Da bi se povratio originalni kontinuirani signal iz uzorkovanog signala sa malim distorzijama (greškama), potrebno je racionalno odabrati korak uzorkovanja. Stoga, kada se analogni signal pretvara u diskretni, nužno se postavlja pitanje veličine koraka uzorkovanja. Nije teško intuitivno razumjeti sljedeću ideju. Ako analogni signal ima niskofrekventni spektar ograničen nekom gornjom frekvencijom F e, (tj. funkcija u(t) ima oblik glatke promjenjive krive, bez oštrih promjena amplitude), onda je malo vjerovatno da se ova funkcija može značajno promijeniti u amplitudi tokom nekog malog vremenskog intervala uzorkovanja. Sasvim je očigledno da tačnost vraćanja analognog signala iz niza njegovih uzoraka zavisi od veličine intervala uzorkovanja. Što je kraća, to će se funkcija u(t) manje razlikovati od glatke krive koja prolazi kroz referentne tačke. Međutim, sa smanjenjem intervala uzorkovanja, složenost i volumen opreme za obradu značajno se povećavaju. Uz dovoljno veliki interval uzorkovanja, vjerovatnoća izobličenja ili gubitka informacija se povećava kada se analogni signal vrati.

Optimalna vrijednost intervala diskretizacije utvrđena je teoremom Kotelnikova (drugi nazivi su teorema uzorkovanja, teorema K. Shanona, teorema X. Nyquista: teoremu je prvi otkrio u matematici O. Cauchy, a zatim je ponovo opisao D. Carson i R. Hartley), dokazao je 1933. godine. Teorema VA Kotelnikova je od velike teorijske i praktične važnosti: omogućava pravilno uzorkovanje analognog signala i određuje optimalan način za njegovo vraćanje na prijemnoj strani od referentne vrijednosti.

Fig.14.1. Predstavljanje spektralne gustine

Prema jednoj od najpoznatijih i najjednostavnijih interpretacija Kotelnikove teoreme, proizvoljan signal u(t) čiji je spektar ograničen određenom frekvencijom F e mogu - biti potpuno obnovljene nizom njihovih referentnih vrijednosti koji slijede s vremenskim intervalom

Interval uzorkovanja i učestalost F e(1) u radiotehnici se često naziva Nyquist interval i frekvencija, respektivno. Analitički, Kotelnikova teorema je predstavljena nizom

(2)

gdje je k broj uzorka; - vrijednost signala u referentnim tačkama; - gornja frekvencija spektra signala.

Za dokaz Kotelnikove teoreme, razmotrite proizvoljan kontinuirani signal u(t), čija je spektralna gustina koncentrisana u frekvencijskom pojasu (puna linija na slici 14.1).

Hajde da mentalno dopunimo graf spektralne gustine simetrično vrednostima koje se ponavljaju sa tačkom (isprekidane linije na slici 14.1). Tako dobijenu periodičnu funkciju proširujemo u Fourierov red, zamjenjujući u formuli

argument t per s, frekvencija (formalno) P na k. Onda

(3)

Pod pretpostavkom da je u omjeru

period je , i pišemo interval uzorkovanja

(4)

Koristimo formulu inverzne Fourierove transformacije i predstavimo originalni kontinuirani signal u sljedećem obliku:

(5)

Na isti način zapisujemo vrijednost diskretiziranog signala za neku k-tu vremensku referencu. Jer vreme , onda

Upoređujući ovaj izraz sa formulom za C k, uočavamo da Uzimajući u obzir ovu relaciju, spektralna funkcija (3) će nakon jednostavnih transformacija poprimiti oblik:

Zatim radimo sljedeće: zamjenjujemo izraz u omjer, mijenjamo red integracije i zbrajanja, predstavljamo omjer kao i izračunavamo integral.

Kao rezultat, dobijamo sledeću formulu:

Iz ove relacije proizilazi da kontinuirana funkcija u(t) je zaista određen ukupnošću njegovih diskretnih vrijednosti amplitude u referentnim trenucima vremena, što dokazuje Kotelnikov teorem.

Najjednostavniji signali forme ortogonalne jedna na drugu na vremenskom intervalu -,, nazivaju se funkcije uzorkovanja, bazne funkcije ili Kotelnikove funkcije. Raspored k-th Kotelnikova funkcija je prikazana na sl. 2. Svaka od osnovnih funkcija s k (t) pomaknut u odnosu na sličnu najbližu funkciju s k-1 (t) ili s k+1 (t) na interval uzorkovanja. Elementarna analiza formule (10) i grafikona na sl. 14.3 pokazuje da je signal s k (t) reflektovano

Rice. 14.2. Raspored osnovnu funkciju Kotelnikova

Fig.14.3. Aproksimacija kontinuiranog signala nizom Kotelnikova sinx/x funkcijom, koja također karakterizira omotač spektralne gustoće pravougaoni puls.

Reprezentacija (tačnije, aproksimacija) datog kontinuirani signal u(t) Kotelnikove serije (2) ilustrovano je dijagramima na sl. 14.3. graf (ovdje su, radi jednostavnosti, osnovne funkcije prikazane bez argumenta t prva četiri člana serije su iscrtana, što odgovara broju signala u vremenima 0, 2 i 3, uzetim u skladu sa Kotelnikovom teoremom. Kada se sumiraju ovi članovi serije u bilo kojoj referentnoj vremenskoj tački kDt, kontinuirani signal se apsolutno precizno aproksimira bez obzira na broj odabranih uzoraka. U intervalu između bilo kojeg očitavanja, signal u(t) se aproksimira točnije što se članovi Kotelnikove serije (2) više sumiraju.

Procijenimo mogućnost primjene Kotelnikove teoreme na impulsni signal u(t) konačnog trajanja T X. Kao što je poznato, takvi signali teoretski imaju beskonačnost širok raspon. Međutim, u praksi se može ograničiti na neku gornju frekvenciju F v iza koje spektar sadrži zanemarljivo mali dio energije u odnosu na energiju cjelokupnog originalnog signala. U radiotehnici, takav kriterij je sadržaj od 90% prosječne snage signala unutar spektra. U ovom slučaju, signal u(t) sa trajanjem T X sa gornjom graničnom frekvencijom spektra F v može biti predstavljen nizom Kotelnikov sa određenim, ograničen brojčitanja

(10)

Evo broja prebrojavanja.

Fig.14.4. Predstavljanje pravokutnog impulsa uzorcima.

Kotelnikova teorema (uzorak teorema)

Problem uzorkovanja signala ograničeni spektarširoko obrađen u literaturi, a zasniva se na Kotelnikovoj teoremi (Nyquist-Shannon teorema, ili teorema uzorkovanja). Vjeruje se da su prva temeljna djela u ovoj oblasti bila rad V. A. Kotelnikova „On propusni opseg“eter” i žica u telekomunikacijama” (1933) i članak C. Shanona “Komunikacija u prisustvu buke” (1949). Članak K. Shanona napisan je na osnovu rada E. T. Uttakera "Funkcije predstavljene proširenjem teorije interpolacije" (1915). Problem predstavljanja funkcije zasebnim vrijednostima i vraćanja uz pomoć interpolacije počeo se rješavati u 18. stoljeću. u radovima O. Cauchyja, P.-S. Laplacea, itd., a kasnije su ga ponovo opisali D. Carson i R. Hartley.

Da bi se izvorni kontinuirani signal vratio iz uzorkovanog sa malim greškama, potrebno je racionalno odabrati korak uzorkovanja. Stoga, kada se analogni signal pretvara u diskretni, nužno se postavlja pitanje veličine koraka uzorkovanja. At. Intuitivno, nije teško razumjeti sljedeću razumnu ideju. Ako analogni signal ima spektar niske frekvencije ograničen nekom gornjom frekvencijom FB(tj. funkcija u(t) ima oblik krive koja se glatko mijenja bez oštrih promjena amplitude), onda je malo vjerovatno da na nekom malom vremenskom intervalu uzorkovanja At ova funkcija može značajno varirati u amplitudi.

Preciznost vraćanja analognog signala iz njegovih uzoraka zavisi od intervala uzorkovanja At.Što je kraći, to će se funkcija manje razlikovati. u(t) od krive koja prolazi kroz referentne tačke. Međutim, kako se interval smanjuje At složenost i obim opreme za obradu značajno se povećavaju. At veliki interval diskretizacija At vjerovatnoća izobličenja ili gubitka informacija se povećava kada se analogni signal vrati.

Postavlja se optimalna vrijednost intervala uzorkovanja Kotelnikova teorema. Prema jednom od najpoznatijih i najjednostavnijih tumačenja ove teoreme proizvoljni signal u(t), čiji je spektar ograničen na određenu frekvenciju F B , može se u potpunosti oporaviti od niza njegovih referentnih vrijednosti, prate sa vremenskim intervalom

Interval uzorkovanja At i frekvencija F d = F n u teoriji komunikacije se ponekad nazivaju respektivno interval i Nyquist frekvencija.

Analitički, Kotelnikova teorema je predstavljena nizom

gdje k- Referentni broj; u(kAt) - kontinuirane vrijednosti signala u(t) na referentnim tačkama; co in = 2nF n = k/At - gornja frekvencija spektra signala.

Da bismo dokazali teoremu, razmotrimo analogni signal u(f),čija je spektralna gustina 5(co) koncentrisana u pojasu -oo na t na co, frekvencija co t = co na At i P na k. Onda

Rice. 6.2. Prikaz spektralne gustoće periodičnom funkcijom

Uz pretpostavku u formuli (2.21) period 2co in i interval diskretizacije At= l/co p, dobijamo

Koristeći inverzna transformacija Fourier (2.30), zapisujemo signal kao

Na isti način zapisujemo vrijednost diskretiziranog signala za neke k-vo odbrojavanje. Ukoliko t = kAt = kn/ sa unutra, onda

Upoređujući ovu formulu sa formulom (6.4), uočavamo da Ck = Atu(kAt). WITH Uzimajući u obzir ovaj odnos, spektralna funkcija (6.3) nakon transformacija poprima oblik

Relaciju (6.6) zamjenjujemo u formulu (6.5), mijenjamo red integracije i sumiranja i predstavljamo n/At =

Iz ove formule slijedi da je kontinuirana funkcija u(t) je zaista određena ukupnošću njegovih diskretnih vrijednosti amplitude u referentnim točkama u vremenu t = kAt,što dokazuje Kotelnikovu teoremu. Signali

ortogonalni na intervalu [-°°, +°°] se nazivaju funkcije brojanja ili Kotelnikov funkcije. Raspored k- Kotelnikova funkcija je prikazana na sl. 6.3. Svaka od funkcija s k (t) pomaknut u odnosu na najbliži s k,(?) ili s k + l (t) po intervalu uzorkovanja At. Analiza formule

(6.7) i graf na sl. 6.3 pokazuje da je signal s k (t) odražava funkciju sinx/xy koji karakteriše omotač spektralne gustine pravougaonog impulsa.

Rice. 6.3.

Reprezentacija signala u(t) Kotelnikova serija (6.3) je ilustrovana dijagramima na sl. 6.4. Prva četiri člana serije su ucrtana na graf, koji odgovaraju očitanjima signala u trenucima 0, At, 2At i ZD?, uzeti u skladu sa Kotelnikovom teoremom. Prilikom sumiranja ovih pojmova serije u bilo kojim referentnim trenucima kAt kontinuirani signal se apsolutno precizno obnavlja bez obzira na broj odabranih uzoraka. U intervalu između bilo kojeg očitavanja, signal u(t) se vraća točnije, što se više članova serije (6.3) sabira. Imajte na umu da ne bi bilo sasvim ispravno spajati diskretne uzorke signala na graf pravim linijama, jer se pri vraćanju kontinuiranog signala iz diskretnog koriste složenije interpolacijske funkcije.

U praksi je ova teorema od velike važnosti. Na primjer, većina audio signala se može smatrati signalima ograničenim opsegom sa određenim stepenom tačnosti. Njihov spektar je ispod 20 kHz. To znači da prilikom uzorkovanja na frekvenciji od najmanje 40 kHz, tada možemo manje-više precizno vratiti originalni analogni audio signal iz njegovih digitalnih uzoraka.

Rice. 6.4.

Primjer 6.1

Signal zvučna pratnja v televizijski kanal ograničen gornjom frekvencijom /„ = 12 kHz. Hajde da definišemo interval At između uzoraka, neophodnih za neiskrivljenu reprodukciju uzorkovanog signala. Rješenje

Odredite interval uzorkovanja: At\u003d 1 / (2 / in) \u003d 1 / (2 12 -10 ’) ~ 42 10 6 s.

Nakon toga, mnogi razne načine aproksimacije signala ograničenog spektra generalizirajući teoremu uzorkovanja:

• za funkcije čija se očitavanja uzimaju u proizvoljno vrijeme;
• za višedimenzionalne funkcije (na primjer, za televizijski signali);
• za funkcije koje očitavaju i samu funkciju i njenu derivaciju.

Procijenimo mogućnost primjene Kotelnikove teoreme na impulsni signal u(t) konačnog trajanja T str. Takvi signali teoretski imaju beskonačno širok spektar. Međutim, uvijek se možete ograničiti na gornju frekvenciju F B, iznad koje spektar sadrži mali dio energije u odnosu na energiju cijelog signala. U teoriji komunikacija takav kriterij je sadržaj od 90% prosječne snage signala unutar granica spektra. U ovom slučaju, signal u(t) trajanje T I sa gornjom graničnom frekvencijom spektra FB može biti predstavljen nizom Kotelnikov sa ograničenim brojem uzoraka

Ovdje L r = TJAt- broj brojanja.

Primjer 6.2

Predstavimo pravokutni naponski impuls jedinične amplitude i trajanja tn u seriji Kotelnikov za dva slučaja: spektar aproksimirajuće funkcije ograničen je vrijednostima gornje frekvencije F Bl = 1/(2m u) i F d2 = 1/mn.

Rješenje

Za prvi slučaj, interval uzorkovanja At\u003d 1 / (2F B) = m i, prema tome, impuls će biti predstavljen sa samo dvije referentne vrijednosti - na početku i na kraju impulsa. Zamjenjujući u formulu (6.8) vrijednosti amplitude i trajanja impulsa, zapisujemo matematički model aproksimirajuće funkcije:

U drugom slučaju, impuls je diskretizovan sa tri jednaka uzorka koja se uzimaju u trenutku t = 0, t (1/2 i t i, tj. na početku, sredini i kraju pulsa. Zatim

Vremenski dijagrami aproksimirajućih funkcija u 2 (t) i u 3 (t) a članovi serije Kotelnikov koji ih formiraju prikazani su na sl. 6.5.

Rice. 6.5. Predstavljanje pravougaonog impulsa po uzorcima:

a- dva; 6 - tri

Primjer b.3

Odredimo minimalnu frekvenciju uzorkovanja po Kotelnikovu, na kojoj je harmonijski signal u(t) = cos(2 nF 0 t +

Rješenje

Prilikom odabira intervala uzorkovanja Na = 1/(2F B), gdje je FB- gornja granica frekvencije spektra, kontinuirani signal u(t) može se vratiti iz očitavanja (slika 6.6, a). Ako je omjer frekvencija F0 u = = cos (knF 0 /F B + %).

U graničnom slučaju, kada je frekvencija signala F0 teži stopi uzorkovanja FB na lijevoj strani, tj. F 0 = lim ( Fn- p), na svakom periodu originalnog signala treba

ali se vrše dva očitavanja.

Obnavljanje funkcije ovisi o fazi uzoraka signala u odnosu na uzorke. Ako maksimum sinusoida padne u sredinu intervala između očitavanja, onda je greška najveća, ali ako je na očitanju, onda je najmanja.

Rice. 6.6.

a - at F 0 u dva broja

Očigledno je da uzorci mogu pasti nulte vrijednosti sinusoidi, ekstremi ili srednje vrijednosti. Budući da je faza uzoraka u odnosu na uzorkovanu sinusoidu a priori nepoznata, nakon što filter obnovi signal, sinusoida se možda neće vidjeti. U ovom primjeru, najveća preciznost u rekonstrukciji sinusoida će biti kada se oba uzorka uzmu na maksimalnim vrijednostima. Oscilacija na ulazu niskopropusnog filtera ima pilasti oblik iste frekvencije kao i frekvencija sinusoida (isprekidane linije na slici 6.6, b).

Ako se očitavanja ne uzimaju dovoljno često i uvjeti Kotelnikove teoreme su prekršeni, tada je jedinstvena restauracija harmonijski signal nemoguće. U ovim slučajevima, moguće je nacrtati beskonačan broj krivulja kroz referentne trenutke vremena, čije su spektralne gustine izvan opsega različite od nule. -Fn F Može se tvrditi da greška u rekonstrukciji sinusoida pri stopi uzorkovanja od 2F 0 može biti 100%. Samo ovo je dovoljno da potvrdi ispravnost gornjih zaključaka.

Primjer 6.4

Diskretizovani kontinuirani signal u skladu sa Kotelnikovom teoremom u(t) ima dva očitavanja na vremenskoj osi (slika 6.7). Izračunajmo trenutnu vrijednost originalnog signala u trenutku t = 1 µs.

Rice. 6.7.

Rješenje

Prema sl. 6.7 utvrđujemo da je interval uzorkovanja = 210 (, a gornja frekvencija spektra originalnog signala co in = za/At= 1,57-10 f> s -1 . Prema formuli

(6.8) Kotelnikov red u ovom slučaju ima oblik

Iz ove relacije nalazimo trenutnu vrijednost analognog signala u tom trenutku t= 1 µs: u(t= 1 µs) = 22,3 V.

U nastavku će biti formulisana i dokazana Kotelnikova teorema (referentna teorema) – fundamentalna teorema za sisteme digitalne obrade signala, telekomunikacije i teoriju komunikacija. Teoremu je formulisao i dokazao sovjetski akademik V. A. Kotelnikov 30-ih godina 20. veka. Suština teoreme je da umjesto odašiljanja kontinuiranog analognog signala, možete prenijeti odgovarajući diskretni signal.

Izjava teoreme: kontinuirani signal čiji spektar ne sadrži frekvencije veće od fm može se jedinstveno predstaviti njegovim trenutnim vrijednostima (uzorcima) razdvojenim jednakim vremenskim intervalima, čija dužina ne smije biti veća od 1/2fm.

Drugim riječima, period uzorkovanja treba da bude najmanje dva puta manji od perioda najviše frekvencijske komponente spektra kontinuiranog signala, tj. za svaki period najviše frekvencijske komponente treba uzeti u obzir najmanje dva očitavanja (uzorka). Dakle, brzina uzorkovanja mora biti najmanje dvostruko veća od najveće frekvencije u spektru kontinuiranog signala. Rezultirajući diskretni signal može se prenijeti preko bilo koje komunikacijske linije i iz njega niskopropusni filtar na strani prijemnika može jedinstveno vratiti originalni analogni signal.

S druge strane, kontinuirani signal može imati beskonačan frekvencijski spektar, ali budući da se harmonici ovog signala mogu monotono smanjivati ​​u amplitudi s povećanjem harmonijskog broja, spektar takvog signala se može smatrati ograničenim s određenim stepenom tačnosti. .

Preciznost reprodukcije kontinuiranog signala u velikoj mjeri je određena karakteristikama niskopropusnog filtera i ne utiče na ispravnost Kotelnikove teoreme u ovaj slučaj. Takođe, tačnost reprodukcije kontinuiranog signala određena je brojem nivoa kvantizacije u procesu dobijanja očitavanja. Međutim, ako odaberemo broj nivoa kvantizacije prema dinamički raspon i osjetljivost određenog sistema, tada vjernost kontinuirane reprodukcije signala neće biti degradirana procesom akvizicije. Ova izjava, posebno, može biti tačna u određenoj mjeri kada je nivo šuma prisutan u originalnom signalu veći od koraka kvantizacije. U ovom slučaju, nema smisla povećavati broj nivoa kvantizacije, jer to neće dovesti do povećanja tačnosti dobijanja očitavanja.

Teorema Kotelnikova također određuje da kontinuirani signal i odgovarajući diskretni signal dobijen prema gornjim pravilima sadrže iste informacije, pa je reprezentacija jednog od ova dva signala drugim jedno-prema jedan.

Dokaz teoreme započinjemo razmatranjem apstraktnog pomoćnog kontinuiranog signala predstavljenog beskonačnim nizom impulsa sa određenim periodom ponavljanja (slika 1). Ispitani kontinuirani signal i njegov spektar prikazani su na sl. 2. Svrha uvođenja pomoćnog signala: pokazati da nakon nekih transformacija on i diskretni signal dobijen u skladu sa Kotelnikovom teoremom sadrže iste informacije.

Nadalje, da bi se povratio originalni kontinuirani signal iz signala dobivenog množenjem originalnog i pomoćnog signala, potrebno je proći primljeni signal kroz niskopropusni filter koji će potisnuti sve frekvencije iznad fm. Međutim, ovaj pristup zahtijeva objašnjenje za diskretni signal. Činjenica je da se na izlazu DAC-a ne formira niz impulsa beskonačno male širine, već stepenasti signal. To je zbog samog principa DAC-a. Ako ispitamo spektar signala primljenog na izlazu DAC-a, ispostavlja se da je prilično izobličen u odnosu na spektar signala primljenog u dokazu teoreme. Ovo se može objasniti činjenicom da je signal na izlazu DAC-a konvolucija signala dobivenog u dokazu teoreme i signala u obliku pravokutnog impulsa s trajanjem koje odgovara trajanju perioda uzorkovanja . Opet, prema teoriji operativnog računa, slika konvolucije originala dviju funkcija jednaka je proizvodu njihovih slika.

Signal dobijen na izlazu DAC-a i njegov spektar prikazani su na Sl. 5. Isprekidana linija označava spektar pravougaonog impulsa. Prikazani su duplirani dijelovi spektra koji nisu pomnoženi funkcijom oblika sin(x)/x. Spektar bilo kojeg pravokutnog impulsa je dan funkcijom kao što je sin(x)/x. Da bi se u ovom slučaju obnovio kontinuirani izvorni signal, potrebno je izračunati impulsni odziv niskopropusnog filtera na način da nakon primjene ovog filtera u spektru primljenog signala, izvrši operaciju dijeljenja odgovarajućom odabranom funkcijom. oblika sin (x) / x se također izvodi.

Budući da u praktičnim slučajevima nije moguće postići tačno izračunati impulsni odziv filtera, može doći do opadanja spektra impulsnog odziva u području granične frekvencije filtera. Širina rampe ovisi o vrsti analognog filtera koji se koristi. Na primjer, kada se koristi Bessel filter, širina nagiba je prilično značajna, a kada se koristi Chebyshev filter, širina nagiba je mnogo manja, ali Chebyshev filter ima niz drugih nedostataka, o kojima se govori u poglavlju “ Korišćenje digitalnih filtera”. Zbog nagiba u području granične frekvencije, dio spektra u blizini granične frekvencije se ne koristi i tada se koristi filter čija je granična frekvencija veća od fm za širinu nagiba.

U zaključku, treba napomenuti da je pomoćni signal razmatran u dokazu Kotelnikove teoreme čisto apstraktan i ne može postojati u prirodi, jer je nemoguće dobiti beskonačno malu širinu impulsa. Međutim, može se napraviti određena pojednostavljenja na osnovu sljedeće činjenice. Bilo koji linearni sistem ima konačnu brzinu, tj. radi u konačnom vremenskom intervalu. Ako ovo dijagram strujnog kola, tada je brzina, u pravilu, određena vrijednostima kapacitivnosti uključenih u krug. Ako se na ulaz takvog sistema primeni impuls koji ima jediničnu amplitudu i čija je dužina mnogo manja od donje granice vremenskog intervala rada kola, tada će se ovaj impuls percipirati na isti način kao idealan (tj. koji ima beskonačno malu širinu i jediničnu površinu). Dakle, u praktičnim slučajevima postoji aproksimacija pomoćnog signala koji se koristi u dokazu teoreme.

Digitalna obrada signala(DSP, DSP - engleski digitalna obrada signala) - konverzija signala predstavljenih u digitalni oblik.

Svaki kontinuirani (analogni) signal može se podvrgnuti vremenskom uzorkovanju i kvantizaciji nivoa (digitalizaciji), odnosno može se predstaviti u digitalnom obliku. Ako brzina uzorkovanja signala nije manja od dva puta najviša frekvencija u spektru signala (tj. ), tada je rezultujući diskretni signal ekvivalentan signalu najmanjih kvadrata (LSM) (vidi: Kotelnikova teorema).

Uz pomoć matematički algoritmi se pretvara u neki drugi signal koji ima tražena svojstva. Proces pretvaranja signala naziva se filtriranje, a uređaj koji vrši filtriranje naziva se filter. Pošto uzorci signala dolaze iz konstantna brzina, filter mora imati vremena da obradi trenutni uzorak prije nego što stigne sljedeći (češće, prije nego što stigne sljedeći). n broji, gdje n — kašnjenje filter), odnosno obrađuju signal u realnom vremenu. Za obradu (filtriranje) signala u realnom vremenu koriste se posebni računarski uređaji - digitalni procesori signala.

Sve ovo je u potpunosti primjenjivo ne samo na kontinuirane signale, već i na one diskontinuirane, kao i na signale snimljene na memorijskim uređajima. V poslednji slučaj brzina obrade je nevažna, jer podaci neće biti izgubljeni tokom spore obrade.

Postoje metode obrade signala temporalni(engleski) vremenska domena) i u frekvencija(engleski) frekvencijski domen) područje. Ekvivalencija vremensko-frekvencijskih transformacija je jedinstveno određena kroz Fourierovu transformaciju.

Obrada signala u vremenskom domenu se široko koristi u modernoj elektronskoj oscilografiji i digitalnim osciloskopima. Digitalni analizatori spektra se koriste za predstavljanje signala u frekvencijskom domenu. Za proučavanje matematičkih aspekata obrade signala koriste se paketi za proširenje (najčešće pod nazivom Obrada signala) računarskih sistema. Matematika MATLAB, Mathcad, Mathematica, Maple, itd.

V poslednjih godina Prilikom obrade signala i slika široko se koristi nova matematička osnova za predstavljanje signala uz pomoć "kratkih talasa" - talasa. Može se koristiti za obradu nestacionarnih signala, signala s diskontinuitetima i drugim karakteristikama, te signala u obliku rafala.

Digitalna obrada signala - neki osnovni koncepti.

Fizičke veličine, osim ako se ne spustite na kvantni nivo, neprestano se mijenjaju. ali digitalna obrada obrada signala radi isključivo sa diskretnim vrednostima, a diskretnost se manifestuje na dva načina – kada se kvantuje u vremenu i kada se kvantuje u amplitudi signala. Ova očigledna komplikacija u potpunosti je opravdana činjenicom da možemo koristiti digitalno računarske mašine, potpuno se riješiti problema nestabilnosti parametara, koji je tako bolan prilikom obrade analognog. Jednako važna prednost je to što su troškovi digitalne obrade niski i nastavljaju da opadaju, čak i kod vrlo složenih vrsta obrade. Ovo vam omogućava da kreirate efikasni sistemi obrada signala po razumnoj cijeni. Koliko je takva promjena prihvatljiva? Da li to dovodi do gubitka tačnosti?

Diskretni signal se dobija od analognog signala operacijom uzorkovanja - uzimanje uzoraka (merenja) nakon vremenskog intervala T. U principu, digitalna obrada je moguća i sa neujednačenim vremenskim uzorkovanjem, ali ova tema je mnogo manje razvijena matematički i, očigledno , nije od tako velikog praktičnog interesa. Ovom operacijom čini se da je moguće izgubiti informacije sadržane u vrijednostima signala u intervalima između uzoraka. Uslovi pod kojima je moguće obnoviti analogni signal iz digitalnog signala primljenog od njega, odnosno očuvanje svih informacija prvobitno sadržanih u signalu, izraženi su Nyquist-Whittaker-Kotelnikov-Shannon teoremom (u zavisnosti od autorove preferencije, postoje sve zamislive kombinacije ovih imena). Ovo zahtijeva da propusni opseg ulaznog signala bude najmanje dvostruko uži od frekvencije uzorkovanja, tj. f c = 1/2f d. (Često se daje posebna formulacija, što važi za signale čiji frekventni opseg počinje od nulte frekvencije – „tako da nisu prisutne frekvencije veće od polovine frekvencije uzorkovanja”).

Ako su takve frekvencije prisutne, dolazi do efekta maskiranja (supstitucije) frekvencije. Njegova vizuelna manifestacija može poslužiti kao iluzija, koja se često manifestuje u bioskopu - točak koji se okreće odjednom počinje da se okreće u suprotnom smeru. Ovdje je brzina kadrova analogna brzini uzorkovanja, a kada kotač napravi više od pola okreta između uzastopnih kadrova, čini se da se okreće u suprotnom smjeru i različitom brzinom. Za frekvenciju f, frekvencije (2f c ±f), (4f c ±f), (6f c ±f), itd. su maskirane ispod nje. Takođe se koristi i termin „pseudonimi“, od aliasa. Ako se ovaj efekat ne uzme u obzir, može doći do velikih grešaka: na primjer, u jednoj studiji provedenoj u ozbiljnoj laboratoriji, utvrđeno je da je elektroencefalogram kod svih pacijenata, za razliku od zdravih ispitanika, imao frekvencije od 22 i 28 herca. Međutim, uz napomenu da je stopa uzorkovanja u ovu studiju je uzeto kao 128 Hz, vidimo da su ove frekvencije „duhovi“, koji stvaraju smetnje na frekvencijama od 100 i 150 Hz – drugom i trećem harmoniku mrežne frekvencije (njihov izvor mogu biti npr. nelinearni uređaji u strujni krugovi opreme, kao što su ispravljači i transformatori). Njihova registracija isključivo kod pacijenata nastala je zbog činjenice da je u bolničkim uslovima, u poređenju sa univerzitetskom laboratorijom, gde je sniman EEG zdravih ispitanika, nivo interferencije znatno veći.

Borba protiv efekta maskiranja frekvencije (anti-aliasing) dovodi do potrebe za predfiltriranjem signala, isključujući frekvencije iznad polovine frekvencije uzorkovanja, a zbog nesavršenosti realnih filtera, granična frekvencija se bira očigledno niža od teoretski potrebna jedna, po pravilu, tri do četiri puta niža od frekvencije uzorkovanja. Ova nesavršenost nije uzrokovana nesposobnošću inženjera elektrotehnike, već je fundamentalne prirode. Činjenica je da signal sa ograničenim frekvencijskim opsegom u principu ne može biti konačne dužine, a ako je vremenski konačan, onda sadrži beskonačnu širinu pojasa. (Ovo ograničenje je kvantificirano relacijom nesigurnosti koja povezuje dužinu impulsa i njegov frekventni opseg - beskonačno kratak impuls sadrži sve moguće frekvencije "u začetku", a striktno monofrekventna sinusoida mora se protezati od minus do plus beskonačno.) Prema tome, previše je previše beskonačno. imat će i visokokvalitetni filter veliko vrijeme uspostavljanje, a “idealno” je općenito beskonačno.

(IP) - SI dizajniran za pretvaranje izmjerene vrijednosti u drugu vrijednost ili signal mjerne informacije, pogodan za obradu, skladištenje, daljnje transformacije, indikaciju ili prijenos.

Po lokaciji u mjernom krugu, primarni i srednji mjerni pretvarači.

Primarno , koji se naziva i senzor,— to je mjerni pretvarač na koji izmjerena vrijednost direktno utiče.

Odmor mjerni pretvarači naziva se srednjim. Smješteni su nakon primarnog mjerni pretvarač i može izvršiti različite operacije konverzije mjernog signala.

U pravilu to uključuje:

Promjena fizičke vrste količine;

Skalirajuća (linearna ili nelinearna) transformacija;

Transformacija skala-vrijeme;

Analogno digitalno pretvaranje;

Digitalno-analogna konverzija;

Funkcionalna transformacija (bilo koja matematičke operacije preko vrednosti magnitude).

Treba imati na umu da je ova klasifikacija prilično uslovna. Prvo, u jednom SI može postojati nekoliko primarnih (na primjer, termoelement u krugu termoelektričnog termometra). Drugo, specifičnost analitičkih mjerenja također dovodi do kršenja navedenog principa klasifikacije.

Analitička mjerenja su transformacija izmjerene vrijednosti, koja je informativni parametar analiziranog okruženja (informativni parametar— parametar koji nosi informaciju o izmjerenoj vrijednosti), i upoređujući ga sa merom.

Obično se izvode kombinacijom mjerni pretvarači, koji uključuje sljedeće tipove mjerni pretvarači:

IP1: mjerni pretvarač tipski sastav - sastav, koji omogućava velike transformacije analiziranog uzorka. Uzorak karakterizira informativni parametar WITH(sadržaj mjerene komponente) i kombinacija neinformativnih parametara Cn, koji uključuju sadržaj nedetektibilnih (ometajućih) komponenti i termodinamički parametri analizirano okruženje. Prilikom prolaska kroz PS1 odvijaju se procesi čišćenja, sušenja, promjene temperature i pritiska smjese na tražene vrijednosti i nakon ovih transformacija analiziranog medija, odabir njegove potrebne količine. IP1 se obično naziva jedinica za uzorkovanje i pripremu uzoraka;

IP2: mjerni pretvarač sastav tipa - svojstvo koje omogućava pretvaranje izmjerene vrijednosti C u jedno ili drugo fizičko i kemijsko svojstvo, pogodno za naknadno mjerenje i registraciju. U mnogim slučajevima, ova transformacija se odvija u dvije faze: dobivanje međuproizvoda u tekućoj ili čvrstoj fazi koji sadrži komponentu Ynpom(C), a zatim ga pretvoriti u svojstvo F (Ynpom).

IP3: mjerni pretvarač svojstvo tipa - izlazni signal, koji omogućava konverziju izmjerene vrijednosti u izlaznu merni signal W. Obično se i ova konverzija izvodi u dvije faze: u međusignal Wnp (F) a zatim na izlazni signal W(Wnpom). Istovremeno, transformacija wnpom v W To je transformacija jedne električne veličine u drugu.

Nakon primanja izlaznih signala iz analiziranog objekta uz pomoć seta mjernih pretvarača, izmjerena vrijednost se upoređuje s mjerom pomoću kalibracijske ovisnosti i generiraju se procijenjene vrijednosti C * izmjerene vrijednosti C.

Ovaj set mjernih pretvarača se ne uklapa u gornju klasifikaciju, jer izmjerena vrijednost direktno utiče ne samo na prvi mjerni pretvarač mjernog kruga, već i na njihov set, uključujući IP1, IP2 i prvi pretvarač IP3 grupe. U ovom slučaju, samo drugi pretvarač IP3 grupe je srednji. Iz toga proizilazi da u analitičkim instrumentima ulogu primarnog mjernog pretvarača obavlja skup mjernih pretvarača, koji uzastopno, u nekoliko faza, pretvara izmjerenu vrijednost u mjerni signal.

Merni instrumenti uključuju mere, merne pretvarače, merni instrumenti, mjerne instalacije i informaciono-mjerni sistemi. mjera naziva se mjerni instrument dizajniran za reprodukciju postavljena vrijednost fizička količina.

Merni pretvarač- ovo je mjerni instrument dizajniran za generiranje signala mjerne informacije u obliku pogodnom za prijenos, dalju transformaciju, obradu i skladištenje, ali nije podložan direktnoj percepciji od strane posmatrača. Poziva se mjerni pretvarač na koji se primjenjuje izmjerena vrijednost primarni mjerni pretvarač.

Ovisno o prirodi pretvorenih veličina, razlikuju se sljedeće vrste mjernih pretvarača:

Pretvarači električnih veličina u električne (razdjelnici napona, instrumentalni transformatori);

Pretvarači magnetskih veličina u električne (mjerne zavojnice);

Pretvarači neelektričnih veličina u električne (termički i deformacijski mjerači, reostat, kapacitivni).

U zavisnosti od vrste ulaznih i izlaznih signala razlikuju se mjerni pretvarači:

- analogni pretvarači , koji imaju analogne signale na ulazu i izlazu;

- analogni-digitalni pretvarači imaju analogni signal na ulazu i digitalni (kodirani) signal na izlazu;

- digitalno-analogni pretvarači koji imaju digitalni ulaz i analogni izlaz.

Primarni mjerni pretvarači, postavljeni direktno na objektu proučavanja i dalje od mjesta obrade, prikaza i registracije mjernih informacija, nazivaju se senzori.

Merni instrumenti- mjerni instrument dizajniran za generiranje signala mjerne informacije u obliku dostupnom za direktnu percepciju od strane posmatrača.

By fizičke pojave, što je osnova rada, mjerni instrumenti se mogu podijeliti na električne mjerne instrumente (elektromehaničke, elektrotermalne, elektrohemijske itd.) i elektronskih uređaja. Prema namjeni dijele se na instrumente za mjerenje električnih i neelektričnih (magnetnih, termičkih, hemijskih i dr.) fizičkih veličina, prema načinu prikazivanja rezultata - na pokazivače i bilježenje. U zavisnosti od registracije izmerene vrednosti - analogni i digitalni merni instrumenti.

Mjerne instalacije- skup mjernih instrumenata, uključujući mjere, mjerne instrumente i pretvarače, pomoćni uređaji, ujedinjeni opšta šema, koji se može koristiti za mjerenje jedne ili više fizičkih veličina.

Mjerni opseg- raspon vrijednosti mjerene veličine, za koji su dozvoljene greške mjernog instrumenta normalizirane. Ograničen je na najveće i najmanje vrijednosti.

Raspon vrijednosti skale, ograničen početnim i konačne vrijednosti vage se nazivaju opseg indikacije.

Kod kanonske Kotelnikove dekompozicije, interval diskretizacije slučajni proces je određen njegovim korelacijskim intervalom, maksimalnom vrijednošću spektralne gustine i vrijednošću spektralne gustine na nultoj frekvenciji.

Interval uzorkovanja je veći ili jednak intervalu korelacije procesa.

Iz klasične teorije signala poznato je da su vrijednosti uzoraka uzetih kroz Kotelnikov interval međusobno nekorelirane ako je spektar signala u frekvencijskom pojasu koji zauzima ujednačen (bijeli šum). Međutim, u praksi se uglavnom koriste signali čiji je spektar neujednačen, pa korelacija između uzoraka nije jednaka nuli. U ovom slučaju, stepen korelacije raste sa povećanjem učestalosti uzorkovanja. Tipičan primjer takvih signala je govor, gdje je korelacija između susjednih uzoraka dovoljno velika dok se promatra Kotelnikova teorema u procesu uzorkovanja.

Koncept se često koristi interval korelacije" ili " vrijeme korelacije", što se podrazumijeva kao vrijednost vremenskog pomaka, iznad koje se korelacija može zanemariti u uslovima određenog eksperimenta. Obično se korelacijski interval definira kao .

Ako je interval korelacije nula, tada se slučajni proces naziva nekoreliranim ili bijelim šumom. Inače, slučajni proces je u korelaciji. Kao primjer, na sl. Slika 4.1 prikazuje primjer koreliranog (gore) i nekoreliranog (dolje) slučajnog procesa. Svi stvarni procesi su povezani jer imaju ograničenu snagu, a samim tim i ograničeni propusni opseg.

Međutim, u određenom vremenskom intervalu (učestalosti), oni se približno mogu smatrati nekoreliranim.

Vrijeme uzorkovanja Δτ = τ k + 1- τ k(ili odgovarajuću frekvenciju

Diskretizacija signala Δφ = 1/Δτ);

Vrijeme uzorkovanja signala primarni pretvarači ili se odgovarajuća frekvencija uzorkovanja signala odabire u zavisnosti od zahtjeva za greškom mjerenja, uzimajući u obzir činjenicu da je frekvencija uzorkovanja signala određena potrebnim frekvencijskim opsegom mjerenog signala i ograničenjima amplitudno-frekventnih karakteristika primarnih pretvarača .

Trebalo bi da bude najmanje dva do tri puta veća od maksimalne moguće frekvencije frekvencijski opseg izmjereni signal (za dinamička mjerenja). Kraj forme.

APCS je izgrađen prema tri nivoa hijerarhije:

• donji nivo je nivo instrumentacije i aktuatora;
• srednji nivo - nivo kontrolera i komunikacione opreme
• gornji nivo — nivo servera i operaterskih stanica

Zbog visokih zahtjeva za pouzdanošću upravljačkog sistema u hemijskoj industriji, svi nivoi automatizovanih sistema upravljanja procesima su redundantni. Kako bi se osigurao neprekidan prijenos podataka između podsistema i hijerarhijskih nivoa, koriste se visokopouzdani kanali za prijenos podataka koji su otporni na buku. Trenutno se optička vlakna dobro pokazala u ove svrhe. prstenasta mreža Industrijski Ethernet.

Obrada informacija se odvija u centralnom procesorskom modulu kontrolera, što osigurava visoku pouzdanost upravljačkog sistema i garantuje izvršavanje svih potrebnih algoritama, koji je izgrađen na modularnom principu koji omogućava brza zamjena neispravni moduli.

Prikaz informacija o načinima upravljanja instalacijom i upravljanje njome izvršni mehanizmi se izvodi sa automatizovane radne stanice operatera (AWP), implementirana na 2 identična industrijska računara u "hot" standby sa instalirani paket snimanje u operacijskoj sali Windows sistemi xp.

Svi pravi kontinuirani signali su glatke funkcije vremena. Skokovi vrijednosti kod njih se praktički ne primjećuju. Stoga se takvi signali mogu predstaviti nizom njihovih vrijednosti uzetih s određenim vremenskim korakom. Naziva se vrijednost signala u fiksnom trenutku odbrojavanje .

Ova slika pokazuje kontinuirani signal i njegovi uzorci s različitim vremenskim koracima. Sa malim korakom (slika b), redosled očitavanja tačno opisuje signal, a sa velikim korakom (slika c) nemoguće je vratiti oblik signala iz očitavanja, jer su propuštene njegove karakteristične ekstremne tačke.

Koliko često treba uzimati uzorke da bi mogli u potpunosti vratiti signal?

Odgovor na ovo pitanje daje teorema koju je 1933. dokazao sovjetski akademik V.A. Kotelnikov. i nazvana po njemu.

Prema ovoj teoremi bilo koji kontinuirani signal sa konačnim spektrom (koji ima maksimalna vrijednost) može se predstaviti kao diskretni uzorci, čija frekvencija uzorkovanja mora biti izabrana najmanje dvostruko veća od maksimalne vrijednosti spektra signala: prenijeti ga preko komunikacijske linije, a zatim vratiti originalni analogni signal.

Kotelnikova teorema je osnova za uzorkovanje kontinuiranih signala u vremenu, jer, prvo, dokazuje da se kontinuirani signal može zamijeniti svojim diskretnim vrijednostima, i drugo, daje pravilo za izračunavanje koraka uzorkovanja - . Sa ovim korakom uzorkovanja, serija Kotelnikov daje tačan vremenski prikaz složenog signala.

Fizičko značenje Kotelnikove teoreme.

Teorema Kotelnikova kaže da ako je potrebno prenositi kontinuirani signal ograničenog spektra preko komunikacijskog kanala, onda je moguće ne prenijeti sve njegove vrijednosti: dovoljno je samo prenijeti ga trenutne vrijednosti(broji) kroz interval . Budući da je signal u potpunosti određen ovim vrijednostima, može se povratiti iz njih na prijemnom kraju komunikacionog sistema. Da biste to učinili, dovoljno je povezati očitanja glatke krivulje. Ovo se može objasniti činjenicom da se signal između uzoraka može mijenjati samo glatko, jer su frekvencije veće dajući brze promjene, su odsutni u signalu. Uostalom, očitavanja se uzimaju prilično često, i što češće, to su veća maksimalna frekvencija.

Praktična primjena Kotelnikove teoreme.

Uzorkovanje signal se izvodi prilično jednostavno: periodično na kratko vrijeme nakon intervala, krug od izvora signala do opterećenja se zatvara ključem - dobivamo očitanja. Nadalje, ova očitavanja, nakon prolaska kroz komunikacijski kanal, ulaze na ulaz idealnog niskopropusnog filtera (LPF) s gornjom frekvencijom prijenosa. Izlaz filtera je originalni kontinuirani signal.

Strukturna shema komunikacioni sistemi koji koriste Kotelnikovu teoremu.

Na strani odašiljanja, uzorci signala se uzimaju povremeno. Nadalje, očitanja se prenose na bilo koji način preko komunikacijskog kanala. Idealan LPF na kraju prijema vraća originalni signal.

Brzina ponavljanja pulsa, tzv frekvencija diskretizacija , određen je Kotelnikovom teoremom:

.

Na primjer, brzina uzorkovanja za govorni (telefonski) signal koji ima maksimalnu vrijednost spektra signala , bit će jednako . Prema preporukama CCITT-a i shodno tome, .

Kotelnikova teorema u višekanalnim telekomunikacijama.

Prenosivost umjesto kontinuiranih signala niza impulsa (broja), omogućava vremensko razdvajanje kanala. Činjenica je da je tokom impulsnog prijenosa period ponavljanja impulsa obično mnogo veći od njihovog trajanja, odnosno impulsi imaju veliki ciklus rada - s velikim radnim ciklusom ostaje jaz između impulsa jednog signala, gdje impulsi od mogu se postaviti i drugi signali. Ova metoda se zove privremeno razdvajanje . Već implementirano višekanalni sistemi prijenosi sa vremenskom podjelom kanala za 12, 15, 30, 120, 480, 1920 govornih signala.

Godine 1933. V. A. Kotelnikov je dokazao teoremu, koja je jedna od osnovnih odredbi teorijske radiotehnike. Ova teorema utvrđuje mogućnost proizvoljno precizne rekonstrukcije trenutnih vrijednosti signala sa ograničenim spektrom na osnovu referentnih vrijednosti (uzoraka) uzetih u pravilnim intervalima.

Konstrukcija ortonormalne osnove.

Kao što je prikazano, bilo koja dva signala ograničenog spektra koji pripadaju porodici

su ortogonalne. Odgovarajućim izborom faktora amplitude A moguće je osigurati da norma svakog od ovih signala postane jedinica. Kao rezultat, biće konstruisana ortonormalna baza, koja omogućava proširenje proizvoljnog signala sa ograničenim spektrom u generalizovani Fourierov niz.

Dovoljno je razmotriti samo funkciju

pošto je norma svakog signala ista bez obzira na vremenski pomak. Ukoliko

funkcije i bit će ortonormalno ako

Beskonačan niz funkcija

čini osnovu Kotelnikova u linearni prostor niskofrekventni signali sa spektrom koji je iznad ograničen vrijednošću.Jedna funkcija se naziva referentna funkcija.

Kotelnikov serija. Ako je proizvoljan signal, čija je spektralna gustina različita od nule samo u frekvencijskom opsegu - , onda se može proširiti u generalizirani Fourierov niz prema bazi Kotelnikova:

Kao što je poznato, rad koeficijenti su skalarni produkti dekomponovanog signala i referentne funkcije:

Pogodan način za izračunavanje ovih koeficijenata je korištenje generalizirane Rayleighove formule. Lako je provjeriti da referentna funkcija unutar intervala ima spektralnu gustoću jednaku . To se može vidjeti iz poređenja formula (5.3) i (5.13). Zatim, ako je spektar proučavanog signala, onda

Vrijednost in kovrčave zagrade nije ništa drugo do tj. trenutna vrijednost signala referentne tačke

Na ovaj način,

odakle slijedi izraz Kotelnikove serije:

Na osnovu posljednje jednakosti uobičajeno je da se teorema Kotelnikova formulira na sljedeći način: proizvoljan signal čiji spektar ne sadrži frekvencije veće od Hz može se u potpunosti obnoviti ako su referentne vrijednosti ovog signala poznate, uzete na uobičajenim intervalima

Primjer 5.1. Signal dat

Odabirom određenog fiksnog intervala između uzoraka, dobijamo priliku da jedinstveno obnovimo bilo koji signal iz uzoraka, čiji spektar ne sadrži komponente na frekvencijama iznad granična frekvencija

Ako je tada Teorema Kotelnikova primjenjiva na razmatrani harmonijski signal; referentne vrijednosti (uzorci) datog signala

U graničnom slučaju, kada frekvencija teži lijevo, tj.

Moraju postojati tačno dva uzorka za svaki period harmonijskog signala.

Međutim, ako su uslovi Kotelnikove teoreme narušeni i vremenski uzorci se ne uzimaju dovoljno često, tada je nedvosmislena restauracija originalnog signala u osnovi nemoguća. Kroz referentne tačke moguće je nacrtati bezbroj niz krivulja čije se spektralne gustine razlikuju od nule izvan opsega -

Rice. 5.2. Hardverska implementacija sinteze signala prema seriji Kotelnikov

Hardverska implementacija sinteze signala koju predstavlja serija Kotelnikov.

Važna karakteristika Kotelnikove teoreme je njena konstruktivna priroda; ne samo da ukazuje na mogućnost dekomponovanja signala u odgovarajući niz, već i određuje metodu za obnavljanje kontinuiranog signala datog njegovim referentnim vrijednostima (slika 5.2).

Neka postoji skup generatora koji kreiraju referentne funkcije na izlaznim terminalima. Generatori su kontrolirani - amplituda njihovih signala je proporcionalna referentnim vrijednostima.Ako kombinujemo oscilacije na izlazima tako što ih dopremamo do sabirača, tada se trenutne vrijednosti sintetiziranog signala s (t) mogu uzeti iz izlaz sabirača u skladu sa formulom (5.18).

Primjer 5.2. Pravougaoni video impuls sa jediničnom amplitudom i trajanjem ne pripada spektrom ograničenim signalima. Ipak, modul njegove spektralne gustine prilično brzo (prema zakonu) opada sa povećanjem frekvencije.

Opis takvog signala sa dva očitavanja na početku i na kraju impulsa značit će zamjenu izvorne oscilacije signalom sa spektrom ograničenim odozgo frekvencijom Matematički model ovaj signal je:

Međutim, ako je puls opisan sa tri ekvidistantna očitanja, tada dolazimo do aproksimativnog signala koji sadrži frekvencije do

Naravno, sa povećanjem broja termina koji se uzimaju u obzir, odnosno sa smanjenjem vremenskog intervala između uzoraka, tačnost aproksimacije će se povećati.

Procjena greške koja proizlazi iz aproksimacije proizvoljnog signala nizom Kotelnikov.

Ako je proizvoljan signal, onda se može predstaviti zbirom k, koji uključuje signal sa spektrom, ograničenom vrijednošću i signal greške aproksimacije sa spektrom koji, u općem slučaju, zauzima beskonačan frekvencijski pojas.

Spektri ovih signala se ne preklapaju, pa su signali ortogonalni, a njihove energije, odnosno kvadrati normi, sabiraju:

Kao mjera aproksimacijske greške može se uzeti udaljenost jednaka normi signala greške. Ako je energetski spektar signala, onda po Rayleighovom teoremu

Primjer 5.3. Dat je eksponencijalni video puls, karakteriziran energetski spektar i norma

Efektivno trajanje ovog impulsa (vidi Poglavlje 2)

Spektar razmatranog signala je neograničen. Stoga, prvo treba da podvrgnete signal niskopropusnom filtriranju tako što ćete ga proći kroz niskopropusni filter (LPF). Vrijednost gornje frekvencije propusnog opsega filtera treba odabrati ovisno o tome koliko često se signal uzorkuje na izlazu niskopropusnog filtera. Pretpostavimo da se tokom vremena broji mjere sa intervalom od . Prema teoremi Kotelnikova, to znači da .

Signal sa izlaza niskopropusnog filtera se vraća točno prema njegovim referentnim vrijednostima. Međutim, s obzirom na originalni video puls, greška je neizbježna. U ovom slučaju, norma signala greške