Konjugirani i simetrični linearni operatori u Euklidskom prostoru. Linearni operatori u euklidskim prostorima

25.04.2019 Savjet

Razmotrimo -dimenzionalni euklidski prostor. Neka je dat proizvoljan linearni operator.

Definicija 10. Linearni operator se naziva transponiranim operatorom ako je za bilo koji vektor i iz:

. (106)

Postojanje i jedinstvenost transponovanog operatora utvrđuju se na potpuno isti način kao što je to učinjeno u § 8 za spojeni operator u unitarnom prostoru.

Transponirani operator ima sljedeća svojstva:

2. ,

3. (- pravi broj),

Hajde da uvedemo nekoliko definicija.

Definicija 11. Linearni operator se naziva normalnim ako

Definicija 12. Za linearni operator se kaže da je simetričan ako

Definicija 13. Za simetrični operator se kaže da je nenegativan ako je za bilo koji vektor iz

Definicija 14. Za simetrični operator se kaže da je pozitivno određen ako je za bilo koji vektor iz

Definicija 15. Za linearni operator se kaže da je koso-simetričan if

Proizvoljni linearni operator uvijek se može predstaviti, i, štaviše, jedinstveno, u obliku

gdje je simetričan operator i koso-simetričan operator.

Zaista, iz (107) slijedi

Iz (107) i (108) slijedi

. (109)

Obrnuto, formule (109) uvijek definiraju simetričan i koso-simetričan operator, za koje vrijedi jednakost (107).

I nazivaju se simetričnim i koso-simetričnim komponentama operatora.

Definicija 16. Operator se naziva ortogonalnim ako čuva metriku prostora, odnosno ako za bilo koji vektor iz

. (110)

Jednakost (110) na osnovu (106) može se prepisati na sljedeći način: ... Ovo implicira:

Obrnuto, (111) implicira (110) (za proizvoljne vektore). Iz (111) slijedi: tj.

Ortogonalni operator ćemo nazvati operatorom prve vrste if, a druge vrste if.

Simetrični, koso-simetrični, ortogonalni operatori su posebni tipovi normalnog operatora.

Razmotrimo proizvoljnu ortonormalnu osnovu u datom euklidskom prostoru. Neka matrica odgovara linearnom operatoru u ovoj bazi (ovdje su svi realni brojevi). Čitalac će lako pokazati da transponovani operator odgovara u istoj osnovi transponovanoj matrici, pri čemu ... Otuda slijedi da u ortonormalnoj bazi normalna matrica odgovara normalnom operatoru, simetrična matrica odgovara simetričnom operatoru, koso-simetrična matrica odgovara koso-simetričnom operatoru i, konačno, ortogonalna matrica odgovara ortogonalnom operater.

Slično kao što je to učinjeno u § 8 za pridruženi operator, ovdje je uspostavljen sljedeći prijedlog:

Ako je neki podprostor v invarijantan pod linearnim operatorom, onda je ortogonalni komplement za v invarijantan pod operatorom.

Da bismo proučavali linearne operatore u Euklidskom prostoru, proširićemo Euklidski prostor na neki unitarni prostor. Ovo proširenje ćemo izvršiti na sljedeći način:

1. Vektori iz će se zvati realni vektori.

2. Uvedemo u razmatranje "kompleksne" vektore, gdje su i realni vektori, tj.

3. Operacije sabiranja kompleksnih vektora i množenja kompleksnim brojem definirane su na prirodan način. Tada zbirka svih kompleksnih vektora formira -dimenzionalni vektorski prostor nad poljem kompleksnih brojeva koji sadrži kao dio.

4. Hermitska metrika je uvedena tako da se u njoj poklapa sa Euklidskom metrikom koja je tamo dostupna. Čitalac može lako provjeriti da je željena hermitska metrika definirana na sljedeći način:

Ako u, onda

Uz pretpostavku u ovom slučaju i, imat ćemo:

Ako izaberemo realnu osnovu, odnosno bazu u, onda će to biti skup svih vektora sa kompleksnim, i - sa realnim koordinatama u ovoj bazi.

Bilo koji linearni operator at može se jedinstveno proširiti na linearni operator na:

Među svim linearnim operatorima in, operatori koji su rezultat takvog proširenja iz operatora in karakteriziraju se prevođenjem u. Takvi operateri će se zvati stvarni.

U realnoj bazi, realni operatori su definisani realnim matricama, odnosno matricama sa realnim elementima.

Realni operator preslikava kompleksne konjugirane vektore i opet u kompleksne konjugirane vektore

Za realni operator, sekularna jednadžba ima realne koeficijente, tako da znate kako sa korijenom th višestrukosti, ona također ima korijen th višestrukosti. Iz toga slijedi: tj. konjugirani karakteristični brojevi odgovaraju konjugiranim svojstvenim vektorima.

Dvodimenzionalni podprostor ima realnu osnovu: ... Ravan u sa ovom bazom će se zvati invarijantna ravan operatora koja odgovara paru karakterističnih brojeva. Neka .

Tada, kao što je lako vidjeti,

Razmislite o realnom operatoru jednostavne strukture s karakterističnim brojevima:

gdje su realni brojevi i.

Tada se sopstveni vektori koji odgovaraju ovim karakterističnim brojevima mogu odabrati tako da

čine osnovu u Euklidskom prostoru. Gde

(114)

U bazi (113), operator odgovara realnoj kvazi-dijagonalnoj matrici

. (115)

Dakle, za svaki operator jednostavne strukture u Euklidskom prostoru postoji osnova u kojoj operator odgovara matrici oblika (115). Otuda slijedi da je svaka realna matrica jednostavne strukture realno slična kanonskoj matrici oblika (115):

Transponirani operator za at nakon proširenja postaje konjugirani operator za at. Prema tome, normalni, simetrični, koso-simetrični, ortogonalni operatori in nakon proširenja postaju, respektivno, normalni, hermitski, pomnoženi hermitskim, unitarnim realnim operatorima in.

Lako je pokazati da se za normalan operator u euklidskom prostoru može izabrati kanonska baza - ortonormalna baza (113) za koju vrijede jednakosti (114). Stoga je realna normalna matrica uvijek realna i ortogonalna slična matrici oblika (115):

(117)

Svi karakteristični brojevi simetričnog operatora u euklidskom prostoru su realni, jer nakon proširenja ovaj operator postaje hermitovski. Za simetrični operator, u formulama (114) treba postaviti. tada dobijamo:

Simetrični operator u Euklidovom prostoru uvijek ima ortonormalni sistem svojstvenih vektora sa realnim karakterističnim brojevima. Stoga je realna simetrična matrica uvijek realna i ortogonalno slična dijagonalnoj matrici

Svi karakteristični brojevi koso-simetričnog operatora u Euklidskom prostoru su čisto imaginarni (nakon proširenja, ovaj operator je jednak proizvodu Hermitovog operatora). Za koso-simetrični operator u formulama (114), treba postaviti:

nakon čega ove formule poprimaju oblik

(120)

Pošto je to normalan operator, baza (113) se može smatrati ortonormalnom. Dakle, svaka realna koso-simetrična matrica je realna i ortogonalna slična kanonskoj koso-simetričnoj matrici:

... (124)): iz jednakosti paralelnih vektoru. Dokazali smo Euler-D'Alembertovu teoremu:

Proizvoljno konačno kretanje u trodimenzionalnom euklidskom prostoru je spiralno kretanje oko neke fiksne ose.

220400 Algebra i geometrija Tolstikov A.V.

Predavanja 15. Linearni operatori u euklidskim prostorima

Plan

1. Konjugirani operatori u euklidskim prostorima i njihova svojstva.

2. Samopridruženi operatori.

3. Ortogonalne matrice i njihova svojstva.

4. Ortogonalni operatori i njihova svojstva.

1. Kurs analitičke geometrije i linearne algebre. Moskva: Nauka, 1984.

2. Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Elementi linearne algebre i analitičke geometrije. 1997.

3. Voevodin V.V. Linearna algebra .. M .: Nauka 1980.

4. Zbirka zadataka za visoke tehničke škole. Linearna algebra i osnove matematičke analize. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Linearna algebra u pitanjima i problemima. Moskva: Fizmatlit, 2001.

6. Voevodin V.V. Linearna algebra. Moskva: Nauka, 1980.

1. Konjugirani operatori u euklidskim prostorima i njihova svojstva. Neka E- Euklidski prostor nad poljem realnih brojeva R , na kojem je skalarni proizvod vektora ( a ,b ), a ,b Î E.

Definicija 1. Linearni operator A * Euklidski prostor E pozvao konjugirati linearni operator A * svemir E ako za bilo koje vektore a ,b Î E ispunjen je uslov:

(Aa ,b ) = (a ,A * b ). (1)

Lema 1.Ako je proizvod datog nizaU u bilo koju kolonuY je nula, zatim nizU je nula. Ako je proizvod bilo kojeg nizaX t na datoj koloniU je nula, zatim stupacnull.

Dokaz. Neka U= (u 1 , u 2 ,…,u n), Y= (y 1 , y 2 ,…,y n)t... Po hipotezi teoreme, za bilo koje brojeve y 1 , y 2 ,…,y n U Y= (u 1 , u 2 ,…,u n)(y 1 , y 2 ,…,y n)t = u 1 y 1 + u 2 y 2 +…+u n y n= 0. Ako svi brojevi y 1 , y 2 ,…,y n jednake su 0, osim y j, koji je = 1, onda iz ovoga dobijamo da u j (i = 1,2,…,n). Dakle U= 0. Slično se dokazuje i druga tvrdnja teoreme.

Teorema 1.Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - osnovi euklidskog prostoraE, A - matrica linearnog operatora A na osnovu v, G = (g ij) - matrica osnovnog grama v. Ako je za linearni operatorA postoji pridruženi operatorA *, zatim jednakost

A t G = G A *. (2)

Dokaz. Neka X i Y vektorske koordinatne kolone a ,b Î E na osnovu v, A i A * matrice linearnih operatora A i A * na osnovu v... Onda

(Aa , b ) =(v(SJEKIRA), vY) = (SJEKIRA) t GY, (a ,A * b ) = X t G A * Y.(3)

Dakle, koristeći formulu (1), dobijamo jednakost ( SJEKIRA) t GY= X t G A * Y, važi za bilo koji vektor kolone X i Y. Od vektora a ,b proizvoljno, onda po lemi 1 dobijamo A t G = G A *.

Teorema 2.Ako je osnovav = (v 1 , v 2 ,…, v n) Euklidski prostorE ortonormalno, dakle matricaA * spojeni linearni operatorA * transponuje se u matricuOperater A ;

A t = A *. (4)

Dokaz. Pošto je Gram matrica ortonormalne baze jedinica, G = E, tada (4) slijedi iz (2) .

Zaključak 1. Za bilo kog operateraA pravedna jednakost (A * ) * = A .

Dokaz. Formulom (4) za matrice linearnih operatora ( A * ) * i A u ortonormalnoj bazi imamo ( A *) * = (A t)t = A... pa ( A * ) * = A .

Zaključak 2. Za bilo kog operateraA , B pravedna jednakost (AB ) * = B * A * .

Dokaz. Formulom (4) za matrice linearnih operatora A ,B i A * , B * u ortonormalnoj bazi imamo ( AB) * = (AB)t = B t A t = B * A*. pa ( AB ) * = B * A * .

Zaključak 3. Vlastite vrijednosti linearnih operatoraA iA * podudaraju se.

Dokaz. Pošto se karakteristični polinomi matrica i poklapaju, sopstvene vrijednosti linearnih operatora, koji su korijeni karakteristične jednadžbe, poklapaju se .

Teorema 3. Za bilo koji linearni operatorA Euklidski prostorE postoji jedinstveni pridruženi linearni operatorA * .

Dokaz. Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n) ortonormalna osnova euklidskog prostora E, A - linearni operator sa matricom A na osnovu v... Uzmite u obzir E linearni operator B sa matricom A t u odnosu na datu osnovu. Operater B postoji samo jedan. Desne strane jednakosti (3) su jednake: ( SJEKIRA) t GY = X t G A * Y. Stoga, lijeva ( Aa , b ) = (a ,Bb ). Dakle, operater B - konjugat za operatera A .

2. Samopridruženi operatori.

Definicija 1. Linearni operator A Euklidski prostor E pozvao samospojni ili simetrični, ako A = A * , tj. za bilo koje vektore od dva a ,b Î E ispunjen je uslov:

(Aa , b ) = (a ,Ab ). (1)

Teorema 1. Linearni operatorA Euklidski prostorE je samoprilagođena ako i samo ako je matricaLinearni operatorA simetrična matrica u ortogonalnoj bazi, tj.. A = A * .

Linearni samopridruženi operatori
Prijenosne Windows aplikacije na Bodrenko.com

§ 5. Linearni samopridruženi operatori
u Euklidskom prostoru .

1. Koncept konjugiranog operatora. Razmotrićemo linearne operatore u konačno-dimenzionalnom euklidskom prostoru V. Definicija 1. Operator A * iz L (V, V) naziva se konjugiranim sa linearnim operatorom A ako za bilo koje x i y iz V postoji relacija

(Ax, y) = (x, A * y). (5.51)

Lako je vidjeti da je operator A *, konjugiran sa linearnim operatorom A, sam linearni operator. Ovo proizilazi iz očigledne relacije

što vrijedi za sve elemente x, y 1, y 2 i sve kompleksne brojeve α i β.

Dokažimo sljedeću teoremu.

Teorema 5.12. Svaki linearni operator A ima jedinstveni spojeni operator.

Dokaz. Očigledno je da je skalarni proizvod (Ax, y) seskvilinearni oblik (vidi Poglavlje 4, § 3, tačka 1 i definiciju seskvilinearnog oblika). Prema teoremi 5.11, postoji jedinstveni linearni operator A * takav da se ovaj oblik može predstaviti u obliku (x, A * y). Dakle, (Ax, y) = x, A * y.
Prema tome, operator A * je konjugiran sa operatorom A. Jedinstvenost operatora A * proizilazi iz jedinstvenosti reprezentacije seskvilinearnog operatora u obliku E.44). Teorema je dokazana.

U nastavku, simbol A * će označavati operator konjugiran sa operatorom A.
Obratite pažnju na sljedeća svojstva konjugiranih operatora:

Dokazi svojstava 1° -4° su elementarni i ostavljamo ih čitaocu. Dajemo dokaz svojstva 5°. Prema definiciji proizvoda operatora, relacija (AB) x = A (Bx) je tačna. Koristeći ovu jednakost i definiciju pridruženog operatora, dobijamo sljedeći lanac relacija:

((AB) x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A * y) = (x, B * (A * y)) = (x, (B * A *) y) . ..

Dakle, ((AB) x, y) = (x, (B * A *) y). Drugim riječima, operator B * A * je konjugiran sa operatorom AB. Utvrđena je valjanost svojstva 5°.

Komentar. Koncept konjugiranog operatora za realni prostor predstavljen je na potpuno sličan način. Zaključci ovog pododjeljka i svojstva konjugiranih operatora također vrijede za ovaj slučaj (u ovom slučaju, svojstvo 3° je formulirano na sljedeći način: (λA) * = λA *).

2. Samopridruženi operatori. Osnovna svojstva.
Definicija 2. Linearni operator A iz L (V, V) naziva se samoprilagođen ako je jednakost

A * = A.

Slično je definiran samopridruženi operator u realnom prostoru.
Najjednostavniji primjer samopridruženog operatora je operator identiteta I (vidi svojstvo 1° spojenih operatora u prethodnom pododjeljku).
Samopridruženi operatori se mogu koristiti za dobijanje posebne reprezentacije proizvoljnih linearnih operatora. Naime, tačna je sljedeća tvrdnja.

Teorema 5.13... Neka je A linearni operator koji djeluje u kompleksnom euklidskom prostoru V. Tada vrijedi sljedeća reprezentacija: A = A R + iA Ja, gde A R i A I su samopridruženi operatori koji se nazivaju realni i imaginarni dijelovi operatora A.

Dokaz. Prema svojstvima 2 °, 3 ° i 4 ° konjugiranih operatora (pogledajte prethodnu stavku ovog odjeljka), operatori A R = (A + A *) / 2 i A I = (A - A *) / 2i- samospojni.

Očigledno, A = A R + iA I Teorema je dokazana.

U sljedećoj teoremi pojašnjavaju se uvjeti za samospregnutost proizvoda samopridruženih operatora. Reći ćemo da operatori A i B komutiraju ako AB = BA.

Teorema 5.14. Da bi proizvod AB samospojnih operatora A i B bio samopridruženi operator, potrebno je i dovoljno da oni komutiraju.
Dokaz... Pošto su A i B samopridruženi operatori, onda, prema svojstvu 5° konjugiranih operatora (vidi tačku 1 ovog odjeljka), vrijede sljedeće relacije:
(AB) * = B * A * = BA (5.52)

Stoga, ako AB = BA, zatim ( AB) * = AB, tj. operator AB je samopridružen. Ako je AB samopridruženi operator, onda AB = (AB) *, a zatim, na osnovu (5.52), AB = BA. Teorema je dokazana.
U kasnijim teoremama, utvrđeno je niz važnih svojstava samopridruženih operatora.
Teorema 5.15. Ako je operator A samospojen, onda za bilo koji X ϵ V skalarni proizvod (ah, x)- pravi broj.
Dokaz. Valjanost iskaza teoreme proizlazi iz sljedeće osobine skalarnog proizvoda u kompleksnom euklidskom prostoru i definicija samopridruženog operatora (Podsjetite se da ako je kompleksni broj jednak njegovom konjugatu, onda
ovaj broj je stvaran.)

Teorema 5.16. Vlastite vrijednosti samopridruženog operatora su realne.
Dokaz. Neka je λ sopstvena vrijednost samoprilagođenog operatora A. Prema definiciji svojstvene vrijednosti operatora A (vidi definiciju 2 § 3 ovog poglavlja) postoji vektor x koji nije nula.
takav da je Ax = λx. Iz ove relacije slijedi da se realni (na osnovu teoreme 5.15) skalarni proizvod (Ax, x) može predstaviti kao 2)

( 2) Podsjetimo da je simbol || x || označava normu elementa x.)

Pošto || x || i (Ax, x) su realni, onda je, očigledno, λ takođe realan broj. Teorema je dokazana.

Sljedeća teorema pojašnjava svojstvo ortogonalnosti vlastitih vektora samopridruženog operatora.
Teorema 5.17. Ako je A samopridruženi operator, tada su svojstveni vektori koji odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima ovog operatora ortogonalni.

Dokaz. Neka su λ 1 i λ 2 različite vlastite vrijednosti (λ 1 ≠ λ 2) samoprilagođenog operatora A, a x 1 i x 2, respektivno, odgovarajućih svojstvenih vektora. Tada vrijede sljedeće relacije: Ax 1 = λ 1 x 1, Ax 2 = λ 2 x 2. Stoga su skalarni proizvodi (Ax 1, x 2) i (x 1, Ax 2) jednaki sljedećim izrazima 3:

3) Pošto su vlastite vrijednosti samopridruženog operatora realne, onda

Budući da je operator A samospojen, skalarni proizvodi (Ax 1, x 2) i (x 1, Ax 2) su jednaki, pa stoga iz posljednje relacije oduzimanjem dobijamo jednakost

Kako je λ 1 ≠ λ 2, iz posljednje jednakosti slijedi da skalarni proizvod (x 1 * x 2) nestaje, tj. ortogonalnost sopstvenih vektora x 1 i x 2 Teorema je dokazana.

3. Norma linearnog operatora. Neka je A linearni operator koji preslikava euklidski prostor V u isti prostor. Hajde da uvedemo koncept norme operatora A.
Definicija 3... Norma || A || linearni operator A je broj definisan relacijom 1)

1) Podsjetimo da to implicira da je kontinuirana funkcija x, koja na zatvorenom skupu || x || = 1 dostiže konačnu maksimalnu vrijednost.

Definicija norme linearnog operatora implicira sljedeću očiglednu nejednakost:

(za dokaz je dovoljno koristiti relaciju Ax =

Iz relacije E.54) slijedi da ako || A || = O, tada je operator A nula.

Norma samopridruženog operatora A može se odrediti i na drugi način. Naime, tačna je tvrdnja:

Ako je A samopridruženi operator, onda je gore uvedena norma || A || operator A je jednak

Dokaz. Za bilo koje x iz V, vrijedi nejednakost Cauchy-Bunyakovsky (vidjeti pododjeljak 2 §3 poglavlja 4)

Iz nje i iz nejednakosti (5.54) dobijamo sljedeću nejednakost:

Stoga broj

zadovoljava relaciju

Imajte na umu da iz jednakosti

i definicija broja μ (vidi 5.56)) slijedi sljedeća nejednakost:

Okrenimo se sada sljedećem očiglednom identitetu:

(u ovom identitetu, simbol Re (Ax, y) označava realni dio kompleksnog broja (Ax, y), sam identitet lako slijedi iz svojstava skalarnog proizvoda, vidi Odjeljak 1, Odjeljak 3, Poglavlje 4) . Skretanje lijevo i desno
dio ovog identiteta po modulu, koristeći svojstvo modula zbira i nejednakosti E.58), dobijamo sljedeće odnose 1):

1 ) Koristili smo definiciju norme elementa u kompleksnom euklidskom prostoru.

Dakle, za || x || = || y || = 1 dobijamo nejednakost

Postavljanje ove nejednakosti (očigledno, || y || = 1) i uzimajući u obzir da je broj (Ax, Ax) = || Ax || 2 je realno (dakle, dobijamo

Dakle, prema nejednakosti (5.53), nalazimo

Da bismo završili dokaz, ostaje da se dobijena nejednakost uporedi sa nejednakošću (5.57) i koristi se definicija broja µ (vidi 5.56)).

4. Dalja svojstva samopridruženih operatora. U ovom pododjeljku dokazujemo niz važnih svojstava linearnih operatora vezanih za koncept norme. Prvo, uspostavljamo neophodan i dovoljan uslov za samoprilagodljivost operatora. Dokažimo sljedeću teoremu.
Teorema 5.18. Da bi linearni operator A bio samospojen, potrebno je i dovoljno da 2)

2 ) Simbol Im (Ax, x) označava imaginarni dio kompleksnog broja (Ax, x). Jednakost Im (Ax, x) = 0 znači da je broj (Ax, x) realan.

Dokaz. Prema teoremi 5.13, proizvoljni linearni operator A može se predstaviti u obliku

samoprilagođeni operatori. Dakle

štaviše, prema teoremi 5.15, za bilo koje x brojevi i su realni. Prema tome, ovi brojevi su respektivno jednaki realnom i imaginarnom dijelu kompleksnog broja (Ax, x):

Pretpostavimo da je A samopridruženi operator. Prema teoremi 5.15, u ovom slučaju (Ax, x) je realan broj,
i stoga je Im (Ax, x) = 0. Dokazana je neophodnost uslova teoreme.

Dokažimo dovoljnost uslova teoreme.

Neka je Im (Ax, x) = (A I x, x) = 0. Otuda slijedi da || A I || = 0, odnosno A I = 0. Prema tome, A = A R, gdje je A R samopridruženi operator.
Teorema je dokazana.
Sljedeće izjave pojašnjavaju neka svojstva svojstvenih vrijednosti samopridruženih operatora.

Lemma. Bilo koja svojstvena vrijednost X proizvoljnog linearnog samopridruženog operatora A u Euklidskom prostoru jednaka je skalarnom proizvodu (Ax, x), gdje je x neki vektor, zadovoljavajući
zadovoljavajući uslov || x || = 1:

Dokaz. Kako je λ vlastita vrijednost operatora A, postoji vektor z različit od nule takav da

Postavljanje x = z / || z || (očigledno, || x || = 1), prepisujemo 5.60) na sljedeći način: Ax = λ x, || x || = 1. Iz ovoga dobijamo relacije tj. 5.59). Lema je dokazana.
Posljedica. Neka je A samopridruženi operator i λ bilo koja svojstvena vrijednost ovog operatora. Neka dalje

Važeće sljedeće nejednakosti:

Napomena 1. Pošto je skalarni proizvod (Ax, x) kontinuirana funkcija od x, onda je na zatvorenom skupu || x || = 1 ova funkcija je ograničena i dostiže svoje tačne granice m i M.
Napomena 2... Prema teoremi 5.16, vlastite vrijednosti samopridruženog operatora su realne. Dakle, nejednakosti 5.62) imaju smisla.
Dokaz posledica. Kako bilo koja svojstvena vrijednost λ zadovoljava relaciju (5.59), onda, očito, svaka svojstvena vrijednost leži između tačnih strana m i M skalarnog proizvoda (Ax, x). Dakle, nejednakosti (5.62) vrijede.
Dokazaćemo da su brojevi m i M definisani relacijama (5.61) najmanja, odnosno najveća vlastita vrijednost samoprilagođenog operatora A. Prvo ćemo provjeriti valjanost sljedeće tvrdnje.

Teorema 5.19. Neka je A samopridruženi operator i, štaviše, (Ax, x) ≥ 0 za bilo koje x. Tada je norma || A || jednaka je najvećoj svojstvenoj vrijednosti ovog operatora 1)

1 ) Pošto postoji konačan broj svojstvenih vrijednosti i one su realne, najveća od njih se može specificirati.

Dokaz. To smo već primijetili (vidi izjavu prethodnog odjeljka).

Pošto je (Ax, x) ≥ 0, onda prema napomeni 1 ovog pododjeljka, za neke

Okrećući se definiciji norme i koristeći upravo napisane jednakosti, dobijamo relacije 2)

Dakle, ili, drugim riječima, je vlastita vrijednost operatora A. Činjenica da je λ najveća svojstvena vrijednost proizilazi iz upravo ustanovljene korolarne leme ovog pododjeljka. Teorema je dokazana.

Dokažimo sada da su brojevi m i M (vidi 5.61)) najmanja i najveća vlastita vrijednost samopridruženog operatora A.

Teorema 5.20. Neka je A samoprilagođen operator, a m i M tačna lica (Ax, x) na skupu || x || = 1. Ovi brojevi predstavljaju najmanju i najveću svojstvenu vrijednost operatora A.
Dokaz... Očigledno, dovoljno je dokazati da su brojevi m i M vlastite vrijednosti operatora A. Tada iz nejednakosti 5.62) odmah proizlazi da su m i M najmanja, odnosno najveća vlastita vrijednost.
Dokažimo prvo da je M vlastita vrijednost. Za ovo, razmotrite samopridruženi operator B = A - mI. Jer

tada operator V zadovoljava uslove iz teoreme 5.19, pa stoga i norma || V || ovog operatora jednaka je najvećoj svojstvenoj vrijednosti. Na drugoj strani,

Dakle, (M - m) je najveća vlastita vrijednost operatora B. Prema tome, postoji vektor x 0 različit od nule takav da

Jer

Zamjenom ovog izraza Bx 0 u lijevu stranu jednakosti (5.63) dobijamo, nakon jednostavnih transformacija, relaciju Ax 0 = Mx 0 - Dakle, M je vlastita vrijednost operatora A. Provjerimo sada da je broj m je također vlastita vrijednost operatora A.
Razmotrimo samopridruženi operator B = -A. Očigledno je da

Prema upravo sprovedenom dokazu, broj - m predstavlja svojstvenu vrijednost operatora B. Pošto je B = -A, tada će m biti vlastita vrijednost operatora A. Teorema je dokazana.

Sljedeća teorema pojašnjava važno svojstvo vlastitih vektora samopridruženog operatora.

Teorema 5.21. Svaki samopridruženi linearni operator A koji djeluje u n -dimenzionalni euklidski prostor V, postoji n linearno nezavisni parno ortogonalni i jedinični sopstveni vektori.

Dokaz... Neka λ 1 je maksimalna vlastita vrijednost operatora

Sa e 1 označavamo sopstveni vektor koji odgovara λ 1 i zadovoljava uslov || e 1 || = 1 (mogućnost njegovog izbora proizilazi iz dokaza leme u ovom pododjeljku).
Sa V 1 označavamo (n - 1) -dimenzionalni podprostor prostora V ortogonalnog na e 1 Očigledno, V 1 je invarijantni podprostor operatora A (to jest, ako je x ϵ V 1, onda je Ax ϵ V 1. Zaista, neka je x ϵ V 1 (tj. (x, e 1 = 0). Tada je 1)

1 ) Koristili smo samoprilagođeno svojstvo operatora (Ax, e 1 ) = (x, Ae 1 ) i činjenica da e 1 - vlastiti vektor operatora:

Prema tome, Ax je element V 1 , a samim tim i V 1 je invarijantni podprostor operatora A. Ovo nam daje pravo da razmotrimo operator A u podprostoru V 1 ... U ovom podprostoru, A će biti samopridruženi operator. Dakle, postoji maksimalna svojstvena vrijednost A 2 ovog operatora, koja se može pronaći pomoću relacije 1 )

1 ) Simbol označava ortogonalnost vektora e 1 i e 2

Osim toga, možete odrediti vektor takav da

Okrećući se dalje (n - 2) -dimenzionalnom podprostoru V 2, ortogonalnom na vektore e 1 i e 2, i ponavljajući gornje rezonovanje, konstruišemo svojstveni vektor ez, || ez || = 1, ortogonalno na e 1 i e 2. Raspravljajući dalje na isti način, sukcesivno nalazimo n međusobno ortogonalnih vlastitih vektora e 1, e 2, ..., e n koji zadovoljavaju uvjet
Napomena 1. U budućnosti, pristajemo da numerišemo sopstvene vrednosti samopridruženog operatora u opadajućem redosledu, uzimajući u obzir ponovljene, odnosno višestruke sopstvene vrednosti. Gde

a odgovarajući svojstveni vektori e 1, e 2, ..., e n se mogu smatrati međusobno ortogonalnim i zadovoljavajući uslov

Na ovaj način,

Napomena 2... Argumenti u dokazu teoreme impliciraju relaciju

Ovaj odnos se takođe može zapisati kao

linearni raspon vektora e 1, e 2, ..., e m. Valjanost napomene proizlazi iz činjenice da je (x, x) = || x || 2, i stoga

i norma elementa x / || x || je jednako 1.

Neka ∑ m je skup svih m-dimenzionalnih podprostora V. Važi sljedeće važno minimaksno svojstvo svojstvenih vrijednosti.
Teorema 5.22. Neka je A samopridruženi operator i su njegove vlastite vrijednosti, numerirane redoslijedom navedenim u napomeni 1. Zatim

PREDAVANJE 9

Operatori u euklidskim prostorima

Linearni operatori koji djeluju u euklidskim prostorima imaju niz posebnih svojstava koja su vrlo važna za primjenu linearne algebre u različitim predmetnim oblastima. Zadržaćemo se samo na glavnim pitanjima ove teorije, a posebno ćemo proučavati teoriju linearnih operatora isključivo u realnim prostorima sa ortonormiranim bazama, odnosno u prostoru. Osim toga, operatori će se smatrati transformacijama, odnosno proučavat ćemo operatore
.

Konjugirani operator ... Razmotrite koncept operatora uparen sa operaterom djelujući u euklidskom prostoru
.

Definicija 9.1. Neka
- neki linearni operator. Operater
pozvaopovezan sa operaterom , ako
uslov je zadovoljen

. (9.1)

Teorema 9.1. Za bilo koji linearni operator
postoji jedinstveni pridruženi operator
koji je takođe linearan.

Dokaz. 1) Neka operater postoji, dokažimo njegovu jedinstvenost. Da biste to učinili, pretpostavite da ovaj operator nije jedini, odnosno da postoje, na primjer, dva operatora i zadovoljavajući Definicija 9.1. Tada, po formuli (9.1), imamo:

,
, (9.2)

odakle dolazimo

Zbog činjenice da je u definiciji 9.1 (u formuli (9.1)) vektor
proizvoljno, stavljamo u jednakost (9.3)

Pošto skalarni proizvod zadovoljava aksiom nedegeneracije, iz posljednje jednakosti imamo

odakle, zbog proizvoljnosti vektora sledi to
i dokazana je jedinstvenost pridruženog operatora.

2) Dokažimo linearnost pridruženog operatora. Koristeći definiciju (9.1) i svojstva tačkastog proizvoda, dobijamo:

,
i

a)
;

Poređenje formula a) i b) implicira linearnost pridruženog operatora , odnosno:

3) Dokažimo sada postojanje pridruženog operatora. Popravljamo u prostoru
kanonska osnova
, i napišite vektore
i
u obliku njihovih proširenja u kanonskoj osnovi:

;
. (9.4)

Razmotrimo izračun lijeve i desne strane (9.1):

;

Upoređujući posljednje dvije jednakosti uzimajući u obzir (9.1), dobijamo:

. (9.5)

Dakle, ako je matrica operatora ima oblik

tada matrica pridruženog operatora ima oblik

. (9.6)

Iz (9.6) slijedi da je matrica pridruženog operatora u bilo kojoj ortonormalnoj osnovi
nalazi se transpozicijom operatorske matrice , što dokazuje postojanje pridruženog operatora.

Dokažimo teoremu o svojstvima operatora konjugiranog s linearnim operatorom.

Teorema 9.2. Sljedeća svojstva spojnog operatora su važeća :
i

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

Dokaz. Dokažimo prvu relaciju. Neka Je proizvoljan linearni operator. Za konjugirani operator konjugat će biti operator ... onda:

Posljednja jednakost vrijedi za bilo koji vektor , to je,

odakle slijedi dokaz prvog svojstva.

Dokažimo drugu relaciju. Da biste to učinili, razmotrite sljedeći lanac transformacija:

Poređenje lijeve i desne strane jednakosti (9.8) implicira dokaz drugog svojstva.

Ostala svojstva dokazuju se na sličan način.

Samopridruženi operatori ... Prijave su od velikog značaja samoprilagođeni operatori .

Definicija 9.2. Linearni operator
pozvaoself-adjoint , ako
.

Iz definicije slijedi da je za samopridruženi operator relacija

. (9.9)

Pošto je matrica pridruženog operatora jednaka je transponovanoj matrici operatora , tada za samopridruženi operator matrični elementi zadovoljavaju jednakost
, to je elementi matrice samoprilagođenog operatora koji su simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu jednaki su... Takva matrica se zove simetrično ... Iz tog razloga, samopridruženi operatori
često zovu simetrično .

Samopridruženi operatori imaju niz svojstava koja je lako dokazati korištenjem definicije i svojstava adjoint operatora.

1. Jedan operater je samopridružena.

Dokaz. Očigledno,

2. Zbir samopridruženih operatora je samopridruženi operator.

Dokaz. Ako
i
, onda

3. Kompozicija samopridruženih operatora je samopridruženi operator ako i samo ako su ti operatori komutativni.

Dokaz. Podsjetimo da se operatori nazivaju komutativnim if

gdje - nulti operator. Ako
,
, onda

šta je jednako ako i samo ako su operatori komutativni.

4. Operater inverzno nedegeneriranom samopridruženom operatoru
takođe samopridruženi operator.

Dokaz. Zaista, ako
, onda

5. Ako Je samopridruženi operator, onda je proizvod ovog operatora nekim realnim brojem
je samopridruženi operator.

Dokaz. Od trećeg svojstva (9.7) imamo:

Teorema 9.3. Vlastiti vektori samopridruženog operatora delovanje u svemiru
koje odgovaraju parovima različite sopstvene vrijednosti su međusobno ortogonalne.

:
i
, i
... Pošto je operator samospojen, onda
... Dakle, na lijevoj i desnoj strani imamo:

;

Odakle na snazi
dobijamo:
.

Sljedeća važna teorema vrijedi za samopridružene operatore.

Teorema 9.4. Svi korijeni karakterističnog polinoma samopridruženog operatora
pravi i drugačiji.

Dokaz. U opštem slučaju, dokaz teoreme je prilično glomazan. Iz tog razloga predstavljamo dokaz za slučaj operatera
... Dakle, neka je zadan neki linearni operator
sa matricom ... Tada karakteristična jednadžba ovog operatora ima oblik:

Proširujući determinantu, dobijamo karakterističnu jednačinu:

Rješenje ove jednačine nalazimo po poznatoj formuli:

Diskriminant je:

Prvi član je, očigledno, uvek pozitivan, a drugi je pozitivan, pošto
... Stoga su korijeni karakteristične jednadžbe realni i različiti.

Teorema 9.5. Neka
Je samopridruženi operator. Zatim u svemir
može se izabrati ortonormalna osnova

tako da je operator matrica u ovoj osnovi je bila dijagonalna.

Dokaz. Prema teoremi 9.4, svi korijeni karakterističnog polinoma samoprilagođenog operatora su realni i različiti, pa su prema teoremi 9.3 sopstveni vektori samopridruženog operatora međusobno ortogonalni. Sistem sopstvenih vektora se očigledno može normalizovati. Ali onda ovi vektori čine osnovu prostora
, u kojem je operator operator jednostavne strukture, odnosno ima dijagonalnu matricu.

Ortogonalni operatori i njihova svojstva, geometrijska interpretacija ... Razmotrimo definiciju i svojstva važne klase operatora koji djeluju u prostoru
.

Definicija 9.3. Operater delovanje u svemiru
se zoveortogonalno ako čuva tačkasti proizvod, tj

.(9.10)

Iz definicije proizilazi da ortogonalni operator čuva norme (dužine) vektora i uglove između njih .

Lema 9.1. Operater

.

Dokaz. Neka

odakle imamo:
... Pretpostavljam
, dobijamo:

Neka
... tada imamo:

Očigledno je da ortogonalni operator je nedegenerisan odnosno, njena matrica je inverzna matrica.

Teorema 9.6 (o svojstvima ortogonalnih operatora). Ortogonalni operatori
imaju sljedeća svojstva:

1)operator jedinice je ortogonan;

2)kompozicija ortogonalnih operatora je također ortogonalni operator;

3)operator inverzan ortogonalnom operatoru je također ortogonan;

4)ako
Je ortogonalni operator, zatim operator
je ortogonalno ako i samo ako
.

Dokaz. 1. Dokaz ovog svojstva je gotovo očigledan:

2. Neka
i
- ortogonalni operatori. onda:

3. Neka ortogonalni operator. Razmislite
:

4. Neka - ortogonalni operator. Onda

Teorema 9.7 (kriterijum za ortogonalnost operatora). Operater delovanje u svemiru
, je ortogonalno ako i samo ako preslikava barem jednu ortonormalnu bazu u ortonormalnu bazu.

Dokaz. Neka
- ortogonalni operator. Zatim, čuvajući skalarni proizvod, on transformira ortonormalnu bazu u ortonormalnu bazu.

Pustite operatera
prevodi ortonormalnu osnovu

u novu ortonormalnu osnovu

Onda

Razmotrimo svojstva matrice ortogonalnog operatora.

Teorema 9.8. Sistem vektora kolona (redova) matrice ortogonalnog operatora
u bilo kojoj ortonormalnoj osnovi

je ortonormalno.

Dokaz. Neka
- neki ortogonalni operator i
- neke ortonormalne osnove. Prema teoremi 9.9, sistem slika baznih vektora je sam po sebi ortonormalan, tj.
... Dakle, za stupce matrice operatora

(kao vektori aritmetičkog prostora
) imamo:

. (9.11)

Slično svojstvo vrijedi i za redove matrice :

.
(9.12)

Teorema 9.9. Ortogonalna operatorska matrica
u bilo kojoj ortonormalnoj bazi zadovoljava uslov

. (9.13)

Dokaz. Neka
- ortogonalni operator. Pošto su matrice operatora i povezani su odnosima

odakle za matricu operatora dobijamo (9.11).

Obrnuto, neka vrijedi relacija (9.11). Onda
, odakle slijedi da je operator je ortogonalno.

Definicija 9.4. Matrix za koje je imovina zadovoljena(9.13),naziva se ortogonalnim.

Evo nekoliko teorema o svojstvima ortogonalnog operatora.

Teorema 9.10. Vlastite vrijednosti ortogonalnog operatora u svemiru
su jednaki
.

Dokaz. Neka
... Onda

Pošto po definiciji
, onda
.

Teorema 9.11. Determinanta ortogonalne matrice je jednako sa

Dokaz. Za ortogonalnu matricu, jednakost
... Dakle
... Onda

Neka je linearni operator A djeluje u euklidskom prostoru E n i pretvara ovaj prostor u sebe.

Uvesti definicija: operater A* pozovimo konjugirani operator A ako za bilo koja dva vektora x, y iz E n je ispunjena jednakost skalarnih proizvoda oblika:

(Ax, y) = (x, A * y)

Više definicija: linearni operator naziva se samopridruženim ako je jednak njegovom spojenom operatoru, odnosno tačna je jednakost:

(Ax, y) = (x, Ay)

ili, posebno ( Sjekira, x) = (x, Ax).

Samopridruženi operator ima neka svojstva. Evo nekih od njih:

Vlastite vrijednosti samopridruženog operatora su realne (bez dokaza);

Vlastiti vektori samopridruženog operatora su ortogonalni. Zaista, ako x 1 i x 2 Da li su sopstveni vektori, a  1 i  2 su njihove sopstvene vrednosti, tada: Sjekira 1 =  1 x; Sjekira 2 =  2 x; (Sjekira 1, x 2) = (x 1, sjekira 2), ili  1 ( x 1, x 2) =  2 (x 1, x 2). Kako su  1 i  2 različiti, stoga ( x 1, x 2) = 0, prema potrebi.

U euklidskom prostoru postoji ortonormalna osnova sopstvenih vektora samopridruženog operatora A... To jest, matrica samopridruženog operatora se uvijek može svesti na dijagonalni oblik u nekoj ortonormalnoj bazi sastavljenoj od svojstvenih vektora samopridruženog operatora.

Još jedan definicija: nazivamo samopridruženi operator koji djeluje u Euklidskom prostoru simetrično operater. Razmotrimo matricu simetričnog operatora. Dokažimo tvrdnju: da bi operator bio simetričan, neophodno je i dovoljno da njegova matrica bude simetrična u ortonormalnoj bazi.

Neka A- simetrični operator, tj.:

(Ax, y) = (x, Ay)

Ako A Je matrica operatora A, i x i y- neki vektori, onda pišemo:

koordinate x i y u nekoj ortonormalnoj osnovi

Zatim: ( x, y) = X T Y = Y T X i imamo ( Ax, y) = (AX) T Y = X T A T Y

(x, Ay) = X T (AY) = X T AY,

one. X T A T Y = X T AY. Za proizvoljne matrice stupaca X, Y, ova jednakost je moguća samo kada je AT = A, što znači da je matrica A simetrična.

Razmotrimo neke primjere linearnih operatora

Operater dizajn. Neka je potrebno pronaći matricu linearnog operatora koji projektuje trodimenzionalni prostor na koordinatnu os e 1 u osnovi e 1 , e 2 , e 3 ... Matrica linearnog operatora je matrica čiji stupci moraju sadržavati slike baznih vektora e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1). Ove slike su očigledno: Ae 1 = (1,0,0)

Ae 2 = (0,0,0)

Ae 3 = (0,0,0)

Dakle, u osnovi e 1 , e 2 , e 3 matrica traženog linearnog operatora imat će oblik:

Hajde da pronađemo jezgro ovog operatora. Prema definiciji, kernel je skup vektora X za koji je AX = 0. Or

To jest, jezgro operatora je skup vektora koji leže u ravni e 1 , e 2 ... Dimenzija kernela je n - rangA = 2.

Skup slika ovog operatora je, očigledno, skup vektora kolinearan e 1 ... Dimenzija prostora slika jednaka je rangu linearnog operatora i jednaka je 1 , što je manje od dimenzije prostora predslike. Odnosno, operater A- degenerisan. Matrica A je takođe degenerisana.

Još jedan primjer: pronaći matricu linearnog operatora koji djeluje u prostoru V 3 (osnova i, j, k) linearna transformacija - simetrija oko ishodišta.

Imamo: Ai = -i

Odnosno, tražena matrica

Razmotrite linearnu transformaciju - simetrija u odnosu na ravan y = x.

Aj = i(1,0,0)

Ak = k (0,0,1)

Matrica operatora će biti:

Drugi primjer je već poznata matrica koja povezuje koordinate vektora kada se rotiraju koordinatne ose. Nazovimo operatera koji vrši rotaciju koordinatnih osa - operator rotacije. Pretpostavimo da se okrećemo pod uglom :

Ai’= Cos i+ sin j

Aj’= -Grijeh i+ cos j

Matrica operatora rotacije:

Ai ‘ Aj ‘

Prisjetimo se formula za transformaciju koordinata tačke pri promjeni baze - promjena koordinata na ravnini pri promjeni baze:

E Ove formule se mogu posmatrati na dva načina. Ranije smo razmatrali ove formule tako da tačka stoji, koordinatni sistem rotira. Ali može se smatrati i tako da koordinatni sistem ostane isti, a tačka se pomiče sa pozicije M * na poziciju M. Koordinate tačke M i M * su definisane u istom koordinatnom sistemu.

V Sve navedeno nam omogućava da pristupimo sljedećem zadatku koji programeri koji se bave grafikom na računaru moraju riješiti. Neka je na ekranu računara potrebno rotirati neku ravnu figuru (na primer trougao) u odnosu na tačku O' sa koordinatama (a, b) za neki ugao . Rotacija koordinata je opisana formulama:

Paralelni prijenos obezbjeđuje odnose:

Za rješavanje ovakvog problema obično se koristi umjetna metoda: uvode se takozvane “homogene” koordinate tačke na ravni XOY: (x, y, 1). Tada se matrica koja izvodi paralelni prijenos može napisati: