Da li rang matrice može biti jednak nuli. Koncept matričnog ranga

“Ako želite da naučite da plivate, slobodno uđite u vodu, a ako želite da naučite za rješavanje problema, onda riješi ih.»
D. Poya (1887-1985)

(Matematičar. Dao je veliki doprinos popularizaciji matematike. Napisao je nekoliko knjiga o rješavanju zadataka i učenju rješavanja zadataka.)

Razmotrite matricu

Odaberimo u njemu k-linije i k-kolone (k≤ (min (m, n))). Od elemenata na preseku izabranih redova i kolona sastavljamo determinantu k-th red. Sve takve determinante se nazivaju minori ove matrice.

Uzmite u obzir sve moguće minore matrice A nenula.

Po rangu matrice A naziva se najvećim redom minora ove matrice, osim nule.

Ako su svi elementi matrice jednaki nuli, tada se uzima rang ove matrice jednak nuli.

Poziva se minor, čiji redosled određuje rang matrice osnovni.

Matrica može imati nekoliko osnovnih minora.

Matrix rang A označeno r (A)... Ako r (A) = r (B), zatim matrice A i V su pozvani ekvivalentan. Pisati A̴∼V.

Svojstva rangiranja matrice:

1. Kada se matrica transponira, njen rang se ne mijenja.
2. Ako izbrišete nulti red (kolona) iz matrice, tada se rang matrice neće promijeniti.
3. Rang matrice se ne mijenja pod elementarnim transformacijama matrice.

Elementarne transformacije podrazumijevaju se na sljedeći način:

• Permutacija redova matrice;
• Množenje niza brojem koji nije nula;
• Dodavanje elementima jedne linije odgovarajućih elemenata druge linije, pomnožene proizvoljnim brojem.

Prilikom izračunavanja ranga matrice mogu se koristiti elementarne transformacije, metoda svođenja matrice na stepenasti oblik i metoda obrubljivanja minora.

Metoda svođenja matrice na stepenastu oblik je da se uz pomoć elementarnih transformacija ova matrica svodi na matricu koraka.

Matrica se zove stupio ako je u svakom njegovom redu prvi element različit od nule udesno nego u prethodnom (tj. dobiju se koraci, visina svakog koraka mora biti jednaka jedan).

Primjeri stepenastih matrica:

Primjeri bezstepenih matrica:

PRIMJER: Pronađite rang matrice:

RJEŠENJE:

Smanjimo ovu matricu na stepenastu koristeći elementarne transformacije.

1. Promijenimo mjesta prvog i trećeg reda.

2. Dobijamo u prvoj koloni nule ispod jedan.

Ako drugom redu dodamo prvo pomnoženo sa (-3), trećem - prvo pomnoženo sa (-5), četvrtom - prvo pomnoženo sa (-3), dobijamo

Kako bi vam bilo jasnije gdje još trebate dobiti nule, nacrtajmo korake u matrici. (Matrica će biti stepenasta ako svuda ispod stepenica ima nula)

3. Dodavanjem trećem redu drugog, pomnoženog sa (-1), četvrtog - drugog, pomnoženog sa (-1), dobijamo nule ispod koraka u drugoj koloni.

Ako ponovo nacrtamo korake, vidjet ćemo da je matrica stepenasta.

Njen rang je r = 3(broj redova stepenaste matrice, u svakoj od kojih je najmanje jedan element različit od nule). Dakle, rang ove matrice r = 3.

Rješenje se može napisati ovako:

(Rimski brojevi označavaju brojeve redova)

Odgovor: r = 3.

Minor order k + 1 koji sadrži maloljetnik naloga k pozvao graniči minor.

Metoda graničnih maloljetnika zasniva se na činjenici da je rang date matrice jednak redu takvog minora ove matrice, koji je različit od nule, a svi minori koji se graniče s njom jednaki su nuli.

Definicija. Po rangu matrice je maksimalni broj linearno nezavisnih linija koje se smatraju vektorima.

Teorema 1 o rangu matrice. Po rangu matrice je maksimalni red različitog od nule minor matrice.

Već smo analizirali pojam minora u lekciji koristeći determinante, a sada ćemo ga generalizirati. Uzmimo u matricu neke redove i neke kolone, a ovaj "neki" treba da bude manji od broja redova i kolona matrice, a za redove i kolone ovaj "neki" treba da bude isti broj. Zatim na presjeku nekih redova i koliko kolona će biti matrica nižeg reda od naše originalne matrice. Determinanta ove matrice biće minor k-tog reda ako se pomenuti "neki" (broj redova i kolona) označi sa k.

Definicija. manji ( r+1) ti red, unutar kojeg se nalazi odabrani maloljetnik r-ti red se naziva graničnim za dati minor.

Dvije najčešće korištene su pronalaženje ranga matrice... to granični put za maloljetnike i metoda elementarnih transformacija(po Gausovoj metodi).

Sljedeća teorema se koristi za metodu graničnih minora.

Teorema 2 o rangu matrice. Ako je od elemenata matrice moguće sastaviti mol r reda, nije jednak nuli, tada je rang matrice r.

U metodi elementarnih transformacija koristi se sljedeće svojstvo:

Ako se elementarnim transformacijama dobije trapezoidna matrica koja je ekvivalentna izvornoj, tada rang ove matrice je broj linija u njemu, osim linija koje se u potpunosti sastoje od nula.

Određivanje ranga matrice metodom graničnih minora

Granični minor je minor višeg reda u odnosu na dati, ako ovaj minor višeg reda sadrži dati minor.

Na primjer, s obzirom na matricu

Uzmimo maloljetnika

graničit će se sa sljedećim maloljetnicima:

Algoritam za pronalaženje ranga matrice sljedeći.

1. Naći minore koji nisu nula drugog reda. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada će rang matrice biti jednak jedan ( r =1 ).

2. Ako postoji barem jedan minor drugog reda koji nije jednak nuli, onda sastavite granične minore trećeg reda. Ako su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak dva ( r =2 ).

3. Ako barem jedan od graničnih minora trećeg reda nije jednak nuli, tada sastavljamo granične minore. Ako su svi granični minori četvrtog reda jednaki nuli, tada je rang matrice tri ( r =2 ).

4. Nastavite sve dok veličina matrice dozvoljava.

Primjer 1. Pronađite rang matrice

.

Rješenje. Minor drugog reda .

Mi ga uokvirimo. Biće četiri granična maloletnika:

,

,

Dakle, svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang ove matrice jednak dva ( r =2 ).

Primjer 2. Pronađite rang matrice

Rješenje. Rang ove matrice je 1, budući da su svi minori drugog reda ove matrice jednaki nuli (u ovom slučaju, kao iu slučaju graničnih minora u sljedeća dva primjera, dragi studenti su pozvani da sami provjere, moguće korištenjem pravila za izračunavanje determinanti), a među minorima prvog reda, odnosno među elementima matrice, nema jednakih nuli.

Primjer 3. Pronađite rang matrice

Rješenje. Minor drugog reda ove matrice, u svim minorima trećeg reda ove matrice jednaki su nuli. Dakle, rang ove matrice je dva.

Primjer 4. Pronađite rang matrice

Rješenje. Rang ove matrice je 3, pošto je jedini minor trećeg reda ove matrice 3.

Određivanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija (Gaussova metoda)

Već u primjeru 1 se može vidjeti da problem određivanja ranga matrice metodom graničnih minora zahtijeva izračunavanje velikog broja determinanti. Međutim, postoji način da se količina izračunavanja svede na minimum. Ova metoda se zasniva na korištenju elementarnih matričnih transformacija i naziva se i Gaussova metoda.

Elementarne matrične transformacije shvaćene su kao sljedeće operacije:

1) množenje bilo kog reda ili kolone matrice brojem koji nije nula;

2) dodavanje elemenata bilo kog reda ili kolone matrice odgovarajućih elemenata drugog reda ili kolone, pomnoženih istim brojem;

3) zamjena dva reda ili stupca matrice;

4) uklanjanje "nultih" linija, odnosno onih čiji su svi elementi jednaki nuli;

5) brisanje svih proporcionalnih linija, osim jedne.

Teorema. Elementarna transformacija ne mijenja rang matrice. Drugim riječima, ako koristimo elementarne transformacije iz matrice A otišao na matricu B, zatim .

Određivanje ranga matrice

Razmotrimo matricu \ (A \) tipa \ ((m, n) \). Neka je, radi određenosti, \ (m \ leq n \). Uzmite \ (m \) redove i odaberite \ (m \) kolone matrice \ (A \), na preseku ovih redova i kolona dobijamo kvadratnu matricu reda \ (m \), čija je determinanta pozvao minor order \ (m \) matrice \ (A \). Ako je ovaj minor različit od 0, poziva se bazni mol i kažu da je rang matrice \ (A \) \ (m \). Ako je ova determinanta jednaka 0, tada se biraju drugi \ (m \) stupci, na njihovom presjeku se nalaze elementi koji čine drugi minor reda \ (m \). Ako je minor 0, nastavljamo postupak. Ako među svim mogućim minorima reda \ (m \) nema nenultih, biramo \ (m-1 \) redove i stupce iz matrice \ (A \), na njihovom presjeku nastaje kvadratna matrica reda \ (m-1 \), njena determinanta se naziva minor reda \ (m-1 \) originalne matrice. Nastavljajući proceduru, tražimo minor različit od nule, ponavljajući sve moguće minore, snižavajući njihov red.

Definicija.

Nenulti minor date matrice najvišeg reda se naziva bazni mol originalna matrica, njen red se zove rang matrice \ (A \), redovi i stupci, na čijem presjeku se nalazi osnovni minor, nazivaju se osnovnim redovima i stupcima. Rang matrice je označen sa \ (rang (A) \).

Ova definicija implicira jednostavna svojstva ranga matrice: ona je cijeli broj, a rang matrice različite od nule zadovoljava nejednakosti: \ (1 \ leq rang (A) \ leq \ min (m, n) \).

Kako će se promijeniti rang matrice ako se red izbriše? Dodati neki red?

Provjerite odgovor

1) Rang se može smanjiti za 1.

2) Rang se može povećati za 1.

Linearna zavisnost i linearna nezavisnost matričnih kolona

Neka je \ (A \) matrica tipa \ ((m, n) \). Razmotrimo stupce matrice \ (A \) - to su stupci od \ (m \) brojeva svaki. Označimo ih \ (A_1, A_2, ..., A_n \). Neka su \ (c_1, c_2, ..., c_n \) neki brojevi.

Definicija.

Kolona \ [D = c_1A_1 + c_2A_2 + ... + c_nA_n = \ suma _ (m = 1) ^ nc_mA_m \] se naziva linearna kombinacija kolona \ (A_1, A_2, ..., A_n \), brojeva \ (c_1, c_2 , ..., c_n \) se nazivaju koeficijenti ove linearne kombinacije.

Definicija.

Neka su dati \ (p \) stupci \ (A_1, A_2, ..., A_p \). Ako postoje brojevi \ (c_1, c_2, ..., c_p \) takvi da

1. nisu svi ovi brojevi nula,

2.linearna kombinacija \ (c_1A_1 + c_2A_2 + ... + c_pA_p = \ sum _ (m = 1) ^ pc_mA_m \) jednaka je nultom stupcu (tj. koloni čiji su svi elementi nuli), tada recimo da su kolone \ ( A_1, A_2, ..., A_p \) linearno zavisne. Ako za dati skup stupaca takvi brojevi \ (c_1, c_2, ..., c_n \) ne postoje, kaže se da su stupci linearno nezavisni.

Primjer. Razmotrite 2 kolone

\ [A_1 = \ lijevo (\ početak (niz) (c) 1 \\ 0 \ kraj (niz) \ desno), A_2 = \ lijevo (\ početak (niz) (c) 0 \\ 1 \ kraj (niz) \ desno), \] tada za bilo koje brojeve \ (c_1, c_2 \) imamo: \ [c_1A_1 + c_2A_2 = c_1 \ lijevo (\ početak (niz) (c) 1 \\ 0 \ kraj (niz) \ desno) + c_2 \ lijevo (\ početak (niz) (c) 0 \\ 1 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (c) c_1 \\ c_2 \ kraj (niz) \ desno). \]

Ova linearna kombinacija je jednaka nultom stupcu ako i samo ako su oba broja \ (c_1, c_2 \) jednaka nuli. Dakle, ovi stupci su linearno nezavisni.

Izjava. Da bi stupci bili linearno zavisni, potrebno je i dovoljno da jedan od njih bude linearna kombinacija ostalih.

Neka su kolone \ (A_1, A_2, ..., A_m \) linearno zavisne, tj. za neke konstante \ (\ lambda _1, \ lambda _2, ..., \ lambda _m \), od kojih nisu sve jednake 0, izvršava se sljedeće: \ [\ sum _ (k = 1) ^ m \ lambda _kA_k = 0 \ ] (desno - nula kolona). Na primjer, neka \ (\ lambda _1 \ neq 0 \). Tada \ [A_1 = \ sum _ (k = 2) ^ mc_kA_k, \ quad c_k = - \ lambda _k / \ lambda _1, \ quad \ quad (15) \] tj. prva kolona je linearna kombinacija ostalih.

Osnovna mala teorema

Teorema.

Za bilo koju matricu različitu od nule \ (A \) vrijedi sljedeće:

1. Osnovni stupovi su linearno nezavisni.

2. Bilo koja kolona matrice je linearna kombinacija njenih osnovnih stupaca.

(Isto važi i za nizove.)

Neka je, radi određenosti, \ ((m, n) \) tip matrice \ (A \), \ (rang (A) = r \ leq n \) i bazni minor se nalazi u prvom \ ( r \) matrice redova i kolona \ (A \). Neka je \ (s \) bilo koji broj između 1 i \ (m \), \ (k \) bilo koji broj između 1 i \ (n \). Uzmimo u obzir minor sljedećeg oblika: \ [D = \ lijevo | \ begin (niz) (ccccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1r) & a_ (1s) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2r) & a_ (2s) \\ \ tačke & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (r1) & a_ (r2) & \ ldots & a_ (rr) & a_ (rs) \\ a_ (k1) & a_ (k2) & \ ldots & a_ (kr) & a_ (ks) \\ \ kraj (niz) \ desno | , \] tj dodijelili smo \ (s - \)-ti stupac i \ (k - \)-ti red osnovnom molu. Po definiciji ranga matrice, ova determinanta je jednaka nuli (ako smo izabrali \ (s \ leq r \) ili \ (k \ leq r \), onda ovaj minor ima 2 identična stupca ili 2 identična reda, ako \ (s> r \) i \ (k> r \) - prema definiciji ranga, minor veličine veće od \ (r \) nestaje). Proširujemo ovu determinantu duž zadnjeg reda, dobijamo: \ [a_ (k1) A_ (k1) + a_ (k2) A_ (k2) + .... + a_ (kr) A_ (kr) + a_ (ks) A_ (ks ) = 0. \ quad \ quad (16) \]

Ovdje su brojevi \ (A_ (kp) \) algebarski komplementi elemenata iz donje linije \ (D \). Njihove vrijednosti ne zavise od \ (k \), jer formiraju se pomoću elemenata iz prvih \ (r \) redova. U ovom slučaju, količina \ (A_ (ks) \) je osnovni minor različit od 0. Označavamo \ (A_ (k1) = c_1, A_ (k2) = c_2, ..., A_ (ks) = c_s \ neq 0 \). Prepisujemo u novoj notaciji (16): \ [c_1a_ (k1) + c_2a_ (k2) + ... + c_ra_ (kr) + c_sa_ (ks) = 0, \] ili, dijeleći sa \ (c_s \), \ [ a_ (ks) = \ lambda_1a_ ​​(k1) + \ lambda_2a_ (k2) + ... + \ lambda_ra_ (kr), \ quad \ lambda _p = -c_p / c_s. \] Ova jednakost vrijedi za bilo koju vrijednost \ (k \), pa \ [a_ (1s) = \ lambda_1a_ ​​(11) + \ lambda_2a_ (12) + ... + \ lambda_ra_ (1r), \] \ [a_ (2s) = \ lambda_1a_ ​​(21) + \ lambda_2a_ (22) + ... + \ lambda_ra_ (2r), \] \ [................ .... ................................... \] \ [a_ (ms) = \ lambda_1a_ ​​(m1) + \ lambda_2a_ (m2) + ... + \ lambda_ra_ (mr). \] Dakle, \ (s - \) kolona je linearna kombinacija prvih \ (r \) kolona. Teorema je dokazana.

Komentar.

Iz osnovne manje teoreme slijedi da je rang matrice jednak broju njenih linearno nezavisnih stupaca (koji je jednak broju linearno nezavisnih redova).

Zaključak 1.

Ako je determinanta nula, onda ima stupac koji je linearna kombinacija preostalih stupaca.

Zaključak 2.

Ako je rang matrice manji od broja stupaca, tada su stupci matrice linearno zavisni.

Izračunavanje ranga matrice i pronalaženje osnovnog minora

Neke transformacije matrice ne mijenjaju njen rang. Takve transformacije se mogu nazvati elementarnim. Odgovarajuće činjenice je lako provjeriti korištenjem svojstava determinanti i definicije ranga matrice.

1. Preuređenje kolona.

2. Množenje elemenata kolone nenultim faktorom.

3. Dodavanje kolone bilo koje druge kolone pomnožene proizvoljnim brojem.

4. Precrtavanje nulte kolone.

Isto važi i za žice.

Uz pomoć ovih transformacija, matrica se može transformirati u takozvani "trapezoidni" oblik - matricu ispod čije glavne dijagonale se nalaze samo nule. Za "trapezastu" matricu, rang je broj nenultih unosa na glavnoj dijagonali, a bazni minor je minor čija se dijagonala poklapa sa skupom nenultih unosa na glavnoj dijagonali transformisane matrice.

Primjer. Razmotrite matricu

\ [A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 2 & 1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \ kraj (niz) \ desno). \] Transformisaćemo ga koristeći gornje transformacije. \ [A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 2 & 1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \ kraj (niz) \ desno) \ mapsto \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \ \ 2 & -1 & 5 & -6 \ kraj (niz) \ desno) \ mapsto \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \ kraj (niz) \ desno) \ mapsto \] \ [\ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ kraj (niz) \ desno) \ mapsto \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \ kraj (niz) \ desno). \]

Ovdje radimo sljedeće korake uzastopno: 1) preurediti drugi red naviše, 2) oduzeti prvi red od ostatka s odgovarajućim faktorom, 3) oduzeti drugi red od trećeg 4 puta, dodati drugi red četvrtom, 4) izbrišite nulte linije - treću i četvrtu ... Naša konačna matrica je dobila željeni oblik: na glavnoj dijagonali su brojevi različiti od nule, a ispod glavne dijagonale nule. Nakon toga, postupak se zaustavlja i broj nenultih elemenata na glavnoj dijagonali je jednak rangu matrice. Osnovni mol su prva dva reda i prva dva stupca. Na njihovom presjeku nalazi se matrica reda 2 sa determinantom različitom od nule. U ovom slučaju, vraćajući se duž lanca transformacija u suprotnom smjeru, može se pratiti odakle je nastao ovaj ili onaj red (ova ili ona kolona) u konačnoj matrici, tj. odrediti osnovne redove i stupce u originalnoj matrici. U ovom slučaju, prva dva reda i prve dvije kolone čine osnovni mol.

Za rad sa konceptom ranga matrice potrebne su nam informacije iz teme "Algebarski komplementi i minori. Vrste minora i algebarski komplementi". Prije svega, radi se o terminu "matrix minor", jer će se rang matrice odrediti upravo kroz minore.

Po rangu matrice naziva se maksimalni red njegovih minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli.

Ekvivalentne matrice- matrice čiji su rangovi međusobno jednaki.

Hajde da objasnimo detaljnije. Pretpostavimo da postoji barem jedan minor različit od nule među minorima drugog reda. A svi minori, čiji je red veći od dva, jednaki su nuli. Zaključak: rang matrice je 2. Ili, na primjer, među minorima desetog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli. I svi maloljetnici čiji je red veći od 10 jednaki su nuli. Zaključak: rang matrice je 10.

Rang matrice $ A $ označava se kao $ \ rang A $ ili $ r (A) $. Pretpostavlja se da je rang nulte matrice $ O $ nula, $ \ rang O = 0 $. Da vas podsjetim da je za formiranje minora matrice potrebno precrtati redove i stupce, ali je nemoguće precrtati više redova i stupaca nego što sadrži sama matrica. Na primjer, ako je $F$ matrica $5 \ puta 4 $ (tj. sadrži 5 redaka i 4 stupca), tada je maksimalni redoslijed njenih minora četiri. Više neće biti moguće formirati minore petog reda, jer će za njih biti potrebno 5 kolona (a mi imamo samo 4). To znači da rang matrice $ F $ ne može biti veći od četiri, tj. $ \ rang F≤4 $.

U opštijem obliku, gore navedeno znači da ako matrica sadrži $ m $ redova i $ n $ kolona, ​​onda njen rang ne može premašiti najmanji od brojeva $ m $ i $ n $, tj. $ \ rang A≤ \ min (m, n) $.

U principu, iz same definicije ranga slijedi način njegovog pronalaženja. Proces pronalaženja ranga matrice po definiciji može se shematski predstaviti na sljedeći način:

Detaljnije ću objasniti ovaj dijagram. Počnimo da razmišljamo od samog početka, tj. sa minorima prvog reda neke matrice $ A $.

1. Ako su svi minori prvog reda (tj. elementi matrice $ A $) jednaki nuli, tada je $ \ rang A = 0 $. Ako među minorima prvog reda postoji barem jedan različit od nule, tada je $ \ rang A≥ 1 $. Pređimo na provjeru maloljetnika drugog reda.
2. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada je $ \ rang A = 1 $. Ako među minorima drugog reda postoji barem jedan različit od nule, tada je $ \ rang A≥ 2 $. Pređimo na provjeru maloljetnika trećeg reda.
3. Ako su svi minori trećeg reda jednaki nuli, tada je $ \ rang A = 2 $. Ako među minorima trećeg reda postoji barem jedan različit od nule, tada je $ \ rang A≥ 3 $. Pređimo na provjeru minora četvrtog reda.
4. Ako su svi minori četvrtog reda jednaki nuli, tada je $ \ rang A = 3 $. Ako među minorima četvrtog reda postoji barem jedan različit od nule, tada je $ \ rang A≥ 4 $. Pređimo na provjeru minora 5. reda, i tako dalje.

Šta nas čeka na kraju ove procedure? Moguće je da među minorima k-tog reda postoji barem jedan nenula, a svi minori (k + 1)-tog reda će biti jednaki nuli. To znači da je k maksimalni red minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tj. rang će biti k. Situacija može biti drugačija: među minorima k-tog reda naći će se barem jedan koji nije jednak nuli i više neće biti moguće formirati minore (k + 1)-og reda. U ovom slučaju, rang matrice je također k. Ukratko govoreći, red zadnjeg sastavljenog minora različitog od nule i biće jednak rangu matrice.

Prijeđimo na primjere u kojima će proces pronalaženja ranga matrice po definiciji biti vizualno ilustrovan. Još jednom naglašavam da ćemo u primjerima ove teme početi da pronalazimo rang matrica koristeći samo definiciju ranga. Ostale metode (izračunavanje ranga matrice metodom graničnih minora, izračunavanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija) razmatraju se u sljedećim temama.

Usput, uopće nije potrebno započeti postupak pronalaženja ranga s maloljetnicima najmanjeg reda, kao što je to učinjeno u primjerima # 1 i # 2. Možete ići direktno na više maloljetnike (vidi primjer br. 3).

Primjer br. 1

Pronađite rang matrice $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \ kraj (niz) \ desno) $.

Ova matrica ima veličinu $3 \ puta 5 $, tj. sadrži tri reda i pet kolona. Od brojeva 3 i 5, minimum je 3, stoga je rang matrice $ A $ najviše 3, tj. $ \ rang A≤ 3 $. A ova nejednakost je očigledna, pošto više nećemo moći formirati minore četvrtog reda - njima su potrebna 4 reda, a mi imamo samo 3. Prijeđimo direktno na proces pronalaženja ranga date matrice.

Među minorima prvog reda (odnosno među elementima matrice $ A $) postoje oni različiti od nule. Na primjer, 5, -3, 2, 7. Generalno, ne zanima nas ukupan broj elemenata koji nisu nula. Postoji barem jedan element koji nije nula - i to je dovoljno. Pošto među minorima prvog reda postoji barem jedan manji od nule, zaključujemo da je $ \ rang A≥ 1 $ i prelazimo na provjeru minora drugog reda.

Počnimo s istraživanjem maloljetnika drugog reda. Na primjer, na sjecištu redova # 1, # 2 i stupaca # 1, # 4 nalaze se elementi takvog minora: $ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ end (niz) \ desno | $. Za ovu determinantu svi elementi druge kolone jednaki su nuli, pa je i sama determinanta jednaka nuli, tj. $ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ kraj (niz) \ desno | = 0 $ (vidi svojstvo br. 3 u temi svojstava determinanti). Ili možete jednostavno izračunati ovu determinantu koristeći formulu #1 iz odjeljka o izračunavanju determinanti drugog i trećeg reda:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ kraj (niz) \ desno | = 5 \ cdot 0-0 \ cdot 7 = 0. $$

Ispostavilo se da je prvi minor drugog reda koji smo provjerili nula. Šta to znači? O tome da je potrebno dodatno provjeriti maloljetnike drugog reda. Ili će se ispostaviti da su svi nula (i tada će rang biti jednak 1), ili među njima postoji barem jedan manji različit od nule. Hajde da pokušamo da napravimo bolji izbor tako što ćemo zapisati minor drugog reda čiji se elementi nalaze na preseku redova #1, #2 i kolona #1 i #5: $ \ left | \ begin (niz) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ kraj (niz) \ desno | $. Nađimo vrijednost ovog minora drugog reda:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ kraj (niz) \ desno | = 5 \ cdot 3-2 \ cdot 7 = 1. $$

Ovaj minor nije nula. Zaključak: među minorima drugog reda postoji barem jedan različit od nule. Stoga je $ \ rang A≥ 2 $. Potrebno je pristupiti proučavanju maloljetnika trećeg reda.

Ako odaberemo kolonu #2 ili kolonu #4 da formiramo minore trećeg reda, tada će takvi minori biti jednaki nuli (jer će sadržavati nultu kolonu). Ostaje provjeriti samo jedan minor trećeg reda, čiji se elementi nalaze na raskrsnici kolona br. 1, br. 3, br. 5 i redova br. 1, br. 2, br. Zapišimo ovaj minor i pronađimo njegovo značenje:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \ kraj (niz) \ desno | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0. $$

Dakle, svi maloljetnici trećeg reda su nula. Posljednji minor različit od nule koji smo sastavili bio je drugog reda. Zaključak: maksimalni red minora, među kojima postoji barem jedan osim nule, je 2. Dakle, $ \ rang A = 2 $.

Odgovori: $ \ rang A = 2 $.

Primjer br. 2

Pronađite rang matrice $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ kraj (niz) \ desno) $.

Imamo kvadratnu matricu četvrtog reda. Odmah imajte na umu da rang ove matrice ne prelazi 4, tj. $ \ rang A≤ 4 $. Počnimo sa pronalaženjem ranga matrice.

Među minorima prvog reda (tj. među elementima matrice $ A $) postoji barem jedan različit od nule, dakle $ \ rang A≥ 1 $. Pređimo na provjeru maloljetnika drugog reda. Na primjer, na sjecištu redova # 2, # 3 i stupaca # 1 i # 2, dobijamo sljedeći minor drugog reda: $ \ left | \ početak (niz) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ kraj (niz) \ desno | $. Izračunajmo:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ kraj (niz) \ desno | = 0-10 = -10. $$

Među minorima drugog reda postoji barem jedan različit od nule, dakle $ \ rang A≥ 2 $.

Pređimo na maloljetnike trećeg reda. Nađimo, na primjer, maloljetnicu, čiji se elementi nalaze na sjecištu redova br. 1, br. 3, br. 4 i stupaca br. 1, br. 2, br.

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & -7 \ kraj (niz) \ desno | = 105-105 = 0. $$

Kako se pokazalo da je ovaj minor trećeg reda jednak nuli, potrebno je istražiti još jedan minor trećeg reda. Ili se ispostavi da su svi jednaki nuli (tada će rang biti jednak 2), ili među njima postoji barem jedan koji nije jednak nuli (tada ćemo istražiti minore četvrtog reda). Uzmimo u obzir minor trećeg reda, čiji se elementi nalaze na preseku redova br. 2, br. 3, br. 4 i kolona br. 2, br. 3, br. 4:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ kraj (niz) \ desno | = -28. $$

Među minorima trećeg reda postoji barem jedan različit od nule, dakle $ \ rang A≥ 3 $. Pređimo na provjeru minora četvrtog reda.

Bilo koji minor četvrtog reda nalazi se na presjeku četiri reda i četiri stupca matrice $ A $. Drugim rečima, minor četvrtog reda je determinanta matrice $ A $, pošto ova matrica sadrži tačno 4 reda i 4 kolone. Determinanta ove matrice je izračunata u primjeru 2 teme "Smanjenje reda determinante. Dekompozicija determinante u red (kolona)", pa samo uzmite gotov rezultat:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ end (niz) \ desno | = 86. $$

Dakle, mol četvrtog reda nije nula. Ne možemo više formirati maloljetnike petog reda. Zaključak: najviši red maloljetnika, među kojima postoji barem jedan osim nule, je 4. Ukupno: $ \ rang A = 4 $.

Odgovori: $ \ rang A = 4 $.

Primjer br. 3

Pronađite rang matrice $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ 7 & -4 & 0 & -5 \ end ( niz) \ desno) $.

Odmah primijetite da ova matrica sadrži 3 reda i 4 stupca, tako da je $ \ rang A≤ 3 $. U prethodnim primjerima smo započeli proces rangiranja gledajući minore najmanje (prvog) reda. Ovdje ćemo pokušati odmah provjeriti maloljetnike maksimalno mogućeg reda. Za matricu $ A $ takvi minori su trećeg reda. Uzmimo u obzir mol trećeg reda čiji elementi leže na preseku redova br. 1, br. 2, br. 3 i kolona br. 2, br. 3, br. 4:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) 0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ kraj (niz) \ desno | = -8-60-20 = -88. $$

Dakle, najviši red minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, je 3. Dakle, rang matrice je 3, tj. $ \ rang A = 3 $.

Odgovori: $ \ rang A = 3 $.

Općenito, pronalaženje ranga matrice po definiciji je, u općenitom slučaju, prilično naporan zadatak. Na primjer, matrica relativno male veličine $ 5 \ puta 4 $ ima 60 minora drugog reda. Čak i ako je njih 59 jednako nuli, onda se 60. minor može pokazati da nije nula. Zatim morate istražiti minore trećeg reda, kojih data matrica ima 40 komada. Obično pokušavaju da koriste manje glomazne metode, kao što je metoda obrubljivanja minora ili metoda ekvivalentnih transformacija.

Rang matrice je važna numerička karakteristika. Najtipičniji problem koji zahtijeva pronalaženje ranga matrice je provjera konzistentnosti sistema linearnih algebarskih jednadžbi. U ovom članku ćemo dati koncept ranga matrice i razmotriti metode za njegovo pronalaženje. Radi bolje asimilacije gradiva, detaljno ćemo analizirati rješenja nekoliko primjera.

Navigacija po stranici.

Određivanje ranga matrice i potrebnih dodatnih pojmova.

Prije objave definicije ranga matrice, treba dobro razumjeti pojam minora, a pronalaženje minora matrice podrazumijeva sposobnost izračunavanja determinante. Stoga preporučujemo, ako je potrebno, da se prisjetimo teorije članka, metoda pronalaženja determinante matrice, svojstava determinante.

Uzmite matricu A reda. Neka je k neki prirodni broj koji ne prelazi najmanji od brojeva m i n, tj. .

Definicija.

Minor k-tog reda matrice A naziva se determinanta kvadratne matrice reda, sastavljena od elemenata matrice A, koji se nalaze u prethodno odabranih k redova i k stupaca, a raspored elemenata matrice A je očuvan .

Drugim riječima, ako izbrišemo (p – k) redove i (n – k) stupce u matrici A, a sastavimo matricu od preostalih elemenata, čuvajući raspored elemenata matrice A, tada će determinanta rezultirajuće matrice je minor reda k matrice A.

Pogledajmo definiciju matričnog minora koristeći primjer.

Razmotrite matricu .

Napišimo nekoliko minora prvog reda ove matrice. Na primjer, ako odaberemo treći red i drugi stupac matrice A, tada naš izbor odgovara umanju prvog reda ... Drugim riječima, da bismo dobili ovaj minor, precrtali smo prvi i drugi red, kao i prvi, treći i četvrti stupac iz matrice A, a od preostalog elementa napravili determinantu. Ako odaberemo prvi red i treći stupac matrice A, onda ćemo dobiti minor .

Ilustrujmo postupak za dobijanje razmatranih maloletnika prvog reda
i .

Dakle, minori prvog reda matrice su sami elementi matrice.

Prikazujemo nekoliko maloljetnika drugog reda. Odaberite dva reda i dvije kolone. Na primjer, uzmimo prvi i drugi red i treći i četvrti stupac. Ovim izborom imamo maloletnika drugog reda ... Ovaj minor se također može formirati brisanjem trećeg reda, prvog i drugog stupca iz matrice A.

Drugi minor drugog reda matrice A je.

Ilustrujmo konstrukciju ovih minora drugog reda
i .

Slično se mogu naći i minori trećeg reda matrice A. Pošto u matrici A postoje samo tri reda, biramo sve. Ako za ove redove odaberemo prve tri kolone, dobićemo minor trećeg reda

Također se može konstruirati brisanjem posljednje kolone matrice A.

Još jedan maloljetnik trećeg reda je

dobijeno brisanjem treće kolone matrice A.

Ovdje je crtež koji prikazuje konstrukciju ovih maloljetnika trećeg reda.
i .

Za datu matricu A, minori reda višeg od trećeg ne postoje, jer.

Koliko minora k-tog reda matrice A reda postoji?

Broj minora reda k može se izračunati kao, gdje i - broj kombinacija od p do k i od n do k, respektivno.

Kako konstruisati sve minore reda k matrice A reda p po n?

Treba nam mnogo brojeva redova matrice i mnogo brojeva kolona. Zapisujemo sve kombinacije p elemenata po k(oni će odgovarati odabranim redovima matrice A kada se konstruiše minor reda k). Svakoj kombinaciji brojeva redova sukcesivno dodajemo sve kombinacije od n elemenata sa k brojeva kolona. Ovi skupovi kombinacija brojeva redova i brojeva kolona matrice A pomoći će da se sastave svi minori reda k.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Pronađite sve minore drugog reda matrice.

Rješenje.

Budući da je redoslijed originalne matrice 3 puta 3, tada će ukupni minori drugog reda biti .

Zapišimo sve kombinacije brojeva 3 sa 2 redova matrice A: 1, 2; 1, 3 i 2, 3. Sve kombinacije brojeva kolone 3 sa 2 su 1, 2; 1, 3 i 2, 3.

Uzmite prvi i drugi red matrice A. Odabirom u ove redove prve i druge kolone, prve i treće kolone, druge i treće kolone, dobijamo sporedne redove, redom

Za prvi i treći red, sa sličnim izborom kolona, ​​imamo

Ostaje dodati prvi i drugi, prvi i treći, drugi i treći stupac u drugi i treći red:

Dakle, svih devet minora drugog reda matrice A je pronađeno.

Sada možete prijeći na određivanje ranga matrice.

Definicija.

Matrix rang To je najviši red različitog od nule minor u matrici.

Rang matrice A se naziva rang (A). Takođe možete pronaći oznake Rg (A) ili Rang (A).

Iz definicija ranga matrice i minora matrice možemo zaključiti da je rang nulte matrice jednak nuli, a rang nenulte matrice najmanje jedan.

Pronalaženje ranga matrice po definiciji.

Dakle, prva metoda za pronalaženje ranga matrice je metoda grube sile... Ova metoda se zasniva na određivanju ranga matrice.

Pretpostavimo da trebamo pronaći rang matrice A reda.

Hajde da ukratko opišemo algoritam rješavanje ovog problema nabrajanjem maloljetnika.

Ako postoji barem jedan element matrice koji je različit od nule, tada je rang matrice najmanje jednak jedan (pošto postoji minor prvog reda koji nije jednak nuli).

Zatim iteriramo preko minora drugog reda. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan minor drugog reda različit od nule, tada prelazimo na nabrajanje minora trećeg reda, a rang matrice je najmanje dva.

Slično, ako su svi minori trećeg reda nula, tada je rang matrice dva. Ako postoji barem jedan minor trećeg reda osim nule, tada je rang matrice najmanje tri, i prelazimo preko minora četvrtog reda.

Imajte na umu da rang matrice ne može premašiti najmanji od brojeva p i n.

Primjer.

Pronađite rang matrice .

Rješenje.

Pošto je matrica različita od nule, njen rang je najmanje jedan.

Minor drugog reda je različit od nule, stoga je rang matrice A najmanje dva. Prelazimo na nabrajanje maloljetnika trećeg reda. Svi oni stvari.

Svi maloljetnici trećeg reda su nula. Dakle, rang matrice je dva.

odgovor:

Rang (A) = 2.

Određivanje ranga matrice metodom graničnih minora.

Postoje i druge metode za pronalaženje ranga matrice koje vam omogućavaju da dobijete rezultat uz manje računskog rada.

Jedna takva metoda je granični minor metod.

Hajde da se pozabavimo graniči minor.

Kaže se da manji M ok (k + 1)-tog reda matrice A graniči sa manjim M reda k matrice A, ako matrica koja odgovara manjem M ok "sadrži" matricu koja odgovara maloljetni M.

Drugim riječima, matrica koja odgovara obrubljenom minoru M dobija se iz matrice koja odgovara graničnom minoru M ok brisanjem elemenata jednog reda i jedne kolone.

Na primjer, razmotrite matricu i uzeti maloljetnika drugog reda. Zapišimo sve granične maloljetnike:

Metoda graničnih minora potkrijepljena je sljedećom teoremom (njegovu formulaciju iznosimo bez dokaza).

Teorema.

Ako su svi minori koji se graniče sa minorom k-tog reda matrice A reda p sa n jednaki nuli, tada su svi minori reda (k + 1) matrice A jednaki nuli.

Dakle, da bi se pronašao rang matrice, nije potrebno iterirati preko svih minora koji su dovoljno granični. Broj minora koji se graniči sa minorom k-tog reda matrice reda A nalazi se po formuli ... Imajte na umu da minori koji se graniče sa minorom k-tog reda matrice A nisu veći od minora (k + 1)-tog reda matrice A. Stoga je u većini slučajeva upotreba metode graničnih maloljetnika isplativija od jednostavnog nabrajanja svih maloljetnika.

Nastavimo sa pronalaženjem ranga matrice metodom graničnih minora. Hajde da ukratko opišemo algoritam ovu metodu.

Ako je matrica A različita od nule, tada kao minor prvog reda uzimamo bilo koji element matrice A osim nule. Uzmite u obzir njegove granične maloljetnike. Ako su svi jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan granični minor različit od nule (njihov red je dva), onda nastavljamo s razmatranjem njegovih graničnih minora. Ako su svi nula, tada je rang (A) = 2. Ako je barem jedan granični minor različit od nule (njihov red je tri), onda smatramo njegove granične minore. itd. Kao rezultat, rang (A) = k, ako su svi granični minori (k + 1)-tog reda matrice A jednaki nuli, ili rang (A) = min (p, n) ako postoji minor različit od nule graniči s minorom reda (min (p, n) - 1).

Analizirajmo metodu graničnih minora za pronalaženje ranga matrice koristeći primjer.

Primjer.

Pronađite rang matrice metodom graničenja maloljetnika.

Rješenje.

Pošto je element a 1 1 matrice A različit od nule, uzimamo ga kao minor prvog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula:

Pronađen granični minor drugog reda, osim nule. Hajde da sredimo njegove granične maloljetnike (njihove stvari):

Svi minori koji se graniče sa minorom drugog reda jednaki su nuli, pa je rang matrice A jednak dva.

odgovor:

Rang (A) = 2.

Primjer.

Pronađite rang matrice korištenje graničnih maloljetnika.

Rješenje.

Kao minor koji nije nula prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 1 matrice A. Bočni minor drugog reda nije nula. Ovaj maloletnik je omeđen maloletnikom trećeg reda.
... Pošto nije jednaka nuli i za nju ne postoji niti jedan granični minor, rang matrice A je jednak tri.

odgovor:

Rang (A) = 3.

Pronalaženje ranga pomoću elementarnih matričnih transformacija (Gaussova metoda).

Razmotrite još jedan način pronalaženja ranga matrice.

Sljedeće matrične transformacije nazivaju se elementarnim:

• permutacija redova (ili stupaca) matrice;
• množenje svih elemenata bilo kojeg reda (kolone) matrice sa proizvoljnim brojem k koji nije nula;
• dodajući elementima bilo kojeg reda (kolone) odgovarajuće elemente drugog reda (kolone) matrice, pomnožene proizvoljnim brojem k.

Matrica B se naziva ekvivalentnom matrici A ako se B dobije iz A upotrebom konačnog broja elementarnih transformacija. Ekvivalencija matrica se označava simbolom "~", odnosno napisano A ~ B.

Pronalaženje ranga matrice korišćenjem elementarnih matričnih transformacija zasniva se na tvrdnji: ako je matrica B dobijena iz matrice A korišćenjem konačnog broja elementarnih transformacija, tada je rang (A) = rang (B).

Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz svojstava determinante matrice:

• Kada se redovi (ili stupci) matrice preurede, njena determinanta mijenja predznak. Ako je jednak nuli, onda nakon permutacije redova (kolona) ostaje jednak nuli.
• Kada se svi elementi bilo kojeg reda (stupca) matrice pomnože sa proizvoljnim brojem k koji nije nula, determinanta rezultirajuće matrice jednaka je determinanti originalne matrice pomnoženoj s k. Ako je determinanta originalne matrice jednaka nuli, tada će nakon množenja svih elemenata bilo kojeg retka ili stupca brojem k, determinanta rezultirajuće matrice također biti jednaka nuli.
• Dodavanje elementima nekog reda (kolone) matrice odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone) matrice, pomnoženih nekim brojem k, ne menja njenu determinantu.

Suština metode elementarnih transformacija sastoji se u reduciranju matrice, čiji rang treba da nađemo, na trapezoidnu (u konkretnom slučaju, na gornji trokut) pomoću elementarnih transformacija.

Zašto se to radi? Rang matrica ove vrste je vrlo lako pronaći. Jednako je broju linija koje sadrže najmanje jedan element različit od nule. A budući da se rang matrice ne mijenja tokom elementarnih transformacija, rezultirajuća vrijednost će biti rang originalne matrice.

Evo nekoliko ilustracija matrica, od kojih jednu treba dobiti nakon transformacije. Njihov oblik zavisi od reda matrice.

Ove ilustracije su šabloni u koje ćemo transformisati matricu A.

Hajde da opišemo algoritam metoda.

Pretpostavimo da treba da pronađemo rang nenulte matrice A reda (p može biti jednako n).

Dakle, . Pomnožimo sve elemente prvog reda matrice A sa. U ovom slučaju, dobijamo ekvivalentnu matricu, označimo je sa A (1):

Elementima drugog reda rezultirajuće matrice A (1) dodajte odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa. Elementima trećeg reda dodajte odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa. I tako dalje do p-te linije. Dobijamo ekvivalentnu matricu, označimo je sa A (2):

Ako su svi elementi rezultirajuće matrice, koji se nalaze u redovima od drugog do p-tog, jednaki nuli, tada je rang ove matrice jednak jedan, pa je, prema tome, rang originalne matrice jednako jednom.

Ako postoji barem jedan element različit od nule u redovima od drugog do pth, onda nastavljamo s izvođenjem transformacija. Štaviše, postupamo na potpuno isti način, ali samo s dijelom matrice A označenim na slici (2)

Ako, onda preuređujemo redove i (ili) stupce matrice A (2) tako da “novi” element postane različit od nule.