2.1. Spectra periodični signali

Periodični signal (struja ili napon) je vrsta utjecaja kada se oblik signala ponavlja nakon određenog vremenskog intervala. T, koji se zove period. Najjednostavniji oblik Periodični signal je harmonijski signal ili sinusoida, koju karakteriziraju amplituda, period i početna faza. Svi ostali signali će biti neharmoničan ili nesinusoidan. Može se pokazati, a praksa dokazuje, da ako je ulazni signal napajanja periodičan, onda će i sve ostale struje i naponi u svakoj grani (izlazni signali) biti periodični. U ovom slučaju, oblici signala u različitim granama će se međusobno razlikovati.

Postoji opšta tehnika za proučavanje periodičnih neharmoničkih signala (ulaznih uticaja i njihovih reakcija) u električnom kolu, koja se zasniva na širenju signala u Fourierov niz. Ova tehnika se sastoji u činjenici da je uvijek moguće odabrati niz harmonijskih (tj. sinusoidnih) signala sa takvim amplitudama, frekvencijama i početnim fazama, čiji je algebarski zbir ordinata u bilo kojem trenutku jednak ordinati nesinusoidni signal koji se proučava. Tako, na primjer, napon u na sl. 2.1. može se zamijeniti zbirom naprezanja i , budući da u svakom trenutku postoji identična jednakost: . Svaki od pojmova je sinusoida, čija je učestalost povezana s periodom T cjelobrojni odnosi.

Za primjer koji razmatramo imamo period prvog harmonika koji se poklapa s periodom neharmoničkog signalaT 1 = T, a period drugog harmonika je dva puta manjiT 2 = T/2, tj. trenutne vrednosti harmonike treba napisati u obliku:

Ovdje su amplitude harmonijskih oscilacija jednake jedna drugoj ( ), a početne faze su nula.

Rice. 2.1. Primjer sabiranja prvog i drugog harmonika

neharmonični signal

U elektrotehnici se harmonijska komponenta čiji je period jednak periodu neharmoničkog signala naziva prvo ili osnovni harmonika signala. Sve ostale komponente nazivaju se višim harmonijskim komponentama. Harmonik čija je frekvencija k puta veća od prvog harmonika (i period, prema tome, k puta manji) naziva se

k - ti harmonik. Također se razlikuje prosječna vrijednost funkcije tokom perioda, koja se zove null harmonic. IN opšti slučaj Fourierov niz se piše kao zbir beskonačan broj harmonijske komponente različitih frekvencija:

(2.1)

gdje je k harmonijski broj; - ugaona frekvencija k-tog harmonika;

ω 1 = ω =2 π / T- ugaona frekvencija prvog harmonika; - nula harmonika.

Za signale oblika koji se često javljaju, proširenje Fourierovog reda može se naći u specijalizovanoj literaturi. Tabela 2 prikazuje dekompozicije za osam periodičnih talasnih oblika. Treba napomenuti da će se proširenja data u Tabeli 2 desiti ako je ishodište koordinatnog sistema odabrano kao što je prikazano na slikama lijevo; pri promeni početka vremena t početne faze harmonika će se promijeniti, ali će amplitude harmonika ostati iste. U zavisnosti od tipa signala koji se proučava, V treba shvatiti ili kao vrijednost izmjerenu u voltima, ako je naponski signal, ili vrijednost izmjerenu u amperima, ako je strujni signal.

Proširenje periodičnih funkcija u Fourierov red

tabela 2

Raspored f(t)	Fourierov niz funkcijaf(t)	Bilješka
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		S=1,2,3,4,..
		k=1,2,4,6,..

Signali 7 i 8 se generiraju iz sinusoida pomoću kola pomoću elemenata ventila.

Skup harmonijskih komponenti koje formiraju nesinusoidni signal naziva se spektar ovog neharmoničkog signala. Iz ovog skupa harmonika, oni su izolovani i izdvojeni amplituda I faza domet. Amplitudni spektar je skup amplituda svih harmonika, koji je obično predstavljen dijagramom u obliku skupa okomitih linija, čije su dužine proporcionalne (na odabranoj skali) vrijednostima amplitude harmonika komponente, a mjesto na horizontalnoj osi određeno je frekvencijom (harmoničkim brojem) ove komponente. Slično, fazni spektri se smatraju skupom početne faze svi harmonici; oni su takođe prikazani u razmeri kao skup vertikalnih linija.

Treba napomenuti da se početne faze u elektrotehnici obično mjere u rasponu od –180 0 do +180 0. Spektri koji se sastoje od pojedinačnih linija nazivaju se linearne ili diskretne. Spektralne linije su na udaljenosti f jedno od drugog, gde f- frekvencijski interval, jednaka frekvenciji prvi harmonik f.Dakle, diskretni spektri periodični signali imaju spektralne komponente sa više frekvencija - f, 2f, 3f, 4f, 5f itd.

Primjer 2.1. Pronađite amplitudu i fazni spektar za pravokutni signal kada su trajanja pozitivnog i negativnog signala jednaka, a prosječna vrijednost funkcije tokom perioda nula

u(t) = PDV0<t<T/2

u(t) = -PDV T/2<t<T

Za signale jednostavnih, često korišćenih oblika, preporučljivo je pronaći rješenje pomoću tabela.

Rice. 2.2. Linijski amplitudski spektar pravokutnog signala

Iz proširenja pravokutnog signala u Fourierov red (vidi tablicu 2-1) proizilazi da harmonijski niz sadrži samo neparne harmonike, dok se amplitude harmonika smanjuju proporcionalno broju harmonika. Amplitudni linijski spektar harmonika prikazan je na Sl. 2.2. Pri konstruisanju se pretpostavlja da je amplituda prvog harmonika (ovde napon) jednaka jednom voltu: B; tada će amplituda trećeg harmonika biti jednaka B, petog - B, itd. Početne faze svih harmonika signala jednake su nuli, stoga fazni spektar ima samo nulte vrijednosti ordinata.

Problem je riješen.

Primjer 2.2.Pronađite amplitudu i fazni spektar za napon koji varira u skladu sa zakonom: na - T/4<t<T/4; u(t) = 0 at T/4<t<3/4T. Takav signal se generira iz sinusoida eliminacijom (putem strujnog kola pomoću elemenata ventila) negativnog dijela harmonijskog signala.

a)b)

Rice. 2.3. Linijski spektar polutalasnog ispravljačkog signala: a) amplituda; b) faza

Za polutalasni ispravljački signal sinusoidnog napona (vidi Tablice 2 - 8), Fourierov red sadrži konstantnu komponentu (nulti harmonik), prvi harmonik, a zatim skup samo parnih harmonika, čije amplitude brzo opadaju sa povećanje harmonijskog broja. Ako, na primjer, stavimo vrijednost V = 100 V, tada množenjem svakog člana sa zajedničkim faktorom 2V/π nalazimo(2.2)

Amplitudni i fazni spektri ovog signala prikazani su na slici 2.3a, b.

Problem je riješen.

U skladu sa teorijom Fourierovih redova, tačna jednakost neharmoničkog signala sa zbirom harmonika javlja se samo za beskonačno veliki broj harmonika. Proračun harmonijskih komponenti na računaru omogućava vam da analizirate bilo koji broj harmonika, koji je određen svrhom proračuna, preciznošću i oblikom neharmoničkog efekta. Ako je trajanje signalat bez obzira na njegovu formu, mnogo manje od perioda T, tada će se amplitude harmonika polako smanjivati, a za potpuniji opis signala potrebno je uzeti u obzir veliki broj članova serije. Ova karakteristika se može pratiti za signale predstavljene u tabeli 2 - 5 i 6, ako je uslov ispunjen τ <<T. Ako je neharmonični signal po obliku blizak sinusoidi (na primjer, signali 2 i 3 u tabeli 2), tada se harmonici brzo smanjuju, a za tačan opis signala dovoljno je ograničiti se na tri do pet harmonike serije.

5. Linearna električna kola u režimu periodičnih neharmoničnih uticaja. Teorija električnih kola

5. Linearna električna kola u režimu periodičnih neharmoničnih uticaja

5.1. Neharmonični periodični signali

Prilikom prijenosa informacija putem komunikacijskih kanala u procesu konverzije signala u različitim uređajima, u pravilu se koriste neharmonične oscilacije, budući da čisto harmonijske oscilacije ne mogu biti nosioci informacija. Za prijenos poruka moduliraju harmonijsku oscilaciju u amplitudno - amplitudskoj modulaciji (AM), frekvencijsko - frekvencijskoj modulaciji (FM) ili fazno - faznoj modulaciji (PM), ili koriste impulsne signale modulirane amplitudom - impulsno amplitudna modulacija (PAM), širina – pulsno-širinska modulacija (PWM), vremenska pozicija – vremensko-pulsna modulacija (TPM). Postoje i drugi, složeniji signali generirani prema posebnim zakonima. Karakteristična karakteristika ovih signala je njihov složen neharmonični karakter. Struje i naponi generisani u raznim impulsnim i digitalnim uređajima imaju nesinusoidalni oblik (19. Diskretni signali i kola), harmonijski signali koji prolaze kroz različite nelinearne uređaje dobijaju nesinusoidnu prirodu (11. Nelinearna električna kola pod harmonijskim uticajima) itd. Sve ovo dovodi do potrebe za razvojem posebnih metoda za analizu i sintezu električnih kola pod uticajem periodičnih nesinusoidnih i neperiodičnih struja i napona. Ove metode se zasnivaju na spektralnim prikazima nesinusoidnih uticaja, baziranim na proširenju u niz ili Fourierovom integralu.

Iz matematičke analize je poznato da je periodična neharmonička funkcija f(t), zadovoljavajući Dirichletove uslove, može se proširiti u Fourierov red:
(5.1)
Gdje a k,b k - koeficijenti ekspanzije određeni jednadžbama
(5.2)

Magnituda predstavlja prosječnu vrijednost funkcije tokom perioda f(t) i naziva se konstantna komponenta.

U teorijskim studijama, umjesto formule (5.1), obično koriste drugu koja se zasniva na zamjeni nezavisne varijable:
(5.3)
Gdje
(5.4)

Jednačina (5.3) je trigonometrijski oblik Fourierovog reda. Kada se analiziraju kola, često je zgodnije koristiti složeni oblik Fourierovog reda, koji se može dobiti iz (5.3) koristeći Eulerove formule:
(5.5)

Zamjenom (5.5) u jednačinu (5.3), nakon jednostavnih transformacija dobijamo složeni oblik Fourierovog reda:
(5.6)
Gdje A k- kompleksna amplituda k ti harmonici:
(5.7)
Gdje - amplituda; – početna faza k th harmonike.

Zamjena vrijednosti a k I b k od (5.4) do (5.7), dobijamo:
(5.8)

Amplituda postavljena 0,5 A k = 0,5A –k u ekspanziji (5.6), prikazan u odnosu na odgovarajuće pozitivne i negativne frekvencije, formira simetričan u odnosu na koordinatnu osu (zbog parnosti koeficijenata i k) linijski amplitudski spektar.

Skup ordinata k = – –k iz (5.7), uključeno u ekspanziju (5.6) i zacrtano naspram odgovarajućih pozitivnih i negativnih frekvencija, formira simetrično u odnosu na početak koordinatne ose (zbog neparnosti koeficijenata b k)linijski fazni spektar.

Ekspanzija (5.3) se može predstaviti u drugom obliku. S obzirom na to i k = A k cos k I b k= A k grijeh k, tada nakon zamjene u (5.3) dobijamo:
(5.9)

Ako posmatramo konstantnu komponentu a 0 /2 kao nulti harmonik sa početnom fazom 0 = 0, tada će ekspanzija (5.9) poprimiti oblik
(5.10)

U posebnom slučaju kada je funkcija f(a) simetrično oko ordinatne ose (slika 5.1, A), ekspanzija (5.3) će sadržavati samo parne (kosinusne) harmonike:

(5.11)

i sa simetrijom f(a) u odnosu na ishodište (slika 5.1, b) neparni harmonici
(5.12)

Prilikom pomicanja ishodišta funkcije f(a) njegov amplitudski spektar se ne mijenja, već se mijenja samo fazni spektar. Zaista, pomjerimo funkciju f(a) duž vremenske ose lijevo t 0 i označiti .

Tada će ekspanzija (5.9) poprimiti oblik
(5.13)

Primjer. Proširite pravougaone vibracije u Fourierov niz (slika 5.1, b). S obzirom na to f(a) je simetričan u odnosu na ishodište koordinata u ekspanziji (5.3) ostat će samo sinusoidalni harmonici (5.12), gdje b kće se odrediti prema (5.4):

Zamena b k u (5.12), dobijamo proširenje Furijeovog reda:
(5.14)

Zatim krećemo f(a) p/2 lijevo (vidi sliku 5.1, A). Tada, prema (5.13), dobijamo

(5.15)

Odnosno, dobili smo ekspanziju u kosinusnim komponentama kao što bi trebalo biti za signal simetričan u odnosu na ordinatnu osu.

U brojnim slučajevima, kada je periodična funkcija f(a) dat je grafički i složenog je oblika; njegovo proširenje u Fourierov niz može se izvršiti grafičko-analitičkom metodom. Njegova suština je da signalni period T(Sl. 5.2) dijele se na m intervali jednaki , i tačke prekida f(a) ne smije pasti u sredinu pregradnih područja; odredite vrijednost signala f(a n) u sredini svake particije.

Pronađite koeficijente ekspanzije i k I b k zamjenom integrala u (5.2) konačnom sumom
(5.16)

Jednačinu (5.16) je lako programirati prilikom izračunavanja i k I b k, može koristiti računar.

5.2. RMS, prosječna vrijednost i snaga periodičnog neharmoničkog signala

Radi određenosti, pretpostavimo to f(t) ima značenje struje i(t). Tada se efektivna vrijednost periodične neharmoničke struje određuje prema (3.5), gdje je i(t) određuje jednačina (5.10):
(5.17)

Zamjenom ove trenutne vrijednosti u (3.5), nakon integracije dobijamo
(5.18)

tj. efektivna vrijednost periodične neharmoničke struje I je u potpunosti određena efektivnim vrijednostima njegovih harmonika I k i ne zavisi od njihovih početnih faza k.

Slično, nalazimo efektivnu vrijednost periodičnog nesinusoidnog napona:
(5.19)

Prosječna vrijednost struje određuje se prema opštem izrazu (3.9). Štaviše, obično uzimaju prosječnu vrijednost i(t) u apsolutnoj vrijednosti
(5.20)

Definisano slično U cf(2) .

Sa stanovišta teorije kola, prosječna aktivna snaga neharmoničkog signala i njegova raspodjela između pojedinačnih harmonika su od velikog interesa.

Prosječna aktivna snaga periodičnog nesinusoidnog signala
(5.21)
Gdje
(5.22)

k- fazni pomak između struje i napona k th harmonike.

Zamjenjivanje vrijednosti i(t) I u(t) iz (5.22) u jednačinu (5.21), nakon integracije dobijamo:
(5.23)
tj. prosječna aktivna snaga periodičnog neharmoničkog signala tokom perioda jednaka je zbiru snaga pojedinačnih harmonika. Formula (5.23) je jedan od oblika široko poznatih Parsevalova jednakost.

Slično, nalazimo reaktivnu snagu
(5.24)
i punu snagu
(5.25)

Treba naglasiti da, za razliku od harmonijskih signala, za neharmonske signale
(5.26)

Magnituda P tvrditi = se zove snaga izobličenja i karakteriše stepen razlike u trenutnim oblicima i(t) i napon u(t).

Pored snage izobličenja, periodične neharmonične signale karakteriše niz drugih karakteristika: koeficijenti:snaga, k m = P/S; oblici K f = U/U cf(2); amplitude K a = U m /U; izobličenje k i = U 1 /U; harmonici k g = i sl.

Za sinusni signal k f = /21,11; k a = 1,41; k u = 1; k g = 0.

5.3. Spektri periodičnih neharmoničnih signala

Razmotrite slijed pravokutnih impulsa prikazan na Sl. 5.3, A. Signali ovog oblika imaju veoma široku primenu u radiotehnici i telekomunikacijama: telegrafiji, sistemima digitalnog prenosa, višekanalnim komunikacionim sistemima sa vremenskom podelom, raznim impulsnim i digitalnim uređajima, itd. (vidi Poglavlje 19). Slijed impulsa karakteriziraju sljedeći glavni parametri: amplituda impulsa A i može imati značenje i napona i struje.">, njegovo trajanje t i naredni period T. Odnos perioda T do trajanja t i zove se radni ciklus impulsa i označava se sa q = T/t i. Obično se vrijednosti radnog ciklusa impulsa kreću od nekoliko jedinica (u mjernoj tehnologiji, diskretnom prijenosu i uređajima za obradu informacija) do nekoliko stotina ili tisuća (u radaru).

Za pronalaženje spektra niza pravokutnih impulsa koristimo Fourierov niz u kompleksnom obliku (5.6). Kompleksna amplituda k th harmonik je jednak prema (5.8) nakon povratka na originalnu varijablu t.

(5.27)

Zamjena vrijednosti A k u jednačinu (5.6), dobijamo proširenje Furijeovog reda:
(5.28)

Na sl. 5.4 prikazuje spektar kompleksnih amplituda za q= 2 i q= 4. Kao što se vidi sa slike, spektar niza pravougaonih impulsa je diskretni spektar sa omotačem (isprekidana linija na slici 5.4), koji je opisan funkcijom
(5.29)
naziva se funkcija uzorkovanja (vidi Poglavlje 19). Broj spektralnih linija između referentne tačke duž ose frekvencije i prve nule omotača jednak je q- 1. DC komponenta signala (prosječna vrijednost) , i efektivnu vrijednost A= , tj. što je veći radni ciklus, to je niži nivo DC komponente i efektivna vrijednost signala. Sa povećanjem radnog ciklusa q povećava se broj diskretnih komponenti - spektar postaje gušći (vidi sliku 5.4, b), a amplituda harmonika opada sporije. Treba naglasiti da je, u skladu sa (5.27), spektar razmatrane sekvence pravokutnih impulsa realan.

Iz spektra kompleksnih amplituda (5.27) možemo razlikovati amplitudu A k = |A k| i fazni spektar k= arg A k, prikazano na sl. 5.5 za slučaj q= 4. Iz slika je jasno da je amplitudski spektar paran, a fazni spektar neparna funkcija frekvencije. Štaviše, faze pojedinačnih harmonika uzimaju ili nultu vrijednost između čvorova, gdje je sinus pozitivan, ili ±, gdje je sinus negativan (slika 5.5, b)

Na osnovu formule (5.28), dobijamo trigonometrijski oblik proširenja Furijeovog reda u parnim harmonicima (uporedi sa (5.15)):
(5.30)

Kada se sekvenca impulsa pomeri duž vremenske ose (slika 5.2, b) u skladu sa (5.13), njegov amplitudski spektar će ostati isti, ali će se njegov fazni spektar promijeniti:
(5.31)

U slučaju kada periodični niz ima drugačiji oblik polariteta (vidi sliku 5.1), neće biti konstantne komponente u spektru (uporedite (5.30) i (5.31) sa (5.14) i (5.15)).

Na sličan način možete proučavati spektralni sastav periodičnih neharmoničnih signala različitog oblika. Tabela 5.1 prikazuje proširenje Fourierovog niza nekih od najčešćih signala.

Tabela 5.1

	Tipovi signala	Proširenje Fourierovog reda
1
2
3
4
5
6

5.4. Proračun kola pod periodičnim neharmoničkim utjecajima

Proračun linearnih električnih kola pod uticajem periodičnih neharmoničnih signala zasniva se na principu superpozicije. Njegova suština, primijenjena na neharmonične utjecaje, je da proširi neharmonični periodični signal u jedan od oblika Fourierovog niza (vidi 5.1. Neharmonični periodični signali. Proširenje Fourierovog reda) i odredi odziv kola od svakog harmonika posebno. Rezultirajuća reakcija se nalazi superpozicijom (nametanjem) rezultirajućih parcijalnih reakcija. Dakle, proračun kola pod periodičnim neharmoničkim uticajima uključuje zadatak analize spektralnog sastava signala (proširujući ga u Fourierov niz), izračunavanje kola od svake harmonijske komponente i zadatak sinteze, kao rezultat toga rezultirajući izlazni signal se određuje kao funkcija vremena (frekvencija) ili njegove efektivne vrijednosti (amplituda).

Prilikom rješavanja problema analize obično koriste trigonometrijski (5.3) ili složeni (5.6) oblik Fourierovog reda sa ograničenim brojem ekspanzijskih članova, što dovodi do neke greške u aproksimaciji pravog signala. Koeficijenti ekspanzije a k I b k u (5.3) ili A k I k u (5.6) određuju se pomoću jednačina (5.4), (5.7) i (5.8). U ovom slučaju, ulazni signal f(a) mora biti specificirano analitički. Ako je signal specificiran grafički, na primjer u obliku oscilograma, tada da se pronađu koeficijenti ekspanzije a k I b k možete koristiti grafičko-analitičku metodu (vidi (5.16)).

Proračuni kola iz pojedinačnih harmonika obično se izvode pomoću simboličke metode. Međutim, to se mora imati na umu k th harmonske induktivne reaktancije XL(k) = kL, i kapacitivnost X C(k) = 1/(kS), tj. na k th harmonske induktivne reaktancije u k puta više, i kapacitivni u k puta manje nego kod prvog harmonika. Ovo posebno objašnjava činjenicu da su visoki harmonici izraženiji u kapacitetu, a manje u induktivnosti, nego u naponu koji se na njih primjenjuje. Aktivni otpor R na niskim i srednjim frekvencijama može se smatrati neovisnim o frekvenciji.

Nakon određivanja potrebnih struja i napona iz pojedinačnih harmonika, metodom superpozicije se pronalazi rezultujući odgovor kola na neharmonični periodični uticaj. U ovom slučaju se ili trenutna vrijednost rezultujućeg signala utvrđuje na osnovu izračunavanja amplituda i faza pojedinih harmonika, ili njegova amplituda ili efektivne vrijednosti prema jednadžbi (5.18), (5.19). Prilikom određivanja rezultirajuće reakcije, mora se imati na umu da, u skladu s prikazom periodičnih neharmoničkih oscilacija na kompleksnoj ravni, vektori različitih harmonika rotiraju s različitim ugaonim frekvencijama.

Primjer. Za kolo prikazano na sl. 5.6, primijenjen napon u(t) u obliku pravougaonih impulsa sa periodom ponavljanja T= 2t i i amplituda A i = 1V (vidi sliku 5.3, b). Odredite trenutne i efektivne vrijednosti napona preko kapacitivnosti.

Proširenje ovog napona u Fourierov niz određuje se formulom (5.31). Ograničimo se na prva tri člana ekspanzije (5.31): k-ti harmonik je stanje električnog kola koje se sastoji od različitih reaktivnih elemenata u kojem se fazni pomak između ulazne struje i primijenjenog napona k-x harmonici su nula. Fenomen rezonancije se može koristiti za izolaciju pojedinačnih harmonika od periodičnog nesinusoidnog signala. Treba naglasiti da kolo može istovremeno postići strujnu rezonanciju na jednoj frekvenciji i rezonanciju napona na drugoj.

Primjer. Za kolo prikazano na sl. 5.7, za datu 1, L 1 pronađite vrijednost C 1 i C 2, na kojoj se istovremeno javlja naponska rezonanca na 1. harmoniku i strujna rezonanca na 5. harmoniku.

Iz uslova naponske rezonancije nalazimo da ulazna reaktancija kola na prvom harmoniku mora biti nula:
(5.32)

a na petom - beskonačno (ulazna reaktancija na petom harmoniku bi trebala biti nula):
(5.33)

Iz uslova (5.32) i (5.33) nalazimo željenu vrijednost kapacitivnosti:

Opšti opisi

Francuski matematičar Fourier (J.B.J. Fourier 1768-1830) predložio je hipotezu koja je bila prilično hrabra za svoje vrijeme. Prema ovoj hipotezi, ne postoji funkcija koja se ne može proširiti u trigonometrijski niz. Međutim, nažalost, takva ideja tada nije shvaćena ozbiljno. I to je prirodno. Sam Fourier nije mogao pružiti uvjerljive dokaze, a vrlo je teško intuitivno vjerovati u Fourierovu hipotezu. Posebno je teško zamisliti činjenicu da se pri dodavanju jednostavnih funkcija poput trigonometrijskih reproduciraju funkcije koje su potpuno različite od njih. Ali ako pretpostavimo da je Fourierova hipoteza tačna, tada se periodični signal bilo kojeg oblika može razložiti na sinusoide različitih frekvencija, ili obrnuto, odgovarajućim sabiranjem sinusoida različitih frekvencija moguće je sintetizirati signal od bilo kojeg oblika. Stoga, ako je ova teorija tačna, onda njena uloga u obradi signala može biti vrlo velika. U ovom poglavlju prvo ćemo pokušati ilustrirati ispravnost Fourierove hipoteze.

Razmotrite funkciju

f(t)= 2sin t – grijeh 2t

Jednostavni trigonometrijski nizovi

Funkcija je zbir trigonometrijskih funkcija, drugim riječima, predstavljena je kao trigonometrijski niz od dva člana. Dodajte jedan termin i kreirajte novi niz od tri pojma

Ponovnim dodavanjem nekoliko pojmova dobijamo novi trigonometrijski niz od deset članova:

Koeficijente ovog trigonometrijskog niza označavamo kao b k , gdje je k - cijeli brojevi. Ako pažljivo pogledate posljednji omjer, vidjet ćete da se koeficijenti mogu opisati sljedećim izrazom:

Tada se funkcija f(t) može predstaviti na sljedeći način:

Odds b k - ovo su amplitude sinusoida sa ugaonom frekvencijom To. Drugim riječima, oni postavljaju veličinu frekvencijskih komponenti.

Uzimajući u obzir slučaj kada je superskript To jednako 10, tj. M= 10. Povećanjem vrijednosti M do 100, dobijamo funkciju f(t).

Ova funkcija, budući da je trigonometrijski niz, po obliku je bliska pilastom signalu. I čini se da je Fourierova hipoteza apsolutno tačna u odnosu na fizičke signale s kojima imamo posla. Osim toga, u ovom primjeru talasni oblik nije gladak, ali uključuje tačke prekida. A činjenica da se funkcija reprodukuje čak i na tačkama prekida izgleda obećavajuće.

Zaista postoje mnoge pojave u fizičkom svijetu koje se mogu predstaviti kao zbir oscilacija različitih frekvencija. Tipičan primjer ovih pojava je svjetlost. To je zbir elektromagnetnih talasa sa talasnom dužinom od 8000 do 4000 angstroma (od crvene do ljubičaste). Vi, naravno, znate da ako se bijela svjetlost prođe kroz prizmu, pojavit će se spektar od sedam čistih boja. To se događa jer se indeks loma stakla od kojeg je prizma napravljena mijenja ovisno o dužini elektromagnetnog vala. To je upravo dokaz da je bijela svjetlost zbir svjetlosnih valova različitih dužina. Dakle, propuštanjem svjetlosti kroz prizmu i dobivanjem njenog spektra, možemo analizirati svojstva svjetlosti ispitivanjem kombinacija boja. Isto tako, razlaganjem primljenog signala na njegove različite frekvencijske komponente, možemo saznati kako je izvorni signal nastao, kojom putanjom je išao ili, konačno, kakvom je vanjskom utjecaju bio podvrgnut. Ukratko, možemo dobiti informacije kako bismo saznali porijeklo signala.

Ova metoda analize se zove spektralna analiza ili Fourierova analiza.

Razmotrimo sljedeći sistem ortonormiranih funkcija:

Funkcija f(t) može se proširiti na ovaj sistem funkcija na intervalu [-π, π] na sljedeći način:

Koeficijenti α k,β k, kao što je ranije prikazano, može se izraziti kroz skalarne proizvode:

Općenito, funkcija f(t) može se predstaviti na sljedeći način:

Koeficijenti α 0 , α k,β k se zove Furijeovi koeficijenti, a takav prikaz funkcije se zove proširenje u Fourierov niz. Ponekad se ova reprezentacija naziva validan proširenje u Fourierov red, a koeficijenti su realni Fourierovi koeficijenti. Termin „realno“ uvodi se kako bi se prikazala ekspanzija razlikovala od proširenja Fourierovog reda u složenom obliku.

Kao što je ranije spomenuto, proizvoljna funkcija može se proširiti u sistem ortogonalnih funkcija, čak i ako funkcije iz ovog sistema nisu predstavljene kao trigonometrijski niz. Obično, pod ekspanzijom Fourierovog reda podrazumijevamo proširenje u trigonometrijski niz. Ako su Fourierovi koeficijenti izraženi u terminima α 0 , α k,β k dobijamo:

Pošto na k = 0 trošak= 1, zatim konstanta a 0 /2 izražava opšti oblik koeficijenta i k at k= 0.

U odnosu (5.1), oscilacija najdužeg perioda, predstavljena zbirom cos t and grijeh t se naziva oscilacija osnovne frekvencije ili prvi harmonik. Oscilacija s periodom jednakim polovini glavnog perioda naziva se sekundom harmonic. Oscilacija sa periodom jednakim 1/3 glavnog perioda se naziva treći harmonik itd. Kao što se vidi iz relacije (5.1) a 0 je konstantna vrijednost koja izražava prosječnu vrijednost funkcije f(t). Ako je funkcija f(t) je onda električni signal a 0 predstavlja njegovu konstantnu komponentu. Posljedično, svi ostali Fourierovi koeficijenti izražavaju njegove varijabilne komponente.

Na sl. Slika 5.2 prikazuje signal i njegovu ekspanziju u Fourierov niz: u konstantnu komponentu i harmonike različitih frekvencija. U vremenskom domenu, gdje je vrijeme varijabla, signal se izražava funkcijom f(t), au frekvencijskom domenu, gdje je varijabla frekvencija, signal je predstavljen Fourierovim koeficijentima (a k, b k).

Prvi harmonik je periodična funkcija sa periodom 2 π Drugi harmonici takođe imaju period koji je višekratnik 2 π . Na osnovu toga, prilikom generisanja signala iz komponenti Fourierovog reda, prirodno ćemo dobiti periodičnu funkciju s periodom 2 π. A ako je to tako, onda je proširenje Fourierovog reda, striktno govoreći, način predstavljanja periodičnih funkcija.

Proširimo signal tipa koji se često javlja u Fourierov niz. Na primjer, uzmite u obzir krivulju pilastih zuba spomenutu ranije (slika 5.3). Signal ovog oblika na segmentu - π < t < π i je izraženo funkcijom f( t)= t, pa se Furijeovi koeficijenti mogu izraziti na sljedeći način:

Primjer 1.

Širenje signala pilastih u Fourierov red

f(t) = t,

A) Pravougaoni niz impulsa .

Slika 2. Redoslijed pravokutnih impulsa.

Ovaj signal je ravnomjerna funkcija i pogodan je za korištenje sinus-kosinus oblik Fourierov niz:

. (17)

Trajanje impulsa i period njihovog ponavljanja uključeni su u rezultirajuću formulu u obliku omjera, koji se naziva radni ciklus impulsnog niza :.

. (18)

Vrijednost konstantnog člana serije, uzimajući u obzir odgovara:

.

Predstavljanje niza pravokutnih impulsa u obliku Fourierovog niza ima oblik:

. (19)

Graf funkcije ima uzorak režnja. Horizontalna os je gradirana u harmonijskim brojevima i frekvencijama.

Slika 3. Prikaz niza pravougaonih impulsa

u obliku Fourierovog niza.

Širina latice, mjeren u broju harmonika, jednak je radnom ciklusu (na , imamo , ako ). To implicira važno svojstvo spektra niza pravokutnih impulsa - u njemu nema harmonika sa brojevima koji su višekratnici radnog ciklusa . Frekvencijska udaljenost između susjednih harmonika jednaka je frekvenciji ponavljanja impulsa. Širina režnjeva, mjerena u frekvencijskim jedinicama, jednaka je tj. je obrnuto proporcionalna trajanju signala. Možemo zaključiti: što je puls kraći, širi je spektar .

b) Signal rampe .

Slika 4. Ramp talas.

Pilasti signal unutar perioda opisuje se linearnom funkcijom

, . (20)

Ovaj signal je neparna funkcija, stoga njegov Fourierov niz u sinus-kosinusnom obliku sadrži samo sinusne komponente:

Fourierov niz pilastog signala ima oblik:

Za spektre pravougaonih i pilastih signala karakteristično je da amplitude harmonika sa rastućim brojevima proporcionalno smanjiti .

V) Trokutasti slijed impulsa .

Fourierov niz ima oblik:

Slika 5. Sekvenca trokutastih impulsa.

Kao što vidimo, za razliku od niza pravougaonih i pilastih impulsa, za trokutasti periodični signal amplitude harmonika se smanjuju proporcionalno drugom stepenu harmonijskih brojeva. To je zbog činjenice da brzina raspada spektra zavisi od stepen glatkoće signala.

Predavanje br. 3. Fourierova transformacija.

Svojstva Fourierove transformacije.

Oblici snimanja Fourierove serije. Signal se zove periodično, ako se njegov oblik ciklički ponavlja u vremenu Periodični signal u(t) generalno piše ovako:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Ovdje je T-period signala. Periodični signali mogu biti jednostavni ili složeni.

Za matematički prikaz periodičnih signala sa periodom TČesto se koristi serija (2.2) u kojoj se kao osnovne funkcije biraju harmonijske (sinusne i kosinusne) oscilacije više frekvencija

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; ..., (2.3)

gdje je w 1 =2p/T glavna ugaona frekvencija niza

funkcije. Za harmonijske bazne funkcije, iz reda (2.2) dobijamo Fourierov red (Jean Fourier - francuski matematičar i fizičar 19. veka).

Harmonične funkcije oblika (2.3) u Fourierovom redu imaju sljedeće prednosti: 1) jednostavan matematički opis; 2) invarijantnost na linearne transformacije, tj. ako postoji harmonijska oscilacija na ulazu linearnog kola, onda će na njegovom izlazu biti i harmonijska oscilacija, koja se od ulaza razlikuje samo po amplitudi i početnoj fazi; 3) kao i signal, harmonijske funkcije su periodične i imaju beskonačno trajanje; 4) tehnika za generisanje harmonijskih funkcija je prilično jednostavna.

Iz kursa matematike je poznato da da bi se periodični signal proširio u niz harmonijskih funkcija (2.3), moraju biti ispunjeni Dirichletovi uslovi. Ali svi realni periodični signali zadovoljavaju ove uslove i mogu se predstaviti u obliku Fourierovog niza, koji se može napisati u jednom od sledećih oblika:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

gdje su koeficijenti

A 0 =

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

ili u složenom obliku

u(t)= (2.8)

Cn= (2.9)

Iz (2.4) - (2.9) proizilazi da u opštem slučaju periodični signal u(t) sadrži konstantnu komponentu A 0 /2 i skup harmonijskih oscilacija osnovne frekvencije w 1 =2pf 1 i njenih harmonika sa frekvencije w n =nw 1, n=2 ,3,4,… Svaki od harmonika

Oscilacije Fourierovog reda karakteriziraju amplituda i početna faza y n .nn

Spektralni dijagram i spektar periodičnog signala. Ako se bilo koji signal predstavi kao zbir harmonijskih oscilacija različitih frekvencija, onda se kaže da spektralna dekompozicija signal.

Spektralni dijagram signal se obično naziva grafički prikaz koeficijenata Fourierove serije ovog signala. Postoje dijagrami amplitude i faze. Na sl. 2.6, na određenoj skali, vrijednosti harmonijskih frekvencija su iscrtane duž horizontalne ose, a njihove amplitude A mn i faze y n duž vertikalne ose. Štaviše, harmonijske amplitude mogu imati samo pozitivne vrijednosti, faze mogu imati i pozitivne i negativne vrijednosti u intervalu -p£y n £p

Spektar signala- ovo je skup harmonijskih komponenti sa određenim vrijednostima frekvencija, amplituda i početnih faza, koje zajedno tvore signal. U tehničkim aplikacijama, u praksi, spektralni dijagrami se kraće nazivaju - amplitudski spektar, fazni spektar. Najčešće ljude zanima dijagram amplitudnog spektra. Može se koristiti za procjenu procenta harmonika u spektru.

Primjer 2.3. Proširite periodični niz pravokutnih video impulsa u Fourierov niz With poznatim parametrima (U m , T, t z),čak i "U odnosu na tačku t=0. Konstruisati spektralni dijagram amplituda i faza na U m =2B, T=20ms, S=T/t i =2 i 8.

Dati periodični signal u intervalu od jednog perioda može se zapisati kao

u(t) =

Da bismo predstavili ovaj signal, koristićemo formu Fourierovog reda V oblik (2.4). Pošto je signal paran, u ekspanziji će ostati samo kosinusne komponente.

Rice. 2.6. Spektralni dijagrami periodičnog signala:

a - amplituda; b- faza

Integral neparne funkcije tokom perioda jednak je nuli. Koristeći formule (2.5) nalazimo koeficijente

što nam omogućava da napišemo Fourierov niz:

Za konstruiranje spektralnih dijagrama za specifične numeričke podatke postavljamo i=0, 1, 2, 3, ... i izračunavamo koeficijente harmonika. Rezultati proračuna prvih osam komponenti spektra sumirani su u tabeli. 2.1. U nizu (2.4) A" mn =0 a prema (2.7) A mn =|A' mn |, glavna frekvencija f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314 rad/s . Amplitudni spektar na sl.

2.7 je napravljen za ove n, na kojoj I mn više od 5% maksimalne vrijednosti.

Iz datog primjera 2.3 proizilazi da se sa povećanjem radnog ciklusa povećava broj spektralnih komponenti, a njihove amplitude smanjuju. Za takav signal se kaže da ima bogat spektar. Treba napomenuti da za mnoge praktično korišćene signale nema potrebe za izračunavanjem amplituda i faza harmonika koristeći prethodno date formule.

Tabela 2.1. Amplitude komponenti Fourierovog reda periodičnog niza pravokutnih impulsa

Rice. 2.7. Spektralni dijagrami periodične sekvence impulsa: A- sa radnim ciklusom S-2; - b-sa radnim ciklusom S=8

U matematičkim referencama postoje tabele proširenja signala u Fourierov niz. Jedna od ovih tabela data je u Dodatku (Tabela A.2).

Često se postavlja pitanje: koliko spektralnih komponenti (harmonika) treba uzeti da bi se predstavljao pravi signal u Fourierovom nizu? Uostalom, serija je, strogo govoreći, beskonačna. Ovdje se ne može dati definitivan odgovor. Sve ovisi o obliku signala i točnosti njegove reprezentacije Fourierovim nizom. Lakša promjena signala - potrebno je manje harmonika. Ako signal ima skokove (diskontinuitete), tada je potrebno sabrati veći broj harmonika da bi se postigla ista greška. Međutim, u mnogim slučajevima, na primjer u telegrafiji, vjeruje se da su tri harmonika dovoljna za prijenos pravokutnih impulsa sa strmim frontovima.