Izrazi izvlače brojčane zagrade. Lekcija "stavljanje zajedničkog faktora u zagrade"

§ 10. Faktorizacija polinoma metodom uzimanje zajedničkog faktora iz zagrada

U 6. razredu smo složene brojeve rastavljali na proste činioce, odnosno davali smo prirodne brojeve kao proizvod. Na primjer, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 drugih

Neki polinomi se također mogu predstaviti kao proizvod. To znači da se ovi polinomi mogu faktorizirati. Na primjer, 5a: - 5y - 5 (x - y); a 3 i 3a 2 = a 2 (a + 3) i slično.

Razmotrite jedan od načina faktorizacije polinoma - vađenje zajedničkog faktora iz zagrada. Jedan od nama poznatih primjera takve dekompozicije je distributivno svojstvo množenja a(b + c) = ab + ac, ako je zapisano obrnutim redoslijedom: ab + ac - a(b + c). To znači da je polinom ab + ac dekomponovan na dva faktora a i b + c.

Prilikom faktorizacije polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima, faktor koji se vadi iz zagrada bira se tako da članovi polinoma, koji će ostati u zagradama, nemaju zajednički faktor slova, a moduli njihovih koeficijenata nemaju zajednički djelitelji.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1. Faktorizirajte izraz:

3) 15a 3 b - 10a 2 b 2.

Razvoj

1) Zajednički faktor je 4, dakle

8m+4= 4 . 2m+ 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).

2) Zajednički faktor je varijabla a, dakle

na + 7ap = a(t + 7p).

3) U ovom slučaju zajednički brojčani faktor je najveći zajednički djelitelj brojeva 10 i 15 - broj 5, a zajednički faktor slova je monom a 2 b. dakle,

15a 3 b - 10a 2 b 2 \u003d 5a 2 b ∙ 3a - 5a 2 b ∙ b = 5a 2 b (3a - 2b).

Primjer 2. Faktorizirajte:

1) 2m(b - c) + 3p(b - c);

2) x(y - t) + c(t - c).

Razvoj

1) U ovom slučaju, zajednički faktor je binom b = c.

Dakle, 2m( b - od) + 3p( b - c) = (b - c)(2m + 3p).

2) Pojmovi imaju faktore in - t i t - in, koji su suprotni izrazi. Stoga, u drugom članu, uzimamo faktor -1, dobivamo: c (t - in) = -c (y - t).

Dakle, x(y - t) + c(t - c) = x(y - t) - c(y - t) = (y - t) (x - c).

Da biste provjerili ispravnost faktorizacije, pomnožite rezultirajuće faktore. Rezultat mora biti jednak datom polinomu.

Faktoring polinoma često pojednostavljuje proces rješavanja jednadžbe.

Primjer 3. Pronađite korijene jednadžbe 5x 2 - 7x \u003d 0.

Razvoj Faktorizirajmo lijevu stranu jednačine tako što ćemo zajednički faktor izvući iz zagrada: x(5x - 7) = 0. Uzimajući u obzir da je proizvod jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od faktora jednak nuli, imaćemo: x = 0 ili 5x - 7 = 0, odakle je x = 0 ili x = 1.4.

Odgovor: 0; 1.4.

Koja se transformacija naziva faktorizacijom polinoma? Koristeći polinom ab + ac kao primjer, objasnite kako se faktorizacija izvodi tako što se zajednički faktor izvlači iz zagrada.

1. (Verbalno) Pronađite zajednički faktor u izrazu:

1. (Verbalno) Faktor out:

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrada:

1. (Verbalno) ispravno faktorisano:

1) 7a + 7 = 7a;

2) 5m - 5 = 5(m - 5);

3) 2a - 2 = 2(a - 1);

4) 7xy - 14x \u003d 7x - (y - 2);

5) 5mn + bn = 5m(n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?

1. Zapiši sumu kao proizvod:

1. pomnožiti:

1. pomnožiti:

4) 7a + 21aj;

5) 9x 2 - 27x;

6) 3a - 9a 2;

8) 12ax - 4a 2;

9) -18xy + 24v 2;

10) a 2 b - ab 2;

11) rm - p 2 m;

12) -x 2 y 2 - xy.

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrada:

4) 15xy + 5x;

6) 15m - 30m2;

7) 9xy + 6x 2;

9) -p 2 q - pq 2.

1. pomnožiti:

5) 3b 2 - 9b 3;

7) 4y 2 + 12y 4 ;

8) 5m5 + 15m2;

9) -16a 4 - 20a.

1. pomnožiti:

4) 18p 3 - 12p 2;

5) 14b 3 + 7b 4 ;

6) -25m 3 - 20m.

1. Zapišite zbir 6x 2 u + 15x kao proizvod i pronađite njegovu vrijednost ako je x = -0,5, y = 5.
2. Napišite izraz 12a 2 b - 8a kao proizvod i pronađite njegovu vrijednost ako je a = 2, 6 = .
3. Izvadite zajednički faktor iz zagrada:

1) a 4 + a 3 - a 2;

2) m 9 - m 2 + m 7;

3) b 6 + b 5 - b 9;

4) - u 7 - u 12 - u 3.

1. Prisutno kao proizvod:

1) p 7 + p 3 - p 4;

2) a 10 - a 5 + a 8;

3) b 7 - b 5 - b 2;

4) -m 8 - m 2 - m 4.

1. Izračunajte na zgodan način:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.

1. Riješite jednačinu:

1) x 2 - 2x = 0;

2) x 2 + 4x = 0.

1. Pronađite korijene jednadžbe:

1) x 2 + 3x = 0;

2) x 2 -7x \u003d 0.

1) 4a 3 + 2a 2 - 8a;

2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6 ;

3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3;

4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5.

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrada:

1) 5s 8 - 5s 7 + 10s 4;

2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;

3) 8r 7 - 4r 5 + 10r 3;

4) 21b - 28b 4 - 14b 3 .

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrada:

1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3;

2) 12a 2 b - 18ab 2 + 30ab 3;

3) 8x 2 u 2 - 4x 3 u 5 + 12x 4 u 3;

4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15pq 3.

1. Faktor polinoma:

1) 12a - 6a 2 x 2 - 9a 3;

2) 12b 2 in - 18b 3 - 30b 4 in;

3) 16bx 2 - 8b 2 x 3 + 24b 3 x;

4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5 .

1. Izračunajte na zgodan način:

1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;

2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.

1. Pronađite vrijednost izraza:

1) 4,23 a - a 2 ako je a = 5,23;

2) x 2 y + x 3, ako je x = 2,51, c \u003d -2,51;

3) am 5 - m 6 ako je = -1, a = -5;

4) -xy - x 2, ako je x = 2,7, c = 7,3.

1. Pronađite vrijednost izraza:

1) 9,11 a + a 2 ako je a = -10,11;

2) 5x 2 + 5a 2 x, ako je a = ; x = .

1. Faktor polinoma:

1) 2p(x - y) + q(x - y);

2) a(x + y) - (x + y);

3) (a - 7) - b (a - 7);

4) 5(a + 1) + (a + 1) 2;

5) (x + 2) 2 - x (x + 2);

6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .

1. Izrazite izraz kao proizvod:

1) a (x - y) + b (y - x);

2) g(b - 5) - n(5 - b);

3) 7x - (2b - 3) + 5y (3 - 2b);

4) (x - y) 2 - a (y - x);

5) 5(x - 3) 2 - (3 - x);

6) (a + 1)(2b - 3) - (a + 3)(3 - 2b).

1. pomnožiti:

1) 3x(b - 2) + y(b - 2);

2) (m 2 - 3) - x (m 2 - 3);

3) a(b - 9) + c(9 - b);

4) 7(a + 2) + (a + 2) 2;

5) (s - m) 2 - 5 (m - s);

6) - (x + 2y) - 5 (x + 2y) 2.

1. Pronađite korijene jednadžbe:

1) 4x 2 - x \u003d 0;

2) 7x 2 + 28x = 0;

3) x 2 + x = 0;

4) x 2 - x \u003d 0.

1. Riješite jednačinu:

1) 12x 2 + x = 0;

2) 0,2 x 2 - 2x \u003d 0;

3) x 2 - x \u003d 0;

4) 1 - x 2 + - x \u003d 0.

1. Riješite jednačinu:

1) x (3x + 2) - 5 (3x + 2) = 0;

2) 2x(x - 2) - 5(2 - x) = 0.

1. Riješite jednačinu:

1) x(4x + 5) - 7(4x + 5) = 0;

2) 7(x - 3) - 2x(3 - x) = 0.

1) 17 3 + 17 2 je višekratnik broja 18;

2) 9 14 - 81 6 višestruki od 80.

1. Dokažite da je vrijednost izraza:

1) 39 9 - 39 8 je deljivo sa 38;

2) 49 5 - 7 8 je djeljivo sa 48.

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrada:

1) (5m - 10) 2 ;

2) (18a + 27b) 2 .

1. Pronađite korijene jednadžbe:

1) x (x - 3) \u003d 7x - 21;

2) 2x(x - 5) = 20 - 4x.

1. Riješite jednačinu:

1) x (x - 2) \u003d 4x - 8;

2) 3x (x - 4) \u003d 28 - 7x.

1. Dokažite da je broj

1) 10 4 + 5 3 je deljivo sa 9;

2) 4 15 - 4 14 + 4 13 je deljivo sa 13;

3) 27 3 - 3 7 + 9 3 je deljivo sa 25;

4) 21 3 + 14 a - 7 3 je deljivo sa 34.

Vježbe za ponavljanje

1. Pojednostavite izraz i pronađite njegovu vrijednost:

1) -3x 2 + 7x 3 - 4x 2 + 3x 2 ako je x = 0,1;

2) 8m + 5n - 7m + 15n ako je m = 7, n = -1.

1. Umjesto zvjezdica zapišite takve monomalne koeficijente kako bi se jednakost pretvorila u identitet:

1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2;

2) 7x 2 - 10y 2 - xy - (* x 2 - * xy + * 2) \u003d -x 2 + 3y 2 + xy.

1. Dužina pravougaonika je tri puta veća od njegove širine. Ako se dužina pravokutnika smanji za 5 cm, tada će se njegova površina smanjiti za 40 cm 2. Odredite dužinu i širinu pravougaonika.

Zanimljivi zadaci za lijene učenike

Poznato je da je a< b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| >|c| i |b|< |с|?

U okviru proučavanja identičnih transformacija veoma je važna tema uzimanja zajedničkog faktora iz zagrada. U ovom članku ćemo objasniti šta je tačno ova transformacija, izvesti osnovno pravilo i analizirati tipične primere problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncept rastavljanja zagrada

Da biste uspješno primijenili ovu transformaciju, morate znati za koje izraze se koristi i kakav rezultat želite dobiti. Hajde da objasnimo ove tačke.

Zajednički faktor možete izvaditi iz zagrada u izrazima koji su zbrojevi u kojima je svaki pojam proizvod, a u svakom proizvodu postoji jedan faktor koji je zajednički (isti) za sve. To je ono što se zove zajednički faktor. To je ono što ćemo izvući iz zagrada. Dakle, ako imamo radove 5 3 I 5 4 , tada možemo uzeti zajednički faktor 5 iz zagrada.

Kakva je to transformacija? Pri tome originalni izraz predstavljamo kao proizvod zajedničkog faktora i izraza u zagradama koji sadrži zbir svih originalnih članova, osim zajedničkog faktora.

Uzmimo gornji primjer. Izvadimo zajednički faktor 5 in 5 3 I 5 4 i dobijete 5 (3 + 4) . Konačni izraz je proizvod zajedničkog faktora 5 i izraza u zagradama, koji je zbir originalnih članova bez 5.

Ova transformacija se zasniva na distributivnom svojstvu množenja, koje smo već ranije proučavali. U doslovnom obliku, može se napisati kao a (b + c) = a b + a c. Promjenom desne strane sa lijeve, vidjet ćemo šemu vađenja zajedničkog faktora iz zagrada.

Pravilo uzimanja zajedničkog faktora iz zagrada

Koristeći sve gore navedeno, izvodimo osnovno pravilo za takvu transformaciju:

Definicija 1

Da biste zagradili zajednički faktor, potrebno je da napišete originalni izraz kao proizvod zajedničkog faktora i zagrada, koje uključuju originalni zbir bez zajedničkog faktora.

Primjer 1

Uzmimo jednostavan primjer renderiranja. Imamo numerički izraz 3 7 + 3 2 − 3 5, što je zbir tri člana 3 · 7 , 3 · 2 i zajedničkog faktora 3 . Uzimajući kao osnovu pravilo koje smo izveli, pišemo proizvod kao 3 (7 + 2 - 5). Ovo je rezultat naše transformacije. Unos rješenja izgleda ovako: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Faktor možemo izvaditi iz zagrada ne samo u numeričkim, već iu bukvalnim izrazima. Na primjer, u 3 x − 7 x + 2 možete izvaditi varijablu x i dobiti 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, u izrazu (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- zajednički množitelj (x 2 + y) i doći do kraja (x 2 + y) (x y − x 3).

Nije uvijek moguće odmah odrediti koji je množitelj uobičajen. Ponekad je izraz potrebno preliminarno transformirati zamjenom brojeva i izraza proizvodima koji su im identično jednaki.

Primjer 2

Tako, na primjer, u izrazu 6 x + 4 g možete izvaditi zajednički faktor 2, koji nije napisan eksplicitno. Da bismo ga pronašli, moramo transformirati originalni izraz, predstavljajući šest kao 2 3 i četiri kao 2 2 . tj 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). Ili u izrazu x 3 + x 2 + 3 x može se staviti u zagrade zajedničkim faktorom x, koji se nalazi nakon zamjene x 3 na x · x 2 . Takva transformacija je moguća zbog osnovnih svojstava stepena. Kao rezultat, dobijamo izraz x (x 2 + x + 3).

Još jedan slučaj koji bi se trebao posebno pozabaviti je stavljanje u zagrade minusa. Tada ne izvadimo sam znak, već jedan minus. Na primjer, transformirajmo izraz na ovaj način − 5 − 12 x + 4 x y. Prepišimo izraz kao (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y tako da se ukupni množilac može jasnije vidjeti. Izvadimo to iz zagrada i dobijemo − (5 + 12 x − 4 x y) . Ovaj primjer pokazuje da se u zagradama dobija isti iznos, ali sa suprotnim predznacima.

U zaključcima napominjemo da se transformacija vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada vrlo često koristi u praksi, na primjer, za izračunavanje vrijednosti racionalnih izraza. Takođe, ova metoda je korisna kada treba da predstavite izraz kao proizvod, na primer, da dekomponujete polinom na zasebne faktore.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Chichaeva Darina 8. razred

U radu je učenik 8. razreda oslikao pravilo za faktoriranje polinoma tako što je zajednički faktor vadio iz zagrada uz detaljan postupak rješavanja mnogih primjera na ovu temu. Za svaki analizirani primjer ponuđena su 2 primjera za samostalno rješenje na koje postoje odgovori. Rad će pomoći u proučavanju ove teme za one učenike koji je iz nekog razloga nisu naučili prilikom polaganja programskog materijala 7. razreda i (ili) prilikom ponavljanja kursa algebre u 8. razredu nakon ljetnih raspusta.

Skinuti:

Pregled:

Opštinska budžetska obrazovna ustanova

srednja škola №32

"UNESCO udružena škola "Eureka Development"

Volžski, oblast Volgograd

Radovi završeni:

Učenik 8B razreda

Chichaeva Darina

Volzhsky

2014

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada

• - Jedan od načina faktorizacije polinoma jeuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada;
• - Prilikom uzimanja zajedničkog faktora iz zagrada,distributivna svojina;
• - Ako svi članovi polinoma sadrže zajednički faktor, dakle ovaj faktor se može izvući iz zagrada.

Prilikom rješavanja jednadžbi, u proračunima i u nizu drugih problema može biti korisno zamijeniti polinom proizvodom više polinoma (među kojima mogu biti monomi). Reprezentacija polinoma kao proizvoda dva ili više polinoma naziva se faktorizacija polinoma.

Razmotrimo polinom 6a2b+15b2 . Svaki njegov član može se zamijeniti umnoškom dva faktora, od kojih je jedan jednak 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →iz ovoga dobijamo: 6a 2 b + 15b 2 \u003d 3b * 2a 2 + 3b * 5b.

Rezultirajući izraz zasnovan na distributivnom svojstvu množenja može se predstaviti kao proizvod dva faktora. Jedan od njih je zajednički faktor 3b , a drugi je zbir 2a 2 i 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Dakle, proširili smo polinom: 6a2b+15b2 na faktore, predstavljajući ga kao proizvod monoma 3b i polinom 2a 2 +5b. Ova metoda faktoringa polinoma naziva se vađenje zajedničkog faktora iz zagrada.

primjeri:

pomnožiti:

A) kx-px.

Množilac x x izvadite ga iz zagrada.

kx:x=k; px:x=p.

Dobijamo: kx-px=x*(k-p).

b) 4a-4b.

Množilac 4 postoji u terminu 1 i terminu 2. Zbog toga 4 izvadite ga iz zagrada.

4a:4=a; 4b:4=b.

Dobijamo: 4a-4b=4*(a-b).

c) -9m-27n.

9m i -27n podijeljeni su sa -9 . Stoga izvlačimo numerički faktor-9.

9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.

Imamo: -9m-27n=-9*(m+3n).

d) 5g 2 -15g.

5 i 15 su djeljivi sa 5; y 2 i y su djeljivi sa y.

Stoga izvlačimo zajednički faktor 5u .

5y 2 : 5y=y; -15g: 5g=-3.

Dakle: 5y 2 -15y=5y*(y-3).

komentar: Iz dva stepena sa istom osnovom vadimo stepen sa nižim eksponentom.

e) 16y 3 + 12y 2.

16 i 12 su djeljivi sa 4; y 3 i y 2 su djeljivi sa y 2 .

Dakle, zajednički faktor 4y2.

16y 3 : 4y 2 =4y; 12y 2 : 4y 2 =3.

Kao rezultat, dobićemo: 16y 3 +12y 2 \u003d 4y 2 * (4y + 3).

f) Faktor polinoma 8b(7y+a)+n(7y+a).

U ovom izrazu vidimo da postoji isti faktor(7g+a) , koji se može staviti u zagrade. Dakle, dobijamo:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

g) a(b-c)+d(c-b).

Izrazi b-c i c-b su suprotne. Dakle, da budu isti, prije d promijenite znak "+" u "-":

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Primjeri za nezavisno rješenje:

1. mx+my;
2. ah+ay;
3. 5x+5y ;
4. 12x+48g;
5. 7ax+7bx;
6. 14x+21g;
7. –ma-a;
8. 8mn-4m2;
9. -12g 4 -16g;
10. 15y 3 -30y 2 ;
11. 5c(y-2c)+y 2 (y-2c);
12. 8m(a-3)+n(a-3);
13. x(y-5)-y(5-y);
14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

Odgovori.

1) m(x+y); 2) a(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12(x+4y); 5) 7x(a+b); 6) 7(2x+3y); 7) -a(m+1); 8) 4m(2n-m);

9) -4y(3y 3 +4); 10) 15y 2 (y-2); 11) (y-2c) (5c + y 2 ); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).

Definicija 1

Prvo se prisjetimo pravila za množenje monoma monomom:

Da biste pomnožili monom sa monomom, prvo morate pomnožiti koeficijente monoma, a zatim, koristeći pravilo množenja stepena sa istom bazom, pomnožiti varijable uključene u monom.

Primjer 1

Pronađite proizvod monoma $(2x)^3y^2z$ i $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Rješenje:

Prvo izračunavamo proizvod koeficijenata

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ u ovom zadatku smo koristili pravilo množenja broja razlomkom - da biste pomnožili cijeli broj razlomkom, potrebno je pomnožite broj sa brojnikom razlomka, a nazivnik ostavite nepromijenjen

Sada koristimo glavno svojstvo razlomka - brojilac i imenilac razlomka se mogu podijeliti istim brojem, različitim od $0$. Podelite brojilac i imenilac ovog razlomka sa $2$, tj. smanjite dati razlomak za $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\ \frac (3 )(2)$

Dobiveni rezultat se pokazao kao nepravilan razlomak, odnosno onaj u kojem je brojilac veći od nazivnika.

Hajde da transformišemo ovaj razlomak ekstrahovanjem celog dela. Podsjetimo da je za izolaciju cijelog dijela neophodan nepotpun količnik, koji se dobije dijeljenjem brojioca sa nazivnikom, zapiše se kao cijeli broj, ostatak dijeljenja u brojnik razlomka, djelitelj u imenilac.

Pronašli smo koeficijent budućeg proizvoda.

Sada ćemo sekvencijalno množiti varijable $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Ovdje smo koristili pravilo za množenje stepena sa istom osnovom: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Tada će rezultat množenja monoma biti:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Zatim, na osnovu ovog pravila, možete izvršiti sljedeći zadatak:

Primjer 2

Predstavite dati polinom kao proizvod polinoma i monoma $(4x)^3y+8x^2$

Predstavimo svaki od monoma koji čine polinom kao proizvod dva monoma da bismo izdvojili zajednički monom, koji će biti faktor i u prvom i u drugom monomu.

Prvo, počinjemo s prvim monomom $(4x)^3y$. Faktorizujmo njegov koeficijent u jednostavne faktore: $4=2\cdot 2$. Uradimo isto sa koeficijentom drugog monoma $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Imajte na umu da su dva faktora $2\cdot 2$ uključena i u prvi i u drugi koeficijent, tako da $2\cdot 2=4$ - ovaj broj će biti uključen u opći monom kao koeficijent

Sada obratimo pažnju da je u prvom monomu $x^3$ , au drugom ista varijabla u stepenu od $2:x^2$. Stoga je zgodno predstaviti varijablu $x^3$ na sljedeći način:

Varijabla $y$ je uključena u samo jedan član polinoma, što znači da se ne može uključiti u opći monom.

Hajde da predstavimo prvi i drugi monom koji ulazi u polinom kao proizvod:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Imajte na umu da je zajednički monom, koji će biti faktor i u prvom i u drugom monomu, $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Sada primjenjujemo distributivni zakon množenja, tada se rezultirajući izraz može predstaviti kao proizvod dva faktora. Jedan od faktora će biti zajednički faktor: $4x^2$, a drugi će biti zbir preostalih faktora: $xy + 2$. znači:

$(4x)^3y+8x^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Ova metoda se zove faktorizacija vađenjem zajedničkog faktora.

Zajednički faktor u ovom slučaju bio je monom $4x^2$.

Algoritam

Napomena 1

Pronađite najveći zajednički djelitelj koeficijenata svih monoma uključenih u polinom - to će biti koeficijent zajedničkog monomskog faktora, koji ćemo izvaditi iz zagrada

Monom koji se sastoji od koeficijenta koji se nalazi u tački 2, varijabli pronađene u tački 3 će biti zajednički faktor. koji se može staviti u zagrade kao zajednički faktor.

Primjer 3

Izvadite zajednički faktor $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Rješenje:

Za ovo nalazimo GCD koeficijenata, razlažemo koeficijente na jednostavne faktore

$45=3\cdot 3\cdot 5$

I nalazimo proizvod onih koji ulaze u ekspanziju svakog:

Identifikujte varijable koje su dio svakog monoma i odaberite varijablu s najmanjim eksponentom

$a^3=a^2\cdot a$

Varijabla $b$ ulazi samo u drugi i treći monom, što znači da neće ući u zajednički faktor.

Sastavljamo monom koji se sastoji od koeficijenta koji se nalazi u tački 2, varijabli koje se nalaze u tački 3, dobijamo: $3a$- ovo će biti zajednički faktor. onda:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$