Među raznim sistemima ortogonalnih funkcija koje se mogu koristiti kao osnove za predstavljanje radio signale, izuzetno mjesto zauzimaju harmonijske (sinusne i kosinusne) funkcije. Značaj harmonijskih signala za radiotehniku ​​je zbog više razloga.

posebno:

1. Harmonični signali su invarijantni u odnosu na transformacije koje se izvode stacionarnim linearnim električna kola. Ako je takav krug pobuđen izvorom harmonijske vibracije, tada signal na izlazu kola ostaje harmoničan sa istom frekvencijom, razlikuje se od ulaznog signala samo po amplitudi i početna faza.

2. Tehnika za generisanje harmonijskih signala je relativno jednostavna.

Ako je bilo koji signal predstavljen kao zbir harmonijskih oscilacija sa različite frekvencije, onda kažu da je spektralna dekompozicija ovog signala izvršena. Pojedinačne harmonijske komponente signala formiraju njegov spektar.

2.1. Periodični signali i Fourierovi redovi

Matematički model procesa koji se ponavlja tokom vremena je periodični signal sa sljedećim svojstvima:

Ovdje je T period signala.

Zadatak je pronaći spektralnu dekompoziciju takvog signala.

Fourierova serija.

Postavimo vremenski interval razmatran u pogl. I je ortonormalna baza formirana harmonijskim funkcijama sa više frekvencija;

Svaka funkcija iz ove baze zadovoljava uslov periodičnosti (2.1). Dakle, izvođenjem ortogonalne dekompozicije signala u ovoj bazi, tj. izračunavanjem koeficijenata

dobijamo spektralnu dekompoziciju

važi za beskonačnost vremenske ose.

Niz oblika (2.4) naziva se Fourierov niz datog signala. Hajde da uvedemo osnovnu frekvenciju niza koji formira periodični signal. Izračunavajući koeficijente ekspanzije koristeći formulu (2.3), pišemo Fourierov red za periodični signal

sa kvotama

(2.6)

Dakle, unutra opšti slučaj periodični signal sadrži vremenski nezavisnu konstantnu komponentu i beskonačan skup harmonijskih oscilacija, takozvanih harmonika sa frekvencijama koje su višestruke od osnovne frekvencije niza.

Svaki harmonik se može opisati svojom amplitudom i početnom fazom.Da biste to učinili, koeficijenti Fourierovog reda treba napisati u obliku

Zamjenom ovih izraza u (2.5) dobijamo drugi, ekvivalentan oblik Fourierovog reda:

što se ponekad pokaže zgodnijim.

Spektralni dijagram periodičnog signala.

Tako to zovu grafička slika Koeficijenti Fourierovog reda za određeni signal. Postoje amplitudski i fazni spektralni dijagrami (slika 2.1).

Ovdje horizontalna os predstavlja harmonijske frekvencije na određenoj skali, a vertikalna os predstavlja njihove amplitude i početne faze.

Rice. 2.1. Spektralni dijagrami neki periodični signal: a - amplituda; b - faza

Posebno ih zanima dijagram amplitude, koji omogućava da se proceni procenat određenih harmonika u spektru periodičnog signala.

Proučimo nekoliko konkretnih primjera.

Primjer 2.1. Fourierov niz periodičnog niza pravokutnih video impulsa sa poznatim parametrima, čak i u odnosu na tačku t = 0.

U radiotehnici, omjer se naziva radni ciklus sekvence. Koristeći formule (2.6) nalazimo

Pogodno je zapisati konačnu formulu Fourierovog reda u obliku

Na sl. Slika 2.2 prikazuje dijagrame amplitude sekvence koja se razmatra u dva ekstremna slučaja.

Važno je napomenuti da niz kratkih impulsa, koji slijede jedan za drugim prilično rijetko, ima bogat spektralni sastav.

Rice. 2.2. Amplitudni spektar periodične sekvence pravougaonih video impulsa: a - sa velikim radnim ciklusom; b - sa niskim radnim ciklusom

Primjer 2.2. Fourierov niz periodičnog niza formiranih impulsa harmonijski signal vrsta ograničena na nivou (pretpostavlja se da ).

Uvedemo poseban parametar - granični ugao, određen iz relacije gdje

U skladu s tim, vrijednost je jednaka trajanju jednog impulsa, izraženom ugaonom mjerom:

Analitičko snimanje impulsa koji generiše sekvencu koja se razmatra ima oblik

Komponenta stalne sekvence

Faktor amplitude prvog harmonika

Slično, amplitude harmonijskih komponenti su izračunate na

Dobijeni rezultati se obično pišu ovako:

gdje takozvane Bergove funkcije:

Grafovi nekih Bergovih funkcija prikazani su na Sl. 2.3.

Rice. 2.3. Grafovi prvih nekoliko Bergovih funkcija

Kompleksni oblik Fourierovog reda.

Spektralna dekompozicija periodičnog signala takođe se može izvesti na donekle ionski način, koristeći sistem baznih funkcija koji se sastoji od eksponencijala sa imaginarnim eksponentima:

Lako je vidjeti da su funkcije ovog sistema periodične sa periodom ortonormalnim na vremenski interval od

Fourierov niz proizvoljnog periodičnog signala u u ovom slučaju poprima oblik

sa kvotama

Obično se koristi sljedeći oblik zapisa:

Izraz (2.11) predstavlja Fourierov red u složen oblik.

Spektar signala, u skladu sa formulom (2.11), sadrži komponente na poluosi negativne frekvencije, i . U seriji (2.11) članovi sa pozitivnim i negativnim frekvencijama se kombinuju u parove, na primer: i konstruišu sume vektora - u pravcu povećanja faznog ugla, dok se vektori rotiraju u suprotan smjer. Kraj rezultirajućeg vektora u svakom trenutku vremena određuje trenutnu vrijednost signala.

Ova vizuelna interpretacija spektralne dekompozicije periodičnog signala će se koristiti u sledećem paragrafu.

Prošireno u Fourierove serije periodični signali. Kao što je gore spomenuto, može se predstaviti periodična funkcija bilo kojeg oblika, definirana na intervalu od jednog perioda T = b-a i koja zadovoljava Dirichletove uslove na tom intervalu (ograničena, po komadima kontinuirana, sa konačnim brojem diskontinuiteta 1. vrste). kao Fourierov niz:

s(t) = S n exp(jnDwt), S n = S(nDw), Dw = 2p/T, (1)

gdje su težinski koeficijenti S n serije određeni formulom:

S n = (1/T) s(t) exp(-jnDwt) dt. (2)

Fourierov niz je skup kompleksnih eksponencijala exp(jnDwt) sa frekvencijama koje formiraju aritmetičku progresiju. Funkcija ponderiranja S(nDw) se obično naziva kompleksnim spektrom periodičnog signala ili Fourierovom transformacijom funkcije s(t). Spektar periodičnog signala je diskretna funkcija, jer definiran je samo za cjelobrojne vrijednosti n sa frekvencijskim korakom inverznim periodu: Dw = 2p/T(ili Df = 1/T). Prva frekvencijska komponenta spektra na n = 1, jednaka w 1 = 1×Dw = 2p/T(ili f 1 = 1/T), su pozvani osnovni frekvencija signala (prvi harmonik), ostale frekvencije diskretni spektar nw 1 kada je n>1 nazivaju se harmonici signala. Vrijednosti S(nDw) na pozitivnom i negativne vrijednosti n su kompleksno konjugati.

Sa čisto matematičke tačke gledišta, mnoge funkcije exp(jnDwt), -¥ < n < ¥ образует бесконечномерный базис линейного пространства L 2 ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициенты S n по (2) представляют собой проекции сигнала s(t) на эти osnovne funkcije. Prema tome, signal s(t) u obliku Fourierovog reda (1) je beskonačno-dimenzionalni vektor u prostoru L 2, tačka sa koordinatama S n duž osnovnih osa prostora exp(jnDwt). Integrand eksponencijalne funkcije u izrazu (2) koristeći Eulerov identitet

exp(±jwt) = cos(wt) ± j×sin(wt)

može se razložiti na kosinusne i sinusne komponente i izraziti složeni spektar u obliku realnog i imaginarnog dijela:

S n = (1/T) s(t) dt = A n - jB n . (3)

A n ≡ A(nDw) = (1/T) s(t) cos(nDwt) dt, (4)

B n ≡ B(nDw) = (1/T) s(t) sin(nDwt) dt. (5)

Na sl. Na slici 4 prikazan je primjer periodičnog signala (pravougaoni impuls u intervalu (1-3.3), koji se ponavlja sa periodom T=40) i oblik realnog i imaginarnog dijela njegovog spektra. Imajte na umu da je pravi dio spektra parna funkcija A(nDw) = A(-nDw) u odnosu na nulu, budući da se prilikom izračunavanja vrijednosti A(nDw) pomoću formule (4) koristi parna kosinusna funkcija cos (nDwt) = cos(-nDwt) se koristi ). Imaginarni dio spektra je neparna funkcija B(nDw) = -B(-nDw), budući da se za izračunavanje pomoću (5) koristi neparna sinusna funkcija sin(nDwt) = - sin(-nDwt).

Rice. 4. Signal i njegov složeni spektar.

Kompleksni brojevi diskretne funkcije (3) mogu biti predstavljene u obliku modula i kompleksnih argumenata. eksponent, koji daje sljedeći oblik snimanja kompleksnog spektra:

S n = R n exp(jj n), (3")

R n 2 ≡ R 2 (nDw) = A 2 (nDw)+B 2 (nDw),j n ≡ j(nDw) = arktan(-B(nDw)/A(nDw)).

Rice. 5. Modul i argument spektra.

Modul spektra R(nDw) naziva se dvostrani amplitudski spektar ili frekvencijski odziv signala, a argument spektra (slijed faznih uglova j(nDw)) naziva se dvostrani fazni spektar ili fazni odziv . Amplitudni spektar je uvijek parna funkcija: R(nDw) = R(-nDw), a fazni spektar je neparna funkcija: j(nDw) = -j(-nDw). Primjer spektra u amplitudnoj i faznoj predstavi za signal prikazan na Sl. 4, prikazano na sl. 5. Prilikom razmatranja faznog spektra treba uzeti u obzir 2p periodičnost ugaone frekvencije (kada se vrijednost faze smanji na vrijednost manju od -p, vrijednost -2p se resetuje).

Ako je funkcija s(t) parna, tada su sve vrijednosti B(nDw) prema (5) jednake nuli, jer čak i funkcije ortogonalno sinusni harmonici i integrandski proizvod s(t)·sin(nDwt) daje nulti integral. Prema tome, spektar funkcije će biti predstavljen samo realnim koeficijentima. Naprotiv, ako je funkcija s(t) neparna, sve vrijednosti koeficijenata A(nDw) (neparne funkcije prema ortogonalnim kosinusnim harmonicima) su nule i spektar je čisto imaginaran. Ovaj faktor ne zavisi od izbora granica za određivanje perioda funkcije na numeričkoj osi. Na sl. 6(A) možete jasno vidjeti ortogonalnost prvog harmonika sinusa i parne funkcije, a na Sl. 6(B) odnosno kosinus i neparna funkcija unutar jednog perioda. Uzimajući u obzir frekvencijski višekratnik narednih harmonika u odnosu na prvi harmonik spektra, ortogonalnost je očuvana za sve harmonike Fourierovog reda.

Rice. 6. Ortogonalnost funkcija.

Kada je n = 0 imamo B o = 0, i dobijamo konstantnu komponentu signala:

S 0 ≡ A o ≡ R o ≡ (1/T) s(t) dt.

2.5. Trigonometrijski oblik Fourierovog reda .

Kombinacijom složenih konjugiranih komponenti (članova niza koji su simetrični u odnosu na centralni član niza S 0), možemo prijeći na Fourierov red u trigonometrijskom obliku:

s(t) = A o +2 (A n cos(nDwt) + B n sin(nDwt)), (6)
s(t) = A o +2 R n cos(nDwt + j n). (6")

Vrijednosti A n, B n se izračunavaju pomoću formula (4-5), vrijednosti R n i j n se izračunavaju pomoću formula (3").

Serija (6) predstavlja dekompoziciju periodičnog signala s(t) na zbir realnih elementarnih harmonijskih funkcija (kosinus i sinus) sa težinskim koeficijentima, čije su dvostruke vrijednosti (tj. vrijednosti 2×A n, 2×B n) nisu ništa drugo, kao amplitude odgovarajućih harmonijskih oscilacija sa frekvencijama nDw. Totalnost amplitudske vrijednosti Ovi harmonici formiraju jednostrani fizički realan (samo za pozitivne frekvencije nDw) spektar signala. Za signal na sl. 4, na primjer, potpuno ponavlja desnu polovicu spektra prikazanih na slici sa dvostrukim vrijednostima amplitude (s izuzetkom vrijednosti A o na nultoj frekvenciji, koja se, kako slijedi iz (6), ne udvostručuje ). Ali ovo grafički prikaz spektri se koriste prilično rijetko (osim za čiste tehničke primjene). Formula (6") se više koristi za prikaz fizički realnih spektra. Spektar amplituda kosinusnih harmonika u takvom prikazu naziva se amplitudno-frekvencijski sastav signala, a spektar faznih uglova harmonika je fazna karakteristika Oblik spektra ponavlja desnu polovinu odgovarajućih dvostranih spektra (vidi sliku 5.) također sa dvostrukim vrijednostima amplitude. Za jednake signale, očitanja faznog spektra mogu imati samo vrijednosti 0 ili p, za neparne signale, respektivno, ±p/2.

Fourierov niz proizvoljnih analognih periodičnih signala može sadržavati beskonačno veliki brojčlanovi. Međutim, jedna od važnih prednosti Fourierove transformacije je u tome što kada se Fourierov red ograniči na bilo koji konačan broj njegovih članova, osigurava se najbolja aproksimacija originalnoj funkciji u smislu srednje kvadratne greške (za datu količinučlanovi).

Gornji grafikon na slici 7 prikazuje rekonstruisani signal na N = 8 (harmonici prvog vrha spektra, čiji centar odgovara glavnom harmoniku signala i serijski član n = w s /Dw), N = 16 (harmonici prva dva vrha) i N = 40 (prvih pet vrhova spektra). Naravno, što je više serijskih članova uključeno u rekonstrukciju, to je rekonstruisani signal bliži obliku originalnog signala. Princip uzastopne aproksimacije originalnom obliku jasno je vidljiv na donjem grafikonu slike. Na njemu se mogu vidjeti i razlozi za pojavu pulsiranja u rekonstrukciji skokova funkcija, koji se tzv. Gibbsov efekat. Kada se broj zbrojenih članova serije promijeni, Gibbsov efekat ne nestaje. Relativna amplituda pulsiranja (u odnosu na amplitudu skoka) i relativno slabljenje (koeficijentom sukcesivnog smanjenja amplitude pulsiranja u odnosu na maksimalni udar) se također ne mijenjaju; samo frekvencija pulsacije, koje su određene frekvencijom posljednjih zbrojenih harmonika, se mijenjaju.

Gibbsov efekat se uvijek javlja kada dođe do oštrog kršenja monotonosti funkcija. Na konjskim trkama učinak je maksimalan, u svim ostalim slučajevima amplituda pulsiranja ovisi o prirodi narušavanja monotonosti funkcije.

Proizvoljna neperiodična funkcija specificirana (ograničena, izrezana iz drugog signala, itd.) na intervalu (a,b) također se može proširiti u Fourierov red ako nas ne zanima njeno ponašanje izvan ovog intervala. Međutim, treba imati na umu da upotreba formula (1-6) automatski znači periodični nastavak ove funkcije nakon specificirani interval(u oba smjera od njega) sa periodom T = b-a. Međutim, u isto vrijeme, Gibbsov fenomen se može pojaviti na rubovima intervala ako se nivo signala na rubovima ne poklapa i kada se tokom njegovog periodičnog ponavljanja formiraju skokovi signala, kao što se može vidjeti na Sl. 8. Prilikom proširenja originalne funkcije u ograničeni Fourierov niz i obrade u njemu frekvencijski domen u stvari, ne obrađuje se originalna funkcija, i rekonstruiran iz ograničene Fourierove serije. Kada se Fourierovi redovi skraćuju, uvijek postoji određeno izobličenje funkcija. Ali s malim dijelom energije graničnog dijela signala (sa brzim slabljenjem spektra funkcija), ovaj efekat može biti malo primjetan. Najjasnije se manifestira kod skokova i prekida funkcija.

Rice. 7. Rekonstrukcija (restauracija) signala

Rice. 8. Manifestacija Gibbsovog efekta

Povezane informacije.

Periodični signali se mogu proširiti u Fourierov niz. Štaviše, oni su predstavljeni kao zbir harmonijskih funkcija, ili složenih eksponencijala sa frekvencijama koje formiraju aritmetičku progresiju. Da bi takva dekompozicija postojala, fragment signala koji traje jedan period mora zadovoljiti Dirichletove uslove:

1. Ne bi trebalo biti diskontinuiteta druge vrste (sa granama funkcije koje idu u beskonačnost).

2. Broj diskontinuiteta prve vrste (skokova) mora biti konačan.

Broj ekstrema mora biti konačan.

Fourierov red se može koristiti za predstavljanje ne samo periodičnih signala, već i signala konačnog trajanja. U ovom slučaju, specificira se vremenski interval za koji se konstruiše Fourierov red, au drugim vremenima se uzima u obzir signal jednaka nuli. Za izračunavanje koeficijenata serije ovaj pristup zapravo znači periodični nastavak signala izvan granica razmatranog intervala.

Fourierove metode se koriste za analizu linearnih kola ili sistema: za predviđanje reakcije (odgovora) sistema; odrediti prijenosnu funkciju; za procjenu rezultata testa.

Proizvoljni periodični signal se izražava kroz beskonačan broj harmonika sa rastućim frekvencijama:

			članovi jezgre;
			harmonijski termini (za n > 1, n je cijeli broj);
			koeficijenti harmonika;
			stalni član ili komponenta jednosmerne struje.

Period funkcije
mora biti jednak 2π ili višestruka vrijednost; osim toga funkcija
Fourierov red se može smatrati “receptom za pripremu” bilo kojeg periodičnog signala iz sinusoidnih komponenti. To ovu seriju imao praktičan značaj, trebalo bi da konvergira, tj. parcijalni zbroji serije moraju imati ograničenje.

Proces stvaranja proizvoljnog periodičnog signala iz koeficijenata koji opisuju miješanje harmonika naziva se sinteza. Obrnuti proces izračunavanja koeficijenata naziva se analiza. Izračunavanje koeficijenata olakšava činjenica da je prosjek unakrsnih proizvoda sinusnog i kosinusnog vala (i obrnuto) jednak 0.

Hajde da uvedemo bazu u Hilbertov prostor:
Radi jednostavnosti, pretpostavićemo da je ortonormalno.

Zatim bilo koja funkcija
iz Hilbertovog prostora može se predstaviti kroz projekcije vektor X na baznoj osi generaliziranim Fourierovim redom:

Fourierovi redovi su posebno korisni u opisivanju proizvoljnih periodičnih signala sa konačnom energijom u svakom periodu. Dodatno, mogu se koristiti za opisivanje neperiodičnih signala koji imaju konačnu energiju u konačnom intervalu. U praksi se za opisivanje takvih signala koristi Fourierov integral.

zaključci

1. Fourierov red se široko koristi za opisivanje periodičnih signala. Fourierov integral se koristi za opisivanje neperiodičnih signala.

Zaključak

1. Poruke, signali i smetnje kao vektori (tačke) u linearni prostor može se opisati kroz skup koordinata u datoj bazi.

2. Za termoelektrane najveće interesovanje kada prikazuje signale, predstavlja n-dimenzionalni euklidski prostor
, beskonačan Hilbertov prostor
i diskretni Hamingov prostor 2 n. U ovim prostorima se uvodi koncept skalarnog proizvoda dva vektora (x, y) .

3. Bilo koji kontinuirana funkcija vrijeme kao element može biti predstavljen generaliziranim Fourierovim redom nad datom ortonormiranom bazom.

Književnost

Glavni:

Teorija električna komunikacija: Udžbenik. Za univerzitete / A.G. Zyuko, D. D. Klovsky, V.I. Koržik, M. V. Nazarov; Ed. D. D. Klovsky. – M.: Radio i komunikacije, 1998. – 433 str.

Dodatno:

Prokis J. Digitalna komunikacija: Trans. sa engleskog / Ed. D.D. Klovsky. – M.: Radio i komunikacije, 2000. – 800 str.

Bernard Sklar. Digitalna komunikacija. Teorijske osnove i praktična primjena: Trans. sa engleskog – M.: Izdavačka kuća"Williams", 2003. – 1104 str.

Sukhorukov A.S. Teorija električnih komunikacija: Bilješke s predavanja. Dio 1. – M.: MTUSI, CENTAR PRE, 2002. – 65 str.

Sukhorukov A.S. Teorija digitalne komunikacije: Tutorial. Dio 2. – M.: MTUSI, 2008. – 53 str.

LABORATORIJSKI RAD br.1

PROŠIRENJE SIGNALA U FOURIEROVE SERIJE

Svrha zadatka

Upoznajte se s primjerima dekompozicije signala u Fourierov niz i praktično implementirajte dekompoziciju razne vrste signala u MatLab sistemu.

Formulacija problema

Izvršiti proširenja signala različitih tipova u Fourierove serije. Sljedeći signali podliježu dekompoziciji: niz pravokutnih impulsa, kvadratni val, pilasti signal i niz trokutastih impulsa.

Za svaku opciju i svaki tip signala navedeni su sljedeći parametri:

za niz pravougaonih impulsa – amplituda, period ponavljanja i trajanje impulsa;

za meandar, pilasti signal i niz trouglastih impulsa – amplituda i period ponavljanja impulsa.

Za sve vrste signala određen je broj harmonika koji nisu nula.

Sastavljati programe u MatLab sistemu i graditi grafove.

Formulacija problema.

Programski kod za dekomponovanje niza pravougaonih impulsa, kvadratnog talasa, pilastog signala i niza trokutastih impulsa.

Rezultati izvođenja programa su grafovi međufaza sumiranja.

Smjernice

Fourierova serija

Periodični signali se mogu proširiti u Fourierov niz. Štaviše, oni su predstavljeni kao zbir harmonijskih funkcija ili kompleksnih eksponencijala sa frekvencijama koje formiraju aritmetičku progresiju.

Fourierov red se može koristiti za predstavljanje ne samo periodičnih signala, već i signala konačnog trajanja. U ovom slučaju, specificira se vremenski interval za koji se konstruiše Fourierov red, au drugim slučajevima signal se smatra jednakim nuli. Za izračunavanje koeficijenata serije ovaj pristup zapravo znači periodični nastavak signala izvan granica razmatranog intervala.

Sinus-kosinus oblik

U ovoj verziji, Fourierov niz ima sljedeći oblik:

Evo
– kružna frekvencija koja odgovara periodu ponavljanja signala jednak . Frekvencije uključene u formulu su višestruke
nazivaju se harmonici, harmonici su numerisani prema indeksu ; frekvencija
pozvao -ti harmonik signala. Koeficijenti serije I izračunavaju se pomoću formula:

,

.

Konstantno izračunato od strane opšta formula Za . Sam pojam predstavlja prosječnu vrijednost signala tokom perioda:

.

Ako
je parna funkcija, onda sve će biti jednak nuli i samo kosinusni članovi će biti prisutni u formuli Fourierovog reda. Ako
je neparna funkcija, kosinusni koeficijenti će biti jednaki nuli, naprotiv i samo sinusni članovi će ostati u formuli.

PRAVOUGAONI PULSNI RED

Subsequence pravougaoni impulsi sa amplitudom , trajanje i period ponavljanja .

Rice. 1 Periodični niz pravokutnih impulsa

Ovaj signal je parna funkcija, pa je za njegovo predstavljanje pogodnije koristiti sinus-kosinus formu Fourierovog reda - on će sadržavati samo kosinusne članove , jednako

.

Zove se omjer perioda i trajanja impulsa radni ciklus impulsnog niza i označeno slovom :
.

Predstavljanje niza pravokutnih impulsa u obliku Fourierove serije:

.

Amplitude harmonijskih članova serije zavise od harmonijskog broja.

MEANDER

Poseban slučaj prethodnog signala je meandar– niz pravougaonih impulsa sa radnim ciklusom jednakim dva, kada se trajanje impulsa i intervali između njih izjednače (slika 2).

Rice. 2 Meander

At
, dobijamo

Ovdje je m proizvoljan cijeli broj.

Kada se proširi u Fourierov niz, čak i komponente će biti odsutne.

RAMP SIGNAL

Unutar perioda, opisuje se linearnom funkcijom:

Rice. 3. Signal rampe

Ovaj signal je neparna funkcija, stoga će njegov Fourierov niz u sinus-kosinusnom obliku sadržavati samo sinusne članove:

.

Sama Fourierova serija za pilasti signal izgleda ovako:

TROKUTNI PULSNI SEKVENC

Fig.4. Trokutasti slijed impulsa

Signal je parna funkcija, tako da će postojati kosinusne komponente.

Izračunajmo koeficijente Furijeovog reda:

Sam Fourierov niz ima sljedeći oblik:

Kao što možete vidjeti, za razliku od nizova pravokutnih i pilastih impulsa, za trokutni periodični signal amplitude harmonika se smanjuju proporcionalno drugom stepenu harmonijskih brojeva .

Programski kod za meandar

N= 8; % broj harmonika koji nisu nula

t= -1:0,01:1; % vremenski vektor

A= 1; % amplituda

T= 1; % period

nh= (1:N)*2-1; % broj harmonika koji nisu nula

harmonici = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am= 2/pi./nh; % amplituda harmonika

Am(2:2:kraj) = -Am(2:2:kraj); % izmjena znakova

s1 = harmonici .* repmat(Am", 1, dužina(t));

% žice - parcijalni zbroj harmonika

za k=1:N, podgrafikon(4, 2, k), dijagram(t, s2(k,:)), kraj

R
rezultat programa

Komentari :repmat- Kreacija blok matrica ili višedimenzionalni blok niz identičnih blokova repmat(Am", 1,length(t)) – matrica se sastoji od 1 bloka vertikalno i blokova dužine(t) horizontalno, svaki blok je matrica Am".

Cumsum– izračunavanje parcijalnih zbira elemenata.

Podzaplet (Redovi, Cols, N) – naredba za prikaz više grafikona. Grafički prozor je podijeljen na ćelije u obliku matrice sa Redovi– linije, Cols– kolone, i N– ćelija postaje strujna.

Opcije

№ opcija	Parametri za signale
	–amplituda signala	–period ponavljanja signala	–trajanje signala	–broj harmonika koji nisu nula

Uvodne napomene

IN ovaj odeljak Razmotrit će se reprezentacija periodičnih signala korištenjem Fourierovog reda. Fourierovi redovi su osnova teorije spektralna analiza, jer, kao što ćemo kasnije vidjeti, Fourierova transformacija neperiodičnog signala može se dobiti kao ograničenje Fourierovog niza u beskonačnom periodu ponavljanja. Kao rezultat toga, svojstva Fourierovog reda vrijede i za Fourierovu transformaciju neperiodičnih signala.

Razmotrićemo izraze Fourierovog reda u trigonometrijskom i kompleksnom obliku, a takođe ćemo obratiti pažnju na Dirichletove uslove za konvergenciju Fourierovog reda. Osim toga, detaljno ćemo se zadržati na objašnjenju takvog koncepta kao što je negativna frekvencija spektra signala, što često uzrokuje poteškoće pri upoznavanju s teorijom spektralne analize.

Periodični signal. Trigonometrijska Fourierova serija

Neka postoji periodični signal neprekidnog vremena koji se ponavlja sa periodom c, tj. , gdje je proizvoljan cijeli broj.

Kao primjer, slika 1 prikazuje niz pravokutnih impulsa trajanja c, koji se ponavljaju sa periodom od c.

Slika 1. Periodični niz

Pravokutni impulsi

Sa kursa matematička analiza poznato je da sistem trigonometrijskih funkcija

sa višestrukim frekvencijama, gdje je rad/s cijeli broj, formira se ortonormalna osnova za dekompoziciju periodičnih signala sa periodom koji zadovoljava Dirichletove uslove.

Dirichletovi uslovi za konvergenciju Fourierovog reda zahtijevaju da se na segmentu specificira periodični signal i da zadovolji sljedeće uslove:

Na primjer, periodična funkcija ne zadovoljava Dirichletove uslove jer funkcija ima diskontinuitete druge vrste i uzima beskonačne vrijednosti na , gdje je proizvoljan cijeli broj. Dakle, funkcija ne može se predstaviti Fourierovim nizom. Također možete dati primjer funkcije , koji je ograničen, ali takođe ne zadovoljava Dirichletove uslove, jer ima beskonačan broj ekstremnih tačaka kako se približava nuli. Grafikon funkcije prikazano na slici 2.

Slika 2. Grafikon funkcije :

A - dva perioda ponavljanja; b - u blizini

Slika 2a prikazuje dva perioda ponavljanja funkcije , a na slici 2b - područje u blizini . Može se vidjeti da kako se približava nuli, frekvencija oscilacija beskonačno raste, a takva funkcija se ne može predstaviti Fourierovim redom, jer nije po komadima monotona.

Treba napomenuti da u praksi nema signala sa beskonačne vrednosti struja ili napon. Funkcije sa beskonačan broj ekstremi tipa takođe u primijenjeni problemi ne susreću se. Svi realni periodični signali zadovoljavaju Dirichletove uslove i mogu se predstaviti beskonačnim trigonometrijskim Fourierovim nizom oblika:

U izrazu (2), koeficijent specificira konstantnu komponentu periodičnog signala.

U svim tačkama gde je signal kontinuiran, Fourierov red (2) konvergira vrednostima datog signala, a u tačkama diskontinuiteta prve vrste - prosečnoj vrednosti, gde su i granice levo i desno od tačke diskontinuiteta, respektivno.

Također je poznato iz toka matematičke analize da korištenje skraćenog Fourierovog reda, koji sadrži samo prve članove umjesto beskonačne sume, dovodi do približnog prikaza signala:

što osigurava minimum srednje kvadratne greške. Slika 3 ilustruje aproksimaciju periodičnog pravougaonog talasa i periodičnog rampe kada se koristi različit broj članova Fourierovog reda.

Slika 3. Aproksimacija signala korištenjem skraćenog Fourierovog reda:

A - pravougaoni impulsi; b - pilasti signal

Fourierov red u složenom obliku

U prethodnom dijelu smo ispitali trigonometrijski Fourierov red za proširenje proizvoljnog periodičnog signala koji zadovoljava Dirichletove uslove. Koristeći Ojlerovu formulu, možemo pokazati:
Tada trigonometrijski Fourierov red (2) uzimajući u obzir (4):

Dakle, periodični signal se može predstaviti sumom konstantne komponente i kompleksnih eksponencijala koje rotiraju na frekvencijama sa koeficijentima za pozitivne frekvencije, a za kompleksne eksponencijale koje se rotiraju na negativnim frekvencijama.

Razmotrimo koeficijente za kompleksne eksponencijale koje se rotiraju pozitivnim frekvencijama:

Izrazi (6) i (7) se poklapaju; osim toga, konstantna komponenta se može napisati i kroz kompleksnu eksponencijalnu na nultu frekvenciju:

Dakle, (5) uzimajući u obzir (6)-(8) može se predstaviti kao jedan zbir kada se indeksira od minus beskonačnost do beskonačnosti:

Izraz (9) je Fourierov red u kompleksnom obliku. Koeficijenti Fourierovog niza u kompleksnom obliku povezani su sa koeficijentima niza u trigonometrijskom obliku, a određuju se i za pozitivne i za negativne frekvencije. Indeks u oznaci frekvencije označava broj diskretnog harmonika, sa negativnim indeksima koji odgovaraju negativnim frekvencijama.

Iz izraza (2) proizilazi da su za realan signal i koeficijenti serije (2) realni. Međutim, (9) povezuje pravi signal sa skupom kompleksnih konjugiranih koeficijenata koji se odnose i na pozitivne i na negativne frekvencije.

Neka objašnjenja Fourierovog reda u složenom obliku

U prethodnom dijelu smo izvršili prijelaz sa trigonometrijskog Fourierovog reda (2) na Fourierov red u kompleksnom obliku (9). Kao rezultat toga, umjesto dekomponiranja periodičnih signala u bazi realnih trigonometrijskih funkcija, dobili smo ekspanziju u bazi kompleksnih eksponencijala, sa kompleksnim koeficijentima, pa su se u ekspanziji pojavile čak i negativne frekvencije! Zbog ovo pitanječesto pogrešno shvaćeno, potrebno je neko pojašnjenje.

Prvo, rad sa složenim eksponentima je u većini slučajeva lakši od rada sa trigonometrijskim funkcijama. Na primjer, kada se množe i dijele kompleksni eksponenti, dovoljno je samo sabrati (oduzeti) eksponente, dok su formule za množenje i dijeljenje trigonometrijskih funkcija glomaznije.

Diferenciranje i integriranje eksponencijala, čak i onih složenih, također je lakše od trigonometrijskih funkcija, koje se konstantno mijenjaju kada se diferenciraju i integriraju (sinus se pretvara u kosinus i obrnuto).

Ako je signal periodičan i stvaran, onda se trigonometrijski Fourierov red (2) čini jasnijim, jer svi koeficijenti ekspanzije , i ostaju realni. Međutim, često se mora nositi sa složenim periodičnim signalima (na primjer, kod modulacije i demodulacije, koristi se kvadraturni prikaz kompleksnog omotača). U ovom slučaju, kada se koristi trigonometrijski Fourierov red, svi koeficijenti , i proširenja (2) će postati kompleksni, dok će se kada se koristi Fourierov red u kompleksnom obliku (9), isti koeficijenti proširenja koristiti i za realne i za kompleksne ulazne signale. .

I na kraju, potrebno je zadržati se na objašnjenju negativnih frekvencija koje su se pojavile u (9). Ovo pitanje često izaziva nesporazum. IN Svakodnevni život ne nailazimo na negativne frekvencije. Na primjer, nikada ne podešavamo naš radio na negativnu frekvenciju. Razmotrimo sljedeću analogiju iz mehanike. Neka postoji mehaničko opružno klatno koje pravi slobodne vibracije sa određenom frekvencijom. Može li klatno oscilirati negativnom frekvencijom? Naravno da ne. Kao što nema radio stanica koje emituju na negativnim frekvencijama, frekvencija oscilacija klatna ne može biti negativna. Ali opružno klatno je jednodimenzionalni objekat (klatno oscilira duž jedne prave linije).

Možemo dati i drugu analogiju iz mehanike: točak koji se okreće frekvencijom od . Točak se, za razliku od klatna, rotira, tj. tačka na površini točka kreće se u ravni, a ne osciluje jednostavno duž jedne prave linije. Stoga, da bi se jedinstveno odredila rotacija kotača, podešavanje brzine rotacije nije dovoljno, jer je potrebno podesiti i smjer rotacije. Upravo zbog toga možemo koristiti znak frekvencije.

Dakle, ako se točak rotira frekvencijom rad/s suprotno od kazaljke na satu, onda smatramo da točak rotira pozitivnom frekvencijom, a ako je u smjeru kazaljke na satu, tada će frekvencija rotacije biti negativna. Dakle, za naredbu rotacije, negativna frekvencija prestaje biti besmislica i ukazuje na smjer rotacije.

A sada najvažnija stvar koju moramo razumjeti. Oscilacija jednodimenzionalnog objekta (na primjer, opružnog klatna) može se predstaviti kao zbir rotacija dva vektora prikazana na slici 4.

Slika 4. Oscilacija opružnog klatna

Kao zbir rotacija dva vektora

na kompleksnoj ravni

Klatno oscilira duž realne ose kompleksne ravni sa frekvencijom od harmonijski zakon. Kretanje klatna je prikazano kao horizontalni vektor. Gornji vektor rotira na kompleksnoj ravni pozitivnom frekvencijom (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), a donji vektor rotira negativnom frekvencijom (u smjeru kazaljke na satu). Slika 4 jasno ilustruje dobro poznatu relaciju iz kursa trigonometrije:

Dakle, Fourierov red u kompleksnom obliku (9) predstavlja periodične jednodimenzionalne signale kao zbir vektora na kompleksnoj ravni koji rotiraju pozitivnim i negativnim frekvencijama. Istovremeno, napomenimo da su u slučaju realnog signala, prema (9), koeficijenti ekspanzije za negativne frekvencije kompleksno konjugirani sa odgovarajućim koeficijentima za pozitivne frekvencije. U slučaju kompleksnog signala, ovo svojstvo koeficijenata ne vrijedi zbog činjenice da su i također kompleksni.

Spektar periodičnih signala

Fourierov red u kompleksnom obliku je dekompozicija periodičnog signala u zbir kompleksnih eksponencijala koji se rotiraju na pozitivnim i negativnim frekvencijama u višestrukim rad/c sa odgovarajućim kompleksnim koeficijentima koji određuju spektar signala. Kompleksni koeficijenti se mogu predstaviti korištenjem Eulerove formule kao , gdje je amplitudski spektar, a je fazni spektar.

Budući da su periodični signali raspoređeni u nizu samo na mreži fiksne frekvencije, spektar periodičnih signala je linijski (diskretni).

Slika 5. Spektar periodične sekvence

Pravougaoni impulsi:

A - amplitudski spektar; b - fazni spektar

Slika 5 prikazuje primjer amplitude i faznog spektra periodičnog niza pravokutnih impulsa (vidi sliku 1) na c, trajanje impulsa c i amplitudu impulsa B.

Amplitudni spektar originalnog realnog signala je simetričan u odnosu na nultu frekvenciju, a fazni spektar je antisimetričan. Istovremeno, napominjemo da su vrijednosti faznog spektra i odgovaraju istoj tački u kompleksnoj ravni.

Možemo zaključiti da su svi koeficijenti ekspanzije redukovanog signala čisto realni, a fazni spektar odgovara negativnim koeficijentima.

Imajte na umu da se dimenzija amplitudnog spektra poklapa sa dimenzijom signala. Ako opisuje promjenu napona tokom vremena, mjerenu u voltima, tada će i amplitude harmonika spektra imati dimenziju volti.

zaključci

Ovaj odjeljak govori o predstavljanju periodičnih signala korištenjem Fourierovog reda. Dati su izrazi za Fourierov red u trigonometrijskim i kompleksnim oblicima. Dali smo Posebna pažnja Dati su Dirichletovi uvjeti za konvergenciju Fourierovog reda i primjeri funkcija za koje Fourierov red divergira.

Detaljno smo se zadržali na izrazu Fourierovog niza u kompleksnom obliku i pokazali da su periodični signali, i realni i složeni, predstavljeni nizom kompleksnih eksponencijala sa pozitivnim i negativnim frekvencijama. U ovom slučaju, koeficijenti ekspanzije su također složeni i karakteriziraju amplitudu i fazni spektar periodičnog signala.

U sljedećem dijelu ćemo detaljnije pogledati svojstva spektra periodičnih signala.

Implementacija softvera u DSPL biblioteci

Dötsch, G. Vodič praktična primjena Laplasove transformacije. Moskva, Nauka, 1965, 288 str.