Pridruženi operator u Euklidovom prostoru. Linearni operatori u Euklidskom prostoru

§ 5. Linearni samopridruženi operatori
u Euklidskom prostoru .

1. Koncept pridruženog operatora. Mi ćemo razmotriti linearni operatori u konačno-dimenzionalnom euklidskom prostoru V. Definicija 1. Kaže se da je operator A* iz L(V, V) pridružen linearnom operatoru A ako je, za bilo koje x i y iz V, relacija

(Ax, y) = (x, A*y). (5.51)

Lako je provjeriti da je operator A*, pridružen linearnom operatoru A, sam po sebi linearni operator. Ovo proizilazi iz očiglednog odnosa

vrijedi za sve elemente x, y 1 , y 2 i sve kompleksne brojeve α i β.

Dokažimo sljedeću teoremu.

Teorema 5.12. Svaki linearni operator A ima jedinstveni adjoint.

Dokaz. Očigledno, skalarni proizvod (Ax, y) je seskvilinearni oblik (vidi poglavlje 4, §3, tačka 1 i definiciju seskvilinearnog oblika). Prema teoremi 5.11 postoji jedinstveni linearni operator A* takav da se ovaj oblik može predstaviti kao (x, A*y). Dakle, (Ax, y) = x, A*y.
Prema tome, operator A* je adjuponiran operatoru A. Jedinstvenost operatora A* proizilazi iz jedinstvenosti reprezentacije seskvilinearnog operatora u obliku E.44). Teorema je dokazana.

U nastavku, simbol A* će označavati operator koji je povezan sa operatorom A.
Bilješka sljedeća svojstva konjugirani operatori:

Dokazi svojstava 1°-4° su elementarni i ostavljamo ih čitaocu. Dajemo dokaz imovine 5°. Prema definiciji proizvoda operatora, vrijedi relacija (AB)x = A(Bx). Koristeći ovu jednakost i definiciju pridruženog operatora, dobijamo sljedeći lanac relacija:

((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y) .

Dakle, ((AB)x, y) = (x, (B*A*)y). Drugim riječima, operator B*A* je adjugantan operatoru AB. Utvrđena je valjanost svojstva 5°.

Komentar. Pojam pridruženog operatora za realni prostor uveden je na potpuno isti način. Zaključci ovog pododeljka i svojstva adjunktnih operatora važe i za ovaj slučaj (štaviše, svojstvo 3° je formulisano na sledeći način: (λA)* = λA*).

2. Samopridruženi operatori. Osnovna svojstva.
Definicija 2. Linearni operator A iz L(V, V) naziva se samoprilagođen ako je jednakost

A* =A.

Slično je definiran samopridruženi operator u realnom prostoru.
Najjednostavniji primjer samopridruženog operatora je operator identiteta I (vidi svojstvo 1° spojenih operatora u prethodnom pododjeljku).
Uz pomoć samopridruženih operatora može se dobiti poseban prikaz proizvoljnih linearnih operatora. Naime, tačna je sljedeća tvrdnja.

Teorema 5.13. Neka je A linearni operator koji djeluje u kompleksnom Euklidovom prostoru V. Tada imamo reprezentaciju A = A R + iA Ja, gde A R i A I su samopridruženi operatori, koji se nazivaju realni i imaginarni dijelovi operatora A.

Dokaz. Prema svojstvima 2°, 3° i 4° spojenih operatora (vidi prethodni paragraf ovog stava) operateri A R = (A + A*)/2 i A I = (A - A*)/2i- samospojni.

Očigledno, A = A R + iA I Teorema je dokazana.

U sljedećoj teoremi razjašnjeni su uvjeti za samospregnutost proizvoda samopridruženih operatora. Reći ćemo da operatori A i B komutiraju ako AB = BA.

Teorema 5.14. Da bi proizvod AB samospojnih operatora A i B bio samopridruženi operator, potrebno je i dovoljno da oni komutiraju.
Dokaz. Budući da su A i B samopridruženi operatori, onda, prema svojstvu 5° spojenih operatora (vidi tačku 1 ovog odjeljka), relacije
(AB)* = B*A* = BA (5,52)

Stoga, ako AB = BA, To ( AB)* = AB, tj. operator AB je samospojen. Ako je AB samopridruženi operator, onda AB \u003d (AB) *, a zatim, na osnovu (5.52), AB = BA. Teorema je dokazana.
U sljedećim teoremama utvrđen je niz važnih svojstava samopridruženih operatora.
Teorema 5.15. Ako je operator A samospojen, onda za bilo koji X ϵ V skalarni proizvod (ah, x) je pravi broj.
Dokaz. Valjanost tvrdnje teoreme slijedi iz sljedeće osobine skalarnog proizvoda u kompleksnom euklidskom prostoru i definicija samopridruženog operatora (Podsjetite se da ako kompleksni broj onda jednako njegovom konjugatu
ovaj broj je stvaran.)

Teorema 5.16. Vlastite vrijednosti samopridruženog operatora su realne.
Dokaz. Neka je λ vlastita vrijednost samoprilagođenog operatora A. Prema definiciji vlastite vrijednosti operatora A (vidi definiciju 2 odjeljka 3 ovog poglavlja), postoji vektor x koji nije nula
takav da je Ax = λx. Iz ove relacije slijedi da se realni (na osnovu teoreme 5.15) skalarni proizvod (Ax, x) može predstaviti u obliku 2)

( 2) Podsjetimo da je simbol ||x|| označava normu elementa x.)

Pošto ||x|| i (Ax, x) su realni, onda je, očigledno, λ takođe realan broj. Teorema je dokazana.

U sljedećoj teoremi pojašnjava se svojstvo ortogonalnosti vlastitih vektora samopridruženog operatora.
Teorema 5.17. Ako je A samopridruženi operator, tada su svojstveni vektori koji odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima ovog operatora ortogonalni.

Dokaz. Neka su λ 1 i λ 2 različite vlastite vrijednosti (λ 1 ≠ λ 2) samopridruženog operatora A, a x 1 i x 2 su odgovarajući svojstveni vektori, redom. Tada vrijede relacije Ax 1 = λ 1 x 1, Ah 2 = λ 2 x 2. Stoga su skalarni proizvodi (Ax 1 , x 2) i (x 1 , Ax 2) jednaki sljedećim izrazima 3:

3) Pošto su sopstvene vrednosti samopridruženog operatora realne, onda

Kako je operator A samospojen, skalarni produkti (Ax 1, x 2) i (x 1, Ax 2) su jednaki, pa se iz posljednje relacije oduzimanjem dobiva jednakost

Kako je λ 1 ≠ λ 2, onda iz posljednje jednakosti slijedi da je skalarni proizvod (x 1 * x 2) jednak nuli, tj. ortogonalnost sopstvenih vektora x 1 i x 2 Teorema je dokazana.

3. Norma linearnog operatora. Neka je A linearni operator koji preslikava euklidski prostor V u isti prostor. Hajde da uvedemo pojam norme operatora A.
Definicija 3. Norma || A || linearni operator A je broj definisan relacijom 1)

1) Podsjetimo da odavde slijedi šta je kontinuirana funkcija x, koji na zatvorenom skupu ||x|| = 1 dostiže konačnu maksimalnu vrijednost.

Iz definicije norme linearnog operatora slijedi sljedeća očigledna nejednakost:

(za dokaz je dovoljno koristiti relaciju Ax =

Iz E.54) slijedi da ako ||A|| = 0, tada je operator A nul.

Norma samopridruženog operatora A može se definirati na drugi način. Naime, tačna je tvrdnja:

Ako je A samopridruženi operator, onda je norma uvedena gore ||A|| operator A je

Dokaz. Za bilo koji x iz V, nejednakost Cauchy-Bunyakovsky je tačna (vidjeti tačku 2 § 3, pogl. 4)

Iz nje i iz nejednakosti (5.54) dobijamo sljedeću nejednakost:

Stoga broj

zadovoljava relaciju

Imajte na umu da iz jednakosti

i definicija broja μ (vidi 5.56)) slijedi sljedeća nejednakost:

Okrenimo se sada sljedećem očiglednom identitetu:

(u ovom identitetu, simbol Re (Ax, y) označava realni dio kompleksnog broja (Ax, y), sam identitet lako slijedi iz svojstava skalarnog proizvoda, vidi Odjeljak 3, Poglavlje 4, Odjeljak 1) . Skretanje lijevo i desno
delove ovog identiteta po modulu, koristeći svojstvo modula zbira i nejednakosti E.58), dobijamo sledeće relacije 1) :

1 ) Koristili smo definiciju norme elementa u kompleksnom euklidskom prostoru.

Dakle, za ||x|| = ||y|| = 1 dobijamo nejednakost

Uz pretpostavku ove nejednakosti (očigledno, ||y|| = 1) i uzimajući u obzir da je broj (Ax, Ax) = ||Ax|| 2 je stvarno (tako da dobijamo

Dakle, prema nejednakosti (5.53), nalazimo

Da bismo završili dokaz, ostaje da se dobijena nejednakost uporedi sa nejednakošću (5.57) i koristi se definicija broja µ (vidi 5.56)).

4. Dalja svojstva samopridruženih operatora. U ovom pododjeljku dokazujemo niz važnih svojstava linearnih operatora vezanih za koncept norme. Prvo, uspostavljamo neophodan i dovoljan uslov da operator bude samoprilagođen. Dokažimo sljedeću teoremu.
Teorema 5.18. Da bi linearni operator A bio samospojen, potrebno je i dovoljno da 2)

2 ) Simbol Im (Ax, x) označava imaginarni dio kompleksnog broja (Ax, x). Jednakost Im (Ax, x) = 0 znači da je broj (Ax, x) realan.

Dokaz. Prema teoremi 5.13, proizvoljni linearni operator A može se predstaviti kao

samoprilagođeni operatori. Zbog toga

štaviše, prema teoremi 5.15, za bilo koje x brojevi i su realni. Stoga su ovi brojevi jednaki realnom i imaginarnom dijelu kompleksnog broja (Ax, x):

Pretpostavimo da je A samopridruženi operator. Prema teoremi 5.15, u ovom slučaju (Ax, x) je realan broj,
i tako je Im(Ax, x) = 0. Dokazana je neophodnost uslova teoreme.

Dokažimo dovoljnost uslova teoreme.

Neka je Im(Ax, x) = (A I x, x) = 0. Ovo implicira da ||A I || = 0, tj. A I = 0. Prema tome, A = A R , gdje je A R samopridruženi operator.
Teorema je dokazana.
Sljedeće tvrdnje pojašnjavaju neka svojstva svojstvenih vrijednosti samopridruženih operatora.

Lemma. Bilo koja svojstvena vrijednost X proizvoljnog linearnog samopridruženog operatora A u euklidskom prostoru jednaka je skalarnom proizvodu (Ax, x), gdje je x neki vektor,
zadovoljavajući uslov ||h|| = 1:

Dokaz. Pošto je λ vlastita vrijednost operatora A, postoji vektor z različit od nule takav da

Neka je x = z/||z|| (očigledno, ||x|| = 1), prepisujemo 5.60) na sljedeći način: Ax = λ x, ||x|| = 1. Otuda dobijamo relacije tj. 5.59). Lema je dokazana.
Posljedica. Neka je A samopridruženi operator i λ bilo koja svojstvena vrijednost ovog operatora. Neka dalje

Sljedeće nejednakosti su tačne:

Napomena 1. Pošto je skalarni proizvod (Ax, x) kontinuirana funkcija od x, onda na zatvorenom skupu ||x|| = 1, ova funkcija je ograničena i dostiže svoje tačne granice m i M.
Napomena 2. Prema teoremi 5.16, vlastite vrijednosti samopridruženog operatora su realne. Dakle, nejednakosti 5.62) imaju smisla.
Dokaz posledica. Kako bilo koja svojstvena vrijednost λ zadovoljava relaciju (5.59), onda je, očito, svaka svojstvena vrijednost zatvorena između tačnih strana m i M skalarnog proizvoda (Ax, x). Dakle, nejednakosti (5.62) vrijede.
Dokazaćemo da su brojevi m i M definisani relacijama (5.61) najmanja, odnosno najveća vlastita vrijednost samoprilagođenog operatora A. Prvo provjerimo valjanost sljedeće tvrdnje.

Teorema 5.19. Neka je A samopridruženi operator i, pored toga, (Ax, x) ≥ 0 za bilo koje x. Tada je norma ||A|| jednaka najvećem eigenvalue ovaj operater 1)

1 ) Pošto postoji konačan broj svojstvenih vrijednosti i one su realne, najveća od njih se može specificirati.

Dokaz. To smo već primijetili (vidi izjavu prethodnog stava).

Pošto je (Ax, x) ≥ 0, onda prema napomeni 1 ovog pododjeljka, za neke

Okrećući se definiciji norme i koristeći upravo napisane jednakosti, dobijamo relacije 2)

Ovako, ili drugačije, je svojstvena vrijednost operatora A. Činjenica da je λ najveća svojstvena vrijednost slijedi iz posljedica koje je upravo ustanovljeno iz leme ovog odjeljka. Teorema je dokazana.

Dokažimo sada da su brojevi m i M (vidi 5.61)) najmanja i najveća vlastita vrijednost samopridruženog operatora A.

Teorema 5.20. Neka je A samoprilagođen operator, i neka su m i M tačna lica (Ax, x) na skupu ||x|| = 1. Ovi brojevi predstavljaju najmanju i najveću svojstvenu vrijednost operatora A.
Dokaz. Očigledno, dovoljno je dokazati da su brojevi m i M vlastite vrijednosti operatora A. Tada iz nejednakosti 5.62) odmah slijedi da su m i M najmanja, odnosno najveća vlastita vrijednost.
Hajde da prvo dokažemo da je M sopstvena vrednost. Da biste to učinili, razmotrite samopridruženi operator B = A - mI. Jer

tada operator B zadovoljava uslove iz teoreme 5.19, pa prema tome norma ||B|| ovog operatora jednaka je najvećoj svojstvenoj vrijednosti. Na drugoj strani,

Dakle, (M - m) je najveća vlastita vrijednost operatora B. Dakle, postoji takav vektor x 0 koji nije nula da

Jer

Zamjenom ovog izraza Bx 0 u lijevu stranu jednakosti (5.63) dobijamo, nakon jednostavnih transformacija, relaciju Ax 0 = Mx 0 - Dakle, M je vlastita vrijednost operatora A. Sada se uvjeravamo da je broj m je također vlastita vrijednost operatora A.
Razmotrimo samopridruženi operator B = -A. Očigledno je da

Prema upravo izvršenom dokazu, broj m je vlastita vrijednost operatora B. Kako je B = -A, tada će m biti sopstvena vrijednost operatora A. Teorema je dokazana.

Sljedeća teorema otkriva važno svojstvo vlastitih vektora samopridruženog operatora.

Teorema 5.21. Za svaki samopridruženi linearni operator A koji djeluje u n -dimenzionalni euklidski prostor V, postoji n linearno nezavisni parno ortogonalni i jedinični sopstveni vektori.

Dokaz. Neka λ 1 - maksimalna vlastita vrijednost operatora

Označimo sa e 1 sopstveni vektor koji odgovara λ 1 i koji zadovoljava uslov ||e 1 || = 1 (mogućnost njegovog izbora proizilazi iz dokaza leme ovog pododjeljka).
Označimo sa V 1 (n - 1)-dimenzionalni podprostor prostora V, ortogonan na e 1 Očigledno, V 1 je invarijantni podprostor operatora A (tj., ako je x ϵ V 1, onda je Ax ϵ V 1. Zaista, neka je x ϵ V 1 (tj. (h,e 1 =0). Tada je 1)

1 ) Koristili smo samoprilagođeno svojstvo operatora (Ax, e 1 ) = (x, Ae 1 ) i činjenica da e 1 - sopstveni vektor operatora:

Prema tome, Ax je element V 1 , a samim tim i V 1 je invarijantni podprostor operatora A. Ovo nam daje pravo da razmotrimo operator A u podprostoru V 1 . U ovom podprostoru A će biti samopridruženi operator. Dakle, postoji maksimalna svojstvena vrijednost A 2 ovog operatora, koja se može naći pomoću relacije 1 )

1 ) Simbol označava ortogonalnost vektora e 1 i e 2

Osim toga, može se specificirati vektor takav da

Pozivajući se dalje na (n - 2)-dimenzionalni podprostor V 2 ortogonan na vektore e 1 i e 2 , i ponavljajući gornje rezonovanje, konstruišemo svojstveni vektor e s, ||e s || = 1 ortogonalno na e 1 i e 2. Raspravljajući dalje na isti način, sukcesivno nalazimo n međusobno ortogonalnih vlastitih vektora e 1 , e 2 ,..., e n koji zadovoljavaju uvjet
Napomena 1. U nastavku se slažemo da svojstvene vrijednosti samopridruženog operatora numeriramo u opadajućem redoslijedu, uzimajući u obzir ponovljene, tj. višestruke vlastite vrijednosti. Gde

a odgovarajući sopstveni vektori e 1 , e 2 ,..., e n se mogu smatrati međusobno ortogonalnim i zadovoljavajući uslov

dakle,

Napomena 2. Argument u dokazu teoreme implicira relaciju

Ovaj odnos se takođe može zapisati kao

linearni raspon vektora e 1 , e 2 ,..., e m . Valjanost napomene proizlazi iz činjenice da je (x, x) = ||x|| 2 , i stoga

gdje je norma elementa x/||x|| jednako 1.

Neka ∑ m je skup svih m-dimenzionalnih podprostora prostora V. Važi sljedeće važno minimalno svojstvo svojstvenih vrijednosti.
Teorema 5.22. Neka je A samopridruženi operator i su njegove sopstvene vrednosti, numerisane redosledom navedenim u napomeni 1. Zatim

PREDAVANJE 9

Operatori u euklidskim prostorima

Linearni operatori koji djeluju na euklidskim prostorima imaju niz posebnih svojstava koja su vrlo važna za primjenu linearne algebre u različitim predmetnim oblastima. Zadržaćemo se samo na glavnim pitanjima ove teorije, a posebno ćemo proučavati teoriju linearnih operatora isključivo u realnim prostorima sa ortonormiranim bazama, odnosno u prostoru . Osim toga, operatore ćemo smatrati transformacijama, odnosno proučavat ćemo operatore
.

Adjoint operator . Razmotrimo koncept operatora, povezan sa operaterom , djelujući u euklidskom prostoru
.

Definicija 9.1. Neka
je neki linearni operator. Operater
pozvaopovezan sa operaterom , Ako
stanje

. (9.1)

Teorema 9.1. Za bilo koji linearni operator
postoji samo jedan povezani operator
, koji je takođe linearan.

Dokaz. 1) Neka operater postoji, dokazujemo njegovu jedinstvenost. Da biste to učinili, pretpostavite da ovaj operator nije jedinstven, odnosno da postoje, na primjer, dva operatora I , zadovoljavajući definiciju 9.1. Tada po formuli (9.1) imamo:

,
, (9.2)

gde stignemo

Zbog činjenice da je u definiciji 9.1 (u formuli (9.1)) vektor
proizvoljno, stavljamo u jednakost (9.3)

,

.

Pošto skalarni proizvod zadovoljava aksiom nedegeneracije, iz posljednje jednakosti imamo

odakle, zbog proizvoljnosti vektora sledi to
i dokazana je jedinstvenost pridruženog operatora.

2) Dokažimo linearnost pridruženog operatora. Koristeći definiciju (9.1) i svojstva skalarnog proizvoda, dobijamo:

,
I

A)
;

Poređenje formula a) i b) implicira linearnost pridruženog operatora , naime:

.

3) Dokažimo sada postojanje pridruženog operatora. Popravite u prostoru
kanonska osnova
, i napišite vektore
I
u obliku njihovih proširenja u kanonskoj osnovi:

;
. (9.4)

Razmotrimo izračun lijevog i desnog dijela (9.1):

;

.

Upoređujući posljednje dvije jednakosti, uzimajući u obzir (9.1), dobijamo:

. (9.5)

Dakle, ako je operator matrica ima oblik

,

tada matrica pridruženog operatora ima oblik

. (9.6)

Iz (9.6) slijedi da je matrica pridruženog operatora u bilo kojoj ortonormalnoj osnovi
nalazi se transponovanjem matrice operatora , što dokazuje postojanje pridruženog operatora.

Dokažimo teoremu o svojstvima operatora konjugiranog s linearnim operatorom.

Teorema 9.2. Sljedeća svojstva spojnog operatora su važeća :
I

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

Dokaz. Dokažimo prvu relaciju. Neka je proizvoljan linearni operator. Za pridruženog operatera konjugirani operator će biti . onda:

Posljednja jednakost vrijedi za bilo koji vektor , to je,

,

odakle slijedi dokaz prvog svojstva.

Dokažimo drugu relaciju. Da biste to učinili, razmotrite sljedeći lanac transformacija:

Poređenje lijevog i desnog dijela jednakosti (9.8) implicira dokaz drugog svojstva.

Ostala svojstva dokazuju se na sličan način.

Samopridruženi operatori . U aplikacijama veliki značaj imati samoprilagođeni operatori .

Definicija 9.2. Linearni operator
pozvaoself-adjoint , Ako
.

Iz definicije slijedi da samopridruženi operator zadovoljava relaciju

. (9.9)

Pošto je matrica pridruženog operatora je jednaka transponovanoj matrici operatora , tada matrični elementi samopridruženog operatora zadovoljavaju jednakost
, to je elementi matrice samoprilagođenog operatora koji su simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu jednaki su. Takva matrica se zove simetrično . Iz tog razloga, samopridruženi operatori
često zovu simetrično .

Samopridruženi operatori imaju niz svojstava koja je lako dokazati korištenjem definicije i svojstava adjoint operatora.

1. Jedan operater je samopridružena.

Dokaz. Očigledno,

.

2. Zbir samopridruženih operatora je samopridruženi operator.

Dokaz. Ako
I
, To

.

3. Kompozicija samopridruženih operatora je samopridruženi operator ako i samo ako su ovi operatori komutativni.

Dokaz. Podsjetimo da se za operator kaže da je komutativan if

,

,

Gdje je nulti operator. Ako
,
, To

,

što je jednako ako i samo ako su operatori komutativni.

4. Operater , inverzno nedegeneriranom samopridruženom operatoru
Također self-adjoint operator.

Dokaz. Zaista, ako
, To

.

5. Ako je samopridruženi operator, onda je proizvod ovog operatora nekim realnim brojem
je samopridruženi operator.

Dokaz. Od treće osobine (9.7) imamo:

.

Teorema 9.3. Vlastiti vektori samopridruženog operatora delovanje u svemiru
, koje odgovaraju parovima različitim svojstvenim vrijednostima, međusobno su ortogonalne.

:
I
, štaviše
. Pošto je operator samospojen, onda
. Dakle, na lijevoj i desnoj strani imamo:

;

.

Odakle do efekta
dobijamo:
.

Sljedeća važna teorema vrijedi za samopridružene operatore.

Teorema 9.4. Svi korijeni karakterističnog polinoma samopridruženog operatora
pravi i drugačiji.

Dokaz. IN opšti slučaj dokaz teoreme je prilično težak. Iz tog razloga dajemo dokaz za slučaj operatera
. Dakle, dat je neki linearni operator
sa matricom . Tada karakteristična jednadžba ovog operatora ima oblik:

.

Proširujući determinantu, dobijamo karakterističnu jednačinu:

Rješenje ove jednadžbe nalazi se po dobro poznatoj formuli:

.

Diskriminant izgleda ovako:

Prvi član je očito uvijek pozitivan, a drugi je pozitivan, jer
. Stoga su korijeni karakteristične jednadžbe realni i različiti.

Teorema 9.5. Neka
je samopridruženi operator. Zatim u svemir
mogu birati ortonormalna osnova

tako da je operator matrica u ovoj osnovi je bila dijagonalna.

Dokaz. Prema teoremi 9.4, svi korijeni karakterističnog polinoma samoprilagođenog operatora su realni i različiti, a prema tome, prema teoremi 9.3, sopstveni vektori samopridruženog operatora su međusobno ortogonalni. Sistem sopstvenih vektora se očigledno može normalizovati. Ali onda ovi vektori čine osnovu prostora
, u kojem je operator jednostavan strukturalni operator, odnosno ima dijagonalnu matricu.

Ortogonalni operatori i njihova svojstva, geometrijska interpretacija . Razmotrimo definiciju i svojstva važne klase operatora koji djeluju u prostoru
.

Definicija 9.3. Operater delovanje u svemiru
, zove seortogonalno ako čuva tačkasti proizvod, tj

.(9.10)

Iz definicije proizilazi da ortogonalni operator čuva norme (dužine) vektora i uglove između njih .

Lema 9.1. Operater

.

Dokaz. Neka

,

odakle imamo:
. Pretpostavljam
, dobijamo:

.

Neka
. tada imamo:

.

Očigledno je da ortogonalni operator je nedegenerisan , odnosno njena matrica ima inverznu matricu.

Teorema 9.6 (o svojstvima ortogonalnih operatora). Ortogonalni operatori
imaju sljedeća svojstva:

1)operator identiteta je ortogonan;

2)kompozicija ortogonalnih operatora je također ortogonalni operator;

3)operator inverzan ortogonalnom operatoru je također ortogonan;

4)Ako
je ortogonalni operator, zatim operator
je ortogonalno ako i samo ako
.

Dokaz. 1. Dokaz ovog svojstva je gotovo očigledan:

.

2. Neka
I
su ortogonalni operatori. onda:

3. Neka ortogonalni operator. Razmislite
:

.

4. Neka je ortogonalni operator. Onda

.

Teorema 9.7 (kriterijum za ortogonalnost operatora). Operater delovanje u svemiru
, je ortogonalno ako i samo ako preslikava barem jednu ortonormalnu bazu u ortonormalnu bazu.

Dokaz. Neka
je ortogonalni operator. Zatim on, čuvajući skalarni proizvod, prevodi ortonormalnu bazu u ortonormalnu bazu.

Pustite operatera
prevodi ortonormalnu osnovu

u novu ortonormalnu osnovu

.

Onda

.

.

Razmotrimo svojstva matrice ortogonalnog operatora.

Teorema 9.8. Sistem vektora kolona (redova) ortogonalne operatorske matrice
u bilo kojoj ortonormalnoj osnovi

je ortonormalno.

Dokaz. Neka
je neki ortogonalni operator i
je neka ortonormalna osnova. Prema teoremi 9.9, sistem slika baznih vektora sam po sebi je ortonormalan, tj.
. Dakle, za stupce operatorske matrice

,

(kao vektori aritmetičkog prostora
) imamo:

. (9.11)

Slično svojstvo vrijedi i za redove matrice :

.
(9.12)

Teorema 9.9. Matrica ortogonalnog operatora
u bilo kojoj ortonormalnoj bazi zadovoljava uslov

. (9.13)

Dokaz. Neka
je ortogonalni operator. Pošto su operatorske matrice I povezani odnosima

,

odakle za matricu operatora dobijamo (9.11).

Obrnuto, neka vrijedi relacija (9.11). Onda
, odakle slijedi da je operator je ortogonalno.

Definicija 9.4. Matrix , za koju je nekretnina zadovoljna(9.13),naziva se ortogonalnim.

Predstavimo neke teoreme o svojstvima ortogonalnog operatora.

Teorema 9.10. Vlastite vrijednosti ortogonalnog operatora delovanje u svemiru
, su jednaki
.

Dokaz. Neka
. Onda

Pošto po definiciji
, To
.

Teorema 9.11. Determinanta ortogonalne matrice jednaki

.

Dokaz. Ortogonalna matrica zadovoljava jednakost
. Zbog toga
. Onda

.

Neka je S euklidski prostor i neka je njegova kompleksizacija. Uvodimo skalarni proizvod u S formulom:

Moramo provjeriti tačnost ove definicije. Aditivnost u odnosu na prvi argument sa fiksnim drugim je očigledna. Da bi se provjerila linearnost u odnosu na prvi argument, dovoljno je provjeriti mogućnost izuzimanja kompleksnog faktora iz prvog argumenta. Odgovarajući proračun nije težak, već prilično glomazan. Upravo:

Simetrija s involucijom je očigledna - pri zamjeni mjesta realni dio skalarnog proizvoda se ne mijenja, a imaginarni dio mijenja predznak u suprotan.

Konačno, ako . Dakle, kompleksizacija euklidskog prostora S postaje unitarni prostor.

Imajte na umu da su skalarni proizvod para vektora i skalarni proizvod para njihovih kompleksno konjugiranih vektora kompleksno konjugirani. Ovo izravno slijedi iz definicije dot proizvoda u .

2. Operatori u Euklidskom prostoru i njihovo proširenje na kompleksizaciju.

U euklidskom prostoru, za operator, adjuint operator je definiran istom formulom za bilo koje x i y kao u unitarnom prostoru. Dokaz postojanja i jedinstvenosti pridruženog operatora se ne razlikuje od sličnih dokaza za unitarni prostor. Operatorska matrica u ortonormalnoj bazi jednostavno se transponuje sa operatorskom matricom.Nastavljajući međusobno spojene operatore od S do oni ostaju adjunktni.

stvarno,

3. Normalni operatori u Euklidskom prostoru.

Normalni operator u euklidskom prostoru S ostaje normalan čak i kada se proširi na kompleksifikaciju prostora S. Dakle, postoji ortonormirana baza svojstvenih vektora u S koja dijagonalizira matricu operatora A.

Za realne svojstvene vrijednosti mogu se uzeti realni svojstveni vektori, tj. oni koji leže u S. Zaista, koordinate svojstvenih vektora u odnosu na bazu se određuju iz linearnih homogenih jednačina sa realnim koeficijentima u slučaju realne svojstvene vrijednosti.

Kompleksne svojstvene vrijednosti se pojavljuju u parovima konjugata sa istom mnogostrukošću. Odabirom ortonormalne baze svojstvenih vektora koji pripadaju nekoj svojstvenoj vrijednosti na , baza svojstvenih vektora za svojstvenu vrijednost može se uzeti iz vektora konjugiranih s baznim vektorima svojstvenih vrijednosti za X. Takva baza će biti ortonormirana. Sada pokrivamo dvodimenzionalni kompleksni podprostor preko svakog para i konjugiranih vektora.

Svi ovi podprostori su invarijantni, ortogonalni jedni prema drugima i realnim svojstvenim vektorima koji odgovaraju stvarnim svojstvenim vrijednostima.

Kompleksni prostor koji se proteže vektorima i očigledno se poklapa sa kompleksnim podprostorom koji se proteže realnim vektorima u i y, i, prema tome, predstavlja kompleksizaciju realnog podprostora koji se proteže sa .

jer je u euklidskom prostoru S skalarni proizvod simetričan.

Iz ove jednakosti slijedi da , tj. vektori i i v su ortogonalni, kao i . Podsjetimo sada da je vektor normaliziran, tj. zbog ortogonalnosti i i . Dakle, vektori u i v nisu normalizovani, već postaju normalizovani nakon množenja sa

Dakle, za normalan operator koji djeluje u euklidskom prostoru S, postoji ortonormalna baza sastavljena od svojstvenih vektora koji pripadaju stvarnim svojstvenim vrijednostima i pomnoženih sa stvarnim i imaginarnim dijelovima svojstvenih vektora koji pripadaju kompleksnim svojstvenim vrijednostima. Jednodimenzionalni podprostori protegnuti realnim svojstvenim vektorima i dvodimenzionalni potprostori razdvojeni komponentama kompleksnih sopstvenih vektora su invarijantni, tako da je operatorska matrica u konstruisanoj bazi kvazidijagonalna i sastavljena je od dijagonalnih blokova prvog i drugog reda. Blokovi prvog reda su stvarne svojstvene vrijednosti. Nađimo blokove drugog reda. Neka i biti svojstveni vektor koji pripada svojstvenoj vrijednosti . Onda

Potpuno iste relacije ostaju nakon množenja vektora sa Dakle, blokovi drugog reda imaju oblik

Također napominjemo da se ovi blokovi pojavljuju iz podprostora koji obuhvata konjugirane svojstvene vektore koji pripadaju konjugiranim svojstvenim vrijednostima, tako da uz blok napisan korištenjem svojstvene vrijednosti nije potrebno uključiti blok koji odgovara svojstvenoj vrijednosti

4. Samopridruženi operatori u Euklidskom prostoru.

Normalni operator u euklidskom prostoru je samopridružen ako i samo ako su sve njegove vlastite vrijednosti realne. Zaista, samopridruženi operator u euklidskom prostoru ostaje i u kompleksizaciji. Dakle, postoji ortonormalna osnova u samom Euklidskom prostoru, u kojoj je njegova matrica dijagonalna. U smislu matrica, to znači da za bilo koju realnost simetrična matrica A postoji ortogonalna matrica C takva da je dijagonalna. Ova okolnost je razjašnjena u pogl. V u vezi s ortogonalnom transformacijom kvadratnog oblika u kanonski oblik. Bliska veza između teorije samoprilagođenih operatora u euklidskom prostoru i teorije kvadratnih oblika jasno se vidi iz činjenice da je skalarni proizvod izražen kroz koordinate vektora u ortonormalnoj bazi kao kvadratni oblik s matricom , jednaka matrici operator M u istoj bazi, a uz ortogonalnu transformaciju koordinata, matrica operatora i matrica kvadratnog oblika transformiraju se na isti način:

jer za ortogonalnu matricu

Za samoprilagođene operatore u euklidskom prostoru vrijede ista svojstva koja su zabilježena za samoprilagođene operatore u unitarnom prostoru, a njihovi se dokazi ni na koji način ne razlikuju od dokaza u slučaju unitarnog prostora.

Stoga se ograničavamo na njihovo nabrajanje.

Samopridruženi operator je pozitivno određen ako i samo ako su njegove vlastite vrijednosti pozitivne.

Iz samopridruženog pozitivno-definiranog operatora može se izvući pozitivno-definirani kvadratni korijen.

Bilo koji nedegenerirani operator može se predstaviti kao proizvod pozitivno-definiranog samoprilagođenog operatora i ortogonalnog operatora, oba u jednom, zar ne? i to drugačijim redosledom.

Operator ortogonalne projekcije je samopridruženi idempotentni operator i obrnuto, samopridruženi idempotentni operator je ortogonalni projekcijski operator.

5. Ortogonalni operatori.

Ortogonalni operator ima ortogonalnu matricu u bilo kojoj ortonormalnoj bazi. Kako je ortogonalni operator normalan, postoji ortonormalna baza u kojoj je operatorska matrica blok-dijagonalna i sastoji se od realnih brojeva na dijagonali i blokova tipa ortogonalnosti takve matrice, slijedi da je u svakom bloku od drugog reda (To se može vidjeti i iz činjenice da ortogonalni operator postaje unitaran kada se nastavlja na kompleksizaciju, pa su stoga sve njegove vlastite vrijednosti po modulu 1.)

Možete staviti. Operator na ravni sa matricom je operator rotacije ravnine kroz ugao.

Za ortogonalni operator se kaže da je ispravno ortogonan ako je determinanta njegove matrice 1; ako je determinanta jednaka -1, tada se operator naziva nepravilno ortogonalnim. Redoslijed baznih vektora može se odabrati tako da dijagonalu slijedi prvo 1, zatim -1, nakon čega slijede blokovi drugog reda. Ako je operator ispravno ortogonan, tada je broj dijagonalnih elemenata jednak -1 paran. Razmotrite matricu drugog reda kao blok drugog reda, što geometrijski znači rotaciju ravnine za .

Dakle, djelovanje ispravnog ortogonalnog operatora geometrijski znači sljedeće. Prostor je podijeljen na ortogonalni zbir podprostora, od kojih je jedan raspoređen sopstvenim vektorima koji pripadaju svojstvenoj vrijednosti 1 - ovo je podprostor fiksnih vektora i nekoliko dvodimenzionalnih podprostora, od kojih se svaki rotira pod nekim uglom (općenito govoreći, različite ravnine pod različitim uglovima).

U slučaju nepravilno ortogonalnog operatora postoji još jedan bazni vektor, koji se pod dejstvom operatora transformiše u suprotan.

Razmotrimo -dimenzionalni euklidski prostor. Neka je proizvoljan linearni operator dat u .

Definicija 10. Linearni operator se naziva transponiranim operatorom ako je za bilo koji vektor i iz:

. (106)

Postojanje i jedinstvenost transponovanog operatora utvrđuju se na potpuno isti način kao što je to učinjeno u § 8 za spojeni operator u unitarnom prostoru.

Transponovani operator ima sledeća svojstva:

2. ,

3. ( - pravi broj),

Hajde da uvedemo nekoliko definicija.

Definicija 11. Linearni operator se naziva normalnim ako

Definicija 12. Linearni operator se naziva simetričnim if

Definicija 13. Simetrični operator se naziva nenegativnim ako je za bilo koji vektor iz

Definicija 14. Simetrični operator se naziva pozitivno određen ako je za bilo koji vektor iz

Definicija 15. Linearni operator se zove koso-simetričan if

Proizvoljni linearni operator se uvijek može predstaviti, i štaviše, jedinstveno, u obliku

gdje je simetričan i koso-simetričan operator.

Zaista, iz (107) slijedi

Iz (107) i (108) slijedi

. (109)

Obrnuto, formule (109) uvijek definiraju simetrični operator i koso-simetrični operator, za koje vrijedi jednakost (107).

I nazivaju se simetričnim i koso-simetričnim komponentama operatora.

Definicija 16. Operator se naziva ortogonalnim ako čuva metriku prostora, odnosno ako za bilo koji vektor iz

. (110)

Jednakost (110) zbog (106) može se prepisati na sljedeći način: . Ovo podrazumijeva:

Obrnuto, (111) implicira (110) (za proizvoljne vektore ). Iz (111) slijedi: , tj.

Mi ćemo nazvati ortogonalni operator operator prve vrste ako , i druge vrste ako .

Simetrični, koso-simetrični, ortogonalni operatori su posebni tipovi normalnog operatora.

Razmotrimo proizvoljnu ortonormalnu osnovu u datom euklidskom prostoru. Neka linearni operator u ovoj bazi odgovara matrici (ovdje su svi realni brojevi). Čitalac će lako pokazati da transponovani operator odgovara u istoj osnovi transponovanoj matrici, gde . To implicira da u ortonormalnoj bazi normalni operator odgovara normalnoj matrici, simetrični operator odgovara simetričnoj matrici, koso-simetrični operator koso-simetričnoj matrici i, konačno, ortogonalnom operatoru, ortogonalnoj matrici .

Na sličan način kao što je to učinjeno u § 8 za pridruženi operator, ovdje se uspostavlja sljedeći prijedlog:

Ako je neki podprostor in invarijantan prema linearnom operatoru , tada je ortogonalni komplement invarijantan pod operatorom .

Da bismo proučavali linearne operatore u Euklidskom prostoru, proširićemo Euklidski prostor na neki unitarni prostor. Ovo proširenje se izvodi na sljedeći način:

1. Vektori iz će se zvati realni vektori.

2. Uvedemo u razmatranje "kompleksne" vektore , gdje su i realni vektori, tj.

3. Operacije sabiranja kompleksnih vektora i množenja kompleksnim brojem definirane su na prirodan način. Tada skup svih kompleksnih vektora formira -dimenzionalni vektorski prostor nad poljem kompleksnih brojeva, koji sadrži kao dio .

4. Hermitska metrika je uvedena u B tako da se poklapa sa Euklidskom metrikom koja je tamo dostupna. Čitalac može lako provjeriti da je željena Hermitova metrika data na sljedeći način:

Ako i tada

Uz pretpostavku u isto vrijeme i , imat ćemo:

Ako odaberete realnu osnovu, tj. bazu u , tada će to biti skup svih vektora s kompleksnim i - sa realnim koordinatama u ovoj bazi.

Bilo koji linearni operator in je jedinstveno proširen na linearni operator u:

.

Među svim linearnim operatorima na operatore koji su rezultat takvog proširenja od operatora do karakterizira činjenica da se prevode u . Takvi operateri će se zvati stvarni.

U realnoj bazi realni operatori su definisani realnim matricama, odnosno matricama sa realnim elementima.

Realni operator preuzima kompleksne konjugirane vektore i opet u kompleksne konjugate

Za realni operator, sekularna jednadžba ima realne koeficijente, tako da znate kako sa korijenom th višestrukosti, ona također ima korijen th višestrukosti. Iz toga proizilazi: , tj. konjugirani karakteristični brojevi odgovaraju konjugiranim svojstvenim vektorima.

Dvodimenzionalni podprostor ima realnu osnovu: . Ravan u sa ovom bazom će se zvati invarijantna ravan operatora koji odgovara paru karakterističnih brojeva. Neka .

Tada je to lako vidjeti

Razmotrimo realni operator jednostavne strukture s karakterističnim brojevima:

gdje su realni brojevi, i .

Tada se sopstveni vektori koji odgovaraju ovim karakterističnim brojevima mogu odabrati tako da

.

čine osnovu u Euklidskom prostoru. Gde

(114)

U bazi (113), operator odgovara realnoj kvazi-dijagonalnoj matrici

. (115)

Dakle, za svaki operator jednostavne strukture u euklidskom prostoru postoji osnova u kojoj operator odgovara matrici oblika (115). Ovo implicira da je svaka realna matrica jednostavne strukture realna kanonskoj matrici oblika (115):

Transponirani operator za in nakon proširenja postaje pridruženi operator za in . Posljedično, normalni, simetrični, koso-simetrični, ortogonalni operatori u nakon proširenja postaju, respektivno, normalni, hermitski, pomnoženi s hermitskim, unitarni realni operatori u .

Lako je pokazati da se za normalan operator u Euklidovom prostoru može izabrati kanonska baza, ortonormalna baza (113), za koju vrijede jednakosti (114). Dakle, realna normalna matrica je uvijek realna i ortogonalno slična matrici oblika (115):

(117)

Za simetrični operator u Euklidskom prostoru, svi karakteristični brojevi su realni, jer nakon proširenja ovaj operator postaje hermitovski. Za simetrični operator, u formulama (114) treba postaviti . Tada dobijamo:

Simetrični operator u Euklidovom prostoru uvijek ima ortonormalni sistem svojstvenih vektora sa realnim karakterističnim brojevima. Stoga je realna simetrična matrica uvijek realna i ortogonalno slična dijagonalnoj matrici

Za koso-simetrični operator u Euklidskom prostoru, svi karakteristični brojevi su čisto imaginarni (nakon proširenja, ovaj operator je jednak proizvodu Hermitovog operatora). Za koso-simetrični operator u formulama (114) treba postaviti:

nakon čega ove formule poprimaju oblik

(120)

Pošto je normalan operator, baza (113) se može smatrati ortonormalnom. Dakle, svaka realna koso-simetrična matrica je realno i ortogonalno slična kanonskoj koso-simetričnoj matrici:

. (124)): iz jednakosti paralelnih vektoru . Dokazali smo Euler-D'Alembertovu teoremu:

Proizvoljno konačno kretanje u trodimenzionalnom euklidskom prostoru je spiralno kretanje oko neke fiksne ose.