Da bi se pojednostavile metode za rješavanje problema analize kola, signali su predstavljeni kao zbir određenih funkcija.
Ovaj proces je potkrijepljen konceptom generaliziranog Fourierovog reda. U matematici je dokazano da se svaka funkcija koja zadovoljava Dirichletove uslove može predstaviti kao niz:
Da bismo odredili, pomnožimo lijevi i desni dio niza sa i uzmemo integral lijevog i desnog dijela:
za interval u kojem su zadovoljeni uslovi ortogonalnosti.
To se vidi. Dobili smo izraz za generalizovani Fourierov red:
Izdvajamo specifičnu vrstu funkcije za proširenje signala u niz. Kao takvu funkciju biramo ortogonalni sistem funkcija:
Da bismo odredili seriju, izračunavamo vrijednost:
Dakle, dobijamo:
Grafički, ovaj niz je predstavljen kao dva grafikona amplitudnih harmonijskih komponenti.
Rezultirajući izraz se može predstaviti kao:
Dobili smo drugi oblik snimanja trigonometrijskog Fourierovog niza. Grafički, ova serija je predstavljena u obliku dva grafikona – amplitudnog i faznog spektra.
Nađimo složeni oblik Fourierovog reda, za to koristimo Eulerove formule:
Grafički, spektar u ovom obliku je predstavljen na osi frekvencije u opsegu.
Očigledno je da je spektar periodičnog signala, izražen u kompleksnom ili amplitudnom obliku, diskretan. To znači da spektar sadrži komponente sa frekvencijama
Spektralne karakteristike neperiodičnih signala
Pošto se jedan signal u radiotehnici smatra neperiodičnim signalom, da bismo pronašli njegov spektar, signal predstavljamo kao periodični signal sa periodom. Koristimo transformaciju Fourierovog reda za dati period. Nabavite za:
Analiza dobijenog izraza pokazuje da pri , amplitude komponenti postaju beskonačno male i da se nalaze kontinuirano na osi frekvencije. Zatim, da bismo izašli iz ove situacije, koristimo koncept spektralne gustine:
Zamijenimo rezultirajući izraz u složeni Fourierov red, dobićemo:
Konačno dobijamo:
Ovdje je spektralna gustina, a sam izraz je direktna Fourierova transformacija. Za određivanje signala iz njegovog spektra koristi se inverzna Fourierova transformacija:
Svojstva Fourierove transformacije
Iz formula direktne i inverzne Fourierove transformacije, očigledno je da ako se signal promijeni, onda će se promijeniti i njegov spektar. Sljedeća svojstva postavljaju ovisnost spektra promijenjenog signala o spektru signala prije promjena.
1) Svojstvo linearnosti Fourierove transformacije
Otkrili smo da je spektar zbira signala jednak zbiru njihovih spektra.
2) Spektar signala pomjeren u vremenu
Utvrđeno je da kada se signal pomjeri, amplituda se ne mijenja, već se mijenja samo fazni spektar za vrijednost
3) Promjena vremenske skale
odnosno, kada se signal širi (sužava) nekoliko puta, spektar ovog signala se sužava (proširuje).
4) Spektar pomaka
5) Spektar derivacije signala
Uzmite derivaciju lijeve i desne strane inverzne Fourierove transformacije.
Vidimo da je spektar derivacije signala jednak spektru originalnog signala pomnoženog sa, odnosno mijenja se amplituda spektra i mijenja fazni spektar.
6) Integralni spektar signala
Uzmite integral lijeve i desne strane inverzne Fourierove transformacije.
Vidimo da je spektar derivacije signala jednak spektru originalnog signala podijeljenom sa,
7) Spektar proizvoda dva signala
Dakle, spektar proizvoda dva signala jednak je konvoluciji njihovih spektra pomnoženim sa koeficijentom
8) Svojstvo dualnosti
Dakle, ako spektar odgovara nekom signalu, tada signal po obliku koji se poklapa sa gornjim spektrom odgovara spektru po obliku koji se podudara sa gornjim signalom.
Smjernice za laboratorijski rad
DisciplinaElementi opšte teorije signala »
DOGOVORENO RAZVIJENO
Inženjer zaštite rada Vanredni profesor Katedre za EAPP
G.V. Mangutkina ________ A.S. Khismatullin
2014 _____________2014
student gr. BAT-11-21
E.I.Bulankin
Metodička uputstva su namenjena studentima smera pripreme 220700 "Automatizacija tehnoloških procesa i proizvodnje", profila "Automatizacija tehnoloških procesa i proizvodnje u petrohemiji i preradi nafte".
Razgovarano na sastanku EAPP odjela
Zapisnik broj ______ od ___________________2014
ã Ogranak FGBOU VPO UGNTU u Salavatu, 2014
KARAKTERISTIKE DETERMINISTIČKIH SIGNALI
Cilj: proučavanje karakteristika determinističkih signala
u Mathcadu.
Kratke teorijske informacije
Spektralne karakteristike periodičnih signala
Uvjet periodičnosti - x(t)= x(t+mT), gdje T- tačka m- prirodni broj, m= 1, 2, .... Bilo koji periodični signal x(t) može biti predstavljen trigonometrijskim Fourierovim redom.
x(t)= a0 + ∑(a k cos kw 1 t + b k grijeh kW 1 t)= a 0 + ∑ A k cos( kw 1 t +φ k), (1.1)
gdje je ω 1 = 2π/T je ugaona frekvencija 1. ili osnovnog harmonika; a 0 , i k, And b to koeficijenti ekspanzije izračunati po formulama:
a 0 = a k = 
b k = 
gdje A k je amplituda k-tog harmonika; φ k je faza k-tog harmonika; a 0– prosječna vrijednost signala (konstantna komponenta); kω 1 = ω k– ugaona frekvencija k-th harmonic; t n je tačka u vremenu koja odgovara početku perioda.
Zavisnosti A k i φ k na frekvenciji ω k su amplituda i fazni spektri, respektivno.
U nekim slučajevima, složeniji oblik Fourierovog reda je prikladniji
(1.2)
Koeficijenti serije (1.2) se izračunavaju po formuli
(1.3)
Formule (1.2) i (1.3) su par Fourierovih transformacija. Skup koeficijenata 
kompleksni spektar periodičnog signala x(t). Skup stvarnih vrijednosti u zavisnosti od frekvencije je spektar amplituda. Skup vrijednosti φ k zavisno od frekvencijsko-faznog spektra.
Niz (1.2) je prikladno predstavljen u obliku
(1.4)
(1.5)
Primjer 1.1
Konstruisati spektre amplituda i faza signala x(t), čiji analitički izraz, sa početnim podacima V m:= 4volt∙sec -1 ,T:= 2 sec i t 0:= 2 sec, ima obrazac
.
Grafikon signala za vremenski raspon t:=-1,5∙T, 
prikazano na slici 1.
Slika 1 - Grafikon signala
Rješenje
Pošto je ovaj signal periodična funkcija vremena, onda je za njegovu spektralnu reprezentaciju potrebno koristiti ili trigonometrijski ili složeni Fourierov red. Nađimo spektre amplituda i faza na osnovu trigonometrijskog Fourierovog niza.
Odredimo koeficijente ekspanzije signala u intervalu t:= 0..T na ugaonoj frekvenciji osnovnog harmonika ω 1:= i broju harmonika k:= 1..5.
1) DC komponenta
2) Koeficijent kosinusa
Zamjena numeričkih vrijednosti V m , T i ω 1 daje
Kao rezultat integracije, dobijamo
Na primjer, a 1 = 0 volti; a 2 = 0 volti; a 3 = 0 volti; a 4 = 0 volti.
Drugi oblik određivanja koeficijenata ekspanzije je pogodniji.
onda izražavajući t 0 i ω 1 u terminima T, imamo
Iz toga slijedi da su za k>0 koeficijenti a k jednaki nuli.
3) Sinusoidni koeficijent
Izražavajući t 0 i ω 1 u terminima T, može se dobiti
Dakle, nakon pojednostavljenja, slijedi
Amplituda k-tog harmonika
za k>1 će biti
Dakle, uzimajući u obzir konstantnu komponentu, amplitudski spektar
Fazni spektar
Pošto su koeficijenti a k =0 i b k<0, и составит, например для k=1, φ = 1.571.
Grafikoni ovih spektra u obliku trakastih grafikona prikazani su na slici 2.
Spektralne karakteristike neperiodičnih signala
Spektralni prikaz se može generalizirati na slučaj kada je funkcija x(t) je neperiodična, tj. T→∞. U ovom slučaju se primjenjuje integralna Fourierova transformacija
Ovdje su F i F -1 oznake direktnog i inverznog Fourierovog operatora.
Formule (1.6) i (1.7) su par integralnih Fourierovih transformacija. Funkcija F(jω) naziva se spektralna funkcija ili kompleksni spektar neperiodičnih signala. Definira se na pozitivnim i negativnim frekvencijama.
Spektralna funkcija se može predstaviti kao
gdje je amplitudski spektar,
je fazni spektar.
Primjer 1.2
Naći spektar funkcije x(t) definirane na intervalu -τ/2 Funkcijski analitički izraz Slika 3 - Učestalost ponavljanja Rješenje Pošto je funkcija neperiodična funkcija vremena, njenu spektralnu funkciju (kompleksni spektar) nalazimo na osnovu integralne Fourierove transformacije (1.7). U smislu bezdimenzijskih veličina, treba imati na umu da spektralna funkcija karakterizira spektralnu gustoću amplituda i faza elementarnih složenih harmonijskih oscilacija. Ima dimenziju volti × sekunde za signal u obliku napona. frekvencija ugla ω
ima dimenziju radijana/sekundi. Uz pomoć spektralnih karakteristika procjenjuje se unutrašnji sastav (spektar) signala. Za ovaj signal x(t) predstavljaju u obliku generalizovanog Fourierovog reda, proširujući ga u smislu sistema baznih funkcija T k(t) gdje Od do - konstantni koeficijenti koji odražavaju doprinos funkcije F^(?) formiranju vrijednosti signala u razmatranom vremenskom intervalu. Sposobnost predstavljanja kompleksnog signala x(t) u obliku zbira jednostavnih signala, RDO se pokazuje posebno važnim za linearne dinamičke sisteme. princip superpozicije, tj. njihova reakcija na zbir uticaja (signala) jednaka je zbiru reakcija na svaki od uticaja posebno. Stoga, poznavajući reakciju linearnog sistema na jednostavan signal, moguće je, sumirajući rezultate, odrediti njegovu reakciju na bilo koji drugi složeni signal. Izbor funkcije k(t) podliježe zahtjevima maksimalne tačnosti aproksimacije signala x(t) serije (7.21) sa minimalnim brojem članova ovog niza i, ako je moguće, smanjenjem računskih poteškoća koje nastaju pri određivanju koeficijenata serije Sa k. Kao osnovne funkcije, najšire korištene su realne trigonometrijske funkcije i složene eksponencijalne funkcije Na njima se bazira klasična spektralna analiza signala. Istovremeno je moguće koristiti i druge sisteme baznih funkcija (funkcije Taylora, Walsha, Laguerrea, Hermitea, Legendrea, Chebysheva, Kotel'nikova, itd.121), što u nizu slučajeva omogućava, uzimajući uzimajući u obzir specifičnosti aproksimirane funkcije x(t), smanjiti broj članova u nizu (7.21) uz zadržavanje zadate greške aproksimacije. Posljednjih godina pojavio se novi, vrlo obećavajući sistem baznih funkcija, tzv talasi. Za razliku od harmonijskih funkcija, one su u stanju da se prilagode lokalnim karakteristikama signala koji se približava promjenom svog oblika i svojstava. Kao rezultat, postaje moguće lako predstaviti složene signale (uključujući one s lokalnim skokovima i diskontinuitetima) skupovima talasa jednog ili drugog tipa. Kada se koriste trigonometrijske osnovne funkcije (7.22), niz (7.21) poprima oblik klasičnog trigonometrijskog Fourierovog reda gdje je Q \u003d 2n / T - frekvencija osnovnog harmonika serije (G - period signala); k \u003d 1, 2, 3, ... - cijeli broj; ak, bk - realni brojevi (Fourierovi koeficijenti), izračunati prema formulama U ovim formulama, kao i ranije (vidi (7.20)), t 0 - proizvoljan broj koji se može izabrati iz razloga pogodnosti pri izračunavanju integrala (7.25), budući da vrijednosti ovih integrala zavise od količine t0 ne zavise; x T (t) - osnovni signalni impuls (vidi sliku 7.3, in). Koeficijent a 0 određuje udvostručenu prosječnu (u toku perioda) vrijednost signala, preostale koeficijente a k > b k (k= 1, 2, 3, ...) - doprinos to th harmonik Fourierovog reda (7.24) u formiranju trenutnih vrijednosti signala X(?). Trigonometrijski Fourierov red (7.24) može se napisati u dva druga oblika: u obliku sinusnog proširenja i u obliku kosinusne ekspanzije gdje L 0 /2 = a 0 /2 - konstantna komponenta signala; Ak- amplituda k-and serijski harmonici, izračunati po formuli Početne faze ovih harmonika se izračunavaju iz relacija Skup amplituda harmonijskih komponenti periodičnog signala (A do )°? =( pozvao amplitudnog spektra ovaj signal. Ukupno početnih faza ovih komponenti (φ/^)^ =1 - fazni spektar signal. Koristeći Diracovu 5-funkciju 8(?), oba spektra mogu biti predstavljena rešetkaste funkcije frekvencije t.s. amplituda i fazni spektri periodičnog signala su diskretno spektri. Ovo razlikuje periodični signal od drugih signala sa kontinuiranim spektrom. Dakle, periodični signal se može predstaviti kao zbir harmonika (7.24). U ovom slučaju, frekvencija svake harmonijske komponente Fourierovog reda je višekratnik frekvencije osnovnog harmonika?2, što ovisi o periodu signala T. Što je više takvih harmonika, manja je greška aproksimacije funkcije x(t) konačan zbir Furijeovog reda (7.24). Izuzetak su tačke diskontinuiteta funkcije x(i). U blizini takvih tačaka, tzv Gibbsov fenomen|2|. Prema ovom fenomenu, u blizini tačaka diskontinuiteta, konačne sume Fourierovog reda formiraju oscilirajuće "repove", čija se visina ne smanjuje s povećanjem broja harmonika Fourierovog reda koji se uzimaju u obzir N- to je otprilike 9% skoka u funkciji x(t) na prelomnoj tački. Za izračunavanje amplitude i početne faze &-tog harmonika periodičnog signala, umjesto formula (7.28) i (7.29), mogu se koristiti formule gdje X t = X t (p) \u003d L (x T (t)) index T varijabla X - Laplaceova slika osnovnog signalnog impulsa, određenog formulom (vidi Dodatak 2) ja- imaginarna jedinica; & = 0,1,2,... je pozitivan cijeli broj. Upotreba ovih formula eliminira potrebu za izračunavanjem integrala (7.25), što uvelike pojednostavljuje proračune. Hajde da pokažemo primjer takvog proračuna. Primjer 7.1 Odredite amplitudski spektar periodičnog signala Rješenje Na sl. 7.3, ali, prikazan je grafikon takvog signala. Može se vidjeti da signal ima period T= i. Stoga je frekvencija osnovnog harmonika odgovarajućeg Fourierovog reda (7.24) jednaka Q \u003d 2p / T \u003d 2 s -1 . Uzimanje t0 = 0, x T (t) = greh? (za 0 t Rice. 73. ali - talasni oblik; b - amplitudni spektar signala shodno tome, A 0 /2 = 2/p, A k= 4/i(4& 2 - 1), SCH= l, gdje k= 1,2, 3, tj. proširenje funkcije |sin(?)| u trigonometrijski Fourierov red ima oblik Bilješka: ovdje je prihvaćeno f/, = l (i ns y k = 0) zbog upotrebe znaka minus ispred zbira serijskih harmonika. Na sl. 7.3, b prikazan je amplitudski spektar razmatranog signala. Vrijednost amplitude?-tog harmonika serije A to predstavljen vertikalnim segmentom odgovarajuće dužine, u čijoj osnovi je harmonijski broj. Treba napomenuti da je amplituda A to neki harmonici Fourierovog reda mogu biti jednaki nuli. Osim toga, monotono smanjenje amplituda ovih harmonika s povećanjem harmonijskog broja nije obavezno, kao što je slučaj na sl. 7.3, b. Međutim, u svim slučajevima uslov lim A to= 0, što slijedi iz konvergencija Fourierovog reda. Rešimo zadatak pomoću formula (7.32). Da bismo to učinili, prvo pronađemo Laplaceovu sliku osnovnog impulsa signala x T (t) Zamena ovde p = ikQ = 2ik(gde i- imaginarna jedinica, k= 1, 2, 3,...), dobijamo što se poklapa sa prethodnim rezultatima. U tehničkim aplikacijama često se koristi složeni oblik Fourierovog niza U ovom slučaju kompleksne eksponencijalne funkcije (7.23) se koriste kao osnovne funkcije. Dakle, koeficijenti C str serija (7.36) postaje sveobuhvatan. Izračunavaju se prema formuli gdje je, kao u formuli (7.6), varijabla indeksa P može biti pozitivan ili negativan cijeli broj. Kada se koristi složeni oblik Fourierovog reda (7.36) amplitudnog spektra periodični signal x(t) naziva se skup apsolutnih vrijednosti kompleksnih Fourierovih koeficijenata C str ali fazni spektar- skup glavnih argumenata ovih koeficijenata Mnoge količine (OD%)^ > = _ se poziva spektar snage periodični signal i skup kompleksnih brojeva (Od str - spektralni niz periodični signal. Ove tri karakteristike (amplitudski spektar, fazni spektar i spektar snage) su glavne spektralne karakteristike periodičnog signala. Za razliku od amplitudnog i faznog spektra periodičnog signala, predstavljenog u obliku trigonometrijskog Fourierovog niza (7.24), spektri istog signala, konstruisani korišćenjem kompleksnih Fourierovih koeficijenata (7.37), pokazuju se kao bilateralni. Ovo je posledica prisustva u (7.36) "negativnih frekvencija" on.(za negativne vrijednosti P). Ovi drugi, naravno, ne postoje u stvarnosti. Oni samo odražavaju reprezentaciju eksponencijalne harmonijske funkcije koja se koristi u formiranju složenog Fourierovog reda itd u obliku jediničnog vektora koji se rotira u smjeru kazaljke na satu ugaonom brzinom ω. Ako postoji Laplaceova slika osnovnog impulsa periodičnog signala X T (p) = L(x T (t)), tada se spektar amplituda i spektar faza periodičnog signala može izračunati po formulama Algoritmi tzv Brza Fourierova transformacija, zahvaljujući čemu je moguće toliko smanjiti vrijeme za izračunavanje Fourierovih koeficijenata da se spektri signala tokom njihove obrade dobijaju gotovo u realnom vremenu. U zaključku, ističemo tri najvažnija svojstva spektralnih karakteristika periodičnog signala. Bilješka: ako vrijednosti funkcije x(€) na krajevima + D) osnovni impuls x T (t) nisu jednake jedna drugoj, onda sa periodičnim nastavkom impulsa, ove tačke postaju tačke diskontinuiteta prve vrste. 3. Snage periodičnog signala u vremenskom i frekventnom domenu su međusobno jednake, tj. Ovaj odnos izražava Parsevalova teorema. Prisutnost u formuli (7.36) "negativnih frekvencija" nQ.(godinama Opće napomene Među različitim sistemima ortogonalnih funkcija koji se mogu koristiti kao osnove za predstavljanje radio signala, harmonijske (sinusoidne i kosinusne) funkcije zauzimaju izuzetno mjesto. Značaj harmonijskih signala za radiotehniku je zbog više razloga. U radiotehnici se mora nositi sa električnim signalima koji su povezani sa prenošenim porukama koristeći prihvaćenu metodu kodiranja. Možemo reći da je električni signal fizički (električni) proces koji nosi informaciju. Količina informacija koja se može prenijeti pomoću određenog signala ovisi o njegovim glavnim parametrima: trajanju, frekvencijskom opsegu, snazi i nekim drugim karakteristikama. Nivo smetnji u komunikacijskom kanalu je također važan: što je ovaj nivo niži, više informacija se može prenijeti pomoću signala date snage. Prije nego što govorimo o informacijskim mogućnostima signala, potrebno je upoznati se s njegovim glavnim karakteristikama. Preporučljivo je razmotriti odvojeno determinističke i slučajne signale. Svaki signal se naziva determinističkim, čija se trenutna vrijednost u bilo kojem trenutku može predvidjeti s vjerovatnoćom od jedan. Primjeri determinističkih signala su impulsi ili rafali impulsa čiji su oblik, veličina i položaj u vremenu poznati, kao i kontinuirani signal sa datim amplitudskim i faznim odnosima unutar svog spektra. Deterministički signali se mogu podijeliti na periodične i neperiodične. Periodični signal je svaki signal za koji je uvjet gdje je period T konačan segment, a k je bilo koji cijeli broj. Najjednostavniji periodični deterministički signal je harmonijska oscilacija. Strogo harmonijske oscilacije nazivaju se monohromatskim. Ovaj izraz, posuđen iz optike, naglašava da se spektar harmonijske oscilacije sastoji od jedne spektralne linije. Za stvarne signale koji imaju početak i kraj, spektar je neizbježno zamagljen. Dakle, striktno monohromatske oscilacije ne postoje u prirodi. U budućnosti će harmonični i monokromatski signal uslovno značiti oscilaciju. Bilo koji složeni periodični signal, kao što je poznato, može se predstaviti kao zbir harmonijskih oscilacija sa frekvencijama koje su višekratne osnovne frekvencije w = 2*Pi/T. Glavna karakteristika složenog periodičnog signala je njegova spektralna funkcija, koja sadrži informacije o amplitudama i fazama pojedinačnih harmonika. Neperiodični deterministički signal je svaki deterministički signal za koji je zadovoljen uslov s(t)s(t+kT). Po pravilu, neperiodični signal je vremenski ograničen. Primjeri ovakvih signala su već spomenuti impulsi, rafali impulsa, "otpadi" harmonijskih oscilacija itd. Neperiodični signali su od primarnog interesa, jer se pretežno koriste u praksi. Glavna karakteristika neperiodičnih, kao i periodičnih signala, je njegova spektralna funkcija; Slučajni signali uključuju signale čije vrijednosti nisu unaprijed poznate i mogu se predvidjeti samo sa određenom vjerovatnoćom manjom od jedan. Takve funkcije su, na primjer, električni napon koji odgovara govoru, muzici, nizu znakova telegrafskog koda kada se prenosi tekst koji se ne ponavlja. Slučajni signali uključuju i niz radio impulsa na ulazu radarskog prijemnika, kada amplitude impulsa i faze njihovog visokofrekventnog punjenja fluktuiraju zbog promjena uvjeta širenja, položaja mete i nekih drugih razloga. . Mogu se dati mnogi drugi primjeri slučajnih signala. U suštini, svaki signal koji nosi informaciju treba smatrati slučajnim. Navedeni deterministički signali, "potpuno poznati", više ne sadrže informacije. U nastavku će se takvi signali često nazivati "oscilacije". Za karakterizaciju i analizu slučajnih signala koristi se statistički pristup. Glavne karakteristike nasumičnih signala su: a) zakon raspodjele vjerovatnoće. b) spektralna distribucija snage signala. Na osnovu prve karakteristike može se pronaći relativno vrijeme zadržavanja vrijednosti signala u određenom rasponu nivoa, omjer maksimalnih vrijednosti u odnosu na srednji kvadrat i niz drugih važnih parametara signala. Druga karakteristika daje samo frekvencijsku distribuciju prosječne snage signala. Detaljnije informacije o pojedinačnim komponentama spektra – o njihovim amplitudama i fazama – spektralna karakteristika slučajnog procesa ne pruža. Uz korisne nasumične signale u teoriji i praksi, treba se pozabaviti slučajnim smetnjama – šumom. Kao što je gore pomenuto, nivo šuma je glavni faktor koji ograničava brzinu prenosa informacija za dati signal. Fourierove slike - kompleksni koeficijenti Fourierovog reda F(j w k) periodični signal (1)
i spektralnu gustinu F(j w) neperiodični signal (2)
- imaju niz zajedničkih svojstava. 1. Linearnost
.
Integrali (1)
I (2)
izvršiti linearnu transformaciju funkcije f(t). Stoga je Fourierova slika linearne kombinacije funkcija jednaka sličnoj linearnoj kombinaciji njihovih slika. Ako f(t) = a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t), onda F(j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), gdje F 1 (j w) i F 2 (j w) - Fourierove slike signala f 1 (t) I f 2 (t), respektivno. 2. Kašnjenje
(promjena porijekla vremena za periodične funkcije) .
Uzmite u obzir signal f 2 (t), odgođen na neko vrijeme t 0 u odnosu na signal f 1 (t) koji ima isti oblik: f 2 (t) = f 1 (t – t 0). Ako je signal f 1 ima sliku F 1 (j w), zatim Fourierova slika signala f 2 jednako F 2 (j w) == .
Množenjem i dijeljenjem sa , grupišemo pojmove na sljedeći način: Pošto je zadnji integral F 1 (j w), onda F 2 (j w) = e -j w t 0 F 1 (j w) .
Dakle, kada signal kasni neko vrijeme t 0 (promjena porijekla vremena), modul njegove spektralne gustine se ne mijenja, a argument se smanjuje za w t 0 proporcionalno vremenu kašnjenja. Dakle, amplitude spektra signala ne zavise od porekla, a početne faze sa zakašnjenjem od t 0 smanjenje za w t 0 . 3. Simetrija
.
Za validan f(t) slika F(j w) ima konjugiranu simetriju: F(– j w) = .
Ako f(t) je parna funkcija, onda Im F(j w) = 0; za neparnu funkciju Re F(j w) = 0. Modul | F(j w)| i pravi dio Re F(j w) - parne frekvencijske funkcije, argument arg F(j w) i Im F(j w) - neparan. 4. Diferencijacija
.
Iz formule direktne transformacije, integrirajući po dijelovima, dobijamo vezu slike derivata signala f(t) sa slikom samog signala Za apsolutno integrabilnu funkciju f(t) neintegralni član je jednak nuli i, prema tome, na , a posljednji integral predstavlja Fourierovu sliku originalnog signala F(j w) .
Dakle, Fourierova slika derivacije df/dt je povezan sa slikom samog signala relacijom j w F(j w)
- prilikom razlikovanja signala, njegova Fourierova slika se množi sa j w. Isti odnos vrijedi i za koeficijente F(j w k), koji su određeni integracijom unutar konačnih granica od – T/2 do + T/2.
Zaista, proizvod u odgovarajućim granicama Budući da, zbog periodičnosti funkcije f(T/2) = f(– T/2), a = = = (– 1) k, tada u ovom slučaju termin izvan integrala nestaje, a formula gdje strelica simbolički označava operaciju direktne Fourierove transformacije. Ovaj odnos se također može generalizirati na višestruku diferencijaciju: for n-ti derivat imamo: d n f/dt n (j w) n F(j w). Dobijene formule nam omogućavaju da pronađemo Fourierovu sliku izvoda funkcije iz njenog poznatog spektra. Također je zgodno primijeniti ove formule u slučajevima kada se kao rezultat diferencijacije dođe do funkcije čija se Fourierova slika jednostavnije izračunava. Sta ako f(t) je djelomično linearna funkcija, zatim njen izvod df/dt je djeličasta konstanta i za nju se elementarno može pronaći direktan transformacijski integral. Dobiti spektralne karakteristike integrala funkcije f(t) njegovu sliku treba podijeliti na j w. 5. Dualnost vremena i frekvencije
.
Poređenjem integrala direktne i inverzne Fourierove transformacije dolazi se do zaključka o njihovoj osebujnoj simetriji, koja postaje očiglednija ako se formula za inverznu transformaciju prepiše, prenoseći faktor 2p na lijevu stranu jednačine: Za signal f(t), što je parna funkcija vremena f(– t) = f(t) kada je spektralna gustina F(j w) - stvarna vrijednost F(j w) = F(w), oba se integrala mogu prepisati u trigonometrijskom obliku kosinusne Fourierove transformacije: Uz međusobnu zamjenu t i w integrali direktne i inverzne transformacije se pretvaraju jedan u drugi. Iz ovoga slijedi da ako F(w) predstavlja spektralnu gustinu parne funkcije vremena f(t), zatim funkcija 2p f(w) je spektralna gustina signala F(t). Za neparne funkcije f(t) [f(t) = – f(t)] spektralna gustina F(j w) čisto imaginarno [ F(j w) = jF(w)]. Fourierovi integrali se u ovom slučaju svode na oblik sinusnih transformacija, iz čega slijedi da ako je spektralna gustina jF(w) odgovara neparnoj funkciji f(t), zatim vrijednost j 2p f(w) predstavlja spektralnu gustinu signala F(t). Dakle, grafovi vremenske zavisnosti signala ovih klasa i njihove spektralne gustine su međusobno dualni. Integral (1)
Integral (2)
U radiotehnici se široko koristi spektralna i vremenska reprezentacija signala. Iako su signali po svojoj prirodi slučajni procesi, međutim, pojedinačne implementacije slučajnog procesa i nekih posebnih (na primjer, mjernih) signala mogu se smatrati determinističkim (odnosno poznatim) funkcijama. Potonji se obično dijele na periodične i neperiodične, iako striktno periodični signali ne postoje. Signal se naziva periodičnim ako zadovoljava uslov na vremenskom intervalu, gdje je T konstantna vrijednost, koja se naziva period, a k je bilo koji cijeli broj. Najjednostavniji primjer periodičnog signala je harmonijska oscilacija (ili skraćeno harmonik). gdje je amplituda, = je frekvencija, je kružna frekvencija, je početna faza harmonika. Važnost koncepta harmonika za teoriju i praksu radiotehnike objašnjava se nizom razloga: Neperiodični signal je signal koji je različit od nule u konačnom vremenskom intervalu. Neperiodični signal se može smatrati periodičnim, ali sa beskonačno velikim periodom. Jedna od glavnih karakteristika neperiodičnih signala je njegov spektar. Spektar signala je funkcija koja pokazuje ovisnost intenziteta različitih harmonika u sastavu signala o frekvenciji tih harmonika. Spektar periodičnog signala je zavisnost koeficijenata Fourierovog reda o frekvenciji harmonika kojima ti koeficijenti odgovaraju. Za neperiodični signal, spektar je direktna Fourierova transformacija signala. Dakle, spektar periodičnog signala je diskretni spektar (diskretna funkcija frekvencije), dok je neperiodični signal karakteriziran kontinuiranim spektrom (kontinuiranim) spektrom. Obratimo pažnju na činjenicu da diskretni i kontinuirani spektri imaju različite dimenzije. Diskretni spektar ima istu dimenziju kao i signal, dok je dimenzija kontinuiranog spektra jednaka odnosu dimenzije signala prema dimenziji frekvencije. Ako je, na primjer, signal predstavljen električnim naponom, tada će se diskretni spektar mjeriti u voltima [V], a kontinuirani spektar u voltima po hercu [V/Hz]. Stoga se izraz "spektralna gustina" također koristi za kontinuirani spektar. Razmotrimo prvo spektralnu reprezentaciju periodičnih signala. Iz kursa matematike je poznato da svaka periodična funkcija koja zadovoljava Dirichletove uslove (jedan od neophodnih uslova je uslov da energija bude konačna) može biti predstavljena Fourierovim redom u trigonometrijskom obliku: gdje određuje prosječnu vrijednost signala tokom perioda i naziva se konstantna komponenta. Frekvencija se naziva osnovna frekvencija signala (frekvencija prvog harmonika), a njeni višekratnici se nazivaju viši harmonici. Izraz (3) se može predstaviti kao: Inverzni odnosi za koeficijente a i b imaju oblik Slika 1 prikazuje tipičan prikaz grafika amplitudnog spektra periodičnog signala za trigonometrijski oblik serije (6): Korištenje izraza (Eulerova formula). umjesto (6), možemo napisati složeni oblik Fourierovog reda: gdje se koeficijent naziva kompleksne amplitude harmonika, čije su vrijednosti, kako slijedi iz (4) i Eulerove formule, određene izrazom: Uspoređujući (6) i (9), primjećujemo da kada se koristi složeni oblik Fourierovog reda, negativne vrijednosti k nam omogućavaju da govorimo o komponentama sa "negativnim frekvencijama". Međutim, pojava negativnih frekvencija je formalne prirode i povezana je sa upotrebom složene notacije za predstavljanje stvarnog signala. Tada umjesto (9) dobijamo: ima dimenziju [amplituda / herc] i pokazuje amplitudu signala po opsegu od 1 herca. Stoga se ova kontinuirana frekvencijska funkcija S(jw) naziva spektralna gustina kompleksnih amplituda ili jednostavno spektralna gustina. Napominjemo jednu važnu okolnost. Upoređujući izraze (10) i (11), primjećujemo da se za w=kwo razlikuju samo za konstantan faktor, a one. kompleksne amplitude periodične funkcije s periodom T mogu se odrediti iz spektralne karakteristike neperiodične funkcije istog oblika, date u intervalu . Gore navedeno vrijedi i za modul spektralne gustine: Iz ovog odnosa proizilazi da se omotač kontinuiranog amplitudskog spektra neperiodičnog signala i omotač amplituda linijskog spektra periodičnog signala poklapaju po obliku i razlikuju samo po mjerilu. Izračunajmo sada energiju neperiodičnih signala. Pomnoživši oba dijela nejednakosti (14) sa s(t) i integrirajući u beskonačnim granicama, dobivamo: gdje su S(jw) i S(-jw) kompleksne konjugirane veličine. Jer Ovaj izraz se zove Parsevalova jednakost za neperiodični signal. Određuje ukupnu energiju signala. Iz toga slijedi da ne postoji ništa više od energije signala po 1 Hz frekvencijskog pojasa oko frekvencije w. Stoga se funkcija ponekad naziva spektralna gustoća energije signala s(t). Sada predstavljamo, bez dokaza, nekoliko teorema o spektrima koji izražavaju glavna svojstva Fourierove transformacije.
