Wavelet transformacija - transformacija slična Fourierovoj transformaciji (ili mnogo više prozorskoj Fourier transformaciji) sa potpuno drugačijom funkcijom evaluacije. Glavna razlika je u sljedećem: Fourierova transformacija razlaže signal na komponente u obliku sinusa i kosinusa, tj. funkcije lokalizirane u Fourierovom prostoru; naprotiv, wavelet transformacija koristi funkcije lokalizirane i u realnom i u Fourierovom prostoru. Općenito, talasna transformacija se može izraziti sljedećom jednadžbom:

gdje je * simbol kompleksne konjugacije i funkcije ψ - neka funkcija. Funkcija se može birati proizvoljno, ali mora zadovoljiti određena pravila.

Kao što vidite, wavelet transformacija je zapravo beskonačan skup razne transformacije ovisno o funkciji bodovanja koja se koristi za izračunavanje. Ovo je glavni razlog zašto ovaj termin « talasna transformacija» koristi se u vrlo različitim situacijama i za različite primjene. Također postoje mnoge vrste klasifikacije opcija wavelet transformacije. Ovdje prikazujemo samo podjelu na osnovu ortogonalnosti talasa. Može biti korišteno ortogonalni talasi za diskretnu talasnu transformaciju i neortogonalni talasi za kontinuirano. Ove dvije vrste transformacija imaju sljedeća svojstva:

1. Diskretna talasna transformacija vraća vektor podataka iste dužine kao i ulaz. Obično, čak i u ovom vektoru, veliki broj podataka je skoro nula. Ovo je u skladu sa činjenicom da se razlaže u skup talasa (funkcija) koji su ortogonalni na njihovu paralelnu translaciju i skaliranje. Stoga, mi dekomponujemo sličan signal na iste ili manje koeficijenata talasnog spektra kao broj tačaka podataka signala. Takav talasni spektar je vrlo dobar za obradu i kompresiju signala, na primjer, jer ovdje ne primamo suvišne informacije.
2. Nasuprot tome, kontinuirana wavelet transformacija vraća niz za jednu dimenziju više od ulaza. Za jednodimenzionalne podatke dobijamo sliku vremensko-frekventne ravni. Lako možete pratiti promjenu frekvencije signala tokom njegovog trajanja i uporediti ovaj spektar sa spektrima drugih signala. Budući da koristi neortogonalni skup talasa, podaci su visoko korelirani i vrlo redundantni. Ovo pomaže da se rezultat vidi u bližoj ljudskoj percepciji.

Više detalja o wavelet transformaciji dostupno je na hiljadama wavelet internet izvora na webu, ili, na primjer, ovdje.

Obje ove transformacije su implementirane u Gwyddion biblioteci za obradu podataka, a moduli koji koriste wavelet transformaciju dostupni su u meniju Obrada podataka → Integralne transformacije.

Diskretna talasna transformacija

Diskretna Wavelet Transform (DWT) je implementacija talasne transformacije koristeći diskretni skup talasnih skala i translacija koji se pridržavaju određenih specifičnih pravila. Drugim riječima, ova transformacija razlaže signal u međusobno ortogonalni skup talasa, što je glavna razlika od kontinuirane talasne transformacije (CWT), ili njene implementacije za diskretne vremenske serije, koja se ponekad naziva kontinuirana diskretna vremenska talasna transformacija (DT-CWT ).

Talas se može konstruirati iz funkcije skaliranja koja opisuje njegova svojstva skalabilnosti. Ograničenje je da funkcija skale mora biti ortogonalna svojim diskretnim transformacijama, što implicira neka matematička ograničenja na njih, koja se svuda pominju, tj. jednačina homotetije

gdje S- faktor skale (obično se bira kao 2). Štaviše, površina ispod funkcije mora biti normalizirana i funkcija skaliranja mora biti ortogonalna na njene numeričke translacije, tj.

Nakon uvođenja nekih dodatni uslovi(pošto gornja ograničenja ne rezultiraju jedino rešenje) možemo dobiti rezultat svih ovih jednačina, tj. konačan skup koeficijenata a k koji definiraju funkciju skaliranja kao i talas. Talas se dobija iz funkcije skaliranja kao N gdje N- paran cijeli broj. Tada se formira skup talasa ortonormalna osnova koje koristimo za razlaganje signala. Treba napomenuti da obično samo nekoliko koeficijenata a k biće različit od nule, što pojednostavljuje proračune.

Sljedeća slika prikazuje neke funkcije skaliranja i talase. Najpoznatija porodica ortonormalizovanih talasa je porodica Daubechies. Njegovi talasi se obično označavaju brojem koeficijenata koji nisu nula a k tako da obično govorimo o talasima Daubechies 4, Daubechies 6, itd. Grubo govoreći, sa povećanjem broja talasnih koeficijenata, funkcije postaju glatkije. Ovo se jasno vidi kada se uporede Daubechies 4 i 20 talasi predstavljeni u nastavku. Još jedan od pomenutih talasa - najjednostavniji talas Haar ko koristi pravougaoni puls kao funkcija skaliranja.

Haarova funkcija skaliranja i talas (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno).

Daubechies 4 funkcija skaliranja i talas (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno).

Daubechies 20 funkcija skaliranja i talas (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno).

Postoji nekoliko tipova implementacije algoritma diskretne talasne transformacije. Najstariji i najpoznatiji je Malla (piramidalni) algoritam. U ovom algoritmu, dva filtera - zaglađivanje i ne-izglađivanje - sastavljena su od talasnih koeficijenata i ovi filteri se rekurzivno primjenjuju da bi se dobili podaci za sve dostupne skale. Ako se koristi full set podaci D = 2 N a dužina signala je L, podaci se prvo izračunavaju D / 2 za razmjer L / 2 N - 1, zatim podaci ( D / 2) / 2 za razmjer L / 2 N - 2, ... dok na kraju ne budu 2 podatka za skalu L / 2... Rezultat ovog algoritma će biti niz iste dužine kao i ulaz, gdje se podaci obično sortiraju od velikih razmjera do najmanjih.

Gwyddion koristi piramidalni algoritam za izračunavanje diskretne wavelet transformacije. Diskretna talasna transformacija u 2D prostoru dostupna je u DWT modulu.

Diskretna talasna transformacija se može koristiti za jednostavne i brzo uklanjanješum od šumnog signala. Samo ako uzmemo ograničen broj Najveći spektralni koeficijenti diskretne wavelet transformacije, a izvršimo inverznu wavelet transformaciju (sa istom osnovom), možemo dobiti signal manje ili više očišćen od šuma. Postoji nekoliko načina za odabir koeficijenata koji će se pohraniti. Gwyddion implementira univerzalni prag, adaptivni prag i prilagodljivi prag i prostor. Da bismo odredili prag u ovim metodama, prvo odredimo procjenu varijanse buke koju daje

gdje Y ij odgovara svim koeficijentima u najvišem podopsegu skale dekompozicije (gdje se očekuje da će biti prisutna većina buke). Ili se varijansa šuma može dobiti na nezavisan način, na primjer, kao varijansa AFM signala kada skeniranje nije u toku. Za najviši podopseg frekvencija (univerzalni prag) ili za svaki podopseg (za prag koji se prilagođava skali) ili za okruženje svakog piksela u podopsegu (za prag prilagođen skali i prostoru) , varijansa se izračunava kao

Vrijednost praga se u konačnom obliku smatra kao

Kada je poznat prag za datu skalu, možemo ukloniti sve koeficijente manje od vrijednosti praga (tvrdi prag) ili možemo smanjiti apsolutnu vrijednost ovih koeficijenata za vrijednost praga (meki prag).

DWT Noise Removal je dostupan u meniju Obrada podataka → Integralne transformacije→ Ukloni DWT šum.

Kontinuirana talasna transformacija

Continuous Wavelet Transform (CWT) je implementacija talasne transformacije koristeći proizvoljne skale i gotovo proizvoljne talase. Korišteni talasi nisu ortogonalni i podaci dobijeni tokom ove transformacije su u velikoj korelaciji. Za diskretne vremenske sekvence, možete koristiti i ovu transformaciju, uz ograničenje da najmanji talasni prijevodi moraju biti jednaki uzorkovanju podataka. Ovo se ponekad naziva diskretna vremenska kontinuirana talasna transformacija (DT-CWT) i najčešće je korišćena metoda za izračunavanje CWT u aplikacijama u stvarnom svetu.

U principu, kontinuirana wavelet transformacija radi direktno koristeći definiciju wavelet transformacije, tj. izračunavamo konvoluciju skaliranog talasnog signala. Za svaku skalu dobijamo na ovaj način skup iste dužine N kao ulazni signal. Koristeći M proizvoljno odabrane skale dobijamo polje N × M koji direktno predstavlja vremensko-frekvencijsku ravan. Algoritam koji se koristi za ovaj proračun može se zasnivati ​​na konvoluciji naprijed ili konvoluciji kroz Fourierovo množenje (ovo se ponekad naziva brza talasna transformacija).

Izbor talasa za upotrebu u vremensko-frekventnoj dekompoziciji je najvažnija stvar. Ovim izborom možemo uticati na rezoluciju rezultata u vremenu i frekvenciji.Na taj način se ne mogu mijenjati glavne karakteristike wavelet transformacije (niske frekvencije imaju dobra rezolucija po učestalosti i loše po vremenu; visoke imaju lošu frekvencijsku rezoluciju i dobru vremensku rezoluciju), ali možete malo povećati ukupnu frekvenciju ili vremensku rezoluciju. Ovo je direktno proporcionalno širini korištenog talasa u realnom i Fourierovom prostoru. Ako, na primjer, koristimo Morletov talas (pravi dio je raspadajuća kosinusna funkcija), onda možemo očekivati visoka rezolucija u frekvencijama, budući da je takav talas vrlo dobro lokaliziran po frekvenciji. naprotiv, koristeći Derivativni Gaussov (DOG) talas dobijamo dobru lokalizaciju u vremenu, ali lošu po frekvenciji.

Kontinuirana wavelet transformacija je implementirana u CWT modulu, koji je dostupan u meniju Obrada podataka → Integralne transformacije→ CWT.

Izvori od

A. Bultheel: Bull. Belg. Math. Soc.: (1995) 2

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Obrada slike, (2000) 9 str. 1532

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Obrada slika, (2000) 9 str. 1522

Poznato je da je proizvoljan signal za koji je uslov može se predstaviti ortogonalnim sistemom funkcija:

, (18)

koeficijenti se određuju iz relacije

,

gdje - kvadrat norme ili energija bazne funkcije. Niz (18) se naziva generalizovani Fourierov red. U ovom slučaju produkti oblika uključeni u seriju (18) predstavljaju spektralnu gustinu signala, a koeficijenti predstavljaju spektar signala. Suština spektralna analiza signal se sastoji u određivanju koeficijenata. Poznavajući ove koeficijente, moguće je sintetizirati (približne) signale sa fiksnim brojem serije:

.

Generalizovani Fourierovi redovi za dati sistem osnovne funkcije i broja pojmova, daje najbolju sintezu prema kriteriju minimalne srednje kvadratne greške, koja se podrazumijeva kao vrijednost

.

Dobro poznate transformacije (Hadamard, Karunen-Loev, Fourier) "loše" predstavljaju nestacionarni signal u koeficijentima ekspanzije. Pokažimo to na sljedećem primjeru. Neka je data nestacionarna funkcija

i njegovu Fourierovu transformaciju (slika 9).

Analiza Sl. 9 pokazuje da je nestacionarnost vremenskog signala predstavljena velikim brojem visokofrekventnih koeficijenata koji nisu nula. U ovom slučaju nastaju sljedeći problemi:

Teško je analizirati vremenski signal njegovom Fourierovom transformacijom;

Prihvatljiva aproksimacija vremenskog signala je moguća kada se uzme u obzir veliki broj visokofrekventnih koeficijenata;

Loš vizuelni kvalitet stvarnih slika rekonstruisanih niskofrekventnim koeficijentima; itd.

Postojeći problemi uslovili su razvoj matematičkog aparata za pretvaranje nestacionarnih signala. Jedan od mogući načini analiza takvih signala je postala talasna transformacija (WP).

Rice. 9. Fourierova transformacija sinusoidnog signala s malim koracima pri prelasku nule

IP jednodimenzionalnog signala je njegova reprezentacija u obliku generaliziranog Fourierovog reda ili Fourierovog integrala nad sistemom baznih funkcija lokaliziranih i u prostornom i u frekvencijskom domenu. Primjer takve osnovne funkcije je Haar wavelet, koji je definiran izrazom

(20)

Grafički, Haarov talas je predstavljen na sljedeći način:

Rice. 10. Osnovna Haar wavelet funkcija

Razmotrimo proces dekompozicije signala u sistemu Haarovih baznih funkcija. Prva osnovna funkcija, za razliku od svih sljedećih, je prava linija. U slučaju normalizovane baze, konvolucija prve bazične funkcije sa originalnim signalom će odrediti njenu prosečnu vrednost. Neka je zadan diskretni signal sa dužinom uzoraka. Normalizirana bazna funkcija na intervalu je opisana izrazom. Tada konvolucija ove funkcije sa signalom dovodi do izraza

Ako izvedemo sintezu signala po koeficijentu koristeći sintetizirajuću funkciju, dobijamo konstantnu komponentu koja odgovara prosječnoj vrijednosti signala. Da bismo mogli detaljnije opisati signal, izračunavamo drugi koeficijent koristeći baznu funkciju predstavljenu izrazom (20):

Analiza ovog izraza pokazuje da koeficijent karakterizira razliku između srednjih vrijednosti polovica signala. Ako sada izvršimo sintezu u dva koeficijenta sa sintetizirajućom baznom funkcijom za drugi koeficijent

dobijamo sledeću aproksimaciju:

Dalja operacija analize, odnosno izračunavanje koeficijenata i sinteza je slična razmatranoj, s tom razlikom što se sve radnje ponavljaju za polovice signala, zatim za četvrtinu itd. Na poslednjoj iteraciji, analiza se vrši za parove slučajnih varijabli (slika 11).

Rice. 11. Konverzija parova slučajnih varijabli

Kao rezultat toga, originalni signal je precizno opisan koeficijentima Haar wavelet transformacije. Wavelet koeficijenti signala (19) prikazani su na Sl. 10.

Iz date slike se može vidjeti da su nestacionarnost signala (oštri padovi) lokalizirani u malom broju wavelet koeficijenata. To dovodi do mogućnosti boljeg oporavka nestacionarnog signala iz nepotpunih podataka.

Rice. 12. Wavelet koeficijenti jednog perioda funkcije (19)

Prilikom izračunavanja talasnih koeficijenata, bazične funkcije su pokrivale analizirani signal na sljedeći način (slika 12). Od sl. 12 pokazuje da sistem Haarovih baznih funkcija u diskretnom prostoru treba specificirati sa dva parametra: pomakom i frekvencijom (skalom):

,

gdje je skala bazne funkcije; - smjena. U diskretnom slučaju, parametar skale, gdje je bilo koji pozitivan cijeli broj, parametar pomaka. Dakle, cijeli skup osnovnih funkcija može se zapisati kao

.

Diskretni EP naprijed i nazad se izračunavaju po formulama

,

.

Treba napomenuti da ako je broj uzoraka, onda je maksimalna vrijednost. Najveća vrijednost za struju je.

Za kontinuirane signale vrijedit će sljedeći integralni izrazi:

,

.

Dakle, specificiranjem wavelet funkcija, moguće je razložiti signal u talasnoj bazi kontinuiranih ili diskretnih signala.

Rice. 13. Distribucija Haarovih baznih funkcija u analizi signala

Funkcija može formirati talasnu osnovu ako zadovoljava sljedeće uvjete:

1. Ograničenje norme:

.

2. Wavelet funkcija mora biti ograničena i po vremenu i po frekvenciji:

i , u .

Kontraprimjer: delta funkcija i harmonijska funkcija ne zadovoljavaju ovaj uvjet.

3. Nulta sredina:

Ako generaliziramo ovaj uvjet, onda možemo dobiti formulu , koji određuje stepen glatkoće funkcije. Vjeruje se da što je veći stepen glatkoće osnovne funkcije, to su njena aproksimirajuća svojstva bolja.

Kao primjer, predstavljamo sljedeće dobro poznate wavelet funkcije:

, .

Za VP, kao i za DFT, postoji algoritam brze transformacije. Razmotrite ponovo Haar VP. Od sl. 13, može se vidjeti da funkcije faktora male skale koriste iste uzorke signala za izračunavanje koeficijenata kao i funkcije faktora velike razmjere. U ovom slučaju, operacija sabiranja istih očitanja se ponavlja nekoliko puta. Stoga, da bi se smanjila količina proračuna, preporučljivo je izračunati VI iz najmanjeg faktora skale. Kao rezultat dobijamo talasne koeficijente, koji su prosečne vrednosti i razlika ... Za kvote ponovi ovu proceduru... U ovom slučaju, usrednjavanje koeficijenata će odgovarati usrednjavanju četiri uzorka signala, ali to troši jednu operaciju množenja i jednu operaciju sabiranja. Proces dekompozicije se ponavlja sve dok se ne izračunaju svi koeficijenti spektra.

Napišimo brzi Haar wavelet transform algoritam u matričnom obliku. Neka je dat vektor veličine 8 elemenata. Haar transformacijska matrica se piše kao

Kontinuirana talasna transformacija

Svojstva Wavelet transformacije

Wavelet zahtjevi

Za implementaciju wavelet transformacije, wavelet funkcije moraju zadovoljiti sljedeće kriterije:

1. Talas mora imati konačnu energiju:

2. Ako je Fourierova transformacija for, tj

tada mora biti ispunjen sljedeći uslov:

Ovaj uslov se naziva uslov prihvatljivosti, i iz njega sledi da talas sa komponentom nulte frekvencije mora da zadovolji uslov ili, u drugom slučaju, talas mora imati srednju vrednost jednaku nuli.

3. Dodatni kriterijum je predstavljen za kompleksne talase, odnosno da za njih Fourierova transformacija mora biti istovremeno realna i mora se smanjivati ​​za negativne frekvencije.

4. Lokalizacija: talasni talas treba da bude kontinuiran, integrabilan, da ima kompaktan nosilac i da bude lokalizovan kako u vremenu (u prostoru) tako i po frekvenciji. Ako se talasni talas sužava u prostoru, tada se njegova prosečna frekvencija povećava, talasni spektar se pomera u oblast viših frekvencija i širi. Ovaj proces bi trebao biti linearan - sužavanje talasa za polovinu trebalo bi povećati njegovu prosječnu frekvenciju, a spektralnu širinu također udvostručiti.

1. Linearnost

2. Invarijantnost pomaka

Vremenski pomak signala za t0 dovodi i do pomaka talasnog spektra za t0.

3. Invarijantnost skaliranja

Rastezanje (kompresija) signala rezultira kompresijom (istezanjem) talasnog spektra signala.

4. Diferencijacija

Iz ovoga slijedi da nije bitno da li se razlikuje funkcija ili talasni talas koji analizira. Ako je talasni talas za analizu dat formulom, onda može biti vrlo koristan za analizu signala. Ovo svojstvo je posebno korisno ako je signal specificiran diskretnim nizom.

Wavelet transformacija za kontinuirani signal u odnosu na wavelet funkciju definirana je na sljedeći način:

gdje znači kompleksni konjugat za, parametar odgovara vremenskom pomaku, i naziva se parametar pozicije, parametar specificira skaliranje i naziva se parametar rastezanja.

Funkcija ponderiranja.

Normaliziranu funkciju možemo definirati na sljedeći način

što znači vremenski pomak za b i skaliranje vremena za a. Tada će se formula za talasnu transformaciju promijeniti u

Originalni signal se može rekonstruirati korištenjem formule inverzne transformacije

U diskretnom slučaju, parametri skaliranja a i pomaka b su predstavljeni diskretnim vrijednostima:

Tada talasni talas za analizu ima sledeći oblik:

gdje su m i n cijeli brojevi.

U ovom slučaju, za kontinuirani signal, diskretna talasna transformacija i njena reverzna transformacija biće napisan sledećim formulama:

Veličine su poznate i kao talasni koeficijenti.

postoji konstanta normalizacije.

U praksi, DTWS treba primijeniti na signale konačne dužine. Stoga se mora modificirati kako bi se dobio niz koeficijenata iste dužine iz signala neke dužine. Rezultirajuća transformacija se naziva diskretna talasna transformacija (DWT).

Prvo opisujemo DWT u matričnom obliku, a zatim na bazi filterskih grupa, što se najčešće koristi u obradi signala.

U oba slučaja pretpostavljamo da baza funkcionira i
su kompaktno definisani. Ovo automatski garantuje konačnost nizova. i ... Pretpostavimo dalje da signal koji se transformiše ima dužinu
.

1. Opis matrice dwt

Označimo vektorom niz konačne dužine za neke ... Ovaj vektor se pretvara u vektor
koji sadrže sekvence
i
, svaka polovina dužine. Transformacija se može zapisati kao množenje matrice
gdje matrica
- kvadrat i sastoji se od nula i elemenata pomnoženo sa
... Zbog imovine dobijena u Odjeljku 2.3, matrica
je ortonormiran, a njegov inverz jednak je transponiranom. Kao ilustraciju, razmotrite sljedeći primjer. Uzmite filter sa dužinom
, niz dužine
, i kao početna vrijednost -
... Sequence dobiti od po formuli (2.35), gdje je
... Tada će operacija množenja matrice-vektora biti predstavljena u obliku

. (2.52)

Inverzna transformacija je množenje
na inverznoj matrici
:

. (2.53)

Dakle, izraz (2.51) je jedan DWT korak. Puni DWT je iterativno množenje gornje polovine vektora
po kvadratnoj matrici
čija veličina
... Ovaj postupak se može ponoviti d puta dok dužina vektora ne bude jednaka 1.

U četvrtom i osmom redu matrice (2.51), niz kružno pomaknuto: koeficijenti izvan matrice na desnoj strani stavljaju se u isti red s lijeve strane. To znači da je DWT tačno jedan period dužine N DTWS signal dobijeno beskonačnim periodičnim nastavkom ... Dakle, DWT, kada je definisan na ovaj način, koristi periodičnost signala, kao što je slučaj sa DFT.

Matrični opis DWT-a je sažet i jasan. Međutim, kod obrade signala, DWT se najčešće opisuje pomoću blok dijagrama sličnog dijagramu sistema za analizu-sintezu (vidi sliku 1.1).

1. Opisivanje dwt pomoću blokova filtera

Uzimajući u obzir transformacije podpojasa u Poglavlju 1, protumačili smo jednakosti slične (2.45) i (2.46) kao filtriranje nakon čega slijedi desetkovanje na pola. Pošto u ovom slučaju postoje dva filtera i , tada je grupa filtera dvopojasna i može se prikazati kao što je prikazano na slici 2.5.

Filteri F i E srednje filtriranje po filterima i
, odnosno. Niskopropusno filtriranje se izvodi u donjoj grani kola. Rezultat je neka aproksimacija signala, niskofrekventni (LF) podopseg bez detalja. Visokofrekventni (HF) podopseg je istaknut na vrhu kola. Imajte na umu da pri obradi signala, konstanta
se uvijek uklanja iz grupe filtera i signal se množi sa 2 (vidi sliku 3.2, poglavlje 3).

Dakle, kolo na slici 2.5 dijeli signal nivoa
dva nivoa signala
... Nadalje, wavelet transformacija se dobija rekurzivnom primjenom ove šeme na dio niske frekvencije. Kada se izvrši talasna transformacija slike, svaka iteracija algoritma se izvodi prvo na redove, a zatim na kolone slike (gradi se tzv. Mallat piramida). U video kodecima ADV6xx koristi se modificirana Mallat piramida, kada se pri svakoj iteraciji transformacija ne izvodi nužno i u redovima i u stupcima. Ovo je za više potpuno računovodstvo vizuelna percepcija osobe.

Rezultirajuća transformacija je slična (2.51). Međutim, postoje neke razlike. Prilikom filtriranja signala konačne dužine, suočavamo se s problemom njegovog nastavka na granici. Matrično izvršenje DWT-a je ekvivalentno periodičnom nastavku signala na granici. Ovaj tip nastavka je potreban za ortogonalne filtere. U slučaju korištenja biortogonalnih filtera, zbog simetričnosti njihovih karakteristika, pojavljuju se i neke druge mogućnosti. Ovo pitanje će biti detaljnije razmotreno u Poglavlju 3.

Šema koja izvodi DWT također može biti predstavljena kao što je prikazano na slici 2.6. Ovdje se rekurzivno filtriranje i decimacija zamjenjuju jednom operacijom filtriranja i jednom operacijom decimacije po podopsegu. Definiranje iterativnih filtera i najlakše je popustiti frekvencijski domen.

Diskretne talasne transformacije.

6.3.3.1. Opće informacije o talasnim transformacijama.

Wavelet transformacija signala je generalizacija spektralne analize, čiji je tipičan predstavnik klasična Fourierova transformacija.

Wavelet transformacija (WT) se klasificira na diskretnu (DWT) i kontinuiranu (CWT). DWT se koristi za transformaciju signala i kodiranje, CWT se koristi za analizu signala.

U talasnoj analizi, ulogu baznih funkcija igraju funkcije posebne vrste koje se nazivaju talasi. Izraz "wavelet" u prijevodu sa engleskog znači "mali (kratki) talas". Talasi su generalizovani naziv za porodice funkcija specifičnog oblika koje su lokalne po vremenu i frekvenciji, i u kojima se sve funkcije dobijaju iz jedne osnovne (generirajuće) funkcije pomoću njenih pomeranja i rastezanja duž vremenske ose.

Wavelet transformacije razmatraju analizirane vremenske funkcije u terminima oscilacija lokaliziranih u vremenu i frekvenciji.

Prepoznatljiva karakteristika wavelet analiza je da može koristiti porodicu funkcija koje implementiraju različite opcije odnosima neizvesnosti. Shodno tome, istraživač ima fleksibilan izbor između njih i upotrebe onih wavelet funkcija koje najefikasnije rješavaju postavljene zadatke.

Glavno područje primjene wavelet transformacija je analiza i obrada signala i funkcija koje nisu stacionarne u vremenu, kada rezultati analize trebaju sadržavati ne samo frekvencijski odziv signala (distribucija energije signala po frekvencijskim komponentama), ali i informacija o lokalnim koordinatama na kojima se manifestiraju određene grupe frekvencijskih komponenti ili na kojima se brze promjene frekvencijske komponente signala.

Na slici 3.1, analizirani signal se sastoji od dva modulirana deezijana. Morletova talasna transformacija jasno pokazuje njihovu prostornu i frekvencijsku lokalizaciju, dok Fourierov spektar daje samo frekvencijsku lokalizaciju.

Jedna od glavnih i posebno plodnih ideja wavelet reprezentacije signala je podjela funkcija pristupa signalu u dvije grupe: aproksimirajuće - grube, s prilično sporom vremenskom dinamikom promjena, i detaljne - s lokalnom i brzom dinamikom promjena. na pozadini glatke dinamike, sa njihovom naknadnom fragmentacijom i detaljima na drugim nivoima dekompozicije signala. Ovo je moguće u vremenskom i frekvencijskom domenu talasne reprezentacije signala.

Crtanje

Slika 3.1 - wavelet transformacija signala

6.3.3.2. Osnovne funkcije talasnih transformacija.

Talasi imaju oblik kratkovalnih paketa sa nultim srednjim danom, lokalizirani duž ose argumenata, invarijantni na pomak i linearni prema operaciji skaliranja. U smislu lokalizacije u vremenu i frekvencijskoj reprezentaciji, talasi zauzimaju srednju poziciju između harmonijskih funkcija lokaliziranih u frekvenciji i Diracove funkcije, lokalizirane u vremenu.

Osnovna wavelet funkcija je neka vrsta "kratke" oscilacije. Štaviše, koncept frekvencije spektralne analize zamijenjen je skalom, a za preklapanje " kratkim talasima»Cijela vremenska os je pomaknuta funkcija u vremenu. Osnova talasa su temporalne funkcije tipa:

, (3.1)

gdje je b pomak;

a - skala.

Funkcija mora imati nultu površinu. Fourierova transformacija takvih funkcija jednaka je nuli na nultoj frekvenciji i ima oblik propusnog filtera. Različita značenja parametar skale "a" ovo odgovara skupu propusnih filtera. Porodice talasa u vremenskom ili frekvencijskom domenu koriste se za predstavljanje signala i funkcija kao superpozicije talasa na različitim nivoima razlaganja signala (dekompozicije).

Sljedeća funkcija

ne zavisi od parametara i. vektor, dato funkcijom, ima konstantnu dužinu u prostoru:

.

U praksi se funkcija često koristi kao osnovna funkcija

nazvan meksički šešir.

6.3.3.3. Kontinuirana talasna transformacija.

Neka postoji funkcija i neka funkcija - osnovna funkcija. Kontinuirana wavelet transformacija je opisana izrazom oblika:

. (3.2)

Ako je osnovna funkcija opisana izrazom:

,

tada je rezultat uobičajena Fourierova transformacija (u ovom slučaju, parametar se ne koristi).

Da biste pokrili cijelu vremensku os prostora talasnom funkcijom, koristite operaciju pomaka (pomak duž vremenske ose): , gdje je vrijednost b za CWP kontinuirana. Da pokrije sve frekvencijski opseg koristi se operacija vremenskog skaliranja talasa sa kontinuiranom promjenom nezavisne varijable: ... Dakle, pomeranjem duž nezavisne varijable (tb), talas ima mogućnost da se kreće duž cele numeričke ose proizvoljnog signala, a promenom varijable skale "a" (u fiksnoj tački (tb) ose) "pogledati" frekventni spektar signala u određenom intervalu u blizini ovih tačaka.

Dakle, kontinuirana wavelet transformacija je dekompozicija signala u smislu svih mogućih pomaka i kontrakcija / rastezanja neke lokalizirane konačne funkcije - talasa. U ovom slučaju, varijabla "a" određuje skalu talasa i ekvivalentna je frekvenciji u Fourierovim transformacijama, a varijabla "b" je pomak talasa prema signalu od početne tačke u domeni njegove definicije, čija skala ponavlja vremensku skalu analiziranog signala.

Koncept skale IP ima analogiju sa skalom geografskih karata. Veće vrijednosti na skali odgovaraju globalnoj reprezentaciji signala, i niske vrijednosti skale vam omogućavaju da razlikujete detalje. U smislu frekvencije, niske frekvencije odgovaraju globalnoj informaciji o signalu, a visoke frekvencije odgovaraju detaljne informacije i karakteristike koje su kratke po obimu, tj. skala talasa, kao jedinica vremensko-frekventne reprezentacije signala, je recipročna frekvencija. Scaling like matematička operacija, širi ili sužava signal. Vrijednosti velike skale odgovaraju proširenjima signala, a vrijednosti male skale odgovaraju komprimiranim verzijama. U talasnoj definiciji, faktor skale a stoji u nazivniku. odnosno a> 1 proširuje signal, a < 1 сжимает его.

6.3.3.4. Diskretna talasna transformacija.

U principu, prilikom obrade podataka na računaru, može se izvesti diskretizovana verzija kontinuirane talasne transformacije sa postavljanjem diskretnih vrednosti parametara (a, b) talasa sa proizvoljnim korakom a i b. Rezultat je višak koeficijenata, koji daleko premašuje broj uzoraka originalnog signala, koji nije potreban za rekonstrukciju signala.

Diskretna talasna transformacija (DWT) daje dovoljno informacija i za analizu i za sintezu signala, dok je ekonomična u smislu broja operacija i potrebne memorije. Vlaknaste ploče rade s diskretnim vrijednostima parametara a i b, koje se u pravilu postavljaju u obliku funkcija moći:

,

,

gdje ;

Cijeli brojevi;

Scale parameter;

Shift parametar.

Prostorna osnova u diskretnom predstavljanju:

Wavelet koeficijenti direktne transformacije:

. (3.5)

Vrijednost "a" može biti proizvoljna, ali se obično uzima jednakom 2, a transformacija se naziva dijadna talasna transformacija... Za dijadnu transformaciju, a brzi algoritam proračuni, slični brzoj Fourier transformaciji, što je predodredilo njegovu široku upotrebu u analizi digitalnih nizova podataka.

Obrnuto diskretna transformacija za kontinuirane signale s normaliziranom ortogonalnom vallet bazom prostora:

. (3.6)

Broj korišćenih talasa po faktoru skale m određuje nivo raspadanje signala, dok se nulti nivo (m = 0) obično uzima kao nivo maksimalne vremenske rezolucije signala, tj. sam signal i naredni nivoi (m< 0) образуют ниспадающее talasno drvo... V softvera kalkulacije da se isključi upotreba negativnog numerisanja sa m, znak minus se obično prenosi direktno na sledeći nastup osnovne funkcije:

6.3.3.5. Vremensko-frekvencijska lokalizacija talasne analize.

Pravi signali obično su konačne. Frekvencijski spektar signala obrnuto je proporcionalan njihovom trajanju. Shodno tome, dovoljno preciznu analizu niskofrekventnog signala treba provesti u velikim intervalima njegovog dodjeljivanja, a visokofrekventnu analizu u malim intervalima. Ako frekventni sastav signala pretrpi značajne promjene u intervalu njegovog dodjeljivanja, onda Fourierova transformacija daje samo prosječne podatke o frekventnom sastavu signala sa konstantnom frekvencijskom rezolucijom. Određena vremensko-frekventna lokalizacija analize stvara se djelovanjem prozorske Fourierove transformacije, koja daje familiju frekvencijskih spektra lokaliziranih u vremenu, ali unutar konstantne širine prozora funkcije prozora, a samim tim i sa konstantnom vrijednost i frekvencijske i vremenske rezolucije.

Za razliku od prozorske Fourierove transformacije, talasna transformacija, sa sličnim diskretnim vrijednostima pomaka b, daje porodice spektra koeficijenta skale a kompresijsko istezanje:

. (3.8)

Ako pretpostavimo da svaki val ima određenu "širinu" svog vremenskog prozora, koji odgovara određenoj "prosječnoj" frekvenciji spektralne slike talasa, inverzno njegovom faktoru skale a, tada se porodice koeficijenata skale talasne transformacije mogu smatrati sličnima porodicama frekventnih spektra prozorske Fourierove transformacije, ali sa jednim fundamentalna razlika... Koeficijenti skale mijenjaju "širinu" talasa i, shodno tome, "prosječnu" frekvenciju njihovih Fourierovih transformacija, te stoga svaka frekvencija ima svoje trajanje vremenskog prozora analize, i obrnuto. Tako male vrijednosti parametra a, karakterišući brze komponente u signalima, odgovaraju visokim frekvencijama, i velike vrijednosti – niske frekvencije... Promjenom skale, talasi mogu otkriti razlike u različite frekvencije, i zbog pomaka (parametar b) analizira svojstva signala u različite tačke tokom čitavog ispitivanog vremenskog intervala. Višedimenzionalni vremenski prozor talasne transformacije prilagođen je za optimalnu detekciju niskih frekvencija i visoke frekvencijske karakteristike signale.

Dakle, dalje visoke frekvencije bolja rezolucija u vremenu, a pri niskoj - u frekvenciji. Za visokofrekventnu komponentu signala možemo preciznije označiti njen vremenski položaj, a za niskofrekventnu njenu frekvencijsku vrijednost.

Informacije visoke frekvencije (male skale) se izračunavaju na osnovu dugih signalnih intervala, a niske frekvencije na osnovu velikih. S obzirom da su analizirani signali uvijek konačni, onda se pri izračunavanju koeficijenata na granicama postavljanja signala područje važenja prelazi granice signala, a radi smanjenja greške u proračunu signal se dopunjuje postavljanjem početnih i konačnih uslova.

6.3.3.6. Prednosti i nedostaci talasne analize.

Prednosti talasne analize uključuju:

Wavelet transformacije imaju sve prednosti Fourierovih transformacija;

Talasne baze mogu biti dobro lokalizovane i po frekvenciji i po vremenu;

Kada se razlikuju dobro lokalizovani procesi različite skale u signalima, mogu se uzeti u obzir samo oni nivoi razlaganja koji su od interesa;

Talasne baze, za razliku od Fourierove transformacije, imaju mnogo različitih osnovne funkcije, čija su svojstva usmjerena na rješavanje različitih problema.

Nedostatak wavelet transformacija je njihova relativna složenost.

6.3.3.7. Svojstva Wavelet analize.

Dobijanje objektivnih informacija o signalu zasniva se na svojstvima talasne transformacije, koja su zajednička za sve vrste talasa. Razmotrimo glavna od ovih svojstava. Za označavanje operacije talasne transformacije proizvoljnih funkcija x (t), koristit ćemo indeks TW.

Linearnost.

TW [α · x 1 (t) + β · x 2 (t)] = α · TW + β · TW.

Invarijantnost smicanja. Pomak signala u vremenu za t 0 dovodi do pomaka talasnog spektra također za t 0:

TW = X (a, b-t o).

Invarijantnost skaliranja. Rastezanje (kompresija) signala dovodi do kompresije (istezanja) talasnog spektra signala:

TW = (1 / a o) X (a / a o, b / a o).

Diferencijacija.

D n (TW) / dt n = TW.

TW = (-1) n x (t) dt.

Nema razlike da li je funkcija diferencirana ili analizirani talas. Ako je talasni talas za deelizovanje dat formulom, onda ovo može biti veoma korisno za otpuštanje signala. Moguće je analizirati karakteristike visokog reda ili male varijacije signala x (t) zanemarujući velike polinomske komponente (trend i regionalnu pozadinu) razlikovanjem potrebnog broja puta talasa ili samog signala. Ovo svojstvo je posebno korisno kada je signal specificiran diskretnim nizom.

Analog Parsevalove teoreme za ortogonalne i biortogonalne talase.

X 1 (t) x 2 * (t) = X ψ -1 a -2 X (a, b) X * (a, b) da db.

Otuda slijedi da se energija signala može izračunati preko koeficijenata talasne transformacije.

Osnove digitalna obrada signali: tutorial/ Yu.A. Bryuhanov, A.A. Priorov, V.I. Dzhigan, V.V. Hrjaščov; Yarros. Država un-t njima. P.G. Demidov. - Yaroslavl: YarSU, 2013.-- 344 str. (str. 270)