Determinanta simetrične matrice n-tog reda. Permutacije i zamjene

28.04.2019 televizori (Smart TV)

Za preciznije i složena definicija a da bismo govorili o determinantama reda većim od trećine, trebat ćemo zapamtiti još nešto. Zanima nas termin supstitucija, ne toliko definicija koliko način njegovog izračunavanja.

Za zamjenu se prihvaća sljedeći unos:
, tj. parovi brojeva upisani u kolonu, tako da su gornji brojevi uzastopni (općenito govoreći, stupci se mogu zamijeniti).

Zamjene mogu biti parne ili neparne. Da biste saznali je ovu zamenu paran ili neparan, morate obratiti pažnju na drugi red, odnosno na redosled brojeva u njemu. Potrebno je izbrojati broj parova brojeva u drugom redu tako da broj lijevo bude veći od broja desno (). Ako je broj takvih parova neparan, tada se zamjena naziva neparna, a prema tome, ako je broj takvih parova paran, tada se zamjena naziva parnom.

primjer:
1)

4 je lijevo od 3, lijevo od 1, lijevo od 2 - ovo su već tri "pogrešna" para.
3 je lijevo od 1 i 2 – još dva para.
Ukupno 5 parova, tj. Ovo je čudna zamjena.
2)

Imajte na umu da brojevi u prvom redu nisu u redu. Hajde da preuredimo kolone.

Pogledajmo brojeve u drugom redu.
3 je lijevo od 2 i 1 - dva para,
2 je lijevo od 1 – jedan par,
5 je lijevo od 4 i 1 - dva para,
4 je lijevo od 1 – jedan par.
Ukupno 6 parova – ravnomjerna zamjena.

Definicija 2(za studente matematičkih specijalnosti, otkrivajući čitavu suštinu definisanog koncepta):

Determinanta n-tog reda koja odgovara matrici
,
je algebarski zbir pojmova sastavljen na sljedeći način: članovi su svi mogući proizvodi matričnih elemenata, uzeti po jedan iz svakog retka i svakog stupca, a član se uzima sa znakom plus ako njegovi indeksi čine parnu zamjenu, i sa minusom znak u suprotnom slučaju.
komentar: Objasnimo ovu definiciju na primjeru determinante trećeg reda, za koju je formula za izračunavanje već poznata.
.
1) “algebarski zbir pojmova” - . I da, zaista, ovdje postoji šest pojmova.
2) “termini su svi mogući proizvodi matričnih elemenata, uzeti po jedan iz svakog reda i svake kolone” – razmotrite, na primjer, pojam . Njegov prvi faktor je uzet iz drugog reda, drugi iz prvog, a treći iz trećeg. Isto je i sa kolonama - prvi faktor je iz prve kolone, drugi je iz trećeg, a poslednji je iz drugog.
3) „i termin se uzima sa znakom plus ako njegovi indeksi čine parnu supstituciju, i sa znakom minus u suprotnom slučaju“ - razmotrite, na primjer, pojmove (sa predznakom plus) i (sa predznakom minus ).

Složimo permutacije tako da prvi red sadrži brojeve redova faktora, a drugi red broj kolona.
Za pojam: (prva kolona je indeks prvog faktora, itd.)
Za termin: .
Odredimo paritet ovih permutacija:
a) - elementi u prvom redu su u redu. Drugi red sadrži parove koji nisu u redu:
2 lijevo od 1 – jedan par,
3 lijevo od 1 – jedan par.
Ukupno dva para, tj. broj parova je paran, što znači da je permutacija parna, što znači da se pojam mora uključiti u zbir sa znakom plus (kao što zapravo i jeste).
b) - elementi u prvom redu su u redu. Drugi red sadrži parove koji nisu u redu:
2 lijevo od 1 – jedan par.
Ukupno, broj parova brojeva postavljenih tako da je veći lijevo od manjeg je 1, tj. odd, što znači da se permutacija naziva neparna, a odgovarajući pojam mora biti uključen u zbir sa predznakom minus (da, to je tačno).
Primjer(“Zbirka zadataka iz algebre” priredio A.I. Kostrikin, br. 1001):

Saznajte koji su od sljedećih proizvoda uključeni u prošireni izraz determinanti odgovarajućih redova i s kojim predznacima.
A)
Obratimo pažnju na "jedan iz svakog reda i svake kolone" dio definicije. Svi prvi indeksi faktora se razlikuju od 1 do 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Svi drugi indeksi faktora se razlikuju od 1 do 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Zaključak - ovaj proizvod je uključen u prošireni izraz determinante 6. reda.

3 lijevo od 2, 1 – dva para,
2 lijevo od 1 – jedan par,
6 lijevo od 5, 4 – dva para,
5 lijevo od 4 – jedan par.
Ukupno 6 parova, tj. permutacija je parna i termin je uključen u proširenu notaciju determinante sa znakom plus.

b)
Svi prvi indeksi faktora se razlikuju od 1 do 5(3, 1, 5, 4, 2). Svi drugi indeksi faktora se razlikuju od 1 do 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Zaključak - ovaj proizvod je uključen u prošireni izraz determinante 5. reda.
Odredimo predznak ovog pojma da bismo to učinili, napravićemo permutaciju indeksa faktora:

Preuredimo kolone tako da brojevi u prvom redu budu od najmanjeg do najvećeg.

3 lijevo od 1, 2 – dva para.
4 lijevo od 1, 2 – dva para,
5 lijevo od 2 – jedan par.
Ukupno 5 parova, tj. permutacija je neparna i termin je uključen u proširenu notaciju determinante sa predznakom minus.
V) — obratite pažnju na prvi i šesti faktor: i . Oba su preuzeta iz 4. kolone, što znači da ovaj proizvod ne može biti uključen u prošireni izraz determinante 7. reda.

Razmotrimo kvadratnu matricu drugog reda

Definicija. Odrednica kvadratna matrica poziva se broj drugog reda a 11 a 22 -a 12 a 21 i označeni su simbolom, tj

Determinanta matrice se također naziva odrednica. Zapis matrične determinante A: |A|, Δ, det A, det(a ij).

Sada razmotrite kvadratnu matricu trećeg reda

Prilikom izračunavanja determinante trećeg reda, korisno je znati pravilo trokuta: sa znakom plus su proizvodi trojki brojeva koji se nalaze na glavnoj dijagonali matrice, a na vrhovima trokuta sa osnovom paralelnom ovoj dijagonali i vrh u suprotnom uglu matrice. Sa znakom minus nalaze se trojke iz druge dijagonale i iz trouglova konstruisanih u odnosu na ovu dijagonalu. Sljedeći dijagram pokazuje ovo pravilo. Na dijagramu su elementi čiji proizvodi dolaze sa znakom plus označeni plavom (lijevo), a crvenom (desno) - znakom minus.

Sada dajmo definiciju.

Definicija. Odrednica kvadratne matrice trećeg reda je broj

Definicija. Minor bilo kojeg elementa determinante je determinanta dobijena iz date precrtavanjem reda i stupca kojem pripada. ovaj element. Element minor a ik označimo Mik.

Definicija. Element minor a 21 determinanta trećeg reda matrice je determinanta drugog reda

Definicija a ik determinanta se zove njen minor, uzet sa predznakom (-1)i+k.

Algebarski komplement elementa a ik označimo Aik. A-prioritet

Pravilo za određivanje predznaka algebarskog komplementa (na primjeru determinante trećeg reda):

Primjer. Algebarsko sabiranje elementa a 21 je

Teorema dekompozicije. Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda (stupca) po njihovim algebarski dodaci.

Svojstva determinanti

Odrednica se neće promijeniti ako sve njene redove zamijenite odgovarajućim stupcima.
Kada se dvije kolone (reda) preurede, determinanta mijenja predznak.
Odrednica sa dva identične kolone(u redovima) jednaka nuli.
Faktor zajednički elementima određene kolone (reda) može se uzeti izvan predznaka determinante.
Determinanta sa dva proporcionalna stupca (reda) jednaka je nuli.
Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi nekog stupca (reda) jednaki nuli.
Determinanta se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi druge kolone (reda) dodaju elementima određene kolone (reda), prethodno pomnožeći ih istim faktorom.

Komentar. Ako su u determinanti svi elementi određenog stupca (reda) jednaki zbiru dva člana, onda je takva determinanta jednaka zbroju dvije odgovarajuće determinante.

Na primjer,

Odrednice n-th red

Razmotrimo kvadratnu matricu n-th red

Koncept determinante ove matrice ili determinante n th red se uvodi induktivno, s obzirom da je koncept determinante reda već uveden n-1, što odgovara kvadratnoj matrici (n-1)-th red.

Definicija minora matričnog elementa i njegovog algebarskog komplementa vrijede za determinante bilo kojeg reda.

Definicija. Odrednica poretka n, što odgovara matrici A n-ti red naziva se broj jednak (M 1k- element minor a 1k) i označeno jednim od simbola

Dakle, po definiciji

Ova formula izražava pravilo za konstruisanje determinante reda n elementima prvog reda matrice koji joj odgovaraju i algebarskim komplementima ovih elemenata, koji su determinanta reda n-1, uzeti s odgovarajućim ocjenama.

Za determinantu bilo kojeg reda, sva svojstva i teoreme dobivene i dokazane za determinantu trećeg reda su tačne.

Hajde da formulišemo glavnu teoremu:

Teorema [teorema zamjene]. Bez obzira na broj linije i (i=1,2,…,n), za determinantu n formula th reda je važeća

nazvano proširenje ove determinante u i th line.

Pošto je svojstvo 1 determinanti tačno, možemo takođe proširiti determinantu duž kolone:

Primjeri

Izračunajmo sljedeću determinantu:

Oduzmite drugu liniju od prve i treće. Zatim prvo dodamo trećem i izvadimo iz trećeg zajednički množitelj:

Sada drugom redu dodajemo treći, pomnožen sa 7, a četvrtom dodajemo treći, pomnožen sa 2. Zatim vadimo zajednički faktor iz četvrtog reda:

Proširimo determinantu u drugom stupcu (znakovi označavaju vrijednost (-1) i+j u molu). Imajte na umu da u koloni postoji samo jedan element različit od nule, stoga će samo jedna determinanta trećeg reda ostati u proširenju. Konačno, odgovor dobijamo koristeći formulu za determinantu trećeg reda.

Navedimo još nekoliko primjera za determinante različitih redova.

Razmotrimo kvadratnu tabelu A.

Definicija. Determinanta n-tog reda je broj dobijen iz elemenata date tabele prema sledećem pravilu:

1 .Determinanta n-tog reda jednaka je algebarskom sumi n! članovi.

Svaki pojam je proizvod n-elemenata uzetih po jedan iz svakog reda i svake kolone tabele.

2 .Pojam se uzima sa predznakom plus ako su permutacije formirane prvim i drugim indeksom elemenata uključenih u proizvode iste parnosti (bilo parne ili neparne) i sa predznakom minus u suprotnom slučaju.

Odrednica je označena simbolom:

ili ukratko det A=.(determinanta A)

Prema definiciji = -.

Pravilo za izračunavanje determinante 3. reda:

Minori i algebarski komplementi

Neka je data determinanta n-tog reda (n>1).

Definicija 1. Minor elementa determinante n-tog reda je determinanta (n-1)-tog reda dobijena iz A precrtavanjem i-tog reda i j-te kolone na čijem presjeku se nalazi dati element.

Na primjer:

Definicija 2. Algebarski komplement elementa je broj

Osnovna svojstva determinanti n-tog reda

1. O ekvivalenciji redova i kolona.

Vrijednost determinante n-tog reda se ne mijenja ako se njeni redovi zamijene odgovarajućim stupcima.

2. Ako se dva reda (kolone) determinanti zamijene, tada će determinanta promijeniti predznak u suprotan.

= k

Ako svi elementi bilo kojeg reda (ili stupca) determinante imaju zajednički faktor, onda se ovaj zajednički faktor može izvaditi iz predznaka determinante.

4. Vrijednost determinante je nula ako su svi elementi bilo kojeg njenog reda (ili stupca) nula.

5. Determinanta sa dva proporcionalna reda jednaka je 0.

Na primjer:

6. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog reda, pomnoženi istim brojem, dodaju njegovim elementima bilo kojeg reda.

7. Ako su elementi bilo kog i reda determinante predstavljeni kao zbir dva člana, onda je determinanta jednaka zbiru dvije determinante u kojoj su svi pravi osim i-te isti kao u datoj determinanti, a i-ti red jedne determinante se sastoji od prvih članova, a drugi od drugog.

8. Determinanta je jednaka zbiru proizvoda svih elemenata bilo kojeg njegovog reda i njihovih algebarskih komplemenata.

9. Zbir proizvoda svih elemenata bilo kojeg reda determinante sa algebarskim komplementama odgovarajućih elemenata drugog reda jednak je nuli.

Na primjer:

Laplaceov teorem

Teorema. Neka je k redova (ili k kolona) proizvoljno odabrano u determinanti d reda n, 1. Tada je zbir proizvoda svih minora reda k sadržanih u odabranim redovima i njihovih algebarskih komplementa jednak determinanti d.

Posljedica. Poseban slučaj Laplaceove teoreme je proširenje determinante u red ili stupac. Omogućava vam da predstavite determinantu kvadratne matrice kao zbir proizvoda elemenata bilo kojeg od njenih redaka ili stupaca i njihovih algebarskih komplemenata.

Neka biti kvadratna matrica veličine . Neka je također zadan neki broj reda i ili broj stupca j matrice A. Tada se determinanta A može izračunati korištenjem sljedećih formula:

Dekompozicija u i-tom redu:

Dekompozicija duž j-tog reda:

gdje je algebarski komplement za minor koji se nalazi u redu broj i i stupcu broj j.

Izjava je poseban slučaj Laplaceove teoreme. Dovoljno je staviti k jednako 1 i odabrati th red, tada će minori koji se nalaze u ovom redu biti sami elementi.

Primjeri za samostalno rješavanje.

1. Pronađite x iz jednačina i provjerite zamjenom korijena u determinantu.

A); b)

Metode za izračunavanje determinanti n-tog reda.

Neka je dat uređeni skup n elementi. Bilo kakav aranžman n elementi određenim redosledom se nazivaju preuređenje od ovih elemenata.

Pošto je svaki element određen svojim brojem, reći ćemo da je dato n prirodni brojevi.

Broj različitih permutacija od n brojevi su jednaki n!

Ako u nekoj permutaciji od n brojevi broj i troškovi ranije j, Ali i > j, tj. veći broj stane ispred manjeg, onda kažu da je par i, j iznosi inverzija.

Primjer 1. Odredite broj inverzija u permutaciji (1, 5, 4, 3, 2)

Rješenje.

Brojevi 5 i 4, 5 i 3, 5 i 2, 4 i 3, 4 i 2, 3 i 2 formiraju inverzije. Ukupan broj inverzija u ovoj permutaciji je 6.

Permutacija se zove čak, Ako ukupan broj njegove inverzije su parne, inače se zove odd. U primjeru o kojem se gore govori, data je parna permutacija.

Neka se da neka permutacija..., i, …, j, … (*) . Transformacija u kojima brojevi i I j mijenjaju mjesta, a ostali ostaju na svojim mjestima, zove se transpozicija. Nakon transpozicije broja i I j u permutaciji (*) doći će do prestrojavanja..., j, …, i, ..., gdje su svi elementi osim i I j, ostali na svojim mjestima.

Od bilo koje permutacije iz n brojeva, možete ići na bilo koju drugu permutaciju ovih brojeva koristeći nekoliko transpozicija.

Svaka transpozicija mijenja paritet permutacije.

At n ≥ 2 broj parnih i neparnih permutacija iz n brojevi su isti i jednaki.

Neka M– naručeni set od n elementi. Svaka bijektivna transformacija skupa M pozvao zamjenanth stepen.

Zamjene se pišu ovako: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> i to je sve ik su različiti.

Zamjena pozvao čak, ako oba njegova reda (permutacije) imaju iste parnosti, tj. oba su parna ili oba neparna. Inače zamjena pozvao odd.

At n ≥ 2 broj parnih i neparnih zamjena nth stepeni isti i jednaki .

Determinanta kvadratne matrice A drugog reda A= je broj jednak = a11a22–a12a21.

Determinanta matrice se također naziva odrednica. Za determinantu matrice A koristi se sljedeća notacija: det A, ΔA.

Odrednica kvadrat matrice A= trećeg reda pozovite broj jednak │A│= a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Svaki član algebarskog zbira na desnoj strani posljednje formule je proizvod matričnih elemenata uzetih po jedan iz svake kolone i svakog reda. Da biste odredili znak proizvoda, korisno je znati pravilo (zove se pravilo trokuta), shematski prikazano na slici 1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Rješenje.

Neka je A matrica n-tog reda sa kompleksnim elementima:

A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src="> (1) ..gif" width="111" height="51"> (2) .

Determinanta n-tog reda, ili determinanta kvadratne matrice A=(aij) za n>1, je algebarski zbir svih mogućih proizvoda oblika (1) , i rad (1) uzima se sa znakom “+” ako je odgovarajuća zamjena (2) paran i sa znakom "-" ako je zamjena neparna.

Maloljetni Mij element aij determinanta je determinanta dobijena iz originala brisanjem i th linija i j- th column.

Algebarski komplement Aij element aij determinanta se zove broj Aij=(–1) i+ jMij, Gdje Mij – element minor aij.

Svojstva determinanti

1. Odrednica se ne mijenja kada se svi redovi zamjene odgovarajućim stupcima (determinanta se ne mijenja pri transponovanju).

2. Prilikom preuređivanja dva reda (kolone) determinanta mijenja predznak.

3. Determinanta sa dva identična (proporcionalna) reda (kolona) jednaka je nuli.

4. Faktor zajednički za sve elemente reda (kolone) može se uzeti izvan predznaka determinante.

5. Determinanta se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog reda (kolone) dodaju elementima određenog reda (kolone), pomnoženim istim brojem koji nije nula.

6. Ako su svi elementi određenog reda (kolone) determinante jednaki nuli, onda je ona jednaka nuli.

7. Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata bilo kojeg reda (kolone) njihovim algebarskim komplementama (osobina dekomponovanja determinante u red (kolona)).

Pogledajmo neke metode za izračunavanje determinanti reda n .

1. Ako se u determinanti n-tog reda barem jedan red (ili stupac) sastoji od nula, tada je determinanta jednaka nuli.

2. Neka neki red u determinanti n-tog reda sadrži elemente koji nisu nula. Izračunavanje determinante n-tog reda se u ovom slučaju može svesti na izračunavanje determinante n-1 reda. Doista, koristeći svojstva determinante, možete učiniti sve elemente reda, osim jednog, nula, a zatim proširiti determinantu duž navedenog reda. Na primjer, preuredimo redove i stupce determinante tako da su na mjestu a11 postojao je element različit od nule.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Imajte na umu da nije potrebno preuređivati redove (ili kolone). Možete dobiti nule u bilo kojem redu (ili koloni) determinante.

Ne postoji opšta metoda za izračunavanje determinanti reda n, osim za izračunavanje determinante datog reda direktno po definiciji. Na odrednicu ovoga ili onog poseban tip primijeniti razne metode proračuni koji vode do jednostavnijih determinanti.

3. Uzmimo to u trouglasti oblik. Koristeći svojstva determinante, svodimo je na takozvani trokutasti oblik, kada su svi elementi koji stoje na jednoj strani glavne dijagonale jednaki nuli. Dobivena trokutasta determinanta jednaka je proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali. Ako je prikladnije dobiti nule na jednoj strani sekundarne dijagonale, tada će to biti jednako umnošku elemenata sekundarne dijagonale, uzetih sa znakom https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif" width="49" height= "37">.

Primjer 3. Izračunajte determinantu proširenjem reda

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Primjer 4. Izračunajte determinantu četvrtog reda

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

2. metoda(izračunavanje determinante proširenjem duž linije):

Izračunajmo ovu determinantu proširenjem reda, nakon što smo je prethodno transformisali tako da u nekim njenim redovima svi elementi osim jednog postanu nula. Da biste to učinili, dodajte prvi red determinante trećem. Zatim pomnožite treću kolonu sa (-5) i dodajte je četvrtoj koloni. Proširujemo transformiranu determinantu duž trećeg reda. Minor trećeg reda reduciramo na trokutasti oblik u odnosu na glavnu dijagonalu.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

Rješenje.

Oduzmimo drugi od prvog reda, treći od drugog itd., i na kraju, zadnji od pretposljednjeg (poslednji red ostaje nepromijenjen).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

Prva determinanta u zbiru je trouglasta u odnosu na glavnu dijagonalu, pa je jednaka proizvodu dijagonalnih elemenata, odnosno (n–1)n. Transformišemo drugu determinantu u zbiru dodavanjem poslednjeg reda na sve prethodni redovi odrednica. Determinanta dobijena ovom transformacijom biće trouglasta u odnosu na glavnu dijagonalu, pa će biti jednaka proizvodu dijagonalnih elemenata, tj. nn-1:

=(n–1)n+ (n–1)n + nn-1.

4. Izračunavanje determinante korištenjem Laplaceove teoreme. Ako je u determinanti odabrano k redova (ili stupaca) (1 £ k £ n-1), tada je determinanta jednaka zbroju proizvoda svih minora k-tog reda koji se nalaze u odabranih k redova (ili stupaca) i njihove algebarske komplemente.

Primjer 6. Izračunaj determinantu

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

INDIVIDUALNI ZADATAK br.2

“OBRAČUN DETERMINANTA N-TOG REDOVA”

Opcija 1

Izračunaj determinante

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">

Na osnovu koncepta determinante drugog i trećeg reda, možemo na sličan način uvesti koncept determinante reda n. Determinante reda većeg od trećeg računaju se po pravilu korišćenjem svojstava determinanti formulisanih u paragrafu 1.3., koje važe za determinante bilo kog reda.

Koristeći svojstvo determinanti broj 9 0, uvodimo definiciju determinante 4. reda:

Primjer 2. Izračunajte koristeći odgovarajuću ekspanziju.

Slično, uvodi se koncept determinante 5., 6. itd. red. Dakle, determinanta reda n:

Sva svojstva determinanti 2. i 3. reda, o kojima smo ranije govorili, važe i za determinante n-tog reda.

Razmotrimo glavne metode za izračunavanje determinanti n-th red.

komentar: Prije primjene ove metode, korisno je, koristeći osnovna svojstva determinanti, okrenuti na nulu sve osim jednog od elemenata određenog reda ili stupca. (efikasna metoda smanjenja narudžbe)

Metoda redukcije na trokutasti oblik sastoji se u takvoj transformaciji determinante kada svi njeni elementi koji leže na jednoj strani glavne dijagonale postanu jednaki nuli. U ovom slučaju, determinanta je jednaka umnošku elemenata njene glavne dijagonale.

Primjer 3. Izračunajte redukcijom na trouglasti oblik.

Primjer 4. Izračunajte koristeći efektivnu metodu smanjenja naloga

Rješenje: prema svojstvu 4 0 determinanti iz prvog reda ćemo izvaditi faktor 10, a zatim ćemo drugi red uzastopno pomnožiti sa 2, sa 2, sa 1 i dodati ga sa prvim, trećim i četvrtim redova, redom (svojstvo 8 0).

Rezultirajuća determinanta se može proširiti na elemente prvog stupca. Bit će svedena na determinantu trećeg reda, koja se izračunava korištenjem Sarrusovog (trougla) pravila.

Primjer 5. Izračunajte determinantu tako da je svedete na trouglasti oblik.

Primjer 3. Izračunajte koristeći rekurentne relacije.

Predavanje 4. Inverzna matrica. Matrix rang.

1. Koncept inverzne matrice

Definicija 1. Square poziva se matrica A reda n nedegenerisan, ako je njegova determinanta | A| ≠ 0. U slučaju kada | A| = 0, poziva se matrica A degenerisati.

Samo za kvadratne nesingularne matrice A uvodi se koncept inverzne matrice A -1.

Definicija 2 . Matrica A -1 se zove obrnuto za kvadratnu nesingularnu matricu A, ako je A -1 A = AA -1 = E, gdje je E jedinična matrica reda n.

Definicija 3 . Matrix pozvao pripojen njegovi elementi su algebarski komplementi transponovana matrica
.