Le të jetë S një hapësirë Euklidiane dhe të jetë kompleksizimi i saj. Ne prezantojmë produktin skalar në S me formulën:
Është e nevojshme të kontrollohet saktësia e këtij përkufizimi. Aditiviteti në lidhje me argumentin e parë me një të dytë fiks është i dukshëm. Për të kontrolluar linearitetin në lidhje me argumentin e parë, mjafton të sigurohemi që është e mundur të hiqet faktori kompleks nga argumenti i parë. Llogaritja përkatëse nuk është e vështirë, por mjaft e rëndë. Pikërisht:
Simetria me involucionin është e dukshme - kur ndërrohen vendet, pjesa reale e produktit skalar nuk ndryshon, dhe pjesa imagjinare ndryshon shenjën në të kundërtën.
Së fundi, nëse. Kështu, kompleksizimi i hapësirës Euklidiane S bëhet një hapësirë unitare.
Vini re gjithashtu se produkti skalar i një çifti vektorësh dhe produkti skalar i një çifti vektorësh kompleks të konjuguar me ta janë të konjuguar kompleks. Kjo rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i produktit me pika në.
2. Operatorët në hapësirën Euklidiane dhe vazhdimi i tyre drejt kompleksizimit.
Në hapësirën Euklidiane, operatori adjoint përcaktohet për një operator me të njëjtën formulë për çdo x dhe y, si në një hapësirë unitare. Dëshmia e ekzistencës dhe unike e operatorit adjoint nuk ndryshon në asnjë mënyrë nga provat e ngjashme për një hapësirë unitare. Matrica e operatorit në bazën ortonormale thjesht transpozohet me matricën e operatorit.Kur operatorët reciprokisht të konjuguar vazhdojnë nga S në, ata mbeten të konjuguar.
Vërtet,
3. Operatorët normalë në hapësirën Euklidiane.
Një operator normal në një hapësirë Euklidiane S mbetet normal në vazhdimësi të kompleksizimit të hapësirës S. Prandaj, S ka një bazë ortonorale të eigenvektorëve që diagonalizojnë matricën e operatorit A.
Për eigenvlerat reale, ne mund të marrim eigenvektorë realë, domethënë të shtrirë në S. Në të vërtetë, koordinatat e eigenvektorëve në lidhje me bazën përcaktohen nga ekuacionet lineare homogjene me koeficientë realë në rastin kur eigenvlera është reale.
Eigenvlerat komplekse shfaqen në çifte konjugatash me të njëjtën shumësi. Pasi të keni zgjedhur një bazë ortonormale nga eigenvektorët që i përkasin disa vlerave vetjake në, baza e eigenvektorëve për eigenvalue mund të merret nga vektorët e konjuguar me vektorët e bazës së eigenvlerave për X. Një bazë e tillë do të jetë ortonormale. Tani shtrijmë një nënhapësirë komplekse dydimensionale për çdo çift vektorësh dhe vektorë të konjuguar.
Të gjitha këto nënhapësira janë të pandryshueshme, ortogonale me njëra-tjetrën dhe me eigenvektorët realë që korrespondojnë me eigenvlerat reale.
Hapësira komplekse e shtrirë nga vektorë dhe padyshim përkon me nënhapësirën komplekse të shtrirë nga vektorët Real u dhe y, dhe, për rrjedhojë, është kompleksizimi i nënhapësirës reale të shtrirë nga.
sepse në hapësirën Euklidiane S produkti skalar është simetrik.
Nga kjo barazi rrjedh se, d.m.th., vektorët dhe dhe v janë gjithashtu ortogonalë. Le të kujtojmë tani se vektori është i normalizuar, domethënë, në funksion të ortogonalitetit të u dhe. Prandaj, në mënyrë që vektorët u dhe v të mos normalizohen, por të normalizohen pas shumëzimit me
Pra, për një operator normal që vepron në një hapësirë Euklidiane S, ekziston një bazë ortonormale e përbërë nga eigenvektorë që u përkasin eigenvlerave reale dhe të shumëzuar me pjesë reale dhe imagjinare të eigenvektorëve që i përkasin eigenvlerave komplekse. Nënhapësirat njëdimensionale të shtrira nga eigjenvektorë realë dhe nënhapësirat dydimensionale të përfshira nga komponentët e eigjenvektorëve kompleksë janë të pandryshueshme, kështu që matrica e operatorit në bazën e ndërtuar është pothuajse diagonale dhe e përbërë nga blloqe diagonale të rendit të parë dhe të dytë. Blloqet e rendit të parë janë eigenvlera reale. Le të gjejmë blloqe të rendit të dytë. Le të jetë një vektor vetjak që i përket vlerës vetjake. Pastaj
Saktësisht të njëjtat marrëdhënie mbeten pasi vektorët shumëzohen me Kështu, blloqet e rendit të dytë kanë formën
Vini re gjithashtu se këto blloqe shfaqen nga nënhapësira e shtrirë nga eigenvektorët e konjuguar që u përkasin vlerave vetjake të konjuguara, kështu që së bashku me bllokun e shkruar duke përdorur eigenvalue, nuk është e nevojshme të përfshihet blloku që korrespondon me eigenvalue.
4. Operatorët e vetëpërbashkët në hapësirën Euklidiane.
Një operator normal në hapësirën Euklidiane është i vetë-bashkuar nëse dhe vetëm nëse të gjitha vlerat e tij vetjake janë reale. Në të vërtetë, një operator vetë-bashkues në një hapësirë Euklidiane mbetet i vetë-përbashkët edhe në një kompleksim. Prandaj, ekziston një bazë ortonormale në vetë hapësirën Euklidiane, në të cilën matrica e saj është diagonale. Për sa i përket matricave, kjo do të thotë që për çdo matricë reale simetrike A, ekziston një matricë ortogonale C e tillë që ajo të jetë diagonale. Kjo rrethanë u sqarua në Ch. V në lidhje me shndërrimin ortogonal të trajtës kuadratike në trajtë kanonike. Lidhja e ngushtë ndërmjet teorisë së operatorëve të vetëpërbashkët në hapësirën Euklidiane me teorinë e formave kuadratike shihet qartë nga fakti se produkti skalar shprehet në termat e koordinatave të një vektori në një bazë ortonormale në formën e një kuadratik. forma me një matricë të barabartë me matricën e operatorit M në të njëjtën bazë, dhe me një transformim ortogonal të koordinatave, operatori i matricës dhe matrica e formës kuadratike transformohen në të njëjtën mënyrë:
sepse për një matricë ortogonale
Për operatorët vetë-bashkues në një hapësirë Euklidiane, mbahen të njëjtat veti siç u vunë re për operatorët e vetë-përbashkët në një hapësirë unitare dhe provat e tyre nuk janë të ndryshme nga ato në rastin e një hapësire unitare.
Prandaj, ne do të kufizohemi në renditjen e tyre.
Një operator i vetë-përbashkët është i përcaktuar pozitiv nëse dhe vetëm nëse vlerat e tij vetjake janë pozitive.
Një rrënjë katrore e përcaktuar pozitive mund të nxirret nga një operator i caktuar pozitiv i vetë-përbashkët.
Çdo operator jo i degjeneruar mund të përfaqësohet si produkt i një operatori të caktuar pozitiv vetë-përbashkët dhe një ortogonal, si në një, apo jo? dhe në një mënyrë tjetër.
Një operator projeksioni ortogonal është një operator idempotent vetë-përvarur dhe anasjelltas, një operator idempotent vetë-përbashkët është një operator projeksioni ortogonal.
5. Operatorët ortogonalë.
Një operator ortogonal ka një matricë ortogonale në çdo bazë ortonormale. Meqenëse operatori ortogonal është normal, ekziston një bazë ortonormale në të cilën matrica e operatorit është bllok-diagonale dhe përbëhet nga numra realë në diagonale dhe blloqe të llojit të ortogonalitetit të një matrice të tillë, rrjedh se në çdo bllok të rendi i dytë (Kjo mund të shihet edhe nga fakti që operatori ortogonal bëhet unitar ndërsa ne vazhdojmë të kompleksojmë, dhe për këtë arsye të gjitha vlerat e tij eigen janë modul 1.)
Mund të vendosni. Një operator në një aeroplan me një matricë është një operator i rrotullimit të një rrafshi me një kënd.
Një operator ortogonal quhet saktë ortogonal nëse përcaktori i matricës së tij është i barabartë me 1; nëse përcaktorja është -1, atëherë operatori quhet gabimisht ortogonal. Rendi i vektorëve bazë mund të zgjidhet në mënyrë që diagonalja të ndiqet nga fillimi 1, pastaj -1 dhe më pas blloqet e rendit të dytë. Nëse operatori është saktë ortogonal, numri i elementeve diagonale të barabartë me -1 është çift. Një matricë e rendit të dytë konsiderohet si një bllok i rendit të dytë gjeometrikisht që nënkupton rrotullimin e aeroplanit me.
Kështu, veprimi i operatorit të duhur ortogonal gjeometrikisht nënkupton sa vijon. Hapësira është e ndarë në një shumë ortogonale të nënhapësirave, njëra prej të cilave shtrihet nga eigenvektorët që i përkasin eigenvalue 1, e cila është nënhapësira e vektorëve fiks, dhe disa nënhapësirë dydimensionale, secila prej të cilave rrotullohet përmes një këndi (në përgjithësi. , plane të ndryshme në kënde të ndryshme).
Në rastin e një operatori jo të duhur ortogonal, ekziston edhe një vektor bazë, i cili shndërrohet në atë të kundërt nën veprimin e operatorit.
Në këtë seksion, ne tregojmë se si përkufizimet dhe rezultatet e seksioneve të mëparshme kalojnë në rastin e hapësirave reale Euklidiane.
1. Vërejtje të përgjithshme.
Konsideroni një hapësirë V reale Euklidiane me dimensione arbitrare dhe një operator A që vepron në V.
Koncepti i një operatori linear për rastin e një hapësire lineare reale është formuluar në analogji të plotë me konceptin përkatës për një hapësirë komplekse.
Përkufizimi 1. Një operator A quhet linear nëse për çdo element të çdo numri real a dhe P barazia
Në analogji të plotë me një hapësirë komplekse, prezantohet koncepti i një eigenvalue dhe një eigenvector të një operatori.
Është e rëndësishme të theksohet se eigenvlerat janë rrënjët e ekuacionit karakteristik të operatorit.
Pohimi i kundërt në rastin real është i vërtetë vetëm nëse rrënja përkatëse e ekuacionit karakteristik është reale. Vetëm në këtë rast rrënja e treguar do të jetë një eigenvalue e operatorit linear të konsideruar.
Në këtë drejtim, është e natyrshme të dallojmë disa klasë operatorësh linearë në një hapësirë reale Euklidiane, të gjitha rrënjët e ekuacioneve karakteristike të së cilës janë reale.
Në Teoremën 5.16 të vërtetuar më sipër, u vërtetua se të gjitha vlerat vetjake të një operatori vetë-bashkues janë reale. Për më tepër, koncepti i një operatori vetë-bashkues luajti një rol të rëndësishëm në përfundimet e § 6 të këtij kapitulli mbi format kuadratike. Prandaj, është e natyrshme të transferohet koncepti i një operatori vetë-përbashkues në rastin e një hapësire reale.
Ne fillimisht prezantojmë konceptin e një operatori A të konjuguar me një operator A. Domethënë, një operator A quhet i konjuguar me A nëse për çdo x dhe y nga V barazia
Teorema 5.12 mbi ekzistencën dhe veçantinë e operatorit adjoint mund të bartet pa vështirësi në rastin e një hapësire reale.
Kujtoni se vërtetimi i teoremës 5.12 bazohet në konceptin e një forme sekulineare. Në rastin real, në vend të formës sekulineare, duhet përdorur forma bilineare
Në lidhje me këtë, në nënseksionin 2, § 4, Ch. 5, bëhet një vërejtje përkatëse.
Në lidhje me këtë, ne kujtojmë përkufizimin e një forme bilineare në çdo hapësirë lineare reale, jo domosdoshmërisht Euklidiane. Le të jetë B një funksion që i cakton çdo çifti të renditur vektorësh një numër real.
Përkufizimi 2. Një funksion quhet një formë bilineare e përcaktuar nëse për ndonjë vektor nga dhe çdo numër real X relacionet
Një rol të rëndësishëm në këtë seksion do të luajë një paraqitje e veçantë e formës bilineare në formë
ku A është një operator linear. Teorema përkatëse (teorema 5.11) për një paraqitje të ngjashme të një forme sekulineare në një hapësirë komplekse u bazua në përfundimet e lemës në § 4 të këtij kapitulli mbi një paraqitje të veçantë të një forme lineare. Në fund të këtij nënseksioni, u vu re se kjo lemë është e vërtetë edhe në një hapësirë reale. Vërejmë vetëm se në vërtetimin e lemës zgjedhja e elementeve duhet të bëhet jo me formulën (5.41), por me formulën ku është një formë e dhënë lineare në hapësirën reale.
Në § 6 të këtij kapitulli, u prezantuan format hermitiane. Një formë hermitiane është një formë sekulineare në një hapësirë komplekse, e karakterizuar nga një relacion (një shirit mbi B do të thotë se merret vlera komplekse e konjuguar për B).
Në rastin e një hapësire reale, format bilineare simetrike janë analoge me format hermitiane. Kjo formë karakterizohet nga raporti
Një formë bilineare e përcaktuar në një hapësirë lineare quhet skew-simetrike nëse për çdo vektor nga relacioni është i kënaqur Natyrisht, për çdo formë bilineare të funksionit
janë përkatësisht forma bilineare simetrike dhe anore-simetrike. Që atëherë marrim deklaratën e mëposhtme:
Çdo formë bilineare mund të përfaqësohet si shuma e një forme bilineare simetrike dhe anore-simetrike.
Është e lehtë të shihet se një përfaqësim i tillë është unik.
Do të vërtetojmë teoremën e mëposhtme për format simetrike bilineare (kjo teoremë është analoge me teoremën 5.25 për format hermitiane).
Teorema 5.33. Në mënyrë që forma bilineare e dhënë në të gjithë vektorët e mundshëm x dhe y të hapësirës reale Euklidiane V të jetë simetrike, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që operatori linear A që shfaqet në paraqitjen (5.113) të jetë i vetëpërbashkët.
Dëshmi. Nëse A është një operator vetë-bashkues, atëherë duke përdorur vetitë e produktit skalar, marrim
Kështu, relacioni (5.114) qëndron, domethënë forma bilineare është simetrike.
Nëse forma është simetrike, atëherë ekzistojnë marrëdhëniet e mëposhtme:
Rrjedhimisht, operatori A është i vetë-bashkuar. Teorema është vërtetuar.
Ne prezantojmë konceptin e një matrice të një operatori linear A, Le të jetë një bazë në një hapësirë lineare reale -dimensionale. Ne kemi vënë
Atëherë, si në rastin kompleks, është e lehtë të tregohet se nëse atëherë. Për komponentët e vektorit, paraqitja e mëposhtme është e vlefshme
Matrica quhet matrica e operatorit linear A në bazë
Ashtu si është bërë në § 2 të këtij kreu, mund të vërtetohet se sasia nuk varet nga zgjedhja e bazës dhe, kështu, përcaktori i operatorit A është futur saktë.
Ekuacioni karakteristik që i korrespondon operatorit A quhet ekuacion; polinomi në anën e majtë të këtij ekuacioni quhet polinomi karakteristik i operatorit A.
Le të provojmë tani një teoremë mbi rrënjët e polinomit karakteristik të një operatori vetë-përbashkët në një hapësirë reale Euklidiane.
Teorema 5.34. Të gjitha rrënjët e polinomit karakteristik të një operatori linear të vetëpërbashkët A në hapësirën Euklidiane janë reale.
Dëshmi. Le të jetë rrënja e ekuacionit karakteristik
operatori i vetë-bashkuar A.
Ne rregullojmë disa bazë në V dhe shënojmë me - elementet e matricës së operatorit A në këtë bazë (vini re se janë numra realë).
Ne do të kërkojmë një zgjidhje jozero për sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve homogjene lineare në lidhje me
Meqenëse përcaktori i sistemit (5.116) është i barabartë (kujtojmë se përcaktori i matricës së transformimit linear nuk varet nga zgjedhja e bazës dhe, sipas (5.115), kjo përcaktor është e barabartë me zero), atëherë sistemi (5.116 ) e ekuacioneve lineare homogjene ka një zgjidhje jozero
Duke e zëvendësuar këtë zgjidhje në anën e djathtë dhe të majtë të sistemit (5.116), duke marrë parasysh këtë dhe duke ndarë më pas pjesët reale dhe imagjinare të marrëdhënieve të marra, gjejmë se bashkësitë e numrave realë plotësojnë sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:
Konsideroni në këtë bazë vektorët x dhe y me koordinata, përkatësisht. Pastaj relacionet (5.117) mund të rishkruhen si
Le të shumëzojmë të parën nga relacionet e marra në mënyrë shkallëzore me y dhe të dytën me x. Natyrisht, ne marrim barazitë
Meqenëse operatori A është i vetëpërbashkët, prandaj, duke zbritur relacionet (5.118), marrim barazinë
Por (nëse atëherë, pra, zgjidhja do të ishte zero, ndërsa nga ndërtimi kjo zgjidhje është jozero). Prandaj, siç është pjesa imagjinare e rrënjës së ekuacionit karakteristik (5.115), atëherë, padyshim, është një numër real. Teorema është vërtetuar.
Ashtu si në rastin e ndërlikuar, për një operator vetë-bashkues, është i vlefshëm pohimi për ekzistencën e një baze ortonormale që përbëhet nga eigenvektorët e këtij operatori (një analog i teoremës 5.21). Le ta vërtetojmë këtë deklaratë.
Teorema 5.35. Çdo operator linear i vetë-bashkuar A që vepron në një hapësirë V euklidiane reale n-dimensionale ka një bazë ortonormale eigjenvektorësh.
Dëshmi. Le të jetë eigenvlera reale e operatorit A, dhe të jetë eigenvektori i njësisë që korrespondon me këtë vlerë vetjake
Ne shënojmë me nënhapësirën -dimensionale të hapësirës V ortogonale në. Në të vërtetë, le të atëherë Meqenëse operatori A është i vetë-bashkuar - eigenvlera e A, marrim
Operatorë linearë të vetë-përbashkëtAplikacione portative Windows në Bodrenko.com
§ 5. Operatorë linearë të vetëpërbashkët
në hapësirën Euklidiane
.
1. Koncepti i një operatori të konjuguar. Ne do të konsiderojmë operatorë linearë në një hapësirë Euklidiane V me dimensione të fundme. Përkufizimi 1. Një operator A * nga L (V, V) quhet i konjuguar me një operator linear A nëse për çdo x dhe y nga V relacioni
(Ax, y) = (x, A * y). (5.51)
Është e lehtë të verifikohet që operatori A *, i konjuguar me një operator linear A, është në vetvete një operator linear. Kjo rrjedh nga lidhja e dukshme
e cila është e vlefshme për çdo element x, y 1, y 2 dhe çdo numër kompleks α dhe β.
Le të vërtetojmë teoremën e mëposhtme.
Teorema 5.12.Çdo operator linear A ka një operator unik adjoint.
Dëshmi. Natyrisht, prodhimi skalar (Ax, y) është një formë sekulineare (shih kapitullin 4, § 3, pika 1 dhe përkufizimin e një forme sekulineare). Nga teorema 5.11, ekziston një operator unik linear A * i tillë që kjo formë mund të përfaqësohet në formën (x, A * y). Kështu, (Ax, y) = x, A * y.
Rrjedhimisht, operatori A * është i konjuguar me operatorin A. Veçantia e operatorit A * rrjedh nga veçantia e paraqitjes së operatorit sekulinear në formën E.44). Teorema është vërtetuar.
Në vijim, simboli A * do të tregojë operatorin e konjuguar me operatorin A.
Vini re vetitë e mëposhtme të operatorëve të konjuguar:
Vërtetimet e vetive 1 ° -4 ° janë elementare dhe ia lëmë lexuesit. Le të japim një provë të pronës 5 °. Sipas përcaktimit të produktit të operatorëve, relacioni (AB) x = A (Bx) është i vërtetë. Duke përdorur këtë barazi dhe përkufizimin e operatorit adjoint, marrim zinxhirin e mëposhtëm të marrëdhënieve:
((AB) x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A * y) = (x, B * (A * y)) = (x, (B * A *) y) . ..
Kështu, ((AB) x, y) = (x, (B * A *) y). Me fjalë të tjera, operatori B * A * është i konjuguar me operatorin AB. Vlefshmëria e pronës 5 ° është vendosur.
Komentoni. Koncepti i një operatori të konjuguar për një hapësirë reale është paraqitur në një mënyrë krejtësisht të ngjashme. Përfundimet e këtij nënseksioni dhe vetitë e operatorëve të konjuguar janë gjithashtu të vlefshme për këtë rast (në këtë rast, vetia 3 ° formulohet si më poshtë: (λА) * = λА *).
2. Operatorët e vetë-bashkuar. Vetitë themelore.
Përkufizimi 2. Një operator linear A nga L (V, V) quhet vetë-bashkues nëse barazia
A * = A.
Një operator vetë-bashkues në një hapësirë reale përcaktohet në mënyrë të ngjashme.
Shembulli më i thjeshtë i një operatori vetë-bashkues është operatori i identitetit I (shih veçorinë 1 ° të operatorëve të bashkuar në nënseksionin e mëparshëm).
Operatorët vetë-bashkues mund të përdoren për të marrë një paraqitje të veçantë të operatorëve linearë arbitrarë. Gjegjësisht, pohimi i mëposhtëm është i vërtetë.
Teorema 5.13... Le të jetë A një operator linear që vepron në një hapësirë komplekse Euklidiane V. Atëherë vlen paraqitja e mëposhtme: A = A R + iА Unë, ku A R dhe A Unë jam operatorë vetë-bashkues të quajtur, përkatësisht, pjesët reale dhe imagjinare të operatorit A.
Dëshmi. Sipas vetive të 2 °, 3 ° dhe 4 ° të operatorëve të konjuguar (shih artikullin e mëparshëm të këtij seksioni), operatorët A R = (A + A *) / 2 dhe A Unë = (A - A *) / 2i- vetëngjitur.
Natyrisht, A = A R + iА I Teorema është vërtetuar.
Në teoremën vijuese, sqarohen kushtet për vetë-përputhjen e një produkti të operatorëve vetë-bashkues. Do të themi se operatorët A dhe B lëvizin nëse AB = BA.
Teorema 5.14. Që produkti AB i operatorëve vetë-bashkues A dhe B të jetë një operator vetë-bashkues, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ata të lëvizin.
Dëshmi... Meqenëse A dhe B janë operatorë vetë-bashkues, atëherë, sipas vetive 5 ° të operatorëve të konjuguar (shih pikën 1 të këtij seksioni), ekzistojnë marrëdhëniet e mëposhtme:
(AB) * = B * A * = BA (5,52)
Prandaj, nëse AB = BA, pastaj ( AB) * = AB, d.m.th. operatori AB është i vetëbashkuar. Nëse AB është një operator vetë-adjoint, atëherë AB = (AB) *, dhe pastaj, bazuar në (5.52), AB = BA. Teorema është vërtetuar.
Në teoremat pasuese, përcaktohen një sërë veçorish të rëndësishme të operatorëve vetë-bashkues.
Teorema 5.15. Nëse operatori A është i vetë-bashkuar, atëherë për cilindo X ϵ V produkt skalar (Ah, x)- numri real.
Dëshmi. Vlefshmëria e pohimit të teoremës rrjedh nga vetia e mëposhtme e produktit skalar në hapësirën komplekse Euklidiane 
dhe përkufizimi i një operatori vetë-përbashkët (Kujtoni se nëse një numër kompleks është i barabartë me konjugatin e tij, atëherë
ky numër është real.)
Teorema 5.16. Eigenvlerat e një operatori të vetë-përbashkët janë reale.
Dëshmi. Le të jetë λ eigenvlera e operatorit të vetë-përbashkët A. Nga përkufizimi i vlerës vetjake të operatorit A (shih Përkufizimin 2 të § 3 të këtij kapitulli) ekziston një vektor x jozero
të tillë që Ax = λx. Nga kjo lidhje rezulton se produkti skalar real (në bazë të Teoremës 5.15) (Ax, x) mund të përfaqësohet si 2)
( 2) Kujtoni se simboli || x || tregon normën e elementit x.)
Që nga || x || dhe (Ax, x) janë reale, atëherë, padyshim, λ është gjithashtu një numër real. Teorema është vërtetuar.
Teorema vijuese sqaron vetinë e ortogonalitetit të eigenvektorëve të një operatori vetë-bashkues.
Teorema 5.17. Nëse A është një operator vetë-bashkues, atëherë eigenvektorët që korrespondojnë me eigenvaluta të ndryshme të këtij operatori janë ortogonalë.
Dëshmi. Le të jenë λ 1 dhe λ 2 vlera vetjake të ndryshme (λ 1 ≠ λ 2) të operatorit të vetë-bashkuar A, a x 1 dhe x 2, përkatësisht, eigenvektorët përkatës. Atëherë ekzistojnë marrëdhëniet e mëposhtme: Ax 1 = λ 1 x 1, Ax 2 = λ 2 x 2. Prandaj, produktet skalare (Ax 1, x 2) dhe (x 1, Ax 2) janë përkatësisht të barabarta me shprehjet e mëposhtme 3:
3) Meqenëse vlerat vetjake të një operatori vetë-përbashkët janë reale, atëherë
Meqenëse operatori A është i vetë-bashkuar, produktet skalare (Ax 1, x 2) dhe (x 1, Ax 2) janë të barabarta, dhe për këtë arsye nga relacionet e fundit me zbritje marrim barazinë
Meqenëse λ 1 ≠ λ 2, nga barazia e fundit rezulton se produkti skalar (x 1 * x 2) zhduket, d.m.th. ortogonaliteti i vetvektorëve x 1 dhe x 2 Vërtetohet teorema.
3. Norma e një operatori linear. Le të jetë A një operator linear që paraqet hapësirën Euklidiane V në të njëjtën hapësirë. Le të prezantojmë konceptin e normës së operatorit A.
Përkufizimi 3... Norma ||
A ||
operatori linear A është numri i përcaktuar nga relacioni 1)
1) Kujtoni se kjo nënkupton që është një funksion i vazhdueshëm x, i cili në grupin e mbyllur || x || = 1 arrin vlerën maksimale përfundimtare.
Përkufizimi i normës së një operatori linear nënkupton pabarazinë e dukshme të mëposhtme:
(për vërtetim, mjafton të përdoret relacioni Ax = 
Nga relacioni E.54) rezulton se nëse || A || = О, atëherë operatori A është zero.
Norma e një operatori të vetë-bashkuar A mund të përcaktohet në një mënyrë tjetër. Domethënë, deklarata është e vërtetë:
Nëse A është një operator i pavarur, atëherë norma e mësipërme || A || operatori A është i barabartë me
Dëshmi. Për çdo x nga V, pabarazia Cauchy-Bunyakovsky vlen (shih nënseksionin 2 të §3 të kapitullit 4)
Prej tij dhe nga pabarazia (5.54), marrim pabarazinë e mëposhtme:
Prandaj numri
kënaq relacionin
Vini re se nga barazia 
dhe përkufizimi i numrit μ (shih 5.56)) vijon pabarazia e mëposhtme:
Tani le t'i drejtohemi identitetit të qartë të mëposhtëm:
(në këtë identitet simboli Re (Ax, y) tregon pjesën reale të numrit kompleks (Ax, y), vetë identiteti rrjedh lehtësisht nga vetitë e produktit skalar, shih seksionin 1, seksionin 3, kapitulli 4). Duke marrë majtas dhe djathtas
pjesë e këtij moduli të identitetit, duke përdorur vetinë e modulit të shumës dhe pabarazisë E.58), marrim relacionet e mëposhtme 1):
1 ) Kemi përdorur përkufizimin e normës së një elementi në një hapësirë komplekse Euklidiane.
Prandaj, për || x || = || y || = 1 marrim pabarazinë
Vendosja në këtë pabarazi 
(natyrisht, || y || = 1) dhe duke marrë parasysh se numri (Ax, Ax) = || Ax || 2 është real (prandaj, marrim
Prandaj, sipas pabarazisë (5.53), gjejmë 
Për të plotësuar vërtetimin, mbetet të krahasojmë pabarazinë që rezulton me pabarazinë (5.57) dhe të përdorim përkufizimin e numrit µ (shih 5.56)).
4. Vetitë e mëtejshme të operatorëve të vetë-përbashkët. Në këtë nënseksion, ne vërtetojmë një sërë veçorish të rëndësishme të operatorëve linearë që lidhen me konceptin e një norme. Së pari, vendosim një kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm për vetë-bashkimin e një operatori. Le të vërtetojmë teoremën e mëposhtme.
Teorema 5.18. Që operatori linear A të jetë i vetë-bashkuar, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që 2)
2 ) Simboli Im (Ax, x) tregon pjesën imagjinare të një numri kompleks (Ax, x). Barazia Im (Ax, x) = 0 do të thotë se numri (Ax, x) është real.
Dëshmi. Nga teorema 5.13, një operator linear arbitrar A mund të përfaqësohet në formë
operatorët e vetë-përbashkët. Kështu që
për më tepër, sipas teoremës 5.15, për çdo x numrat dhe janë realë. Rrjedhimisht, këta numra janë përkatësisht të barabartë me pjesët reale dhe imagjinare të numrit kompleks (Ax, x):
Le të supozojmë se A është një operator vetë-adjoint. Nga teorema 5.15, në këtë rast (Ax, x) është një numër real,
dhe prandaj Im (Ax, x) = 0. Vërtetohet domosdoshmëria e kushtit të teoremës.
Le të vërtetojmë mjaftueshmërinë e kushtit të teoremës.
Le të Im (Ax, x) = (A I x, x) = 0. Prandaj rrjedh se || A I || = 0, pra A I = 0. Prandaj, A = A R, ku A R është një operator vetë-përbashkët.
Teorema është vërtetuar.
Deklaratat e mëposhtme sqarojnë disa veti të vlerave eigen të operatorëve të vetë-përbashkët.
Lemë.Çdo vlerë vetjake X e një operatori arbitrar linear vetë-bashkues A në hapësirën Euklidiane është e barabartë me produktin skalar (Ax, x), ku x është një vektor, i kënaqshëm
plotësimi i kushtit || x || = 1:
Dëshmi. Meqenëse λ është një vlerë vetjake e operatorit A, ekziston një vektor z jozero i tillë që
Vendosja x = z / || z || (natyrisht, || x || = 1), ne rishkruajmë 5.60) si më poshtë: Ax = λ x, || x || = 1. Nga kjo marrim marrëdhëniet që janë, 5.59) zhvillohet. Lema vërtetohet.
Pasoja. Le të jetë A një operator vetë-bashkues dhe λ çdo vlerë eigen e këtij operatori. Lëreni më tej
Pabarazitë e mëposhtme janë të vlefshme:
Vërejtje 1. Meqenëse produkti skalar (Ax, x) është një funksion i vazhdueshëm i x, atëherë në grupin e mbyllur || x || = 1 ky funksion është i kufizuar dhe arrin kufijtë e tij të saktë m dhe M.
Vërejtje 2... Sipas teoremës 5.16, eigenvlerat e një operatori vetë-përbashkët janë reale. Prandaj, pabarazitë 5.62) kanë kuptim.
Vërtetimi i përfundimit. Meqenëse çdo vlerë vetjake λ plotëson relacionin (5.59), atëherë, padyshim, secila vlerë vetjake shtrihet midis faqeve të sakta m dhe M të produktit skalar (Ax, x). Prandaj, pabarazitë (5.62) janë të vlefshme.
Do të vërtetojmë se numrat m dhe M të përcaktuar nga relacionet (5.61) janë, përkatësisht, eigenvlerat më të vogla dhe më të mëdha të operatorit të vetëpërbashkët A. Së pari, do të verifikojmë vlefshmërinë e pohimit të mëposhtëm.
Teorema 5.19. Le të jetë A një operator vetë-bashkues dhe, për më tepër, (Ax, x) ≥ 0 për çdo x. Pastaj norma || A || është e barabartë me eigenvlerën më të madhe të këtij operatori 1)
1 ) Meqenëse ka një numër të kufizuar eigenvlerash dhe ato janë reale, mund të specifikohet më i madhi prej tyre.
Dëshmi. Ne kemi vërejtur tashmë (shih deklaratën e seksionit të mëparshëm) se
Meqenëse (Ax, x) ≥ 0, atëherë sipas vërejtjes 1 të këtij nënseksioni, për disa 
Duke iu kthyer përkufizimit të normës dhe duke përdorur barazitë e sapo shkruara, marrim marrëdhëniet 2)
Kështu, ose, me fjalë të tjera, është eigenvlera e operatorit A. Fakti që λ është eigenvlera më e madhe rrjedh nga përfundimi i sapo vendosur i lemës së këtij nënseksioni. Teorema është vërtetuar.
Le të vërtetojmë tani se numrat m dhe M (shih 5.61)) janë eigenvlerat më të vogla dhe më të mëdha të operatorit të vetë-bashkuar A.
Teorema 5.20. Le të jetë A një operator vetë-bashkues, dhe m dhe M janë fytyra të sakta (Ax, x) në grupin || x || = 1. Këta numra përfaqësojnë eigenvlerat më të vogla dhe më të mëdha të operatorit A.
Dëshmi... Natyrisht, mjafton të vërtetohet se numrat m dhe M janë eigenvlerat e operatorit A. Pastaj pabarazitë 5.62) menjëherë nënkuptojnë se m dhe M janë eigenvlerat më të vogla dhe më të mëdha, respektivisht.
Së pari, le të vërtetojmë se M është një vlerë vetjake. Për këtë, merrni parasysh operatorin e vetë-bashkuar B = A - mI. Sepse
atëherë operatori В i plotëson kushtet e Teoremës 5.19, dhe rrjedhimisht normën || В || i këtij operatori është i barabartë me eigenvlerën më të madhe. Ne anen tjeter,
Kështu, (M - m) është eigenvlera më e madhe e operatorit B. Prandaj, ekziston një vektor jozero x 0 i tillë që
Sepse
Duke e zëvendësuar këtë shprehje Bx 0 në anën e majtë të barazisë (5.63), ne marrim, pas transformimeve të thjeshta, relacionin Ax 0 = Mx 0 - Kështu, M është eigenvlera e operatorit A. Le të verifikojmë tani se numri m është gjithashtu eigenvalue e operatorit A.
Konsideroni një operator vetë-bashkues B = -A. Është e qartë se
Sipas provës së sapo kryer, numri - m paraqet vlerën vetjake të operatorit B. Meqenëse B = -A, atëherë m do të jetë eigenvlera e operatorit A. Teorema vërtetohet.
Teorema tjetër sqaron një veti të rëndësishme të eigenvektorëve të një operatori vetë-përbashkët.
Teorema 5.21.Çdo operator linear A vetë-përbashkët që vepron në n -hapësira euklidiane dimensionale V, ekziston n eigjenvektorë ortogonalë dhe njësorë në mënyrë lineare të pavarura në çift.
Dëshmi... Le λ 1 është eigenvlera maksimale e operatorit
Shënojmë me e 1 vetvektorin që i korrespondon λ 1 dhe që plotëson kushtin || e 1 || = 1 (mundësia e zgjedhjes së saj rrjedh nga vërtetimi i lemës në këtë nënseksion).
Ne shënojmë me V 1 nënhapësirën (n - 1) -dimensionale të hapësirës V ortogonale në e 1 Natyrisht, V 1 është një nënhapësirë invariante e operatorit A (dmth, nëse x ϵ V 1, atëherë Ax ϵ V 1. Në të vërtetë , le të x ϵ V 1 (d.m.th. (x, e 1 = 0). Pastaj 1)
1
)
Ne kemi përdorur pronën e vetë-përbashkët të operatorit (Ax, p.sh 1
) = (x, Ae 1
)
dhe fakti që e 1
- vektori i vetë operatorit: 
Prandaj, sëpata është një element i V 1 , dhe për këtë arsye V 1 është nënhapësira invariante e operatorit A. Kjo na jep të drejtën të marrim parasysh operatorin A në nënhapësirën V 1 ... Në këtë nënhapësirë, A do të jetë një operator vetë-bashkues. Prandaj, ekziston një eigenvalue maksimale A 2 e këtij operatori, e cila mund të gjendet duke përdorur relacionin 1 )
1 ) Simboli tregon ortogonalitetin e vektorëve e 1 dhe e 2
Përveç kësaj, ju mund të specifikoni një vektor të tillë që 
Duke u kthyer më tej në nënhapësirën (n - 2) -dimensionale V 2, ortogonale me vektorët e 1 dhe e 2, dhe duke përsëritur arsyetimin e mësipërm, ndërtojmë një vektor eigen ez, || ez || = 1, ortogonal me e 1 dhe e 2. Duke argumentuar më tej në të njëjtën mënyrë, ne gjejmë në mënyrë të njëpasnjëshme n eigenvektorë reciprokisht ortogonalë e 1, e 2, ..., e n që plotësojnë kushtin
Vërejtje 1. Në të ardhmen, ne pajtohemi të numërojmë eigenvlerat e një operatori vetë-bashkues në rend zbritës, duke marrë parasysh eigenvlerat e përsëritura, d.m.th., eigenvalues të shumëfishtë. ku
dhe eigenvektorët përkatës е 1, е 2, ..., е n mund të konsiderohen reciprokisht ortogonale dhe që plotësojnë kushtin
Në këtë mënyrë,
Vërejtje 2... Argumentet në vërtetimin e teoremës nënkuptojnë relacionin
Ky raport mund të shkruhet edhe si
shtrirja lineare e vektorëve е 1, е 2, ..., е m. Vlefshmëria e vërejtjes rrjedh nga fakti se (x, x) = || x || 2, dhe për këtë arsye
dhe norma e elementit x / || x || është e barabartë me 1.
Le ∑ m është bashkësia e të gjitha nënhapësirave m-dimensionale të V. Vetia e mëposhtme e rëndësishme minimale e vlerave vetjake është e vlefshme.
Teorema 5.22. Le të jetë A një operator vetë-bashkues dhe 
janë eigenvlerat e tij, të numëruara sipas rendit të treguar në Vërejtje 1. Pastaj
LEKTORIA 9
Operatorët në hapësirat Euklidiane
Operatorët linearë që veprojnë në hapësirat Euklidiane kanë një sërë veçorish të veçanta që janë shumë të rëndësishme për aplikimet e algjebrës lineare në fusha të ndryshme lëndore. Ne do të ndalemi vetëm në pyetjet kryesore të kësaj teorie, në veçanti, do të studiojmë teorinë e operatorëve linearë ekskluzivisht në hapësira reale me baza ortonormale, përkatësisht në hapësirë. Për më tepër, operatorët do të konsiderohen transformime, domethënë ne do të studiojmë operatorët 
.
Operatori i konjuguar
... Konsideroni konceptin e një operatori çiftuar me operatorin 
duke vepruar në hapësirën Euklidiane 
.
Përkufizimi 9.1. Le 
- disa operator linear. Operatori 
thirrurlidhur me operatorin 
, nëse 
kushti eshte i kenaqur
.
(9.1)
Teorema 9.1.
Për çdo operator linear 
ekziston një operator unik adjoint 
e cila është gjithashtu lineare.
Dëshmi. 1) Lejo operatorin 
ekziston, le të vërtetojmë veçantinë e tij. Për ta bërë këtë, supozoni se ky operator nuk është i vetmi, domethënë ekzistojnë, për shembull, dy operatorë 
dhe 
Përkufizimi i kënaqshëm 9.1. Pastaj, me formulën (9.1), kemi:
,
,
(9.2)
prej nga marrim
Për faktin se në përkufizimin 9.1 (në formulën (9.1)) vektori 
është arbitrare, vendosim barazinë (9.3)
,
.
Meqenëse produkti skalar plotëson aksiomën e mosdegjenerimit, nga barazia e fundit kemi
prej nga, për shkak të arbitraritetit të vektorit 
vijon se 
dhe vërtetohet veçantia e operatorit adjoint.
2) Le të vërtetojmë linearitetin e operatorit adjoint. Duke përdorur përkufizimin (9.1) dhe vetitë e produktit me pika, marrim:
,
dhe 
a) 
;
Krahasimi i formulave a) dhe b) nënkupton linearitetin e operatorit adjoint 
, domethënë:
.
3) Le të provojmë tani ekzistencën e operatorit adjoint. Ne rregullojmë në hapësirë 
bazë kanonike 
, dhe shkruani vektorët 
dhe 
në formën e zgjerimeve të tyre në bazën kanonike:
;
.
(9.4)
Merrni parasysh llogaritjen e anës së majtë dhe të djathtë (9.1):
;
.
Duke krahasuar dy barazitë e fundit duke marrë parasysh (9.1), marrim:
.
(9.5)
Pra, nëse matrica e operatorit 
ka formën
,
atëherë matrica e operatorit adjoint ka formën
.
(9.6)
Nga (9.6) rezulton se matrica e operatorit adjoint 
në çdo bazë ortonormale 
gjendet me transpozim të matricës së operatorit 
, që vërteton ekzistencën e operatorit adjoint. 
Le të provojmë një teoremë mbi vetitë e operatorit të konjuguar me një operator linear.
Teorema 9.2.
Karakteristikat e mëposhtme të operatorit adjoint janë të vlefshme 
:
dhe 
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
(9.7)
5)
.
Dëshmi. Le të vërtetojmë lidhjen e parë. Le 
Është një operator linear arbitrar. Për operatorin e konjuguar 
konjugati do të jetë operatori 
... Pastaj: 
Barazia e fundit vlen për çdo vektor 
, kjo eshte,
,
prej nga vijon vërtetimi i pasurisë së parë.
Le të vërtetojmë lidhjen e dytë. Për ta bërë këtë, merrni parasysh zinxhirin e mëposhtëm të transformimeve:
Krahasimi i anës së majtë dhe të djathtë të barazisë (9.8) nënkupton vërtetimin e vetive të dytë.
Pjesa tjetër e pronave janë vërtetuar në mënyrë të ngjashme. 
Operatorët e vetë-përbashkët ... Aplikimet kanë një rëndësi të madhe operatorët e vetë-përbashkët .
Përkufizimi 9.2. Operator linear 
thirrurvetëpërmbledhës
, nëse 
.
Nga përkufizimi del se për një operator të vetëpërbashkët relacioni
.
(9.9)
Meqenëse matrica e operatorit adjoint 
është e barabartë me matricën e transpozuar të operatorit 
, atëherë për një operator vetë-adjoint elementët e matricës plotësojnë barazinë 
, kjo eshte elementët e matricës së një operatori vetë-përbashkët që janë simetrik në lidhje me diagonalen kryesore janë të barabarta me... Një matricë e tillë quhet simetrike
... Për këtë arsye, operatorët e vetë-përbashkët 
shpesh quhet simetrike
.
Operatorët vetë-bashkues kanë një numër karakteristikash që janë të lehta për t'u vërtetuar duke përdorur përkufizimin dhe vetitë e operatorit adjoint.
1. Operator i vetëm 
është i vetëpërbashkët.
Dëshmi. Natyrisht,
.
2. Shuma e operatorëve vetë-adjoint është një operator vetë-adjoint.
Dëshmi. Nëse 
dhe 
, pastaj
.
3. Një përbërje e operatorëve vetë-adjoint është një operator vetë-adjoint nëse dhe vetëm nëse këta operatorë janë komutativ.
Dëshmi. Kujtojmë se operatorët quhen komutativ nëse
,
,
ku 
- operatori null. Nëse 
,
, pastaj
,
çfarë është e barabartë 
nëse dhe vetëm nëse operatorët janë komutativë. 
4. Operatori
anasjelltas me operatorin e vetë-përbashkët jo të degjeneruar 
gjithashtu një operator i vetë-përbashkët.
Dëshmi. Në të vërtetë, nëse 
, pastaj
.
5. Nëse 
Është një operator vetë-bashkues, atëherë prodhimi i këtij operatori me një numër real 
është një operator i pavarur.
Dëshmi. Nga vetia e tretë (9.7), kemi:
.
Teorema 9.3.
Eigenvektorët e një operatori vetë-bashkues 
duke vepruar në hapësirë 
që korrespondojnë me eigenvlerat e ndryshme në çift janë reciproke ortogonale.
:
dhe 
, dhe 
... Meqenëse operatori është i vetë-bashkuar, atëherë 
... Prandaj, në anën e majtë dhe të djathtë, përkatësisht, kemi:
;
.
Nga ku në fuqi 
marrim: 
.
Teorema e rëndësishme e mëposhtme është e vërtetë për operatorët e vetë-bashkuar.
Teorema 9.4.
Të gjitha rrënjët e polinomit karakteristik të një operatori vetë-përbashkët 
reale dhe të ndryshme.
Dëshmi. Në rastin e përgjithshëm, vërtetimi i teoremës është mjaft i rëndë. Për këtë arsye, ne paraqesim një provë për rastin e operatorit 
... Pra, le të jepet një operator linear 
me matricë 
... Atëherë ekuacioni karakteristik i këtij operatori ka formën:
.
Duke zgjeruar përcaktorin, marrim ekuacionin karakteristik:
Zgjidhjen e këtij ekuacioni e gjejmë me formulën e njohur:
.
Diskriminuesi është:
Termi i parë, natyrisht, është gjithmonë pozitiv, dhe i dyti është pozitiv, pasi 
... Prandaj, rrënjët e ekuacionit karakteristik janë reale dhe të ndryshme. 
Teorema 9.5.
Le 
Është një operator i pavarur. Pastaj në hapësirë 
mund të zgjidhet një bazë ortonorale
në mënyrë që matrica e operatorit 
në këtë bazë ishte diagonale.
Dëshmi. Nga teorema 9.4, të gjitha rrënjët e polinomit karakteristik të një operatori vetë-përbashkët janë reale dhe të ndryshme, dhe për këtë arsye, nga teorema 9.3, eigenvektorët e një operatori vetë-përbashkët janë reciprokisht ortogonale. Sistemi i eigenvektorëve padyshim mund të normalizohet. Por atëherë këta vektorë formojnë bazën e hapësirës 
, në të cilën operatori është operator i një strukture të thjeshtë, pra ka një matricë diagonale. 
Operatorët ortogonalë dhe vetitë e tyre, interpretimi gjeometrik
... Merrni parasysh përkufizimin dhe vetitë e një klase të rëndësishme operatorësh që veprojnë në hapësirë 
.
Përkufizimi 9.3. Operatori 
duke vepruar në hapësirë
quhetortogonale
nëse ruan produktin me pika, d.m.th
.
(9.10)
Nga përkufizimi rezulton se operatori ortogonal ruan normat (gjatesite) e vektoreve dhe kendeve ndermjet tyre .
Lema 9.1.
Operatori 
.
Dëshmi. Le 
,
prej nga kemi: 
... Duke supozuar 
, marrim:
.
Le 
... Atëherë kemi:
.
Është e qartë se operatori ortogonal është i padegjeneruar domethënë, matrica e saj është e anasjelltë e matricës.
Teorema 9.6 (mbi vetitë e operatorëve ortogonalë).
Operatorët ortogonalë 
kanë vetitë e mëposhtme:
1)operatori i njësisë është ortogonal;
2)edhe përbërja e operatorëve ortogonalë është operator ortogonal;
3)operatori i kundërt me operatorin ortogonal është gjithashtu ortogonal;
4)nëse 
Është një operator ortogonal, pastaj operatori 
është ortogonale nëse dhe vetëm nëse 
.
Dëshmi. 1. Dëshmia e kësaj prone është pothuajse e qartë: 
.
2. Le 
dhe 
- operatorë ortogonalë. Pastaj:
3. Le 
operator ortogonal. Merrni parasysh 
:
.
4. Le 
- operator ortogonal. Pastaj
.
Teorema 9.7 (kriteri për ortogonalitetin e një operatori).
Operatori 
duke vepruar në hapësirë 
, është ortogonal nëse dhe vetëm nëse lidh të paktën një bazë ortonormale në një bazë ortonormale.
Dëshmi. Le 
- operator ortogonal. Më pas, duke ruajtur produktin skalar, ai e shndërron bazën ortonormale në bazë ortonormale.
Tani le operatorin 
përkthen bazën ortonormale
në një bazë të re ortonormale
.
Pastaj 
.
.
Konsideroni vetitë e matricës së operatorit ortogonal.
Teorema 9.8.
Sistemi i vektorëve të kolonave (rreshtave) të matricës së operatorit ortogonal 
në çdo bazë ortonormale
është ortonormale.
Dëshmi. Le 
- disa operator ortogonal dhe 
- disa baza ortonormale. Nga teorema 9.9, sistemi i imazheve të vektorëve bazë është në vetvete ortonormal, domethënë, 
... Prandaj, për kolonat e matricës së operatorit
,
(si vektorë të hapësirës aritmetike 
) ne kemi:
.
(9.11)
Një veti e ngjashme vlen edhe për rreshtat e matricës 
:
.
(9.12)
Teorema 9.9.
Matrica e operatorit ortogonal 
në çdo bazë ortonormale plotëson kushtin
.
(9.13)
Dëshmi. Le 
- operator ortogonal. Meqenëse matricat e operatorëve 
dhe 
janë të lidhura nga marrëdhëniet
,
prej nga për matricën e operatorit 
marrim (9.11).
Anasjelltas, le të qëndrojë relacioni (9.11). Pastaj 
, prej nga rrjedh se operatori 
është ortogonal. 
Përkufizimi 9.4. Matricë 
për të cilën prona është e kënaqur(9.13),i quajtur ortogonal.
Këtu janë disa teorema mbi vetitë e operatorit ortogonal.
Teorema 9.10.
Eigenvlerat e operatorit ortogonal 
në hapësirë 
janë të barabartë 
.
Dëshmi. Le 
... Pastaj
Meqenëse sipas përkufizimit 
, pastaj 
.
Teorema 9.11.
Përcaktori i një matrice ortogonale 
është e barabartë me
.
Dëshmi. Për një matricë ortogonale, barazia 
... Kështu që 
... Pastaj
.
220400 Algjebra dhe gjeometria Tolstikov A.V.
Leksione 15. Operatorët linearë në hapësirat Euklidiane
Planifikoni
1. Operatorët e konjuguar në hapësirat Euklidiane dhe vetitë e tyre.
2. Operatorët e vetë-bashkuar.
3. Matricat ortogonale dhe vetitë e tyre.
4. Operatorët ortogonalë dhe vetitë e tyre.
1. Lëndë në Gjeometri analitike dhe Algjebër Lineare. Moskë: Nauka, 1984.
2. Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Elemente të algjebrës lineare dhe gjeometrisë analitike. 1997.
3. Voevodin V.V. Algjebra lineare .. M .: Nauka 1980.
4. Mbledhja e detyrave për kolegjet teknike. Algjebra lineare dhe bazat e analizës matematikore. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P .. M .: Nauka, 1981.
5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Algjebra lineare në pyetje dhe problema. Moskë: Fizmatlit, 2001.
6. Voevodin V.V. Algjebër lineare. Moskë: Nauka, 1980.
1. Operatorët e konjuguar në hapësirat Euklidiane dhe vetitë e tyre. Le E- Hapësira Euklidiane mbi fushën e numrave realë R , mbi të cilin produkti skalar i vektorëve ( a ,b ), a ,b Î E.
Përkufizimi 1. Operator linear A * Hapësira Euklidiane E thirrur konjuguar operator linear A * hapësirë E nëse për ndonjë vektor a ,b Î E plotësohet kushti:
(Aa ,b ) = (a ,A * b ). (1)
Lema 1.Nëse prodhimi i një vargu të caktuarU në çdo kolonëY është e barabartë me zero, pastaj varguU është zero. Nëse prodhimi i ndonjë varguX t në një kolonë të caktuarU është e barabartë me zero, pastaj kolonai pavlefshëm.
Dëshmi. Le U= (u 1 , u 2 ,…,u n), Y= (y 1 , y 2 ,…,y n)t... Nga hipoteza e teoremës, për çdo numër y 1 , y 2 ,…,y n U Y= (u 1 , u 2 ,…,u n)(y 1 , y 2 ,…,y n)t = u 1 y 1 + u 2 y 2 +…+u n y n= 0. Nëse të gjithë numrat y 1 , y 2 ,…,y n janë të barabarta me 0, përveç y j, e cila = 1, atëherë nga kjo marrim atë u j (i = 1,2,…,n). Kështu që U= 0. Pohimi i dytë i teoremës vërtetohet në mënyrë të ngjashme.
Teorema 1.Le v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - baza e hapësirës EuklidianeE, A - matrica e operatorit linear A mbi bazën v, G = (g ij) - matricë gram bazë v. Nëse për një operator linearA ekziston një operator adjointA *, pastaj barazia
A t G = G A *. (2)
Dëshmi. Le X dhe Y kolonat e koordinatave vektoriale a ,b Î E mbi bazën v, A dhe A * matricat e operatorëve linearë A dhe A * mbi bazën v... Pastaj
(Aa , b ) =(v(sëpata), vY) = (sëpata) t GY, (a ,A * b ) = X t G A * Y.(3)
Prandaj, duke përdorur formulën (1), marrim barazinë ( sëpata) t GY= X t G A * Y, e vlefshme për çdo vektor kolone X dhe Y. Meqenëse vektorët a ,b arbitrare, atëherë nga Lema 1 ne marrim A t G = G A *.
Teorema 2.Nëse bazav = (v 1 , v 2 ,…, v n) Hapësira EuklidianeE ortonormal, atëherë matricëNjë * operator linear adjointA * është transpozuar në matricëOperatori A ;
Një t = A *. (4)
Dëshmi. Meqenëse matrica Gram e bazës ortonormale është njësi, G = E, atëherë (4) vijon nga (2) .
Përfundimi 1. Për çdo operatorA barazi të drejtë (A * ) * = A .
Dëshmi. Me formulën (4) për matricat e operatorëve linearë ( A * ) * dhe A ne baze ortonormale kemi ( A *) * = (Një t)t = A... Kështu që ( A * ) * = A .
Përfundimi 2. Për çdo operatorA , B barazi të drejtë (AB ) * = B * A * .
Dëshmi. Me formulën (4) për matricat e operatorëve linearë A ,B dhe A * , B * ne baze ortonormale kemi ( AB) * = (AB)t = B t A t = B * A*. Kështu që ( AB ) * = B * A * .
Përfundimi 3. Eigenvlerat e operatorëve linearëA dheA * përputhen.
Dëshmi. Meqenëse polinomet karakteristike të matricave dhe përkojnë, vlerat vetjake të operatorëve linearë, të cilët janë rrënjët e ekuacionit karakteristik, përkojnë .
Teorema 3. Për çdo operator linearA Hapësira EuklidianeE ka një operator unik linear adjointA * .
Dëshmi. Le v = (v 1 , v 2 ,…, v n) baza ortonormale e hapësirës Euklidiane E, A - operator linear me matricë A mbi bazën v... Konsideroni në E operator linear B me matricë Një t në lidhje me një bazë të caktuar. Operatori B ka vetëm një. Anët e djathta të barazive (3) janë të barabarta: ( sëpata) t GY = X t G A * Y. Prandaj, e majta ( Aa , b ) = (a ,Bb ). Prandaj, operatori B - konjuguar për operatorin A .
2. Operatorët e vetë-bashkuar.
Përkufizimi 1. Operator linear A Hapësira Euklidiane E thirrur vetëngjitur ose simetrike, nëse A = A * , d.m.th. për çdo vektor prej dysh a ,b Î E plotësohet kushti:
(Aa , b ) = (a ,Ab ). (1)
Teorema 1. Operator linearA Hapësira EuklidianeE është e vetë-bashkuar nëse dhe vetëm nëse matricaNjë operator linearA matrica simetrike në bazën ortogonale, d.m.th.. A = A * .
