5. Linearna električna kola u režimu periodičnih neharmoničnih efekata. Teorija električnih kola

5. Linearna električna kola u režimu periodičnih neharmoničnih efekata

5.1. Neharmonični periodični signali

Prilikom prijenosa informacija putem komunikacijskih kanala u procesu pretvaranja signala u razni uređaji, u pravilu se koriste neharmonične oscilacije, jer čisto harmonijske oscilacije ne mogu biti nosioci informacija. Za prijenos poruka modulira se amplituda harmonijske oscilacije - amplitudna modulacija(AM), frekvencija - frekvencijska modulacija(FM) ili faza - fazna modulacija(FM), ili koristite impulsni signali, amplitudno modulirano - pulsno amplitudna modulacija (AIM), širina - modulacija širine impulsa(PWM), vremenska pozicija - vremensko-pulsna modulacija (VIM). Ima ih još složeni signali formirana prema posebnim zakonima. Prepoznatljiva karakteristika ovih signala je složen neharmonični karakter. Struje i naponi generisani u raznim impulsnim i digitalnim uređajima imaju nesinusoidalni oblik (19. Diskretni signali i kola), harmonijski signali koji prolaze kroz različite nelinearne uređaje dobijaju nesinusoidalni karakter (11. Nelinearna električna kola pod harmonijskim uticaji), itd. Sve ovo dovodi do potrebe za razvojem posebnih metoda za analizu i sintezu električnih kola pod uticajem periodičnih nesinusoidnih i neperiodičnih struja i napona. Ove metode se zasnivaju na spektralnim prikazima nesinusoidnih efekata zasnovanih na proširenju u niz ili Fourierov integral.

Od matematička analiza poznato je da je periodična neharmonička funkcija f (t), zadovoljavajući Dirichletove uslove, može se proširiti u Fourierov red:
(5.1)
gdje a k,bk - koeficijenti ekspanzije određeni jednadžbama
(5.2)

Veličina predstavlja prosječnu vrijednost funkcije tokom perioda f (t) i naziva se konstantna komponenta.

U teorijskim studijama, umjesto formule (5.1), obično se koristi druga, zasnovana na promjeni nezavisne varijable:
(5.3)
gdje
(5.4)

Jednačina (5.3) je trigonometrijski oblik Fourierovog reda. Prilikom analize kola, često je zgodnije koristiti složeni oblik Fourierovog reda, koji se može dobiti iz (5.3) korištenjem Eulerovih formula:
(5.5)

Zamjenom (5.5) u jednačinu (5.3), nakon jednostavnih transformacija, dobijamo složeni oblik Fourierovog reda:
(5.6)
gdje A k- kompleksna amplituda k th harmonic:
(5.7)
gdje - amplituda; - početna faza k th harmonic.

Zamjena vrijednosti a k i b k od (5.4) do (5.7), dobijamo:
(5.8)

Skup amplituda 0,5 A k = 0,5A –k u ekspanziji (5.6), zacrtano naspram odgovarajućih pozitivnih i negativnih frekvencija, formira simetričnu u odnosu na koordinatnu osu (zbog ujednačenosti koeficijenata a k) linijski amplitudski spektar.

Skup ordinata k = – –k iz (5.7) uključeno u ekspanziju (5.6) i zacrtano naspram odgovarajućih pozitivnih i negativnih frekvencija, formira simetriju u odnosu na početak koordinatne ose (zbog neparnosti koeficijenata b k)linijski fazni spektar.

Ekspanzija (5.3) se može predstaviti iu drugom obliku. S obzirom na to a k = A k cos k i b k= A k grijeh k, tada nakon zamjene u (5.3) dobijamo:
(5.9)

Ako posmatramo konstantnu komponentu a 0 /2 kao nulti harmonik sa početna faza 0 = 0, tada ekspanzija (5.9) poprima oblik
(5.10)

U posebnom slučaju kada je funkcija f(a) simetrično oko y-ose (slika 5.1, a), samo parni (kosinusni) harmonici će se pojaviti u ekspanziji (5.3):

(5.11)

i sa simetrijom f(a) u odnosu na ishodište (slika 5.1, b) neparni harmonici
(5.12)

Prilikom pomicanja ishodišta funkcije f(a) njegov amplitudski spektar se ne mijenja, već se mijenja samo fazni spektar. Zaista, pomjeramo funkciju f(a) duž vremenske ose lijevo t 0 i označiti .

Tada ekspanzija (5.9) poprima oblik
(5.13)

Primjer. Proširiti Fourierov niz pravokutnih oscilacija (slika 5.1, b). S obzirom na to f(a) je simetrična u odnosu na ishodište, samo sinusoidalni harmonici (5.12) će ostati u ekspanziji (5.3), gdje b k određuje se prema (5.4):

Zamena b k u (5.12), dobijamo proširenje u Fourierov red:
(5.14)

Zatim krećemo f(a) p/2 lijevo (vidi sliku 5.1, a). Tada prema (5.13) dobijamo

(5.15)

To jest, dobili smo ekspanziju u kosinusnim komponentama, kao što bi trebalo biti za signal simetričan oko ose ordinate.

U nekim slučajevima, kada je periodična funkcija f(a) dat je grafički i ima složenog oblika, njegovo proširenje u Fourierov niz može se izvesti grafoanalitički. Njegova suština leži u činjenici da je period signala T(Sl. 5.2) dijele se na m intervali jednaki , i tačke diskontinuiteta f(a) ne smije pasti u sredinu podijeljenih područja; odrediti vrijednost signala f(a n) u sredini svakog dijela particije.

Pronađite koeficijente ekspanzije a k i b k zamjenom integrala u (5.2) konačnom sumom
(5.16)

Jednačinu (5.16) je lako programirati i računati a k i b k može koristiti računar.

5.2. RMS, prosjek i snaga periodičnog neharmoničkog signala

Za određenost, pretpostavimo to f(t) ima značenje struje i(t). Tada se efektivna vrijednost periodične neharmoničke struje određuje prema (3.5), gdje je i(t) određena je jednadžbom (5.10):
(5.17)

Zamjenom ove trenutne vrijednosti u (3.5), nakon integracije dobijamo
(5.18)

tj. efektivna vrijednost periodične neharmoničke struje I je u potpunosti određena efektivnim vrijednostima njegovih harmonika I k i ne zavisi od njihovih početnih faza k.

Isti put nalazimo efektivnu vrijednost periodičnog nesinusoidnog napona:
(5.19)

Prosječna vrijednost struje određuje se prema opštem izrazu (3.9). I obično uzimaju prosječnu vrijednost i(t) na apsolutna vrijednost
(5.20)

Slično definisano U cf(2) .

Sa stanovišta teorije kola, veliko interesovanje predstavlja prosek aktivna snaga neharmonski signal i njegova distribucija između pojedinačnih harmonika.

Prosječna aktivna snaga periodičnog nesinusoidnog signala
(5.21)
gdje
(5.22)

k- fazni pomak između struje i napona k th harmonic.

Zamjenjivanje vrijednosti i(t) i u(t) iz (5.22) u jednačinu (5.21), nakon integracije dobijamo:
(5.23)
m, tj. prosječna aktivna snaga periodičnog neharmoničkog signala tokom perioda jednaka je zbiru snaga pojedinačnih harmonika. Formula (5.23) je jedan od oblika dobro poznatih Parsevalove jednakosti.

Slično, nalazimo reaktivna snaga
(5.24)
i puna moć
(5.25)

Treba naglasiti da, za razliku od harmonijskih signala za neharmoničnih signala
(5.26)

Veličina P ic = se zove snaga izobličenja i karakteriše stepen razlike u trenutnim oblicima i(t) i stres u(t).

Pored snage izobličenja, periodične neharmonične signale karakteriše niz koeficijenti:snaga, k m = P/S; oblici K f \u003d U / U cf (2); amplitude K a = U m /U; izobličenje k i = U 1 /U; harmonici k r = i sl.

Za sinusni signal k f = /21,11; k a = 1,41; k u = 1; k r = 0.

5.3. Spektri periodičnih neharmoničnih signala

Razmotrite slijed pravokutnih impulsa prikazan na Sl. 5.3, a. Signali ovog oblika se vrlo široko koriste u radiotehnici i telekomunikacijama: telegrafiji, digitalni sistemi transmisije, sistemi višekanalnu komunikaciju sa vremenskim podjelom kanala, raznim pulsima i digitalnih uređaja i drugi (vidi poglavlje 19). Slijed impulsa karakteriziraju sljedeći glavni parametri: amplituda impulsa A i može imati značenje i napona i struje."> , njegovo trajanje t i i period T. Odnos perioda T do trajanja t i pozvao krug duznosti i označava se sa q = T/t i. Obično se vrijednosti radnog ciklusa impulsa kreću od nekoliko jedinica (u mjernoj tehnologiji, uređajima diskretni prenos i obrada informacija), do nekoliko stotina ili hiljada (u radaru).

Za pronalaženje spektra niza pravokutnih impulsa koristimo Fourierov niz u kompleksnom obliku (5.6). Kompleksna amplituda k th harmonik je jednak prema (5.8) nakon povratka na originalnu varijablu t.

(5.27)

Zamjena vrijednosti A k u jednačinu (5.6), dobijamo proširenje u Fourierov red:
(5.28)

Na sl. 5.4 prikazuje spektar kompleksnih amplituda za q= 2 i q= 4. Kao što se može vidjeti sa slike, spektar niza pravokutnih impulsa je diskretni spektar sa omotnicom (isprekidana linija na slici 5.4), koja je opisana funkcijom
(5.29)
naziva se funkcija brojanja (vidi Poglavlje 19). Broj spektralnih linija između početka duž ose frekvencije i prve nule omotača je q- 1. DC komponenta signala (prosječna vrijednost) , i efektivnu vrijednost A= , tj. što je veći radni ciklus, to je niži nivo konstantne komponente i efektivna vrijednost signala. Sa povećanjem radnog ciklusa q povećava se broj diskretnih komponenti - spektar postaje gušći (vidi sliku 5.4, b), a amplituda harmonika opada sporije. Treba naglasiti da je, u skladu sa (5.27), spektar razmatrane sekvence pravougaonih impulsa realan.

Iz spektra kompleksnih amplituda (5.27) može se izdvojiti amplituda Ak = |A k| i fazni spektar k=arg A k prikazano na sl. 5.5 za slučaj q= 4. Iz slika se vidi da je amplitudski spektar paran, a fazni spektar neparna funkcija frekvencije. Štaviše, faze pojedinačnih harmonika uzimaju bilo koje nula vrijednost između čvorova, gdje je sinus pozitivan, ili ±, gdje je sinus negativan (slika 5.5, b)

Na osnovu formule (5.28), dobijamo trigonometrijski oblik proširenja Furijeovog reda u parnim harmonicima (uporedi sa (5.15)):
(5.30)

Prilikom pomeranja pulsnog niza duž vremenske ose (slika 5.2, b) u skladu sa (5.13), njegov amplitudski spektar će ostati isti, ali će se fazni spektar promijeniti:
(5.31)

U slučaju kada periodični niz ima bipolarni oblik (vidi sliku 5.1), neće biti konstantne komponente u spektru (uporedite (5.30) i (5.31) sa (5.14) i (5.15)).

Slično, može se istražiti spektralni sastav periodičnih neharmoničnih signala drugog oblika. Tabela 5.1 prikazuje Fourierovu ekspanziju nekih od najčešćih signala.

Tabela 5.1

	Tipovi signala	Fourierova ekspanzija
1
2
3
4
5
6

5.4. Proračun kola sa periodičnim neharmoničkim efektima

Proračun linearnih električnih kola pod uticajem periodičnih neharmoničnih signala zasniva se na principu superpozicije. Njegova suština, primijenjena na neharmonijske efekte, je da proširi neharmonični periodični signal u jedan od oblika Fourierovog niza (vidi 5.1. Neharmonični periodični signali. Fourierova ekspanzija) i odredi odziv kola od svaki harmonik posebno. Rezultirajuća reakcija se nalazi superpozicijom (superpozicijom) rezultirajućih parcijalnih reakcija. Dakle, proračun kola pod periodičnim neharmoničkim uticajima uključuje zadatak analize spektralnog sastava signala (njegovog proširenja u Fourierov niz), izračunavanje kola od svake harmonijske komponente i problem sinteze, kao rezultat pri čemu se rezultujući izlazni signal određuje kao funkcija vremena (frekvencija) ili njegove efektivne (amplitudne vrijednosti).

Prilikom rješavanja problema analize obično se koristi trigonometrijski (5.3) ili složeni (5.6) oblik Fourierovog reda sa ograničen broj ekspanzijskih termina, što dovodi do neke greške u aproksimaciji pravog signala. Koeficijenti dekompozicije a k i b k u (5.3) ili Ak i k u (5.6) određuju se pomoću jednačina (5.4), (5.7) i (5.8). U ovom slučaju, ulazni signal f(a) mora biti specificirano analitički. Ako je signal naveden grafički, na primjer, u obliku oscilograma, tada da se pronađu koeficijenti ekspanzije a k i b k može se koristiti grafičko-analitička metoda (vidi (5.16)).

Proračun kruga iz pojedinačnih harmonika obično se provodi simboličkom metodom. Pri tome se mora imati na umu da k th harmonic induktivna reaktansa X L(k) = kL, a kapacitivnost X C(k) = 1/(kS), tj. na k th harmonske induktivne reaktancije u k puta više, a kapacitivni k puta manji od prvog harmonika. Ovo posebno objašnjava činjenicu da su visoki harmonici izraženiji u kapacitivnosti, a slabiji u induktivnosti, nego u naponu koji se na njih primjenjuje. Aktivni otpor R na niskim i srednjim frekvencijama može se smatrati neovisnim o frekvenciji.

Nakon određivanja željenih struja i napona iz pojedinačnih harmonika, rezultujuća reakcija kola na neharmonični periodični efekat se nalazi superpozicijom. U ovom slučaju ili odredite trenutnu vrijednost rezultirajući signal na osnovu izračunavanja amplituda i faza pojedinih harmonika, odnosno njegove amplitude ili efektivne vrijednosti prema jednadžbi (5.18), (5.19). Prilikom određivanja rezultirajuće reakcije, mora se imati na umu da je, u skladu sa prikazom periodične harmonijske vibracije na kompleksnoj ravni, vektori različitih harmonika rotiraju sa različitim ugaonim frekvencijama.

Primjer. Za kolo prikazano na sl. 5.6 primijenjen napon u(t) u obliku pravougaonih impulsa sa periodom ponavljanja T= 2t i i amplituda A i \u003d 1V (vidi sliku 5.3, b). Odredite trenutni i efektivna vrijednost napon na kapacitivnosti.

Proširenje ovog napona u Fourierov red je određeno formulom (5.31). Ograničavamo se na prva tri člana ekspanzije (5.31): k-ti harmonik je takvo stanje električnog kola, koje se sastoji od reaktivnih elemenata različitih karakteristika, u kojem se fazni pomak između ulazna struja i primijenjenog napona k-x harmonike je nula. Fenomen rezonancije može se koristiti za izolaciju pojedinačnih harmonika od periodičnog nesinusoidnog signala. Treba naglasiti da se strujna rezonancija na jednoj frekvenciji i rezonancija napona na drugoj mogu postići istovremeno u kolu.

Primjer. Za kolo prikazano na sl. 5.7, za dati 1, L 1 pronađite vrijednost C 1 i C 2, na kojoj se istovremeno javljaju naponska rezonanca na 1. harmoniku i strujna rezonanca na 5. harmoniku.

Iz stanja rezonancije napona nalazimo da je ulaz reaktansa kolo na prvom harmoniku treba biti nula:
(5.32)

a na petom - beskonačnost (ulazna reaktivna provodljivost na petom harmoniku bi trebala biti jednaka nuli):
(5.33)

Iz uslova (5.32) i (5.33) nalazimo željenu vrijednost kapaciteta:

Među različitim sistemima ortogonalnih funkcija koje se mogu koristiti kao osnove za predstavljanje radio signale, izuzetno mjesto zauzimaju harmonijske (sinusne i kosinusne) funkcije. Značaj harmonijskih signala za radiotehniku ​​je zbog više razloga.

posebno:

1. Harmonični signali su invarijantni u odnosu na transformacije koje se izvode stacionarnim linearnim električna kola. Ako je takvo kolo pobuđeno izvorom harmonijskih oscilacija, tada signal na izlazu kola ostaje harmoničan sa istom frekvencijom, razlikuje se od ulaznog signala samo po amplitudi i početnoj fazi.

2. Tehnika za generisanje harmonijskih signala je relativno jednostavna.

Ako je bilo koji signal predstavljen kao zbir harmonijskih oscilacija sa različite frekvencije, onda kažu - da je spektralna dekompozicija ovog signala izvršena. Pojedinačne harmonijske komponente signala formiraju njegov spektar.

2.1. Periodični signali i Fourierovi redovi

Matematički model procesa koji se ponavlja u vremenu je periodični signal sa sljedećim svojstvom:

Ovdje je T period signala.

Zadatak je pronaći spektralnu dekompoziciju takvog signala.

Fourierova serija.

Postavimo vremenski interval razmatran u pogl. I ortonormalna baza formirana harmonijskim funkcijama sa više frekvencija;

Svaka funkcija iz ove baze zadovoljava uslov periodičnosti (2.1). Dakle, - izvršivši ortogonalno proširenje signala u ovoj bazi, tj. izračunavši koeficijente

dobijamo spektralnu dekompoziciju

važi u beskonačnosti vremenske ose.

Niz oblika (2.4) naziva se Fourierov niz datog signala. Hajde da uvedemo osnovnu frekvenciju niza koji formira periodični signal. Izračunavajući koeficijente ekspanzije po formuli (2.3), pišemo Fourierov red za periodični signal

sa koeficijentima

(2.6)

Dakle unutra opšti slučaj periodični signal sadrži vremenski nezavisnu konstantnu komponentu i beskonačan skup harmonijskih oscilacija, takozvanih harmonika sa frekvencijama koje su višestruke od osnovne frekvencije niza.

Svaki harmonik se može opisati svojom amplitudom i početnom fazom.Da bismo to učinili, koeficijente Furijeovog reda treba napisati kao

Zamjenom ovih izraza u (2.5) dobijamo drugi, ekvivalentni oblik Furijeovog reda:

što je ponekad zgodnije.

Spektralni dijagram periodičnog signala.

Tako se to zove grafička slika koeficijenti Fourierovog reda za određeni signal. Postoje amplitudski i fazni spektralni dijagrami (slika 2.1).

Ovdje su harmonijske frekvencije ucrtane na određenoj skali duž horizontalne ose, a njihove amplitude i početne faze su prikazane duž vertikalne ose.

Rice. 2.1. Spektralni dijagrami neki periodični signal: a - amplituda; b - faza

Posebno me zanima dijagram amplitude, koji vam omogućava da procenite procenat određenih harmonika u spektru periodičnog signala.

Pogledajmo nekoliko konkretnih primjera.

Primjer 2.1. Fourierova serija periodični niz pravougaoni video impulsi sa poznatim parametrima, čak iu odnosu na tačku t = 0.

U radiotehnici, omjer se naziva radni ciklus sekvence. Formulom (2.6) nalazimo

Pogodno je zapisati konačnu formulu Fourierovog reda u obliku

Na sl. 2.2 prikazuje dijagrame amplitude razmatranog niza u dva ekstremna slučaja.

Važno je napomenuti da niz kratkih impulsa, koji slijede jedan za drugim prilično rijetko, ima bogat spektralni sastav.

Rice. 2.2. Amplitudni spektar periodične sekvence pravougaonih video impulsa: a - sa velikim radnim ciklusom; b - sa niskim radnim ciklusom

Primjer 2.2. Fourierov niz periodičnog niza impulsa formiranog od harmonijski signal vrste ograničene na nivou (pretpostavlja se da ).

Uvodimo poseban parametar - granični ugao , određen iz relacije odakle

U skladu s tim, vrijednost je jednaka trajanju jednog impulsa, izraženom ugaonom mjerom:

Analitička notacija impulsa koji generiše razmatrani niz ima oblik

Sekvenca DC

Krest faktor prvog harmonika

Slično, amplitude harmonijskih komponenti su izračunate na

Rezultati se obično pišu ovako:

gdje su takozvane Bergove funkcije:

Grafovi nekih Bergovih funkcija prikazani su na sl. 2.3.

Rice. 2.3. Grafovi nekoliko prvih Bergovih funkcija

Kompleksni oblik Fourierovog reda.

Spektralna dekompozicija periodičnog signala takođe se može izvesti donekle jonski koristeći sistem osnovne funkcije, koji se sastoji od eksponenata sa imaginarnim eksponentima:

Lako je vidjeti da su funkcije ovog sistema periodične sa periodom i ortonormalne na vremenskom intervalu, jer

Fourierov niz proizvoljnog periodičnog signala u u ovom slučaju poprima oblik

sa koeficijentima

Obično se koristi sljedeći obrazac:

Izraz (2.11) je Fourierov red u kompleksnom obliku.

Spektar signala u skladu sa formulom (2.11) sadrži komponente na poluosi negativne frekvencije, i . U seriji (2.11) članovi sa pozitivnim i negativnim frekvencijama se kombinuju u parove, na primer: i grade se zbrojevi vektora - u pravcu povećanja faznog ugla, dok se vektori rotiraju suprotan smjer. Kraj rezultirajućeg vektora u svakom trenutku vremena određuje trenutnu vrijednost signala.

Takva ilustrativna interpretacija spektralne dekompozicije periodičnog signala će se koristiti u sljedećem odjeljku.

Fourierovo proširenje se može primijeniti na periodične signale. Štaviše, oni su predstavljeni kao zbir harmonijskih funkcija, ili složenih eksponencijala sa frekvencijama koje formiraju aritmetičku progresiju. Da bi takva dekompozicija postojala, fragment signala u trajanju od jednog perioda mora zadovoljiti Dirichletove uslove:

1. Ne bi trebalo biti diskontinuiteta druge vrste (sa granama funkcije koje idu u beskonačnost).

2. Broj pauza prve vrste (skokova) mora biti konačan.

Broj ekstrema mora biti konačan.

Fourierov red se može koristiti za predstavljanje ne samo periodičnih signala, već i signala konačnog trajanja. U ovom slučaju se specificira vremenski interval za koji se konstruiše Fourierov red, au drugim slučajevima signal se smatra jednakim nuli. Za izračunavanje koeficijenata serije ovaj pristup zapravo znači periodični nastavak signala izvan granica razmatranog intervala.

Fourierove metode se koriste za analizu linearnih kola ili sistema: za predviđanje reakcije (odgovora) sistema; odrediti prijenosnu funkciju; za procjenu rezultata testa.

Proizvoljni periodični signal izražava se u obliku beskonačnog broja harmonika sa rastućim frekvencijama:

			članovi jezgre;
			harmonijski termini (za n > 1, n je cijeli broj);
			koeficijenti harmonika;
			konstantna ili jednosmerna komponenta struje.

Period funkcije
treba da bude jednak 2π ili višestruka; pored funkcije
Fourierov red se može smatrati „receptom za pripremu“ bilo kojeg periodičnog signala iz sinusoidnih komponenti. To ovu seriju bilo od praktične važnosti, mora se konvergirati, tj. parcijalni zbroji serije moraju imati ograničenje.

Proces stvaranja proizvoljnog periodičnog signala iz koeficijenata koji opisuju miješanje harmonika naziva se sinteza. Obrnuti proces izračunavanja koeficijenata naziva se analiza. Izračunavanje koeficijenata je olakšano činjenicom da je prosjek unakrsnih proizvoda sinusoida i kosinusnog vala (i obrnuto) 0.

Hajde da uvedemo bazu u Hilbertov prostor:
Radi jednostavnosti, pretpostavićemo da je ortonormalno.

Zatim bilo koja funkcija
iz Hilbertovog prostora može se predstaviti u terminima projekcija vektor X na bazi osi po generaliziranom Fourierovom redu:

Fourierovi redovi su posebno korisni za opisivanje proizvoljnih periodičnih signala sa konačnom energijom u svakom periodu. Osim toga, mogu se koristiti za opisivanje neperiodičnih signala koji imaju konačnu energiju u konačnom intervalu. U praksi se za opisivanje takvih signala koristi Fourierov integral.

zaključci

1. Fourierov red se široko koristi za opisivanje periodičnih signala. Fourierov integral se koristi za opisivanje neperiodičnih signala.

Zaključak

1. Poruke, signali i smetnje kao vektori (tačke) u linearni prostor može se opisati u terminima skupa koordinata u datoj bazi.

2. Za TES, najveći interes za prikazivanje signala je n-dimenzionalni prostor Euklida
, beskonačan Hilbertov prostor
i diskretni Hamingov prostor 2 n. U ovim prostorima se uvodi koncept skalarnog proizvoda dva vektora (x, y) .

3. Bilo koji kontinuirana funkcija vrijeme kao element može biti predstavljen generalizovanim Fourierovim redom u datoj ortonormalnoj bazi.

Književnost

Glavni:

Teorija električna komunikacija: Udžbenik. Za univerzitete / A.G. Zyuko, D. D. Klovsky, V.I. Koržik, M. V. Nazarov; Ed. D. D. Klovsky. - M.: Radio i komunikacija, 1998. - 433 str.

Dodatno:

Prokis J. Digitalna komunikacija: Per. sa engleskog / Ed. D.D. Klovsky. - M.: Radio i komunikacija, 2000. - 800 str.

Bernard Sklar. Digitalna komunikacija. Teorijske osnove i praktična primjena: Per. sa engleskog - M.: Izdavačka kuća"Williams", 2003. - 1104 str.

Sukhorukov A.S. Teorija električnih komunikacija: Bilješke s predavanja. Dio 1. - M.: MTUCI, CENTER TO, 2002. - 65 str.

Sukhorukov A.S. Teorija digitalna komunikacija: Tutorial. Dio 2. - M.: MTUSI, 2008. - 53 str.

Uvodne napomene

V ovaj odjeljak razmatrat će se reprezentacija periodičnih signala korištenjem Fourierovog reda. Fourierovi redovi su osnova teorije spektralna analiza, jer, kao što ćemo kasnije vidjeti, Fourierova transformacija neperiodičnog signala može se dobiti kao granični prijelaz Fourierovog niza sa beskonačnim periodom ponavljanja. Kao rezultat, svojstva Fourierovog reda vrijede i za Fourierovu transformaciju neperiodičnih signala.

Razmotrićemo izraze za Fourierov red u trigonometrijskim i kompleksnim oblicima, a takođe ćemo obratiti pažnju na Dirichletove uslove za konvergenciju Fourierovog reda. Osim toga, detaljno ćemo se zadržati na objašnjenju takvog koncepta kao što je negativna frekvencija spektra signala, što često uzrokuje poteškoće pri upoznavanju s teorijom spektralne analize.

Periodični signal. Trigonometrijska Fourierova serija

Neka postoji kontinuirani periodični signal , koji se ponavlja sa periodom c, tj. , gdje je proizvoljan cijeli broj.

Kao primjer, slika 1 prikazuje niz pravokutnih impulsa trajanja c, koji se ponavljaju s periodom od c.

Slika 1. Periodični niz

Pravokutni impulsi

Iz toka matematičke analize poznato je da sistem trigonometrijskih funkcija

sa više frekvencija, gdje je rad/s, cijeli broj, formira ortonormalna osnova za proširenje periodičnih signala sa periodom koji zadovoljava Dirichletove uslove.

Dirichletovi uvjeti za konvergenciju Fourierovog reda zahtijevaju da se na segmentu daje periodični signal, uz zadovoljavanje sljedećih uslova:

Na primjer, periodična funkcija ne zadovoljava Dirichletove uslove, jer funkcija ima diskontinuitete druge vrste i uzima beskonačne vrijednosti za , gdje je proizvoljan cijeli broj. Dakle, funkcija ne može biti predstavljen Fourierovim nizom. Također možete dati primjer funkcije , koji je ograničen, ali takođe ne zadovoljava Dirichletove uslove, budući da ima beskonačan broj tačaka ekstrema kako se približava nuli. Funkcijski grafikon prikazano na slici 2.

Slika 2. Grafikon funkcije :

A - dva perioda ponavljanja; b - u susjedstvu

Slika 2a prikazuje dva perioda ponavljanja funkcije , a na slici 2b je površina u blizini . Može se vidjeti da kada se približi nuli, frekvencija oscilacija beskonačno raste, a takva funkcija se ne može predstaviti Fourierovim redom, jer nije po komadima monotona.

Treba napomenuti da u praksi nema signala sa beskonačne vrijednosti struja ili napon. Funkcije sa beskonačan broj ekstremi tipa takođe u primijenjeni zadaci ne sresti. Svi realni periodični signali zadovoljavaju Dirichletove uslove i mogu se predstaviti beskonačnim trigonometrijskim Fourierovim nizom oblika:

U izrazu (2), koeficijent specificira konstantnu komponentu periodičnog signala.

U svim tačkama gde je signal kontinuiran, Fourierov red (2) konvergira vrednostima datog signala, a u tačkama diskontinuiteta prve vrste, srednjoj vrednosti, gde su i granice levo i desno tačke diskontinuiteta, respektivno.

Također je poznato iz toka matematičke analize da upotreba skraćenog Fourierovog reda koji sadrži samo prve članove umjesto beskonačnog zbroja dovodi do približnog prikaza signala:

što osigurava minimalnu srednju kvadratnu grešku. Slika 3 ilustruje aproksimaciju niza periodičnog pravougaonog talasa i periodičnog pilastog talasnog oblika koristeći različite brojeve termina Fourierovog reda.

Slika 3. Aproksimacija signala skraćenim Fourierovim redom:

A - pravougaoni impulsi; b - pilasti signal

Fourierov red u složenom obliku

U prethodnom pasusu razmatrali smo trigonometrijski Fourierov red za proširenje proizvoljnog periodičnog signala koji zadovoljava Dirichletove uslove. Koristeći Eulerovu formulu, možemo pokazati:
Tada trigonometrijski Fourierov red (2) uzimajući u obzir (4):

Dakle, periodični signal može biti predstavljen zbirom DC komponente i kompleksnih eksponenata koji rotiraju na frekvencijama sa koeficijentima za pozitivne frekvencije i za kompleksne eksponente koji rotiraju na negativnim frekvencijama.

Razmotrimo koeficijente za kompleksne eksponente koji rotiraju pozitivnim frekvencijama:

Izrazi (6) i (7) se poklapaju, osim toga, konstantna komponenta se također može napisati u terminima kompleksne eksponencijalne na nultoj frekvenciji:

Dakle, (5), uzimajući u obzir (6)-(8), može se predstaviti kao jedan zbir kada se indeksira od minus beskonačnost do beskonačnosti:

Izraz (9) je Fourierov red u kompleksnom obliku. Koeficijenti Fourierovog reda u kompleksnom obliku povezani su sa koeficijentima i nizovima u trigonometrijskom obliku, a definirani su i za pozitivne i za negativne frekvencije. Indeks u notaciji frekvencije označava broj diskretnog harmonika, sa negativnim indeksima koji odgovaraju negativnim frekvencijama.

Iz izraza (2) slijedi da su za realni signal koeficijenti i serije (2) također realni. Međutim, (9) pripisuje realnom signalu, skup kompleksnih konjugiranih koeficijenata, koji se odnose i na pozitivne i na negativne frekvencije.

Neka objašnjenja za Fourierov red u složenom obliku

U prethodnom dijelu smo izvršili prijelaz sa trigonometrijskog Fourierovog reda (2) na Fourierov red u kompleksnom obliku (9). Kao rezultat toga, umjesto proširenja periodičnih signala u bazi realnih trigonometrijskih funkcija, dobili smo ekspanziju u bazi kompleksnih eksponencijala, sa kompleksnim koeficijentima, pa su se u ekspanziji pojavile čak i negativne frekvencije! Ukoliko ovo pitanječesto pogrešno shvaćeno, potrebno je dati neko objašnjenje.

Prvo, rad sa složenim eksponentima je u većini slučajeva lakši od rada sa trigonometrijskim funkcijama. Na primjer, kod množenja i dijeljenja kompleksnih eksponencijala dovoljno je samo sabrati (oduzeti) eksponente, dok su formule za množenje i dijeljenje trigonometrijskih funkcija glomaznije.

Diferenciranje i integriranje eksponenata, čak i onih složenih, također je lakše od trigonometrijskih funkcija, koje se konstantno mijenjaju prilikom diferenciranja i integracije (sinus postaje kosinus i obrnuto).

Ako je signal periodičan i stvaran, onda se trigonometrijski Fourierov red (2) čini ilustrativnijim, jer svi koeficijenti ekspanzije , i ostaju realni. Međutim, često se mora suočiti sa složenim periodičnim signalima (na primjer, modulacija i demodulacija koriste kvadratnu reprezentaciju kompleksnog omotača). U ovom slučaju, kada se koristi trigonometrijski Fourierov red, svi koeficijenti , i proširenja (2) će postati kompleksni, dok će se kada se koristi Fourierov red u kompleksnom obliku (9), isti koeficijenti proširenja koristiti i za realne i za kompleksne ulazne signale. .

I na kraju, potrebno je zadržati se na objašnjenju negativnih frekvencija koje su se pojavile u (9). Ovo pitanje je često pogrešno shvaćeno. V Svakodnevni život ne nailazimo na negativne frekvencije. Na primjer, nikada ne podešavamo naš radio na negativnu frekvenciju. Razmotrimo sljedeću analogiju iz mehanike. Neka postoji mehaničko opružno klatno koje radi slobodne vibracije sa određenom frekvencijom. Može li klatno oscilirati negativnom frekvencijom? Naravno da ne. Kao što nema radio stanica koje emituju negativne frekvencije, tako ni frekvencija klatna ne može biti negativna. Ali opružno klatno je jednodimenzionalni objekat (klatno oscilira duž jedne prave linije).

Možemo dati i drugu analogiju iz mehanike: točak koji se rotira frekvencijom od . Točak se, za razliku od klatna, rotira, tj. tačka na površini točka kreće se u ravni, a ne oscilira samo duž jedne prave linije. Stoga, za jedinstveno podešavanje rotacije točka, nije dovoljno podesiti frekvenciju rotacije, jer je potrebno podesiti i smjer rotacije. Upravo za to možemo koristiti znak frekvencije.

Dakle, ako se kotač rotira frekvencijom rad / s u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, onda smatramo da se kotač rotira pozitivnom frekvencijom, a ako se rotira u smjeru kazaljke na satu, tada će frekvencija rotacije biti negativna. Dakle, da bi se specificirala rotacija, negativna frekvencija prestaje biti besmislica i ukazuje na smjer rotacije.

A sada najvažnija stvar koju moramo razumjeti. Oscilacija jednodimenzionalnog objekta (na primjer, opružnog klatna) može se predstaviti kao zbir rotacija dva vektora prikazana na slici 4.

Slika 4. Oscilacija opružnog klatna

Kao zbir rotacija dva vektora

na kompleksnoj ravni

Klatno oscilira duž realne ose kompleksne ravni sa frekvencijom od harmonijski zakon. Kretanje klatna je prikazano kao horizontalni vektor. Gornji vektor rotira u kompleksnoj ravni pozitivnom frekvencijom (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), a donji vektor rotira negativnom frekvencijom (u smjeru kazaljke na satu). Slika 4 jasno ilustruje dobro poznatu relaciju iz kursa trigonometrije:

Dakle, Fourierov red u kompleksnom obliku (9) predstavlja periodične jednodimenzionalne signale kao zbir vektora na kompleksnoj ravni koji rotiraju pozitivnim i negativnim frekvencijama. Istovremeno, napominjemo da su u slučaju realnog signala, prema (9), koeficijenti ekspanzije za negativne frekvencije kompleksno konjugirani sa odgovarajućim koeficijentima za pozitivne frekvencije. U slučaju kompleksnog signala, ovo svojstvo koeficijenata ne vrijedi zbog činjenice da su i također kompleksni.

Spektar periodičnih signala

Fourierov red u kompleksnom obliku je dekompozicija periodičnog signala u zbir kompleksnih eksponencijala koji se rotiraju pozitivnim i negativnim frekvencijama koje su višekratnici rad/s sa odgovarajućim kompleksnim koeficijentima, koji određuju spektar signala. Kompleksni koeficijenti se mogu predstaviti Ojlerovom formulom kao , gdje je amplitudski spektar, a a je fazni spektar.

Pošto se periodični signali proširuju u niz samo na mreži fiksne frekvencije, spektar periodičnih signala je linijski (diskretan).

Slika 5. Spektar periodične sekvence

Pravougaoni impulsi:

A je amplitudski spektar; b - fazni spektar

Slika 5 prikazuje primjer amplitude i faznog spektra periodične sekvence pravokutnih impulsa (vidi sliku 1) za c, trajanje impulsa c i amplitudu impulsa B.

Amplitudni spektar originalnog realnog signala je simetričan u odnosu na nultu frekvenciju, dok je fazni spektar antisimetričan. Istovremeno, napominjemo da su vrijednosti faznog spektra i odgovaraju istoj tački u kompleksnoj ravni.

Može se zaključiti da su svi koeficijenti ekspanzije redukovanog signala čisto realni, a fazni spektar odgovara negativnim koeficijentima.

Imajte na umu da se dimenzija amplitudnog spektra poklapa sa dimenzijom signala. Ako opisuje promjenu napona tokom vremena, mjereno u voltima, tada će i amplitude harmonika spektra imati dimenziju volti.

zaključci

U ovom dijelu razmatramo predstavljanje periodičnih signala korištenjem Fourierovog reda. Dati su izrazi za Fourierov red u trigonometrijskim i kompleksnim oblicima. Dali smo Posebna pažnja Dati su Dirichletovi uvjeti za konvergenciju Fourierovog reda i primjeri funkcija za koje Fourierov red divergira.

Detaljno smo se zadržali na izrazu Fourierovog niza u složenom obliku i pokazali da su periodični signali, i realni i složeni, predstavljeni nizom kompleksnih eksponencijala sa pozitivnim i negativnim frekvencijama. U ovom slučaju, koeficijenti ekspanzije su također složeni i karakteriziraju amplitudu i fazni spektar periodičnog signala.

U sljedećem dijelu ćemo detaljnije razmotriti svojstva spektra periodičnih signala.

Implementacija softvera u DSPL biblioteci

Dech, G. Vodič praktična primjena Laplasove transformacije. Moskva, Nauka, 1965, 288 str.

a) Pravougaoni niz impulsa .

Slika 2. Redoslijed pravokutnih impulsa.

Ovaj signal je ravnomjerna funkcija i za njegovu reprezentaciju pogodan je za korištenje sinus-kosinusni talasni oblik Fourierov niz:

. (17)

Trajanje impulsa i period njihovog ponavljanja uključeni su u rezultirajuću formulu u obliku omjera, koji se naziva radni ciklus impulsnog niza :.

. (18)

Vrijednost konstantnog člana serije, uzimajući u obzir odgovara:

.

Predstavljanje niza pravokutnih impulsa u obliku Fourierovog niza ima oblik:

. (19)

Grafikon funkcije ima karakter latice. Horizontalna os je graduirana u harmonijskim brojevima i frekvencijama.

Slika 3. Prikaz niza pravougaonih impulsa

u obliku Fourierovog niza.

širina latice, mjereno u broju harmonika, jednako je radnom ciklusu (na , imamo , ako ). To implicira važno svojstvo spektra niza pravokutnih impulsa - u njemu nema harmonika sa brojevima koji su višekratnici radnog ciklusa . Frekvencijska udaljenost između susjednih harmonika jednaka je brzini ponavljanja impulsa. Širina režnjeva, mjerena u jedinicama frekvencije, je , tj. obrnuto proporcionalno trajanju signala. Možemo zaključiti: što je puls kraći, širi je spektar .

b) Sawtooth signal .

Slika 4. Pilasti signal.

Opisan je pilasti signal unutar perioda linearna funkcija

, . (20)

Ovaj signal je neparna funkcija, tako da njegov sinus-kosinus Fourierov niz sadrži samo sinusne komponente:

Fourierov niz pilastog signala ima oblik:

Za spektre pravougaonih i pilastih signala tipično je da amplitude harmonika sa rastućim brojevima proporcionalno smanjiti .

v) Trokutasta pulsna sekvenca .

Fourierov niz ima oblik:

Slika 5. Niz trouglastih impulsa.

Kao što možete vidjeti, za razliku od niza pravokutnih i pilastih impulsa, za trokutni periodični signal, amplitude harmonika se smanjuju proporcionalno drugoj potenciji harmonijskih brojeva. To je zbog činjenice da brzina raspada spektra zavisi od stepen glatkosti signala.

Predavanje broj 3. Fourierova transformacija.

Svojstva Fourierove transformacije.