Konjugacija operatora u Euklidskom prostoru. Linearni operatori u euklidskim prostorima

Neka je S euklidski prostor i neka je njegova kompleksizacija. Hajde da uvedemo skalarni proizvod u S koristeći formulu:

Moramo provjeriti tačnost ove definicije. Aditivnost u prvom argumentu sa fiksnim drugim argumentom je očigledna. Da bismo provjerili linearnost u odnosu na prvi argument, dovoljno je osigurati da je moguće izvesti složeni faktor iz prvog argumenta. Odgovarajući proračun nije težak, već prilično glomazan. Upravo:

Simetrija s involucijom je očigledna - pri preokretu mjesta, stvarni dio skalarnog proizvoda se ne mijenja, ali imaginarni dio mijenja predznak.

Konačno, ako . Dakle, kompleksizacija euklidskog prostora S postaje unitarni prostor.

Imajte na umu da su skalarni proizvod para vektora i skalarni proizvod para kompleksno konjugiranih vektora kompleksno konjugirani. Ovo izravno slijedi iz definicije skalarnog proizvoda u .

2. Operatori u Euklidskom prostoru i njihov nastavak na kompleksizaciju.

U Euklidskom prostoru, konjugirani operator za operator je određen istom formulom za bilo koje x i y kao u unitarnom prostoru. Dokaz postojanja i jedinstvenosti konjugiranog operatora ne razlikuje se od sličnih dokaza za unitarni prostor. Operatorska matrica u ortonormalnoj bazi jednostavno se transponira sa operatorskom matricom.Kada se međusobno konjugirani operatori prošire od S do oni će ostati konjugirani.

stvarno,

3. Normalni operatori u Euklidskom prostoru.

Normalni operator u euklidskom prostoru S ostaje normalan kada se proširi na kompleksifikaciju prostora S. Prema tome, u S postoji ortonormalna baza svojstvenih vektora, koja dijagonalizira matricu operatora A.

Za realne svojstvene vrijednosti možemo uzeti realne svojstvene vektore, tj. one koji leže u S. Zaista, koordinate svojstvenih vektora u odnosu na bazu se određuju iz linearnih homogenih jednačina sa realnim koeficijentima u slučaju realne svojstvene vrijednosti.

Kompleksne svojstvene vrijednosti se pojavljuju u parovima konjugata sa istom mnogostrukošću. Odabravši ortonormalnu bazu od svojstvenih vektora koji pripadaju nekoj svojstvenoj vrijednosti, baza svojstvenih vektora za vlastitu vrijednost može se uzeti iz vektora konjugiranih s vektorima baze svojstvenih vrijednosti za X. Takva baza će biti ortonormalna. Sada hajde da rastegnemo dvodimenzionalni kompleksni podprostor na svaki par i konjugiramo vektore.

Svi ovi podprostori su invarijantni, ortogonalni jedni prema drugima i prema realnim svojstvenim vektorima koji odgovaraju stvarnim svojstvenim vrijednostima.

Kompleksni prostor koji pokrivaju vektori u očigledno se poklapa sa kompleksnim podprostorom koji se proteže realnim vektorima u i y, i stoga je kompleksizacija realnog podprostora koji se proteže sa .

jer je u euklidskom prostoru S skalarni proizvod simetričan.

Iz ove jednakosti slijedi da , tj. vektori i i v su ortogonalni, kao i . Podsjetimo se sada da je vektor normaliziran, tj. zbog ortogonalnosti i i . Dakle, tako da vektori i i v nisu normalizovani, već postaju normalizovani nakon množenja sa

Dakle, za normalan operator koji djeluje u euklidskom prostoru S, postoji ortonormalna baza sastavljena od svojstvenih vektora koji pripadaju stvarnim svojstvenim vrijednostima, i pomnoženih sa stvarnim i imaginarnim dijelovima svojstvenih vektora koji pripadaju kompleksnim svojstvenim vrijednostima. Jednodimenzionalni podprostori razdvojeni realnim svojstvenim vektorima i dvodimenzionalni podprostori razdvojeni komponentama kompleksnih svojstvenih vektora su invarijantni, pa je operatorska matrica u konstruisanoj bazi kvazidijagonalna i sastavljena od dijagonalnih blokova prvog i drugog reda. Blokovi prvog reda su stvarne svojstvene vrijednosti. Nađimo blokove drugog reda. Neka i biti svojstveni vektor koji pripada svojstvenoj vrijednosti . Onda

Potpuno iste relacije će biti sačuvane nakon množenja vektora sa Dakle, blokovi drugog reda imaju oblik

Imajte na umu da se ovi blokovi pojavljuju iz podprostora koji obuhvataju konjugirane svojstvene vektore koji pripadaju konjugiranim svojstvenim vrijednostima, tako da zajedno sa blokom napisanim pomoću svojstvene vrijednosti, nema potrebe uključiti blok koji odgovara svojstvenoj vrijednosti

4. Samopridruženi operatori u Euklidskom prostoru.

Normalni operator u euklidskom prostoru je samo-adjugantan ako i samo ako su sve njegove vlastite vrijednosti realne. Zaista, samopridruženi operator u euklidskom prostoru ostaje samopridružen u kompleksizaciji. Dakle, postoji ortonormalna osnova u samom Euklidskom prostoru, u kojoj je njegova matrica dijagonalna. U smislu matrica, to znači da za bilo koju realnost simetrična matrica I postoji ortogonalna matrica C takva da je dijagonalna. Ova okolnost je razjašnjena u pogl. V u vezi s ortogonalnom transformacijom kvadratnog oblika u kanonski oblik. Bliska veza između teorije samoprilagođenih operatora u euklidskom prostoru i teorije kvadratnih oblika jasno je vidljiva iz činjenice da je skalarni proizvod izražen kroz koordinate vektora u ortonormalnoj bazi u obliku kvadratnog oblika sa matrica jednaka matrici operatora M u istoj bazi, a ortogonalnom transformacijom koordinata matrični operator i matrica kvadratnog oblika se transformišu na isti način:

jer za ortogonalnu matricu

Za samoprilagođene operatore u euklidskom prostoru vrijede ista svojstva koja su zabilježena za samoprilagođene operatore u unitarnom prostoru, a njihovi se dokazi ne razlikuju od onih u slučaju unitarnog prostora.

Stoga ćemo se ograničiti na njihovo nabrajanje.

Samopridruženi operator je pozitivno određen ako i samo ako su njegove vlastite vrijednosti pozitivne.

Pozitivno određeni kvadratni korijen može se izdvojiti iz samopridruženog pozitivno određenog operatora.

Bilo koji nedegenerirani operator može se predstaviti kao proizvod pozitivno određenog samopridruženog operatora i ortogonalnog, oba u jednom, zar ne? i to drugačijim redosledom.

Operator ortogonalne projekcije je samopridruženi idempotentni operator, i obrnuto, samopridruženi idempotentni operator je ortogonalni projekcijski operator.

5. Ortogonalni operatori.

Ortogonalni operator ima ortogonalnu matricu u bilo kojoj ortonormalnoj bazi. Budući da je ortogonalni operator normalan, postoji ortonormalna baza u kojoj je matrica operatora blok-dijagonalna i sastoji se od realnih brojeva na dijagonali i blokova oblika ortogonalnosti takve matrice slijedi da je u svakom bloku od drugog reda (To se također može vidjeti iz činjenice da ortogonalni operator postaje unitaran kada se proširi na kompleksizaciju, pa su stoga sve njegove vlastite vrijednosti po modulu 1.)

Možete ga staviti. Operator na ravni sa matricom je operator za rotiranje ravnine za ugao.

Ortogonalni operator se naziva ispravno ortogonalnim ako je determinanta njegove matrice jednaka 1; ako je determinanta jednaka -1, tada se operator naziva nepravilno ortogonalnim. Redoslijed baznih vektora može se odabrati tako da dijagonala slijedi prvo 1, zatim -1, a zatim blokove drugog reda. Ako je operator zapravo ortogonalni, broj dijagonalnih elemenata jednak -1 je paran. Matrica drugog reda se smatra blokom drugog reda, što geometrijski znači rotaciju ravnine za .

Dakle, djelovanje samog ortogonalnog operatora geometrijski znači sljedeće. Prostor je podijeljen na ortogonalni zbir podprostora, od kojih je jedan raspoređen sopstvenim vektorima koji pripadaju svojstvenoj vrijednosti 1 - ovo je podprostor fiksnih vektora i nekoliko dvodimenzionalnih podprostora, od kojih je svaki rotiran za određeni ugao (općenito govoreći , različite ravnine pod različitim uglovima).

U slučaju nepravilno ortogonalnog operatora, postoji još jedan bazni vektor koji se transformiše u suprotan pod dejstvom operatora.

PREDAVANJE 9

Operatori u euklidskim prostorima

Linearni operatori koji rade u euklidskim prostorima imaju niz posebnih svojstava koja su vrlo važna za primjenu linearne algebre u različitim predmetnim oblastima. Fokusiraćemo se samo na glavna pitanja ove teorije, a posebno ćemo proučavati teoriju linearnih operatora isključivo u realnim prostorima sa ortonormiranim bazama, odnosno u prostoru. Osim toga, operatore ćemo smatrati transformacijama, odnosno proučavat ćemo operatore
.

Konjugirani operator . Hajde da razmotrimo koncept operatora, povezan sa operaterom , djelujući u euklidskom prostoru
.

Definicija 9.1. Neka
– neki linearni operator. Operater
pozvaopovezan sa operaterom , Ako
uslov je ispunjen

. (9.1)

Teorema 9.1. Za bilo koji linearni operator
postoji jedinstveni konjugirani operator
, koji je takođe linearan.

Dokaz. 1) Neka operater postoji, dokažimo njegovu jedinstvenost. Da biste to učinili, pretpostavite da ovaj operator nije jedini, odnosno da postoje, na primjer, dva operatora I , zadovoljavajući definiciju 9.1. Tada prema formuli (9.1) imamo:

,
, (9.2)

odakle nam to

Zbog činjenice da je u definiciji 9.1 (u formuli (9.1)) vektor
proizvoljno, stavljamo u jednakost (9.3)

,

.

Pošto skalarni proizvod zadovoljava aksiom nedegeneracije, iz posljednje jednakosti imamo

odakle, zbog proizvoljnosti vektora sledi to
i dokazana je jedinstvenost konjugiranog operatora.

2) Dokažimo linearnost konjugiranog operatora. Koristeći definiciju (9.1) i svojstva skalarnog proizvoda, dobijamo:

,
I

A)
;

Iz poređenja formula a) i b) slijedi da je konjugirani operator linearan , naime:

.

3) Dokažimo sada postojanje konjugiranog operatora. Popravimo to u svemiru
kanonska osnova
, i napišite vektore
I
u obliku njihovih proširenja duž kanonske osnove:

;
. (9.4)

Razmotrimo izračun lijeve i desne strane (9.1):

;

.

Upoređujući posljednje dvije jednakosti uzimajući u obzir (9.1), dobijamo:

. (9.5)

Dakle, ako je operator matrica izgleda kao

,

tada matrica konjugiranog operatora ima oblik

. (9.6)

Iz (9.6) slijedi da je matrica konjugiranog operatora u bilo kojoj ortonormalnoj osnovi
nalazi se transponovanjem matrice operatora , što dokazuje postojanje konjugiranog operatora.

Dokažimo teoremu o svojstvima operatora konjugiranog s linearnim operatorom.

Teorema 9.2. Sljedeća svojstva konjugiranog operatora su važeća: :
I

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

Dokaz. Dokažimo prvu relaciju. Neka je proizvoljan linearni operator. Za konjugirani operator konjugat će biti operator . onda:

Posljednja jednakost vrijedi za bilo koji vektor , to je,

,

odakle slijedi dokaz prvog svojstva.

Dokažimo drugu relaciju. Da biste to učinili, razmotrite sljedeći lanac transformacija:

Iz poređenja lijeve i desne strane jednakosti (9.8) slijedi dokaz drugog svojstva.

Preostala svojstva dokazuju se na sličan način.

Samopridruženi operatori . U aplikacijama veliki značaj imati samoprilagođeni operatori .

Definicija 9.2. Linearni operator
pozvaoself-adjoint , Ako
.

Iz definicije slijedi da samopridruženi operator zadovoljava relaciju

. (9.9)

Pošto je matrica konjugovanog operatora jednaka transponovanoj matrici operatora , tada matrični elementi samopridruženog operatora zadovoljavaju jednakost
, to je elementi matrice samopridruženog operatora, simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu, jednaki su. Takva matrica se zove simetrično . Iz tog razloga, samopridruženi operatori
često zovu simetrično .

Samopridruženi operatori imaju niz svojstava koja je lako dokazati korištenjem definicije i svojstava adjoint operatora.

1. Jedan operater je samopridružena.

Dokaz. Očigledno,

.

2. Zbir samopridruženih operatora je samopridruženi operator.

Dokaz. Ako
I
, To

.

3. Kompozicija samopridruženih operatora je samopridruženi operator ako i samo ako su ovi operatori komutativni.

Dokaz. Podsjetimo da se operatori nazivaju komutativnim if

,

,

Gdje – nulti operator. Ako
,
, To

,

što je jednako ako i samo ako su operatori komutativni.

4. Operater , inverzno nedegeneriranom samopridruženom operatoru
Također self-adjoint operator.

Dokaz. Zaista, ako
, To

.

5. Ako je samopridruženi operator, onda je proizvod ovog operatora nekim realnim brojem
je samopridruženi operator.

Dokaz. Od treće osobine (9.7) imamo:

.

Teorema 9.3. Vlastiti vektori samopridruženog operatora , djelujući u svemiru
, koje odgovaraju parovima različitim svojstvenim vrijednostima, međusobno su ortogonalne.

:
I
, i
. Pošto je operator samospojen, onda
. Dakle, na lijevoj i desnoj strani imamo:

;

.

Gdje je na snazi
dobijamo:
.

Sljedeća važna teorema vrijedi za samopridružene operatore.

Teorema 9.4. Svi korijeni karakterističnog polinoma samopridruženog operatora
pravi i drugačiji.

Dokaz. IN opšti slučaj dokaz teoreme je prilično težak. Iz tog razloga predstavljamo dokaz za slučaj operatera
. Dakle, neka je zadan neki linearni operator
sa matricom . Tada karakteristična jednadžba ovog operatora ima oblik:

.

Proširujući determinantu, dobijamo karakterističnu jednačinu:

Rješenje ove jednadžbe nalazi se pomoću dobro poznate formule:

.

Diskriminant ima oblik:

Prvi član je očito uvijek pozitivan, a drugi je pozitivan, jer
. Stoga su korijeni karakteristične jednadžbe realni i različiti.

Teorema 9.5. Neka
– samoprilagođeni operater. Onda u svemir
možete odabrati ortonormalnu osnovu

tako da je operator matrica u ovoj osnovi je bila dijagonalna.

Dokaz. Prema teoremi 9.4, svi korijeni karakterističnog polinoma samoprilagođenog operatora su realni i različiti, pa su prema teoremi 9.3 sopstveni vektori samopridruženog operatora međusobno ortogonalni. Sistem sopstvenih vektora se očigledno može normalizovati. Ali onda ovi vektori čine osnovu prostora
, u kojem je operator operator jednostavne strukture, odnosno ima dijagonalnu matricu.

Ortogonalni operatori i njihova svojstva, geometrijska interpretacija . Razmotrimo definiciju i svojstva važne klase operatora koji djeluju u prostoru
.

Definicija 9.3. Operater , djelujući u svemiru
, zvaoortogonalno , ako čuva tačkasti proizvod, tj

.(9.10)

Iz definicije proizilazi da ortogonalni operator čuva norme (dužine) vektora i uglove između njih .

Lema 9.1. Operater

.

Dokaz. Neka

,

gdje imamo:
. Believing
, dobijamo:

.

Neka
. tada imamo:

.

Očigledno je da ortogonalni operator je nedegenerisan , odnosno njena matrica ima inverznu matricu.

Teorema 9.6 (o svojstvima ortogonalnih operatora). Ortogonalni operatori
imaju sljedeća svojstva:

1)operator identiteta je ortogonan;

2)kompozicija ortogonalnih operatora je također ortogonalni operator;

3)inverzni operator ortogonalnog operatora je također ortogonan;

4)Ako
je ortogonalni operator, zatim operator
je ortogonalno ako i samo ako
.

Dokaz. 1. Dokaz ovog svojstva je gotovo očigledan:

.

2. Neka
I
– ortogonalni operatori. onda:

3. Neka ortogonalni operator. Hajde da razmotrimo
:

.

4. Neka – ortogonalni operator. Onda

.

Teorema 9.7 (kriterijum za ortogonalnost operatora). Operater , djelujući u svemiru
, je ortogonalno ako i samo ako uzima barem jednu ortonormalnu bazu na ortonormalnu bazu.

Dokaz. Neka
– ortogonalni operator. Zatim on, čuvajući skalarni proizvod, transformira ortonormalnu bazu u ortonormalnu bazu.

Pustite sada operatera
prevodi ortonormalnu osnovu

u novu ortonormalnu osnovu

.

Onda

.

.

Razmotrimo svojstva matrice ortogonalnih operatora.

Teorema 9.8. Sistem vektora kolona (redova) ortogonalne operatorske matrice
u bilo kojoj ortonormalnoj osnovi

je ortonormalno.

Dokaz. Neka
– neki ortogonalni operator i
– neka ortonormalna osnova. Prema teoremi 9.9, sistem slika baznih vektora je sam po sebi ortonormalan, tj
. Dakle, za kolone operatorske matrice

,

(kao vektori aritmetičkog prostora
) imamo:

. (9.11)

Slično svojstvo vrijedi i za redove matrice :

.
(9.12)

Teorema 9.9. Ortogonalna operatorska matrica
u bilo kojoj ortonormalnoj bazi zadovoljava uslov

. (9.13)

Dokaz. Neka
– ortogonalni operator. Pošto su operatorske matrice I povezani odnosima

,

odakle za matricu operatora dobijamo (9.11).

Obrnuto, neka je zadovoljena relacija (9.11). Onda
, iz čega proizlazi da je operator je ortogonalno.

Definicija 9.4. Matrix , za koju imovina pripada(9.13),naziva se ortogonalnim.

Predstavimo neke teoreme o svojstvima ortogonalnog operatora.

Teorema 9.10. Vlastite vrijednosti ortogonalnog operatora delovanje u svemiru
, su jednaki
.

Dokaz. Neka
. Onda

Pošto po definiciji
, To
.

Teorema 9.11. Determinanta ortogonalne matrice jednaki

.

Dokaz. Za ortogonalnu matricu jednakost
. Zbog toga
. Onda

.

Neka je linearni operator A djeluje u euklidskom prostoru E n i pretvara ovaj prostor u sebe.

Hajde da se predstavimo definicija: operater A* nazovimo ga konjugatom operatora A, ako za bilo koja dva vektora x,y iz E n je zadovoljena jednakost skalarnih proizvoda oblika:

(Ax,y) = (x,A*y)

Više definicija: linearni operator naziva se samopridruženim ako je jednak njegovom pridruženom operatoru, odnosno vrijedi jednakost:

(Ax,y) = (x, Ay)

ili, posebno ( Ax,x) = (x,Ax).

Samopridruženi operator ima određena svojstva. Spomenimo neke od njih:

Vlastite vrijednosti samopridruženog operatora su realne (bez dokaza);

Vlastiti vektori samopridruženog operatora su ortogonalni. Zaista, ako x 1 I x 2 su svojstveni vektori, a  1 i  2 su njihove vlastite vrijednosti, tada: Sjekira 1 =  1 x; Sjekira 2 =  2 x; (Sjekira 1,x2) = (x 1, sjekira 2), ili  1 ( x 1 , x 2) =  2 (x 1 , x 2). Pošto su  1 i  2 različiti, odavde ( x 1 , x 2) = 0, što je trebalo dokazati.

U Euklidskom prostoru postoji ortonormalna osnova sopstvenih vektora samopridruženog operatora A. To jest, matrica samopridruženog operatora se uvijek može svesti na dijagonalni oblik u nekoj ortonormalnoj bazi sastavljenoj od svojstvenih vektora samopridruženog operatora.

Drugi definicija: nazovimo samopridruženi operator koji djeluje u Euklidskom prostoru simetrično operater Razmotrimo matricu simetričnog operatora. Dokažimo tvrdnju: Da bi operator bio simetričan, potrebno je i dovoljno da njegova matrica u ortonormalnoj bazi bude simetrična.

Neka A – simetrični operator, tj.:

(Ax,y) = (x, Ay)

Ako A je matrica operatora A, i x I y– neki vektori, onda pišemo:

koordinate x I y u nekoj ortonormalnoj osnovi

Zatim: ( x,y) = X T Y = Y T X i imamo ( Ax,y) = (AX) T Y = X T A T Y

(x, Ay) = X T (AY) = X T AY,

one. X T A T Y = X T AY. Za proizvoljno X,Y matrice stupaca ova jednakost je moguća samo kada je A T = A, što znači da je matrica A simetrična.

Pogledajmo neke primjere linearnih operatora

Operater dizajn. Neka je potrebno pronaći matricu linearnog operatora koji projektuje trodimenzionalni prostor na koordinatnu osu e 1 u osnovi e 1 , e 2 , e 3 . Matrica linearnog operatora je matrica čiji stupci moraju sadržavati slike baznih vektora e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1). Ove slike očigledno postoje: Ae 1 = (1,0,0)

Ae 2 = (0,0,0)

Ae 3 = (0,0,0)

Dakle, u osnovi e 1 , e 2 , e 3 matrica željenog linearnog operatora imat će oblik:

Hajde da pronađemo jezgro ovog operatora. Prema definiciji, kernel je skup vektora X, za koje je AX = 0. Or

To jest, jezgro operatora je skup vektora koji leže u ravni e 1 , e 2 . Dimenzija kernela je n – rangA = 2.

Skup slika ovog operatora je očito skup kolinearnih vektora e 1 . Dimenzija prostora slike jednaka je rangu linearnog operatora i jednaka je 1 , što je manje od dimenzije prostora predslike. Odnosno, operater A– degenerisan. Matrica A je također singularna.

Još jedan primjer: pronaći matricu linearnog operatora koji djeluje u prostoru V 3 (osnova i, j, k) linearna transformacija – simetrija oko ishodišta.

Imamo: Ai = -i

Odnosno, željena matrica

Razmotrite linearnu transformaciju - simetrija u odnosu na ravan y = x.

Aj = i(1,0,0)

Ak = k (0,0,1)

Matrica operatora će biti:

Drugi primjer je već poznata matrica koja povezuje koordinate vektora prilikom rotacije koordinatnih osa. Nazovimo operator koji rotira koordinatne ose operatorom rotacije. Recimo da se rotiramo za ugao :

Ai’ = cos i+ sin j

Aj’ = -sin i+cos j

Matrica operatora rotacije:

Ai ‘ Aj ‘

Podsjetimo se na formule za transformaciju koordinata točke pri promjeni baze - zamjenu koordinata na ravnini pri promjeni baze:

E Ove formule se mogu posmatrati na dva načina. Prethodno smo razmatrali ove formule tako da tačka stoji, a koordinatni sistem rotira. Ali takođe se može smatrati da koordinatni sistem ostaje isti, ali se tačka pomera sa pozicije M * na poziciju M. Koordinate tačke M i M * su definisane u istom koordinatnom sistemu.

IN Sve ovo nam omogućava da pristupimo sledećem problemu koji programeri koji se bave grafikom na računaru moraju da reše. Neka je potrebno rotirati određenu ravnu figuru (na primjer, trokut) na ekranu kompjutera u odnosu na tačku O’ sa koordinatama (a, b) kroz određeni ugao . Rotacija koordinata je opisana formulama:

Paralelni prijenos obezbjeđuje sljedeće odnose:

Za rješavanje takvog problema obično se koristi umjetna tehnika: uvode se takozvane “homogene” koordinate tačke na ravni XOY: (x, y, 1). Tada se matrica koja obavlja paralelni prijenos može napisati:

stvarno:

I matrica rotacije:

Problem koji se razmatra može se riješiti u tri koraka:

1. korak: paralelni prijenos na vektor A(-a, -b) kako bi se središte rotacije poravnalo s ishodištem koordinata:

2. korak: okretanje pod uglom :

3. korak: paralelni prijenos na vektor A(a, b) za vraćanje centra rotacije na prethodnu poziciju:

Željena linearna transformacija u matričnom obliku će izgledati ovako:

(**)

U ovom odeljku ćemo pokazati kako se definicije i rezultati prethodnih odeljaka prenose na slučaj realnih euklidskih prostora.

1. Opće napomene.

Razmotrimo proizvoljno -dimenzionalni realni euklidski prostor V i operator A koji djeluje u V.

Koncept linearnog operatora za slučaj realnog linearnog prostora je formulisan u potpunoj analogiji sa odgovarajućim konceptom za kompleksan prostor.

Definicija 1. Operator A se naziva linearnim ako je za bilo koji element bilo kojeg realnog broja a i P jednakost

U potpunoj analogiji sa kompleksnim prostorom, uvodi se koncept svojstvene vrijednosti i svojstvenog vektora operatora.

Važno je napomenuti da su svojstvene vrijednosti korijeni karakteristične jednadžbe operatora.

Obrnuti iskaz u realnom slučaju je istinit samo ako je odgovarajući korijen karakteristične jednadžbe realan. Samo u ovom slučaju će naznačeni korijen biti vlastita vrijednost linearnog operatora koji se razmatra.

S tim u vezi, prirodno je izdvojiti neku klasu linearnih operatora u realnom euklidskom prostoru, čiji su svi korijeni karakterističnih jednačina realni.

U gore dokazanoj teoremi 5.16, ustanovljeno je da su sve vlastite vrijednosti samopridruženog operatora realne. Osim toga, igrao se koncept samopridruženog operatora važnu ulogu u zaključcima § 6 ovog poglavlja o kvadratnim oblicima. Stoga je prirodno proširiti koncept samopridruženog operatora na slučaj realnog prostora.

Najprije uvedemo koncept operatora A konjugiranog s operatorom A. Naime, za operator A se kaže da je konjugiran s A ako za bilo koje x i y iz V vrijedi jednakost

Teorema 5.12 o postojanju i jedinstvenosti konjugiranog operatora može se bez poteškoća prenijeti na slučaj realnog prostora.

Podsjetimo da se dokaz teoreme 5.12 oslanja na koncept seskvilinearne forme. U stvarnom slučaju, umjesto seskvilinearne forme, trebali biste koristiti bilinearni oblik

Ovom prilikom, u stavu 2 § 4 gl. 5 je data odgovarajuća primjedba.

S tim u vezi, prisjetimo se definicije bilinearne forme u bilo kojem realnom, ne nužno euklidskom linearni prostor Neka je B funkcija koja pridružuje realan broj svakom uređenom paru vektora

Definicija 2. Funkcija se naziva bilinearni oblik definiran na ako su za bilo koji vektor iz i bilo koji realan broj X zadovoljeni sljedeći odnosi:

Važnu ulogu u ovom dijelu imat će poseban prikaz bilinearne forme u obliku

gdje je A neki linearni operator. Odgovarajuća teorema (teorema 5.11) o sličnom predstavljanju seskvilinearne forme u kompleksnom prostoru zasnovana je na zaključcima Leme § 4 ovog poglavlja o posebnom predstavljanju linearne forme. Na kraju ovog paragrafa napomenuto je da je ova lema tačna iu realnom prostoru. Napominjemo samo da se u dokazu leme izbor elemenata mora izvršiti ne prema formuli (5.41), već po formuli gdje je dat linearni oblik u realnom prostoru.

U § 6 ovog poglavlja uvedeni su hermitski oblici. Hermitski oblik je seskvilinearni oblik u kompleksnom prostoru, karakteriziran relacijom (crta iznad B znači da je uzet kompleksni konjugat od B).

U slučaju realnog prostora, simetrične bilinearne forme služe kao analog hermitskih oblika. Ovaj oblik karakteriše omjer

Bilinearni oblik definiran na linearnom prostoru naziva se kososimetričnim ako je za bilo koji vektor iz relacije zadovoljen. Očigledno, za svaki bilinearni oblik funkcije

su, respektivno, simetrični i koso-simetrični bilinearni oblici. Jer tada dobijamo sljedeću izjavu:

Bilo koji bilinearni oblik može se predstaviti kao zbir simetričnog i koso-simetričnog bilinearnog oblika.

Lako je vidjeti da je takav prikaz jedinstven.

Dokazaćemo sljedeću teoremu o simetričnim bilinearnim oblicima (ova teorema služi kao analogna teoremi 5.25 o hermitskim oblicima).

Teorema 5.33. Da bi bilinearni oblik definiran na svim mogućim vektorima x i y realnog euklidskog prostora V bio simetričan, potrebno je i dovoljno da linearni operator A koji se pojavljuje u predstavi (5.113) bude samospojen.

Dokaz. Ako je A samopridruženi operator, onda, koristeći svojstva skalarnog proizvoda, dobijamo

Dakle, relacija (5.114) je zadovoljena, tj. bilinearni oblik je simetričan.

Ako je oblik simetričan, tada su relacije važeće

Prema tome, operator A je samopridružen. Teorema je dokazana.

Hajde da uvedemo koncept matrice linearnog operatora A. Neka je neka baza u -dimenzionalnom realnom linearnom prostoru. Hajde da stavimo

Zatim, kao u složen slučaj, nije teško pokazati da ako onda . Vektorske komponente imaju sljedeći prikaz:

Matrica se naziva matrica linearnog operatora A u bazi

Na isti način kao što je učinjeno u § 2 ovog poglavlja, može se dokazati da veličina ne zavisi od izbora baze i da je determinanta operatora A ispravno uvedena.

Karakteristična jednačina koja odgovara operatoru A je jednačina polinoma na lijevoj strani ove jednačine, koja se naziva karakteristični polinom operatora A.

Dokažimo sada teoremu o korijenima karakterističnog polinoma samoprilagođenog operatora u realnom euklidskom prostoru.

Teorema 5.34. Svi korijeni karakterističnog polinoma samopridruženog linearnog operatora A u Euklidovom prostoru su realni.

Dokaz. Neka je korijen karakteristične jednadžbe

samopridruženi operator A.

Fiksiramo neku bazu u V i označavamo sa - elemente matrice operatora A u ovoj bazi (napomenimo da su - realni brojevi).

Tražićemo rešenje različito od nule za sledeći sistem linearnih homogenih jednačina u odnosu na

Pošto je determinanta sistema (5.116) jednaka (podsjetimo se da determinanta matrice linearne transformacije ne zavisi od izbora baze i, prema (5.115), ova determinanta jednaka nuli), tada sistem (5.116) homogenih linearnih jednadžbi ima rješenje različito od nule

Zamjenom ovog rješenja u desnu i lijevu stranu sistema (5.116), uzimajući to u obzir i potom odvajajući realne i imaginarne dijelove rezultirajućih relacija, nalazimo da skupovi realnih brojeva zadovoljavaju sledeći sistem jednadžbe:

Razmotrimo u ovoj osnovi vektore x i y sa koordinatama, respektivno. Tada se relacije (5.117) mogu prepisati u formu

Pomnožimo prvu od dobijenih relacija skalarno sa y, a drugu sa x. Očigledno, dobijamo jednakosti

Kako je operator A samo-adjogentan, onda oduzimanjem relacija (5.118) dobijamo jednakost

Ali (ako bi onda, dakle, rješenje bilo nula, dok je po konstrukciji ovo rješenje različito od nule). Dakle, pošto je imaginarni dio korijena karakteristične jednadžbe (5.115), onda je, očigledno, realan broj. Teorema je dokazana.

Kao iu složenom slučaju, za samopridruženi operator izjava postojanja je tačna ortonormalna osnova, koji se sastoji od svojstvenih vektora ovog operatora (analog teoreme 5.21). Dokažimo ovu tvrdnju.

Teorema 5.35. Svaki samoprilagođeni linearni operator A koji djeluje u n-dimenzionalnom realnom euklidskom prostoru V ima ortonormalnu osnovu vlastitih vektora.

Dokaz. Neka bude stvarna eigenvalue operator A, a je jedinični svojstveni vektor koji odgovara ovoj svojstvenoj vrijednosti

Označimo sa -dimenzionalnim podprostorom prostora V, ortogonalnim na Očigledno, - invarijantni podprostor prostora V (odnosno, ako je onda ). Zaista, neka je tada, budući da je operator A samo-adjogentan - vlastita vrijednost A, dobijamo

220400 Algebra i geometrija Tolstikov A.V.

Predavanja 15. Linearni operatori u euklidskim prostorima

Plan

1. Konjugirani operatori euklidskih prostora i njihova svojstva.

2. Samopridruženi operatori.

3. Ortogonalne matrice i njihova svojstva.

4. Ortogonalni operatori i njihova svojstva.

1. Kurs analitičke geometrije i linearne algebre. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementi linearne algebre i analitičke geometrije. 1997.

3. Voevodin V.V. Linearna algebra.. M.: Nauka 1980.

4. Zbirka zadataka za fakultete. Linearna algebra i osnove matematička analiza. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Linearna algebra u pitanjima i problemima. M.: Fizmatlit, 2001.

6. Voevodin V.V. Linearna algebra. M.: Nauka, 1980.

1. Konjugirani operatori euklidskih prostora i njihova svojstva. Neka E- Euklidski prostor nad poljem realnih brojeva R , na kojoj je skalarni proizvod vektora ( a ,b ), a ,b Î E.

Definicija 1. Linearni operator A* Euklidski prostor E pozvao konjugirati linearni operator A* prostor E, ako za bilo koje vektore a ,b Î E ispunjen je uslov:

(Aa ,b ) = (a ,A*b ). (1)

Lema 1.Ako je proizvod datog nizaU u bilo koju kolonuY je nula, a zatim linijaU zero. Ako je proizvod bilo kojeg nizaX t on data kolona U je jednako nuli, a zatim stupacnull.

Dokaz. Neka U= (u 1 , u 2 ,…,u n), Y= (y 1 , y 2 ,…,y n)t. Prema uslovima teoreme, za bilo koje brojeve y 1 , y 2 ,…,y n U Y= (u 1 , u 2 ,…,u n)(y 1 , y 2 ,…,y n)t = u 1 y 1 + u 2 y 2 +…+u n y n=0. Ako svi brojevi y 1 , y 2 ,…,y n jednake su 0, osim y j, što je = 1, onda to dobijamo u j (i = 1,2,…,n). Zbog toga U=0. Druga tvrdnja teoreme dokazuje se na sličan način. 

Teorema 1.Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - osnova euklidskog prostoraE, A - matrica linearnog operatora A u odnosu na osnovu v, G = (g ij) - osnovna Gram matrica v. Ako je za linearni operatorA postoji konjugirani operatorA * , tada je jednakost zadovoljena

A t G = G A*. (2)

Dokaz. Neka X I Y vektorske koordinatne kolone a ,b Î E u odnosu na osnovu v, A I A* linearne operatorske matrice A I A * u odnosu na osnovu v. Onda

(Aa , b ) =(v(SJEKIRA), vY) = (SJEKIRA) t G.Y., (a ,A*b ) = X t G A * Y.(3)

Odavde, koristeći formulu (1), dobijamo jednakost ( SJEKIRA) t G.Y.= X t G A * Y, važi za bilo koji vektor kolona X I Y. Od vektora a ,b su proizvoljni, onda prema lemi 1 dobijamo A t G = G A*.

Teorema 2.Ako je osnovav = (v 1 , v 2 ,…, v n) Euklidski prostorE ortonormalno, dakle matricaA* konjugirani linearni operatorA* transponuje se u matricuAoperator A ;

A t = A*. (4)

Dokaz. Pošto je Gram matrica ortonormalne baze identičnost, G = E, tada (4) slijedi iz (2) . 

Zaključak 1. Za bilo kog operateraA jednakost je istinita (A* ) * = A .

Dokaz. Prema formuli (4) za matrice linearnih operatora ( A* ) * I A u ortonormalnoj osnovi imamo ( A*) * = (A t)t = A. Zbog toga ( A* ) * = A .

Zaključak 2. Za bilo kog operateraA , B jednakost je istinita (AB ) * = B*A* .

Dokaz. Prema formuli (4) za matrice linearnih operatora A ,B I A* , B* u ortonormalnoj osnovi imamo ( AB) * = (AB)t = B t A t = B * A*. Zbog toga ( AB ) * = B*A* .

Zaključak 3. Vlastite vrijednosti linearnih operatoraA IA* match.

Dokaz. Budući da se karakteristični polinomi matrica poklapaju, poklapaju se i vlastite vrijednosti linearnih operatora koji su korijeni karakteristične jednadžbe . 

Teorema 3. Za bilo koji linearni operatorA Euklidski prostorE postoji jedinstveni konjugirani linearni operatorA* .

Dokaz. Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n) ortonormalna osnova euklidskog prostora E, A - linearni operator sa matricom A u odnosu na osnovu v. Hajde da razmotrimo E linearni operator B sa matricom A t u odnosu na ovu osnovu. Operater B postoji samo jedan. Desne strane jednakosti (3) su jednake: ( SJEKIRA) t G.Y. = X t G A * Y. Dakle, i lijevi su jednaki ( Aa , b ) = (a ,Bb ). Stoga operater B - sučelje za operatera A . 

2. Samopridruženi operatori.

Definicija 1. Linearni operator A Euklidski prostor E pozvao samospojni ili simetrični, Ako A = A* , tj. za bilo koje vektore od dva a ,b Î E ispunjen je uslov:

(Aa , b ) = (a ,Ab ). (1)

Teorema 1. Linearni operatorA Euklidski prostorE je samopridružen ako i samo ako je matricaLinearni operatorA u ortogonalnoj bazi postoji simetrična matrica, tj.. A = A * .