Funksioni linear quhet funksion i formës y = kx + b dhënë në bashkësinë e të gjithë numrave realë. Këtu k- pjerrësia (numri real), b – afat i lirë (numër real), xËshtë variabli i pavarur.
Në një rast të veçantë, nëse k = 0, marrim një funksion konstant y = b, grafiku i të cilit është një drejtëz paralele me boshtin Ox që kalon nëpër një pikë me koordinata (0; b).
Nëse b = 0, atëherë marrim funksionin y = kx, që është proporcionaliteti i drejtpërdrejtë.
b – gjatësia e segmentit, e cila është e prerë nga vija përgjatë boshtit Oy, duke llogaritur nga origjina.
Kuptimi gjeometrik i koeficientit k – këndi i animit një vijë e drejtë në drejtimin pozitiv të boshtit Ox, numërohet në të kundërt të akrepave të orës.
Karakteristikat e funksionit linear:
1) Fusha e një funksioni linear është i gjithë boshti real;
2) Nëse k ≠ 0, atëherë diapazoni i vlerave të funksionit linear është i gjithë boshti real. Nëse k = 0, atëherë diapazoni i vlerave të funksionit linear përbëhet nga numri b;
3) Njëtrajtshmëria dhe çudia e një funksioni linear varen nga vlerat e koeficientëve k dhe b.
a) b ≠ 0, k = 0, prandaj, y = b - çift;
b) b = 0, k ≠ 0, prandaj y = kx - tek;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, prandaj y = kx + b është një funksion i përgjithshëm;
d) b = 0, k = 0, prandaj y = 0 - funksioni çift dhe tek.
4) Funksioni linear nuk posedon vetinë e periodicitetit;
5) Pikat e kryqëzimit me boshtet koordinative:
Ka: y = kx + b = 0, x = -b / k, prandaj (-b / k; 0)- pika e prerjes me boshtin e abshisave.
Oj: y = 0k + b = b, prandaj (0; b)- pika e prerjes me boshtin e ordinatave.
Shënim: Nëse b = 0 dhe k = 0, pastaj funksioni y = 0 zhduket për çdo vlerë të ndryshores X... Nëse b ≠ 0 dhe k = 0, pastaj funksioni y = b nuk zhduket për asnjë vlerë të ndryshores X.
6) Intervalet e shenjës konstante varen nga koeficienti k.
a) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.
y = kx + b- është pozitiv në x nga (-b / k; + ∞),
y = kx + b- është negativ në x nga (-∞; -b / k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b- është pozitiv në x nga (-∞; -b / k),
y = kx + b- është negativ në x nga (-b / k; + ∞).
c) k = 0, b> 0; y = kx + bështë pozitive në të gjithë fushën e përkufizimit,
k = 0, b< 0; y = kx + b është negative në të gjithë domenin.
7) Intervalet e monotonitetit të funksionit linear varen nga koeficienti k.
k> 0, prandaj y = kx + b rritet në të gjithë fushën e përkufizimit,
k< 0 , prandaj y = kx + b zvogëlohet në të gjithë fushën e përkufizimit.
8) Grafiku i një funksioni linear është një drejtëz. Për të ndërtuar një vijë të drejtë, mjafton të dini dy pika. Pozicioni i vijës së drejtë në planin koordinativ varet nga vlerat e koeficientëve k dhe b... Më poshtë është një tabelë që e ilustron qartë këtë.
Përkufizimi i një funksioni linear
Le të prezantojmë përkufizimin e një funksioni linear
Përkufizimi
Një funksion i formës $ y = kx + b $, ku $ k $ është jozero, quhet funksion linear.
Grafiku i funksionit linear - drejtëz. Numri $ k $ quhet pjerrësia e vijës.
Për $ b = 0 $, funksioni linear quhet funksioni i proporcionalitetit të drejtpërdrejtë $ y = kx $.
Merrni parasysh figurën 1.
Oriz. 1. Kuptimi gjeometrik i pjerrësisë së një drejtëze
Konsideroni një trekëndësh ABC. Shohim që $ ВС = kx_0 + b $. Gjeni pikën e prerjes së drejtëzës $ y = kx + b $ me boshtin $ Ox $:
\ \
Prandaj $ AC = x_0 + \ frac (b) (k) $. Le të gjejmë raportin e këtyre partive:
\ [\ frac (BC) (AC) = \ frac (kx_0 + b) (x_0 + \ frac (b) (k)) = \ frac (k (kx_0 + b)) ((kx) _0 + b) = k \]
Nga ana tjetër, $ \ frac (BC) (AC) = tg \ kënd A $.
Kështu, mund të nxirret përfundimi i mëposhtëm:
konkluzioni
Kuptimi gjeometrik i koeficientit $ k $. Pjerrësia e drejtëzës $ k $ është e barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së kësaj drejtëze me boshtin $ Ox $.
Hetimi i funksionit linear $ f \ majtas (x \ djathtas) = kx + b $ dhe grafiku i tij
Së pari, merrni parasysh funksionin $ f \ majtas (x \ djathtas) = kx + b $, ku $ k> 0 $.
- $ f "\ majtas (x \ djathtas) = (\ majtas (kx + b \ djathtas))" = k> 0 $. Rrjedhimisht, ky funksion rritet në të gjithë domenin e përkufizimit. Nuk ka pika ekstreme.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ në - \ infty) kx \) = - \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ në + \ infty) kx \) = + \ infty $
- Grafiku (Fig. 2).
Oriz. 2. Grafikët e funksionit $ y = kx + b $, për $ k> 0 $.
Tani merrni parasysh funksionin $ f \ majtas (x \ djathtas) = kx $, ku $ k
- Shtrirja është e gjitha numrat.
- Gama është e gjitha numrat.
- $ f \ majtas (-x \ djathtas) = - kx + b $. Funksioni nuk është as çift dhe as tek.
- Për $ x = 0, f \ majtas (0 \ djathtas) = b $. Për $ y = 0,0 = kx + b, \ x = - \ frac (b) (k) $.
Pikat e kryqëzimit me boshtet e koordinatave: $ \ majtas (- \ frac (b) (k), 0 \ djathtas) $ dhe $ \ majtas (0, \ b \ djathtas) $
- $ f "\ majtas (x \ djathtas) = (\ majtas (kx \ djathtas))" = k
- $ f ^ ("") \ majtas (x \ djathtas) = k "= 0 $. Prandaj, funksioni nuk ka pika lakimi.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ në - \ infty) kx \) = + \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ në + \ infty) kx \) = - \ infty $
- Grafiku (Fig. 3).
Një funksion linear është një funksion i formës y = kx + b, ku x është një ndryshore e pavarur, k dhe b janë çdo numër.
Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë.
1. Për të hartuar një grafik funksioni, na duhen koordinatat e dy pikave që i përkasin grafikut të funksionit. Për t'i gjetur ato, duhet të merrni dy vlera të x, t'i zëvendësoni ato në ekuacionin e funksionit dhe prej tyre të llogaritni vlerat përkatëse të y.
Për shembull, për të vizatuar funksionin y = x + 2, është e përshtatshme të marrim x = 0 dhe x = 3, atëherë ordinatat e këtyre pikave do të jenë të barabarta me y = 2 dhe y = 3. Marrim pikat A (0; 2) dhe B (3; 3). I lidhim dhe marrim grafikun e funksionit y = x + 2:
2.
Në formulën y = kx + b, numri k quhet koeficienti i proporcionalitetit:
nëse k> 0, atëherë funksioni y = kx + b rritet
nëse k
Koeficienti b tregon zhvendosjen e grafikut të funksionit përgjatë boshtit OY:
nëse b> 0, atëherë grafiku i funksionit y = kx + b merret nga grafiku i funksionit y = kx duke zhvendosur b njësitë lart përgjatë boshtit OY
nëse b
Në figurën e mëposhtme janë paraqitur grafikët e funksioneve y = 2x + 3; y = ½ x + 3; y = x + 3
Vini re se në të gjitha këto funksione koeficienti k Mbi zero, dhe funksionet janë në rritje. Për më tepër, sa më e madhe të jetë vlera e k, aq më i madh është këndi i prirjes së drejtëzës në drejtimin pozitiv të boshtit OX.
Në të gjitha funksionet b = 3 - dhe ne shohim që të gjithë grafët kryqëzojnë boshtin OY në pikën (0; 3)
Tani merrni parasysh grafikët e funksioneve y = -2x + 3; y = - ½ x + 3; y = -x + 3
Këtë herë, në të gjitha funksionet, koeficienti k më pak se zero, dhe funksionet zvogëlohet. Koeficienti b = 3, dhe grafikët, si në rastin e mëparshëm, kryqëzojnë boshtin OY në pikën (0; 3)
Konsideroni grafikët e funksioneve y = 2x + 3; y = 2x; y = 2x-3
Tani në të gjitha ekuacionet e funksioneve koeficientët k janë të barabartë me 2. Dhe kemi marrë tre drejtëza paralele.
Por koeficientët b janë të ndryshëm, dhe këta grafikë kryqëzojnë boshtin OY në pika të ndryshme:
Grafiku i funksionit y = 2x + 3 (b = 3) kalon boshtin OY në pikën (0; 3)
Grafiku i funksionit y = 2x (b = 0) pret boshtin OY në pikën (0; 0) - origjinën.
Grafiku i funksionit y = 2x-3 (b = -3) kalon boshtin OY në pikën (0; -3)
Pra, nëse i dimë shenjat e koeficientëve k dhe b, atëherë mund të imagjinojmë menjëherë se si duket grafiku i funksionit y = kx + b.
Nëse k 0
Nëse k> 0 dhe b> 0, atëherë grafiku i funksionit y = kx + b ka formën:
Nëse k> 0 dhe b, atëherë grafiku i funksionit y = kx + b ka formën:
Nëse k, atëherë grafiku i funksionit y = kx + b ka formën:
Nëse k = 0, atëherë funksioni y = kx + b kthehet në funksionin y = b dhe grafiku i tij duket si:
Ordinatat e të gjitha pikave të grafikut të funksionit y = b janë të barabarta me b Nëse b = 0, atëherë grafiku i funksionit y = kx (proporcionaliteti i drejtëpërdrejtë) kalon nëpër origjinë:
3. Më vete, shënojmë grafikun e ekuacionit x = a. Grafiku i këtij ekuacioni është një drejtëz paralele me boshtin OY, të gjitha pikat e së cilës kanë një abshisë x = a.
Për shembull, grafiku i ekuacionit x = 3 duket kështu:
Kujdes! Ekuacioni x = a nuk është funksion, pasi një vlerë e argumentit korrespondon me vlera të ndryshme të funksionit, gjë që nuk korrespondon me përkufizimin e funksionit.
4. Kushti për paralelizmin e dy drejtëzave:
Grafiku i funksionit y = k 1 x + b 1 është paralel me grafikun e funksionit y = k 2 x + b 2, nëse k 1 = k 2
5. Kushti për pingulitetin e dy drejtëzave:
Grafiku i funksionit y = k 1 x + b 1 është pingul me grafikun e funksionit y = k 2 x + b 2 nëse k 1 * k 2 = -1 ose k 1 = -1 / k 2
6. Pikat e prerjes së grafikut të funksionit y = kx + b me boshtet koordinative.
Me boshtin OY. Abshisa e çdo pike që i përket boshtit OY është zero. Prandaj, për të gjetur pikën e kryqëzimit me boshtin OY, duhet të zëvendësoni zeron në ekuacionin e funksionit në vend të x. Marrim y = b. Domethënë, pika e kryqëzimit me boshtin OY ka koordinata (0; b).
Me boshtin OX: Ordinata e çdo pike që i përket boshtit OX është zero. Prandaj, për të gjetur pikën e kryqëzimit me boshtin OX, duhet të zëvendësoni zeron në ekuacionin e funksionit në vend të y. Marrim 0 = kx + b. Prandaj x = -b / k. Kjo do të thotë, pika e kryqëzimit me boshtin OX ka koordinata (-b / k; 0):
