Neke ideje o teoriji talasa pojavile su se davno. Na primjer, već 1910. godine A. Haar je objavio kompletan ortonormalni sistem osnovne funkcije sa lokalnom domenom (sada se zovu Haar talasi). Prvi spomen talasa pojavio se u literaturi o digitalnoj obradi i analizi seizmičkih signala (radovi A. Grossmana i J. Morleta).

Nedavno, cjelina naučni pravac vezano za talasnu analizu i teoriju vallet transformacije. Talasi se široko koriste za filtriranje i prethodnu obradu podataka, analizu stanja i predviđanje situacije na berzi, prepoznavanje obrazaca, obradu i sintezu različiti signali, na primjer, govorne, medicinske, za rješavanje problema kompresije i obrade slike, za obuku neuronskih mreža iu mnogim drugim slučajevima.

Uprkos činjenici da je teorija talasnih transformacija već u osnovi razvijena, koliko ja znam, ne postoji precizna definicija šta je „talas“, koje funkcije se mogu nazvati talasima. Talasi mogu biti ortogonalni, poluortogonalni, biortogonalni. Ove funkcije mogu biti simetrične, asimetrične i neuravnotežene.

Postoje talasi sa kompaktnom domenom definicije i oni bez. Neke funkcije imaju analitički izraz, drugi - brzi algoritam za izračunavanje pridružene wavelet transformacije. Pokušajmo prvo dati neformalnu definiciju wavelet transformacije, a zatim - njeno tačno matematičko opravdanje.

Talasi i multiskalna analiza

Razmotrite problem koji je vrlo čest u praksi: imamo signal (a signal može biti bilo koji, od snimanja očitavanja senzora do digitaliziranog govora ili slike). Ideja multiscale analiza(multiskalna analiza, multirezoluciona analiza) je da se signal prvo pogleda izbliza - pod mikroskopom, zatim kroz lupu, zatim se odmakne par koraka unazad, pa pogleda izdaleka (slika 1).

Šta nam to daje? Prvo, možemo, uzastopnim pojačavanjem (ili prečišćavanjem) signala, da ga identifikujemo lokalne karakteristike(naglasak u govoru ili karakteristični detalji slike) i podijeliti ih prema intenzitetu. Drugo, na ovaj način se detektuje dinamika promena signala u zavisnosti od skale.

Ako su nagli skokovi (na primjer, hitno odstupanje očitavanja senzora) u mnogim slučajevima vidljivi "golim okom", tada interakcije događaja manjeg obima koji se razvijaju u fenomene velikih razmjera (na primjer, snažan prometni tok se sastoji od kretanje mnogih pojedinačnih automobila) je veoma teško uočiti. S druge strane, fokusirajući se samo na male detalje, možda nećete primijetiti fenomene koji se dešavaju na globalnom nivou.

Ideja korištenja valleta za analizu višestrukih razmjera je da se signal dekomponira prema osnovi koju čine pomaci i višesmjerne kopije prototipske funkcije (to jest, wavelet transformacija je inherentno fraktalna). Takve osnovne funkcije nazivaju se talasi ( wavelet) ako su definisani na prostoru L 2 (R)(prostor funkcija kompleksnih vrijednosti f (t) na pravoj liniji sa ograničenom energijom), osciliraju oko ose apscise i brzo konvergiraju na nulu kako apsolutna vrijednost argumenta raste (slika 2).

Odmah da rezervišemo da ova definicija ne pretenduje da bude potpuna i tačna, već daje samo određeni "verbalni portret" talasa. Dakle, konvolucija signala sa jednim od talasa omogućava odabir karakteristike signala u području lokalizacije ovog talasa i kako većeg obima ima talas, što je šire područje signala će uticati na rezultat konvolucije.

Prema principu nesigurnosti, što je funkcija bolje koncentrisana u vremenu, to je više razmazana u frekvencijskom domenu. Kada se funkcija ponovo skalira, proizvod vremenskog i frekventnog opsega ostaje konstantan i predstavlja površinu ćelije u vremensko-frekvencijskoj (faznoj) ravni.

Prednost talasne transformacije u odnosu na, na primer, Gaborovu transformaciju je u tome što pokriva faznu ravan ćelijama iste površine, ali različitih oblika (slika 3). Ovo omogućava dobro lokalizaciju niskofrekventnih detalja signala u frekvencijskom domenu (dominantni harmonici), a visokofrekventnih u vremenskom domenu (oštri skokovi, pikovi, itd.).

Štaviše, talasna analiza omogućava proučavanje ponašanja fraktalnih funkcija – to jest, one nemaju derivate ni u jednoj tački!

Ortogonalna talasna transformacija

Wavelet transformacija nosi ogromnu količinu informacija o signalu, ali, s druge strane, ima jaku redundantnost, jer svaka tačka fazne ravni utiče na njegov rezultat.

Uopšteno govoreći, za preciznu rekonstrukciju signala, dovoljno je znati njegovu talasnu transformaciju na nekoj prilično rijetkoj rešetki u faznoj ravni (na primjer, samo u centru svake ćelije na slici 3). Shodno tome, sve informacije o signalu sadržane su u ovom prilično malom skupu vrijednosti.

Ideja je da se talasni talas skalira za neki konstantan (na primer, 2) broj puta, i da se pomeri u vremenu za fiksnu udaljenost u zavisnosti od skale. U ovom slučaju, svi pomaci iste skale moraju biti po paru ortogonalni - takvi talasi se nazivaju ortogonalni.

S takvom transformacijom signal se konvolvira s određenom funkcijom (tzv. skalirajuća funkcija, o njenim svojstvima ćemo govoriti kasnije) i s talasom koji je povezan s ovom funkcijom skaliranja. Kao rezultat, dobijamo "uglađenu" verziju originalnog signala i skup "detalja" koji razlikuju izglađeni signal od originala.

Sukcesivnom primjenom takve transformacije možemo dobiti rezultat potrebnog stepena detalja (glatkosti) i skupa detalja na različite skale- šta je rečeno na početku članka. Štaviše, primjenom wavelet transformacije na detalj signala koji nas zanima, možemo dobiti njegovu "uvećanu sliku". I obrnuto, odbacivanjem beznačajnih detalja i izvođenjem inverzne transformacije, dobijamo signal očišćen od šuma i nasumičnih emisija (na primjer, "uklonimo" pticu koja je slučajno ušla u okvir na fotografiji zgrade).

Diskretna wavelet transformacija i drugi pravci talasne analize

Očigledno je da je ideja korištenja wavelet transformacije za obradu diskretnih podataka vrlo atraktivna (uzorkovanje podataka je neophodno, na primjer, kada se obrađuju na računalu). Glavna poteškoća leži u činjenici da se formule za diskretnu talasnu transformaciju ne mogu dobiti jednostavno diskretizacijom odgovarajućih formula za kontinuiranu transformaciju.

Na sreću, I. Dobeshi je uspio pronaći metodu koja omogućava konstruiranje (beskonačnog) niza ortogonalnih talasa, od kojih je svaki određen konačnim brojem koeficijenata. Postalo je moguće izgraditi algoritam koji implementira brzu wavelet transformaciju na diskretne podatke (Mall-ov algoritam). Prednost ovog algoritma, pored svega navedenog, leži u njegovoj jednostavnosti i velika brzina: i razgradnja i obnavljanje zahtijevaju redoslijed od cN operacije gde sa Je broj koeficijenata i N- dužina uzorka.

U posljednje vrijeme teorija talasne transformacije doživljava revolucionarni rast. Pojavile su se i razvijaju se oblasti kao što su biortogonalni talasi, multivalovi, talasni paketi, podizanje itd.

Primjena talasne transformacije

U zaključku našeg članka navodimo neke oblasti u kojima upotreba talasa može biti (ili je već) vrlo obećavajuća.

1. Eksperimentalna obrada podataka. Budući da su se talasi pojavili upravo kao mehanizam za obradu eksperimentalnih podataka, njihova primjena za rješavanje ovakvih problema je i dalje vrlo atraktivna. Wavelet transformacija daje najvizuelniju i najinformativniju sliku rezultata eksperimenta, omogućava vam da očistite početne podatke od šuma i slučajnih izobličenja, pa čak i "na oko" uočite neke od karakteristika podataka i smjer njihovog daljeg kretanja. obradu i analizu. Osim toga, talasi su pogodni za analizu nestacionarnih signala koji nastaju u medicini, analizi tržišta dionica i drugim poljima.
2. Obrada slike. Naša vizija je osmišljena na način da svoju pažnju usmjeravamo na bitne detalje slike, izrezujući nepotrebno. Koristeći wavelet transformaciju, možemo izgladiti ili istaknuti neke od detalja slike, povećati ili smanjiti, istaknuti važne detalje, pa čak i poboljšati njen kvalitet!
3. Kompresija podataka. Karakteristika ortogonalne analize na više skala je da, za dovoljno glatke podatke, konvertovani detalji su generalno blizu nule po veličini i, stoga, vrlo dobro su komprimovani konvencionalnim statističkim metodama. Veliko dostojanstvo wavelet transformacija je da ne unosi dodatnu redundantnost u originalne podatke, a signal se može u potpunosti rekonstruirati korištenjem istih filtera. Osim toga, odvajanje detalja od glavnog signala kao rezultat transformacije olakšava implementaciju kompresije s gubicima - samo trebate odbaciti detalje na skali gdje su beznačajni! Dovoljno je reći da se slika obrađena talasima može komprimirati 3-10 puta bez značajnog gubitka informacija (i uz prihvatljive gubitke - do 300 puta!). Kao primjer, napominjemo da je wavelet transformacija osnova MPEG4 standarda kompresije podataka.
4. Neuronske mreže i drugi mehanizmi analize podataka. Velike poteškoće u obučavanju neuronskih mreža (ili postavljanju drugih mehanizama za analizu podataka) stvaraju jaki bučni podaci ili prisustvo veliki broj "posebnim slučajevima"(slučajni odstupnici, praznine, nelinearna izobličenja, itd.). Takav šum može sakriti ili oponašati karakteristike podataka i može uvelike degradirati rezultate treninga. Stoga se preporučuje čišćenje podataka prije nego što ih analizirate. Iz već razloga gore pomenutog, kao i zbog prisustva brzih i efikasni algoritmi U implementaciji, talasi izgledaju kao veoma zgodan i obećavajući mehanizam za čišćenje i prethodnu obradu podataka za upotrebu u statističkim i poslovnim aplikacijama, sistemima veštačke inteligencije itd.
5. Sistemi za prenos podataka i digitalna obrada signale. Zbog svoje visoke algoritamske efikasnosti i otpornosti na smetnje, talasna transformacija je moćan alat u oblastima gde su se tradicionalno koristile druge metode analize podataka, kao što je Fourierova transformacija. Mogućnost primjene već postojeće metode Obrada rezultata transformacije, kao i karakteristične karakteristike ponašanja talasne transformacije u vremensko-frekvencijskom domenu, mogu značajno proširiti i dopuniti mogućnosti ovakvih sistema.

I to nije sve!

Zaključak

Uprkos činjenici da je matematički aparat talasne analize dobro razvijen i da se teorija, uopšteno gledano, oblikovala, talasi ostavljaju ogromno polje za istraživanje. Dovoljno je reći da je odabir talasa koji je najpogodniji za analizu specifičnih podataka više umjetnost nego rutinska procedura. Osim toga, zadatak razvoja aplikacija pomoću talasne analize je od velike važnosti, kako u navedenim oblastima, tako i u mnogim drugim, koji se jednostavno ne mogu nabrojati.

Književnost

1. Daubechies I. Deset predavanja o talasima. Moskva, "RHD", 2001
2. Vorobjev V.I., Gribunin V.G. Teorija i praksa talasne transformacije. Sankt Peterburg, VUS, 1999
3. Mallat S. Teorija za multirezolucijsku dekompoziciju signala: talasna reprezentacija. IEEE Trans. Analiza uzoraka i mašinska inteligencija, 1989, N7, str.674-693.

Wavelets(iz engleskog. wavelet), rafali- ovo je matematičke funkcije omogućavajući analizu različitih frekvencijskih komponenti podataka. Wavelet koeficijenti su određeni integralnom transformacijom signala. Dobijeni talasni spektrogrami se fundamentalno razlikuju od konvencionalnih Fourierovih spektra po tome što daju jasno vezivanje spektra razne karakteristike signale vremenu.

Za obradu diskretni signali koristi se diskretna talasna transformacija (DWT, DWT).

Prvi DVP predložio je mađarski matematičar Alfred Haar. Za ulazni signal predstavljen nizom od 2 n brojeva, Haar wavelet transformacija jednostavno grupiše elemente po 2 i formira sume i razlike od njih. Zbroji se rekurzivno grupišu kako bi formirali sljedeći nivo proširenja. Kao rezultat, dobijamo 2 n −1 razliku i 1 ukupan iznos... Počećemo sa jednodimenzionalnim skupom podataka koji se sastoji od N elementi. U principu, ovi elementi mogu biti susjedni pikseli slike ili uzastopni zvučni ugrizi. Primjer bi bio niz brojeva (2,9,12,10,9,8,8,7). Prvo, izračunajmo četiri prosječne vrijednosti (slika 40)

Jasno je da poznavanje ove četiri poluzbire nije dovoljno za rekonstrukciju čitavog niza, pa ćemo ipak izračunati četiri polu-razlike

(2 - 9)/2 = - 4,5,

(12 - 10)/2 = 1,

(9 – 8)/2 = 0,5,

(8 – 7)/2 = 0,5,

koje ćemo nazvati koeficijenti detalja. Prosjeci se mogu smatrati rezolucijom velikih razmjera originalna slika, a detalji su potrebni za oporavak manjih detalja ili ispravki. Ako su originalni podaci u korelaciji, tada će rezolucija velikih razmjera ponoviti originalnu sliku, a detalji će biti mali.

Niz koji se sastoji od četiri polu-zbira i četiri polu-razlike može se koristiti za oporavak izvorni niz brojevi. Novi niz se također sastoji od osam brojeva, ali njegove posljednje četiri komponente, polu-razlike, imaju tendenciju da se smanjuju, što je dobro za kompresiju.

Ponovimo naš postupak za prve četiri (velike) komponente našeg novog niza. Oni se pretvaraju u dva prosjeka i dvije polu-razlike. Ostale četiri komponente ostavite nepromijenjene. Sljedeća i konačna iteracija našeg procesa pretvara prve dvije komponente ovog niza u jednu srednju vrijednost (koja je zapravo srednja vrijednost svih 8 elemenata u originalnom nizu) i jednu polovinu razlike.

Slika 3.18. Ilustracija kako radi jednodimenzionalna wavelet transformacija.

Kao rezultat, dobijamo niz brojeva pozvanih Haar wavelet transformacija originalni niz podataka.

Jednodimenzionalna Haar wavelet transformacija se lako prenosi na dvodimenzionalni slučaj. Standardna dekompozicija (slika 3.19) počinje izračunavanjem talasnih transformacija svih linija slike. Sve iteracije procesa se primjenjuju na svaki red sve dok krajnji lijevi element svake linije ne bude jednak prosječnoj vrijednosti brojeva ove linije, a svi ostali elementi jednaki ponderiranim razlikama. Dobićete sliku čija prva kolona sadrži prosek kolona originalne slike. Nakon toga standardni algoritam izvodi talasnu transformaciju na svakoj koloni. Rezultat je dvodimenzionalni niz sa elementom u gornjem lijevom kutu jednakim prosjeku cijelog originalnog niza. Preostali elementi gornja linijaće biti jednak ponderisanom prosjeku razlika, ispod su razlike prosjeka, a svi ostali pikseli se pretvaraju u odgovarajuće razlike.

Piramidalna dekompozicija izračunava wavelet transformaciju ponavljanjem redova i stupaca jedan po jedan. U prvom koraku izračunavaju se poluzbiri i polurazlike za sve redove (samo jedna iteracija, a ne cijela wavelet transformacija). Ova akcija proizvodi prosjek u lijevoj polovini matrice i pola razlike u desnoj polovini. U drugom koraku izračunavaju se poluzbiri i polurazlike za sve stupce rezultirajuće matrice.

Slika 3.19. Standardna 2D Wavelet Transform

Slika 3.20. Piramidalna 2D Wavelet Transform

Rezultat dvodimenzionalne wavelet transformacije je skup matrica koje odgovaraju različitim spektralnim komponentama originalne slike. Štaviše, na lijevoj strani gornji ugao pronađena je niskofrekventna komponenta LL4 (slika 3.21), koja je stvorena samo na osnovu poluzbira i redukovana je kopija originalne slike.

Slika 3.21. Komponente 2D Wavelet Transformacije

Ostale komponente transformacije mogu se koristiti za vraćanje originalne slike. U isto vrijeme, visokofrekventne komponente se dobro kompresuju korištenjem RLE i Huffman algoritama. Takođe treba napomenuti da je kod kompresije sa gubicima moguće koristiti i kvantizaciju, kao i direktno odbacivanje nekih komponenti. Rezultat takvih operacija je dobar omjer kompresije. Na sl. 3.22 prikazuje primjer kodiranja slike korištenjem wavelet transformacije.

Treba napomenuti da dvodimenzionalna wavelet transformacija zahtijeva značajne računske resurse kada se implementira sa konvencionalnim programske metode... Međutim, algoritam wavelet transformacije sastoji se od velikog broja jednostavnih transformacija koje se dobro podnose paralelizaciji. Kao rezultat toga, ova transformacija je dobro izvedena u hardveru koristeći specijaliziranu bazu elemenata.

Slika 3.22. Primjer wavelet transformacije slike.

Wavelet transformacija se koristi u standardu za kompresiju slike JPEG2000, a također je dostupna kao alat u MPEG-4 formatu.

Diskretne talasne transformacije.

6.3.3.1. Opće informacije o talasnim transformacijama.

Wavelet transformacija signala je generalizacija spektralna analiza, čiji je tipičan predstavnik klasična Fourierova transformacija.

Wavelet transformacija (WT) je klasifikovana na diskretnu (DWT) i kontinuiranu (CWT). DWT se koristi za transformaciju signala i kodiranje, CWT se koristi za analizu signala.

U talasnoj analizi, ulogu baznih funkcija igraju funkcije posebne vrste koje se nazivaju talasi. Izraz "wavelet" u prijevodu sa engleskog znači "mali (kratki) talas". Talasi su generalizovani naziv za porodice funkcija specifičnog oblika koje su lokalne po vremenu i frekvenciji, i u kojima se sve funkcije dobijaju iz jedne osnovne (generirajuće) funkcije pomoću njenih pomeranja i rastezanja duž vremenske ose.

Wavelet transformacije razmatraju analizirane vremenske funkcije u terminima oscilacija lokaliziranih u vremenu i frekvenciji.

Prepoznatljiva karakteristika wavelet analiza je da može koristiti porodicu funkcija koje implementiraju različite opcije za odnos nesigurnosti. Shodno tome, istraživač ima fleksibilan izbor između njih i upotrebe onih wavelet funkcija koje najefikasnije rješavaju postavljene zadatke.

Glavno područje primjene wavelet transformacija je analiza i obrada signala i funkcija koje su vremenski nestacionarne, pri čemu rezultati analize moraju sadržavati ne samo frekvencijsku karakteristiku signala (distribuciju energije signala po frekventnim komponentama), ali i informacije o lokalnim koordinatama na kojima se ove ili one manifestiraju.grupe frekvencijskih komponenti ili na kojima brze promjene frekvencijske komponente signala.

Na slici 3.1, analizirani signal se sastoji od dva modulirana deezijana. Morletova talasna transformacija jasno pokazuje njihovu prostornu i frekvencijsku lokalizaciju, dok Fourierov spektar daje samo frekvencijsku lokalizaciju.

Jedna od glavnih i posebno plodnih ideja vallet reprezentacije signala je podjela funkcija približavanja signalu u dvije grupe: aproksimirajuće - grube, s prilično sporom vremenskom dinamikom promjena, i detaljne - s lokalnom i brzom dinamikom promjena. na pozadini glatke dinamike, sa njihovom naknadnom fragmentacijom i detaljima na drugim nivoima dekompozicije signala. Ovo je moguće u vremenskom i frekvencijskom domenu talasne reprezentacije signala.

Crtanje

Slika 3.1 - wavelet transformacija signala

6.3.3.2. Osnovne funkcije talasnih transformacija.

Talasi imaju oblik kratkovalnih paketa sa nultim srednjim danom, lokalizirani duž ose argumenata, invarijantni na pomak i linearni prema operaciji skaliranja. U smislu lokalizacije u vremenu i frekvencijskoj reprezentaciji, talasi zauzimaju srednju poziciju između harmonijskih funkcija lokaliziranih u frekvenciji i Diracove funkcije, lokalizirane u vremenu.

Osnovna wavelet funkcija je neka vrsta "kratke" oscilacije. Štaviše, koncept frekvencije spektralne analize zamijenjen je skalom, a za preklapanje " kratkim talasima»Cijela vremenska os je pomaknuta funkcija u vremenu. Osnova talasa su temporalne funkcije tipa:

, (3.1)

gdje je b pomak;

a - skala.

Funkcija mora imati nultu površinu. Fourierova transformacija takvih funkcija jednaka je nuli na nultoj frekvenciji i ima oblik propusnog filtera. Različite vrijednosti parametra skale "a" odgovaraju skupu propusnih filtera. Porodice talasa u vremenskom ili frekventnom domenu koriste se za predstavljanje signala i funkcija kao superpozicije talasa na različitim nivoima razlaganja signala (dekompozicije).

Sljedeća funkcija

ne zavisi od parametara i. Vektor dat funkcijom ima konstantnu dužinu u prostoru:

.

U praksi se funkcija često koristi kao osnovna funkcija

zove meksički šešir.

6.3.3.3. Kontinuirana wavelet transformacija.

Neka postoji funkcija i neka funkcija - osnovna funkcija. Kontinuirana wavelet transformacija je opisana izrazom oblika:

. (3.2)

Ako je osnovna funkcija opisana izrazom:

,

tada je rezultat uobičajena Fourierova transformacija (u ovom slučaju parametar se ne koristi).

Da biste pokrili cijelu vremensku os prostora talasnom funkcijom, koristite operaciju pomaka (pomak duž vremenske ose): , gdje je vrijednost b za CWP kontinuirana. Za pokrivanje čitavog frekvencijskog raspona koristi se operacija vremenskog skaliranja talasa uz kontinuiranu promjenu nezavisne varijable: ... Dakle, pomeranjem duž nezavisne varijable (tb), talas ima mogućnost da se kreće duž cele numeričke ose proizvoljnog signala, a promenom varijable skale "a" (u fiksnoj tački (tb) ose) "pogledati" frekventni spektar signala u određenom intervalu u blizini ovih tačaka.

Dakle, kontinuirana wavelet transformacija je dekompozicija signala u smislu svih mogućih pomaka i kontrakcija / rastezanja neke lokalizirane konačne funkcije - talasa. U ovom slučaju varijabla "a" određuje skalu talasa i ekvivalentna je frekvenciji u Fourierovim transformacijama, a varijabla "b" je pomak talasa prema signalu od početne tačke u domeni njegove definicije, čija skala ponavlja vremensku skalu analiziranog signala.

Koncept skale IP ima analogiju sa skalom geografskih karata. Veće vrijednosti na skali odgovaraju globalnoj reprezentaciji signala, i niske vrijednosti skale vam omogućavaju da razlikujete detalje. U smislu frekvencije niske frekvencije odgovaraju globalnoj informaciji o signalu, a visoke frekvencije odgovaraju detaljne informacije i karakteristike koje su kratke po obimu, tj. skala talasa, kao jedinica vremensko-frekventne reprezentacije signala, je recipročna frekvencija. Scaling like matematička operacija, širi ili sužava signal. Vrijednosti velike skale odgovaraju proširenjima signala, a vrijednosti male skale odgovaraju komprimiranim verzijama. U talasnoj definiciji, faktor skale a stoji u nazivniku. odnosno a> 1 proširuje signal, a < 1 сжимает его.

6.3.3.4. Diskretna talasna transformacija.

U principu, prilikom obrade podataka na računaru, može se izvesti diskretizovana verzija kontinuirane talasne transformacije sa postavljanjem diskretnih vrednosti parametara (a, b) talasa sa proizvoljnim korakom a i b. Rezultat je višak koeficijenata, koji daleko premašuje broj uzoraka originalnog signala, koji nije potreban za rekonstrukciju signala.

Diskretna talasna transformacija (DWT) daje dovoljno informacija i za analizu i za sintezu signala, dok je ekonomična u smislu broja operacija i potrebne memorije. Vlaknaste ploče rade s diskretnim vrijednostima parametara a i b, koje se u pravilu postavljaju u obliku funkcija moći:

,

,

gdje ;

Cijeli brojevi;

Scale parameter;

Shift parametar.

Prostorna osnova u diskretnom predstavljanju:

Wavelet koeficijenti direktne transformacije:

. (3.5)

Vrijednost "a" može biti proizvoljna, ali se obično uzima jednakom 2, a transformacija se naziva dijadička wavelet transformacija... Za dijadnu transformaciju razvijen je brzi algoritam proračuna, sličan brzoj Fourierovoj transformaciji, što je predodredilo njegovu široku upotrebu u analizi digitalnih nizova podataka.

Inverzna diskretna transformacija za kontinuirani signali za normalizovanu ortogonalnu talasnu osnovu prostora:

. (3.6)

Broj korištenih talasa po faktoru m određuje nivo raspadanje signala, dok se nulti nivo (m = 0) obično uzima kao nivo maksimalne vremenske rezolucije signala, tj. sam signal i naredni nivoi (m< 0) образуют ниспадающее talasno drvo... V softver kalkulacije da se isključi upotreba negativne numeracije po m, znak minus se obično prenosi direktno na sledeći nastup osnovne funkcije:

6.3.3.5. Vremensko-frekvencijska lokalizacija talasne analize.

Pravi signali obično su konačne. Frekvencijski spektar signala obrnuto je proporcionalan njihovom trajanju. Shodno tome, dovoljno preciznu analizu niskofrekventnog signala treba provesti u velikim intervalima njegovog dodjeljivanja, a visokofrekventnu analizu u malim intervalima. Ako frekventni sastav signala pretrpi značajne promjene u intervalu njegovog dodjeljivanja, onda Fourierova transformacija daje samo prosječne podatke frekventnog sastava signala sa konstantnom frekvencijskom rezolucijom. Određena vremensko-frekventna lokalizacija analize stvara se djelovanjem prozorske Fourierove transformacije, koja daje familiju frekvencijskih spektra lokaliziranih u vremenu, ali unutar konstantne širine prozora funkcije prozora, a samim tim i sa konstantnom vrijednost frekvencijske i vremenske rezolucije.

Za razliku od prozorske Fourierove transformacije, talasna transformacija, sa sličnim diskretnim vrijednostima pomaka b, daje porodice spektra koeficijenata skale a kompresijsko istezanje:

. (3.8)

Ako pretpostavimo da svaki val ima određenu "širinu" svog vremenskog prozora, koji odgovara određenoj "prosječnoj" frekvenciji spektralne slike talasa, inverzno njegovom faktoru skale a, onda se porodice koeficijenata skale talasne transformacije mogu smatrati sličnima porodicama frekventnih spektra prozorske Fourierove transformacije, ali sa jednim fundamentalna razlika... Koeficijenti skale mijenjaju "širinu" talasa i, shodno tome, "prosječnu" frekvenciju njihovih Fourierovih transformacija, te stoga svaka frekvencija ima svoje trajanje vremenskog prozora analize, i obrnuto. Tako male vrijednosti parametra a, karakterišući brze komponente u signalima, odgovaraju visokim frekvencijama, i velike vrijednosti- niske frekvencije. Promjenom skale, talasići mogu otkriti razlike na različitim frekvencijama, a pomicanjem (parametar b) analizira svojstva signala u različitim tačkama tokom čitavog ispitivanog vremenskog intervala. Višedimenzionalni vremenski prozor talasne transformacije prilagođen je za optimalnu detekciju niskih frekvencija i visoke frekvencijske karakteristike signale.

Dakle, dalje visoke frekvencije bolja rezolucija u vremenu, a na niskoj frekvenciji. Za visokofrekventnu komponentu signala možemo preciznije označiti njen vremenski položaj, a za niskofrekventnu njenu frekvencijsku vrijednost.

Informacije visoke frekvencije (male skale) se izračunavaju na osnovu dugih signalnih intervala, a niske frekvencije na osnovu velikih. S obzirom da su analizirani signali uvijek konačni, onda se pri izračunavanju koeficijenata na granicama postavljanja signala područje važenja prelazi granice signala, a radi smanjenja greške u proračunu signal se dopunjuje postavljanjem početnih i konačnih uslova.

6.3.3.6. Prednosti i nedostaci talasne analize.

Prednosti talasne analize uključuju:

Wavelet transformacije imaju sve prednosti Fourierovih transformacija;

Talasne baze mogu biti dobro lokalizovane i po frekvenciji i po vremenu;

Kada se razlikuju dobro lokalizovani procesi različite skale u signalima, mogu se uzeti u obzir samo oni nivoi dekompozicije koji su od interesa;

Talasne baze, za razliku od Fourierove transformacije, imaju mnogo različitih osnovnih funkcija, čija su svojstva usmjerena na rješavanje različitih problema.

Nedostatak wavelet transformacija je njihova relativna složenost.

6.3.3.7. Svojstva Wavelet analize.

Dobijanje objektivnih informacija o signalu zasniva se na svojstvima talasne transformacije, koja su zajednička za sve vrste talasa. Razmotrimo glavna od ovih svojstava. Za označavanje operacije talasne transformacije proizvoljnih funkcija x (t), koristit ćemo indeks TW.

Linearnost.

TW [α · x 1 (t) + β · x 2 (t)] = α · TW + β · TW.

Invarijantnost smicanja. Pomak signala u vremenu za t 0 dovodi do pomaka talasnog spektra također za t 0:

TW = X (a, b-t o).

Invarijantnost skaliranja. Rastezanje (kompresija) signala dovodi do kompresije (istezanja) talasnog spektra signala:

TW = (1 / a o) X (a / a o, b / a o).

Diferencijacija.

D n (TW) / dt n = TW.

TW = (-1) n x (t) dt.

Nije bitno da li je funkcija diferencirana ili analizirani talas. Ako je talasni talas dat formulom, onda to može biti vrlo korisno za otpuštanje signala. Moguće je analizirati karakteristike visokog reda ili male varijacije signala x (t) zanemarujući velike polinomske komponente (trend i regionalnu pozadinu) razlikovanjem potrebnog broja puta bilo talasa ili samog signala. Ovo svojstvo je posebno korisno kada je signal specificiran diskretnim nizom.

Analog Parsevalove teoreme za ortogonalne i biortogonalne talase.

X 1 (t) x 2 * (t) = X ψ -1 a -2 X (a, b) X * (a, b) da db.

Otuda slijedi da se energija signala može izračunati preko koeficijenata talasne transformacije.

Osnove digitalne obrade signala: tutorial/ Yu.A. Bryuhanov, A.A. Priorov, V.I. Dzhigan, V.V. Hrjaščov; Yarros. Država un-t njima. P.G. Demidov. - Jaroslavlj: YarSU, 2013.-- 344 str. (str. 270)

12.3 Algoritam transformacije diskretnog talasa

Kako bismo konstruirali algoritam diskretne wavelet transformacije, uvodimo neke linearne transformacije. Prije svega, označimo za sve zbir brojeva po modulu s kako slijedi:, a također pretpostavimo da postoji neki vektor u kojem sčak. Zatim stavljamo uvedene transformacije u obliku:

,

za sve . Očigledno, ovi izrazi su analozi visokopropusnih i niskopropusnih filtera (12.1), (12.2), uzimajući u obzir periodičnu dopunu podataka korištenjem modulo sumiranja. Jasno je da transformacije vrše podelu originalnog vektora dužinom s u dva vektora polovične dužine.

Dakle, algoritam wavelet transformacije se svodi na implementaciju iterativne procedure - i - transformacije primijenjene na vektor. Rezultat takvih transformacija su vektori , koeficijenti aproksimacije i detalja.

Drugim riječima, rekurzivno ovaj algoritam kao što slijedi:

,

(12.12)

.

(12.13)

Imajte na umu da su uvedene oznake za koeficijente proširenja vrlo slične oznakama koeficijenata, dok su rekurzije (12.12), (12.13) vrlo slične kaskadnom algoritmu. Stvar je u tome da je konstrukcija algoritma diskretne transformacije u potpunosti zasnovana na teoriji diskretne transformacije na bazi talasnih funkcija (vidi prethodni odeljak). Glavna razlika ovdje je činjenica da u statističkim aplikacijama koeficijenti samo približno odgovaraju koeficijentima ekspanzije.

Imajte na umu da se rekurzije (12.12), (12.13) mogu uspješno primijeniti na izračunavanje koeficijenata aproksimacije i detaljiranja i za slučajeve: činjenica je da su proširene sekvence periodične, a

,

.

Algoritam inverzne transformacije diskete svodi se na implementaciju izraza (12.11) takođe pod uslovom periodizacije podataka. Algoritam počinje vraćanjem vektora

,

i nastavlja se dok se vektor ne vrati dok ne postane. U ovom slučaju, rekurzivni izraz za oporavak podataka je:

12.4 Statistička diskretna talasna analiza

Particioniranje podataka

Dakle, izračunavanje talasnih procena je zasnovano na diskretnoj talasnoj transformaciji opisanoj gore. Kao što se pokazalo, takva analiza podrazumijeva rad sa podacima čija je dužina jednaka gdje TO- neka cela. Međutim, u praksi se vrlo često pokaže da dužina proučavanih podataka nije jednaka potenciji broja 2, zbog čega je potrebno takve podatke zategnuti na ekvidistantnu mrežu s brojem čvorova. Prethodno je tačno kako za probleme procene gustine distribucije tako i za probleme izglađivanja regresijskih podataka.

Postupci podjele podataka za procjenu gustine i regresiona analiza uveden u paragrafima 10.2, 10.8, respektivno. V ovo mjesto raspravlja se o uticaju takve podjele na kvalitet sintetiziranih procjena. Primjeri korišteni za razmatranje efekta preuzeti su iz Ch. 10, sl. 10.1 - 10.11.

Za podatke o dužini uzete kao primjer, istražuje se učinak podjele na intervale tačaka. Integralne srednje kvadratne greške konstruisanja procjena prikazane su u tabeli 12.1.

Tabela 12.1

Integralne srednje kvadratne greške

za razdvojene intervale različite dužine

m	S8 hard	S8 soft	H teško	H soft

Kao što se vidi iz tabele, integralna standardna devijacija dostiže svoj minimum pri. Grafikon ove greške je prikazan na Sl. 12.1.

Unatoč činjenici da je za takve procjene moguće odrediti optimalna veličina intervala, treba biti veoma oprezan u njegovoj statističkoj interpretaciji. Poenta je da je dijeljenje podataka na intervale neka vrsta preliminarnog izglađivanja, koje se u teoriji često ne uzima u obzir. Očigledno, sa povećanjem broja particionih intervala, gubi se većina računske efikasnosti. brzi algoritam... Tačke koje prikazuju RMS vrijednosti na Sl. 12.1 predstavljaju kompromis između brzine izračunavanja procjene i kvaliteta prethodnog izglađivanja.

Približna konstrukcija talasnih procjena

Algoritam za implementaciju diskretne wavelet transformacije za potrebe konstruisanja statističkih procjena (12.6) - (12.8) je sljedeći:

Integralna standardna devijacija izgrađena za simelet S8

Hajde da na ovom mestu damo nekoliko napomena o gore navedenom algoritmu. Prvo, definicija diskretne transformacije podrazumijeva korištenje podataka koji se periodično dopunjuju u svakom koraku algoritma. Drugim riječima, podaci su rezultat dijadnog zbrajanja, u kojem se izvorni podaci periodično dopunjuju Z na način da za.

Drugo, kao što je ranije naglašeno, vrhunski nivo dekompozicija nije uključena u predstavljeni algoritam: u praksi se pretpostavlja, a procedure praga se primenjuju na koeficijente dekompozicije svih nivoa osim nivoa K koji sadrži samo aproksimacijske koeficijente. Međutim, ako se pretpostavi da se isključuju koeficijenti ekspanzije najviših nivoa, kao što je učinjeno u primjeru sa linearnom procjenom talasa, definicija (12.6) se dopunjava uvjetom:

.

Slično (12.3) akcije 1 - 3 algoritma mogu se predstaviti u matričnom obliku. U tu svrhu, vektor podataka koji se proučavaju označava se sa ... Tada će direktna transformacija poprimiti oblik:

,

(12.17)

u kojem je operator dimenzije. Lako je to pokazati ovog operatera je ortogonalna jer sadrži proizvode konačnog broja ortogonalnih matričnih operatora koji odgovaraju različitim koracima Mallovog algoritma.

Neka operator označi proceduru trasholdinga vektora:

dok operater reverzna transformacija-, ili na osnovu ortogonalnosti. Posljedično, rezultat uzastopne primjene akcija 1 - 3, izražen vektorom , može se dobiti na sljedeći način:

U slučaju da je problem koji treba riješiti konstrukcija linearne vallet procjene i nivo se uzima kao nivo, trasholding se svodi na transformaciju identiteta, koja u konačnici obezbjeđuje. Stvar je u tome da je očuvanje koeficijenata ekspanzije na svakom od nivoa u u ovom slučaju omogućava konačnu procjenu samo ponavljanje originalnih podataka.

Dalje, algoritam predstavljen koracima 1 - 3 je opšte pravilo konstruisanje talasnih procjena. Imajte na umu da je ovaj algoritam brži od FFT-a, jer zahtijeva samo operacije. Općenito govoreći, algoritam vam omogućava da izgradite aproksimaciju podataka umjesto njihove procjene. Izuzetak ovdje je dekompozicija podataka na Haarovu osnovu. nažalost, data činjenica nije diskutovano u literaturi.

Hajde da se zadržimo na tome ovaj problem detaljnije. U tu svrhu razmotrite linearnu procjenu, postavku za bilo koji i k... Pretpostavimo i da originalni podaci zadovoljavaju zahtjev:

.

(12.18)

Poznato je da rekurzije (12.9), (12.10) omogućavaju izračunavanje procjena koeficijenata, dok su izrazi za rekurziju (12.12), (12.13) približno isti koeficijenti pod pretpostavkom da su početni podaci za rekurziju apsolutno isto. Međutim, ako je zahtjev (12.18) zadovoljen, početni podaci za (12.12), (12.13) u koraku 3 algoritma postaju različiti od analognih podataka rekurzije unazad (12.9), (12.10) za neki faktor. Posljedično, linearnost algoritma podrazumijeva potrebu za uvođenjem amandmana u direktnu transformaciju:

,

Štaviše, glavni izraz za direktnu transformaciju je izmijenjen:

,

(12.19)

a operator ima oblik:

Kombinujući izraze (12.17) i (12.19), možemo to sada napisati

Wavelet transformacija - transformacija slična Fourierovoj transformaciji (ili mnogo više prozorskoj Fourier transformaciji) s potpuno drugačijom funkcijom evaluacije. Glavna razlika je u sljedećem: Fourierova transformacija razlaže signal na komponente u obliku sinusa i kosinusa, tj. funkcije lokalizirane u Fourierovom prostoru; naprotiv, wavelet transformacija koristi funkcije lokalizirane i u realnom i u Fourierovom prostoru. Općenito, talasna transformacija se može izraziti sljedećom jednadžbom:

gdje je * simbol kompleksne konjugacije i funkcije ψ - neka funkcija. Funkcija se može birati proizvoljno, ali mora zadovoljiti određena pravila.

Kao što vidite, wavelet transformacija je zapravo beskonačan skup razne transformacije ovisno o funkciji bodovanja koja se koristi za izračunavanje. Ovo je glavni razlog zašto se ovaj termin « talasna transformacija» koristi se u vrlo različitim situacijama i za različite primjene. Također postoje mnoge vrste klasifikacije opcija wavelet transformacije. Ovdje prikazujemo samo podjelu na osnovu ortogonalnosti talasa. Može biti korišteno ortogonalni talasi za diskretnu talasnu transformaciju i neortogonalni talasi za kontinuirano. Ove dvije vrste transformacija imaju sljedeća svojstva:

1. Diskretna talasna transformacija vraća vektor podataka iste dužine kao i ulaz. Obično, čak i u ovom vektoru, veliki broj podataka je skoro nula. Ovo je u skladu s činjenicom da se razlaže u skup talasa (funkcija) koji su ortogonalni na njihovu paralelnu translaciju i skaliranje. Stoga, mi dekomponujemo sličan signal na iste ili manje koeficijenata talasnog spektra kao broj točaka podataka signala. Takav talasni spektar je vrlo dobar za obradu i kompresiju signala, na primjer, jer ovdje ne primamo suvišne informacije.
2. Nasuprot tome, kontinuirana wavelet transformacija vraća niz za jednu dimenziju više od ulaza. Za jednodimenzionalne podatke dobijamo sliku vremensko-frekventne ravni. Lako možete pratiti promjenu frekvencije signala tokom njegovog trajanja i uporediti ovaj spektar sa spektrima drugih signala. Budući da koristi neortogonalni skup talasa, podaci su visoko korelirani i vrlo redundantni. Ovo pomaže da se rezultat vidi u bližoj ljudskoj percepciji.

Više detalja o wavelet transformaciji dostupno je na hiljadama wavelet internet izvora na webu, ili, na primjer, ovdje.

Obe ove transformacije su implementirane u Gwyddion biblioteci za obradu podataka, a moduli koji koriste talasnu transformaciju dostupni su u meniju Obrada podataka → Integralne transformacije.

Diskretna talasna transformacija

Diskretna Wavelet Transform (DWT) je implementacija talasne transformacije koristeći diskretni skup talasnih skala i translacija koji se pridržavaju određenih specifičnih pravila. Drugim riječima, ova transformacija razlaže signal u međusobno ortogonalni skup talasa, što je glavna razlika od kontinuirane talasne transformacije (CWT), ili njene implementacije za diskretne vremenske serije, koja se ponekad naziva kontinuirana diskretna vremenska talasna transformacija (DT-CWT ).

Talas se može konstruirati iz funkcije skaliranja koja opisuje njegova svojstva skalabilnosti. Ograničenje je da funkcija skale mora biti ortogonalna na svoje diskretne transformacije, što implicira neka matematička ograničenja na njih, koja se svuda pominju, tj. jednačina homotetije

gdje S- faktor skale (obično se bira kao 2). Štaviše, površina ispod funkcije mora biti normalizirana i funkcija skaliranja mora biti ortogonalna na njene numeričke translacije, tj.

Nakon uvođenja nekih dodatni uslovi(pošto gornja ograničenja ne rezultiraju jedino rešenje) možemo dobiti rezultat svih ovih jednačina, tj. konačan skup koeficijenata a k koji definiraju funkciju skaliranja kao i talas. Talas se dobija iz funkcije skaliranja kao N gdje N- paran cijeli broj. Tada se formira skup talasa ortonormalna osnova koje koristimo za dekomponovanje signala. Treba napomenuti da obično samo nekoliko koeficijenata a k biće različit od nule, što pojednostavljuje proračune.

Sljedeća slika prikazuje neke funkcije skaliranja i talase. Najpoznatija porodica ortonormalizovanih talasa je porodica Daubechies. Njegovi talasi se obično označavaju brojem koeficijenata koji nisu nula a k tako da obično govorimo o talasima Daubechies 4, Daubechies 6, itd. Grubo govoreći, sa povećanjem broja talasnih koeficijenata, funkcije postaju glatkije. Ovo se jasno vidi kada se uporede Daubechies 4 i 20 talasi predstavljeni u nastavku. Još jedan od spomenutih talasa je najjednostavniji Haar wavelet koji koristi pravougaoni puls kao funkcija skaliranja.

Haarova funkcija skaliranja i talas (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno).

Daubechies 4 funkcija skaliranja i talas (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno).

Daubechies 20 funkcija skaliranja i talas (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno).

Postoji nekoliko tipova implementacije algoritma diskretne talasne transformacije. Najstariji i najpoznatiji je Malla (piramidalni) algoritam. U ovom algoritmu, dva filtera - zaglađivanje i ne-izglađivanje - sastavljena su od talasnih koeficijenata i ovi filteri se rekurzivno primjenjuju da bi se dobili podaci za sve dostupne skale. Ako se koristi kompletan skup podataka D = 2 N a dužina signala je L, podaci se prvo izračunavaju D / 2 za razmjer L / 2 N - 1, zatim podaci ( D / 2) / 2 za razmjer L / 2 N - 2, ... dok na kraju ne budu 2 podatka za skalu L / 2... Rezultat ovog algoritma će biti niz iste dužine kao i ulaz, gdje se podaci obično sortiraju od najviše velikih razmjera do najmanjih.

Gwyddion koristi piramidalni algoritam za izračunavanje diskretne wavelet transformacije. Diskretna talasna transformacija u 2D prostoru dostupna je u DWT modulu.

Diskretna talasna transformacija može se koristiti za jednostavne i brzo uklanjanješum od šumnog signala. Samo ako uzmemo ograničen broj Najveći spektralni koeficijenti diskretne wavelet transformacije, a izvršimo inverznu wavelet transformaciju (sa istom osnovom), možemo dobiti signal manje-više očišćen od šuma. Postoji nekoliko načina da odaberete koeficijente koji će se sačuvati. Gwyddion implementira univerzalni prag, adaptivni prag i prilagodljivi prag i prostor. Da bismo odredili prag u ovim metodama, prvo odredimo procjenu varijance buke datu pomoću

gdje Y ij odgovara svim koeficijentima u najvišem podopsegu skale dekompozicije (gdje se očekuje da će biti prisutna većina šuma). Ili se varijansa šuma može dobiti na nezavisan način, na primjer, kao varijansa AFM signala kada skeniranje nije u toku. Za najviši podopseg frekvencija (univerzalni prag) ili za svaki podopseg (za prag koji se prilagođava skali) ili za okruženje svakog piksela u podopsegu (za prag prilagođen skali i prostoru) , varijansa se izračunava kao

Vrijednost praga se u konačnom obliku smatra kao

Kada je poznat prag za datu skalu, možemo ukloniti sve koeficijente manje od vrijednosti praga (tvrdi prag) ili možemo smanjiti apsolutnu vrijednost ovih koeficijenata za vrijednost praga (meki prag).

DWT Noise Removal je dostupan u meniju Obrada podataka → Integralne transformacije→ Ukloni DWT šum.

Kontinuirana wavelet transformacija

Continuous Wavelet Transform (CWT) je implementacija talasne transformacije koristeći proizvoljne skale i gotovo proizvoljne talase. Korišteni talasi nisu ortogonalni i podaci dobijeni tokom ove transformacije su u velikoj korelaciji. Za diskretne vremenske sekvence, možete koristiti i ovu transformaciju, uz ograničenje da najmanji talasni prijevodi moraju biti jednaki uzorkovanju podataka. Ovo se ponekad naziva diskretna vremenska kontinualna talasna transformacija (DT-CWT) i najčešće je korišćena metoda za izračunavanje CWT u realnim aplikacijama.

U principu, kontinuirana wavelet transformacija radi direktno koristeći definiciju wavelet transformacije, tj. izračunavamo konvoluciju skaliranog talasnog signala. Za svaku skalu dobijamo na ovaj način skup iste dužine N kao ulazni signal. Koristeći M proizvoljno odabrane skale dobijamo polje N × M koji direktno predstavlja vremensko-frekvencijsku ravan. Algoritam koji se koristi za ovaj proračun može biti ili naprijed konvolucija ili konvolucija kroz Fourierovo množenje (ovo se ponekad naziva brza talasna transformacija).

Izbor talasa za upotrebu u vremensko-frekvencijskoj dekompoziciji je najvažnija stvar. Ovim izborom možemo uticati na rezoluciju rezultata u vremenu i frekvenciji.Na ovaj način je nemoguće promijeniti osnovne karakteristike wavelet transformacije (niske frekvencije imaju dobru frekvencijsku rezoluciju i lošu vremensku rezoluciju; visoke frekvencije imaju lošu frekvenciju rezoluciju i dobru vremensku rezoluciju), ali možete malo povećati ukupnu frekvenciju ili vremensku rezoluciju. Ovo je direktno proporcionalno širini korištenog talasa u realnom i Fourierovom prostoru. Ako, na primjer, koristimo Morletov talas (pravi dio je raspadajuća kosinusna funkcija), onda možemo očekivati visoka rezolucija u frekvencijama, budući da je takav talas vrlo dobro lokaliziran po frekvenciji. naprotiv, korištenjem Derivative Gaussian (DOG) talasa dobijamo dobru lokalizaciju u vremenu, ali lošu u frekvenciji.

Kontinuirana wavelet transformacija je implementirana u CWT modulu, koji je dostupan u meniju Obrada podataka → Integralne transformacije→ CWT.

Izvori od

A. Bultheel: Bull. Belg. Math. Soc.: (1995) 2

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Obrada slike, (2000) 9 str. 1532

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Obrada slika, (2000) 9 str. 1522