricë të rendit më të ulët se matrica jonë origjinale. Përcaktori është një matricë dhe do të jetë minor i rendit të k-të nëse "some" e përmendur (numri i rreshtave dhe kolonave) shënohet me k.

Përkufizimi. E vogla ( r+1) rendi, brenda të cilit shtrihet i mituri i zgjedhur r-rendi i th quhet kufitar për një minoren të caktuar.

Dy metodat më të përdorura janë gjetja e renditjes së matricës. Kjo mënyra e kufirit të të miturve Dhe Metoda e transformimeve elementare(metoda e Gausit).

Kur përdoret metoda e minorave kufitare, përdoret teorema e mëposhtme.

Teorema 2 në rangun e matricës. Nëse një minor mund të përbëhet nga elementë matricë r rendi i th, jo i barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me r.

Kur përdorni metodën e transformimit elementar, përdoret vetia e mëposhtme:

Nëse, përmes transformimeve elementare, merret një matricë trapezoidale që është ekuivalente me atë origjinale, atëherë rangu i kësaj matriceështë numri i rreshtave në të, përveç vijave që përbëhen tërësisht nga zero.

Gjetja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e kufirit të të miturve

Një minor shoqërues është një minor i një radhe më të lartë në krahasim me atë të dhënë nëse ky minor i rendit më të lartë përmban minorin e dhënë.

Për shembull, duke pasur parasysh matricën

Le të marrim një të mitur

Të miturit në kufi do të jenë:

Algoritmi për gjetjen e rangut të një matrice tjetër.

1. Gjeni minore të rendit të dytë që nuk janë të barabarta me zero. Nëse të gjitha minoret e rendit të dytë janë të barabarta me zero, atëherë rangu i matricës do të jetë i barabartë me një ( r =1 ).

2. Nëse ka të paktën një minor të rendit të dytë që nuk është i barabartë me zero, atëherë kompozojmë minoret kufitare të rendit të tretë. Nëse të gjithë të miturit kufitarë të rendit të tretë janë të barabartë me zero, atëherë renditja e matricës është e barabartë me dy ( r =2 ).

3. Nëse të paktën një nga minoret kufitare të rendit të tretë nuk është i barabartë me zero, atëherë kompozojmë minoret kufitare. Nëse të gjitha minoret kufitare të rendit të katërt janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me tre ( r =2 ).

4. Vazhdoni në këtë mënyrë për aq kohë sa të lejon madhësia e matricës.

Shembulli 1. Gjeni gradën e një matrice

.

Zgjidhje. Minoren e rendit të dytë .

Le ta kufizojmë atë. Do të jenë katër të mitur në kufi:

,

,

Kështu, të gjithë të miturit kufitarë të rendit të tretë janë të barabartë me zero, prandaj, grada e kësaj matrice është e barabartë me dy ( r =2 ).

Shembulli 2. Gjeni gradën e një matrice

Zgjidhje. Renditja e kësaj matrice është e barabartë me 1, pasi të gjitha minoret e rendit të dytë të kësaj matrice janë të barabarta me zero (në këtë, si në rastet e të miturve në kufi në dy shembujt e mëposhtëm, të dashur studentë ftohen të verifikojnë për vetë, ndoshta duke përdorur rregullat për llogaritjen e përcaktorëve), dhe midis minoreve të rendit të parë, domethënë midis elementeve të matricës, ka ato jo zero.

Shembulli 3. Gjeni gradën e një matrice

Zgjidhje. Minorja e rendit të dytë e kësaj matrice është, dhe të gjitha minoret e rendit të tretë të kësaj matrice janë të barabarta me zero. Prandaj, rangu i kësaj matrice është dy.

Shembulli 4. Gjeni gradën e një matrice

Zgjidhje. Renditja e kësaj matrice është 3, pasi e vetmja minore e rendit të tretë e kësaj matrice është 3.

Gjetja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e transformimeve elementare (metoda Gauss)

Tashmë në shembullin 1 është e qartë se detyra e përcaktimit të renditjes së një matrice duke përdorur metodën e kufirit të të miturve kërkon llogaritjen e një numri të madh përcaktuesish. Megjithatë, ekziston një mënyrë për të reduktuar sasinë e llogaritjes në minimum. Kjo metodë bazohet në përdorimin e transformimeve elementare të matricës dhe quhet edhe metoda e Gausit.

Veprimet e mëposhtme kuptohen si transformime elementare të matricës:

1) shumëzimi i çdo rreshti ose kolone të një matrice me një numër të ndryshëm nga zero;

2) duke shtuar në elementet e çdo rreshti ose kolone të matricës elementet përkatëse të një rreshti ose kolone tjetër, të shumëzuar me të njëjtin numër;

3) ndërrimi i dy rreshtave ose kolonave të matricës;

4) heqja e rreshtave "nul", domethënë atyre, elementët e të cilëve janë të gjithë të barabartë me zero;

5) fshirja e të gjitha vijave proporcionale përveç njërës.

Teorema. Gjatë një transformimi elementar, rangu i matricës nuk ndryshon. Me fjalë të tjera, nëse përdorim transformime elementare nga matrica A shkoi në matricë B, Kjo .

Përcaktimi i rangut të një matrice

Konsideroni një matricë \(A\) të tipit \((m,n)\). Le të, për definicion, \(m \leq n\). Le të marrim rreshtat \(m\) dhe të zgjedhim kolonat \(m\) të matricës \(A\), në kryqëzimin e këtyre rreshtave dhe kolonave marrim një matricë katrore të rendit \(m\), përcaktori i së cilës quhet urdhër i vogël \(m\) matricat \(A\). Nëse ky minor është i ndryshëm nga 0, quhet bazë e vogël dhe thonë se rangu i matricës \(A\) është i barabartë me \(m\). Nëse ky përcaktues është i barabartë me 0, atëherë zgjidhen kolona të tjera \(m\), në kryqëzimin e tyre ka elementë që formojnë një minor tjetër të rendit \(m\). Nëse minori është 0, vazhdojmë procedurën. Nëse midis të gjitha minoreve të mundshme të rendit \(m\) nuk ka asnjë jozero, ne zgjedhim rreshtat dhe kolonat \(m-1\) nga matrica \(A\), në kryqëzimin e tyre një matricë katrore të rendit \(m- 1\) shfaqet , përcaktori i tij quhet minor i rendit \(m-1\) të matricës origjinale. Duke vazhduar procedurën, ne kërkojmë një minoren jo zero, duke kaluar nëpër të gjitha minoret e mundshme, duke ulur renditjen e tyre.

Përkufizimi.

Minorja jozero e një matrice të caktuar të rendit më të lartë quhet bazë e vogël të matricës origjinale, quhet rendi i saj gradë matricat \(A\), rreshtat dhe kolonat, në kryqëzimin e të cilave ka një bazë minore, quhen rreshta dhe kolona bazë. Rangu i një matrice shënohet me \(rang(A)\).

Nga ky përkufizim vijojnë vetitë e thjeshta të rangut të një matrice: është një numër i plotë, dhe rangu i një matrice jozero plotëson pabarazitë: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\ ).

Si do të ndryshojë rangu i matricës nëse fshihet një rresht? Të shtohet ndonjë rresht?

Kontrolloni përgjigjen

1) Renditja mund të ulet me 1.

2) Renditja mund të rritet me 1.

Varësia lineare dhe pavarësia lineare e kolonave të matricës

Le të jetë \(A\) një matricë e tipit \((m,n)\). Konsideroni kolonat e matricës \(A\) - këto janë kolona me numra \(m\) secila. Le t'i shënojmë ato \(A_1,A_2,...,A_n\). Le të jenë \(c_1,c_2,...,c_n\) disa numra.

Përkufizimi.

Kolona \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \shuma _(m=1)^nc_mA_m \] quhet kombinim linear i kolonave \(A_1,A_2,...,A_n\), numrave \( c_1,c_2 ,...,c_n\) quhen koeficientët e këtij kombinimi linear.

Përkufizimi.

Le të jepen kolonat \(p\) \(A_1, A_2, ..., A_p\). Nëse ka numra \(c_1,c_2,...,c_p\) të tillë që

1. jo të gjithë këta numra janë të barabartë me zero,

2. kombinimi linear \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) është i barabartë me kolonën zero (d.m.th një kolonë të gjithë elementët e së cilës janë zero), atëherë themi se kolonat \( A_1, A_2, ..., A_p\) varen në mënyrë lineare. Nëse për një grup të caktuar kolonash numra të tillë \(c_1,c_2,...,c_n\) nuk ekzistojnë, kolonat quhen linearisht të pavarura.

Shembull. Konsideroni 2-kolona

\[ A_1=\majtas(\fillimi(grupi)(c) 1 \\ 0 \end (vargu) \djathtas), A_2=\majtas(\fillimi(vargu)(c) 0 \\ 1 \fundi(vargu) \djathtas), \] atëherë për çdo numër \(c_1,c_2\) kemi: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \djathtas) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Ky kombinim linear është i barabartë me kolonën zero nëse dhe vetëm nëse të dy numrat \(c_1,c_2\) janë të barabartë me zero. Kështu, këto kolona janë linearisht të pavarura.

deklaratë. Në mënyrë që kolonat të jenë të varura në mënyrë lineare, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që njëra prej tyre të jetë një kombinim linear i të tjerave.

Le të jenë kolonat \(A_1,A_2,...,A_m\) të varura lineare, d.m.th. për disa konstante \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), jo të gjitha janë të barabarta me 0, vlen si vijon: \[ \shuma _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (në anën e djathtë është kolona zero). Le të, për shembull, \(\lambda _1 \neq 0\). Atëherë \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] d.m.th. kolona e parë është një kombinim linear i të tjerave.

Teorema bazë e vogël

Teorema.

Për çdo matricë jo-zero \(A\) sa vijon është e vërtetë:

1. Kolonat bazë janë linearisht të pavarura.

2. Çdo kolonë matrice është një kombinim linear i kolonave të saj bazë.

(E njëjta gjë vlen edhe për vargjet).

Le të jetë, për definicion, \((m,n)\) lloji i matricës \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) dhe baza minore ndodhet në \(r) e parë \) matricat e rreshtave dhe kolonave \(A\). Le të jetë \(s\) çdo numër midis 1 dhe \(m\), \(k\) çdo numër midis 1 dhe \(n\). Konsideroni një minor të formës së mëposhtme: \[ D=\left| \fille(array)(cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \pika &\ldpika & \lddots & \lddots & \lddots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \fund(array) \djathtas| , \] d.m.th. Ne caktuam kolonën \(s-\)-të dhe rreshtin \(k-\)-të në bazë të vogël. Sipas përcaktimit të rangut të një matrice, kjo përcaktor është e barabartë me zero (nëse zgjedhim \(s\leq r\) ose \(k \leq r\), atëherë ky minor ka 2 kolona identike ose 2 rreshta identikë, nëse \(s>r\) dhe \(k>r\) - sipas përkufizimit të renditjes, një minor me madhësi më të madhe se \(r\) bëhet zero). Le ta zgjerojmë këtë përcaktor përgjatë vijës së fundit, marrim: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks)=0. \quad \quad(16) \]

Këtu numrat \(A_(kp)\) janë plotësimet algjebrike të elementeve nga rreshti i poshtëm \(D\). Vlerat e tyre nuk varen nga \(k\), sepse janë formuar duke përdorur elementë nga linjat e para \(r\). Në këtë rast, vlera \(A_(ks)\) është një minore bazë, e ndryshme nga 0. Le të shënojmë \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). Le të rishkruajmë (16) në shënimin e ri: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] ose, duke e pjesëtuar me \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Kjo barazi është e vlefshme për çdo vlerë të \(k\), kështu që \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. ................................. \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Pra, kolona \(s-\)th është një kombinim linear i kolonave të para \(r\). Teorema është vërtetuar.

Koment.

Nga teorema bazë e vogël rrjedh se grada e një matrice është e barabartë me numrin e kolonave të saj linearisht të pavarura (që është e barabartë me numrin e rreshtave linearisht të pavarur).

Përfundimi 1.

Nëse përcaktori është zero, atëherë ai ka një kolonë që është një kombinim linear i kolonave të tjera.

Përfundimi 2.

Nëse rangu i një matrice është më i vogël se numri i kolonave, atëherë kolonat e matricës varen në mënyrë lineare.

Llogaritja e renditjes së një matrice dhe gjetja e bazës minore

Disa transformime të matricës nuk e ndryshojnë rangun e saj. Transformime të tilla mund të quhen elementare. Faktet përkatëse mund të verifikohen lehtësisht duke përdorur vetitë e përcaktorëve dhe duke përcaktuar gradën e një matrice.

1. Rirregullimi i kolonave.

2. Shumëzimi i elementeve të çdo kolone me një faktor jozero.

3. Shtimi i çdo kolone tjetër në një kolonë, shumëzuar me një numër arbitrar.

4. Kryqëzimi i kolonës zero.

E njëjta gjë vlen edhe për vargjet.

Duke përdorur këto transformime, matrica mund të shndërrohet në të ashtuquajturën formë "trapezoidale" - një matricë me vetëm zero nën diagonalen kryesore. Për një matricë "trapezoidale", renditja është numri i elementeve jozero në diagonalen kryesore, dhe minori bazë është minori, diagonalja e të cilit përkon me grupin e elementeve jozero në diagonalen kryesore të matricës së transformuar.

Shembull. Merrni parasysh matricën

\[ A=\majtas(\fillimi(vargu)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end (array) \djathtas). \] Ne do ta transformojmë atë duke përdorur transformimet e mësipërme. \[ A=\majtas(\fillimi(vargu)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \fund(array) \djathtas) \mapsto \left(\fillim(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \fund(array) \djathtas) \mapsto \left(\fillim(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \djathtas) \mapsto \] \[ \left(\fillim(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \fund(arrit) \djathtas)\mapsto \left(\fillim(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(array)\djathtas). \]

Këtu kryejmë në mënyrë sekuenciale hapat e mëposhtëm: 1) rirregullojmë rreshtin e dytë në krye, 2) zbresim rreshtin e parë nga pjesa tjetër me një faktor të përshtatshëm, 3) zbresim rreshtin e dytë nga i treti 4 herë, shtojmë rreshtin e dytë në e katërta, 4) kaloni linjat zero - e treta dhe e katërta . Matrica jonë përfundimtare ka marrë formën e dëshiruar: ka numra jo zero në diagonalen kryesore dhe zero nën diagonalen kryesore. Pas kësaj, procedura ndalon dhe numri i elementeve jozero në diagonalen kryesore është i barabartë me gradën e matricës. Minorja bazë është dy rreshtat e parë dhe dy kolonat e para. Në kryqëzimin e tyre ekziston një matricë e rendit 2 me një përcaktues jo zero. Në të njëjtën kohë, duke u rikthyer përgjatë zinxhirit të transformimeve, mund të gjurmoni se nga erdhi ky apo ai rresht (kjo apo ajo kolonë) në matricën përfundimtare, d.m.th. përcaktoni rreshtat dhe kolonat bazë në matricën origjinale. Në këtë rast, dy rreshtat e parë dhe dy kolonat e para formojnë bazën e vogël.

Për të punuar me konceptin e renditjes matricore, do të na duhen informacione nga tema "Komplementet algjebrike dhe minoret. Llojet e minoreve dhe komplementet algjebrike". Para së gjithash, kjo ka të bëjë me termin "matricë e vogël", pasi ne do të përcaktojmë gradën e matricës pikërisht përmes të miturve.

Rangu i matricësështë rendi maksimal i të miturve të tij, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero.

Matricat ekuivalente- matricat, radhët e të cilave janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Le të shpjegojmë më në detaje. Supozoni se midis të miturve të rendit të dytë ka të paktën një që është i ndryshëm nga zero. Dhe të gjithë të miturit rendi i të cilëve është më i lartë se dy janë të barabartë me zero. Përfundim: grada e matricës është 2. Ose, për shembull, midis të miturve të rendit të dhjetë ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero. Dhe të gjithë të miturit rendi i të cilëve është më i lartë se 10 janë të barabartë me zero. Përfundim: grada e matricës është 10.

Rangu i matricës $A$ shënohet si më poshtë: $\rang A$ ose $r(A)$. Rangu i matricës zero $O$ supozohet të jetë zero, $\rang O=0$. Më lejoni t'ju kujtoj se për të formuar një matricë minore ju duhet të kaloni rreshta dhe kolona, ​​por është e pamundur të kaloni më shumë rreshta dhe kolona sesa përmban vetë matrica. Për shembull, nëse matrica $F$ ka madhësi $5\herë 4$ (d.m.th. përmban 5 rreshta dhe 4 kolona), atëherë rendi maksimal i minoreve të saj është katër. Nuk do të jetë më e mundur të formohen të mitur të rendit të pestë, pasi ata do të kërkojnë 5 kolona (dhe ne kemi vetëm 4). Kjo do të thotë se rangu i matricës $F$ nuk mund të jetë më shumë se katër, d.m.th. $\ranga F≤4$.

Në formë më të përgjithshme, sa më sipër do të thotë se nëse një matricë përmban rreshta $m$ dhe kolona $n$, atëherë rangu i saj nuk mund të kalojë më të voglin prej $m$ dhe $n$, d.m.th. $\ranga A≤\min(m,n)$.

Në parim, nga vetë përkufizimi i gradës rrjedh metoda e gjetjes së saj. Procesi i gjetjes së renditjes së një matrice, sipas përkufizimit, mund të përfaqësohet skematikisht si më poshtë:

Më lejoni ta shpjegoj këtë diagram në më shumë detaje. Le të fillojmë të arsyetojmë që në fillim, d.m.th. nga minoret e rendit të parë të ndonjë matrice $A$.

1. Nëse të gjitha minoret e rendit të parë (d.m.th., elementët e matricës $A$) janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=0$. Nëse midis të miturve të rendit të parë ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, atëherë $\ranga A≥ 1$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të dytë.
2. Nëse të gjitha minoret e rendit të dytë janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=1$. Nëse midis të miturve të rendit të dytë ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, atëherë $\rangu A≥ 2$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të tretë.
3. Nëse të gjitha minoret e rendit të tretë janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=2$. Nëse midis të miturve të rendit të tretë ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, atëherë $\rangu A≥ 3$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të katërt.
4. Nëse të gjitha minoret e rendit të katërt janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=3$. Nëse midis të miturve të rendit të katërt ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, atëherë $\ranga A≥ 4$. Ne kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të pestë e kështu me radhë.

Çfarë na pret në fund të kësaj procedure? Është e mundur që midis minoreve të rendit kth të ketë të paktën një që është i ndryshëm nga zero, dhe të gjitha minoret e rendit (k+1) të jenë të barabarta me zero. Kjo do të thotë se k është rendi maksimal i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, d.m.th. grada do të jetë e barabartë me k. Mund të ketë një situatë të ndryshme: midis të miturve të rendit kth do të ketë të paktën një që nuk është e barabartë me zero, por nuk do të jetë më e mundur të formohen të mitur të rendit (k+1). Në këtë rast, rangu i matricës është gjithashtu i barabartë me k. Shkurtimisht, rendi i minorit të fundit jozero të përbërë do të jetë i barabartë me gradën e matricës.

Le të kalojmë te shembujt në të cilët procesi i gjetjes së renditjes së një matrice, sipas përkufizimit, do të ilustrohet qartë. Më lejoni të theksoj edhe një herë se në shembujt e kësaj teme do të fillojmë të gjejmë renditjen e matricave duke përdorur vetëm përkufizimin e renditjes. Metoda të tjera (llogaritja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e kufirit të minoreve, llogaritja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e transformimeve elementare) diskutohen në temat e mëposhtme.

Meqë ra fjala, nuk është aspak e nevojshme të fillohet procedura për gjetjen e gradës me të mitur të rendit më të vogël, siç është bërë në shembujt nr.1 dhe nr.2. Mund të kaloni menjëherë te të miturit e urdhrave më të lartë (shih shembullin nr. 3).

Shembulli nr. 1

Gjeni rangun e matricës $A=\left(\begin(array)(cccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \djathtas)$.

Kjo matricë ka madhësi $3\herë 5$, d.m.th. përmban tre rreshta dhe pesë kolona. Nga numrat 3 dhe 5, minimumi është 3, prandaj rangu i matricës $A$ nuk është më shumë se 3, d.m.th. $\ranga A≤ 3$. Dhe kjo pabarazi është e dukshme, pasi ne nuk do të jemi më në gjendje të formojmë të mitur të rendit të katërt - ata kërkojnë 4 rreshta, dhe ne kemi vetëm 3. Le të kalojmë drejtpërdrejt në procesin e gjetjes së renditjes së një matrice të caktuar.

Midis minoreve të rendit të parë (d.m.th. midis elementeve të matricës $A$) ka ato jo zero. Për shembull, 5, -3, 2, 7. Në përgjithësi, ne nuk jemi të interesuar për numrin total të elementeve jozero. Ekziston të paktën një element jo zero - dhe kjo është e mjaftueshme. Meqenëse midis të miturve të rendit të parë ka të paktën një jozero, ne konkludojmë se $\ rang A≥ 1$ dhe vazhdojmë të kontrollojmë të miturit e rendit të dytë.

Le të fillojmë të eksplorojmë të miturit e rendit të dytë. Për shembull, në kryqëzimin e rreshtave Nr. 1, Nr. 2 dhe kolonave Nr. 1, Nr. 4 ka elemente të minorit të mëposhtëm: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \djathtas| $. Për këtë përcaktor, të gjithë elementët e kolonës së dytë janë të barabartë me zero, prandaj vetë përcaktorja është e barabartë me zero, d.m.th. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (shih vetinë nr. 3 në temën e vetive të përcaktorëve). Ose thjesht mund ta llogarisni këtë përcaktor duke përdorur formulën nr. 1 nga seksioni për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë:

$$ \majtas|\fillimi(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \djathtas|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Minorja e parë e rendit të dytë që testuam doli të ishte e barabartë me zero. Çfarë do të thotë kjo? Për nevojën për të kontrolluar më tej të miturit e rendit të dytë. Ose të gjithë do të rezultojnë të jenë zero (dhe atëherë renditja do të jetë e barabartë me 1), ose midis tyre do të ketë të paktën një minor që është i ndryshëm nga zero. Le të përpiqemi të bëjmë një zgjedhje më të mirë duke shkruar një minor të rendit të dytë, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e rreshtave nr. 1, nr. 2 dhe kolonave nr. 1 dhe nr. 5: $\left|\begin( grup)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \djathtas|$. Le të gjejmë vlerën e kësaj minoreje të rendit të dytë:

$$ \majtas|\fillimi(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \djathtas|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Ky minor nuk është i barabartë me zero. Përfundim: në mesin e të miturve të rendit të dytë ka të paktën një jozero. Prandaj $\ rang A≥ 2$. Duhet të kalojmë në studimin e të miturve të rendit të tretë.

Nëse zgjedhim kolonën nr. 2 ose kolonën nr. 4 për të formuar minore të rendit të tretë, atëherë minore të tilla do të jenë të barabarta me zero (pasi ato do të përmbajnë një kolonë zero). Mbetet të kontrollohet vetëm një minor i rendit të tretë, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e kolonave nr.1, nr.3, nr.5 dhe rreshtave nr.1, nr.2, nr.3. Le ta shkruajmë këtë minor dhe të gjejmë vlerën e tij:

$$ \majtas|\fillimi(grupi)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \djathtas|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Pra, të gjitha minoret e rendit të tretë janë të barabarta me zero. Minorja e fundit jo zero që përpiluam ishte e rendit të dytë. Përfundim: rendi maksimal i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një jozero, është 2. Prandaj, $\rang A=2$.

Përgjigju: $\rang A=2$.

Shembulli nr. 2

Gjeni rangun e matricës $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \djathtas)$.

Ne kemi një matricë katrore të rendit të katërt. Le të vërejmë menjëherë se rangu i kësaj matrice nuk e kalon 4, d.m.th. $\ranga A≤ 4$. Le të fillojmë të gjejmë gradën e matricës.

Midis minoreve të rendit të parë (d.m.th., midis elementeve të matricës $A$) ekziston të paktën një që nuk është e barabartë me zero, prandaj $\rangu A≥ 1$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të dytë. Për shembull, në kryqëzimin e rreshtave Nr. 2, Nr. 3 dhe kolonave Nr. 1 dhe Nr. 2, marrim minoren vijuese të rendit të dytë: $\left| \fillim(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \djathtas|$. Le ta llogarisim:

$$\majtas| \fillimi(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \djathtas|=0-10=-10. $$

Ndër të miturit e rendit të dytë ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, kështu që $\ rang A≥ 2$.

Le të kalojmë tek të miturit e rendit të tretë. Le të gjejmë, për shembull, një të mitur, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e rreshtave nr. 1, nr. 3, nr. 4 dhe kolonave nr. 1, nr. 2, nr. 4:

$$\majtas | \fillim(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \djathtas|=105-105=0. $$

Meqenëse kjo minorenë e rendit të tretë doli të jetë e barabartë me zero, është e nevojshme të hetohet një tjetër minorene e rendit të tretë. Ose të gjithë do të jenë të barabartë me zero (atëherë grada do të jetë e barabartë me 2), ose midis tyre do të ketë të paktën një që nuk është e barabartë me zero (atëherë do të fillojmë të studiojmë të miturit e rendit të katërt). Le të shqyrtojmë një minor të rendit të tretë, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e rreshtave nr.2, nr.3, nr.4 dhe kolonave nr.2, nr.3, nr.4:

$$\majtas| \fillim(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \djathtas|=-28. $$

Ndër të miturit e rendit të tretë ka të paktën një jozero, kështu që $\ranga A≥ 3$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të katërt.

Çdo minor i rendit të katërt ndodhet në kryqëzimin e katër rreshtave dhe katër kolonave të matricës $A$. Me fjalë të tjera, minori i rendit të katërt është përcaktuesi i matricës $A$, pasi kjo matricë përmban 4 rreshta dhe 4 kolona. Përcaktori i kësaj matrice është llogaritur në shembullin nr. 2 të temës "Reduktimi i rendit të përcaktorit. Zbërthimi i përcaktorit në një rresht (kolona)", kështu që le të marrim vetëm rezultatin e përfunduar:

$$\majtas| \fillim(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \fund (array)\djathtas|=86. $$

Pra, minorja e rendit të katërt nuk është e barabartë me zero. Nuk mund të formojmë më të mitur të rendit të pestë. Përfundim: rendi më i lartë i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një jozero, është 4. Rezultati: $\rang A=4$.

Përgjigju: $\rang A=4$.

Shembulli nr. 3

Gjeni rangun e matricës $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end(array) \djathtas)$.

Le të vërejmë menjëherë se kjo matricë përmban 3 rreshta dhe 4 kolona, ​​kështu që $\rang A≤ 3$. Në shembujt e mëparshëm, ne filluam procesin e gjetjes së gradës duke marrë parasysh të miturit e rendit më të vogël (të parë). Këtu do të përpiqemi të kontrollojmë menjëherë të miturit e rendit më të lartë të mundshëm. Për matricën $A$ këto janë minoret e rendit të tretë. Le të shqyrtojmë një minor të rendit të tretë, elementët e të cilit shtrihen në kryqëzimin e rreshtave nr. 1, nr. 2, nr. 3 dhe kolonave nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$\majtas| \fillim(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \djathtas|=-8-60-20=-88. $$

Pra, rendi më i lartë i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, është 3. Prandaj, rangu i matricës është 3, d.m.th. $\rang A=3$.

Përgjigju: $\rang A=3$.

Në përgjithësi, gjetja e renditjes së një matrice sipas përkufizimit është, në rastin e përgjithshëm, një detyrë mjaft e vështirë. Për shembull, një matricë relativisht e vogël me madhësi $5\herë 4$ ka 60 minorenë të rendit të dytë. Dhe edhe nëse 59 prej tyre janë të barabarta me zero, atëherë minori i 60-të mund të rezultojë të jetë jo zero. Atëherë do t'ju duhet të studioni të miturit e rendit të tretë, nga të cilët kjo matricë ka 40 copë. Zakonisht ata përpiqen të përdorin metoda më pak të vështira, siç është metoda e kufirit të të miturve ose metoda e transformimeve ekuivalente.

Rangu i një matrice është një karakteristikë e rëndësishme numerike. Problemi më tipik që kërkon gjetjen e renditjes së një matrice është kontrollimi i konsistencës së një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Në këtë artikull do të japim konceptin e renditjes së matricës dhe do të shqyrtojmë metodat për gjetjen e tij. Për të kuptuar më mirë materialin, do të analizojmë në detaje zgjidhjet e disa shembujve.

Navigimi i faqes.

Përcaktimi i rangut të një matrice dhe konceptet e nevojshme shtesë.

Përpara se të shprehni përkufizimin e rangut të një matrice, duhet të keni një kuptim të mirë të konceptit të një minori, dhe gjetja e minoreve të një matrice nënkupton aftësinë për të llogaritur përcaktuesin. Pra, nëse është e nevojshme, ju rekomandojmë të kujtoni teorinë e artikullit, metodat për gjetjen e përcaktuesit të një matrice dhe vetitë e përcaktorit.

Le të marrim një matricë A të renditjes. Le të jetë k një numër natyror që nuk e kalon më të voglin e numrave m dhe n, d.m.th. .

Përkufizimi.

Rendi i vogël kth matrica A është përcaktues i një matrice katrore të rendit, e përbërë nga elementë të matricës A, të cilat janë të vendosura në k rreshta dhe k kolona të parazgjedhura, dhe renditja e elementeve të matricës A është ruajtur.

Me fjalë të tjera, nëse në matricën A fshijmë (p–k) rreshtat dhe (n–k) kolonat, dhe nga elementët e mbetur krijojmë një matricë, duke ruajtur renditjen e elementeve të matricës A, atëherë përcaktorja e matrica që rezulton është një minor i rendit k të matricës A.

Le të shohim përkufizimin e një minoreje matrice duke përdorur një shembull.

Merrni parasysh matricën .

Le të shkruajmë disa minore të rendit të parë të kësaj matrice. Për shembull, nëse zgjedhim rreshtin e tretë dhe kolonën e dytë të matricës A, atëherë zgjedhja jonë korrespondon me një minore të rendit të parë . Me fjalë të tjera, për të marrë këtë minor, ne kaluam rreshtin e parë dhe të dytë, si dhe kolonën e parë, të tretë dhe të katërt nga matrica A, dhe krijuam një përcaktues nga elementi i mbetur. Nëse zgjedhim rreshtin e parë dhe kolonën e tretë të matricës A, atëherë marrim një minor .

Le të ilustrojmë procedurën për marrjen e të miturve të konsideruar të rendit të parë
Dhe .

Kështu, minorët e rendit të parë të një matrice janë vetë elementët e matricës.

Le të tregojmë disa të mitur të rendit të dytë. Zgjidhni dy rreshta dhe dy kolona. Për shembull, merrni rreshtin e parë dhe të dytë dhe kolonën e tretë dhe të katërt. Me këtë zgjedhje kemi një të mitur të rendit të dytë . Ky minor gjithashtu mund të kompozohet duke fshirë rreshtin e tretë, kolonën e parë dhe të dytë nga matrica A.

Një tjetër minor i rendit të dytë i matricës A është .

Le të ilustrojmë ndërtimin e këtyre të miturve të rendit të dytë
Dhe .

Në mënyrë të ngjashme, minoret e rendit të tretë të matricës A mund të gjenden. Meqenëse ka vetëm tre rreshta në matricën A, ne i zgjedhim të gjitha. Nëse zgjedhim tre kolonat e para të këtyre rreshtave, marrim një minor të rendit të tretë

Mund të ndërtohet gjithashtu duke kryqëzuar kolonën e fundit të matricës A.

Një tjetër i vogël i rendit të tretë është

fitohet duke fshirë kolonën e tretë të matricës A.

Këtu është një foto që tregon ndërtimin e këtyre të miturve të rendit të tretë
Dhe .

Për një matricë të dhënë A nuk ka minore të rendit më të lartë se e treta, pasi .

Sa minore të rendit kth ka një matricë A e rendit ?

Numri i të miturve të rendit k mund të llogaritet si , ku Dhe - numri i kombinimeve përkatësisht nga p në k dhe nga n në k.

Si mund të ndërtojmë të gjitha minoret e rendit k të matricës A të rendit p me n?

Do të na duhen shumë numra rreshtash matricë dhe shumë numra kolonash. Ne shkruajmë gjithçka kombinimet e p elementeve nga k(ato do të korrespondojnë me rreshtat e zgjedhur të matricës A kur ndërtohet një minor i rendit k). Secilit kombinim të numrave të rreshtave shtojmë në mënyrë sekuenciale të gjitha kombinimet e n elementeve të k numrave të kolonave. Këto grupe kombinimesh të numrave të rreshtave dhe numrave të kolonave të matricës A do të ndihmojnë për të kompozuar të gjitha minoret e rendit k.

Le ta shohim me një shembull.

Shembull.

Gjeni të gjitha minoret e rendit të dytë të matricës.

Zgjidhje.

Meqenëse rendi i matricës origjinale është 3 me 3, totali i të miturve të rendit të dytë do të jetë .

Le të shkruajmë të gjitha kombinimet e numrave nga 3 deri në 2 rreshta të matricës A: 1, 2; 1, 3 dhe 2, 3. Të gjitha kombinimet e numrave të kolonave 3 deri në 2 janë 1, 2; 1, 3 dhe 2, 3.

Le të marrim rreshtat e parë dhe të dytë të matricës A. Duke zgjedhur kolonën e parë dhe të dytë, kolonën e parë dhe të tretë, kolonën e dytë dhe të tretë për këto rreshta, marrim përkatësisht minoret.

Për rreshtat e parë dhe të tretë, me një zgjedhje të ngjashme të kolonave, kemi

Mbetet për të shtuar kolonat e parë dhe të dytë, të parë dhe të tretë, të dytë dhe të tretë në rreshtat e dytë dhe të tretë:

Pra, të nëntë të miturit e rendit të dytë të matricës A janë gjetur.

Tani mund të vazhdojmë me përcaktimin e renditjes së matricës.

Përkufizimi.

Rangu i matricësështë rendi më i lartë i minorit jozero të matricës.

Rangu i matricës A shënohet si Rank(A). Ju gjithashtu mund të gjeni emërtimet Rg(A) ose Rang(A).

Nga përkufizimet e renditjes së matricës dhe matricës minore, mund të konkludojmë se grada e një matrice zero është e barabartë me zero, dhe grada e një matrice jozero nuk është më pak se një.

Gjetja e renditjes së një matrice sipas përkufizimit.

Pra, metoda e parë për gjetjen e renditjes së një matrice është mënyra e regjistrimit të të miturve. Kjo metodë bazohet në përcaktimin e rangut të matricës.

Le të na duhet të gjejmë rangun e një matrice A të rendit .

Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmi zgjidhjen e këtij problemi duke numëruar të miturit.

Nëse ka të paktën një element të matricës që është i ndryshëm nga zero, atëherë rangu i matricës është të paktën i barabartë me një (pasi ekziston një minor i rendit të parë që nuk është i barabartë me zero).

Më pas shikojmë të miturit e rendit të dytë. Nëse të gjithë të miturit e rendit të dytë janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me një. Nëse ka të paktën një minor jo-zero të rendit të dytë, atëherë vazhdojmë të numërojmë minoret e rendit të tretë, dhe grada e matricës është të paktën e barabartë me dy.

Në mënyrë të ngjashme, nëse të gjithë të miturit e rendit të tretë janë zero, atëherë rangu i matricës është dy. Nëse ka të paktën një minor të rendit të tretë përveç zeros, atëherë renditja e matricës është të paktën tre, dhe kalojmë në numërimin e të miturve të rendit të katërt.

Vini re se rangu i matricës nuk mund të kalojë më të voglin e numrave p dhe n.

Shembull.

Gjeni gradën e matricës .

Zgjidhje.

Meqenëse matrica është jo zero, rangu i saj nuk është më pak se një.

Minoren e rendit të dytë është e ndryshme nga zero, prandaj, rangu i matricës A është të paktën dy. Kalojmë në numërimin e të miturve të rendit të tretë. Totali i tyre gjërat.

Të gjitha minoret e rendit të tretë janë të barabarta me zero. Prandaj, rangu i matricës është dy.

Përgjigje:

Renditja (A) = 2 .

Gjetja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e kufirit të të miturve.

Ka metoda të tjera për të gjetur gradën e një matrice që ju lejojnë të merrni rezultatin me më pak punë llogaritëse.

Një metodë e tillë është metodë e vogël e skajit.

Le të merremi me koncepti i skajit të vogël.

Thuhet se një M ok i vogël i rendit (k+1) të matricës A kufizohet me një të vogël M të rendit k të matricës A nëse matrica që i korrespondon minorit M ok "përmban" matricën që i korrespondon minorit. M .

Me fjalë të tjera, matrica që i korrespondon minorit kufitar M merret nga matrica që i përgjigjet minorit kufitar M ok duke fshirë elementët e një rreshti dhe një kolone.

Për shembull, merrni parasysh matricën dhe të marrë një të vogël të rendit të dytë. Le të shkruajmë të gjithë të miturit në kufi:

Metoda e kufirit të minoreve justifikohet nga teorema e mëposhtme (e paraqesim formulimin e saj pa prova).

Teorema.

Nëse të gjitha minoret që kufizojnë minorin e rendit k-të të një matrice A të rendit p me n janë të barabarta me zero, atëherë të gjitha minoret e rendit (k+1) të matricës A janë të barabarta me zero.

Kështu, për të gjetur gradën e një matrice nuk është e nevojshme të kalojmë nëpër të gjithë të miturit që janë mjaftueshëm në kufi. Numri i minoreve që kufizojnë minorin e rendit kth të një matrice A të rendit , gjendet me formulën . Vini re se nuk ka më shumë minore që kufizojnë minorin e rendit k-të të matricës A sesa ka (k + 1) minore të renditjes së matricës A. Prandaj, në shumicën e rasteve, përdorimi i metodës së kufirit të të miturve është më fitimprurës sesa thjesht numërimi i të gjithë të miturve.

Le të kalojmë në gjetjen e renditjes së matricës duke përdorur metodën e kufirit të të miturve. Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmi këtë metodë.

Nëse matrica A është jozero, atëherë si minor i rendit të parë marrim çdo element të matricës A që është i ndryshëm nga zero. Le të shohim të miturit e saj në kufi. Nëse të gjithë janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me një. Nëse ka të paktën një minore kufitare jo zero (rendi i saj është dy), atëherë ne vazhdojmë të marrim parasysh të miturat e saj kufitare. Nëse të gjitha janë zero, atëherë Rank(A) = 2. Nëse të paktën një minor kufitar është jo zero (rendi i tij është tre), atëherë ne i konsiderojmë minoret kufitare të tij. Dhe kështu me radhë. Si rezultat, Rank(A) = k nëse të gjitha minoret kufitare të rendit (k + 1) të matricës A janë të barabarta me zero, ose Rank(A) = min(p, n) nëse ka një jo- zero minor që kufizohet me një minor të rendit (min( p, n) – 1) .

Le të shohim metodën e kufirit të të miturve për të gjetur gradën e një matrice duke përdorur një shembull.

Shembull.

Gjeni gradën e matricës me metodën e kufirit të të miturve.

Zgjidhje.

Meqenëse elementi a 1 1 i matricës A është jozero, ne e marrim atë si një minor të rendit të parë. Le të fillojmë të kërkojmë për një të vogël kufitare që është e ndryshme nga zero:

Gjendet një skaj i vogël i rendit të dytë, i ndryshëm nga zero. Le të shohim të miturit e saj në kufi (të tyre gjërat):

Të gjithë të miturit që kufizojnë minorin e rendit të dytë janë të barabartë me zero, prandaj, rangu i matricës A është i barabartë me dy.

Përgjigje:

Renditja (A) = 2 .

Shembull.

Gjeni gradën e matricës duke përdorur të mitur në kufi.

Zgjidhje.

Si minor jozero i rendit të parë, marrim elementin a 1 1 = 1 të matricës A. I mituri rrethues i rendit të dytë jo e barabartë me zero. Ky i mitur kufizohet me një të mitur të rendit të tretë
. Meqenëse nuk është e barabartë me zero dhe nuk ka asnjë të vogël kufitare për të, rangu i matricës A është i barabartë me tre.

Përgjigje:

Renditja (A) = 3 .

Gjetja e renditjes duke përdorur transformimet elementare të matricës (metoda Gauss).

Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të gjetur gradën e një matrice.

Transformimet e mëposhtme të matricës quhen elementare:

• riorganizimi i rreshtave (ose kolonave) të një matrice;
• duke shumëzuar të gjithë elementët e çdo rreshti (kolone) të një matrice me një numër arbitrar k, të ndryshëm nga zero;
• duke u shtuar elementeve të një rreshti (kolone) elementet përkatëse të një rreshti (kolone) tjetër të matricës, të shumëzuar me një numër arbitrar k.

Matrica B quhet ekuivalente me matricën A, nëse B merret nga A duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare. Ekuivalenca e matricave shënohet me simbolin "~", domethënë shkruhet A ~ B.

Gjetja e renditjes së një matrice duke përdorur transformimet elementare të matricës bazohet në pohimin: nëse matrica B merret nga matrica A duke përdorur një numër të fundëm transformimesh elementare, atëherë Rank(A) = Rank(B) .

Vlefshmëria e kësaj deklarate rrjedh nga vetitë e përcaktorit të matricës:

• Kur riorganizoni rreshtat (ose kolonat) e një matrice, përcaktori i saj ndryshon shenjën. Nëse është e barabartë me zero, atëherë kur rreshtat (kolonat) riorganizohen, ajo mbetet e barabartë me zero.
• Kur shumëzoni të gjithë elementët e çdo rreshti (kolone) të një matrice me një numër arbitrar k të ndryshëm nga zero, përcaktori i matricës që rezulton është i barabartë me përcaktuesin e matricës origjinale të shumëzuar me k. Nëse përcaktori i matricës origjinale është i barabartë me zero, atëherë pasi të keni shumëzuar të gjithë elementët e çdo rreshti ose kolone me numrin k, përcaktori i matricës që rezulton gjithashtu do të jetë i barabartë me zero.
• Shtimi i elementeve të një rreshti (kolone) të caktuar të një matrice elementet përkatëse të një rreshti (kolone) tjetër të matricës, të shumëzuar me një numër të caktuar k, nuk ndryshon përcaktuesin e saj.

Thelbi i metodës së transformimeve elementare konsiston në zvogëlimin e matricës, gradën e së cilës duhet ta gjejmë në një trapezoidale (në një rast të veçantë, në një trekëndësh të sipërm) duke përdorur transformime elementare.

Pse po bëhet kjo? Renditja e matricave të këtij lloji është shumë e lehtë për t'u gjetur. Është e barabartë me numrin e rreshtave që përmbajnë të paktën një element jo zero. Dhe meqenëse rangu i matricës nuk ndryshon kur kryhen transformime elementare, vlera që rezulton do të jetë rangu i matricës origjinale.

Ne japim ilustrime të matricave, njëra prej të cilave duhet të merret pas transformimeve. Pamja e tyre varet nga rendi i matricës.

Këto ilustrime janë shabllone në të cilat ne do të transformojmë matricën A.

Le të përshkruajmë algoritmi i metodës.

Le të na duhet të gjejmë rangun e një matrice A jozero të rendit (p mund të jetë e barabartë me n).

Kështu që, . Le të shumëzojmë të gjithë elementët e rreshtit të parë të matricës A me . Në këtë rast, marrim një matricë ekuivalente, duke e treguar atë A (1):

Elementeve të rreshtit të dytë të matricës rezultuese A (1) shtojmë elementët përkatës të rreshtit të parë, shumëzuar me . Elementeve të rreshtit të tretë u shtojmë elementet përkatëse të rreshtit të parë, shumëzuar me . Dhe kështu me radhë deri në vijën p-të. Le të marrim një matricë ekuivalente, ta shënojmë A (2):

Nëse të gjithë elementët e matricës rezultuese të vendosura në rreshta nga e dyta në p-th janë të barabarta me zero, atëherë rangu i kësaj matrice është i barabartë me një, dhe, rrjedhimisht, rangu i matricës origjinale është i barabartë tek një.

Nëse në rreshtat nga e dyta në p-të ka të paktën një element jozero, atëherë vazhdojmë të kryejmë transformime. Për më tepër, ne veprojmë saktësisht në të njëjtën mënyrë, por vetëm me pjesën e matricës A (2) të shënuar në figurë.

Nëse , atëherë ne i riorganizojmë rreshtat dhe (ose) kolonat e matricës A (2) në mënyrë që elementi "i ri" të bëhet jo zero.