2.1. Spektrat sinjale periodike

Një sinjal periodik (rrymë ose tension) quhet një lloj i tillë ndikimi kur forma e valës përsëritet pas një intervali të caktuar kohor. T që quhet periudha. Forma më e thjeshtë Një sinjal periodik është një sinjal harmonik ose një sinusoid që karakterizohet nga amplituda, periudha dhe faza fillestare. Të gjitha sinjalet e tjera do të joharmonike ose jo sinusoidale. Mund të tregohet, dhe praktika e vërteton këtë, se nëse sinjali hyrës i furnizimit me energji elektrike është periodik, atëherë të gjitha rrymat dhe tensionet e tjera në secilën degë (sinjalet e daljes) do të jenë gjithashtu periodike. Në këtë rast, format e valëve në degë të ndryshme do të ndryshojnë nga njëra-tjetra.

Ekziston një teknikë e përgjithshme për studimin e sinjaleve periodike jo-harmonike (veprimet hyrëse dhe reagimet e tyre) në një qark elektrik, i cili bazohet në zbërthimin e sinjaleve në një seri Furier. Kjo teknikë konsiston në faktin se është gjithmonë e mundur të zgjidhet një numër sinjalesh harmonike (d.m.th. sinusoidale) me amplituda, frekuenca dhe faza fillestare të tilla, shuma algjebrike e ordinatave të të cilave në çdo kohë është e barabartë me ordinatën e studimit. sinjal jo sinusoidal. Kështu, për shembull, tensioni u në fig. 2.1. mund të zëvendësohet nga shuma e sforcimeve dhe , pasi në çdo kohë ndodh barazia identike: . Secili prej termave është një sinusoid, frekuenca e lëkundjes së të cilit lidhet me periudhën T raportet e numrave të plotë.

Për shembullin në shqyrtim, kemi periudhën e harmonisë së parë që përkon me periudhën e sinjalit joharmonik.T 1 = T, dhe periudha e harmonikës së dytë është dy herë më e vogëlT 2 = T/2, d.m.th. vlerat e çastit harmonikat duhet të shkruhen si:

Këtu, amplituda e lëkundjeve harmonike janë të barabarta me njëra-tjetrën ( ), dhe fazat fillestare janë të barabarta me zero.

Oriz. 2.1. Shembull i mbledhjes së harmonikës së parë dhe të dytë

sinjal jo harmonik

Në inxhinierinë elektrike, një komponent harmonik periudha e të cilit është e barabartë me periudhën e një sinjali jo-harmonik quhet së pari ose bazë harmonika e sinjalit. Të gjithë komponentët e tjerë quhen komponentë harmonikë më të lartë. Një harmonik frekuenca e të cilit është k herë më e madhe se harmoniku i parë (dhe perioda, përkatësisht, k herë më pak) quhet

k - th harmonik. Alokoni gjithashtu vlerën mesatare të funksionit për periudhën, e cila quhet i pavlefshëm harmonikë. NË rast i përgjithshëm seria Fourier shkruhet si shumë një numër i pafund komponentët harmonikë të frekuencave të ndryshme:

(2.1)

ku k është numri harmonik; - frekuenca këndore e k - th harmonikut;

ω 1 \u003d ω \u003d 2 π / T- frekuenca këndore e harmonikës së parë; - zero harmonike.

Për format valore të zakonshme, një zgjerim i serisë Fourier mund të gjendet në literaturën e specializuar. Tabela 2 tregon zgjerimet për tetë forma valore. Duhet të theksohet se zgjerimet e dhëna në tabelën 2 do të ndodhin nëse zgjidhet origjina e sistemit të koordinatave siç tregohet në figurat në të majtë; kur ndryshon origjinën e kohës t fazat fillestare të harmonikave do të ndryshojnë, ndërsa amplituda e harmonikave do të mbetet e njëjtë. Në varësi të llojit të sinjalit në studim, V duhet të kuptohet ose si një vlerë e matur në volt nëse është një sinjal tensioni, ose një vlerë e matur në amper nëse është një sinjal aktual.

Zgjerimi i serive Furier të funksioneve periodike

tabela 2

Orari f(t)	Seria Furiere e funksionevef(t)	shënim
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		S=1,2,3,4,..
		k=1,2,4,6,..

Sinjalet 7 dhe 8 gjenerohen nga një sinusoid nga qarqet e portës.

Tërësia e komponentëve harmonikë që formojnë një sinjal josinusoidal quhet spektri i këtij sinjali joharmonik. Nga ky grup harmonike ata dallojnë dhe dallojnë amplituda Dhe faza varg. Spektri i amplitudës është një grup amplitudash të të gjitha harmonikave, i cili zakonisht përfaqësohet nga një diagram në formën e një grupi vijash vertikale, gjatësitë e të cilave janë proporcionale (në shkallën e zgjedhur) me vlerat e amplitudës së harmonikës. komponentët, dhe vendi në boshtin horizontal përcaktohet nga frekuenca (numri harmonik) i këtij komponenti. Në mënyrë të ngjashme, spektrat e fazës konsiderohen si një grup fazat fillestare të gjitha harmonikët; ato tregohen gjithashtu në shkallë si një grup vijash vertikale.

Duhet të theksohet se është zakon të maten fazat fillestare në inxhinierinë elektrike në rangun nga -180 0 në +180 0. Spektrat që përbëhen nga vija individuale quhen të rreshtuara ose diskrete. Linjat spektrale janë në një distancë f veçmas, ku f- intervali i frekuencës, e barabartë me frekuencën së pari harmonike f.Në këtë mënyrë, spektra diskrete sinjalet periodike kanë komponentë spektralë me frekuenca të shumta - f, 2f, 3f, 4f, 5f etj.

Shembulli 2.1. Gjeni spektrin e amplitudës dhe fazës për një sinjal drejtkëndor, kur kohëzgjatja e sinjaleve pozitive dhe negative janë të barabarta dhe vlera mesatare e funksionit gjatë periudhës është zero

u(t) = TVSH 0<t<T/2

u(t) = -Vat T/2<t<T

Për sinjalet e formave të thjeshta, të përdorura shpesh, këshillohet të gjeni një zgjidhje duke përdorur tabela.

Oriz. 2.2. Spektri linear i amplitudës së një sinjali drejtkëndor

Nga zgjerimi Furier i një sinjali drejtkëndor (shih tabelat 2 - 1) del se seria harmonike përmban vetëm harmonike tek, ndërsa amplituda e harmonikëve zvogëlohet në raport me numrin harmonik. Spektri i vijës së amplitudës së harmonikave është paraqitur në fig. 2.2. Gjatë ndërtimit, supozohet se amplituda e harmonikës së parë (këtu tensioni) është e barabartë me një volt: B; atëherë amplituda e harmonikës së tretë do të jetë e barabartë me B, e pestës - B, etj. Fazat fillestare të të gjitha harmonikave të sinjalit janë të barabarta me zero, prandaj, spektri fazor ka vetëm vlera zero të ordinatave.

Problemi u zgjidh.

Shembulli 2.2.Gjeni spektrin e amplitudës dhe fazës për një tension që ndryshon sipas ligjit: në - T/4<t<T/4; u(t) = 0 për T/4<t<3/4T. Një sinjal i tillë formohet nga një sinusoid duke eliminuar (me anë të qarkut duke përdorur elementë të valvulës) pjesën negative të sinjalit harmonik.

a) b)

Oriz. 2.3. Spektri i linjës së një sinjali korrigjues gjysmëvalë: a) amplituda; b) faza

Për një sinjal korrigjues gjysmëvalë të një tensioni sinusoidal (shih tabelat 2 - 8), seria Fourier përmban një komponent konstant (zero harmonik), harmoninë e parë dhe më pas një grup vetëm harmonikësh çift, amplituda e të cilave zvogëlohet me shpejtësi. me rritjen e numrit harmonik. Nëse, për shembull, vendosim vlerën V = 100 B, atëherë, duke shumëzuar çdo term me faktorin e përbashkët 2V/π, gjejmë(2.2)

Amplituda dhe spektri fazor i këtij sinjali janë paraqitur në Fig. 2.3a,b.

Problemi u zgjidh.

Në përputhje me teorinë e serisë Furier, barazia e saktë e një sinjali jo-harmonik me shumën e harmonikëve ndodh vetëm për një numër pafundësisht të madh harmonike. Llogaritja e komponentëve harmonikë në një kompjuter ju lejon të analizoni çdo numër harmonike, i cili përcaktohet nga qëllimi i llogaritjes, saktësia dhe forma e efekteve jo-harmonike. Nëse kohëzgjatja e sinjalitt pavarësisht nga forma e tij, shumë më pak periudha T, atëherë amplituda e harmonikave do të ulen ngadalë dhe për një përshkrim më të plotë të sinjalit, është e nevojshme të merret parasysh një numër i madh termash në seri. Kjo veçori mund të gjurmohet për sinjalet e paraqitura në tabelat 2 - 5 dhe 6, me kusht që gjendja τ <<T. Nëse sinjali jo-harmonik është afër një forme sinusoidi (për shembull, sinjalet 2 dhe 3 në tabelën 2), atëherë harmonikët zvogëlohen me shpejtësi dhe për një përshkrim të saktë të sinjalit, mjafton të kufizohemi në tre deri në pesë harmonikë të serisë.

5. Qarqet elektrike lineare në mënyrën e efekteve periodike joharmonike. Teoria e qarqeve elektrike

5. Qarqet elektrike lineare në mënyrën e efekteve periodike joharmonike

5.1. Sinjale periodike jo harmonike

Kur transmetoni informacion mbi kanalet e komunikimit në procesin e konvertimit të sinjalit në pajisje të ndryshme, si rregull, përdoren lëkundje jo harmonike, pasi lëkundjet thjesht harmonike nuk mund të jenë bartës të informacionit. Për të transmetuar mesazhe, një lëkundje harmonike modulohet në modulim amplitudë - amplitudë (AM), modulim frekuencë - frekuencë (FM) ose modulim fazor - fazë (PM), ose përdor sinjale pulsi të moduluara në amplitudë - modulim amplitudë pulsi (AIM), gjerësi - modulimi i gjerësisë së pulsit (PWM), pozicioni i kohës - modulimi i kohës së pulsit (PWM). Ka sinjale të tjera, më komplekse të formuara sipas ligjeve të veçanta. Një tipar dallues i këtyre sinjaleve është një karakter kompleks jo-harmonik. Rrymat dhe tensionet e krijuara në pajisje të ndryshme pulsi dhe dixhitale kanë një formë jo sinusoidale (19. Sinjale dhe qarqe diskrete), sinjalet harmonike që kalojnë nëpër pajisje të ndryshme jolineare marrin karakter josinusoidal (11. Qarqet elektrike jolineare nën harmonikë ndikimet) etj. E gjithë kjo çon në nevojën e zhvillimit të metodave të veçanta për analizën dhe sintezën e qarqeve elektrike nën ndikimin e rrymave dhe tensioneve periodike josinusoidale dhe jo periodike. Këto metoda bazohen në paraqitjet spektrale të efekteve jo-sinusoidale bazuar në zgjerimin në një seri ose integral Furier.

Nga analiza matematikore dihet se funksioni periodik joharmonik f(t), duke përmbushur kushtet e Dirichlet, mund të zgjerohet në një seri Fourier:
(5.1)
ku një k,bk - koeficientët e zgjerimit të përcaktuar nga ekuacionet
(5.2)

Vlera paraqet vlerën mesatare të funksionit gjatë periudhës f(t) dhe quhet komponent konstant.

Në studimet teorike, në vend të formulës (5.1), zakonisht përdoret një tjetër, bazuar në ndryshimin e ndryshores së pavarur:
(5.3)
ku
(5.4)

Ekuacioni (5.3) është forma trigonometrike e serisë Fourier. Kur analizohen qarqet, shpesh është më i përshtatshëm të përdoret forma komplekse e serisë Fourier, e cila mund të merret nga (5.3) duke përdorur formulat Euler:
(5.5)

Duke zëvendësuar (5.5) në ekuacionin (5.3), pas transformimeve të thjeshta, marrim formën komplekse të serisë Fourier:
(5.6)
ku A k- amplitudë komplekse k harmonik:
(5.7)
ku - amplituda; - faza fillestare k th harmonike.

Zëvendësimi i vlerave një k Dhe b k nga (5.4) në (5.7), marrim:
(5.8)

Seti i amplitudave 0.5 Një k = 0,5POR –k në zgjerimin (5.6), i grafikuar kundrejt frekuencave pozitive dhe negative përkatëse, formon një simetrik në lidhje me boshtin koordinativ (për shkak të njëtrajtshmërisë së koeficientëve një k) spektri i amplitudës së linjës.

Kompleti i ordinatave k = – –k nga (5.7) i përfshirë në zgjerimin (5.6) dhe i grafikuar kundrejt frekuencave pozitive dhe negative përkatëse, formon një simetrik në lidhje me origjinën e boshtit të koordinatave (për shkak të çuditshmërisë së koeficientëve b k)spektri fazor i linjës.

Zgjerimi (5.3) mund të paraqitet edhe në një formë tjetër. Duke pasur parasysh atë një k = Një k cos k Dhe b k= Një k mëkat k, pastaj pas zëvendësimit në (5.3) marrim:
(5.9)

Nëse e konsiderojmë komponentin konstant a 0/2 si një harmonik zero me fazën fillestare 0 = 0, atëherë zgjerimi (5.9) merr formën
(5.10)

Në rastin e veçantë kur funksioni f(a) simetrike rreth boshtit y (Fig. 5.1, por), vetëm harmonikët çift (kosinus) do të shfaqen në zgjerim (5.3):

(5.11)

dhe me simetri f(a) në lidhje me origjinën (Fig. 5.1, b) harmonike tek
(5.12)

Gjatë zhvendosjes së origjinës së funksionit f(a) spektri i amplitudës së tij nuk ndryshon, por ndryshon vetëm spektri fazor. Në të vërtetë, ne e zhvendosim funksionin f(a) përgjatë boshtit të kohës në të majtë nga t 0 dhe shënoni .

Pastaj zgjerimi (5.9) merr formën
(5.13)

Shembull. Zgjeroni serinë Furier të lëkundjeve drejtkëndore (Fig. 5.1, b). Duke pasur parasysh se f(a) është simetrike në lidhje me origjinën, vetëm harmonikët sinusoidale (5.12) do të mbeten në zgjerim (5.3), ku b k përcaktohet sipas (5.4):

Zëvendësimi b k në (5.12), marrim një zgjerim në një seri Fourier:
(5.14)

Më pas lëvizim f(a) p/2 në të majtë (shih Fig. 5.1, por). Pastaj sipas (5.13) marrim

(5.15)

Kjo do të thotë, kemi marrë një zgjerim në përbërësit e kosinusit, siç duhet të jetë për një sinjal simetrik rreth boshtit të ordinatave.

Në disa raste, kur funksioni periodik f(a) jepet grafikisht dhe ka një formë komplekse, zgjerimi i tij në një seri Fourier mund të bëhet në mënyrë grafiko-analitike. Thelbi i saj qëndron në faktin se periudha e sinjalit T(Fig. 5.2) ndahen në m intervale të barabarta me , dhe pikat e ndërprerjes f(a) nuk duhet të bjerë në mes të zonave të ndara; përcaktoni vlerën e sinjalit f(a n) në mes të çdo seksioni të ndarjes.

Gjeni koeficientët e zgjerimit një k Dhe b k duke zëvendësuar integralin në (5.2) me një shumë të fundme
(5.16)

Ekuacioni (5.16) është i lehtë për t'u programuar dhe kur llogaritet një k Dhe b k mund të përdoret nga një kompjuter.

5.2. RMS, mesatarja dhe fuqia e një sinjali periodik jo-harmonik

Për saktësi, le të supozojmë se f(t) ka kuptimin e rrymës i(t). Pastaj vlera efektive e rrymës periodike joharmonike përcaktohet sipas (3.5), ku i(t) përcaktohet nga ekuacioni (5.10):
(5.17)

Duke zëvendësuar këtë vlerë aktuale në (3.5), pas integrimit marrim
(5.18)

pra vlera efektive e rrymës periodike joharmonike Unë përcaktohet plotësisht nga vlerat efektive të harmonikave të tij Ik dhe nuk varet nga fazat e tyre fillestare k.

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë vlerën efektive të tensionit periodik jo-sinusoidal:
(5.19)

Vlera mesatare e rrymës përcaktohet sipas shprehjes së përgjithshme (3.9). Dhe zakonisht marrin vlerën mesatare i(t) në vlerë absolute
(5.20)

Përcaktuar në mënyrë të ngjashme U cf(2) .

Nga pikëpamja e teorisë së qarkut, me interes të madh është fuqia mesatare aktive e një sinjali joharmonik dhe shpërndarja e tij ndërmjet harmonikëve individualë.

Fuqia mesatare aktive e një sinjali periodik jo sinusoidal
(5.21)
ku
(5.22)

k- zhvendosja fazore midis rrymës dhe tensionit k th harmonike.

Vlerat zëvendësuese i(t) Dhe u(t) nga (5.22) në ekuacionin (5.21), pas integrimit fitojmë:
(5.23)
m, d.m.th., fuqia mesatare aktive e një sinjali periodik jo-harmonik gjatë periudhës është e barabartë me shumën e fuqive të harmonikave individuale. Formula (5.23) është një nga format e të njohurit Barazitë e Parsevalit.

Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë fuqinë reaktive
(5.24)
dhe fuqi të plotë
(5.25)

Duhet theksuar se, në ndryshim nga sinjalet harmonike, për sinjalet joharmonike
(5.26)

Vlera P ic = quhet fuqia e shtrembërimit dhe karakterizon shkallën e ndryshimit në format aktuale i(t) dhe stresi u(t).

Përveç fuqisë së shtrembërimit, sinjalet periodike jo-harmonike karakterizohen nga një numër i koeficientët:fuqia, k m = P/S; forma K f \u003d U / U cf (2); amplituda K a = U m / U; shtrembërim k dhe = U 1 /U; harmonike k r = dhe etj.

Për sinjalin sinusoidal k f = /21.11; k a = 1,41; k u = 1; k r = 0.

5.3. Spektrat e sinjaleve periodike joharmonike

Konsideroni sekuencën e pulseve drejtkëndore të paraqitur në Fig. 5.3, por. Sinjalet e kësaj forme përdoren shumë gjerësisht në radio-inxhinierinë dhe telekomunikacionin: telegrafi, sistemet e transmetimit dixhital, sistemet e komunikimit shumëkanalësh me kanale të ndarjes së kohës, pajisje të ndryshme pulsi dhe dixhitale, etj (shih kapitullin 19). Sekuenca e pulsit karakterizohet nga parametrat kryesorë të mëposhtëm: amplituda e pulsit A dhe dhe mund të ketë kuptimin si të tensionit ashtu edhe të rrymës."> , kohëzgjatja e tij t dhe dhe periudha T. Raporti i periudhës T deri në kohëzgjatje t dhe thirri cikli i detyrës dhe shënohet me q = T/t dhe. Në mënyrë tipike, vlerat e ciklit të punës së impulsit variojnë nga disa njësi (në teknologjinë matëse, transmetimin diskret dhe pajisjet e përpunimit të informacionit) në disa qindra ose mijëra (në radar).

Për të gjetur spektrin e një sekuence pulsesh drejtkëndëshe, përdorim serinë Fourier në formë komplekse (5.6). Amplituda komplekse k harmoniku th është i barabartë sipas (5.8) pas kthimit në variablin origjinal t.

(5.27)

Zëvendësimi i vlerës A k në ekuacionin (5.6), marrim një zgjerim në një seri Fourier:
(5.28)

Në fig. 5.4 tregon spektrin e amplitudave komplekse për q= 2 dhe q= 4. Siç shihet nga figura, spektri i një sekuence pulsesh drejtkëndëshe është një spektër diskret me një mbështjellës (vija e ndërprerë në Fig. 5.4), e cila përshkruhet nga funksioni
(5.29)
quhet funksioni i numërimit (shih Kapitullin 19). Numri i vijave spektrale midis origjinës përgjatë boshtit të frekuencës dhe zeros së parë të mbështjelljes është q- 1. Komponenti DC i sinjalit (vlera mesatare) , dhe vlerën efektive A= , d.m.th. sa më i madh të jetë cikli i punës, aq më i ulët është niveli i komponentit konstant dhe vlera efektive e sinjalit. Me rritjen e ciklit të punës q numri i komponentëve diskrete rritet - spektri bëhet më i dendur (shih Fig. 5.4, b), dhe amplituda harmonike zvogëlohet më ngadalë. Duhet theksuar se, në përputhje me (5.27), spektri i sekuencës së konsideruar të pulseve drejtkëndore është real.

Nga spektri i amplitudave komplekse (5.27), mund të veçohet amplituda Ak = |A k| dhe spektri fazor k=arg A k treguar në fig. 5.5 për rastin q= 4. Nga figurat mund të shihet se spektri i amplitudës është çift, dhe spektri fazor është një funksion tek i frekuencës. Për më tepër, fazat e harmonikëve individualë marrin ose një vlerë zero midis nyjeve, ku sinusi është pozitiv, ose ±, ku sinusi është negativ (Fig. 5.5, b)

Bazuar në formulën (5.28), marrim formën trigonometrike të zgjerimit të serisë Fourier në harmonikë çift (krahaso me (5.15)):
(5.30)

Kur zhvendoset sekuenca e pulsit përgjatë boshtit të kohës (Fig. 5.2, b) në përputhje me (5.13), spektri i amplitudës së tij do të mbetet i njëjtë, por spektri fazor do të ndryshojë:
(5.31)

Në rastin kur sekuenca periodike ka një formë bipolare (shih Fig. 5.1), nuk do të ketë asnjë komponent konstant në spektër (krahaso (5.30) dhe (5.31) me (5.14) dhe (5.15)).

Në mënyrë të ngjashme, mund të hulumtohet përbërja spektrale e sinjaleve periodike jo-harmonike të një forme tjetër. Tabela 5.1 tregon zgjerimin Furier të disa prej sinjaleve më të zakonshme.

Tabela 5.1

	Llojet e sinjaleve	Zgjerimi i Furierit
1
2
3
4
5
6

5.4. Llogaritja e qarqeve me efekte periodike joharmonike

Llogaritja e qarqeve elektrike lineare nën ndikimin e sinjaleve periodike joharmonike bazohet në parimin e mbivendosjes. Thelbi i tij, siç zbatohet për efektet joharmonike, është të zgjerojë një sinjal periodik jo-harmonik në një nga format e serisë Fourier (shih 5.1. Sinjalet periodike joharmonike. Zgjerimi i serisë Furier) dhe të përcaktojë përgjigjen e qarkut. nga çdo harmonik veç e veç. Reaksioni që rezulton gjendet me mbivendosje (mbivendosje) të reaksioneve të pjesshme që rezultojnë. Kështu, llogaritja e qarqeve nën ndikimet periodike jo-harmonike përfshin problemin e analizës së përbërjes spektrale të sinjalit (zgjerimi i tij në një seri Furier), llogaritja e qarkut nga çdo komponent harmonik dhe problemi i sintezës, si rezultat i i cili sinjali dalës që rezulton përcaktohet si funksion i kohës (frekuencës) ose efektivit të tij (vlerës së amplitudës).

Kur zgjidhin një problem analize, ata zakonisht përdorin formën trigonometrike (5.3) ose komplekse (5.6) të serisë Fourier me një numër të kufizuar termash zgjerimi, gjë që çon në disa gabime në përafrimin e sinjalit të vërtetë. Koeficientët e zbërthimit një k Dhe b k në (5.3) ose Ak Dhe k në (5.6) përcaktohen duke përdorur ekuacionet (5.4), (5.7) dhe (5.8). Në këtë rast, sinjali i hyrjes f(a) duhet të specifikohet në mënyrë analitike. Nëse sinjali specifikohet grafikisht, për shembull, në formën e një oshilogrami, atëherë për të gjetur koeficientët e zgjerimit një k Dhe b k mund të përdoret metoda grafike-analitike (shih (5.16)).

Llogaritja e qarkut nga harmonikat individuale zakonisht kryhet duke përdorur një metodë simbolike. Duke vepruar kështu, duhet pasur parasysh se k th reaktans induktiv harmonik X L(k) = kL, dhe kapacitetin X C(k) = 1/(kС), d.m.th k th reaktans induktiv harmonik në k herë më shumë, dhe kapacitiv k herë më i vogël se harmoniku i parë. Kjo, në veçanti, shpjegon faktin se harmonikat e larta janë më të theksuara në kapacitet, dhe më të dobëta në induktivitet, sesa në tensionin e aplikuar ndaj tyre. Rezistencë aktive R në frekuenca të ulëta dhe të mesme mund të konsiderohen të pavarura nga frekuenca.

Pas përcaktimit të rrymave dhe tensioneve të dëshiruara nga harmonikat individuale, përgjigja e qarkut që rezulton ndaj një efekti periodik jo-harmonik gjendet me mbivendosje. Në këtë rast, ose vlera e menjëhershme e sinjalit që rezulton përcaktohet bazuar në llogaritjen e amplitudave dhe fazave të harmonikave individuale, ose amplituda e saj ose vlerat efektive sipas ekuacioneve (5.18), (5.19). Gjatë përcaktimit të përgjigjes që rezulton, duhet të mbahet mend se, në përputhje me paraqitjen e lëkundjeve periodike jo-harmonike në planin kompleks, vektorët e harmonikëve të ndryshëm rrotullohen me frekuenca të ndryshme këndore.

Shembull. Në qarkun e treguar në Fig. Tensioni i aplikuar 5.6 u(t) në formën e pulseve drejtkëndëshe me një periudhë përsëritjeje T= 2t dhe dhe amplituda A dhe \u003d 1V (shih Fig. 5.3, b). Përcaktoni vlerat e menjëhershme dhe efektive të tensionit në të gjithë kapacitetin.

Zgjerimi i këtij tensioni në një seri Furier përcaktohet nga formula (5.31). Kufizohemi në tre kushtet e para të zgjerimit (5.31): harmoniku k është një gjendje e tillë e një qarku elektrik, i përbërë nga elementë reaktivë me karakteristika të ndryshme, në të cilin zhvendosja e fazës midis rrymës hyrëse dhe tensionit të aplikuar. k-x harmonika është zero. Fenomeni i rezonancës mund të përdoret për të izoluar harmonikat individuale nga një sinjal periodik jo-sinusoidal. Duhet theksuar se rezonanca e rrymës në një frekuencë dhe rezonanca e tensionit në një tjetër mund të arrihet njëkohësisht në një qark.

Shembull. Për qarkun e treguar në Fig. 5.7, për një 1 të dhënë, L 1 gjej vlerën C 1 dhe C 2, në të cilën rezonanca e tensionit në harmonikën e parë dhe rezonanca e rrymës në harmonikën e 5-të ndodhin njëkohësisht.

Nga gjendja e rezonancës së tensionit, gjejmë se reaktansa hyrëse e qarkut në harmonikun e parë duhet të jetë zero:
(5.32)

dhe në të pestën - pafundësia (përçueshmëria reaktive hyrëse në harmonikën e pestë duhet të jetë e barabartë me zero):
(5.33)

Nga kushtet (5.32) dhe (5.33) gjejmë vlerën e dëshiruar të kapaciteteve:

Përshkrime të përgjithshme

Matematikani francez Fourier (J. B. J. Fourier 1768-1830) shpalli një hipotezë mjaft të guximshme për kohën e tij. Sipas kësaj hipoteze, nuk ka asnjë funksion që nuk mund të zgjerohet në një seri trigonometrike. Megjithatë, për fat të keq, në atë kohë një ide e tillë nuk u mor seriozisht. Dhe është e natyrshme. Vetë Furieri nuk ishte në gjendje të jepte prova bindëse dhe është shumë e vështirë të besosh intuitivisht në hipotezën e Furierit. Është veçanërisht e vështirë të imagjinohet fakti që kur shtohen funksione të thjeshta si funksionet trigonometrike, riprodhohen funksione që janë krejtësisht të ndryshme prej tyre. Por nëse supozojmë se hipoteza e Furierit është e saktë, atëherë një sinjal periodik i çdo forme mund të zbërthehet në sinusoidë të frekuencave të ndryshme, ose anasjelltas, me anë të shtimit të duhur të sinusoideve me frekuenca të ndryshme, është e mundur të sintetizohet një sinjal. të çdo forme. Prandaj, nëse kjo teori është e saktë, atëherë roli i saj në përpunimin e sinjalit mund të jetë shumë i madh. Në këtë kapitull, së pari do të përpiqemi të ilustrojmë saktësinë e hamendjes së Furierit.

Merrni parasysh funksionin

f(t)= 2 mëkat t- mëkat 2t

Seri e thjeshtë trigonometrike

Funksioni është shuma e funksioneve trigonometrike, me fjalë të tjera, paraqitet si një seri trigonometrike prej dy anëtarësh. Shtoni një term dhe krijoni një seri të re prej tre termash

Duke shtuar përsëri disa terma, marrim një seri të re trigonometrike prej dhjetë termash:

Koeficientët e kësaj serie trigonometrike i shënojmë si b k , ku k - numra të plotë. Nëse shikoni nga afër raportin e fundit, mund të shihni se koeficientët mund të përshkruhen me shprehjen e mëposhtme:

Atëherë funksioni f(t) mund të përfaqësohet si më poshtë:

Shanset b k - këto janë amplituda e sinusoideve me frekuencë këndore te. Me fjalë të tjera, ata vendosin madhësinë e komponentëve të frekuencës.

Duke marrë parasysh rastin kur mbishkrimi teështë e barabartë me 10, d.m.th. M= 10. Rritja e vlerës M deri në 100, marrim funksionin f(t).

Ky funksion, duke qenë një seri trigonometrike, i afrohet një sinjali me dhëmb sharrë në formë. Dhe duket se hipoteza e Furierit është absolutisht e saktë në lidhje me sinjalet fizike me të cilat kemi të bëjmë. Gjithashtu, në këtë shembull, forma e valës nuk është e qetë, por përfshin pikat e ndërprerjes. Dhe fakti që funksioni riprodhohet edhe në pikat e ndërprerjes duket premtues.

Në botën fizike, ka vërtet shumë dukuri që mund të përfaqësohen si shuma e dridhjeve të frekuencave të ndryshme. Një shembull tipik i këtyre fenomeneve është drita. Është shuma e valëve elektromagnetike me një gjatësi vale prej 8000 deri në 4000 angstroms (nga e kuqja në vjollcë). Sigurisht, ju e dini se nëse drita e bardhë kalon nëpër një prizëm, atëherë do të shfaqet një spektër prej shtatë ngjyrash të pastra. Kjo për shkak se indeksi i thyerjes së xhamit nga i cili është bërë prizmi ndryshon me gjatësinë e valës së valës elektromagnetike. Kjo është pikërisht prova që drita e bardhë është shuma e valëve të dritës me gjatësi të ndryshme. Pra, duke kaluar dritën nëpër një prizëm dhe duke marrë spektrin e saj, ne mund të analizojmë vetitë e dritës duke ekzaminuar kombinimet e ngjyrave. Në mënyrë të ngjashme, duke zbërthyer sinjalin e marrë në përbërësit e tij të ndryshëm të frekuencës, ne mund të zbulojmë se si erdhi sinjali origjinal, çfarë rruge ndoqi ose, më në fund, çfarë ndikimi të jashtëm iu nënshtrua. Me një fjalë, ne mund të marrim informacion për të gjetur origjinën e sinjalit.

Kjo metodë e analizës quhet analiza spektrale ose Analiza e Furierit.

Konsideroni sistemin e mëposhtëm të funksioneve ortonormale:

Funksioni f(t) mund të zgjerohet në këtë sistem funksionesh në intervalin [-π, π] si më poshtë:

Koeficientët α k ,β k, siç tregohet më herët, mund të shprehet në terma të produkteve skalare:

Në përgjithësi, funksioni f(t) mund të përfaqësohet si më poshtë:

Koeficientët α 0 , α k ,β k quhet Koeficientët Furier, dhe një paraqitje e tillë e një funksioni quhet zgjerimi në një seri Fourier. Ndonjëherë kjo pamje quhet e vlefshme zgjerimi në një seri Furier, dhe koeficientët janë koeficientët e vërtetë të Furierit. Termi "real" është futur për të dalluar zgjerimin e paraqitur nga zgjerimi në serinë Fourier në formë komplekse.

Siç u përmend më herët, një funksion arbitrar mund të zgjerohet në termat e një sistemi funksionesh ortogonale, edhe nëse funksionet nga ky sistem nuk përfaqësohen si një seri trigonometrike. Zakonisht, zgjerimi në një seri Fourier do të thotë zgjerim në një seri trigonometrike. Nëse koeficientët Furier shprehen me α 0 , α k ,β k marrim:

Meqenëse për k = 0 kostum= 1, pastaj konstantja një 0/2 shpreh formën e përgjithshme të koeficientit një k në k= 0.

Në relacionin (5.1), luhatja e periudhës më të madhe, e përfaqësuar nga shuma cos t dhe mëkat t quhet lëkundje e frekuencës themelore ose së pari harmonike. Një lëkundje me një periudhë të barabartë me gjysmën e periudhës kryesore quhet e dyta harmonikë. Quhet një lëkundje me periodë të barabartë me 1/3 e periodës kryesore harmonik i tretë etj. Siç mund të shihet nga relacioni (5.1) a 0 është një vlerë konstante që shpreh vlerën mesatare të funksionit f(t). Nëse funksioni f(t)është një sinjal elektrik a 0 përfaqëson komponentin konstant të tij. Prandaj, të gjithë koeficientët e tjerë të Furierit shprehin komponentët e tij variabël.

Në Fig. 5.2 tregon sinjalin dhe zgjerimin e tij në një seri Furier: në një komponent konstant dhe harmonikë të frekuencave të ndryshme. Në domenin e kohës, ku ndryshorja është koha, sinjali shprehet me funksionin f (t), dhe në domenin e frekuencës, ku ndryshorja është frekuenca, sinjali përfaqësohet nga koeficientët Furier. (a k, b k).

Harmonika e parë është një funksion periodik me periodë 2 π. Harmonikët e tjerë gjithashtu kanë një periudhë që është shumëfish i 2 π . Bazuar në këtë, kur formojmë një sinjal nga përbërësit e serisë Fourier, marrim natyrshëm një funksion periodik me një periudhë 2 π. Dhe nëse është kështu, atëherë zgjerimi në një seri Furier është, në fakt, një mënyrë për të paraqitur funksionet periodike.

Le të zgjerojmë sinjalin e një lloji që ndodh shpesh në një seri Fourier. Për shembull, merrni parasysh kurbën e dhëmbit të sharrës të përmendur më parë (Figura 5.3). Një sinjal i kësaj forme në një segment - π < t < π i shprehet me funksionin f( t)= t, kështu që koeficientët Fourier mund të shprehen si më poshtë:

Shembulli 1

Zgjerimi i serisë Furier të një sinjali me dhëmb sharrë

f(t) = t,

por) Tren pulsi drejtkëndor .

Fig 2. Sekuenca e pulseve drejtkëndore.

Ky sinjal është një funksion i barabartë dhe për paraqitjen e tij është i përshtatshëm për t'u përdorur forma valore sinus-kosinus Seria Fourier:

. (17)

Kohëzgjatja e pulseve dhe periudha e përsëritjes së tyre përfshihen në formulën që rezulton në formën e një raporti, i cili quhet cikli i punës së trenit të pulsit :.

. (18)

Vlera e termit konstant të serisë, duke marrë parasysh korrespondon:

.

Paraqitja e një sekuence pulsesh drejtkëndëshe në formën e një serie Furier ka formën:

. (19)

Grafiku i funksionit ka karakter petal. Boshti horizontal është i graduar në numra harmonikë dhe në frekuenca.

Fig 3. Paraqitja e një sekuence pulsesh drejtkëndëshe

në formën e një serie Furier.

gjerësia e petalit, e matur në numrin e harmonikave, është e barabartë me ciklin e punës (në , kemi , nëse ). Kjo nënkupton një veti të rëndësishme të spektrit të një sekuence pulsesh drejtkëndëshe - në të nuk ka harmoni me numra që janë shumëfish të ciklit të detyrës . Distanca e frekuencës ndërmjet harmonikave ngjitur është e barabartë me shpejtësinë e përsëritjes së pulsit. Gjerësia e lobeve, e matur në njësi të frekuencës, është , d.m.th. në përpjesëtim të zhdrejtë me kohëzgjatjen e sinjalit. Mund të konkludojmë: sa më i shkurtër të jetë pulsi, aq më i gjerë është spektri .

b) Sinjali i dhëmbit të sharrës .

Fig 4. Sinjali i dhëmbit të sharrës.

Sinjali i dhëmbit sharrë brenda një periudhe përshkruhet nga një funksion linear

, . (20)

Ky sinjal është një funksion tek, kështu që seria e tij sinus-kosinus Fourier përmban vetëm përbërës sinus:

Seria Fourier e sinjalit të sharrës ka formën:

Për spektrat e sinjaleve drejtkëndore dhe të sharrës, është tipike që amplituda e harmonikëve me numra në rritje ulet proporcionalisht .

në) Sekuenca e pulsit trekëndor .

Seria Fourier ka formën:

Fig 5. Një sekuencë pulsesh trekëndore.

Siç mund ta shihni, në kontrast me një sekuencë pulsesh drejtkëndëshe dhe sharrë, për një sinjal periodik trekëndor, amplituda e harmonikëve zvogëlohet në përpjesëtim me fuqinë e dytë të numrave harmonikë. Kjo për faktin se shkalla e zbërthimit të spektrit varet nga shkalla e butësisë së sinjalit.

Leksioni numër 3. Transformimi Furier.

Vetitë e transformimit të Furierit.

Format e serive Furier. Sinjali quhet periodike, nëse forma e tij përsëritet ciklikisht në kohë Sinjali periodik u(t) në përgjithësi shkruhet kështu:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Këtu T është periudha e sinjalit. Sinjalet periodike mund të jenë të thjeshta dhe komplekse.

Për paraqitjen matematikore të sinjaleve periodike me pikë T Shpesh përdoret seria (2.2), në të cilën oscilimet harmonike (sinusoidale dhe kosinusi) të frekuencave të shumta zgjidhen si funksione bazë.

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …, (2.3)

ku w 1 \u003d 2p / T është frekuenca kryesore këndore e sekuencës

funksione. Me funksionet e bazës harmonike, nga seria (2.2) fitojmë serinë Fourier (Jean Fourier - matematikan dhe fizikant francez i shekullit të 19-të).

Funksionet harmonike të formës (2.3) në serinë Furier kanë këto përparësi: 1) një përshkrim të thjeshtë matematikor; 2) pandryshueshmëria ndaj transformimeve lineare, d.m.th. nëse një lëkundje harmonike vepron në hyrjen e një qarku linear, atëherë në daljen e tij do të ketë edhe një lëkundje harmonike, e cila ndryshon nga hyrja vetëm në amplitudë dhe fazë fillestare; 3) si një sinjal, funksionet harmonike janë periodike dhe kanë një kohëzgjatje të pafundme; 4) Teknika për gjenerimin e funksioneve harmonike është mjaft e thjeshtë.

Nga kursi i matematikës dihet se për të zgjeruar një sinjal periodik në një seri për sa i përket funksioneve harmonike (2.3), duhet të plotësohen kushtet e Dirichlet-it. Por të gjitha sinjalet periodike reale plotësojnë këto kushte dhe ato mund të përfaqësohen si një seri Fourier, e cila mund të shkruhet në një nga format e mëposhtme:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

ku koeficientët

A 0 =

Amn"= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

Një mn = (2.7)

ose në formë komplekse

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

Nga (2.4) - (2.9) rrjedh se, në rastin e përgjithshëm, sinjali periodik u(t) përmban një komponent konstante A 0/2 dhe një grup lëkundjesh harmonike të frekuencës themelore w 1 =2pf 1 dhe harmonikave të tij me frekuenca wn =nw 1 , n=2 ,3,4,… Secila prej harmonikeve

lëkundjet e serisë Furier karakterizohen nga amplituda dhe faza fillestare y n .nn

Diagrami spektral dhe spektri i një sinjali periodik. Nëse ndonjë sinjal paraqitet si një shumë e lëkundjeve harmonike me frekuenca të ndryshme, atëherë ata thonë se zbërthimi spektral sinjal.

Diagrami spektral sinjal quhet një paraqitje grafike e koeficientëve të serisë Furier të këtij sinjali. Ka diagrame amplitudë dhe fazore. Në fig. 2.6 në një shkallë të caktuar, frekuencat harmonike vizatohen përgjatë boshtit horizontal dhe amplituda e tyre A mn dhe fazat y n vizatohen përgjatë boshtit vertikal. Për më tepër, amplituda e harmonikës mund të marrë vetëm vlera pozitive, fazat - si vlera pozitive ashtu edhe negative në intervalin -p£y n £p

Spektri i sinjalit- ky është një grup përbërësish harmonikë me vlera specifike të frekuencave, amplitudave dhe fazave fillestare, duke formuar një sinjal në total. Në aplikimet teknike në praktikë, diagramet spektrale quhen më shkurt - spektri amplitudë, spektri fazor. Më shpesh ata janë të interesuar në diagramin spektral të amplitudës. Mund të përdoret për të vlerësuar përqindjen e harmonikëve në spektër.

Shembull 2.3. Zgjeroni në një seri Fourier një sekuencë periodike të pulseve video drejtkëndore nga parametrat e njohur (U m, T, t z), edhe "Në lidhje me pikën t=0. Ndërtoni një diagramë spektrale të amplitudave dhe fazave në U m =2B, T=20ms, S=T/t dhe =2 dhe 8.

Një sinjal periodik i dhënë në një interval prej një periudhe mund të shkruhet si

u(t) =

Për të përfaqësuar këtë sinjal, ne do të përdorim formën e serisë Fourier në forma (2.4). Meqenëse sinjali është i barabartë, vetëm përbërësit e kosinusit do të mbeten në zgjerim.

Oriz. 2.6. Diagramet spektrale të një sinjali periodik:

a - amplituda; b- faza

Integrali i një funksioni tek gjatë një periudhe të barabartë me zero. Duke përdorur formulat (2.5), gjejmë koeficientët

duke lejuar të shkruhet seria Fourier:

Për të ndërtuar diagrame spektrale për të dhëna numerike specifike, vendosim n=0, 1, 2, 3, ... dhe llogarisim koeficientët harmonikë. Rezultatet e llogaritjes së tetë komponentëve të parë të spektrit janë përmbledhur në Tabelën. 2.1. Në seri (2.4) Një "mn \u003d 0 dhe sipas (2.7) A mn =|A’ mn |, frekuenca themelore f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314rad/s. Spektri i amplitudës në fig.

2.7 është ndërtuar për këto n, nën të cilat Një mn më e madhe se 5% e vlerës maksimale.

Nga shembulli i mësipërm 2.3 rrjedh se me një rritje të ciklit të punës, numri i komponentëve spektralë rritet dhe amplituda e tyre zvogëlohet. Thuhet se një sinjal i tillë ka një spektër të pasur. Duhet të theksohet se për shumë sinjale të përdorura praktikisht, nuk ka nevojë të llogariten amplituda dhe fazat e harmonikëve duke përdorur formulat e dhëna më parë.

Tabela 2.1. Amplituda e përbërësve të serisë Furier të një sekuence periodike pulsesh drejtkëndëshe

Oriz. 2.7. Diagramet spektrale të një treni periodik pulsi: por- me ciklin e punës S-2; - b-me cikel pune S=8

Në librat e referencës matematikore ka tabela të zgjerimeve të sinjaleve në një seri Fourier. Një nga këto tabela është dhënë në Shtojcën (Tabela A.2).

Shpesh lind pyetja: sa komponentë spektralë (harmonikë) duhet të merren për të përfaqësuar një sinjal real në një seri Fourier? Në fund të fundit, seriali është, në mënyrë rigoroze, i pafund. Këtu nuk mund të jepet një përgjigje e qartë. E gjitha varet nga forma e sinjalit dhe saktësia e paraqitjes së tij nga seria Fourier. Ndryshimi më i qetë i sinjalit - kërkohen më pak harmonikë. Nëse sinjali ka kërcime (diskontinuitete), atëherë duhet të mblidhen më shumë harmonikë për të arritur të njëjtin gabim. Megjithatë, në shumë raste, për shembull, në telegrafi, besohet se tre harmonikë janë të mjaftueshme për transmetimin e pulseve drejtkëndëshe me ballë të pjerrët.