Komentoni
Zgjedhja e δ në përkufizimin e vazhdimësisë uniforme varet nga ε, por jo nga x 1 ,x 2 .
Vetitë
- Funksiononi në mënyrë uniforme të vazhdueshme në grup M, është e vazhdueshme mbi të. Në përgjithësi, e kundërta nuk është e vërtetë. Për shembull, funksioni
është e vazhdueshme në të gjithë zonën e përkufizimit, por nuk është uniformisht e vazhdueshme, pasi për çdo src = "/ foto / wiki / skedarë / 98 /.png" kufiri = "0"> mund të specifikoni një segment me gjatësi arbitrare të vogël të tillë se skajet e vlerave të funksionit do të ndryshojnë më shumë se nga Një shembull tjetër: funksioni
është e vazhdueshme në të gjithë boshtin e numrave, por nuk është njëtrajtësisht e vazhdueshme, pasi
Për çdo src = "/ foto / wiki / skedarë / 98 /.png" border = "0"> ju mund të zgjidhni një segment me gjatësi arbitrare të vogël të tillë që ndryshimi në vlerat e funksionit f(x) = x 2 në skajet e segmentit do të jetë më i madh. Në veçanti, në segment, diferenca në vlerat e funksionit tenton të
Shiko gjithashtu
Fondacioni Wikimedia. 2010.
- Shkallë e zbutur njëlloj
- Shkallë e rrëmbyer në mënyrë uniforme
Shihni se çfarë është "Funksioni i vazhdueshëm i njëtrajtshëm" në fjalorë të tjerë:
Funksioni i vazhdueshëm- Ky artikull ka të bëjë me funksionin numerik të vazhdueshëm. Për paraqitjet e vazhdueshme në degë të ndryshme të matematikës, shihni hartën e vazhdueshme. Funksioni i vazhdueshëm është një funksion pa "kërcime", domethënë një me ndryshime të vogla ... ... Wikipedia
FUNKSIONI I VAZHDUESHËM- një nga konceptet bazë të analizës matematikore. Le të përcaktohet një funksion real f në një nëngrup të caktuar të Reals, d.m.th. Funksioni f quhet e vazhdueshme në një pikë (ose, më në detaje, e vazhdueshme në një pikë përgjatë grupit E), nëse për ... ... Enciklopedia e matematikës
Funksion absolutisht i vazhdueshëm- Një funksion quhet një funksion absolutisht i vazhdueshëm në një segment të fundëm ose të pafund, nëse, i tillë që për çdo grup të fundëm të intervaleve të shkëputura të fushës së funksionit ... Wikipedia
FUNKSIONI REKURENT- një funksion që është një pikë e përsëritur e ndërrimeve dinamike. sistemeve. Përkufizimi ekuivalent: funksion, ku S është metrikë. hapësirë, e quajtur. i përsëritur nëse ka një grup vlerash parakompakt, është uniformisht i vazhdueshëm dhe për çdo ... ... Enciklopedia e matematikës
Funksion pothuajse periodik- një funksion, vlerat e të cilit përsëriten përafërsisht kur argumentit i shtohen numra konstante të zgjedhur siç duhet (pothuajse periudha). Më saktësisht: një funksion i vazhdueshëm f (x) i përcaktuar për të gjitha vlerat reale të x, ... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike
FUNKSIONI SELEKTIVE- funksioni i argumentit t, që korrespondon në mënyrë unike me çdo vëzhgim të një procesi të rastësishëm; këtu ka shumë ngjarje elementare. Shpesh D përdoren ekuivalente me V. f. termat zbatimi, trajektorja. Procesi i rastësishëm karakterizohet nga ... ... Enciklopedia e matematikës
FUNKSIONI I SHPËRNDARJES- çfarë lloj vlere të rastësishme X është një funksion i një ndryshoreje reale x, duke marrë për secilën x një vlerë të barabartë me probabilitetin e pabarazisë X
FUNKSIONI ANALITIK I PËRGJITHSHËM- një funksion që plotëson sistemin me koeficientë realë që janë funksione të ndryshoreve reale x dhe y. Në shënim, sistemi origjinal shkruhet si Enciklopedia e matematikës
FUNKSIONI HARMONIK- një funksion real i përcaktuar në rajonin e hapësirës Euklidiane që ka derivate të vazhdueshme të pjesshme të rendit 1 dhe 2 në D dhe është zgjidhja e ekuacionit të Laplace ku janë koordinatat drejtkëndore karteziane të pikës x. Ndonjëherë ky përkufizim ... ... Enciklopedia e matematikës
Funksioni plurisubharmonik- Një funksion plurisubharmonik është një funksion me vlerë reale të ndryshoreve komplekse në rajonin e hapësirës komplekse, që plotëson kushtet e mëposhtme ... Wikipedia
Nëse funksioni është i vazhdueshëm në një interval (i ndaluar ose i hapur), atëherë kjo, siç e dimë tashmë, do të thotë se për çdo pikë të këtij intervali për një ε> 0 të paracaktuar ekziston q> 0 që nga pabarazia
x 0 - x< д
pason pabarazia
f (x 0) - f (x)<
ashtu që vetëm pikat x janë edhe në intervalin e dhënë.
Pra, është e qartë se q varet nga e. Përveç kësaj, për pika të ndryshme të intervalit për të njëjtën është numri q mund të jetë gjithashtu i ndryshëm, d.m.th. q varet jo vetëm nga e, por edhe nga x 0. Më pas, me rëndësi themelore është fakti që ndër vlerat e q për pika të ndryshme të intervalit dhe për të njëjtat është vlera më e vogël e q, nuk ekziston një gjë e tillë. Në rastin e parë, për një e> 0 të dhënë, mund të gjendet vlera e përbashkët për të gjitha pikat e intervalit, dhe më pas thonë se funksioni në intervalin në shqyrtim është uniformisht i vazhdueshëm.
Përkufizimi. Një funksion quhet uniformisht i vazhdueshëm në një interval të caktuar nëse, së pari, ai përcaktohet në të gjitha pikat e këtij intervali, dhe së dyti, nëse kushti i mëposhtëm është i vërtetë: çdo ε> 0 arbitrarisht i vogël mund të shoqërohet me një q> 0 të tillë, nga pabarazia x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.
Me përcaktimin e vazhdimësisë uniforme të një funksioni, rezulton se funksioni është uniformisht i vazhdueshëm në një interval, i vazhdueshëm në çdo pikë të këtij intervali. Pohimi i kundërt, siç tregon shembulli i një funksioni në pivinterval (0, 1), nuk është gjithmonë i vërtetë.
Teorema e Kantorit (mbi vazhdimësinë uniforme të një funksioni). Nëse një funksion është i vazhdueshëm në segmentin [a, b], atëherë ai është uniformisht i vazhdueshëm në këtë segment.
Dëshmi. Le të kemi një numër arbitrarisht të vogël e> 0. Ndani segmentin [a, b] në një numër të fundëm m pjesësh në mënyrë që lëkundjet e një vazhdimësie të dhënë në (a, b] të funksionojnë në secilën nga pjesët e fituara të segmente
[a, c 1], [c 1, c 2], [c 2, c 3], …… .., [c i, c i + 1], ……., [a, b],
ishte më pak se. Meqenëse ka një numër të kufizuar segmentesh private, gjatësitë e tyre janë gjithashtu të fundme, prandaj midis tyre është më i vogli, të cilin e shënojmë me d. Tani marrim çdo dy pika x 1 dhe x 2 në segmentin [a, b ] në mënyrë që distanca ndërmjet tyre të jetë më e vogël:
x 2 - x 1< д (95)
Dy pika të tilla mund të vendosen ose në të njëjtin segment privat, ose në segmente private ngjitur. Në rastin e parë
f (x 2) - f (x 1)< , (96)
Në rastin e dytë, nëse shënojmë skajin e përbashkët të segmenteve private ngjitur me c i, marrim:
f (x 2) - f (x 1) = | f (x 2) - f (c i) + f (c i) - f (x 1) | ?,
f (x 2) - f (x 1)< (97)
Kështu, në rastin e parë, pabarazia (95) nënkupton pabarazinë (96), dhe në të dytin, pabarazia (95) nënkupton pabarazinë (97). Teorema është vërtetuar.
(Kjo veti është e vlefshme vetëm për segmentet e linjës, jo për intervalet dhe gjysmëintervalet.)
Funksioni është i vazhdueshëm në intervalin (0, a), por nuk është i vazhdueshëm në të, pasi ka një numër> 0 të tillë që të ketë vlera x 1 dhe x 2 të tilla që f (x 1) - f (x 2)>, - çdo numër me kusht që x 1 dhe x 2 të jenë afër zeros.
Funksioni $% f (x) $% quhet i vazhdueshëm në pikën $% x_0 $% nëse $$ \ forall \ varepsilon> 0 \ \ \ ekziston \ delta (x_0, \ varepsilon)> 0: \ \ për të gjitha x: | x -x_0 |<\delta =>| f (x) -f (x_0) |<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.
Dhe si ndryshon nga vazhdimësia e rregullt?>
Vazhdimësia e zakonshme (në drejtim të pikës) është një veti lokale e një funksioni. Kjo do të thotë se kryhet në një pikë të caktuar. Vini re se përkufizimi i vazhdimësisë së një funksioni është dhënë pikërisht në një pikë. Për më tepër, ne e dimë se ka funksione që janë të vazhdueshme jo vetëm në një pikë, por edhe në një grup (për shembull, $% f (x) = \ sin x $% është e vazhdueshme në $% \ mathbb (R ) $% ). Kjo nuk anulon natyrën lokale të vazhdimësisë, domethënë thjesht do të thotë se nëse kontrollojmë $% \ sin x $% për vazhdimësi në çdo pikë të veçantë prej $% \ mathbb (R) $%, atëherë funksioni do të kënaqë në këtë pikë të veçantë... Meqenëse në çdo pikë $% x_0 $% të grupit $% \ mathbb (R) $% gjendja e vazhdimësisë së funksionit $% \ sin x $% në pikën $% x_0 $% është e kënaqur, funksioni quhet i vazhdueshëm në këtë set. Për më tepër, kur studiuam vazhdimësinë e funksionit në secilën pikë të veçantë, ne (për një $% të caktuar \ varepsilon $%) për këtë pikë morëm $% \ delta = \ delta (x_0, \ varepsilon) $%. Kjo do të thotë, për pika të ndryshme të grupit, (në përgjithësi) do të përftohen delta të ndryshme. Kështu, ekziston një veti e pabarabartë e funksionit "të jetë i vazhdueshëm" përgjatë deltës: përafërsisht, në pikën $% x_1 $% funksioni është i vazhdueshëm me një deltë, dhe në pikën $% x_2 $% - me një tjetër. delta.
Si të kuptojmë δ> 0, nëse funksioni është i vazhdueshëm, atëherë për çdo epsilon duhet të ketë një delta.>
Ju e keni vërejtur saktë atë nëse funksioni është i vazhdueshëm, atëherë për çdo delta epsilon ekziston. Sidoqoftë, në praktikë situata shpesh është e tillë - ju jepet një funksion (për shembull, $% y = 3 + x $%) dhe një pikë (për shembull, $% x_0 = 2 $%). Pyetja është, a do të jetë funksioni $% f $% i vazhdueshëm në pikën $% x_0 $%? Si të zbuloni? Mënyra më themelore është të kontrolloni nëse përkufizimi i vazhdimësisë së një funksioni në një pikë është përmbushur. Domethënë, unë do t'ju jap epsilon të ndryshëm ($% \ varepsilon = 1, \ space \ varepsilon = 1/2, \ space \ varepsilon = 1/100 $%, e kështu me radhë), dhe ju do të zgjidhni një delta të tillë për mua , në varësi të nga ky epsilon dhe pika x janë zero, që përkufizimi është i kënaqur. Nëse pasi të listoj të gjithë epsilonet pozitive për ju (nuk do të jetë e lehtë, por gjithsesi), rezulton se keni gjetur një deltë të tillë për çdo epsilon, atëherë jemi dakord që funksioni në këtë pikë është i vazhdueshëm. Nëse në një moment ju them një epsilon të tillë (për shembull, $% \ varepsilon = 1/1000 $%) për të cilin nuk mund të gjeni një delta të tillë që përkufizimi të jetë i kënaqur, atëherë funksioni nuk mund të jetë i vazhdueshëm në këtë pikë (ai nuk e plotëson përkufizimin e vazhdimësisë).
Kur kushti | x - x0 |<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>
Në këtë citat tuajin, vazhdimësinë uniforme e kam zëvendësuar me atë të zakonshmen (duket se fillimisht duhet të merreni me të). Vini re se për të njohur një funksion si jo të vazhdueshëm (jo të vazhdueshëm), është e nevojshme që përkufizimi i vazhdimësisë(i cili në fillim të mesazhit) nuk u ekzekutua. Dhe jo vetëm një pjesë e këtij përkufizimi, por ai në tërësinë e tij. Në vend të një përkufizimi në këtë rast, ai duhet të ekzekutohet mohim logjik... Rregulli mnemonik për kompozimin e mohimit është si vijon: të gjithë kuantifikuesit "ekzistojnë" (ikona $% \ ekziston $%) dhe "për cilindo" (ikona $% \ forall $%) duhet të zëvendësohen me ato të kundërta (d.m.th. , $% \ ekziston $% duhet të zëvendësohet me $ % \ përgjithmonë $% dhe të zëvendësohet $% \ përgjithë $% me $% \ ekziston $%). Ju gjithashtu duhet të ndryshoni shenjën e pabarazisë së fundit në të kundërtën (në këtë rast, $% | f (x) -f (x_0) |<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
Funksioni $% f (x) $% është i ndërprerë (d.m.th. jo i vazhdueshëm) në pikën $% x_0 $% nëse $$ \ ekziston \ varepsilon> 0: \ forall \ delta> 0 \ hapësira \ ekziston x: | x- x_0 |<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
Nga këtu shohim se kriteri juaj për ndërprerje (kushti $% | x-x_0 |<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
Për ta kuptuar më mirë këtë, është e dobishme që në mënyrë të pavarur të analizohen disa shembuj bazë për këtë temë (për shembull, për të hetuar një funksion shumë të thjeshtë për vazhdimësinë në pikën $% x_0 $% dhe nëse është i vazhdueshëm në të, atëherë specifikoni në mënyrë eksplicite $% \ delta (x_0, \ varepsilon) $%, dhe nëse është i ndërprerë, atëherë specifikoni $% \ varepsilon $%, për të cilin kryhet mohimi, etj.). Pasi të njiheni me përkufizimin e vazhdimësisë dhe mohimit të tij (në përgjithësi dhe në gjuhën $% \ varepsilon $% - $% \ delta $% në veçanti), kalimi në vazhdimësi uniforme do të jetë shumë më i lehtë. Dhe, sigurisht, duhet të lexoni për vazhdimësinë dhe vazhdimësinë uniforme në tekstin e analizës. Sipas linkut që keni dhënë, ka disa materiale që ngjajnë më shumë si një nxitje për një provim, ku vijueshmëria uniforme shpjegohet në një rresht. Si është e mundur të zotëroni këtë (dhe koncepte të tjera) në matematikë në këtë format, është plotësisht e paqartë për mua.
P.S. Kërkojmë nga pjesëmarrësit e tjerë që ta kontrollojnë këtë përgjigje (nëse i kam deklaruar të gjitha saktë), pasi është e natyrës metodologjike.
