Derivat kompleksnog broja. Teorija funkcija kompleksne varijable

15.05.2019 Windows 8

Kompleksne varijabilne funkcije.
Diferencijacija funkcija kompleksne varijable.

Ovaj članak otvara niz lekcija u kojima ću razmatrati tipične zadatke vezane za teoriju funkcija kompleksne varijable. Da biste uspješno savladali primjere, morate imati osnovno znanje o kompleksnim brojevima. Kako biste konsolidirali i ponovili materijal, samo posjetite stranicu. Također će vam trebati vještine za pronalaženje parcijalni derivati drugog reda... Evo ih, ovih parcijalnih derivata...i sad sam se i sam malo iznenadio koliko se često javljaju...

Tema koju počinjemo analizirati nije posebno teška, a u funkcijama složene varijable, u principu, sve je jasno i dostupno. Glavno je pridržavati se osnovnog pravila, koje sam empirijski izveo. Čitajte dalje!

Koncept kompleksne varijabilne funkcije

Prvo, osvježimo naše znanje o školskoj funkciji jedne varijable:

Jedna varijabla funkcija To je pravilo prema kojem svaka vrijednost nezavisne varijable (iz domene definicije) odgovara jednoj i samo jednoj funkcijskoj vrijednosti. Naravno, X i Y su realni brojevi.

U složenom slučaju, funkcionalna zavisnost se postavlja na isti način:

Jednovrijedna funkcija kompleksne varijable- ovo je pravilo po kojem svi integrisani vrijednost nezavisne varijable (iz domene) odgovara jednoj i samo jednoj kompleks vrijednost funkcije. U teoriji se razmatraju i viševrijedne i neke druge vrste funkcija, ali radi jednostavnosti fokusirat ću se na jednu definiciju.

Koja je razlika između funkcije kompleksne varijable?

Glavna razlika: brojevi su složeni. Nisam ironičan. Od takvih pitanja često padaju u stupor, na kraju članka ću vam ispričati jednu cool priču. Na lekciji Kompleksni brojevi za lutke razmatrali smo kompleksan broj u obliku. Od sada je slovo "z" postalo varijabla, tada ćemo ga označiti na sljedeći način:, dok "x" i "game" mogu uzeti različite validan vrijednosti. Grubo govoreći, funkcija kompleksne varijable ovisi o varijablama i, koje poprimaju "obične" vrijednosti. Iz ove činjenice logično proizlazi sljedeće:

Funkcija kompleksne varijable može se napisati kao:
, gdje su i dvije funkcije od dva validan varijable.

Funkcija se poziva pravi deo funkcije.
Funkcija se poziva imaginarni deo funkcije.

To jest, funkcija kompleksne varijable ovisi o dvije realne funkcije i. Da biste konačno sve razjasnili, razmotrite praktične primjere:

Primjer 1

Rješenje: Nezavisna varijabla "z", kao što se sjećate, piše se kao, dakle:

(1) Originalna funkcija je zamijenjena.

(2) Za prvi član korištena je skraćena formula za množenje. U terminu - otvorene su zagrade.

(3) Pažljivo na kvadrat, ne zaboravljajući to

(4) Preuređenje pojmova: prvo prepišite termine u kojoj nema zamišljene jedinice(prva grupa), zatim pojmovi, gdje se nalaze (druga grupa). Treba napomenuti da nije potrebno mijenjati termine, a ova faza se može preskočiti (zapravo, usmeno je obaviti).

(5) Za drugu grupu izvlačimo je iz zagrada.

Kao rezultat toga, ispostavilo se da je naša funkcija predstavljena u obliku

odgovor:
- pravi dio funkcije.
- imaginarni dio funkcije.

Koje su to funkcije? Najobičnije funkcije dvije varijable, od kojih se mogu naći tako popularne parcijalni derivati... Bez milosti - naći ćemo. Ali malo kasnije.

Ukratko, algoritam riješenog problema može se napisati na sljedeći način: zamijeniti u izvornu funkciju, pojednostaviti i podijeliti sve pojmove u dvije grupe - bez imaginarne jedinice (realan dio) i sa imaginarnom jedinicom (imaginarni dio).

Primjer 2

Pronađite stvarni i imaginarni dio funkcije

Ovo je primjer rješenja uradi sam. Prije nego što bacite svoje dame u bitku na složenom avionu, dozvolite mi da vam dam najvažniji savjet o ovoj temi:

BUDI PAZLJIV! Morate biti pažljivi svuda, naravno, ali u složenim brojevima morate biti pažljivi kao nikada do sada! Zapamtite, pažljivo otvorite zagrade, nemojte ništa izgubiti. Prema mojim zapažanjima, najčešća greška je gubitak znaka. Ne žuri!

Kompletno rješenje i odgovor na kraju tutorijala.

Sada kocka. Koristeći formulu za redukovano množenje, izvodimo:
.

Formule su vrlo zgodne za korištenje u praksi, jer značajno ubrzavaju proces rješenja.

Diferencijacija funkcija kompleksne varijable.

Imam dvije vijesti: dobru i lošu. Počeću sa dobrim. Za funkciju kompleksne varijable vrijede pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Dakle, derivacija se uzima na isti način kao u slučaju realne varijabilne funkcije.

Loša vijest je da za mnoge funkcije kompleksne varijable derivacija uopće ne postoji i morate shvatiti diferencibilan ovu ili onu funkciju. A "saznavanje" kako se vaše srce osjeća povezano je sa dodatnim nevoljama.

Razmotrite složenu promjenjivu funkciju. Da bi ova funkcija bila diferencibilna, potrebno je i dovoljno:

1) Za postojanje parcijalnih derivata prvog reda. Odmah zaboravite na ove oznake, jer se u teoriji funkcije kompleksne varijable tradicionalno koristi drugačija notacija: .

2) Za obavljanje tzv Cauchy-Riemann uslovi:

Samo u ovom slučaju derivat će postojati!

Primjer 3

Rješenje se razlaže u tri uzastopne faze:

1) Pronađite stvarni i imaginarni dio funkcije. Ovaj zadatak je analiziran u prethodnim primjerima, pa ću ga napisati bez komentara:

Od tada:

ovako:

- imaginarni dio funkcije.

Zadržaću se na još jednoj tehničkoj stvari: kojim redosledom zapisati pojmove u realnom i imaginarnom dijelu? Da, u principu, nema razlike. Na primjer, pravi dio se može napisati ovako: , i imaginarne - ovako:.

2) Provjerimo ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Ima ih dvoje.

Počnimo s provjerom stanja. Mi nalazimo parcijalni derivati:

Dakle, uslov je ispunjen.

Bez sumnje, dobra vijest je da su parcijalni derivati gotovo uvijek vrlo jednostavni.

Provjeravamo ispunjenost drugog uslova:

Ispostavilo se isto, ali sa suprotnim predznacima, odnosno uslov je takođe zadovoljen.

Cauchy-Riemannovi uslovi su zadovoljeni, pa je funkcija diferencibilna.

3) Pronađite izvod funkcije. Izvod je također vrlo jednostavan i nalazi se prema uobičajenim pravilima:

Imaginarna jedinica se smatra konstantnom prilikom diferenciranja.

odgovor: - pravi dio, Je imaginarni dio.
Cauchy-Riemannovi uslovi su zadovoljeni,.

Postoje još dva načina za pronalaženje izvedenice, oni se, naravno, rjeđe koriste, ali informacije će biti korisne za razumijevanje druge lekcije - Kako mogu pronaći funkciju kompleksne varijable?

Izvod se može naći po formuli:

U ovom slučaju:

Dakle

Moramo riješiti inverzni problem - u rezultirajućem izrazu, trebate izolirati. Da biste to učinili, potrebno je u terminima i izbaciti iz zagrade:

Obrnutu radnju je, kako su mnogi primijetili, nešto teže izvesti, za provjeru je uvijek bolje uzeti izraz i na nacrtu ili usmeno otvoriti zagrade, pazeći da ispadne tačno

Formula ogledala za pronalaženje izvoda:

U ovom slučaju: , dakle:

Primjer 4

Odrediti stvarne i imaginarne dijelove funkcije ... Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Ako su ispunjeni Cauchy-Riemann uvjeti, pronađite derivaciju funkcije.

Kratko rješenje i grubi primjer završne obrade na kraju tutorijala.

Da li su Cauchy-Riemann uvjeti uvijek zadovoljeni? U teoriji, češće se ne izvršavaju nego što jesu. Ali u praktičnim primjerima ne sjećam se slučaja da se nisu pokrenuli =) Dakle, ako se vaši parcijalni derivati "ne slažu", onda s vrlo velikom vjerovatnoćom možete reći da ste negdje pogriješili.

Zakomplikujmo naše funkcije:

Primjer 5

Odrediti stvarne i imaginarne dijelove funkcije ... Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Izračunati

Rješenje: Algoritam rješenja je u potpunosti sačuvan, ali na kraju će biti dodat novi hir: pronalaženje derivacije u tački. Za kocku je potrebna formula već izvedena:

Definirajmo stvarne i imaginarne dijelove ove funkcije:

Ponovo pažnja i pažnja!

Od tada:

ovako:
- pravi dio funkcije;
- imaginarni dio funkcije.

Provjera drugog uslova:

Ispostavilo se isto, ali sa suprotnim predznacima, odnosno uslov je takođe zadovoljen.

Cauchy-Riemann uvjeti su zadovoljeni, stoga je funkcija diferencibilna:

Izračunajmo vrijednost derivacije u traženoj tački:

odgovor:,, Cauchy-Riemannovi uslovi su zadovoljeni,

Funkcije s kockama su uobičajene, pa je primjer za preciziranje:

Primjer 6

Odrediti stvarne i imaginarne dijelove funkcije ... Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Izračunati.

Dorada rješenja i uzorka na kraju lekcije.

U teoriji kompleksne analize definiraju se i druge funkcije kompleksnog argumenta: eksponent, sinus, kosinus itd. Ove funkcije imaju neobična, pa čak i bizarna svojstva - i ovo je zaista zanimljivo! Voleo bih da vam kažem mnogo, ali evo, jednostavno se desilo, ne priručnik ili udžbenik, već rešavač, pa ću razmotriti isti problem sa nekim uobičajenim funkcijama.

Prvo, o tzv Ojlerove formule:

Za bilo koga stvarni broja slijedeće formule su važeće:

Takođe ga možete prepisati u svesku kao referentni materijal.

Strogo govoreći, postoji samo jedna formula, ali obično, radi praktičnosti, pišu i poseban slučaj s minusom u indikatoru. Parametar ne mora biti usamljeno slovo, može biti složen izraz, funkcija, važno je samo da prihvate samo važi vrijednosti. Zapravo, videćemo to odmah:

Primjer 7

Pronađite izvod.

Rješenje: Generalna linija stranke ostaje nepokolebljiva - potrebno je izdvojiti stvarni i imaginarni dio funkcije. Dat ću detaljno rješenje, a u nastavku ću komentirati svaki korak:

Od tada:

(1) Zamjena za "z".

(2) Nakon zamjene potrebno je odabrati stvarni i imaginarni dio prvi u indikatoru izlagači. Da biste to učinili, otvorite zagrade.

(3) Grupiramo imaginarni dio indikatora, vadeći imaginarnu jedinicu iz zagrada.

(4) Koristimo školsku akciju sa diplomama.

(5) Za faktor koristimo Eulerovu formulu, dok.

(6) Proširite zagrade, što rezultira:

- pravi dio funkcije;
- imaginarni dio funkcije.

Dalje radnje su standardne, provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova:

Primjer 9

Odrediti stvarne i imaginarne dijelove funkcije ... Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Nećemo naći derivat, neka bude.

Rješenje: Algoritam rješenja je vrlo sličan prethodna dva primjera, ali ima vrlo važnih tačaka, pa ću opet prokomentirati početnu fazu korak po korak:

Od tada:

1) Zamjena za "z".

(2) Prvo odaberite stvarni i imaginarni dio unutar sinusa... U tu svrhu otvaramo zagrade.

(3) Koristimo formulu dok .

(4) Koristimo paritet hiperboličkog kosinusa: i neparni hiperbolički sinus:. Hiperbolika, iako nije sa ovog svijeta, na mnogo načina podsjeća na slične trigonometrijske funkcije.

na kraju:
- pravi dio funkcije;
- imaginarni dio funkcije.

Pažnja! Znak minus se odnosi na imaginarni dio i nikako ga ne gubimo! Radi jasne ilustracije, gore dobijeni rezultat može se prepisati na sljedeći način:

Provjerimo ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova:

Cauchy-Riemannovi uslovi su zadovoljeni.

odgovor:,, Cauchy-Riemannovi uslovi su zadovoljeni.

Sa kosinusom, dame i gospodo, sami to otkrivamo:

Primjer 10

Odredite stvarni i imaginarni dio funkcije. Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova.

Namjerno sam uzeo primjere koji su složeniji, jer se čini da se sve može nositi s nečim, poput oguljenog kikirikija. Istovremeno ćete trenirati svoju pažnju! Orašar na kraju lekcije.

Pa, u zaključku, razmotrit ću još jedan zanimljiv primjer, kada je složen argument u nazivniku. Sreo sam se par puta u praksi, hajde da sredimo nešto jednostavno. Eh, starim ja...

Primjer 11

Odredite stvarni i imaginarni dio funkcije. Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova.

Rješenje: Opet, potrebno je odvojiti stvarni i imaginarni dio funkcije.
Ako onda

Postavlja se pitanje šta učiniti kada je “z” u nazivniku?

Sve je genijalno - standard će pomoći trik množenja brojnika i nazivnika konjugiranim izrazom, već je korišteno u primjerima lekcije Kompleksni brojevi za lutke... Sjećamo se školske formule. Već ga imamo u nazivniku, što znači da će biti konjugirani izraz. Dakle, morate pomnožiti brojilac i imenilac sa:

gdje
su realni brojevi, i - poseban znak pod nazivom imaginarna jedinica ... Za imaginarnu jedinicu, po definiciji, pretpostavlja se da
.

(4.1) – algebarski oblik kompleksni broj, i
pozvao pravi deo kompleksni broj, i
-imaginarni deo .

Broj
pozvao kompleksni konjugat na broj
.

Zadana su dva kompleksna broja
,
.

1. Suma
kompleksni brojevi i naziva kompleksnim brojem

2. Razlika
kompleksni brojevi i naziva kompleksnim brojem

3. Po proizvodu
kompleksni brojevi i naziva kompleksnim brojem

4. Privatno od dijeljenja kompleksnog broja na kompleksnom broju
naziva kompleksnim brojem

Napomena 4.1. To jest, operacije nad kompleksnim brojevima uvode se prema uobičajenim pravilima aritmetičkih operacija nad literalnim izrazima u algebri.

Primjer 4.1. Dati su kompleksni brojevi. Nađi

Rješenje. 1) .

4) Množenjem brojioca i imenioca kompleksnim brojem konjugiranim sa nazivnikom, dobijamo

Trigonometrijski oblik kompleksni broj:

gdje
- modul kompleksnog broja,
je argument kompleksnog broja. Injekcija definira se dvosmisleno, do samog pojma
:

,
.

- glavna vrijednost argumenta, određena uslovom

, (ili
).

Ilustrativna forma kompleksni broj:

Root
stepena broja Ima različite vrijednosti koje se nalaze pomoću formule

gdje
.

Bodovi koji odgovaraju vrijednostima
, su vrhovi ispravnog
kvadrat upisan u krug poluprečnika
centriran u poreklu.

Primjer 4.2. Pronađite sve korijenske vrijednosti
.

Rješenje. Hajde da predstavimo kompleksan broj
u trigonometrijskom obliku:

, gdje
.

Onda
... Dakle, po formuli (4.2)
ima četiri značenja:

,
.

Pretpostavljam
, mi nalazimo

,
,

, .

Ovdje smo konvertirali vrijednosti argumenta u njegovu glavnu vrijednost.

Setovi na kompleksnoj ravni

Kompleksni broj
prikazan u avionu
tačka
sa koordinatama
... Modul
i argument
odgovaraju polarnim koordinatama tačke
.

Korisno je zapamtiti tu nejednakost
definira krug sa centrom u tački radijus ... Nejednakost
specificira poluravninu koja se nalazi desno od prave linije
, i nejednakost
- poluravan koja se nalazi iznad prave linije
... Štaviše, sistem nejednakosti
postavlja ugao između zraka
i
poreklom iz porekla.

Primjer 4.3. Nacrtaj površinu definisanu nejednačinama:
.

Rješenje. Prva nejednakost odgovara prstenu sa centrom u tački
i dva poluprečnika 1 i 2, krugovi nisu uključeni u region (slika 4.1).

Druga nejednakost odgovara kutu između zraka
(simetrala 4 koordinatnog ugla) i
(pozitivan smjer ose
). Sami zraci ne ulaze u region (slika 4.2).

Željena površina je presek dve dobijene oblasti (Sl.4.3)

4.2. Kompleksne varijabilne funkcije

Neka je jednoznačna funkcija
definisano i kontinuirano u oblasti
, a - komadno glatka zatvorena ili otvorena orijentirana kriva koja leži unutra
... Neka, kao i obično,
,, gdje
,
- realne funkcije varijabli i .

Izračunavanje integrala funkcije
kompleksna varijabla svodi se na izračunavanje uobičajenih krivolinijskih integrala, naime

Ako je funkcija
analitičko u jednostavno povezanoj domeni
koji sadrže tačke i , tada se odvija Newton-Leibnizova formula:

gdje
- bilo koji antiderivat za funkciju
, to je
u oblasti
.

U integralima funkcija kompleksne varijable možete mijenjati varijablu, a integracija po dijelovima je slična onome kako se radi pri izračunavanju integrala funkcija realne varijable.

Imajte na umu da ako je put integracije dio prave linije koja izlazi iz tačke , ili dio kružnice sa središtem u tački , tada je korisno promijeniti varijablu forme
... U prvom slučaju
, a - realna varijabla integracije; u drugom slučaju
, a je stvarna varijabla integracije.

Primjer 4.4. Izračunati
parabola
od tačke
do tačke
(Slika 4.4).

Rješenje. Prepisujemo integrand u obliku

Onda
,
... Primjenjujemo formulu (4.3):

Jer
, onda
,
... Zbog toga

Primjer 4.5. Izračunajte integral
, gdje - luk kruga
,
(sl. 4.5).

Rješenje. Mi smo stavili,
, onda
,
,
... Dobijamo:

Funkcija
, jednoznačan i analitičan u ringu
, raspada se u ovom prstenu na Laurent serija

U formuli (4.5), serija
pozvao glavni dio Laurent serija, i serija
pozvao desni deo Laurent serija.

Definicija 4.1. Poenta pozvaoizolovana singularna tačka funkcije
ako postoji susjedstvo ove tačke u kojoj je funkcija
analitički svuda osim same tačke .

Funkcija
u blizini tačke može se proširiti u Laurent seriju. U ovom slučaju moguća su tri različita slučaja kada je Laurent serija:

1) ne sadrži pojmove sa negativnim moćima razlike
, to je

(Laurentova serija ne sadrži glavni dio). U ovom slučaju pozvao uklonjivu singularnost funkcije
;

2) sadrži konačan broj članova sa negativnim moćima razlike
, to je

štaviše
... U ovom slučaju, poenta pozvao stub reda funkcije
;

3) sadrži beskonačan broj članova sa negativnim moćima:

U ovom slučaju, poenta pozvao bitna tačka funkcije
.

Prilikom određivanja prirode izolirane singularne točke, nije potrebno tražiti proširenje u Lorentovom nizu. Možete koristiti različita svojstva izolovanih karakteristika.

1) je uklonjiva singularna tačka funkcije
ako postoji konačan limit funkcije
u tački :

2) je pol funkcije
, ako

3) je bitna singularna tačka funkcije
ako na
funkcija nema ograničenja, ni konačna ni beskonačna.

Definicija 4.2. Poenta pozvaonula
th order (ili višestrukost ) funkcije
ako su ispunjeni uslovi:

…,

.

Napomena 4.2. Poenta ako i samo tada je nula
th order funkcije
, kada je u nekom susjedstvu ove tačke jednakost

gdje funkcija
analitičan u tački i

4) tačka je stub reda (
) funkcije
ako je ova tačka nula reda za funkciju
.

5) neka - izolovana funkcija singularna tačka
, gdje
- analitičke funkcije u tački ... I pusti poentu je nulti red funkcije
i naručite nulu funkcije
.

At
tačka je stub reda
funkcije
.

At
tačka je uklonjiva singularna tačka funkcije
.

Primjer 4.6. Pronađite izolirane točke i odredite njihov tip za funkciju
.

Rješenje. Funkcije
i
- analitički u cijeloj ravni kompleksa. Dakle, singularne tačke funkcije
su nule nazivnika, odnosno tačke u kojima
... Takvih tačaka ima beskonačno mnogo. Prvo je poenta
, kao i tačke koje zadovoljavaju jednačinu
... Odavde
i
.

Razmotrite poentu
... U ovom trenutku dobijamo:

,
,

,
.

Red nule je
.

,
,

,
.

Dakle, poenta
je pol drugog reda (
).

... Onda

,
.

Numeratorski poredak je
.

,
,
.

Red od nule nazivnika je
... Otuda i bodovi
at
su polovi prvog reda ( jednostavni stupovi ).

Teorema 4.1. (Cauchyjeva teorema o ostatku ). Ako je funkcija
je analitička na granici oblasti
i svuda unutar regiona, sa izuzetkom konačnog broja singularnih tačaka
, onda

Prilikom izračunavanja integrala, vrijedno je pažljivo pronaći sve singularne točke funkcije
, zatim nacrtajte konturu i singularne točke, a zatim odaberite samo one točke koje spadaju unutar konture integracije. Donošenje pravog izbora bez crtanja je često teško.

Metoda obračuna odbitka
zavisi od vrste posebne tačke. Stoga, prije izračunavanja odbitka, morate odrediti vrstu singularne točke.

1) odbitak funkcije u tački jednak je koeficijentu na minus prvog stepena u Lorentovom proširenju
u blizini tačke :

Ova tvrdnja je tačna za sve vrste izolovanih tačaka, pa stoga u ovom slučaju nije potrebno određivati tip posebne tačke.

2) ostatak na uklonjivoj singularnoj tački je nula.

3) ako je jednostavan pol (pol prvog reda), a funkcija
može se predstaviti kao
, gdje
,
(imajte na umu da u ovom slučaju
), zatim odbitak u tački je jednako

Konkretno, ako
, onda
.

4) ako onda je jednostavan stup

5) ako - motka
funkcija reda
, onda

Primjer 4.7. Izračunajte integral
.

Rješenje. Naći singularne tačke integranda
... Funkcija
ima dvije singularne tačke
i
Samo jedna tačka pada unutar konture
(sl. 4.6). Poenta
- stub drugog reda, pošto
je nula množine 2 za funkciju
.

Zatim, koristeći formulu (4.7), nalazimo ostatak u ovoj tački:

Na osnovu teoreme 4.1, nalazimo

Federalna agencija za obrazovanje

___________________________________

Saint Petersburg State

Elektrotehnički univerzitet "LETI"

_______________________________________

Teorija funkcija kompleksne varijable

Metodička uputstva

na praktičnu obuku

u višoj matematici

St. Petersburg

Izdavačka kuća SPbGETU "LETI"

UDK 512.64 (07)

TFKP: Metodička uputstva za rešavanje problema / komp.: VG Djumin, AM Kotočigov, NN Sosnovskij SPb.: Izdavačka kuća ETU "LETI", 2010. 32 str.

Odobreno od

uređivačko-izdavačko vijeće univerziteta

kao smjernice

Funkcije kompleksne varijable, u opštem slučaju, razlikuju se od preslikavanja realne ravni
samo po sebi samo u obliku snimanja. Važan i izuzetno koristan objekat je klasa funkcije kompleksne varijable,

ima derivaciju istu kao funkcija jedne varijable. Poznato je da funkcije više varijabli mogu imati parcijalne i usmjerene izvode, ali se u pravilu derivacije u različitim smjerovima ne poklapaju i ne može se govoriti o izvodu u tački. Međutim, za funkcije kompleksne varijable moguće je opisati uslove pod kojima one dopuštaju diferencijaciju. Proučavanje svojstava diferencijabilnih funkcija kompleksne varijable je sadržaj smjernica. Uputstva imaju za cilj da pokažu kako se svojstva takvih funkcija mogu koristiti za rješavanje raznih problema. Uspješno savladavanje prezentiranog materijala nemoguće je bez elementarnih računskih vještina s kompleksnim brojevima i poznavanja najjednostavnijih geometrijskih objekata definisanih u terminima nejednačina koje povezuju realne i imaginarne dijelove kompleksnog broja, kao i njegovog modula i argumenta. Sažetak svih informacija potrebnih za to može se naći u smjernicama.

Standardni aparat matematičke analize: granice, izvodnice, integrali, nizovi se široko koristi u tekstu uputstava. Tamo gdje ovi pojmovi imaju svoje specifičnosti, u poređenju sa funkcijama jedne varijable, daju se odgovarajuća objašnjenja, ali je u većini slučajeva dovoljno odvojiti stvarni i imaginarni dio i na njih primijeniti standardni aparat realne analize.

1. Elementarne funkcije kompleksne varijable

Prirodno je započeti raspravu o uvjetima diferencijabilnosti za funkcije kompleksne varijable pojašnjavanjem koje elementarne funkcije posjeduju ovo svojstvo. Iz očiglednog odnosa

Slijedi diferencijabilnost bilo kojeg polinoma. A, budući da se niz stepena može diferencirati pojam po član unutar kruga njegove konvergencije,

tada je bilo koja funkcija diferencibilna u tačkama u čijem susjedstvu se može proširiti u Taylorov red. Ovo je dovoljan uslov, ali, kako će uskoro postati jasno, i neophodan. Pogodno je podržati proučavanje funkcija jedne varijable u odnosu na izvod kontroliranjem ponašanja grafa funkcija. Ne postoji takva mogućnost za funkcije kompleksne varijable. Tačke grafa leže u prostoru dimenzije 4,.

Ipak, neki grafički prikaz funkcije može se dobiti razmatranjem slika prilično jednostavnih skupova složene ravni
koji nastaju pod uticajem date funkcije. Na primjer, razmotrite nekoliko jednostavnih funkcija s ove točke gledišta.

Linearna funkcija

Ova jednostavna funkcija je vrlo važna, jer je svaka diferencijabilna funkcija lokalno slična linearnoj. Razmotrimo radnju funkcije što je detaljnije moguće.

ovdje
- modul kompleksnih brojeva i je njegov argument. Dakle, linearna funkcija vrši istezanje, rotaciju i smicanje. Prema tome, linearno preslikavanje vodi bilo koji skup u sličan skup. Konkretno, pod utjecajem linearnog preslikavanja, ravne se pretvaraju u prave, a kružnice u kružnice.

Funkcija

Ova funkcija je sljedeća po složenosti nakon linearne. Teško je očekivati da će transformirati bilo koju ravnu u pravu, a kružnicu u kružnicu; jednostavni primjeri pokazuju da se to ne događa, ali se može pokazati da ova funkcija transformira skup svih pravih i kružnica u sebe. Da biste to potvrdili, zgodno je prijeći na stvarni (koordinatni) opis mapiranja

Za dokaz nam je potreban opis inverznog preslikavanja

Razmotrite jednačinu ako
, tada se dobija opšta jednačina prave linije. Ako
, onda

Stoga, za
dobija se jednadžba proizvoljnog kruga.

Imajte na umu da ako
i
, tada kružnica prolazi kroz ishodište. Ako
i
, tada dobijete pravu liniju koja prolazi kroz ishodište.

Pod dejstvom inverzije, razmatrana jednačina će se prepisati kao

, (
)

ili . Može se vidjeti da je ovo također jednadžba koja opisuje ili kružnice ili prave linije. Činjenica da su u jednačini koef i
zamijenjen, znači da će pod inverzijom, linije koje prolaze kroz 0 ići u krugove, a kružnice koje prolaze kroz 0 ići će u prave.

Funkcije napajanja

Glavna razlika između ovih funkcija i onih koje smo ranije razmatrali je da one nisu jedna-na-jedan (
). Možemo reći da je funkcija
prevodi kompleksnu ravan u dvije instance iste ravni. Pažljivo razmatranje ove teme zahtijeva korištenje glomaznog aparata Riemannovih površina i izlazi iz okvira pitanja koja se ovdje razmatraju. Važno je shvatiti da se kompleksna ravan može podijeliti na sektore, od kojih je svaki jedan prema jedan preslikan na kompleksnu ravan. Ovo je podjela za funkciju
izgleda ovako, na primjer, gornja poluravnina je jedan prema jedan preslikana na kompleksnu ravan pomoću funkcije
... Geometrijska izobličenja za takve slike teže je opisati nego u slučaju inverzije. Kao vježbu, možete pratiti u šta ide mreža pravokutnih koordinata gornje poluravnine kada se prikazuje

Može se vidjeti da se mreža pravokutnih koordinata transformira u familiju parabola koje formiraju sistem krivolinijskih koordinata u ravni
... Gore opisana podjela ravni je takva da je funkcija
prikazuje svaki od sektora na cijeloj ravni. Opis mapiranja naprijed i nazad izgleda ovako

Dakle, funkcija
Ima razne inverzne funkcije,

dati u različitim sektorima aviona

U takvim slučajevima se kaže da je preslikavanje viševalentno.

Funkcija Žukovskog

Funkcija ima svoje ime, budući da je činila osnovu Žukovskog teorije o krilu aviona (opis ovog dizajna može se naći u knjizi). Funkcija ima niz zanimljivih svojstava, hajde da se zadržimo na jednom od njih - saznajte na koje skupove ova funkcija djeluje na način jedan na jedan. Uzmite u obzir jednakost

, gdje
.

Prema tome, funkcija Žukovskog je jedan-na-jedan u bilo kojoj regiji u kojoj za bilo koji i njihov proizvod nije jednak jedinici. To su, na primjer, otvoreni jedinični krug
i komplement zatvorenog jediničnog kruga
.

Razmotrimo onda djelovanje funkcije Žukovskog na kružnicu

Razdvajanjem realnog i imaginarnog dijela dobijamo parametarsku jednačinu elipse

,
.

Ako
, tada ove elipse ispunjavaju cijelu ravan. Slično je potvrđeno da su slike segmenata hiperbole

Eksponencijalna funkcija

Funkcija dopušta ekspanziju u niz stepena koja je apsolutno konvergentna u cijeloj kompleksnoj ravni, stoga je svuda diferencibilna. Hajde da opišemo skupove na kojima je funkcija jedan prema jedan. Očigledna jednakost
pokazuje da se ravan može podijeliti u porodicu traka, od kojih se svaka funkcija preslikava u jedan prema jedan na cijeloj kompleksnoj ravni. Ova particija je neophodna da bi se razumjelo kako je inverzna funkcija, tačnije, inverzne funkcije, strukturirana. Na svakoj od traka, inverzno preslikavanje je prirodno definirano