Digitalni filteri (predavanje)
Prema vrsti impulsnog odziva, digitalni filteri se dijele u dvije velike klase:
· Filteri sa konačnim impulsnim odzivom (FIR - filteri, transverzalni filteri, nerekurzivni filteri). Nazivnik prijenosne funkcije takvih filtara je određena konstanta.
FIR - filteri se karakterišu izrazom:
· Filteri sa beskonačnim impulsnim odzivom (IIR - filteri, rekurzivni filteri) koriste jedan ili više svojih izlaza kao ulaz, odnosno formiraju povratnu vezu. Glavno svojstvo ovakvih filtara je da njihov impulsni prolazni odziv ima beskonačnu dužinu u vremenskoj domeni, a prijenosna funkcija ima frakcioni racionalni oblik.
IIR - filteri se karakterišu izrazom:
Razlika između FIR filtara i IIR filtara je u tome što za FIR filtere izlazni odziv ovisi o ulaznim signalima, dok za IIR filtere izlazni odziv ovisi o trenutnoj vrijednosti.
Impulsni odgovor Je reakcija kola na jedan signal.
Ebinarni signal
Dakle, jedan signal samo u jednoj tački jednak je jedinici - u početnoj tački.
Pritvorenik ebinarni signal definira se kako slijedi:
Dakle, odgođeni pojedinačni signal je odgođen za k perioda uzorkovanja.
Signali i spektri
Dualnost (dvostrukost) prezentacije signala.
Svi signali mogu biti predstavljeni u vremenskoj ili frekvencijskoj ravni.
Štaviše, postoji nekoliko frekvencijskih ravni.
Vremenski plan.
Transformacije.
Frekvencijska ravan.
Za pregled signala u vremenskoj ravni postoji uređaj:
Zamislimo da postoji prilično dugačak sinusoidni signal (za 1 sek. 1000 puta se sinusoida ponovila):
Uzmimo signal sa frekvencijom dvostruko većom:
Dodajmo ove signale. Dobijamo ne sinusoidu, već izobličeni signal:
Transformacije iz vremenske ravni u frekvencijsku ravan se izvode pomoću Fourierovih transformacija.
Za gledanje signala u frekvencijskoj ravni postoji uređaj:
Ciklična ili kružna frekvencija ( f).
Frekvencijska ravan će pokazati serif:
Vrijednost presjeka je proporcionalna amplitudi sinusoida, a frekvencija je:
Za drugi talasni oblik, domen frekvencije će pokazati drugačiji presek:
Dva zareza će se pojaviti u vremenskoj domeni sumiranog signala:
Oba prikaza signala su ekvivalentna i koriste ili prvu ili drugu reprezentaciju, koja god je pogodnija.
Transformacije iz vremenske ravni u ravan frekvencije mogu se izvršiti na različite načine. Na primjer: korištenjem Laplaceovih transformacija ili korištenjem Fourierovih transformacija.
Tri oblika pisanja Fourierovih serija.
Postoje tri oblika pisanja Fourierovih serija:
· Sinus - kosinus oblik.
· Prava forma.
· Složena forma.
1.) U sinusnom - kosinusnom obliku Fourierov red je:
Višekratnici frekvencije uključeni u formulu kω 1 su pozvani harmonike; harmonici su numerisani prema indeksu k; frekvencija ωk =kω 1 se zove k-ti harmonik signala.
Ovaj izraz kaže sljedeće: da se svaka periodična funkcija može predstaviti kao zbir harmonika, gdje je:
T- period ponavljanja ove funkcije;
ω - kružna frekvencija.
, gdje
t- trenutno vrijeme;
T- tačka.
U Fourierovoj ekspanziji, najvažnija stvar je periodičnost. Zbog toga dolazi do uzorkovanja u frekvenciji, počinje određeni broj harmonika.
Da bi se ustanovila mogućnost trigonometrijske dekompozicije za datu periodičnu funkciju, mora se poći od određenog skupa koeficijenata. Uređaj za njihovo određivanje izumio je Ojler u drugoj polovini 18. veka, a nezavisno Fourier početkom 19. veka.
Ojlerove tri formule za određivanje koeficijenata:
; 
; 
Ojlerovim formulama nije potreban nikakav dokaz. Ove formule su tačne za beskonačan broj harmonika. Fourierov niz je skraćeni niz, jer ne postoji beskonačan broj harmonika. Koeficijent skraćene serije izračunava se po istim formulama kao i za punu seriju. U ovom slučaju, srednja kvadratna greška je minimalna.
Snaga harmonika opada sa povećanjem njihovog broja. Ako dodate/uklonite neke harmonijske komponente, tada nije potrebno ponovno izračunavanje ostalih termina (ostalih harmonika).
Gotovo sve funkcije su neparne ili parne:
ČAK I FUNKCIJA
ODD FUNCTION
Karakterizira ga jednačina:
Na primjer, funkcija Cos:
gdje je: t = −t
Parna funkcija je simetrična u odnosu na
osa ordinata.
Ako je funkcija parna, onda su svi koeficijenti sinusa bk kosinus uslovi.
Karakterizira ga jednačina:
Na primjer, funkcija Sin:
Neparna funkcija je simetrična u odnosu na centar.
Ako je funkcija neparna, onda su svi kosinusni koeficijenti ak biće jednak nuli i samo sinus uslovi.
2.) Prava forma zapisi Fourierove serije.
Neka neugodnost sinus-kosinusnog oblika Fourierovog reda je da za svaku vrijednost indeksa sumiranja k(tj. za svaki harmonik sa frekvencijom kω 1) postoje dva člana u formuli - sinus i kosinus. Koristeći formule trigonometrijskih transformacija, zbir ova dva člana može se transformirati u kosinus iste frekvencije s različitom amplitudom i nekom početnom fazom:
, gdje
;
Ako S(t) je parna funkcija, faze φ može uzeti samo vrijednosti 0 i π , i ako S(t) je neparna funkcija, zatim moguće vrijednosti za fazu φ su jednaki + π /2.
Ako bk= 0, tada tg φ = 0 i ugao φ = 0
Ako ak= 0, tada tg φ - beskonačan i ugao φ =
U ovoj formuli može biti minus (ovisno o tome u kom smjeru se ide).
3.) Složena forma zapisi Fourierove serije.
Ovaj oblik predstavljanja Fourierove serije je možda najčešće korišten u radiotehnici. Dobiva se iz realnog oblika predstavljanjem kosinusa kao poluzbira kompleksnih eksponencijala (takva reprezentacija slijedi iz Eulerove formule ejθ = Cosθ + jSinθ):
Primjenjujući ovu transformaciju na realni oblik Fourierovog reda, dobijamo zbrojeve kompleksnih eksponenata sa pozitivnim i negativnim eksponentima:
A sada ćemo tretirati eksponente sa predznakom minus u eksponentu kao članove niza sa negativnim brojevima. U okviru istog opšteg pristupa, stalni pojam a 0/2 će postati član broja nula. Rezultat je složen oblik pisanja Fourierovog niza:
Formula za izračunavanje kvota Ck Fourierov niz:
Ako S(t) je čak funkcija, koeficijenti serije Ck biće čist pravi, i ako S(t) - funkcija odd, koeficijenti serije ispadaju čisto imaginarni.
Često se naziva skup amplituda harmonika Fourierovog reda amplitudnog spektra, a ukupnost njihovih faza je fazni spektar.
Spektar amplituda je stvarni dio koeficijenata Ck Fourierov niz:
Re ( Ck) Je amplitudski spektar.
Spektar pravokutnih signala.
Razmotrimo signal u obliku niza pravokutnih impulsa s amplitudom A, trajanje τ i period ponavljanja T... Za vremensku referencu se uzima da se nalazi u sredini pulsa.
Ovaj signal je parna funkcija, stoga je za njegovo predstavljanje prikladnije koristiti sinus-kosinus formu Fourierovog reda - on će sadržavati samo kosinusne članove ak jednak:
Iz formule se vidi da trajanje impulsa i period njihovog ponavljanja nisu uključeni u nju zasebno, već isključivo u obliku omjera. Ovaj parametar - omjer perioda i trajanja impulsa - naziva se krug duznosti niz impulsa i označavaju se slovom: g: g = T/ τ. Ovaj parametar unosimo u dobijenu formulu za koeficijente Fourierovog reda, a zatim formulu dovodimo u oblik Sin (x) / x:
Bilješka: U stranoj literaturi, umjesto radnog ciklusa, koristi se recipročna vrijednost, koja se naziva radni ciklus i jednaka je τ / T.
Sa ovim oblikom zapisivanja postaje jasno vidljivo čemu je jednaka vrijednost konstantnog člana niza: budući da pri x→ 0 Sin ( x)/x→ 1, onda
Sada možete zapisati samu reprezentaciju niza pravokutnih impulsa u obliku Fourierove serije:
Amplitude harmonijskih članova serije zavise od harmonijskog broja prema Sin ( x)/x.
grijeh ( x)/x ima karakter latice. Govoreći o širini ovih latica, treba naglasiti da za grafove diskretnih spektra periodičnih signala postoje dvije mogućnosti gradacije horizontalne ose - u harmonijskim brojevima i u frekvencijama.
Na slici, gradacija ose odgovara brojevima harmonika, a frekvencijski parametri spektra su ucrtani na graf pomoću dimenzionalnih linija.
Dakle, širina režnjeva, mjerena brojem harmonika, jednaka je radnom ciklusu niza (na k = ng imamo Sin (π k /g) = 0 ako n≠ 0). Ovo implicira važno svojstvo spektra niza pravougaonih impulsa - nema harmonika (nula amplituda) sa brojevima koji su višekratnici radnog ciklusa.
Frekvencijska udaljenost između susjednih harmonika jednaka je brzini ponavljanja impulsa - 2 π /T... Širina režnjeva spektra, mjerena u frekvencijskim jedinicama, je 2 π /τ , odnosno obrnuto je proporcionalan trajanju impulsa. Ovo je manifestacija opšteg zakona - što je signal kraći, širi je njegov spektar.
Zaključak : za bilo koji signal su poznate njegove ekspanzije Fourierovog niza. Znajući τ i T možemo izračunati koliko je harmonika potrebno za prijenos snage.
Metode za analizu linearnih sistema sa konstantnim koeficijentima.
Problem u postavljanju:
Postoji linearni sistem (ne zavisi od amplitude signala):
COEFFS: DS b0, b1, b3
…………………
PORT_VVOD EQU Y: FFC0; definirati ulazne portove.
PORT_VIVOD EQU Y: FFC1; definirati izlazne portove.
ORG P: 0; organizacija P-memorije.
RESET: JMP START; bezuslovni skok na oznaku START.
P: 100; program će početi od stote ćelije.
POČETAK: MOVE BUF_X, R0; početna adresa X se upisuje u R0.
MOVE # ORDFIL─1, M0; trans. to mod. arit. (upiši. broj za 1 čovjeka. nego red. ovog tampon.)
MOVE # COEFFS, R4; organizacioni ciklus. puferi za koeficijente. u Y-memoriji.
MOVE # M0, M4; pošto dužina mora biti ista, onda je od M0 do M4.
CLRA; resetujte bateriju.
REP # ORDFIL; ponovite lančanu operaciju.
POKRET A, X: (R4) +; korišteno autoinkrement i sve ćelije su puferovane. resetovati na nulu.
PETLJA: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0); bajt. prijenos očitanja (posljednje pametno. do b0).
REP # ORDFIL─1; rep. lančani rad (pametno 39 puta bez zaokruživanja)
MAC X0, Y0, A X: (R0) +, X0 Y: (R4) +, Y0; pametno X0 na Y0, rez. in ak; prep. sl. opera.
MOVEP A, Y: PORT_VIVOD; sadržaj prijenosa bajtova baterija.
JMP LOOP; bezuslovni skok na oznaku LOOP.
Redoslijed projektovanja digitalnih filtera.
Redoslijed projektovanja digitalnih filtera prvenstveno se odnosi na tip filtera duž linije frekvencijskog odziva. Jedan od problema koji se često susreću u praksi je stvaranje filtera koji propuštaju signale u određenom frekvencijskom opsegu i odlažu ostale frekvencije. Postoje četiri vrste:
1.) Niskopropusni filteri (LPF; engleski izraz - low-pass filter), prolazne frekvencije manje od određene granične frekvencije ω 0.
2.) Visokopropusni filteri (HPF; engleski izraz - visokopropusni filter), prolazne frekvencije veće od određene granične frekvencije ω 0.
3.) Band-pass filteri (PF; engleski izraz - band-pass filter), prolazne frekvencije u određenom opsegu ω 1…. ω 2 (mogu imati i prosječnu frekvenciju ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).
4.) Notch filteri (drugi mogući nazivi - notch filter, filter-notch, band-stop filter; engleski izraz - band-stop filter), prolaz na izlaz sve frekvencija, Osim toga leži u određenom rasponu ω 1…. ω 2 (mogu se okarakterizirati i prosječnom frekvencijom ω 0 = (ω 1 + ω 2) / 2 i propusni opseg Δ ω = ω 2 – ω 1).
Idealan oblik frekvencijskog odziva ove četiri vrste filtera:
Međutim, takav idealan (pravougaoni) frekvencijski odziv ne može se fizički realizovati. Stoga je u teoriji analognih filtara razvijen niz metoda. aproksimacije pravokutni frekvencijski odziv.
Osim toga, nakon izračunavanja niskopropusnog filtera, možete promijeniti njegovu graničnu frekvenciju jednostavnim transformacijama, pretvoriti ga u visokopropusni filtar, propusni ili zarezni filter sa određenim parametrima. Stoga proračun analognog filtera počinje proračunom tzv prototip filtera, koji je niskopropusni filter sa graničnom frekvencijom od 1 rad/s.
1.) Butterworth filter:
Prijenosna funkcija Butterworthovog filtera nema nule, a njegovi polovi su ravnomjerno raspoređeni s-ravni u lijevoj polovini kruga jediničnog polumjera.
Za Butterworthov filter, granična frekvencija je određena nivoom 1 /. Butterworth filter pruža što ravnije vrh u propusnom pojasu.
2.) Čebišev filter prve vrste:
Prijenosna funkcija filtera Čebiševljevog tipa I također nema nule, a njegovi polovi se nalaze u lijevoj polovini elipse na s-avioni. Za Čebišev filtar prve vrste, granična frekvencija je određena nivoom talasanja u propusnom opsegu.
U poređenju sa Butterworthovim filterom istog reda, Chebyshev filter pruža strmiji pad frekvencijskog odziva u području prijelaza iz propusnog opsega u zaustavni pojas.
3.) Čebišev filter druge vrste:
Prijenosna funkcija filtera Čebiševljevog tipa II, za razliku od prethodnih slučajeva, ima i nule i polove. Čebiševljevi filteri druge vrste nazivaju se i inverznim Čebiševljevim filterima. Granična frekvencija drugog filtera Čebiševa nije kraj propusnog opsega, već stop band start... Koeficijent prenosa filtera na nultoj frekvenciji je jednak 1, na graničnoj frekvenciji je na datom nivou talasanja u zaustavnom pojasu. At ω → ∞, koeficijent prenosa je nula za neparan red filtera i nivo talasanja za paran. At ω = 0 Frekvencijski odziv Čebiševljevog filtera druge vrste je što je moguće ravniji.
4.) Eliptični filteri:
Eliptični filteri (Cauer filteri; engleski termini - elliptic filter, Cauer filter) na neki način kombinuju svojstva Čebiševljevih filtera prve i druge vrste, budući da frekvencijski odziv eliptičnog filtera ima talasanje zadate vrednosti, kako u propusni i zaustavni pojas. Zbog toga je moguće osigurati maksimalan mogući (sa fiksnim redoslijedom filtera) nagib frekventnog odziva, odnosno prijelaznu zonu između prolaznog i zaustavnog pojasa.
Prijenosna funkcija eliptičnog filtera ima i polove i nule. Nule, kao u slučaju Čebiševljevog filtera druge vrste, su čisto imaginarne i formiraju složene konjugirane parove. Broj nula funkcije prijenosa jednak je maksimalnom parnom broju koji ne prelazi redoslijed filtera.
MATLAB funkcije za izračunavanje Butterworth, Chebyshev filtera prve i druge vrste, kao i eliptičkih filtara, omogućavaju vam da izračunate i analogne i diskretne filtere. Funkcije proračuna filtera zahtijevaju specifikaciju reda filtera i njegovu graničnu frekvenciju kao ulazne parametre.
Redoslijed filtera ovisi o:
- od dozvoljene neravnine u propusnom opsegu od veličine zone nesigurnosti. (Što je manja zona nesigurnosti, to je strmiji pad frekvencijskog odziva.)
Za FIR filtere redoslijed je nekoliko desetina ili stotina, a za IIR filtere redoslijed ne prelazi nekoliko jedinica.
Piktogrami pružaju priliku da vidite sve koeficijente. Dizajn filtera se izvodi na jednom prozoru.
Često je matematički opis determinističkih signala, čak i jednostavnog u strukturi i obliku, težak zadatak. Stoga se koristi originalna tehnika u kojoj se stvarni kompleksni signali zamjenjuju (predstavljaju, aproksimiraju) skupom (ponderiranim sumom, tj. nizom) matematičkih modela opisanih elementarnim funkcijama. Ovo predstavlja važan alat za analizu prolaska električnih signala kroz elektronska kola. Osim toga, prezentacija signala se može koristiti kao početna u njegovom opisu i analizi. U ovom slučaju, inverzni problem se može značajno pojednostaviti - sinteza složeni signali iz skupa elementarnih funkcija.
Spektralni prikaz periodičnih signala Fourierovim redovima
Generalizirani Fourierov niz.
Osnovna ideja spektralne reprezentacije signala (funkcija) datira prije više od 200 godina i pripada fizičaru i matematičaru J. B. Fourieru.
Razmotrimo sistem elementarnih ortogonalnih funkcija, od kojih se svaka dobija iz jedne početne - prototipske funkcije. Ova funkcija prototipa igra ulogu "građevnog bloka", a tražena aproksimacija se nalazi odgovarajućim kombinovanjem identičnih blokova. Fourier je pokazao da se svaka kompleksna funkcija može predstaviti (aproksimirati) kao konačan ili beskonačan zbir niza višestrukih harmonijskih oscilacija sa određenim amplitudama, frekvencijama i početnim fazama. Ova funkcija može biti, posebno, struja ili napon u kolu. Sunčeva zraka, razložena prizmom u spektar boja, fizički je analog matematičkih Fourierovih transformacija (slika 2.7).
Svjetlost koja izlazi iz prizme podijeljena je u prostoru u zasebne čiste boje, odnosno frekvencije. Spektar ima prosječnu amplitudu na svakoj frekvenciji. Dakle, funkcija intenziteta u odnosu na vrijeme transformirana je u funkciju amplitude u odnosu na frekvenciju. Jednostavna ilustracija Fourierovog rezonovanja prikazana je na Sl. 2.8. Periodična kriva prilično složenog oblika (slika 2.8, a) - ovo je zbir dva harmonika različitih, ali višestrukih frekvencija: pojedinačne (slika 2.8, b) i udvostručen (slika 2.8, v).
Rice. 2.7.
Rice. 2.8.
a- složena ljuljačka; b, c- 1. i 2. aproksimacijski signali
Uz pomoć spektralne Fourierove analize, složena funkcija je predstavljena zbirom harmonika, od kojih svaki ima svoju frekvenciju, amplitudu i početnu fazu. Fourierova transformacija definira funkcije koje predstavljaju amplitudu i fazu harmonijskih komponenti koje odgovaraju određenoj frekvenciji, a faza je početna tačka sinusoida.
Transformacija se može dobiti pomoću dvije različite matematičke metode, od kojih se jedna koristi kada je originalna funkcija kontinuirana, a druga kada je data skupom odvojenih diskretnih vrijednosti.
Ako se proučavana funkcija dobije iz vrijednosti s određenim diskretnim intervalima, onda se može podijeliti u nizove sinusoidnih funkcija s diskretnim frekvencijama - od najniže, osnovne ili glavne frekvencije, a zatim s frekvencijama dva, tri puta, itd. iznad glavnog. Takav zbir komponenti se naziva pored Fouriera.
Ortogonalni signali. Pogodan način spektralnog opisa signala prema Fourieru je njegova analitička reprezentacija korištenjem sistema ortogonalnih elementarnih funkcija vremena. Neka postoji Hilbertov signalni prostor u 0 (t) y G/,(?), ..., u n (t) sa konačnom energijom, definisanom na konačnom ili beskonačnom vremenskom intervalu (t v 1 2). Na ovom segmentu definišemo beskonačan sistem (podskup) međusobno povezanih elementarnih funkcija vremena i nazivamo ga osnovni".
gdje r = 1, 2, 3,....
Funkcije u (t) i v (t) su ortogonalne na intervalu (?,? 2) ako je njihov skalarni proizvod, pod uslovom da nijedna od ovih funkcija ns nije identično nula.
U matematici je to dato u Hilbertovom prostoru signala ortogonalna koordinatna baza, tj. sistem ortogonalnih baznih funkcija.
Svojstvo ortogonalnosti funkcija (signala) povezano je sa intervalom njihovog određivanja (slika 2.9). Na primjer, dva harmonijska signala m, (?) = = Sin (2nr / 7'0) i u., (t)= greh (4 nt / T Q)(tj. sa frekvencijama / 0 = 1/7 '0 i 2/0, respektivno) su ortogonalne u bilo kojem vremenskom intervalu, čije je trajanje jednako cijelom broju poluperioda T 0(sl. 2.9, a). Dakle, u prvom periodu, signali i ((1) i u 2 (t) su ortogonalne na intervalu (0, 7 "0/2), ali na intervalu (O, ZG 0/4) nisu ortogonalne. Pa Slika 2.9, b signali su ortogonalni zbog razlike u vremenu njihovog pojavljivanja.
Rice. 2.9.
a- na intervalu; b - zbog razlike u vremenu pojavljivanja Prezentacija signala u (t) elementarni modeli se uvelike pojednostavljuju ako se odabere sistem baznih funkcija vff), posjedovanje imovine ortonormalnost. Iz matematike je poznato da li je za bilo koji par funkcija iz ortogonalnog sistema (2.7) uvjet
onda sistem funkcija (2.7) ortonormalno.
U matematici se takav sistem baznih funkcija oblika (2.7) naziva ortonormalna osnova.
Neka na datom vremenskom intervalu | r, t 2| proizvoljan signal aktivan u (t) a ortonormirani sistem funkcija (2.7) se koristi za njegovo predstavljanje. Dizajn proizvoljnog valnog oblika u (t) na osi koordinatne osnove se zove proširenje u generaliziranom Fourierovom redu. Ova ekspanzija ima formu
gdje su c, neki konstantni koeficijenti.
Odrediti koeficijente od do generalizovani Fourierov red, biramo jednu od osnovnih funkcija (2.7) v k (t) sa proizvoljan broj To. Obje strane ekspanzije (2.9) množimo ovom funkcijom i integriramo rezultat tokom vremena:
Zbog ortonormalnosti baze odabranih funkcija na desnoj strani ove jednakosti, svi članovi sume za i ^ Toće nestati. Samo jedini član zbira sa brojem i = za, Zbog toga
Proizvod forme c k v k (t), uključeno u generalizovani Fourierov red (2.9), je spektralna komponenta signal u (t), i skup koeficijenata (projekcije vektora signala na koordinatne ose) (s 0, s, ..., od do,..., sa „) u potpunosti definira analizirani signal ii (t) i nazvao ga spektra(od lat. spektra- slika).
Suština spektralna reprezentacija (analiza) signala se sastoji u određivanju koeficijenata sa i u skladu sa formulom (2.19).
Izbor racionalnog ortogonalnog sistema koordinatne osnove funkcija zavisi od svrhe istraživanja i određen je željom da se što više pojednostavi matematički aparat analize, transformacije i obrade podataka. Kao bazne funkcije trenutno se koriste polinomi Čebiševa, Ermita, Laguera, Legendrea itd. Najraširenija je transformacija signala u baze harmonijskih funkcija: kompleksna eksponencijalna exp (J 2lft) i realne trigonometrijske sinus-kosinusne funkcije povezane Ojlerovom formulom f> x= cosx + y "sinx. To je zbog činjenice da harmonijska oscilacija teoretski u potpunosti zadržava svoj oblik kada prolazi kroz linearna kola sa konstantnim parametrima, a mijenjaju se samo njena amplituda i početna faza. Simbolička metoda, dobro razvijena u teoriji kola, takođe se široko koristi Operacija predstavljanja determinističkih signala u obliku skupa konstantnih komponenti ( stalna komponenta) i obično se nazivaju sume harmonijskih vibracija sa više frekvencija spektralna dekompozicija. Prilično rasprostranjena upotreba generaliziranog Fourierovog reda u teoriji signala također je povezana s njegovim vrlo važnim svojstvom: za odabrani ortonormalni sistem funkcija v k (t) i fiksni broj članova u seriji (2.9), daje najbolju reprezentaciju datog signala u (t). Ovo svojstvo Fourierovog reda je nadaleko poznato.
U spektralnom predstavljanju signala, ortonormirane baze trigonometrijskih funkcija se najčešće koriste. To je zbog sljedećeg: harmonijske oscilacije se najlakše generiraju; harmonijski signali su invarijantni u odnosu na transformacije koje izvode stacionarna linearna električna kola.
Procijenimo vremensku i spektralnu reprezentaciju analognog signala (slika 2.10). Na sl. 2.10, a prikazuje vremenski dijagram kontinuiranog signala složenog oblika, a Sl. 2.10, b - njegovu spektralnu dekompoziciju.
Razmotrite spektralni prikaz periodičnih signala kao zbir ili harmonijskih funkcija ili kompleksnih eksponencijala sa frekvencijama koje formiraju aritmetičku progresiju.
Periodično pozovite signal i „(?). ponavljanje u redovnim intervalima (sl. 2.11):
gdje je G period ponavljanja ili ponavljanja impulsa; n = 0,1, 2,....
Rice. 2.11. Periodični signal
Ako T je period signala u (t), tada će periodi biti i njegovi višekratnici: 2G, 3 T itd. Periodični niz impulsa (tzv video impulsi) je opisan izrazom
Rice. 2.10.
a- vremenski dijagram; b- amplitudski spektar
Evo u Q (t)- oblik jednog impulsa, karakteriziran amplitudom (visinom) h = E, trajanje t „, period od T = 1 / F (F - frekvencija), položaj impulsa u vremenu u odnosu na tačke sata, na primjer t = 0.
Za spektralnu analizu periodičnih signala, ortogonalni sistem (2.7) je pogodan u obliku harmonijskih funkcija sa više frekvencija:
gdje je ω, = 2p / T- brzina ponavljanja pulsa.
Računajući integrale, koristeći formulu (2.8), lako je provjeriti ortogonalnost ovih funkcija na intervalu [-G / 2, G / 2 |. Bilo koja funkcija zadovoljava uslov periodičnosti (2.11), pošto su njihove frekvencije višestruke. Ako je sistem (2.12) zapisan kao
tada dobijamo ortonormalnu osnovu za harmonijske funkcije.
Zamislite periodični signal, najčešći u teoriji signala trigonometrijski(sinus kosinus) formu Fourierov niz:
Iz kursa matematike je poznato da ekspanzija (2.11) postoji, tj. niz konvergira ako funkcija (u ovom slučaju signal) u (t) na intervalu [-7/2, 7/2] zadovoljava Dirichletovi uslovi(za razliku od Dirichletove teoreme, oni se često tumače na pojednostavljen način):
- ne bi trebalo biti prekida 2. vrste (sa granama koje idu u beskonačnost);
- funkcija je ograničena i ima konačan broj diskontinuiteta 1. vrste (skokova);
- funkcija ima konačan broj ekstrema (tj. maksimuma i padova).
Formula (2.13) sadrži sljedeće komponente analiziranog signala:
Konstantna komponenta
Amplitude kosinusnih komponenti
Amplitude sinusoidnih komponenti
Spektralna komponenta sa frekvencijom ω, u teoriji komunikacija naziva se prvi (osnovni) harmonično, i komponente sa frekvencijama iso, (n> 1) - viši harmonici periodični signal. Korak frekvencije Aco između dvije susjedne sinusoide iz Fourierove ekspanzije naziva se frekvencijska rezolucija spektra.
Ako je signal parna funkcija vremena u (t) = u (-t), tada u trigonometrijskoj notaciji Fourierovog reda (2.13) nema sinusoidnih koeficijenata B n, pošto u skladu sa formulom (2.16) nestaju. Za signal u (t), opisano neparnom funkcijom vremena, naprotiv, prema formuli (2.15), kosinusni koeficijenti a n(konstantna komponenta a 0 takođe nema), a serija sadrži komponente B n.
Granice integracije (od -7/2 do 7/2) ne moraju biti iste kao u formulama (2.14) - (2.16). Integracija se može izvršiti u bilo kojem vremenskom intervalu 7 - rezultat se neće promijeniti. Specifična ograničenja su odabrana radi lakšeg računanja; na primjer, može biti lakše integrirati od 0 do 7 ili -7 do 0, i tako dalje.
Grana matematike koja uspostavlja odnos između funkcije vremena u (t) i spektralni koeficijenti a n, b n, su pozvani harmonska analiza zbog funkcije povezivanja u (t) sa sinusoidnim i kosinusnim članovima ove sume. Nadalje, spektralna analiza je uglavnom ograničena opsegom harmonijske analize, koja nalazi isključivu upotrebu.
Često upotreba sinus-kosinusnog oblika Fourierovog reda nije sasvim zgodna, jer za svaku vrijednost indeksa sumiranja P(tj. za svaki harmonik frekvencije mOj) u formuli (2.13) se pojavljuju dva člana - kosinus i sinus. Sa matematičke tačke gledišta, zgodnije je ovu formulu predstaviti kao ekvivalentni Fourierov red u pravi oblik /.
gdje A 0 = a 0 / 2; A n = yja 2 n + B - amplituda; n-ti harmonik signala. Ponekad se u odnosu (2.17) stavlja znak plus ispred cp A, tada se početna faza harmonika zapisuje kao cp i = -arctg ( b n fa n).
U teoriji signala, složeni oblik Fourierovog niza se široko koristi. Dobiva se iz realnog oblika niza predstavljanjem kosinusa u obliku poluzbira kompleksnih eksponencijala koristeći Ojlerovu formulu:
Primjenjujući ovu transformaciju na realni oblik Fourierovog reda (2.17), dobijamo zbrojeve kompleksnih eksponenata sa pozitivnim i negativnim eksponentima:
A sada ćemo tumačiti eksponencijale u formuli (2.19) na frekvenciji ω, sa predznakom minus u eksponentu kao članove niza sa negativnim brojevima. U okviru istog pristupa, koeficijent A 0će postati član serije sa brojem nula. Nakon jednostavnih transformacija dolazimo do toga integrisani oblik Fourierova serija
Kompleksna amplituda P th harmonic.
Vrijednosti C n pozitivnim i negativnim brojevima P su kompleksno konjugirani.
Imajte na umu da je Fourierov red (2.20) ansambl kompleksnih eksponencijala exp (jn (o (t) sa frekvencijama koje formiraju aritmetičku progresiju.
Definirajmo odnos između koeficijenata trigonometrijskog i kompleksnog oblika Fourierovog reda. Očigledno je da
Takođe se može pokazati da su koef a n= 2C w coscp „; b n = 2C / I sincp, f.
Ako u (t) je parna funkcija, koeficijenti serije C će biti pravi, i ako u (t) - funkcija je neparna, koeficijenti serije postaju imaginarni.
Spektralni prikaz periodičnog signala kompleksnim oblikom Fourierovog reda (2.20) sadrži i pozitivne i negativne frekvencije. Ali negativne frekvencije ne postoje u prirodi, i to je matematička apstrakcija (fizičko značenje negativne frekvencije je rotacija u suprotnom smjeru od onoga koji se uzima kao pozitivan). Pojavljuju se kao posljedica formalnog prikaza harmonijskih vibracija u složenom obliku. Prilikom prelaska sa složenog oblika zapisa (2.20) na realni oblik (2.17), negativna frekvencija nestaje.
O spektru signala se jasno sudi po njegovoj grafičkoj slici – spektralnom dijagramu (slika 2.12). Razlikovati amplituda-frekvencija i fazno-frekvencijski spektri. Skup harmonijskih amplituda A n(sl. 2.12, a) su pozvani amplitudnog spektra, njihove faze (slika 2.12, b) sri I - fazni spektar. Agregat C n = |C n je kompleksni amplitudski spektar(sl. 2.12, v). U spektralnim dijagramima, ose apscise prikazuju trenutnu frekvenciju, ali ordinatne ose predstavljaju ili stvarnu ili kompleksnu amplitudu ili fazu odgovarajućih harmonijskih komponenti analiziranog signala.
Rice. 2.12.
a - amplituda; b - faza; v - amplitudski spektar kompleksnog Fourierovog niza
Spektar periodičnog signala se naziva vladao ili diskretno, budući da se sastoji od zasebnih linija čija je visina jednaka amplitudi A n harmonike. Od svih vrsta spektra, amplitudski spektar je najinformativniji, jer omogućava procjenu kvantitativnog sadržaja određenih harmonika u frekvencijskom sastavu signala. U teoriji signala, dokazano je da je amplitudski spektar funkcija ravnomjerne frekvencije, i faza - odd.
Bilješka ekvidistanca(ekvidistanca od početka) kompleksnog spektra periodičnih signala: simetrične (pozitivne i negativne) frekvencije, na kojima se nalaze spektralni koeficijenti trigonometrijskog Fourierovog reda, čine ekvidistantni niz (..., -jo v..., -2co p -co p 0, v 2co, ..., ncov...) koji sadrži frekvenciju co = 0 i ima korak co t = 2n / 7 '. Koeficijenti mogu imati bilo koju vrijednost.
Primjer 2.1
Izračunajmo amplitudni i fazni spektar periodičnog niza pravokutnih impulsa s amplitudom β, trajanjem τ i periodom ponavljanja T. Signal - parna funkcija (slika 2.13).
Rice. 2.13.
Rješenje
Poznato je da se idealni pravougaoni video puls opisuje sljedećom jednadžbom:
one. formira se kao razlika između dvije jedinične funkcije a (?) (inkluzivne funkcije), pomjerene u vremenu za tzv.
Vlak pravougaonog talasa je poznati zbir pojedinačnih impulsa:
Pošto je dati signal parna funkcija vremena i tokom jednog perioda djeluje samo na interval [t i / 2, t i / 2], onda prema formuli (2.14)
gdje q = T/ T". 
Analizirajući rezultirajuću formulu, možete vidjeti da su period ponavljanja i trajanje impulsa uključeni u nju u obliku omjera. Ovaj parametar q - odnos perioda i trajanja impulsa - tzv krug duznosti periodični slijed impulsa (u stranoj literaturi umjesto radnog ciklusa koristi se recipročan - faktor punjenja, sa engleskog, krug duznosti jednako m i / 7); at q = 2 niz pravougaonih impulsa, kada trajanje impulsa i intervali između njih postanu jednaki, nazivaju se meandar(od grčkog paiav5poq - uzorak, geometrijski ornament).
Zbog parnosti funkcije koja opisuje analizirani signal, u Fourierovom nizu, uz konstantnu komponentu, bit će prisutne samo kosinusne komponente (2.15):
Na desnoj strani formule (2.22), drugi faktor ima oblik elementarne funkcije (sinx) / x. U matematici se ova funkcija označava kao sinc (x), i to samo za vrijednost X= 0 jednako je jedan (lim (sinx / x) = 1), prolazi
kroz nulu u tačkama x = ± n, ± 2n, ... i opada sa povećanjem argumenta x (slika 2.14). Konačno, trigonometrijski Fourierov red (2.13), koji aproksimira dati signal, zapisuje se u obliku
Rice. 2.14. Funkcijski graf sinx / x
Funkcija sinusa ima karakter latice. Govoreći o širini latica, treba naglasiti da za grafove diskretnih spektra periodičnih signala postoje dvije mogućnosti gradacije horizontalne osi - u harmonijskim brojevima i frekvencijama. Na primjer, na sl. 2.14 gradacija ordinate odgovara frekvencijama. Širina režnjeva, mjerena brojem harmonika, jednaka je radnom ciklusu niza. Ovo implicira važno svojstvo spektra niza pravougaonih impulsa - nema harmonika (nula amplituda) sa brojevima koji su višekratnici radnog ciklusa. Kada je radni ciklus jednak tri, svaki treći harmonik nestaje. Ako bi radni ciklus bio jednak dva, tada bi u spektru ostali samo neparni harmonici osnovne frekvencije.
Iz formule (2.22) i sl. 2.14 slijedi da koeficijenti većeg broja viših harmonika signala imaju negativan predznak. To je zbog činjenice da je početna faza ovih harmonika jednaka P. Stoga je uobičajeno da se formula (2.22) predstavi u modificiranom obliku:
Kod takvog snimanja Fourierovog reda, vrijednosti amplituda svih viših harmonijskih komponenti na grafu spektralnog dijagrama su pozitivne (slika 2.15, a).
Amplitudni spektar signala u velikoj mjeri zavisi od omjera perioda ponavljanja T i trajanje impulsa m i, tj. iz radnog ciklusa q. Frekvencijska udaljenost između susjednih harmonika jednaka je brzini ponavljanja impulsa sa 1 = 2n / T. Širina spektralnih režnjeva, mjerena u frekvencijskim jedinicama, jednaka je 2n/mn, tj. je obrnuto proporcionalna trajanju impulsa. Imajte na umu da za isto trajanje impulsa m i sa povećanjem
Rice. 2.15.
a- amplituda;b- faza
period njihovog ponavljanja T osnovna frekvencija ω se smanjuje i spektar postaje gušći.
Ista slika se uočava ako je trajanje impulsa m skraćeno i u konstantnom periodu T. U ovom slučaju, amplitude svih harmonika se smanjuju. Ovo je manifestacija opšteg zakona (V. Heisenbergov princip nesigurnosti - princip nesigurnosti) ',što je kraće trajanje signala, širi je njegov spektar.
Faze komponenti određuju se iz formule cp n = arktan (b n / a n). Pošto ovdje koeficijenti B „= 0, onda
gdje m = 0, 1, 2,....
Relacija (2.24) pokazuje da pri proračunu faza spektralnih komponenti imamo posla sa matematičkom nesigurnošću. Da bismo to otkrili, okrenimo se formuli (2.22), prema kojoj amplitude harmonika periodično mijenjaju predznak u skladu sa promjenom predznaka funkcije sin (nco 1 x 1I / 2). Promjena predznaka u formuli (2.22) je ekvivalentna faznom pomaku ove funkcije za P. Dakle, kada je ova funkcija pozitivna, faza harmonika (p u = 2 tp, a kada je negativan - = (2t + 1 )To(Sl. 2.15, b). Imajte na umu da iako se amplitude komponenti u spektru pravokutnih impulsa smanjuju sa povećanjem frekvencije (vidi sliku 2.15, a) ovo opadanje je prilično sporo (amplitude opadaju obrnuto sa frekvencijom). Za prijenos takvih impulsa bez izobličenja potrebna je beskonačna propusnost komunikacijskog kanala. Za relativno nenametljiva izobličenja, granična vrijednost frekvencijskog pojasa bi trebala biti mnogo puta veća od vrijednosti inverzne širini impulsa. Međutim, svi stvarni kanali imaju konačan propusni opseg, što dovodi do izobličenja u obliku prenesenih impulsa.
Fourierovi nizovi proizvoljnih periodičnih signala mogu sadržavati beskonačno veliki broj pojmova. Prilikom izračunavanja spektra takvih signala, proračun beskonačne sume Fourierovog niza uzrokuje određene poteškoće i nije uvijek potreban, stoga su ograničeni na sumiranje konačnog broja članova (serija je "skraćena").
Preciznost aproksimacije signala zavisi od broja zbrojenih komponenti. Razmotrimo ovo na primjeru aproksimacije zbirom prvih osam harmonika niza pravokutnih impulsa (slika 2.16). Signal ima oblik unipolarnog meandra sa periodom ponavljanja To amplituda E= 1 i trajanje impulsa m i = T/ 2 (dati signal je parna funkcija - slika 2.16, a; krug duznosti q= 2). Aproksimacija je prikazana na sl. 2.16, b, a grafikoni pokazuju broj zbrojenih harmonika. U aproksimaciji datog periodičnog signala (vidi sliku 2.13) trigonometrijskim nizom (2.13), sumiranje prvog i višeg harmonika će se vršiti samo preko neparnih koeficijenata Pu budući da su za čak njihove vrijednosti i trajanje impulsa m i = T/ 2 = = mt / co, vrijednost sin (mo, T H / 2) = sin (wt / 2) nestaje.
Trigonometrijski oblik Fourierovog reda (2.23) za dati signal ima oblik
Rice. 2.16.
a - dati signal; 6 - međufaze sumiranja
Radi lakšeg prikaza, Fourierov red (2.25) može se napisati na pojednostavljen način:
Iz formule (2.26) je očigledno da su harmonici koji aproksimiraju meandar neparni, imaju naizmjenične predznake, a njihove amplitude su obrnuto proporcionalne brojevima. Imajte na umu da je niz pravokutnih impulsa slabo prikladan za predstavljanje Fourierovim redom - aproksimacija sadrži pulsacije i skokove, a zbir bilo kojeg broja harmonijskih komponenti sa bilo kojim amplitudama uvijek će biti kontinuirana funkcija. Stoga je ponašanje Furijeovog reda u blizini diskontinuiteta od posebnog interesa. Iz grafikona na sl. 2.16, b lako je vidjeti kako se s povećanjem broja zbrojenih harmonika, rezultirajuća funkcija sve više i više približava obliku originalnog signala u (t) svuda, osim na tačkama njenog prekida. U blizini tačaka diskontinuiteta, sumiranje Fourierovog reda daje nagnuti dio, a strmina nagiba rezultirajuće funkcije raste s povećanjem broja zbrojenih harmonika. Na samoj tački diskontinuiteta (označavamo ga kao t = t 0) Fourierova serija u (t 0) konvergira poluzbiru desne i lijeve granice:
Na odsjecima aproksimirane krive u blizini prekida, zbir serije daje primjetne pulsacije, a na Sl. 2.16 može se vidjeti da se amplituda glavne emisije ovih pulsacija ne smanjuje s povećanjem broja zbrojenih harmonika - ona se samo skuplja horizontalno, približavajući se tački diskontinuiteta.
At P-? u tačkama loma, amplituda izbacivanja ostaje konstantna,
a njegova širina će biti beskonačno uska. Ne mijenjaju se ni relativna amplituda pulsiranja (u odnosu na amplitudu skoka) i relativno prigušenje; mijenja se samo frekvencija valovitosti, koja je određena frekvencijom posljednjih zbrojenih harmonika. To je zbog konvergencije Fourierovog reda. Uzmimo klasičan primjer: hoćete li ikada doći do zida ako svakim korakom prijeđete pola preostale udaljenosti? Prvi korak će dovesti do polovine, drugi do tri četvrtine, a nakon petog koraka ćete preći skoro 97% puta. Skoro ste dostigli svoj cilj, ali koliko god još koraka napravili, nikada ga nećete postići u strogom matematičkom smislu. Možete samo matematički dokazati da ćete na kraju moći prići bilo kojoj proizvoljno maloj udaljenosti. Ovaj dokaz će biti ekvivalentan dokazivanju da je zbir brojeva 1 / 2,1 / 4,1 / 8,1 / 16, itd. teži jedinstvu. Ovaj fenomen, svojstven svim Fourierovim redovima za signale s diskontinuitetima 1. vrste (na primjer, skokovi, kao na frontama pravokutnih impulsa), naziva se Gibbsov efekat*. U ovom slučaju, vrijednost prvog (najvećeg) vrha amplitude u aproksimiranoj krivulji je oko 9% nivoa skoka (vidi sliku 2.16, P = 4).
Gibbsov efekat dovodi do fatalne greške u aproksimaciji periodičnih impulsnih signala s diskontinuitetima prve vrste. Učinak se javlja u slučaju oštrih kršenja monotonosti funkcija. Kod skokova učinak je maksimalan, u svim ostalim slučajevima amplituda pulsiranja ovisi o prirodi narušavanja monotonosti. Za brojne praktične primjene, Gibbsov efekat uzrokuje određene probleme. Na primjer, u sistemima za reprodukciju zvuka, ovaj fenomen se naziva "zvonjenje" ili "poskakanje". U ovom slučaju, svaki oštar suglasnik ili drugi iznenadni zvuk može biti praćen kratkim zvukom neugodnim za uho.
Fourierov red se može primijeniti ne samo za periodične signale, već i za signale konačnog trajanja. U isto vrijeme, vrijeme se dogovara.
interval, za koji se konstruiše Fourierov red, au drugim vremenima signal se smatra jednakim nuli. Za izračunavanje koeficijenata niza ovaj pristup znači periodični nastavak signal izvan razmatranog intervala.
Imajte na umu da priroda (na primjer, ljudski sluh) koristi princip harmonijske analize signala. Osoba izvodi virtuelnu Fourierovu transformaciju kad god čuje zvuk: uho to automatski izvodi, predstavljajući zvuk kao spektar uzastopnih vrijednosti glasnoće za tonove različite visine. Ljudski mozak pretvara ove informacije u percipirani zvuk.
Harmonijska sinteza. U teoriji signala, zajedno sa harmonijskom analizom signala, harmonijska sinteza- dobijanje specificiranih vibracija složenog oblika sumiranjem niza harmonijskih komponenti njihovog spektra. U suštini, sinteza periodičnog niza pravougaonih impulsa zbirom broja harmonika je izvršena gore. U praksi se ove operacije izvode na računaru, kao što je prikazano na sl. 2.16, b.
- Jean Baptiste Joseph Fourier (J. B. J. Fourier; 1768-1830) - francuski matematičar i fizičar.
- Josiah Gibbs (J. Gibbs, 1839-1903) - američki fizičar i matematičar, jedan od osnivača hemijske termodinamike i statističke fizike.
Periodični signal bilo kojeg oblika sa periodom T može se predstaviti kao zbir
harmonijske oscilacije sa različitim amplitudama i početnim fazama, čije su frekvencije višekratne osnovne frekvencije. Harmonik ove frekvencije naziva se osnovni ili prvi, ostalo - viši harmonici.
Trigonometrijski oblik Fourierovog reda:
,
gdje 
- konstantna komponenta;
- amplitude kosinusnih komponenti;
- amplitude sinusoidnih komponenti.
ravnomjeran signal ( 
) ima samo kosinus i neparan ( 
- samo sinusni pojmovi.
Ekvivalentni trigonometrijski oblik Fourierove serije je pogodniji:
,
gdje 
- konstantna komponenta;
- amplituda n-tog harmonika signala. Zbir amplituda harmonijskih komponenti naziva se amplitudski spektar;
- početna faza n-tog harmonika signala. Skup faza harmonijskih komponenti naziva se fazni spektar.
Spektar periodične sekvence pravokutnih impulsa. Ovisnost spektra o periodu ponavljanja pulsa i njihovom trajanju. Širina spektra. Fourierova serija pppi
Izračunajmo amplitudni i fazni spektar AEFI koji ima amplitudu 
, trajanje 
, naredni period 
i nalazi se simetrično u odnosu na ishodište (signal je parna funkcija).
Slika 5.1 - AEFI vremenski dijagram.
Signal u intervalu od jednog perioda može se snimiti:
Izračuni:
,
Fourierova serija za PPPI je:
Slika 5.2 - Amplitudni spektralni dijagram AEFI.
Slika 5.3 - Fazni spektralni dijagram AEFI.
AEFI spektar je linearan (diskretan) (predstavljen skupom pojedinačnih spektralnih linija), harmoničan (spektralne linije su na istoj udaljenosti jedna od druge ω 1), opadajući (amplitude harmonika se smanjuju sa povećanjem broja), ima laticu struktura (širina svakog režnja je 2π / τ), neograničena (frekvencijski interval u kojem se nalaze spektralne linije je beskonačan);
Kod cjelobrojnog radnog ciklusa, frekvencijske komponente sa frekvencijama koje su višestruke radnog ciklusa su odsutne u spektru (njihove frekvencije se poklapaju sa nulama omotača amplitudnog spektra);
Sa povećanjem radnog ciklusa, amplitude svih harmonijskih komponenti se smanjuju. Štoviše, ako je povezan s povećanjem perioda ponavljanja T, tada spektar postaje gušći (ω 1 se smanjuje), sa smanjenjem trajanja impulsa τ - širina svakog režnja postaje veća;
Frekvencijski opseg koji sadrži 95% energije signala (jednako širini prva dva režnja omotača) uzima se kao širina AEFI spektra:
ili 
;
Svi harmonici koji se nalaze u jednom režnju ovojnice imaju istu fazu, jednaku ili 0 ili π.
Korištenje Fourierove transformacije za analizu spektra neperiodičnih signala. Spektar jednog pravokutnog impulsa. Integralne Fourierove transformacije
Komunikacijski signali su uvijek vremenski ograničeni i stoga nisu periodični. Od neperiodičnih signala, pojedinačni impulsi (SS) su od najvećeg interesa. OI se može smatrati graničnim slučajem periodične sekvence impulsa (PPI) s trajanjem 
sa beskonačno velikim periodom njihovog ponavljanja 
.
Slika 6.1 - PPI i OI.
Neperiodični signal se može predstaviti kao zbir beskonačno velikog broja oscilacija beskonačno bliskih frekvencija sa nestajajućim malim amplitudama. OI spektar je kontinuiran i uveden je Fourierovim integralima:
-
(1) - direktna Fourierova transformacija. Omogućava vam da analitički pronađete spektralnu funkciju za dati oblik signala;
-
(2) - inverzna Fourierova transformacija. Omogućava vam da analitički pronađete oblik za datu spektralnu funkciju signala.
Kompleksni oblik integralne Fourierove transformacije(2) daje dvostrani spektralni prikaz (koji ima negativne frekvencije) neperiodičnih signala 
kao zbir harmonijskih vibracija 
sa beskonačno malim kompleksnim amplitudama 
čije frekvencije kontinuirano ispunjavaju cijelu osu frekvencije.
Kompleksna spektralna gustina signala je složena funkcija frekvencije, koja istovremeno nosi informacije i o amplitudi i o fazi elementarnih harmonika.
Modul spektralne gustine naziva se spektralna gustina amplituda. Može se smatrati frekvencijskim odzivom kontinuiranog spektra neperiodičnih signala.
Argument spektralne gustine 
naziva se spektralna gustina faza. Može se smatrati fazno-frekvencijskom karakteristikom kontinuiranog spektra neperiodičnih signala.
Transformirajmo formulu (2):
Trigonometrijski oblik integralne Fourierove transformacije daje jednosmjernu spektralnu reprezentaciju (bez negativnih frekvencija) neperiodičnog signala:
.
U prošlom stoljeću Ivan Bernuli, Leonard Ojler, a potom i Jean-Baptiste Fourier prvi su koristili prikaz periodičnih funkcija trigonometrijskim redovima. Ovo gledište se dovoljno detaljno proučava u drugim predmetima, pa se prisjećamo samo osnovnih odnosa i definicija.
Kao što je gore navedeno, bilo koja periodična funkcija u (t) za koje je jednakost u (t) = u (t + T) , gdje T = 1 / F = 2p / W , može se predstaviti Fourierovim redom:
Svaki član u ovoj seriji može se proširiti pomoću kosinus formule za razliku između dva ugla i predstaviti kao dva člana:
,
gdje: A n = C n cosφ n, B n = C n sinφ n
, dakle 
, a 
Odds A n i U n određuju se Eulerovim formulama:
; 
.
At n = 0 :
a B 0 = 0.
Odds A n i U n , su srednje vrijednosti proizvoda funkcije u (t) i harmonijske oscilacije sa frekvencijom nw na intervalu trajanja T ... Već znamo (odjeljak 2.5) da su to međukorelacijske funkcije koje određuju mjeru njihovog odnosa. Dakle, koeficijenti A n i B n pokažite nam "koliko" sinusoida ili kosinusa sa frekvencijom nW sadržano u ovoj funkciji u (t) , proširen u Fourierov niz.
Dakle, možemo predstaviti periodičnu funkciju u (t)
kao zbir harmonijskih vibracija, gdje su brojevi C n
su amplitude i brojevi φ n
- faze. Obično u književnosti 
naziva se spektar amplituda, i 
- spektar faza. Često se razmatra samo spektar amplituda, koji se prikazuje kao linije koje se nalaze u tačkama nW
na osi frekvencije i ima visinu koja odgovara broju C n
... Međutim, treba imati na umu da kako bi se dobila jedna-na-jedan korespondencija između temporalne funkcije u (t)
i njegovog spektra, potrebno je koristiti i amplitudski i fazni spektar. To se može vidjeti iz ovako jednostavnog primjera. Signali će imati isti amplitudski spektar, ali potpuno različite vrste vremenskih funkcija.
Diskretni spektar može imati ne samo periodičnu funkciju. Na primjer, signal: nije periodičan, već ima diskretni spektar koji se sastoji od dvije spektralne linije. Također, neće postojati striktno periodični signal koji se sastoji od niza radio impulsa (impulsa sa visokofrekventnim punjenjem), u kojem je period ponavljanja konstantan, ali se početna faza visokofrekventnog punjenja mijenja od impulsa do impulsa prema nekom zakonu. Takvi signali se nazivaju gotovo periodični. Kao što ćemo kasnije vidjeti, oni također imaju diskretni spektar. Istraživanje fizičke prirode spektra ovakvih signala, izvršićemo na isti način kao i za periodične.
Signal se zove periodično ako se njegov oblik ciklički ponavlja u vremenu. Periodični signal se općenito piše na sljedeći način:
Ovo je period signala. Periodični signali mogu biti jednostavni ili složeni.
Za matematički prikaz periodičnih signala sa periodom često se koristi ovaj niz u kojem se kao osnovne funkcije biraju harmonijske (sinusoidalne i kosinusne) oscilacije više frekvencija:
gdje . je osnovna ugaona frekvencija niza funkcija. Sa harmonijskim baznim funkcijama, iz ovog niza dobijamo Fourierov red, koji se u najjednostavnijem slučaju može napisati u sljedećem obliku:
gdje su koeficijenti
Iz Fourierovog reda se može vidjeti da, u opštem slučaju, periodični signal sadrži konstantnu komponentu i skup harmonijskih oscilacija osnovne frekvencije i njenih harmonika sa frekvencijama. Svaka harmonijska oscilacija Fourierovog reda karakterizirana je amplitudom i početnom fazom.
Spektralni dijagram i spektar periodičnog signala.
Ako se bilo koji signal predstavi kao zbir harmonijskih oscilacija različitih frekvencija, to znači da spektralna dekompozicija signal.
Spektralni dijagram signal je grafički prikaz koeficijenata Fourierove serije ovog signala. Postoje dijagrami amplitude i faze. Za konstruiranje ovih dijagrama, harmonijske frekvencije se crtaju na određenoj skali duž horizontalne ose, a njihove amplitude i faze se crtaju duž vertikalne ose. Štoviše, amplitude harmonika mogu imati samo pozitivne vrijednosti, faze - i pozitivne i negativne vrijednosti u intervalu.
Spektralni dijagrami periodičnog signala:
a) - amplituda; b) - faza.
Spektar signala je skup harmonijskih komponenti sa određenim vrijednostima frekvencija, amplituda i početnih faza, koje zajedno tvore signal. U praksi se spektralni dijagrami nazivaju sažetije - amplitudnog spektra, fazni spektar... Najveći interes pokazuje dijagram amplitudnog spektra. Može se koristiti za procjenu procenta harmonika u spektru.
Spektralne karakteristike igraju važnu ulogu u telekomunikacijskoj tehnologiji. Poznavajući spektar signala, možete pravilno izračunati i postaviti širinu pojasa pojačala, filtera, kablova i drugih čvorova komunikacijskih kanala. Poznavanje spektra signala je neophodno za izgradnju višekanalnih sistema sa frekvencijskim multipleksiranjem. Bez poznavanja spektra interferencije, teško je preduzeti mere za njegovo suzbijanje.
Iz ovoga možemo zaključiti da spektar mora biti poznat kako bi se mogao nesmetano prenositi signal preko komunikacijskog kanala, kako bi se osiguralo razdvajanje signala i umanjile smetnje.
Za posmatranje spektra signala postoje uređaji tzv analizatori spektra... Omogućavaju posmatranje i mjerenje parametara pojedinih komponenti spektra periodičnog signala, kao i mjerenje spektralne gustine kontinuiranog signala.
