Svojstva množenja matrice su elementarne transformacije matrice. Elementarne transformacije redova matrice

02.07.2020 U kontaktu sa

Elementarne matrične transformacije nalaze široku primenu u raznim matematičkim problemima. Na primjer, oni čine osnovu poznate Gaussove metode (metoda eliminacije nepoznanica) za rješavanje sistema linearnih jednačina.

Elementarne transformacije uključuju:

1) permutacija dva reda (kolona);

2) množenje svih elemenata reda (kolone) matrice nekim brojem koji nije jednak nuli;

3) sabiranje dva reda (kolone) matrice, pomnoženih istim brojem koji nije nula.

Pozivaju se dvije matrice ekvivalentan ako se jedan od njih može dobiti iz drugog nakon konačnog broja elementarnih transformacija. U opštem slučaju, ekvivalentne matrice nisu jednake, već imaju isti rang.

Računanje determinanti korištenjem elementarnih transformacija

Koristeći elementarne transformacije, lako je izračunati determinantu matrice. Na primjer, trebate izračunati determinantu matrice:

Tada možete izvaditi faktor:

sada, oduzimajući od elemenata j kolone, odgovarajući elementi prve kolone, pomnoženi sa, dobijamo determinantu:

što je: gde

Zatim ponavljamo iste korake za i, ako su svi elementi, onda konačno dobijamo:

Ako se za neku međuodrednicu ispostavi da je njen gornji lijevi element, onda je potrebno redove ili stupce preurediti na način da novi gornji lijevi element nije jednak nuli. Ako je Δ ≠ 0, to se uvijek može učiniti. Treba imati na umu da se predznak determinante mijenja ovisno o tome koji je element glavni (odnosno kada se matrica tako transformira). Tada je predznak odgovarajuće determinante.

PRIMJER Koristeći elementarne transformacije, smanjite matricu

na trouglasti pogled.

Rješenje. Prvo pomnožimo prvi red matrice sa 4, a drugi sa (–1) i dodamo prvi red drugom:

Sada pomnožimo prvi red sa 6, a treći sa (–1) i dodajmo prvi red trećem:

Na kraju, pomnožite 2. red sa 2, a 3. sa (–9) i dodajte drugi red trećem:

Rezultat je gornja trokutasta matrica

Primjer. Riješite sistem linearnih jednadžbi pomoću matričnog aparata:

Rješenje. Zapišimo ovaj sistem linearnih jednadžbi u matričnom obliku:

Rješenje ovog sistema linearnih jednadžbi u matričnom obliku je:

gdje je matrica inverzna matrici A.

Determinanta matrice koeficijenata A je jednako:

dakle matrica A ima inverznu matricu.

2. Maltsev A.I. Osnove linearne algebre. - M.: Nauka, 1975.-- 400 str.

3. Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Vodič za matematiku za inženjere i studente tehničkih fakulteta. - Moskva: Nauka, 1986.-- 544 str.

Elementarne matrične transformacije su takve transformacije matrice kao rezultat kojih je očuvana ekvivalencija matrica. Dakle, elementarne transformacije ne mijenjaju skup rješenja sistema linearnih algebarskih jednačina koji ova matrica predstavlja.

Elementarne transformacije se koriste u Gausovoj metodi za dovođenje matrice u trokutasti ili stepenasti oblik.

Definicija

Elementarne konverzije nizova zove:

U nekim kursevima linearne algebre, permutacija redova matrice nije odvojena u zasebnu elementarnu transformaciju zbog činjenice da se permutacija bilo koja dva reda matrice može dobiti množenjem bilo kojeg reda matrice konstantom i dodavanjem bilo koji red matrice drugi red pomnožen konstantom,.

Slično, elementarne transformacije stupaca.

Elementarne transformacije reverzibilno.

Oznaka označava da se matrica može dobiti elementarnim transformacijama (ili obrnuto).

Svojstva

Invarijantnost ranga prema elementarnim transformacijama

Ekvivalencija SLAE pod elementarnim transformacijama

Hajde da pozovemo elementarne transformacije nad sistemom linearnih algebarskih jednadžbi :

preuređivanje jednačina;
množenje jednačine konstantom različitom od nule;
dodavanje jedne jednačine drugoj pomnoženo nekom konstantom.

One. elementarne transformacije nad njegovom proširenom matricom. Tada je tačna sljedeća tvrdnja: Podsjetimo da se za dva sistema kaže da su ekvivalentna ako se skupovi njihovih rješenja poklapaju.

Pronalaženje inverznih matrica

Teorema (o pronalaženju inverzne matrice).
Neka determinanta matrice nije jednaka nuli, neka je matrica određena izrazom. Zatim, sa elementarnom transformacijom redova matrice u matricu identiteta u kompoziciji, transformacija u se odvija istovremeno.

Svođenje matrica na stepenasti oblik

Hajde da uvedemo koncept stepenastih matrica: Matrica ima stepenasti pogled , ako: Tada je tačna sljedeća izjava:

Povezane definicije

Elementarna matrica. Matrica A je elementarna ako množenje proizvoljne matrice B sa njom dovodi do elementarnih transformacija redova u matrici B.

Književnost

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Linearna algebra: Univerzitetski udžbenik... - 6. izdanje, izbrisano. - M.: FIZMATLIT, 2004.-- 280 str.

Wikimedia fondacija. 2010.

Pogledajte šta su "Elementarne matrice transformacije" u drugim rječnicima:

Uvod. Eh, u tačnom značenju ovog pojma su primarni, dalji nerazložljivi delovi, od kojih se, po pretpostavci, sastoji sva materija. U modernom fizike, termin „E. h." obično se ne koristi u svom tačnom značenju, već manje striktno za ime ... ... Fizička enciklopedija

Uvod. E. h. U tačnom značenju ovog pojma su primarne, dalje nerazgradive čestice, od kojih se, prema pretpostavci, sastoji sva materija. U konceptu „E. h." u modernoj fizici ideja primitivnih suština nalazi izraz, ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Matrix. Matrica je matematički objekt napisan u obliku pravokutne tablice elemenata prstena ili polja (na primjer, cijeli brojevi, realni ili kompleksni brojevi), koji predstavlja ... ... Wikipedia

Matrica je matematički objekt napisan u obliku pravokutne tablice brojeva (ili prstenastih elemenata) i koji omogućava algebarske operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje, itd.) između njega i drugih sličnih objekata. Pravila izvršenja ... ... Wikipedia

Elementarne transformacije se koriste u Gausovoj metodi za dovođenje matrice u trokutasti ili stepenasti oblik.

Definicija

Elementarne konverzije nizova zove:

U nekim kursevima linearne algebre, permutacija redova matrice nije odvojena u zasebnu elementarnu transformaciju zbog činjenice da se permutacija bilo koja dva reda matrice može dobiti množenjem bilo kojeg reda matrice konstantom k (\ displaystyle k), i dodavanje bilo kojem redu matrice još jednog reda pomnoženog konstantom k (\ displaystyle k), k ≠ 0 (\ displaystyle k \ neq 0).

Slično, elementarne transformacije stupaca.

Elementarne transformacije reverzibilno.

Oznaka označava da je matrica A (\ displaystyle A) može se dobiti od B (\ displaystyle B) elementarnim transformacijama (ili obrnuto).

Svojstva

Invarijantnost ranga prema elementarnim transformacijama

Teorema (o invarijantnosti ranga pod elementarnim transformacijama).
Ako A ∼ B (\ displaystyle A \ sim B), onda r a n g A = r a n g B (\ displaystyle \ mathrm (rang) A = \ mathrm (rang) B).

Ekvivalencija SLAE pod elementarnim transformacijama

Hajde da pozovemo elementarne transformacije nad sistemom linearnih algebarskih jednadžbi :

preuređivanje jednačina;
množenje jednačine konstantom različitom od nule;
dodavanje jedne jednačine drugoj pomnoženo nekom konstantom.

To jest, elementarne transformacije nad njegovom proširenom matricom. Tada je tačna sljedeća tvrdnja: Podsjetimo da se za dva sistema kaže da su ekvivalentna ako se skupovi njihovih rješenja poklapaju.

Pronalaženje inverznih matrica

Teorema (o pronalaženju inverzne matrice).
Neka je determinanta matrice A n × n (\ displaystyle A_ (n \ puta n)) nije jednako nuli, neka je matrica B (\ displaystyle B) definisan izrazom B = [A | E] n × 2 n (\ displaystyle B = _ (n \ puta 2n))... Zatim, elementarnom transformacijom redova matrice A (\ displaystyle A) na matricu identiteta E (\ displaystyle E) kao dio B (\ displaystyle B) istovremeno transformišući E (\ displaystyle E) To A - 1 (\ displaystyle A ^ (- 1)).

Pozivaju se sljedeće tri operacije elementarne transformacije redova matrice:

1) Množenje i-tog reda matrice brojem λ ≠ 0:

koje ćemo zapisati u obliku (i) → λ (i).

2) Permutacija dva reda u matrici, na primjer i-ti i k-ti red:

koje ćemo zapisati u obliku (i) ↔ (k).

3) Dodavanje u i-ti red matrice njen k-ti red sa koeficijentom λ:

koje ćemo zapisati u obliku (i) → (i) + λ (k).

Pozivaju se slične operacije na stupcima matrice elementarne transformacije stupaca.

Svaka elementarna transformacija redaka ili stupca matrice ima inverzna elementarna transformacija, što pretvara transformiranu matricu u originalnu. Na primjer, inverzna transformacija za permutaciju dva niza je permutiranje istih nizova.

Svaka elementarna transformacija redova (kolona) matrice A može se tumačiti kao množenje A na lijevoj (desnoj) matrici posebnog tipa. Ova matrica se dobija ako se izvrši ista transformacija jedinična matrica... Pogledajmo bliže elementarne transformacije stringova.

Neka se matrica B dobije množenjem i-og reda m × n matrice A brojem λ ≠ 0. Tada je B = E i (λ) A, pri čemu se matrica E i (λ) dobija iz matrice identiteta E reda m množenjem njegovog i-tog reda brojem λ.

Neka se matrica B dobije kao rezultat permutacije i-tog i k-tog reda matrice A tipa m × n. Tada je B = F ik A, pri čemu se matrica F ik dobija iz matrice identiteta E reda m permutacijom njenih i-tih i k-tih redova.

Neka se matrica B dobije tako što se i-tom redu m × n matrice A doda njen k-ti red sa koeficijentom λ. Tada je B = G ik (λ) A, pri čemu se matrica G ik dobija iz matrice identiteta E reda m kao rezultat dodavanja k-tog reda sa koeficijentom λ i-tom redu, tj. na preseku i-tog reda i k-te kolone matrice E, nulti element je zamenjen brojem λ.

Elementarne transformacije stupaca matrice A implementiraju se na isti način, ali se u isto vrijeme množe matricama posebnog tipa ne lijevo, već desno.

Koristeći algoritme koji se zasnivaju na elementarnim transformacijama redova i kolona, matrice se mogu transformisati u različite oblike. Jedan od najvažnijih takvih algoritama čini osnovu dokaza sljedeće teoreme.

Teorema 10.1. Koristeći elementarne transformacije reda, svaka matrica se može svesti na stepenasti pogled.

◄ Dokaz teoreme se sastoji u konstruisanju specifičnog algoritma za svođenje matrice na stepenasti oblik. Ovaj algoritam se sastoji od višestrukih ponavljanja u određenom redosledu od tri operacije povezane sa nekim trenutnim elementom matrice, koji se bira na osnovu lokacije u matrici. U prvom koraku algoritma biramo gornji lijevi kao trenutni element matrice, tj. [A] 11.

1*. Ako je trenutni element nula, idite na operaciju 2 *. Ako nije jednak nuli, onda se red u kojem se nalazi trenutni element (tekući red) dodaje sa odgovarajućim koeficijentima redovima ispod, tako da svi elementi matrice u koloni ispod trenutnog elementa postaju nula. Na primjer, ako je trenutni element [A] ij, onda kao koeficijent za k-ti red, k = i + 1, ..., treba uzeti broj - [A] kj / [A] ij. Odabiremo novi trenutni element, pomjerajući u matrici jedan stupac udesno i jedan red naniže, te prelazimo na sljedeći korak, ponavljajući operaciju 1 *. Ako takvo pomjeranje nije moguće, tj. kada se dostigne posljednja kolona ili red, zaustavljamo konverziju.

2 *. Ako je trenutni element u nekom redu matrice jednak nuli, onda gledamo kroz elemente matrice koji se nalaze u stupcu ispod trenutnog elementa. Ako među njima nema jedinica koje nisu nula, idite na operaciju 3 *. Neka postoji element različit od nule u k-tom redu ispod trenutnog elementa. Mijenjamo trenutnu i k-tu liniju i vraćamo se na operaciju 1 *.

3 *. Ako su trenutni element i svi elementi ispod njega (u istoj koloni) jednaki nuli, mijenjamo trenutni element, pomjerajući jedan stupac udesno u matrici. Ako je takav pomak moguć, odnosno trenutni element nije u krajnjem desnom stupcu matrice, tada ponavljamo operaciju 1 *. Ako smo već došli do desnog ruba matrice i promjena trenutnog elementa je nemoguća, tada matrica ima stepenasti oblik i možemo zaustaviti transformacije.

Pošto je matrica konačna dimenzije, a u jednom koraku algoritma, pozicija trenutnog elementa se pomiče udesno za najmanje jedan stupac, proces transformacije će se završiti, i to u najviše n koraka (n je broj stupaca u matrici) . To znači da će doći trenutak kada će matrica imati stepenasti oblik.

Primjer 10.10. Transformišemo matricu na stepenasti prikaz koristeći elementarne transformacije stringova.

Koristeći algoritam iz dokaza teoreme 10.1 i upisujući matrice nakon završetka njegovih operacija, dobijamo

Elementarne matrične transformacije uključuju:

1. Promjena redoslijeda redova (kolona).

2. Odbacivanje nula redova (kolona).

3. Množenje elemenata bilo kojeg reda (kolone) jednim brojem.

4. Dodavanje elementima bilo kojeg reda (kolone) elemenata drugog reda (kolone), pomnoženih jednim brojem.

Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi (Osnovni pojmovi i definicije).

1. Sistem m linearne jednačine sa n nepoznato se zove sistem jednadžbi oblika:

2.Odluka sistem jednačina (1) naziva se skup brojeva x 1 , x 2 , ..., x n , pretvaranje svake jednačine sistema u identitet.

3. Sistem jednačina (1) se zove joint ako ima barem jedno rješenje; ako sistem nema rješenja, zove se nedosledno.

4. Sistem jednačina (1) se zove određeni ako ima samo jedno rješenje, i nedefinisano ako ima više od jednog rješenja.

5. Kao rezultat elementarnih transformacija, sistem (1) se transformiše u sistem koji mu je ekvivalentan (tj. ima isti skup rješenja).

Za elementarne transformacije sistemi linearnih jednadžbi uključuju:

1. Odbacivanje nultih linija.

2. Promjena redoslijeda linija.

3. Dodavanje elementima bilo koje linije elemenata druge linije, pomnoženih jednim brojem.

Metode rješavanja sistema linearnih jednačina.

1) Metoda inverzne matrice (matrična metoda) za rješavanje sistema od n linearnih jednačina sa n nepoznatih.

Sistem n linearne jednačine sa n nepoznato se zove sistem jednadžbi oblika:

Zapišimo sistem (2) u matričnom obliku, za to uvodimo notaciju.

Matrica koeficijenata prije varijabli:

X = je matrica varijabli.

V = - matrica slobodnih članova.

Tada će sistem (2) poprimiti oblik:

A× X = B- matrična jednačina.

Nakon što smo riješili jednačinu, dobijamo:

X = A -1 × B

primjer:

; ;

1) │A│ = 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 matrica A -1 postoji.

Ã =

4) A -1 = × Ã = ;

X = A -1 × B

odgovor:

2) Cramerovo pravilo za rješavanje sistema od n - linearnih jednačina sa n - nepoznatih.

Razmotrimo sistem od 2 linearne jednadžbe sa 2 nepoznate:

Rešimo ovaj sistem metodom zamene:

Iz prve jednadžbe slijedi:

Zamjenom u drugu jednačinu dobijamo:

Zamijenimo vrijednost u formulu za, dobićemo:

Determinanta Δ - determinanta matrice sistema;

Δ x 1 - varijabilna determinanta x 1 ;

Δ x 2 - varijabilna determinanta x 2 ;

Formule:

x 1 =;x 2 =;…,x n = Δ  0;

- su pozvani po Cramerovim formulama.

Prilikom pronalaženja determinanti nepoznatih NS 1 , NS 2 ,…, NS n stupac koeficijenata za varijablu čija je determinanta pronađena zamijenjen je stupcem slobodnih članova.

primjer: Rešiti sistem jednačina Cramerovom metodom

Rješenje:

Hajde da prvo sastavimo i izračunamo glavnu determinantu ovog sistema:

Budući da je Δ ≠ 0, sistem ima jedinstveno rješenje koje se može naći po Cramerovom pravilu:

gdje se Δ 1, Δ 2, Δ 3 dobijaju iz determinante Δ zamjenom 1., 2. ili 3. stupca, redom, kolonom slobodnih članova.

ovako:

Gausova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina.

Razmotrite sistem:

Proširena matrica sistema (1) je matrica oblika:

Gaussova metoda Je metoda uzastopnog eliminisanja nepoznatih iz jednačina sistema, počevši od druge jednačine po m- ta jednačina.

U ovom slučaju, elementarnim transformacijama, matrica sistema se svodi na trouglastu (ako m = n i determinanta sistema ≠ 0) ili stepenasto (ako m< n ) obrazac.

Zatim, počevši od posljednje jednačine po broju, pronalaze se sve nepoznanice.

Algoritam Gausove metode:

1) Kreirajte proširenu matricu sistema, uključujući kolonu slobodnih članova.

2) Ako a 11  0, tada je prvi red podijeljen sa a 11 i pomnožite sa (- a 21) i dodajte drugi red. Slično, doseg m–Ti red:

I stranica je podijeljena po a 11 i pomnožite sa (- a m 1) i dodaj m- th str.

U ovom slučaju, iz jednačina, počevši od drugog do m- to jest, varijabla je isključena x 1 .

3) U 3. koraku, drugi red se koristi za slične elementarne transformacije redova od 3. do m- thuyu. Ovo će isključiti varijablu x 2 počevši od 3. reda do m- thuyu, itd.

Kao rezultat ovih transformacija, sistem će se svesti na trokutasti ili stepenasti oblik (u slučaju trokutaste forme, ispod glavnih dijagonalnih nula).

Svođenje sistema na trouglasti ili stepenasti oblik se naziva direktnim tokom Gaussove metode, a pronalaženje nepoznatih iz rezultirajućeg sistema se zove obrnuto.

primjer: