Izračunavanje n determinanti reda. determinanta n-tog reda

14.04.2019 Savjet

ortogonalna unitarna matrica multilinearna

Izračunavanje determinanti 2. i 3. reda.

Dobijamo formule za izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda. Po definiciji, kada

Kada precrtamo prvi red i jednu kolonu, dobijamo matricu koja sadrži jedan element, dakle

Zamjenom ovih vrijednosti u desnu stranu, dobijamo formulu za izračunavanje determinante drugog reda

Determinanta drugog reda jednaka je razlici između umnožaka elemenata na glavnoj dijagonali i umnoška elemenata na sekundarnoj dijagonali (slika 2.1).

Za determinantu trećeg reda imamo

Brisanjem prvog reda i jednog stupca dobijamo determinante kvadratnih matrica drugog reda:

Zapisujemo ove determinante drugog reda koristeći formulu (2.2) i dobijamo formulu za izračunavanje determinante trećeg reda

Determinanta (2.3) je zbir šest članova, od kojih je svaki proizvod tri elementa determinante, smještenih u različitim redovima i različitim stupcima. Štaviše, tri člana se uzimaju sa znakom plus, a ostala tri - sa znakom minus.

Da biste zapamtili formulu (2.3), koristi se pravilo trokuta: trebate dodati tri proizvoda od tri elementa koji stoje na glavnoj dijagonali i na vrhovima dva trokuta čija je strana paralelna s glavnom dijagonalom (slika 2.2a), i oduzmite tri proizvoda elemenata koji stoje na bočnim dijagonalama i na vrhovima dva trougla čija je stranica paralelna sa bočnom dijagonalom (sl. 2.2,6).

Takođe možete koristiti šemu proračuna prikazanu na Sl. 2.3 (Sarrusovo pravilo): dodajte prvi i drugi stupac desno od matrice, izračunajte proizvode elemenata na svakoj od šest navedenih linija, a zatim pronađite algebarski zbir ovih proizvoda, dok proizvod elemenata na paralelnim linijama na glavnu dijagonalu uzima se znak plus , a proizvod elemenata na ravnim linijama paralelnim sa bočnom dijagonalom je sa znakom minus (prema zapisu na slici 2.3).

Izračunavanje determinanti reda N>3.

Dakle, dobili smo formule za izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda. Možete nastaviti proračune koristeći formulu (2.1) za i dobiti formule za izračunavanje četvrte, pete itd. determinante. redova veličine. Posljedično, induktivno određivanje omogućava da se izračuna determinanta bilo kojeg reda. Druga stvar je da će formule biti glomazne i nezgodne za praktične proračune. Stoga se determinante visokog reda (četvrta ili više) obično izračunavaju na osnovu svojstava determinanti.

Primjer 2.1. Izračunaj determinante

Rješenje. Koristeći formule (2.2) i (2.3) nalazimo;

Formula za dekomponovanje determinante na elemente reda (kolone).

Neka je data kvadratna matrica reda.

Dodatni minor elementa je determinanta matrice reda dobivene iz matrice brisanjem i-ti red i j-tu kolonu.

Algebarski komplement matričnog elementa je dodatni minor ovog elementa pomnožen sa

Formula teorema 2.1 za dekomponovanje determinante na elemente reda (kolone). Determinanta matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata proizvoljan niz(kolona) na njima algebarski dodaci:

(dekompozicija po i-tom redu);

(proširenje u j. koloni).

Napomene 2.1.

1. Dokaz formule provodi se metodom matematičke indukcije.

2. U induktivnoj definiciji (2.1) zapravo je korištena formula za razlaganje determinante na elemente prvog reda.

Primjer 2.2. Naći determinantu matrice

Rješenje. Proširimo determinantu duž 3. retka:

Sada proširimo determinantu trećeg reda u posljednjoj koloni:

Determinanta drugog reda izračunava se pomoću formule (2.2):

Determinanta trokutaste matrice

Primijenimo formulu dekompozicije da pronađemo determinantu gornje trokutne matrice

Proširimo determinantu duž zadnjeg reda (n-ti red):

gdje je dodatni sporedni element. Označimo Onda. Imajte na umu da kada precrtamo zadnji red i posljednju kolonu determinante, dobijamo determinantu gornje trokutne matrice istog tipa kao, ali (n-1)-og reda. Proširujući determinantu duž zadnjeg reda ((n-1)-og reda), dobijamo. Nastavljamo isti put i uzimajući u obzir to dolazimo do formule.e. determinanta gornje trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

Napomene 2.2

1. Determinanta donje trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

2. Determinanta matrice identiteta je 1.

3. Determinanta matrice trouglastog oblika nazvat ćemo determinantu trokutastog oblika. Kao što je gore prikazano, determinanta trokutaste matrice (determinanta gornje ili donje trokutaste matrice, posebno dijagonalne) jednaka je proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali.

Osnovna svojstva determinanti (determinanti)

1. Za bilo koju kvadratnu matricu, tj. Kada se transponira, determinanta se ne mijenja. Iz ovog svojstva slijedi da su stupci i redovi determinante „jednaki“: svako svojstvo koje je istinito za stupce bit će istinito za redove.

2. Ako je u determinanti jedan od stupaca jednak nuli (svi elementi kolone su jednaki nuli), onda je determinanta jednaka nuli:.

3. Prilikom preuređivanja dva stupca, determinanta mijenja predznak u suprotan (svojstvo antisimetrije):

4. Ako determinanta ima dva identična stupca, onda je jednaka nuli:

5. Ako determinanta ima dva proporcionalna stupca, onda je jednaka nuli:

6. Kada se svi elementi jednog stupca determinante množe brojem, determinanta se množi ovim brojem:

7. Ako jth kolona determinanta je predstavljena kao zbir dva stupca, tada je determinanta jednaka zbroju dvije determinante čiji su j-ti stupci i , a preostali stupci su isti:

8. Determinanta je linearna u bilo kojoj koloni:

9. Odrednica se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi druge kolone dodaju elementima jedne kolone, pomnožene istim brojem:

10. Zbir proizvoda elemenata bilo kojeg stupca determinante sa algebarskim komplementama odgovarajućih elemenata drugog stupca jednak je nuli:

Napomene 2.3

1. Prvo svojstvo determinante dokazuje se indukcijom. Dokazi ostalih svojstava vrše se pomoću formule za dekomponovanje determinante na elemente stupca. Na primjer, da bi se dokazalo drugo svojstvo, dovoljno je proširiti determinantu na elemente nulte kolone (pretpostavimo da je j-ti stupac nula, tj.):

Da biste dokazali svojstvo 10, potrebno je pročitati formulu za dekomponovanje determinante s desna na lijevo, naime, zbir proizvoda elemenata i-te kolone algebarskim komplementama elemenata j-te kolone je predstavljeno kao proširenje u j-toj koloni determinante

u kojoj su elementi j-ro kolone zamijenjeni odgovarajućim elementima i-te kolone. Prema četvrtom svojstvu, takva determinanta je jednaka nuli.

2. Iz prvog svojstva slijedi da će sva svojstva 2-10 formulirana za stupce determinante vrijediti i za njene redove.

3. Koristeći formule za dekomponovanje determinante na elemente reda (kolone) i svojstva 10, zaključujemo da

4. Neka je kvadratna matrica. Kvadratna matrica istog reda za koju se kaže da je adjunktovana ako je svaki njen element jednak algebarskom komplementu elementa matrice. Drugim riječima, da bi se pronašla pridružena matrica treba:

a) svaki element matrice zamijenimo njegovim algebarskim komplementom i dobićemo matricu;

b) pronaći pridruženu matricu transponiranjem matrice.

Iz formule (2.4) slijedi da je, gdje je matrica identiteta istog reda kao.

Primjer 2.5. Naći determinantu blok-dijagonalne matrice, gdje je proizvoljna kvadratna matrica, je matrica identiteta, a je nulta matrica odgovarajućeg reda, transponira se.

Rješenje. Proširimo determinantu preko zadnje kolone. Pošto su svi elementi u ovoj koloni nula, osim posljednjeg, koji je jednak 1, dobijamo determinantu istog oblika kao i originalna, ali nižeg reda. Proširujući rezultujuću determinantu duž zadnje kolone, smanjujemo njen redoslijed. Nastavljajući na isti način, dobijamo determinantu matrice. dakle,

Metode za izračunavanje determinanti n-tog reda.

Neka je dat uređeni skup n elementi. Bilo kakav aranžman n elementi određenim redosledom se nazivaju preuređenje od ovih elemenata.

Pošto je svaki element određen svojim brojem, reći ćemo da je dato n prirodni brojevi.

Broj različitih permutacija od n brojevi su jednaki n!

Ako u nekoj permutaciji od n brojevi broj i troškovi ranije j, Ali i > j, tj. veći broj dolazi ispred manjeg, tada kažu da je par i, j iznosi inverzija.

Primjer 1. Odredite broj inverzija u permutaciji (1, 5, 4, 3, 2)

Rješenje.

Brojevi 5 i 4, 5 i 3, 5 i 2, 4 i 3, 4 i 2, 3 i 2 formiraju inverzije. Ukupan broj broj inverzija u ovoj permutaciji je 6.

Permutacija se zove čak, ako je ukupan broj inverzija u njemu paran, inače se zove odd. U primjeru o kojem se gore govori, data je parna permutacija.

Neka se da neka permutacija..., i, …, j, … (*) . Transformacija u kojima brojevi i I j mijenjaju mjesta, a ostali ostaju na svojim mjestima, zove se transpozicija. Nakon transpozicije broja i I j u permutaciji (*) doći će do prestrojavanja..., j, …, i, ..., gdje su svi elementi osim i I j, ostali na svojim mjestima.

Od bilo koje permutacije iz n brojeva, možete ići na bilo koju drugu permutaciju ovih brojeva koristeći nekoliko transpozicija.

Svaka transpozicija mijenja paritet permutacije.

At n ≥ 2 broj parnih i neparnih permutacija iz n brojevi su isti i jednaki.

Neka M– naručeni set od n elementi. Svaka bijektivna transformacija skupa M pozvao zamjenanth stepen.

Zamjene se pišu ovako: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> i to je sve ik su različiti.

Zamjena pozvao čak, ako oba njegova reda (permutacije) imaju iste parnosti, tj. oba su parna ili oba neparna. Inače zamjena pozvao odd.

At n ≥ 2 broj parnih i neparnih zamjena nth stepeni isti i jednaki .

Determinanta kvadratne matrice A drugog reda A= je broj jednak = a11a22–a12a21.

Determinanta matrice se također naziva odrednica. Za determinantu matrice A koristi se sljedeća notacija: det A, ΔA.

Odrednica kvadrat matrice A= trećeg reda pozovite broj jednak │A│= a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Svaki član algebarskog zbira na desnoj strani posljednje formule je proizvod matričnih elemenata uzetih po jedan iz svake kolone i svakog reda. Da biste odredili znak proizvoda, korisno je znati pravilo (to se zove pravilo trokuta), shematski prikazano na slici 1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Rješenje.

Neka je A matrica n-tog reda sa kompleksnim elementima:

A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src="> (1) ..gif" width="111" height="51"> (2) .

Determinanta n-tog reda, ili determinanta kvadratne matrice A=(aij) za n>1, je algebarski zbir svih mogućih proizvoda oblika (1) , i rad (1) uzima se sa znakom “+” ako je odgovarajuća zamjena (2) paran, i sa znakom "-" ako je zamjena neparna.

Maloljetni Mij element aij determinanta je determinanta dobijena iz originala brisanjem i th linija i j- th column.

Algebarski komplement Aij element aij determinanta se zove broj Aij=(–1) i+ jMij, Gdje Mij – element minor aij.

Svojstva determinanti

1. Odrednica se ne mijenja kada se svi redovi zamjene odgovarajućim stupcima (determinanta se ne mijenja pri transponovanju).

2. Kada se dva reda (kolone) preurede, determinanta mijenja predznak.

3. Determinanta sa dva identična (proporcionalna) reda (kolona) jednaka je nuli.

4. Faktor zajednički za sve elemente reda (kolone) može se izvaditi iz predznaka determinante.

5. Determinanta se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog reda (kolone) dodaju elementima određenog reda (kolone), pomnoženim istim brojem koji nije nula.

6. Ako su svi elementi određenog reda (kolone) determinante jednaki nuli, onda je ona jednaka nuli.

7. Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata bilo kojeg reda (kolone) po njihovim algebarskim komplementama (osobina dekomponovanja determinante u red (kolona)).

Pogledajmo neke metode za izračunavanje determinanti reda n .

1. Ako se u determinanti n-tog reda barem jedan red (ili stupac) sastoji od nula, tada je determinanta jednaka nuli.

2. Neka neki red u determinanti n-tog reda sadrži elemente koji nisu nula. Izračunavanje determinante n-tog reda se u ovom slučaju može svesti na izračunavanje determinante n-1 reda. Doista, koristeći svojstva determinante, možete učiniti sve elemente reda, osim jednog, nula, a zatim proširiti determinantu duž navedenog reda. Na primjer, preuredimo redove i stupce determinante tako da su na mjestu a11 postojao je element različit od nule.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Imajte na umu da nije potrebno preuređivati redove (ili kolone). Možete dobiti nule u bilo kojem redu (ili koloni) determinante.

Ne postoji opšta metoda za izračunavanje determinanti reda n, osim za izračunavanje determinante datog reda direktno po definiciji. Na odrednicu ovoga ili onog poseban tip primijeniti razne metode proračuni koji vode do jednostavnijih determinanti.

3. Uzmimo to u trouglasti oblik. Koristeći svojstva determinante, svodimo je na takozvani trokutasti oblik, kada su svi elementi koji stoje na jednoj strani glavne dijagonale jednaki nuli. Dobivena trokutasta determinanta jednaka je proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali. Ako je prikladnije dobiti nule na jednoj strani sekundarne dijagonale, tada će to biti jednako umnošku elemenata sekundarne dijagonale, uzetih sa znakom https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif" width="49" height= "37">.

Primjer 3. Izračunajte determinantu proširenjem reda

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Primjer 4. Izračunajte determinantu četvrtog reda

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

2. metoda(izračunavanje determinante proširenjem duž linije):

Izračunajmo ovu determinantu proširenjem reda, nakon što smo je prethodno transformisali tako da u nekim njenim redovima svi elementi osim jednog postanu nula. Da biste to učinili, dodajte prvi red determinante trećem. Zatim pomnožite treću kolonu sa (-5) i dodajte je četvrtoj koloni. Proširujemo transformiranu determinantu duž trećeg reda. Minor trećeg reda reduciramo na trokutasti oblik u odnosu na glavnu dijagonalu.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

Rješenje.

Oduzmimo drugi od prvog reda, treći od drugog itd., na kraju, od pretposljednjeg posljednjeg (poslednji red ostaje nepromijenjen).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

Prva determinanta u zbiru je trouglasta u odnosu na glavnu dijagonalu, pa je jednaka proizvodu dijagonalnih elemenata, odnosno (n–1)n. Transformišemo drugu determinantu u zbiru dodavanjem poslednjeg reda na sve prethodni redovi odrednica. Determinanta dobijena ovom transformacijom biće trouglasta u odnosu na glavnu dijagonalu, pa će biti jednaka proizvodu dijagonalnih elemenata, tj. nn-1:

=(n–1)n+ (n–1)n + nn-1.

4. Izračunavanje determinante korištenjem Laplaceove teoreme. Ako je u determinanti odabrano k redova (ili stupaca) (1 £ k £ n-1), tada je determinanta jednaka zbroju proizvoda svih minora k-tog reda koji se nalaze u odabranih k redova (ili stupaca) i njihove algebarske komplemente.

Primjer 6. Izračunaj determinantu

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

INDIVIDUALNI ZADATAK br.2

“OBRAČUN DETERMINANTA N-TOG REDOVA”

Opcija 1

Izračunati determinante

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">

Opcija 2

Izračunati determinante

Za preciznije i složena definicija a da bismo govorili o determinantama reda većim od trećine, trebat ćemo zapamtiti još nešto. Zanima nas termin supstitucija, ne toliko definicija koliko način njegovog izračunavanja.

Za zamjenu se prihvaća sljedeći unos:
, tj. parovi brojeva napisani u koloni, tako da su gornji brojevi uzastopni (općenito govoreći, stupci se mogu zamijeniti).

Zamjene mogu biti parne ili neparne. Da biste saznali je ovu zamenu paran ili neparan, morate obratiti pažnju na drugi red, odnosno na redosled brojeva u njemu. Potrebno je izbrojati broj parova brojeva u drugom redu tako da je broj lijevo više broja, stoji desno (). Ako je broj takvih parova neparan, tada se zamjena naziva neparna, a prema tome, ako je broj takvih parova paran, tada se zamjena naziva parnom.

primjer:
1)

4 je lijevo od 3, lijevo od 1, lijevo od 2 - to su već tri "pogrešna" para.
3 je lijevo od 1 i 2 – još dva para.
Ukupno 5 parova, tj. Ovo je čudna zamjena.
2)

Imajte na umu da brojevi u prvom redu nisu u redu. Hajde da preuredimo kolone.

Pogledajmo brojeve u drugom redu.
3 je lijevo od 2 i 1 - dva para,
2 je lijevo od 1 – jedan par,
5 je lijevo od 4 i 1 - dva para,
4 je lijevo od 1 – jedan par.
Ukupno 6 parova – ravnomjerna zamjena.

Definicija 2(za studente matematičkih specijalnosti, otkrivajući čitavu suštinu definisanog koncepta):

Determinanta n-tog reda koja odgovara matrici
,
je algebarski zbir pojmova sastavljen na sljedeći način: članovi su svi mogući proizvodi matričnih elemenata, uzeti po jedan iz svakog retka i svakog stupca, a član se uzima sa znakom plus ako njegovi indeksi čine parnu zamjenu, i sa minusom znak u suprotnom slučaju.
komentar: Objasnimo ovu definiciju na primjeru determinante trećeg reda, za koju je formula za izračunavanje već poznata.
.
1) “algebarski zbir pojmova” - . I da, zaista, ovdje postoji šest pojmova.
2) “termini su svi mogući proizvodi matričnih elemenata, uzeti po jedan iz svakog reda i svake kolone” – razmotrite, na primjer, pojam . Njegov prvi faktor je uzet iz drugog reda, drugi iz prvog, a treći iz trećeg. Isto je i sa kolonama - prvi faktor je iz prve kolone, drugi je iz trećeg, a poslednji je iz drugog.
3) „i termin se uzima sa znakom plus ako njegovi indeksi čine parnu supstituciju, i sa znakom minus u suprotnom slučaju“ - razmotrite, na primjer, pojmove (sa predznakom plus) i (sa predznakom minus ).

Složimo permutacije tako da prvi red sadrži brojeve redova faktora, a drugi red broj kolona.
Za pojam: (prva kolona je indeks prvog faktora, itd.)
Za termin: .
Odredimo paritet ovih permutacija:
a) - elementi u prvom redu su u redu. Drugi red sadrži parove koji nisu u redu:
2 lijevo od 1 – jedan par,
3 lijevo od 1 – jedan par.
Ukupno dva para, tj. broj parova je paran, što znači da je permutacija parna, što znači da termin mora biti uključen u zbir sa znakom plus (kao što zapravo i jeste).
b) - elementi u prvom redu su u redu. Drugi red sadrži parove koji nisu u redu:
2 lijevo od 1 – jedan par.
Ukupno, broj parova brojeva postavljenih tako da je veći lijevo od manjeg je 1, tj. odd, što znači da se permutacija naziva neparna, a odgovarajući pojam mora biti uključen u zbir sa predznakom minus (da, to je tačno).
Primjer(“Zbirka zadataka iz algebre” priredio A.I. Kostrikin, br. 1001):

Saznajte koji su od sljedećih proizvoda uključeni u prošireni izraz determinanti odgovarajućih redova i s kojim predznacima.
A)
Obratimo pažnju na "jedan iz svakog reda i svake kolone" dio definicije. Svi prvi indeksi faktora se razlikuju od 1 do 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Svi drugi indeksi faktora se razlikuju od 1 do 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Zaključak - ovaj proizvod je uključen u prošireni izraz determinante 6. reda.

3 lijevo od 2, 1 – dva para,
2 lijevo od 1 – jedan par,
6 lijevo od 5, 4 – dva para,
5 lijevo od 4 – jedan par.
Ukupno 6 parova, tj. permutacija je parna i termin je uključen u proširenu notaciju determinante sa znakom plus.

b)
Svi prvi indeksi faktora se razlikuju od 1 do 5(3, 1, 5, 4, 2). Svi drugi indeksi faktora se razlikuju od 1 do 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Zaključak - ovaj proizvod je uključen u prošireni izraz determinante 5. reda.
Odredimo predznak ovog pojma; da bismo to učinili, napravit ćemo permutaciju indeksa faktora:

Preuredimo kolone tako da brojevi u prvom redu budu od najmanjeg do najvećeg.

3 lijevo od 1, 2 – dva para.
4 lijevo od 1, 2 – dva para,
5 lijevo od 2 – jedan par.
Ukupno 5 parova, tj. permutacija je neparna i termin je uključen u proširenu notaciju determinante sa predznakom minus.
V) — obratite pažnju na prvi i šesti faktor: i . Oba su preuzeta iz 4. kolone, što znači da ovaj proizvod ne može biti uključen u prošireni izraz determinante 7. reda.

Neka A = proizvoljna kvadratna matrica n-tog reda sa realnim (ili kompleksnim) elementima.

Definicija 7. Determinanta matrice A (determinanta N-ti red) Algebarski zbir n se zove! termini, od kojih je svaki proizvod n elemenata matrice, uzetih po jedan iz svakog reda i svake kolone. U ovom slučaju, proizvod se uzima sa znakom “+” ako je zamjena iz indeksa elemenata uključenih u njega parna, a sa znakom “-” u suprotnom.

Oznaka odrednice: | A| = .

Na primjer, za n = 6 proizvod A21a13a62a34a46a55 je član determinante jer sadrži tačno jedan element iz svakog reda i iz svake kolone. Zamjena sastavljena od njegovih indeksa bit će . Ima 4 inverzije gornja linija i 2. inverzije - na dnu. Ukupan broj inverzija je 6, odnosno zamjena je parna. Shodno tome, ovaj proizvod je uključen u proširenje determinante sa znakom “+”.

Posao A21a13a62a34a46a15 nije član determinante jer sadrži dva elementa iz prvog reda.

Svojstva determinanti.

10. Tokom transpozicije, determinanta se ne menja (podsetimo se da transponovanje matrice i determinante znači promenu redova i kolona).

Zaista, ako je (-1)k član determinante, onda su svi a1, a2, ... , an različiti i k je broj inverzija u permutaciji (a1, a2, ... , an). Prilikom transponovanja, brojevi redova postaju brojevi kolona i obrnuto. Shodno tome, u proizvodu će svi faktori biti iz različitih kolona i redova, odnosno ovaj proizvod će biti uključen u transponovanu determinantu. Njegov predznak će biti određen brojem inverzija u zamjeni . Ali ovaj broj je očigledno jednak k. Dakle, (-1)k će biti član u transponovanoj determinanti. Pošto smo uzeli bilo koji član date determinante, a broj članova u datoj i transponovanoj determinanti je isti, onda slijedi njihova jednakost. Iz dokazanog svojstva slijedi da će sve što će se dokazati za redove determinante vrijediti i za njene kolone.

20. Ako su svi elementi reda (ili stupca) determinante jednaki nuli, tada je determinanta jednaka nuli.

Ovo proizilazi iz činjenice da će jedan element navedenog reda (ili stupca) biti uključen u svaki član determinante.

30. Ako svi elementi nekog niza determinante imaju zajednički množitelj, onda se može izvaditi iz predznaka determinante.

Zaista, ako svi elementi k-tog reda imaju zajednički faktor l, onda se mogu napisati u obliku . Bilo koji član determinante će imati oblik (-1)s . Prema tome, faktor l se može izvesti iz svih članova determinante.

40. Ako se dva reda determinante zamijene, tada će determinanta promijeniti predznak.

Zaista, ako je (-1)k bilo koji član date determinante, tada će u novoj determinanti brojevi redova p i q biti zamijenjeni, ali će brojevi stupaca ostati isti. Shodno tome, u novoj odrednici će se isti taj proizvod pojaviti u obliku (-1)s. Budući da se jedna transpozicija dogodila u brojevima redova, ali se brojevi kolona nisu promijenili, tada k i s imaju suprotne paritete. Dakle, svi članovi date determinante su promijenili predznak, pa je i sama determinanta promijenila predznak.

50. Ako su dvije linije determinante proporcionalne, tada je determinanta jednaka nuli.

Zaista, neka su svi elementi k-tog reda jednaki odgovarajućim elementima p-tog reda pomnoženim sa l, tj. | A| = = = 0.

60. Ako su u determinanti svi elementi k-tog reda zbir dva člana, onda je determinanta jednaka zbiru dvije determinante u kojoj su svi redovi, osim k-tog, isti kao u datoj odrednici. Na mjestu elemenata k-tog reda jednog od njih nalaze se prvi članovi elemenata k-tog reda date determinante, a na mjestu elemenata k-tog reda od drugo - njihovi drugi mandati.

Neka su elementi k-tog reda + Sk1,+ Sk2, …. , + Skn. Tada će svaki član determinante imati oblik

(-1)s= (-1)s + (-1)s .

Sakupivši sve prve članove, dobijamo determinantu koja se od date razlikuje samo u k-tom redu. Na mjestu koje linije će biti , ,…. , . Sakupivši sve druge članove, dobijamo determinantu koja se takođe razlikuje od date samo u k-tom redu. Koji će red sadržavati Sk1, sk2, …. , Skn.

70. Ako jednom redu determinante dodamo još jednu liniju čiji se svi elementi pomnože istim brojem, onda se determinanta neće promijeniti.

Ovo svojstvo je posljedica prethodna dva.

Ako je u odrednici | A| precrtati k-ti red i p-tu kolonu, tada ostaje determinanta (n–1) reda. To se zove Minor, dodatni za element i određen je Microdistrict. Broj (-1)k+p×M Kr Called Algebarski komplement za element i određen je Acre.

80. Dodatni mol i algebarski komplement ne zavise od toga koji se element nalazi u k-tom redu i p-toj koloni determinante.

Lema 1 D= . (8)

Dokaz. Ako A11= 0, onda je jednakost (8) očigledna. Neka A11¹ 0. Pošto svaki član determinante sadrži tačno jedan element iz prvog reda, onda različiti od nule članovi determinante mogu biti samo oni koji uključuju A11. Svi izgledaju , gdje se gk i k kreću od 2 do N. Predznak ovog člana u determinanti D je određen paritetom zamjene s = .Tako je D algebarski zbir članova oblika Sa znakovima određenim zamjenom s. Ako uzmemo ovaj iznos iz zagrada A11, onda dobijamo da je D = A11× S, Gdje S Postoji algebarski zbir članova oblika , čiji je predznak određen zamjenom s. Ovi termini su očigledno ( N- 1)!. Ali zamjena i zamjena imaju isti paritet. dakle, S = M 11. Od A11 =(-1)1+1× M 11 = M 11, onda je D = A11×A11.

Lema 2. D= (9)

Dokaz. U determinanti D preuređujemo p-ti red uzastopno sa svakim prethodnim. U ovom slučaju, p-ti red će zauzeti mjesto prvog reda, ali je minor dodatni elementu Ark Neće se promijeniti. Ukupno će biti urađeno ( R– 1) preuređivanje žica. Ako označimo novu determinantu D1, onda je D1 = (-1)r-1×D. U determinanti od D1 preuređujemo TO th kolona je sekvencijalna sa svakom prethodnom kolonom, što će učiniti ( TO– 1) permutacija kolona i minora, komplementarna sa Ark, Neće se promijeniti. Rezultat je determinanta

D2 = . Očigledno, D2 = (-1)k-1×D1 = (-1)p+k-2×D = (-1)p+k×D. Prema lemi 1, D2 = Ark×M Rk. Dakle, D = Ark× (-1)r+k × M Rk = Ark×Ark.

Teorema 3. Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata određenog reda i njihovih algebarskih komplementa, tj. D = Ak1Ak1 + ak2×Ak2 +…+aKn×AKn (10).

Dokaz. Neka je D = . Zapisujemo elemente reda u formu Ak1 =al1+ 0 + …+ 0, Ak2 = 0 + Ak2 + 0 + … + 0, … , A= 0 + 0 + …+ 0 + A. Koristeći svojstvo 60, dobijamo da je D =
= = Ak1Ak1+ Ak2Ak2 + … + aa(koristili smo lemu 2).

Teorema 4. Zbir proizvoda elemenata jednog reda determinante na algebarske komplemente odgovarajućih elemenata drugog reda jednak je nuli.

Dokaz. Neka je D = . Prema prethodnoj teoremi

D = . Ako uzmemo , onda će u determinanti D biti dva identične linije, tj. D će biti jednako nuli. Dakle, 0 = ako je p ¹ k.

Komentar. Teoreme 3 i 4 bit će istinite ako se u njihovim formulacijama riječ “red” zamijeni riječju “kolona”.

Metoda izračunavanja determinanteN-ti red.

Za izračunavanje determinante N th reda, dovoljno je dobiti što više nula u nekom redu (ili koloni), koristeći svojstvo 70, a zatim koristiti teoremu 3. U tom slučaju će se izračunavanje determinante n-tog reda svesti na izračunavanje determinante ( N– 1) red.

Primjer. Izračunajte determinantu D = .

. Dobijamo nule u drugom redu. Za ovo Druga kolona 1) pomnožiti sa (-2) i dodati u prvu kolonu; 2) dodati u treću kolonu; 3) pomnožite sa (-4) i dodajte u četvrtu kolonu. Dobijamo da je D = . Proširimo rezultujuću determinantu na elemente drugog reda. U ovom slučaju, proizvodi svih elemenata ovog reda po njihovim algebarskim komplementama, osim elementa 1, jednaki su nuli. Da biste dobili algebarski komplement za element 1, potrebno je precrtati red i kolonu u kojima se ovaj element pojavljuje, odnosno drugi red i drugu kolonu. Predznak algebarskog komplementa određuje (-1)2+2 = (-1)4 = +1. Dakle, D = + . Dobili smo determinantu 3. reda. Ova determinanta se može izračunati pomoću dijagonala i trokuta, ali se može svesti na determinantu drugog reda. Hajde da se množimo Prva kolona 1) sa (-4) i dodajte u drugu kolonu, 2) pomnožite sa 2 i dodajte u treću kolonu. Shvatili smo to

Razmotrimo kvadratnu matricu drugog reda

Definicija. Determinanta kvadratne matrice drugog reda je broj jednak a 11 a 22 -a 12 a 21 i označeni su simbolom, tj

Determinanta matrice se također naziva odrednica. Zapis matrične determinante A: |A|, Δ, det A, det(a ij).

Sada razmotrite kvadratnu matricu trećeg reda

Prilikom izračunavanja determinante trećeg reda, korisno je znati pravilo trokuta: sa znakom plus su proizvodi trojki brojeva koji se nalaze na glavnoj dijagonali matrice, a na vrhovima trokuta sa osnovom paralelnom ovoj dijagonali i vrh u suprotnom uglu matrice. Sa znakom minus nalaze se trojke iz druge dijagonale i iz trouglova konstruisanih u odnosu na ovu dijagonalu. Sljedeći dijagram pokazuje ovo pravilo. Na dijagramu su elementi čiji proizvodi dolaze sa znakom plus označeni plavom (lijevo), a crvenom (desno) - znakom minus.

Sada dajmo definiciju.

Definicija. Odrednica kvadratne matrice trećeg reda je broj

Definicija. Minor bilo kojeg elementa determinante je determinanta dobijena iz date precrtavanjem reda i stupca kojem pripada. ovaj element. Element minor a ik označimo Mik.

Definicija. Element minor a 21 determinanta trećeg reda matrice je determinanta drugog reda

Definicija a ik determinanta se zove njen minor, uzet sa predznakom (-1)i+k.

Algebarski komplement elementa a ik označimo Aik. A-prioritet

Pravilo za određivanje predznaka algebarskog komplementa (na primjeru determinante trećeg reda):

Primjer. Algebarsko sabiranje elementa a 21 je

Teorema dekompozicije. Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda (stupca) njihovim algebarskim komplementama.

Svojstva determinanti

Odrednica se neće promijeniti ako sve njene redove zamijenite odgovarajućim stupcima.
Prilikom preuređivanja dvije kolone (reda), determinanta mijenja predznak.
Odrednica sa dva identične kolone(strings) je jednak nuli.
Faktor zajednički elementima određene kolone (reda) može se uzeti izvan predznaka determinante.
Determinanta sa dva proporcionalna stupca (reda) jednaka je nuli.
Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi nekog stupca (reda) jednaki nuli.
Determinanta se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi druge kolone (reda) dodaju elementima određene kolone (reda), prethodno pomnožeći ih istim faktorom.

Komentar. Ako su u determinanti svi elementi određenog stupca (reda) jednaki zbiru dva člana, onda je takva determinanta jednaka zbroju dvije odgovarajuće determinante.

Na primjer,

Odrednice n-th red

Razmotrimo kvadratnu matricu n-th red

Koncept determinante ove matrice ili determinante n th red se uvodi induktivno, s obzirom da je koncept determinante reda već uveden n-1, odgovarajući kvadratna matrica (n-1)-th red.

Definicija minora matričnog elementa i njegovog algebarskog komplementa vrijede za determinante bilo kojeg reda.

Definicija. Odrednica reda n, što odgovara matrici A n-ti red naziva se broj jednak (M 1k- element minor a 1k) i označeno jednim od simbola

Dakle, po definiciji

Ova formula izražava pravilo za konstruisanje determinante reda n elementima prvog reda matrice koji joj odgovaraju i algebarskim komplementima ovih elemenata, koji su determinanta reda n-1, uzeti s odgovarajućim ocjenama.

Za determinantu bilo kojeg reda, sva svojstva i teoreme dobivene i dokazane za determinantu trećeg reda su tačne.

Hajde da formulišemo glavnu teoremu:

Teorema [teorema zamjene]. Bez obzira na broj linije i (i=1,2,…,n), za determinantu n formula th reda je važeća

nazvano proširenje ove determinante u i th line.

Pošto je svojstvo 1 determinanti tačno, možemo takođe proširiti determinantu duž kolone:

Primjeri

Izračunajmo sljedeću determinantu:

Oduzmite drugu liniju od prve i treće. Zatim trećinama dodamo prvi i iz trećina izvadimo zajednički faktor:

Sada drugom redu dodajemo treći, pomnožen sa 7, a četvrtom dodajemo treći, pomnožen sa 2. Zatim vadimo zajednički faktor iz četvrtog reda:

Proširimo determinantu u drugom stupcu (znakovi označavaju vrijednost (-1)i+j u molu). Imajte na umu da u koloni postoji samo jedan element različit od nule, stoga će samo jedna determinanta trećeg reda ostati u proširenju. Konačno, odgovor dobijamo koristeći formulu za determinantu trećeg reda.

Navedimo još nekoliko primjera za determinante različitih redova.