Neka je X Banahov prostor, a A ograničen linearni operator, definisan na X, sa opsegom u Banahovom prostoru Y. Neka je x OH i f OY*. Tada se određuje vrijednost f(Ax) i nejednakosti | f(Ax)| £ ||f ||?||Ax|| £ ||f ||?||A||?||x||.

Ove nejednakosti pokazuju da je linearni funkcional j(x), definisan sa j(x) = f(Ax), ograničeni funkcional. Dakle, uz pomoć operatora A, svaki linearni ograničeni funkcional f OY je povezan sa linearnim kontinuiranim funkcionalom j OH*. Promjenom elementa f dobićemo, općenito govoreći, različitih elemenata j; tako dobijamo operatora

definisano na Y*, sa opsegom u prostoru X*. Ovaj operator A* povezan je sa operatorom A jednakošću (A*f)(x) = f(Ax). Ako primijenimo notaciju uvedenu u paragrafu 2 za linearni funkcional f(x) = (x, f), tada će veza između operatora izgledati simetrično:

(Ax, f)=(x, A*f). (1)

Operator A* je jednoznačno određen formulom (1) i naziva se operator konjugiran s operatorom A.

Zaista, ako za sve x i y vrijede jednakosti

(Ax, y) = (x, A*y) = (x, A 1 *y),

onda, prema Korolaru 4 iz Hahn-Banachove teoreme, slijedi da je A 1 *y= A*y za sve y, što znači da je A*=A 1 *.

Teorema 11. Pridruženi operator A* je linearan i .

Dokaz. Dokažimo aditivnost operatora A*. Zaista, ako je y, z OY*, onda iz gornjeg rezonovanja slijedi da postoji jedinstveni element (y + z)* OX, takav da je (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) za sve x OX.

S druge strane, koristeći formulu (1) imamo

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x , (y+z)*),

one. (y+z)* = A*x + A*y, odakle je A*(y+z)=A*y+A*z. Ovo dokazuje aditivnost operatora A*. Ujednačenost je takođe lako provjeriti.

Da bismo izračunali normu operatora A*, vršimo procjene

Iz toga slijedi da je operator A* ograničen i .

Operator A*, zauzvrat, ima adjuint – A**, definisan jednakošću sličnom (1)

(A*y, x) = (y, A**x) (2).

Ali, pošto je iz (2) A**x određen jedinstveno za svaki xOH, onda iz poređenja jednakosti (1) i (2) slijedi da

(Ax, y) = (A**x, y) "hOH, "yOY.

Korolarom 4 iz Hahn-Banachove teoreme, ovo drugo znači da je A**x=Ax za sve xÎX, tj. A**= A na prostoru X. Primjenjujući dokazanu nejednakost za normu spojnog operatora na A* i A**, imamo , što daje traženu jednakost: . Teorema je dokazana.

Teorema. 12. Ako su A i B linearni ograničeni operatori iz Banahovog prostora X u Banahov prostor Y, tada

1. (A+B)*=A*+B*

2. (λA)*= λA*

3. Pod pretpostavkom X = Y, jednakost (AB)*=B*A* je tačna.

Dokaz. Gore navedena svojstva proizlaze iz sljedećih odnosa:

1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B* )y);

2. ((λA)x ,y) = λ(Ax,y) = λ(x, A*y) = (x, (λA*y));

3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y ).

Teorema je dokazana.

Primjer 8. U prostoru L 2 razmotrimo Fredholmov integralni operator

sa jezgrom koje ima integrabilni kvadrat. Imamo, koristeći Fubinijevu teoremu,

, Gdje

.

Dakle, prijelaz na konjugirani operator sastoji se u činjenici da se integracija vrši preko prve varijable. Dok se u originalnom operateru vrši prema drugom.

Više o temi 6. Konjugirani operator. Uslovi za postojanje konjugiranog operatora. Zatvorenost pridruženog operatora. Konjugirani operator sa ograničenim operatorom i njegova norma:

1. 2. Schauderova teorema o potpunom kontinuitetu pridruženog operatora. Jednačine prve i druge vrste sa potpuno kontinuiranim operatorima. Teorema o zatvorenosti raspona vrijednosti operatora
2. 1. Linearni operatori u linearnim normiranim prostorima. Ekvivalencija kontinuiteta i ograničenosti linearnog operatora. Koncept norme ograničenog operatera. Razne formule za izračunavanje normi. Primjeri linearnih ograničenih operatora.
3. 4. Operatorsko jezgro. Kriterijum za ograničenost inverznog operatora. Teoreme inverznog operatora
4. 2. Prostor linearnih kontinuiranih operatora i njegova kompletnost s obzirom na uniformnu konvergenciju operatora
5. 5. Primjeri inverznih operatora. Invertibilnost operatora oblika (I - A) i (A - C).
6. 1. Potpuno kontinuirani operatori i njihova svojstva. Fredholm i Hilbert-Schmidt operatori
7. 6. Operatorski graf i zatvoreni operatori. Kriterijum zatvorenosti. Banahov teorem o zatvorenom grafu. Teorema otvorenog preslikavanja

Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije

Opšti linearni prostor

Neka $E,\; \backslash ,\; L$- linearni prostori, i $E^*,\; \backslash ,\; L^*$- konjugirani linearni prostori (prostori linearnih funkcionala definirani na $E,\; \backslash ,\; L$). Zatim za bilo koji linearni operator $A\backslash kolon\; E\backslash do\; L$ i bilo koji linearni funkcional $g\; \backslash u\; L^*$ definirana linearna funkcionalna $f\; \backslash in\; E^*$- superpozicija $g$ I $A$: $f(x)=g(A(x))$. Display $g\backslash mapsto\; f$ naziva se konjugirani linearni operator i označava se $A^*\backslash dvotočka\; L^*\; \backslash do\; E^*$.

Ukratko, onda $(A^*g,\; x)\; =\; (g,\; Ax)$, Gdje $(B,\; x)$- djelovanje funkcionalnosti $B$ na vektor $x$.

Topološki linearni prostor

Neka $E,\; \backslash ,\; L$ su topološki linearni prostori, i $E^*,\; \backslash ,\; L^*$- konjugirani topološki linearni prostori (prostori kontinuirano linearne funkcionalnosti definirane na $E,\; \backslash ,\; L$). Za bilo koji kontinuirani linearni operator $A\backslash kolon\; E\backslash do\; L$ i bilo koji kontinuirani linearni funkcional $g\; \backslash u\; L^*$ definiran je kontinuirani linearni funkcional $f\; \backslash in\; E^*$- superpozicija $g$ I $A$: $f(x)=g(A(x))$. Lako je provjeriti da li je mapiranje $g\backslash mapsto\; f$ linearno i kontinuirano. Zove se konjugirani operator i također se označava $A^*\backslash dvotočka\; L^*\; \backslash do\; E^*$.

Banahov prostor

Neka $A\backslash dvotočka\; X\backslash do\; Y$ je kontinuirani linearni operator koji djeluje iz Banahovog prostora $X$ u Banahov prostor $Y$ pusti to $X^*,\; Y^*$- konjugirani prostori. Označimo $\backslash za\; sve\; x\backslash u\; X,\; f\backslash u\; Y^*\; =f(Ax)$. Ako $f$- Onda je popravljeno $$- linearni kontinuirani funkcionalni in $X,\; \backslash u\; X^*$. Dakle, za $\backslash zasve\; jebo\backslash u\; Y^*$ linearni kontinuirani funkcional je definiran iz $X^*$, stoga je operator definiran $A^*\backslash dvotočka\; Y^*\backslash do\; X^*$, takav da $=$.

$A^*$ pozvao konjugirani operator. Slično, možete definirati konjugirani operator na linearni neograničeni operator, ali on neće biti definiran u cijelom prostoru.

Za $A^*$ slijedeća svojstva su važeća:

• Operater $A^*$- linearno.
• Ako $A$ je linearni kontinuirani operator, dakle $A^*$ takođe linearni kontinuirani operator.
• Neka $O$ je nulti operator, i $E$- operater jedinice. Onda $O^*=O,\; E^*=E$.
• $(A+B)^*=A^*+B^*$.
• $\backslash forall\backslash alpha\backslash in\backslash mathbb\; C,\; (\backslash alpha\; A)^*=\backslash bar(\backslash alpha)A^*$.
• $(AB)^*=B^*A^*$.
• $(A^(-1))^*=(A^*)^(-1)$.

Hilbertov prostor

U Hilbertovom prostoru $H$ Rieszov teorem identificira prostor sa njegovim konjugatom, dakle za operatora $A\backslash dvotočka\; H\backslash do\; H$ jednakost $(Ax,\; y)\; =\; (x,\; A^*y)$ definira konjugirani operator $A^*\backslash dvotočka\; H\; \backslash do\; H$. Evo $(x,\; y)$- skalarni proizvod u prostoru $H$.

vidi takođe

Napišite recenziju o članku "Konjugirani operator"

Bilješke

Književnost

• Schaefer H. Topološki vektorski prostori. - M.: Mir, 1971.
• Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Funkcionalna analiza i njegove primjene u mehanici kontinuuma. - M.: Univerzitetska knjiga, . - 320 s.
• Trenogin V. A. Funkcionalna analiza. - M.: Nauka, . - 495 str.
• Funkcionalna analiza / urednik S.G. Crane. - 2., revidirano i prošireno. - M.: Nauka, . - 544 str. - (Referentna matematička biblioteka).
• Halmos P. Konačnodimenzionalni vektorski prostori. - M.: Fizmatgiz, . - 264 s.
• Shilov G.E. Matematička analiza(funkcije jedne varijable), dio 3. - M.: Nauka, . - 352 s.

Izvod koji karakteriše konjugirani operator

Ađutanti su galopirali ispred njega u dvorište. Kutuzov je, nestrpljivo gurajući konja koji je pod njegovom težinom lutao, i neprestano klimajući glavom, stavio ruku na lošu kapu konjičke garde (sa crvenom trakom i bez vizira) koju je nosio. Približivši se počasnoj gardi finih grenadira, uglavnom kavalira, koji su mu salutirali, šutke ih je gledao na trenutak zapovjedničkim tvrdoglavim pogledom i okrenuo se prema gomili generala i oficira koja je stajala oko njega. Lice mu je odjednom poprimilo suptilan izraz; podigao je ramena sa gestom zbunjenosti.
- I sa takvim momcima, povlačite se i povlačite se! - on je rekao. "Pa, zbogom, generale", dodao je i krenuo svojim konjem kroz kapiju pored kneza Andreja i Denisova.
- Ura! ura! ura! - vikali su mu iza leđa.
Pošto ga princ Andrej nije video, Kutuzov je postao još deblji, mlohav i natečen od masti. Ali poznato bijelo oko, i rana, i izraz umora na njegovom licu i figuri bili su isti. Bio je odjeven u uniformu saraka (bič je visio na tankom pojasu preko ramena) i bijelu konjičku kapu. On je, jako zamagljen i ljuljajući se, sjeo na svog veselog konja.
“Uh... fuj... fuj...” jedva čujno je zviždao dok je vozio u dvorište. Njegovo lice izražavalo je radost smirivanja čovjeka koji namjerava da se odmori nakon misije. Izvukao je lijevu nogu iz stremena, pao cijelim tijelom i lecnuo se od napora, s mukom je podigao na sedlo, oslonio se laktom na koleno, zagunđao i spustio se u naručje kozaka i ađutanata koji su su ga podržavali.
Oporavio se, pogledao oko sebe suženih očiju i, bacivši pogled na princa Andreja, očigledno ga ne prepoznajući, krenuo ronilačkim hodom prema trijemu.
"Uh... fuj... fuj", zviždao je i ponovo se osvrnuo na princa Andreja. Utisak lica princa Andreja tek nakon nekoliko sekundi (kao što se često dešava kod starih ljudi) postao je povezan sa sećanjem na njegovu ličnost.
"O, zdravo, prinče, zdravo, draga, idemo..." rekao je umorno, osvrćući se oko sebe i teško ušao na trem, škripući pod njegovom težinom. Otkopčao je i sjeo na klupu na trijemu.
- Pa, šta je sa ocem?
„Juče sam dobio vest o njegovoj smrti“, kratko je rekao princ Andrej.
Kutuzov je uplašeno otvorenih očiju pogledao princa Andreja, a zatim skinuo kapu i prekrstio se: „Njemu carstvo nebesko! Neka je Božja volja nad svima nama!“ Uzdahnuo je teško, svim grudima, i ćutao. “Volela sam ga i poštovala i saosjećam s vama svim srcem.” Zagrlio je princa Andreja, pritisnuo ga na svoja debela grudi i dugo ga nije puštao. Kada ga je pustio, princ Andrej je video da Kutuzovljeve natečene usne drhte i da su mu u očima bile suze. Uzdahnuo je i objema rukama uhvatio klupu da ustane.
„Hajde, hajde da dođemo do mene i razgovaramo“, rekao je; ali u to vreme Denisov, isto tako malo plašljiv pred svojim pretpostavljenima kao i pred neprijateljem, i pored toga što su ga ađutanti na trijemu ljutito šapatom zaustavljali, smelo je, lupajući mamzama o stepenice, ušao u trijem. Kutuzov je, ostavljajući ruke na klupi, nezadovoljno pogledao Denisova. Denisov je, nakon što se predstavio, objavio da mora obavijestiti svoje gospodstvo o stvari od velike važnosti za dobro otadžbine. Kutuzov je umornim pogledom počeo da gleda Denisova i iznerviranim pokretom, uzevši ga za ruke i sklopivši ih na stomaku, ponovio je: „Za dobro otadžbine? Pa, šta je to? Govori." Denisov je pocrveneo kao devojka (bilo je tako čudno videti boju na tom brkatom, starom i pijanom licu) i smelo je počeo da iznosi svoj plan za presecanje neprijateljske operativne linije između Smolenska i Vjazme. Denisov je živio u ovim krajevima i dobro je poznavao to područje. Njegov plan se činio nesumnjivo dobrim, posebno po snazi ​​ubjeđenja koja je bila u njegovim riječima. Kutuzov je gledao u svoja stopala i povremeno bacao pogled na dvorište susedne kolibe, kao da je odatle očekivao nešto neprijatno. Iz kolibe u koju je gledao, zaista, tokom Denisovljevog govora pojavio se general sa aktovkom ispod ruke.
- Šta? – rekao je Kutuzov usred izlaganja Denisova. - Spreman?
"Spremni, vaše gospodstvo", rekao je general. Kutuzov je odmahnuo glavom, kao da govori: "Kako jedna osoba može sve ovo da upravlja", i nastavio da sluša Denisova.
„Dajem svoju poštenu, plemenitu reč husijskom oficiru“, rekao je Denisov, „da sam potvrdio Napoleonovu poruku.

Element različit od nule x G V naziva se svojstvenim elementom linearnog operatora A: V V ako postoji broj A - sopstvena vrijednost linearnog operatora A takva da je Primjer 1. Svaki polinom stepena nula je svojstveni element operatora diferencijacije, odgovarajuća svojstvena vrijednost je jednaka nuli: Primjer 2. Operator diferencijacije Svojstvene vrijednosti I sopstvenim elementima. Konjugirani operator. nema svoje elemente. Neka neki trigonometrijski polinom a cos t + 0 sin t nakon diferencijacije postane proporcionalan: To znači da ili, što je isto, posljednja jednakost je zadovoljena ako i samo ako slijedi da je a = p = 0 i, To znači da je polinom može biti samo nula. Teorema 6. Realni broj A je vlastita vrijednost linearnog operatora A ako i samo ako je ovaj broj korijen njegovog karakterističnog polinoma: x(A) = 0. Nužnost. Neka je A vlastita vrijednost operatora A. Tada postoji element x koji nije nula za koji je Ax = Ax. Neka bude osnova prostora. Tada se posljednja jednakost može prepisati u ekvivalentnom matričnom obliku ili, što je isto, A pošto je x pravi element, slijedi da je njegov koordinatni stupac x(c) različit od nule. To znači da linearni sistem (1) ima rješenje različito od nule. Ovo poslednje je moguće samo pod uslovom ili, što je isto, dovoljnosti. Način da izgradite vlastiti element. Neka je A korijen polinoma. Razmotrimo homogeni linearni sistem sa matricom A(c) - AI: Zbog uslova (2), ovaj sistem ima rješenje različito od nule. Konstruirajmo element x prema pravilu: Koordinatni stupac x(c) ovog elementa zadovoljava uvjet ili, što je također isto.Ono posljednje je ekvivalentno činjenici da ili, detaljnije, Dakle, x je svojstveni element linearnog operatora A, a A je odgovarajuća svojstvena vrijednost. Komentar. Da bismo pronašli sve svojstvene elemente koji odgovaraju datoj svojstvenoj vrijednosti A, potrebno je konstruirati FSR sistema (3). Primjer 1. Naći svojstvene vektore linearnog operatora koji djeluje po pravilu (operator projekcije) (slika 6). M Razmotrimo akcije linearnog operatora P na bazne vektore. Imamo Zapišimo matricu operatora: Svojstvene vrijednosti i svojstveni elementi. Konjugirani operator. Konstruirajmo karakterističan polinom i pronađemo njegove korijene. Imamo Konstruirajmo homogeno linearni sistemi sa matricama: Dobijamo, odnosno: Hajde da pronađemo fundamentalne sisteme rešenja za svaki od ovih sistema. Imamo 1 Dakle, svojstveni vektori ovog operatora projekcije su: vektor k sa svojstvenom vrijednošću 0 i bilo koji vektor sa svojstvenom vrijednošću Primjer 2. Naći svojstvene elemente linearnog operatora diferencijacije V koji djeluje u prostoru Afj polinoma stepena najviše dva: Matrica D datog operatora u bazi I, t, O ima oblik karakterističnog polinoma -A3 ima tačno jedan korijen A = 0. Rješenje sistema je skup 1,0,0, koji odgovara polinomu stepena nula. §5. Konjugirani operator U Euklidskom prostoru nad linearnim operatorima može se uvesti jedna radnja - operacija konjugacije. Neka je V n-dimenzionalni euklidski prostor. Sa svakim linearnim operatorom koji djeluje u ovom prostoru; Još jedan linearni operator konjugiran s ovim je prirodno pridružen. Definicija. Za linearni operator (čitaj: "a sa zvijezdom") kaže se da je konjugiran s linearnim operatorom A: V -* V ako je za bilo koji element x i y iz prostora V jednakost Linearni operator A*, konjugiran ovom operateru Ah, uvijek postoji. Neka je c = (et,..., en) ortobaza prostora V i A = A(c) = (o^) matrica linearnog operatora A u ovoj bazi, tj. direktnim proračunima možemo provjeriti da je za linearni operator A": V -" V, određeno pravilom, jednakost (1) je zadovoljena za bilo koje x i y. Podsjetimo da je prema teoremi 1, da bi se konstruirao linearni operator, dovoljno specificirati njegovu akciju o osnovnim elementima Primjer. Uvedemo u linearni prostor M\ polinomi sa realnim koeficijentima stepena ne većim od prve operacije skalarnog množenja sa sledeće pravilo. Pretpostavimo stoga da je M\ dvodimenzionalni euklidski prostor. Neka je V: M\ - M\ operator diferencijacije: V(a + d»f) = b. Konstruirajmo konjugirani operator. Matrica operatora V u ovoj bazi ima oblik. Tada je matrica konjugiranog operatora V, koja djeluje po pravilu: Za proizvoljni polinom dobijamo Svojstva operacije konjugacije 1. Za svaki linearni operator postoji tačno jedan njemu konjugiran operator. Neka su B i C operatori konjugirani sa datim operatorom A. To znači da za sve elemente x i y iz prostora V vrijede jednakosti. Iz toga slijedi da su svojstvene vrijednosti i svojstveni elementi. Konjugirani operator. i, dalje, Zbog proizvoljnosti izbora elementa x, zaključujemo da je element Wu-Su ortogonalan na bilo koji element prostora V, a posebno na sebe. Potonje je moguće samo u slučaju kada je By - Cy = 0 i, prema tome, By = C y. Zbog činjenice da je y proizvoljan element, dobijamo B ~ C. 2. (a.4)* = aL*, gdje je a proizvoljan realan broj. Neka su A:V -+ V i B:V -+ V linearni operatori. Tada svojstva 2-5 lako slijede iz jedinstvenosti spojnog operatora. 6. Neka je c ortobaza prostora V. Da bi operatori A: V V i B: V -» V bili međusobno konjugirani, tj. jednakosti B = A", A = B* su zadovoljene, potrebno je i dovoljno da se njihove matrice A = A(c) i B = B(c) dobiju jedna od druge transpozicijom. Napomena: Naglašavamo da je svojstvo 6 vrijedi samo za matricu konstruiranu u ortonormalnoj bazi.Za proizvoljnu bazu nije istina 7. Ako je linearni operator A nedegeneriran, tada je i operator A* konjugiran s njim također nedegeneriran i vrijedi jednakost

Proučimo dodatna svojstva linearnih operatora vezanih za koncept ortogonalnosti u euklidskom prostoru. Prvo dokazujemo sljedeće svojstvo: if A I B – linijski operateri koji rade u n-dimenzionalni euklidski prostor V, i ( x , Ay ) = (x , By ), x , y V, To A = B .

U stvari, stavljanje u jednakost ( x , Ay ) = (x , By ) Û ( x , (A – B )y ) = 0 vektor x = (A – B )y , dobijamo (( A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V, što je ekvivalentno jednakosti ( A – B )y = 0 , y V, tj. A – B = O , ili A = B .

Definicija 11.1. Linearni operator A * pozvan konjugirati operater A , Ako

(Sjekira , y ) = (x , A * y ), x , y V. (11.1)

Prirodno se postavlja pitanje: za dati operator, da A konjugirati?

Teorema 11.1. Operator svake linije A ima jedan konjugirani operator A * .

Dokaz. Birajmo u svemiru V ortonormalna osnova u 1 , u 2 ,…, u n. Operator svake linije A : V® V u ovoj osnovi matrica odgovara A = , i, j = 1, 2,..., n. Neka je matrica dobivena iz matrice A transpozicija. Odgovara linearnom operatoru B . Onda

(Au j, u i) = (A 1 ju 1 + A 2 ju 2 +…+ a nju n, u i) = i ij;

(u j, Bu i) = (u j, i ja 1 u 1 + i ja 2 u 2 +…+ i uu n) = i ij.

(Au j, u i) = (u j, Bu i), i, j = 1, 2,..., n. (11.2)

Neka dalje x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x nu n I y = at 1 u 1 + at 2 u 2 +…+ y nu n– bilo koja dva vektora iz V. Razmotrimo skalarne proizvode ( Sjekira , y ) I ( x , By ):

(Sjekira , y ) = (Au j, u i),

(x , By ) = (u j, Bu i).

Upoređujući ove izraze uzimajući u obzir jednakost (11.2) i prethodno navedeno svojstvo, dobijamo jednakost ( Sjekira , y ) = (x , By ), x , y V, tj. B = A * .

Dakle, dokazano je da za svaki linearni operator A u konačno-dimenzionalnom euklidskom prostoru postoji operator konjugiran s njim A *, čija je matrica u bilo kojoj ortonormalnoj bazi transponirana u odnosu na matricu operatora A . Jedinstvenost operatera A * slijedi iz definicije konjugiranog operatora i gore dokazanog svojstva.¨

Lako je provjeriti da li je operater A * konjugirano na linearni operator A , je linearan.

Dakle, operater A * je linearan i ima odgovarajuću matricu A*. Prema tome, matrična relacija koja odgovara formuli (11.1) ima oblik

(Ax , y ) = (x , A * y ), x , y V.

Konjugirani operatori imaju sljedeća svojstva:

1°. E * = E .

2°. ( A *) * = A .

3°. ( A + B ) * = A * + B * .

4°. ( A ) * = A * , R.

5°. ( AB ) * = B * A * .

6°. ( A –1) * = (A *) –1 .

Valjanost svojstava 1°–5° proizilazi iz svojstava transpozicije matrice.

Hajde da provjerimo valjanost svojstva 6°. Neka A –1 postoji. Zatim iz jednakosti AA. –1 = A –1 A = E i svojstva 1°, 5° slijedi da ( AA. –1) * = (A –1 A ) * = E * = = E i ( AA. –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) * , tj. da ( A –1) * = (A *) -1 . Odavde dobijamo još jedno važno svojstvo transpozicije matrice:

(A –1) * = (A *) –1 .

Primjer 1. Neka A – rotacija euklidske ravni R 2 po uglu j sa matricom

u ortonormalnoj osnovi i , j . Tada je matrica pridruženog operatora u ovoj bazi

= .

dakle, A * – rotacija ravnine za ugao j u suprotnom smeru.·

Inverzni operator

Neka je V linearni prostor nad poljem P, neka je A operator (ne nužno linearan) koji djeluje u V.

Definicija. Operator A se naziva inverzibilnim ako postoji operator B koji djeluje u V tako da je BA = AB = I.

Definicija. Operator B koji zadovoljava uslov BA = AB = I naziva se inverznim prema A i označava se.

Dakle, operator inverzan operatoru A zadovoljava uslov A = A = I. Za invertibilni operator A, jednakosti Ax = y i y = x su ekvivalentne. Zaista, neka je Ax = y, tada je y = (Ax) = (A)x = Ix = x.

Ako je y = x, onda

Ax = A(y) = (A)y = Iy = y.

Teorema. Ako je linearni operator invertibilan, onda je i njegov inverzni operator linearan.

Dokaz. Neka je A invertibilni linearni operator koji djeluje u linearnom prostoru V nad poljem P, neka je A operator inverzan A. Uzmimo proizvoljne vektore i brojeve. Postavimo . Tada je A=, A=. Zbog linearnosti operatora A

Odavde dobijamo:

= = ,

To jest, operator je linearan.

Konjugirani linearni operator

Neka su data dva unitarna prostora X, Y.

Definicija. Operator A*, koji djeluje od Y do X, naziva se konjugiranim u odnosu na operator A, koji djeluje od X do Y, ako je za bilo koji vektor hH, yY jednakost

(Ax, y) = (x, A*y). (1)

Teorema. Za bilo koji linearni operator A postoji pridruženi operator A*, i to samo jedan.

Dokaz. Odaberimo neku ortonormalnu bazu u X. Za bilo koji vektor xX imamo proširenje

Ako postoji operator A*, onda, prema ovoj formuli, za bilo koji vektor yY imamo

Ili po definiciji

Ali to znači da ako operator A* postoji, onda je jedini.

Ovako konstruisan operator A* je linearan. Takođe zadovoljava jednakost (Ax, y) = (x, A*y). Zaista, uzimajući u obzir ortonormalnost sistema i uzimajući u obzir (1), (2), dobijamo za bilo koje vektore hH, yY

(Ah, y) = (A) =,

(x, A*y) = (A) =

Teorema je dokazana.

Konjugirani operator A* povezan je sa operatorom A određenim relacijama. Navedimo neke od njih:

Dokaz. Razmotrimo proizvoljni operator A i njegov konjugirani operator A*. Zauzvrat, za operator A* konjugat će biti operator (A*)*. Sada za bilo koje xX, yY koje imamo

(y, (A*)*x) = (A*y,x) == = (y,Ax).