Neka je S euklidski prostor i neka je njegova kompleksizacija. Hajde da uvedemo skalarni proizvod u S koristeći formulu:
Moramo provjeriti tačnost ove definicije. Aditivnost u prvom argumentu sa fiksnim drugim argumentom je očigledna. Za provjeru linearnosti u odnosu na prvi argument, dovoljno je osigurati da je moguće izvesti složeni faktor iz prvog argumenta. Odgovarajući proračun nije težak, već prilično glomazan. Upravo:
Simetrija s involucijom je očigledna - pri preokretu mjesta, stvarni dio skalarnog proizvoda se ne mijenja, ali imaginarni dio mijenja predznak.
Konačno, ako . Dakle, kompleksizacija euklidskog prostora S postaje unitarni prostor.
Imajte na umu da su skalarni proizvod para vektora i skalarni proizvod para kompleksno konjugiranih vektora kompleksno konjugirani. Ovo izravno slijedi iz definicije skalarnog proizvoda u .
2. Operatori u Euklidskom prostoru i njihov nastavak na kompleksizaciju.
U Euklidskom prostoru, konjugirani operator za operator je određen istom formulom za bilo koje x i y kao u unitarnom prostoru. Dokaz postojanja i jedinstvenosti konjugiranog operatora ne razlikuje se od sličnih dokaza za unitarni prostor. Operatorska matrica u ortonormalnoj bazi jednostavno se transponira sa operatorskom matricom Kada se međusobno konjugirani operatori prošire od S do oni će ostati konjugirani.
stvarno,
3. Normalni operatori u Euklidskom prostoru.
Normalni operator u euklidskom prostoru S ostaje normalan kada se proširi na kompleksifikaciju prostora S. Prema tome, u S postoji ortonormalna baza svojstvenih vektora, koja dijagonalizira matricu operatora A.
Za realne svojstvene vrijednosti možemo uzeti realne svojstvene vektore, tj. one koji leže u S. Zaista, koordinate svojstvenih vektora u odnosu na bazu se određuju iz linearnih homogenih jednačina sa realnim koeficijentima u slučaju realne svojstvene vrijednosti.
Kompleks sopstvene vrijednosti pojavljuju se u parovima konjugata sa istom množinom. Odabravši ortonormalnu bazu od svojstvenih vektora koji pripadaju nekoj svojstvenoj vrijednosti, baza svojstvenih vektora za vlastitu vrijednost može se uzeti iz vektora konjugiranih s vektorima baze svojstvenih vrijednosti za X. Takva baza će biti ortonormalna. Sada hajde da rastegnemo dvodimenzionalni kompleksni podprostor na svaki par i konjugiramo vektore.
Svi ovi podprostori su invarijantni, ortogonalni jedni prema drugima i prema realnim svojstvenim vektorima koji odgovaraju stvarnim svojstvenim vrijednostima.
Kompleksni prostor koji pokrivaju vektori u očigledno se poklapa sa kompleksnim podprostorom koji se proteže realnim vektorima u i y, i stoga je kompleksizacija realnog podprostora koji se proteže sa .
jer je u euklidskom prostoru S skalarni proizvod simetričan.
Iz ove jednakosti slijedi da , tj. vektori i i v su ortogonalni, kao i . Podsjetimo se sada da je vektor normaliziran, tj. zbog ortogonalnosti i i . Dakle, tako da vektori i i v nisu normalizovani, već postaju normalizovani nakon množenja sa
Dakle, za normalan operator koji djeluje u euklidskom prostoru S, postoji ortonormalna baza sastavljena od svojstvenih vektora koji pripadaju stvarnim svojstvenim vrijednostima, i pomnoženih sa stvarnim i imaginarnim dijelovima svojstvenih vektora koji pripadaju kompleksnim svojstvenim vrijednostima. Jednodimenzionalni podprostori razdvojeni realnim svojstvenim vektorima i dvodimenzionalni podprostori razdvojeni komponentama kompleksnih svojstvenih vektora su invarijantni, pa je operatorska matrica u konstruisanoj bazi kvazidijagonalna i sastavljena od dijagonalnih blokova prvog i drugog reda. Blokovi prvog reda su stvarne svojstvene vrijednosti. Nađimo blokove drugog reda. Neka i biti svojstveni vektor koji pripada svojstvenoj vrijednosti . Onda
Potpuno iste relacije će biti sačuvane nakon množenja vektora sa Dakle, blokovi drugog reda imaju oblik
Imajte na umu da se ovi blokovi pojavljuju iz podprostora koji obuhvataju konjugirane svojstvene vektore koji pripadaju konjugiranim svojstvenim vrijednostima, tako da zajedno sa blokom napisanim pomoću svojstvene vrijednosti, nema potrebe uključiti blok koji odgovara svojstvenoj vrijednosti
4. Samopridruženi operatori u Euklidovom prostoru.
Normalni operator u euklidskom prostoru je samopridružen ako i samo ako su sve njegove vlastite vrijednosti realne. Zaista, samopridruženi operator u euklidskom prostoru ostaje samopridružen u kompleksizaciji. Dakle, postoji ortonormalna osnova u samom Euklidskom prostoru, u kojoj je njegova matrica dijagonalna. Što se tiče matrica, to znači da za bilo koju realnost simetrična matrica I postoji ortogonalna matrica C takva da je dijagonalna. Ova okolnost je razjašnjena u pogl. V u vezi s ortogonalnom transformacijom kvadratnog oblika u kanonski oblik. Bliska veza između teorije samoprilagođenih operatora u euklidskom prostoru i teorije kvadratnih oblika jasno je vidljiva iz činjenice da je skalarni proizvod izražen kroz koordinate vektora u ortonormalnoj bazi u obliku kvadratnog oblika sa matrica jednaka matrici operatora M u istoj bazi, a ortogonalnom transformacijom koordinata matrični operator i matrica kvadratnog oblika se transformišu na isti način:
jer za ortogonalnu matricu
Za samoprilagođene operatore u euklidskom prostoru vrijede ista svojstva koja su zabilježena za samoprilagođene operatore u unitarnom prostoru, a njihovi se dokazi ne razlikuju od onih u slučaju unitarnog prostora.
Stoga ćemo se ograničiti na njihovo nabrajanje.
Samopridruženi operator je pozitivno određen ako i samo ako su njegove vlastite vrijednosti pozitivne.
Pozitivno određeni kvadratni korijen može se izdvojiti iz samopridruženog pozitivno određenog operatora.
Bilo koji nedegenerirani operator može se predstaviti kao proizvod pozitivno određenog samopridruženog operatora i ortogonalnog, oba u jednom, zar ne? i to drugačijim redosledom.
Operator ortogonalne projekcije je samopridruženi idempotentni operator, i obrnuto, samopridruženi idempotentni operator je ortogonalni projekcijski operator.
5. Ortogonalni operatori.
Ortogonalni operator ima ortogonalnu matricu u bilo kojoj ortonormalnoj bazi. Kako je ortogonalni operator normalan, postoji ortonormalna baza u kojoj je matrica operatora blok-dijagonalna i sastoji se od realnih brojeva na dijagonali i blokova oblika ortogonalnosti takve matrice slijedi da je u svakom bloku od drugog reda (To se također može vidjeti iz činjenice da ortogonalni operator postaje unitaran kada se proširi na kompleksizaciju, pa su stoga sve njegove vlastite vrijednosti po modulu 1.)
Možete ga staviti. Operator na ravni sa matricom je operator za rotiranje ravnine za ugao.
Ortogonalni operator se naziva ispravno ortogonalnim ako je determinanta njegove matrice jednaka 1; ako je determinanta jednaka -1, tada se operator naziva nepravilno ortogonalnim. Redoslijed baznih vektora može se odabrati tako da dijagonala slijedi prvo 1, zatim -1, a zatim blokove drugog reda. Ako je operator zapravo ortogonalni, broj dijagonalnih elemenata jednak -1 je paran. Matrica drugog reda se smatra blokom drugog reda, što geometrijski znači rotaciju ravnine za .
Dakle, djelovanje samog ortogonalnog operatora geometrijski znači sljedeće. Prostor je podijeljen na ortogonalni zbir podprostora, od kojih je jedan raspoređen sopstvenim vektorima koji pripadaju svojstvenoj vrijednosti 1 - ovo je podprostor fiksnih vektora i nekoliko dvodimenzionalnih podprostora, od kojih je svaki rotiran za određeni ugao (općenito govoreći , različite ravnine pod različitim uglovima).
U slučaju nepravilno ortogonalnog operatora, postoji još jedan bazni vektor koji se transformiše u suprotan pod dejstvom operatora.
U ovom odeljku ćemo pokazati kako se definicije i rezultati prethodnih odeljaka prenose na slučaj realnih euklidskih prostora.
1. Opće napomene.
Razmotrimo proizvoljno -dimenzionalni realni euklidski prostor V i operator A koji djeluje u V.
Koncept linearnog operatora za slučaj realnog linearnog prostora je formulisan u potpunoj analogiji sa odgovarajućim konceptom za kompleksan prostor.
Definicija 1. Operator A se naziva linearnim ako je za bilo koji element bilo kojeg realnog broja a i P jednakost
U potpunoj analogiji sa kompleksnim prostorom, uvodi se koncept svojstvene vrijednosti i svojstvenog vektora operatora.
Važno je napomenuti da su svojstvene vrijednosti korijeni karakteristične jednadžbe operatora.
Obrnuti iskaz u realnom slučaju je istinit samo ako je odgovarajući korijen karakteristične jednadžbe realan. Samo u ovom slučaju će naznačeni korijen biti vlastita vrijednost linearnog operatora koji se razmatra.
S tim u vezi, prirodno je izdvojiti neku klasu linearnih operatora u realnom euklidskom prostoru, čiji su svi korijeni karakterističnih jednačina realni.
U gore dokazanoj teoremi 5.16, ustanovljeno je da su sve vlastite vrijednosti samopridruženog operatora realne. Osim toga, igrao se koncept samopridruženog operatora važnu ulogu u zaključcima § 6 ovog poglavlja o kvadratnim oblicima. Stoga je prirodno proširiti koncept samopridruženog operatora na slučaj realnog prostora.
Najprije uvedemo koncept operatora A konjugiranog s operatorom A. Naime, za operator A se kaže da je konjugiran s A ako za bilo koje x i y iz V vrijedi jednakost
Teorema 5.12 o postojanju i jedinstvenosti konjugiranog operatora može se bez poteškoća prenijeti na slučaj realnog prostora.
Podsjetimo da se dokaz teoreme 5.12 oslanja na koncept seskvilinearne forme. U stvarnom slučaju, umjesto seskvilinearne forme, trebali biste koristiti bilinearni oblik
Ovom prilikom, u stavu 2 § 4 gl. 5 je data odgovarajuća primjedba.
S tim u vezi, prisjetimo se definicije bilinearne forme u bilo kojem realnom, ne nužno euklidskom linearni prostor Neka je B funkcija koja pridružuje realan broj svakom uređenom paru vektora
Definicija 2. Funkcija se naziva bilinearni oblik definiran na ako su za bilo koji vektor iz i bilo koji realan broj X zadovoljeni sljedeći odnosi:
Važnu ulogu u ovom dijelu imat će poseban prikaz bilinearne forme u obliku
gdje je A neki linearni operator. Odgovarajuća teorema (teorema 5.11) o sličnom predstavljanju seskvilinearne forme u kompleksnom prostoru zasnovana je na zaključcima Leme § 4 ovog poglavlja o posebnom predstavljanju linearne forme. Na kraju ovog paragrafa napomenuto je da je ova lema tačna iu realnom prostoru. Napominjemo samo da se u dokazu leme izbor elemenata mora izvršiti ne prema formuli (5.41), već po formuli gdje je dat linearni oblik u realnom prostoru.
U § 6 ovog poglavlja uvedeni su hermitski oblici. Hermitski oblik je seskvilinearni oblik u kompleksnom prostoru, karakteriziran relacijom (crta iznad B znači da je uzet kompleksni konjugat od B).
U slučaju realnog prostora, simetrične bilinearne forme služe kao analog hermitskih oblika. Ovaj oblik karakteriše omjer
Bilinearni oblik definiran na linearnom prostoru naziva se kososimetričan ako je za bilo koji vektor iz relacije zadovoljen. Očigledno, za svaki bilinearni oblik funkcije
su, respektivno, simetrični i koso-simetrični bilinearni oblici. Jer tada dobijamo sljedeću izjavu:
Bilo koji bilinearni oblik može se predstaviti kao zbir simetričnog i koso-simetričnog bilinearnog oblika.
Lako je vidjeti da je takav prikaz jedinstven.
Dokazaćemo sljedeću teoremu o simetričnim bilinearnim oblicima (ova teorema služi kao analogna teoremi 5.25 o hermitskim oblicima).
Teorema 5.33. Da bi bilinearni oblik definiran na svim mogućim vektorima x i y realnog euklidskog prostora V bio simetričan, potrebno je i dovoljno da linearni operator A koji se pojavljuje u predstavi (5.113) bude samospojen.
Dokaz. Ako je A samopridruženi operator, onda, koristeći svojstva skalarnog proizvoda, dobijamo
Dakle, relacija (5.114) je zadovoljena, tj. bilinearni oblik je simetričan.
Ako je oblik simetričan, tada su relacije važeće
Prema tome, operator A je samopridružen. Teorema je dokazana.
Hajde da uvedemo koncept matrice linearnog operatora A. Neka je neka baza u -dimenzionalnom realnom linearnom prostoru. Hajde da stavimo
Zatim, kao u složen slučaj, nije teško pokazati da ako onda . Vektorske komponente imaju sljedeći prikaz:
Matrica se naziva matrica linearnog operatora A u bazi
Na isti način kao što je učinjeno u § 2 ovog poglavlja, može se dokazati da veličina ne zavisi od izbora baze i da je determinanta operatora A ispravno uvedena.
Karakteristična jednačina koja odgovara operatoru A je jednačina polinoma na lijevoj strani ove jednačine, koja se naziva karakteristični polinom operatora A.
Dokažimo sada teoremu o korijenima karakterističnog polinoma samopridruženog operatora u realnom euklidskom prostoru.
Teorema 5.34. Svi korijeni karakterističnog polinoma samopridruženog linearnog operatora A u Euklidovom prostoru su realni.
Dokaz. Neka je korijen karakteristične jednadžbe
samopridruženi operator A.
Fiksiramo neku bazu u V i označavamo sa - elemente matrice operatora A u ovoj bazi (napomenimo da su - realni brojevi).
Tražićemo rešenje različito od nule za sledeći sistem linearnih homogenih jednačina u odnosu na
Pošto je determinanta sistema (5.116) jednaka (podsjetimo se da determinanta matrice linearne transformacije ne zavisi od izbora baze i, prema (5.115), ova determinanta jednaka nuli), tada sistem (5.116) homogenih linearnih jednadžbi ima rješenje različito od nule
Zamjenom ovog rješenja u desnu i lijevu stranu sistema (5.116), uzimajući to u obzir i potom odvajajući realne i imaginarne dijelove rezultirajućih relacija, nalazimo da skupovi realnih brojeva zadovoljavaju sledeći sistem jednadžbe:
Razmotrimo u ovoj osnovi vektore x i y sa koordinatama, respektivno. Tada se relacije (5.117) mogu prepisati u formu
Pomnožimo prvu od dobijenih relacija skalarno sa y, a drugu sa x. Očigledno, dobijamo jednakosti
Kako je operator A samo-adjogentan, onda oduzimanjem relacija (5.118) dobijamo jednakost
Ali (ako bi onda, dakle, rješenje bilo nula, dok je po konstrukciji ovo rješenje različito od nule). Dakle, pošto je imaginarni dio korijena karakteristične jednadžbe (5.115), onda je, očigledno, realan broj. Teorema je dokazana.
Kao iu složenom slučaju, za samopridruženi operator izjava postojanja je tačna ortonormalna osnova, koji se sastoji od sopstvenih vektora ovog operatora (analog teoreme 5.21). Dokažimo ovu tvrdnju.
Teorema 5.35. Svaki samopridruženi linearni operator A koji djeluje u n-dimenzionalnom realnom euklidovom prostoru V ima ortonormalnu osnovu vlastitih vektora.
Dokaz. Neka je stvarna svojstvena vrijednost operatora A, i neka je jedinični svojstveni vektor koji odgovara ovoj svojstvenoj vrijednosti
Označimo sa -dimenzionalnim podprostorom prostora V, ortogonalnim na Očigledno, - invarijantni podprostor prostora V (odnosno, ako je onda ). Zaista, neka je onda budući da je operator A samo-adjogentan - vlastita vrijednost A, dobijamo
Linearni samopridruženi operatoriPrijenosne Windows aplikacije na Bodrenko.com
§ 5. Linearni samopridruženi operatori
u Euklidskom prostoru
.
1. Koncept konjugiranog operatora. Mi ćemo razmotriti linearni operatori u konačno-dimenzionalnom euklidskom prostoru V. Definicija 1. Kaže se da je operator A* iz L(V, V) konjugiran s linearnim operatorom A ako je za bilo koje x i y iz V relacija
(Ax, y) = (x, A*y). (5.51)
Lako je potvrditi da je operator A*, konjugiran sa linearnim operatorom A, sam linearni operator. Ovo proizilazi iz očigledne relacije
vrijedi za sve elemente x, y 1, y 2 i sve kompleksne brojeve α i β.
Dokažimo sljedeću teoremu.
Teorema 5.12. Svaki linearni operator A ima jedinstveni adjoint.
Dokaz. Očigledno, skalarni proizvod (Ax, y) je seskvilinearni oblik (vidi Poglavlje 4, § 3, paragraf 1 i definiciju seskvilinearnog oblika). Prema teoremi 5.11, postoji jedinstveni linearni operator A* takav da se ovaj oblik može predstaviti u obliku (x, A*y). Dakle, (Ax, y) = x, A*y.
Prema tome, operator A* je konjugat operatora A. Jedinstvenost operatora A* proizilazi iz jedinstvenosti reprezentacije seskvilinearnog operatora u obliku E.44). Teorema je dokazana.
U nastavku, simbol A* će označavati operator konjugiran sa operatorom A.
Bilješka sljedeća svojstva konjugirani operatori:
Dokazi svojstava 1°-4° su elementarni i ostavljamo ih čitaocu. Dajemo dokaz svojstva 5°. Prema definiciji proizvoda operatora, vrijedi relacija (AB)x = A(Bx). Koristeći ovu jednakost i definiciju konjugiranog operatora, dobijamo sljedeći lanac relacija:
((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y) .
Dakle, ((AB)x, y) = (x, (B*A*)y). Drugim riječima, operator B*A* je konjugiran sa operatorom AB. Utvrđena je valjanost svojstva 5°.
Komentar. Koncept konjugiranog operatora za realni prostor predstavljen je na potpuno sličan način. Zaključci ove tačke i svojstva konjugiranih operatora važe i za ovaj slučaj (u ovom slučaju, svojstvo 3° je formulisano na sledeći način: (λA)* = λA*).
2. Samopridruženi operatori. Osnovna svojstva.
Definicija 2. Linearni operator A iz L(V, V) naziva se samoprilagođen ako je jednakost
A* =A.
Slično se definira i samopridruženi operator u realnom prostoru.
Najjednostavniji primjer samopridruženog operatora je operator identiteta I (vidi svojstvo 1° spojenih operatora u prethodnom paragrafu).
Koristeći samoprilagođene operatore, možete dobiti poseban prikaz proizvoljnih linearnih operatora. Naime, tačna je sljedeća tvrdnja.
Teorema 5.13. Neka je A linearni operator koji djeluje u kompleksnom Euklidovom prostoru V. Tada je reprezentacija A = A R + iA Ja, gde A R i A I su samopridruženi operatori, koji se nazivaju realni i imaginarni dijelovi operatora A, respektivno.
Dokaz. Prema svojstvima konjugiranih operatora 2°, 3° i 4° (vidi. prethodna tačka ovog stava) operateri A R = (A + A*)/2 i A I = (A - A*)/2i- samospojni.
Očigledno, A = A R + iA I Teorema je dokazana.
Sljedeća teorema pojašnjava uslove za samospregnutost proizvoda samoprilagođenih operatora. Reći ćemo da operatori A i B komutiraju ako AB = BA.
Teorema 5.14. Da bi proizvod AB samospojnih operatora A i B bio samospojni operator, potrebno je i dovoljno da oni komutiraju.
Dokaz. Budući da su A i B samopridruženi operatori, onda, prema svojstvu konjugiranih operatora za 5° (vidi paragraf 1 ovog odjeljka), vrijede sljedeće relacije:
(AB)* = B*A* = BA (5,52)
Stoga, ako AB = BA, To ( AB)* = AB, tj. operator AB je samopridružen. Ako je AB samopridruženi operator, onda AB = (AB)*, a zatim, na osnovu (5.52), AB = BA. Teorema je dokazana.
Sljedeće teoreme utvrđuju brojna važna svojstva samopridruženih operatora.
Teorema 5.15. Ako je operator A samospojen, onda za bilo koji X ϵ V skalarni proizvod (ah, x)- pravi broj.
Dokaz. Valjanost teoreme proizlazi iz sljedeće osobine skalarnog proizvoda u kompleksnom euklidskom prostoru 
i definicije samopridruženog operatora (Podsjetite se da ako je kompleksni broj jednak njegovom konjugatu, onda
ovaj broj je stvaran.)
Teorema 5.16. Vlastite vrijednosti samopridruženog operatora su realne.
Dokaz. Neka je λ vlastita vrijednost samoprilagođenog operatora A. Prema definiciji svojstvene vrijednosti operatora A (vidi definiciju 2, § 3 ovog poglavlja), postoji vektor x koji nije nula
takav da je Ax = λx. Iz ove relacije proizilazi da se realni (na osnovu teoreme 5.15) skalarni proizvod (Ax, x) može predstaviti u obliku 2)
( 2) Podsjetimo da je simbol ||x|| označava normu elementa x.)
Pošto ||x|| i (Ax, x) su realni, onda je, očigledno, λ realan broj. Teorema je dokazana.
Sljedeća teorema pojašnjava svojstvo ortogonalnosti vlastitih vektora samopridruženog operatora.
Teorema 5.17. Ako je A samopridruženi operator, tada su svojstveni vektori koji odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima ovog operatora ortogonalni.
Dokaz. Neka su λ 1 i λ 2 različite vlastite vrijednosti (λ 1 ≠ λ 2) samopridruženog operatora A, i neka su x 1 i x 2 odgovarajući svojstveni vektori. Tada vrijede relacije Ax 1 = λ 1 x 1, Ax 2 = λ 2 x 2. Stoga su skalarni proizvodi (Ax 1, x 2) i (x 1, Ax 2) jednaki sljedećim izrazima 3:
3) Pošto su vlastite vrijednosti samopridruženog operatora realne, onda
Kako je operator A samospojen, skalarni produkti (Ax 1, x 2) i (x 1, Ax 2) su jednaki, pa stoga iz posljednje relacije oduzimanjem dobijamo jednakost
Kako je λ 1 ≠ λ 2, onda iz posljednje jednakosti slijedi da je skalarni proizvod (x 1* x 2) jednak nuli, tj. ortogonalnost sopstvenih vektora x 1 i x 2 Teorema je dokazana.
3. Norma linearnog operatora. Neka je A linearni operator koji preslikava euklidski prostor V u isti prostor. Hajde da uvedemo koncept norme operatora A.
Definicija 3. Norma ||
A ||
linearni operator A je broj definisan relacijom 1)
1) Podsjetimo, iz toga slijedi da ovo predstavlja kontinuirana funkcija x, koji na zatvorenom skupu ||x|| = 1 dostiže konačnu najveću vrijednost.
Iz definicije norme linearnog operatora slijedi sljedeća očigledna nejednakost:
(da bismo to dokazali, dovoljno je koristiti relaciju Ax = 
Iz relacije E.54) slijedi da ako ||A|| = O, tada je operator A nula.
Norma samopridruženog operatora A može se odrediti i na drugi način. Naime, tačna je sljedeća tvrdnja:
Ako je A samopridruženi operator, onda je norma uvedena gore ||A|| operator A je jednak
Dokaz. Za bilo koji x iz V vrijedi nejednakost Cauchy-Bunyakovsky (vidi paragraf 2, §3, poglavlje 4)
Iz nje i iz nejednakosti (5.54) dobijamo sljedeću nejednakost:
Stoga broj
zadovoljava relaciju
Imajte na umu da iz jednakosti 
i definicija broja μ (vidi 5.56)) slijedi sljedeća nejednakost:
Okrenimo se sada sljedećem očiglednom identitetu:
(u ovom identitetu simbol Re (Ax, y) označava pravi dio kompleksni broj(Ax, y), sam identitet lako slijedi iz svojstava skalarnog proizvoda, vidi paragraf 1, §3, poglavlje 4). Skretanje lijevo i desno
dijelova ovog identiteta po modulu, koristeći svojstvo modula zbira i nejednakosti E.58), dobijamo sljedeće odnose 1) :
1 ) Koristili smo definiciju norme elementa u kompleksnom euklidskom prostoru.
Dakle, za ||x|| = ||y|| = 1 dobijamo nejednakost
Uz pretpostavku ove nejednakosti 
(očigledno ||u|| = 1) i uzimajući u obzir da je broj (Ax, Ax) = ||Ax|| 2 je stvarno (tako da dobijamo
Odavde, prema nejednakosti (5.53), nalazimo 
Da bismo završili dokaz, ostaje da se dobijena nejednakost uporedi sa nejednakošću (5.57) i koristi se definicija broja µ (vidi 5.56)).
4. Dalja svojstva samopridruženih operatora. U ovom dijelu ćemo dokazati niz važnih svojstava linearnih operatora vezanih za koncept norme. Prvo, uspostavljamo neophodan i dovoljan uslov da operator bude samoprilagođen. Dokažimo sljedeću teoremu.
Teorema 5.18. Da bi linearni operator A bio samospojen, potrebno je i dovoljno da 2)
2 ) Simbol Im (Ax, x) označava imaginarni dio kompleksnog broja (Ax, x). Jednakost Im (Ax, x) = 0 znači da je broj (Ax, x) realan.
Dokaz. Prema teoremi 5.13, proizvoljni linearni operator A može se predstaviti kao
samoprilagođeni operatori. Zbog toga
Štaviše, prema teoremi 5.15, za bilo koje x brojevi i su realni. Prema tome, ovi brojevi su respektivno jednaki realnom i imaginarnom dijelu kompleksnog broja (Ax, x):
Pretpostavimo da je A samopridruženi operator. Prema teoremi 5.15 u ovom slučaju (Ax, x) je realan broj,
i stoga je Im(Ax, x) = 0. Dokazana je neophodnost uslova teoreme.
Hajde da dokažemo dovoljnost uslova teoreme.
Neka je Im(Ax, x) = (A I x, x) = 0. Slijedi da je ||A I || = 0, tj. A I = 0. Prema tome, A = A R, gdje je A R samopridruženi operator.
Teorema je dokazana.
Sljedeće izjave pojašnjavaju neka svojstva svojstvenih vrijednosti samopridruženih operatora.
Lemma. Bilo koja svojstvena vrijednost X proizvoljnog linearnog samopridruženog operatora A u euklidskom prostoru jednaka je skalarnom proizvodu (Ax, x), gdje je x neki vektor, pogodan
zadovoljavajući uslov ||x|| = 1:
Dokaz. Kako je λ vlastita vrijednost operatora A, postoji vektor z koji nije nula takav da
Uz pretpostavku x = z/||z|| (očigledno ||x|| = 1), prepisujemo 5.60) na sljedeći način: Ax = λ x, ||x|| = 1. Odavde dobijamo relacije tj. 5.59). Lema je dokazana.
Posljedica. Neka je A samopridruženi operator i λ bilo koja svojstvena vrijednost ovog operatora. Neka dalje
Važeće sljedeće nejednakosti:
Napomena 1. Pošto je skalarni proizvod (Ax, x) kontinuirana funkcija od x, onda na zatvorenom skupu ||x|| = 1 ova funkcija je ograničena i dostiže svoje tačne rubove m i M.
Napomena 2. Prema teoremi 5.16, vlastite vrijednosti samopridruženog operatora su realne. Dakle, nejednakosti 5.62) imaju smisla.
Dokazi istrage. Kako bilo koja svojstvena vrijednost λ zadovoljava relaciju (5.59), onda je, očito, svaka svojstvena vrijednost sadržana između tačnih rubova m i M skalarnog proizvoda (Ax, x). Dakle, nejednakosti (5.62) vrijede.
Dokazaćemo da su brojevi m i M definisani relacijama (5.61) najmanja i najveća vlastita vrijednost samoprilagođenog operatora A. Prvo, provjerimo valjanost sljedeće tvrdnje.
Teorema 5.19. Neka je A samopridruženi operator i, pored toga, (Ax, x) ≥ O za bilo koje x. Tada je norma ||A|| jednaka najvećoj svojstvenoj vrijednosti ovog operatora 1)
1 ) Pošto postoji konačan broj svojstvenih vrijednosti i one su realne, najveća od njih se može naznačiti.
Dokaz. To smo već primijetili (vidi izjavu prethodnog stava).
Pošto je (Ax, x) ≥ O, onda prema napomeni 1 ovog paragrafa za neke 
Okrećući se definiciji norme i koristeći upravo napisane jednakosti, dobijamo relacije 2)
Dakle, ili, inače, je vlastita vrijednost operatora A. Činjenica da je λ najveća svojstvena vrijednost slijedi iz upravo ustanovljenog korollera leme ovog paragrafa. Teorema je dokazana.
Dokažimo sada da su brojevi m i M (vidi 5.61)) najmanja i najveća vlastita vrijednost samopridruženog operatora A.
Teorema 5.20. Neka je A samoprilagođen operator, a m i M tačna lica (Ax, x) na skupu ||x|| = 1. Ovi brojevi predstavljaju najmanju i najveću svojstvenu vrijednost operatora A.
Dokaz. Očigledno, dovoljno je dokazati da su brojevi m i M vlastite vrijednosti operatora A. Tada iz nejednačina 5.62) odmah slijedi da su m i M najmanja, odnosno najveća vlastita vrijednost.
Hajde da prvo dokažemo da je M sopstvena vrednost. Da biste to učinili, razmotrite samopridruženi operator B = A - mI. Jer
tada operator B zadovoljava uslove iz teoreme 5.19, pa prema tome norma ||B|| ovog operatora jednaka je najvećoj svojstvenoj vrijednosti. Na drugoj strani,
Dakle, (M - m) je najveća vlastita vrijednost operatora B. Prema tome, postoji vektor x 0 različit od nule takav da
Jer
Zamjenom ovog izraza Bx 0 u lijevu stranu jednakosti (5.63), nakon jednostavnih transformacija dobijamo relaciju Ax 0 = Mx 0 - Dakle, M je vlastita vrijednost operatora A. Uvjerimo se sada da je broj m je također vlastita vrijednost operatora A.
Razmotrimo samopridruženi operator B = -A. Očigledno je da
Prema upravo izvršenom dokazu, broj je m predstavlja sopstvenu vrijednost operatora B. Pošto je B = -A, tada će m biti vlastita vrijednost operatora A. Teorema je dokazana.
Sljedeća teorema pojašnjava važno svojstvo vlastitih vektora samopridruženog operatora.
Teorema 5.21. Za svaki samopridruženi linearni operator A koji djeluje u n -dimenzionalni euklidski prostor V, postoji n linearno nezavisni parno ortogonalni i jedinični sopstveni vektori.
Dokaz. Neka λ 1 - maksimalna vlastita vrijednost operatora
Označimo sa e 1 sopstveni vektor koji odgovara λ 1 i koji zadovoljava uslov ||e 1 || = 1 (mogućnost njegovog izbora slijedi iz dokaza leme ovog odjeljka).
Označimo sa V 1 (n - 1)-dimenzionalni podprostor prostora V, ortogonan na e 1 Očigledno, V 1 je invarijantni podprostor operatora A (tj. ako je x ϵ V 1, onda je Ax ϵ V 1. Zaista , neka je x ϵ V 1 (tj. (x,e 1 =0). Tada je 1)
1
)
Koristili smo samoprilagođeno svojstvo operatora (Ax, e 1
) = (x, Ae 1
)
i činjenica da e 1
- sopstveni vektor operatora: 
Prema tome, Ax je element V 1 , a samim tim i V 1 je invarijantni podprostor operatora A. Ovo nam daje pravo da razmotrimo operator A u podprostoru V 1 . U ovom podprostoru A će predstavljati samopridruženi operator. Posljedično, postoji maksimalna vlastita vrijednost A 2 ovog operatora, koja se može pronaći pomoću relacije 1 )
1 ) Simbol označava ortogonalnost vektora e 1 i e 2
Osim toga, možete odrediti vektor takav da 
Okrećući se dalje (n - 2)-dimenzionalnom podprostoru V 2, ortogonalnom na vektore e 1 i e 2, i ponavljajući gornje rezonovanje, konstruišemo svojstveni vektor e z, ||e z || = 1, ortogonalni e 1 i e 2. Raspravljajući dalje na isti način, sukcesivno ćemo pronaći n međusobno ortogonalnih vlastitih vektora e 1, e 2,..., e n, koji zadovoljavaju uvjet
Napomena 1. U budućnosti ćemo se složiti da numerišemo sopstvene vrednosti samopridruženog operatora u opadajućem redosledu, uzimajući u obzir ponavljanje, tj. više sopstvenih vrednosti. Gde
a odgovarajući sopstveni vektori e 1, e 2,..., e n se mogu smatrati međusobno ortogonalnim i zadovoljavajući uslov
dakle,
Napomena 2. Iz obrazloženja u dokazu teoreme slijedi da
Ova relacija se takođe može napisati u obliku
linearni raspon vektora e 1, e 2,..., e m. Valjanost napomene proizlazi iz činjenice da je (x, x) = ||x|| 2 i stoga
gdje je norma elementa x/||x|| jednako 1.
Neka ∑ m je skup svih m-dimenzionalnih podprostora prostora V. Sljedeće važno minimaksno svojstvo svojstvenih vrijednosti je tačno.
Teorema 5.22. Neka je A samopridruženi operator i 
su njegove sopstvene vrednosti, numerisane redosledom navedenim u napomeni 1. Zatim
PREDAVANJE 9
Operatori u euklidskim prostorima
Linearni operatori koji rade u euklidskim prostorima imaju niz posebnih svojstava koja su vrlo važna za primjenu linearne algebre u različitim predmetnim oblastima. Fokusiraćemo se samo na glavna pitanja ove teorije, a posebno ćemo proučavati teoriju linearnih operatora isključivo u realnim prostorima sa ortonormiranim bazama, odnosno u prostoru. Osim toga, operatore ćemo smatrati transformacijama, odnosno proučavat ćemo operatore 
.
Konjugirani operator
. Hajde da razmotrimo koncept operatora, povezan sa operaterom 
, djelujući u euklidskom prostoru 
.
Definicija 9.1. Neka 
– neki linearni operator. Operater 
pozvaopovezan sa operaterom 
, Ako 
uslov je ispunjen
.
(9.1)
Teorema 9.1.
Za bilo koji linearni operator 
postoji jedinstveni konjugirani operator 
, koji je takođe linearan.
Dokaz. 1) Neka operater 
postoji, dokažimo njegovu jedinstvenost. Da biste to učinili, pretpostavite da ovaj operator nije jedini, odnosno da postoje, na primjer, dva operatora 
I 
, zadovoljavajući definiciju 9.1. Tada prema formuli (9.1) imamo:
,
,
(9.2)
odakle nam to
Zbog činjenice da je u definiciji 9.1 (u formuli (9.1)) vektor 
proizvoljno, stavljamo u jednakost (9.3)
,
.
Pošto skalarni proizvod zadovoljava aksiom nedegeneracije, iz posljednje jednakosti imamo
odakle, zbog proizvoljnosti vektora 
sledi to 
i dokazana je jedinstvenost konjugiranog operatora.
2) Dokažimo linearnost konjugiranog operatora. Koristeći definiciju (9.1) i svojstva skalarnog proizvoda, dobijamo:
,
I 
A) 
;
Iz poređenja formula a) i b) slijedi da je konjugirani operator linearan 
, naime:
.
3) Dokažimo sada postojanje konjugiranog operatora. Popravimo to u svemiru 
kanonska osnova 
, i napišite vektore 
I 
u obliku njihovih proširenja duž kanonske osnove:
;
.
(9.4)
Razmotrimo izračun lijeve i desne strane (9.1):
;
.
Upoređujući posljednje dvije jednakosti uzimajući u obzir (9.1), dobijamo:
.
(9.5)
Dakle, ako je operator matrica 
izgleda kao
,
tada matrica konjugiranog operatora ima oblik
.
(9.6)
Iz (9.6) slijedi da je matrica konjugiranog operatora 
u bilo kojoj ortonormalnoj osnovi 
nalazi se transponovanjem operatorske matrice 
, što dokazuje postojanje konjugiranog operatora. 
Dokažimo teoremu o svojstvima operatora konjugiranog s linearnim operatorom.
Teorema 9.2.
Sljedeća svojstva konjugiranog operatora su važeća: 
:
I 
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
(9.7)
5)
.
Dokaz. Dokažimo prvu relaciju. Neka 
je proizvoljan linearni operator. Za konjugirani operator 
konjugat će biti operator 
. onda: 
Posljednja jednakost vrijedi za bilo koji vektor 
, to je,
,
odakle slijedi dokaz prvog svojstva.
Dokažimo drugu relaciju. Da biste to učinili, razmotrite sljedeći lanac transformacija:
Iz poređenja lijeve i desne strane jednakosti (9.8) slijedi dokaz drugog svojstva.
Preostala svojstva dokazuju se na sličan način. 
Samopridruženi operatori . U aplikacijama veliki značaj imati samoprilagođeni operatori .
Definicija 9.2. Linearni operator 
pozvaoself-adjoint
, Ako 
.
Iz definicije slijedi da samopridruženi operator zadovoljava relaciju
.
(9.9)
Pošto je matrica konjugovanog operatora 
jednaka transponovanoj matrici operatora 
, tada matrični elementi samopridruženog operatora zadovoljavaju jednakost 
, to je elementi matrice samopridruženog operatora, simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu, jednaki su. Takva matrica se zove simetrično
. Iz tog razloga, samopridruženi operatori 
često zovu simetrično
.
Samopridruženi operatori imaju niz svojstava koja je lako dokazati korištenjem definicije i svojstava adjoint operatora.
1. Jedan operater 
je samodopadna.
Dokaz. Očigledno,
.
2. Zbir samopridruženih operatora je samopridruženi operator.
Dokaz. Ako 
I 
, To
.
3. Kompozicija samopridruženih operatora je samopridruženi operator ako i samo ako su ovi operatori komutativni.
Dokaz. Podsjetimo da se operatori nazivaju komutativnim if
,
,
Gdje 
– nulti operator. Ako 
,
, To
,
što je jednako 
ako i samo ako su operatori komutativni. 
4. Operater
, inverzno nedegeneriranom samopridruženom operatoru 
takođe samopridruženi operator.
Dokaz. Zaista, ako 
, To
.
5. Ako 
je samopridruženi operator, onda je proizvod ovog operatora nekim realnim brojem 
je samopridruženi operator.
Dokaz. Od treće osobine (9.7) imamo:
.
Teorema 9.3.
Vlastiti vektori samopridruženog operatora 
, djelujući u svemiru 
, koje odgovaraju parovima različitim svojstvenim vrijednostima, međusobno su ortogonalne.
:
I 
, i 
. Pošto je operator samospojen, onda 
. Dakle, na lijevoj i desnoj strani imamo:
;
.
Gdje je na snazi 
dobijamo: 
.
Sljedeća važna teorema vrijedi za samoprilagođene operatore.
Teorema 9.4.
Svi korijeni karakterističnog polinoma samopridruženog operatora 
pravi i drugačiji.
Dokaz. IN opšti slučaj dokaz teoreme je prilično težak. Iz tog razloga predstavljamo dokaz za slučaj operatera 
. Dakle, neka je zadan neki linearni operator 
sa matricom 
. Tada karakteristična jednadžba ovog operatora ima oblik:
.
Proširujući determinantu, dobijamo karakterističnu jednačinu:
Rješenje ove jednadžbe nalazi se pomoću dobro poznate formule:
.
Diskriminant ima oblik:
Prvi član je očito uvijek pozitivan, a drugi je pozitivan, jer 
. Stoga su korijeni karakteristične jednadžbe realni i različiti. 
Teorema 9.5.
Neka 
– samoprilagođeni operater. Zatim u svemir 
možete odabrati ortonormalnu osnovu
tako da je operator matrica 
u ovoj osnovi je bila dijagonalna.
Dokaz. Prema teoremi 9.4, svi korijeni karakterističnog polinoma samoprilagođenog operatora su realni i različiti, pa su prema teoremi 9.3 sopstveni vektori samopridruženog operatora međusobno ortogonalni. Sistem sopstvenih vektora se očigledno može normalizovati. Ali onda ovi vektori čine osnovu prostora 
, u kojem je operator operator jednostavne strukture, odnosno ima dijagonalnu matricu. 
Ortogonalni operatori i njihova svojstva, geometrijska interpretacija
. Razmotrimo definiciju i svojstva važne klase operatora koji djeluju u prostoru 
.
Definicija 9.3. Operater 
, djelujući u svemiru
, zvaoortogonalno
, ako čuva tačkasti proizvod, tj
.
(9.10)
Iz definicije proizilazi da ortogonalni operator čuva norme (dužine) vektora i uglove između njih .
Lema 9.1.
Operater 
.
Dokaz. Neka 
,
gdje imamo: 
. Believing 
, dobijamo:
.
Neka 
. tada imamo:
.
Očigledno je da ortogonalni operator je nedegenerisan , odnosno njena matrica ima inverznu matricu.
Teorema 9.6 (o svojstvima ortogonalnih operatora).
Ortogonalni operatori 
imaju sljedeća svojstva:
1)operator identiteta je ortogonan;
2)kompozicija ortogonalnih operatora je također ortogonalni operator;
3)inverzni operator ortogonalnog operatora je također ortogonan;
4)Ako 
je ortogonalni operator, zatim operator 
je ortogonalno ako i samo ako 
.
Dokaz. 1. Dokaz ovog svojstva je gotovo očigledan: 
.
2. Neka 
I 
– ortogonalni operatori. onda:
3. Neka 
ortogonalni operator. Hajde da razmotrimo 
:
.
4. Neka 
– ortogonalni operator. Onda
.
Teorema 9.7 (kriterijum za ortogonalnost operatora).
Operater 
, djelujući u svemiru 
, je ortogonalno ako i samo ako uzima barem jednu ortonormalnu bazu na ortonormalnu bazu.
Dokaz. Neka 
– ortogonalni operator. Zatim on, čuvajući skalarni proizvod, transformira ortonormalnu bazu u ortonormalnu bazu.
Pustite sada operatera 
prevodi ortonormalnu bazu
u novu ortonormalnu osnovu
.
Onda 
.
.
Razmotrimo svojstva matrice ortogonalnih operatora.
Teorema 9.8.
Sistem vektora kolona (redova) ortogonalne operatorske matrice 
u bilo kojoj ortonormalnoj osnovi
je ortonormalno.
Dokaz. Neka 
– neki ortogonalni operator i 
– neka ortonormalna osnova. Prema teoremi 9.9, sistem slika baznih vektora je sam po sebi ortonormalan, tj 
. Dakle, za kolone operatorske matrice
,
(kao vektori aritmetičkog prostora 
) imamo:
.
(9.11)
Slično svojstvo vrijedi i za redove matrice 
:
.
(9.12)
Teorema 9.9.
Ortogonalna operatorska matrica 
u bilo kojoj ortonormalnoj bazi zadovoljava uslov
.
(9.13)
Dokaz. Neka 
– ortogonalni operator. Pošto su operatorske matrice 
I 
povezani odnosima
,
odakle za matricu operatora 
dobijamo (9.11).
Obrnuto, neka je zadovoljena relacija (9.11). Onda 
, iz čega proizlazi da je operator 
je ortogonalno. 
Definicija 9.4. Matrix 
, za koju imovina pripada(9.13),naziva se ortogonalnim.
Predstavimo neke teoreme o svojstvima ortogonalnog operatora.
Teorema 9.10.
Vlastite vrijednosti ortogonalnog operatora 
delovanje u svemiru 
, su jednaki 
.
Dokaz. Neka 
. Onda
Pošto po definiciji 
, To 
.
Teorema 9.11.
Determinanta ortogonalne matrice 
jednaki
.
Dokaz. Za ortogonalnu matricu jednakost 
. Zbog toga 
. Onda
.
220400 Algebra i geometrija Tolstikov A.V.
Predavanja 15. Linearni operatori u euklidskim prostorima
Plan
1. Konjugirani operatori euklidskih prostora i njihova svojstva.
2. Samopridruženi operatori.
3. Ortogonalne matrice i njihova svojstva.
4. Ortogonalni operatori i njihova svojstva.
1. Kurs analitičke geometrije i linearne algebre. M.: Nauka, 1984.
2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementi linearne algebre i analitičke geometrije. 1997.
3. Voevodin V.V. Linearna algebra.. M.: Nauka 1980.
4. Zbirka zadataka za fakultete. Linearna algebra i osnove matematička analiza. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.
5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Linearna algebra u pitanjima i problemima. M.: Fizmatlit, 2001.
6. Voevodin V.V. Linearna algebra. M.: Nauka, 1980.
1. Konjugirani operatori euklidskih prostora i njihova svojstva. Neka E- Euklidski prostor nad poljem realnih brojeva R , na kojoj je skalarni proizvod vektora ( a ,b ), a ,b Î E.
Definicija 1. Linearni operator A* Euklidski prostor E pozvao konjugirati linearni operator A* prostor E, ako za bilo koje vektore a ,b Î E ispunjen je uslov:
(Aa ,b ) = (a ,A*b ). (1)
Lema 1.Ako je proizvod datog nizaU u bilo koju kolonuY je nula, a zatim linijaU zero. Ako je proizvod bilo kojeg nizaX t on data kolona U je jednako nuli, a zatim stupacnull.
Dokaz. Neka U= (u 1 , u 2 ,…,u n), Y= (y 1 , y 2 ,…,y n)t. Prema uslovima teoreme, za bilo koje brojeve y 1 , y 2 ,…,y n U Y= (u 1 , u 2 ,…,u n)(y 1 , y 2 ,…,y n)t = u 1 y 1 + u 2 y 2 +…+u n y n=0. Ako svi brojevi y 1 , y 2 ,…,y n jednake su 0, osim y j, što je = 1, onda to dobijamo u j (i = 1,2,…,n). Zbog toga U=0. Druga tvrdnja teoreme dokazuje se na sličan način.
Teorema 1.Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - osnova euklidskog prostoraE, A - matrica linearnog operatora A u odnosu na osnovu v, G = (g ij) - osnovna Gram matrica v. Ako je za linearni operatorA postoji konjugirani operatorA * , tada je jednakost zadovoljena
A t G = G A *. (2)
Dokaz. Neka X I Y vektorske koordinatne kolone a ,b Î E u odnosu na osnovu v, A I A* linearne operatorske matrice A I A * u odnosu na osnovu v. Onda
(Aa , b ) =(v(SJEKIRA), vY) = (SJEKIRA)t G.Y., (a ,A*b ) = X t G A * Y.(3)
Odavde, koristeći formulu (1), dobijamo jednakost ( SJEKIRA)t G.Y.= X t G A * Y, važi za bilo koji vektor kolona X I Y. Od vektora a ,b su proizvoljni, onda po lemi 1 dobijamo A t G = G A *.
Teorema 2.Ako je osnovav = (v 1 , v 2 ,…, v n) Euklidski prostorE ortonormalno, dakle matricaA* konjugirani linearni operatorA* transponuje se u matricuAoperator A ;
A t = A*. (4)
Dokaz. Pošto je Gram matrica ortonormalne baze identičnost, G = E, tada (4) slijedi iz (2) .
Zaključak 1. Za bilo kog operateraA jednakost je istinita (A* ) * = A .
Dokaz. Prema formuli (4) za matrice linearnih operatora ( A* ) * I A u ortonormalnoj osnovi imamo ( A*) * = (A t)t = A. Zbog toga ( A* ) * = A .
Zaključak 2. Za bilo kog operateraA , B jednakost je istinita (AB ) * = B*A* .
Dokaz. Prema formuli (4) za matrice linearnih operatora A ,B I A* , B* u ortonormalnoj osnovi imamo ( AB) * = (AB)t = B t A t = B * A*. Zbog toga ( AB ) * = B*A* .
Zaključak 3. Vlastite vrijednosti linearnih operatoraA IA* match.
Dokaz. Kako se karakteristični polinomi matrica poklapaju, poklapaju se i vlastite vrijednosti linearnih operatora koji su korijeni karakteristične jednadžbe .
Teorema 3. Za bilo koji linearni operatorA Euklidski prostorE postoji jedinstveni konjugirani linearni operatorA* .
Dokaz. Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n) ortonormalna osnova euklidskog prostora E, A - linearni operator sa matricom A u odnosu na osnovu v. Hajde da razmotrimo E linearni operator B sa matricom A t u odnosu na ovu osnovu. Operater B postoji samo jedan. Desne strane jednakosti (3) su jednake: ( SJEKIRA)t G.Y. = X t G A * Y. Dakle, i lijevi su jednaki ( Aa , b ) = (a ,Bb ). Stoga operater B - sučelje za operatera A .
2. Samopridruženi operatori.
Definicija 1. Linearni operator A Euklidski prostor E pozvao samospojni ili simetrični, Ako A = A* , tj. za bilo koje vektore od dva a ,b Î E ispunjen je uslov:
(Aa , b ) = (a ,Ab ). (1)
Teorema 1. Linearni operatorA Euklidski prostorE je samopridružen ako i samo ako je matricaLinearni operatorA u ortogonalnoj bazi postoji simetrična matrica, tj.. A = A * .
