Koncept ranga matrice usko je povezan s konceptom linearne ovisnosti (nezavisnosti) njenih redova ili stupaca. U budućnosti ćemo predstaviti materijal za redove, za kolone je prezentacija slična.
U matrici A Označimo njegove linije na sljedeći način:
, 
, …. , 
Kaže se da su dva reda matrice jednaka, ako su im odgovarajući elementi jednaki: , ako , .
Aritmetičke operacije nad redovima matrice (množenje reda brojem, dodavanje redaka) uvode se kao operacije koje se izvode element po element:
Linija e naziva se linearna kombinacija nizova..., matrice, ako je jednak zbroju proizvoda ovih redova proizvoljnim realnim brojevima:
Pozivaju se redovi matrice linearno zavisna, ako postoje takvi brojevi koji nisu istovremeno jednaki nuli, tako da je linearna kombinacija redova matrice jednaka nultom redu:
, =(0,0,...,0). (3.3)
Teorema 3.3Redovi matrice su linearno zavisni ako je barem jedan red matrice linearna kombinacija ostalih.
□ Zaista, neka, radi određenosti, u formuli (3.3) 
, onda
Dakle, red je linearna kombinacija ostalih redova. ■
Ako je linearna kombinacija redova (3.3) jednaka nuli ako i samo ako su svi koeficijenti jednaki nuli, tada se redovi nazivaju linearno nezavisnim.
Teorema 3.4.(o rangu matrice) Rang matrice je jednak maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih redova ili kolona kroz koje su linearno izraženi svi njeni ostali redovi (kolone).
□ Neka je matrica A veličina m n ima rang r(r min). To znači da postoji minor koji nije nula r-th red. Svaki mol koji nije nula r reda će se zvati osnovni mol.
Neka je, radi određenosti, osnovni mol vodeći ili korner minor. Tada su redovi matrice linearno nezavisni. Pretpostavimo suprotno, to jest da je jedan od ovih nizova, na primjer, linearna kombinacija ostalih. Oduzmite od elemenata r-ti elementi reda 1. reda pomnoženi sa , zatim elementi 2. reda pomnoženi sa , ... i elementi ( r- 1) - ti red, pomnožen sa . Na osnovu svojstva 8, pod ovakvim transformacijama matrice, njena determinanta D se ne menja, već pošto r- i niz će se sada sastojati samo od nula, tada je D = 0 - kontradikcija. Stoga je naša pretpostavka da su redovi matrice linearno zavisni netačna.
Nazovimo žice osnovni. Pokažimo da su bilo koji (r+1) redovi matrice linearno zavisni, tj. bilo koji niz se izražava u terminima osnovnih nizova.
Razmotrimo minor (r + 1) -ti red, koji se dobija dopunom razmatranog minora elementima drugog reda i i kolona j. Ovaj minor je nula, pošto je rang matrice r, tako da je svaki minor višeg reda nula.
Proširujući ga elementima poslednje (dodate) kolone, dobijamo
Pri čemu je modul posljednjeg algebarskog komplementa isti kao i osnovni minor D i stoga različit od nule, tj. 0.
Neka bude
Stupci matrice dimenzija . Linearna kombinacija matričnih kolona naziva se matrica stupaca, dok - neki realni ili kompleksni brojevi, tzv koeficijenti linearne kombinacije. Ako u linearnoj kombinaciji uzmemo sve koeficijente jednake nuli, onda je linearna kombinacija jednaka matrici nulte kolone.
Pozivaju se stupci matrice linearno nezavisna , ako je njihova linearna kombinacija jednaka nuli samo kada su svi koeficijenti linearne kombinacije jednaki nuli. Pozivaju se stupci matrice linearno zavisna , ako postoji skup brojeva , među kojima je barem jedan različit od nule, a linearna kombinacija stupaca sa ovim koeficijentima jednaka je nuli
Slično, mogu se dati definicije linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti redova matrice. U nastavku su formulirane sve teoreme za stupce matrice.
Teorema 5
Ako među stupcima matrice postoji nula, tada su stupci matrice linearno zavisni.
Dokaz. Razmotrimo linearnu kombinaciju u kojoj su svi koeficijenti jednaki nuli za sve kolone koji nisu nula i jedan za nulti stupac. Ona je jednaka nuli, a među koeficijentima linearne kombinacije nalazi se jedan različit od nule. Stoga su stupci matrice linearno zavisni.
Teorema 6
Ako matrične kolone linearno zavisna, onda sve kolone matrice su linearno zavisne.
Dokaz. Radi određenosti, pretpostavićemo da su prvi stupci matrice 
linearno zavisna. Tada, prema definiciji linearne zavisnosti, postoji skup brojeva, među kojima je barem jedan različit od nule, a linearna kombinacija stupaca sa ovim koeficijentima jednaka je nuli
Sastavite linearnu kombinaciju svih stupaca matrice, uključujući preostale stupce sa nultim koeficijentima
ali . Stoga su svi stupci matrice linearno zavisni.
Posljedica. Među linearno nezavisnim stupcima matrice, svaki je linearno nezavisan. (Ovu tvrdnju je lako dokazati kontradikcijom.)
Teorema 7
Da bi stupci matrice bili linearno zavisni, potrebno je i dovoljno da barem jedan stupac matrice bude linearna kombinacija ostalih.
Dokaz.
Need. Neka su stupci matrice linearno zavisni, odnosno postoji skup brojeva, među kojima je barem jedan različit od nule, a linearna kombinacija stupaca sa ovim koeficijentima jednaka je nuli
Pretpostavimo za određenost da . Dakle, prvi stupac je linearna kombinacija ostalih.
Adekvatnost. Neka je barem jedan stupac matrice linearna kombinacija ostalih, na primjer, , gdje su neki brojevi.
Tada je , odnosno linearna kombinacija kolona jednaka nuli, a među brojevima linearne kombinacije, barem jedan (za ) je različit od nule.
Neka je rang matrice . Poziva se svaki minor reda koji nije nula osnovni . Zovu se redovi i kolone na čijem se preseku nalazi osnovni minor osnovni .
Označavamo svaki red matrice A e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (na primjer,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), itd.). Svaki od njih je matrica reda koja se može pomnožiti brojem ili dodati drugom redu prema općim pravilima za rad s matricama.
Linearna kombinacija nizova e l , e 2 ,...e k je zbir proizvoda ovih nizova proizvoljnim realnim brojevima:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , gdje su l l , l 2 ,..., l k proizvoljni brojevi (koeficijenti linearne kombinacije).
Zovu se redovi matrice e l , e 2 ,...e m linearno zavisna, ako postoje takvi brojevi l l , l 2 ,..., l m , koji nisu istovremeno jednaki nuli, tako da je linearna kombinacija redova matrice jednaka nultom redu:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, gdje je 0 = (0 0...0).
Linearna ovisnost redova matrice znači da je barem jedan red matrice linearna kombinacija ostalih. Zaista, neka je, radi određenosti, zadnji koeficijent l m ¹ 0. Tada, dijeleći obje strane jednakosti sa l m , dobijemo izraz za posljednji red kao linearnu kombinaciju preostalih redova:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .
Ako je linearna kombinacija redova nula ako i samo ako su svi koeficijenti nula, tj. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, tada se linije nazivaju linearno nezavisna.
Teorema o rangu matrice. Rang matrice jednak je maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih redova ili stupaca u smislu kojih se svi njeni ostali redovi ili stupci mogu linearno izraziti.
Dokažimo ovu teoremu. Neka m x n matrica A ima rang r (r(A) £ min (m; n)). Dakle, postoji minor koji nije nula reda r. Svaki takav maloljetnik će biti pozvan osnovni. Neka ovo bude mol za određenost
Redovi ovog minora će također biti pozvani osnovni.
Dokažimo da su tada redovi matrice e l , e 2 ,...e r linearno nezavisni. Pretpostavimo suprotno, tj. jedan od ovih redova, na primjer, r-ti red, je linearna kombinacija ostatka: er = llel + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Tada, ako oduzmemo od elementi r-tog reda elementi 1. reda pomnoženi sa ll, elementi 2. reda pomnoženi sa l 2, itd. konačno, elementi (r-1)-og reda pomnoženi sa l r-1 , tada će r-ti red postati nula. Istovremeno, prema svojstvima determinante, gornja determinanta se ne bi trebala mijenjati, a istovremeno bi trebala biti jednaka nuli. Dobivena je kontradikcija, dokazana je linearna nezavisnost struna.
Dokažimo sada da su bilo koji (r+1) redovi matrice linearno zavisni, tj. bilo koji niz se može izraziti u terminima osnovnih nizova.
Dopunimo prethodno razmatrani minor sa još jednim redom (i-ti) i još jednom kolonom (j-ti). Kao rezultat, dobijamo minor (r+1)-tog reda, koji je, po definiciji ranga, jednak nuli.
gdje su neki brojevi (neki ili čak svi ovi brojevi mogu biti jednaki nuli). To znači da postoje sljedeće jednakosti između elemenata stupaca:
Iz (3.3.1) slijedi da
Ako je jednakost (3.3.3) istinita ako i samo ako je , tada se redovi nazivaju linearno nezavisnim. Relacija (3.3.2) pokazuje da ako je jedan od redova linearno izražen u terminima ostalih, onda su redovi linearno zavisni.
Lako je vidjeti i suprotno: ako su redovi linearno zavisni, onda postoji red koji je linearna kombinacija ostalih redova.
Neka, na primjer, u (3.3.3) , onda 
.
Definicija. Neka je u matrici A odabran neki minor r-tog reda i neka minor (r + 1)-og reda iste matrice u potpunosti sadrži minor unutar sebe. Reći ćemo da u ovom slučaju minor graniči s minorom (ili se graniči sa ).
Sada dokazujemo važnu lemu.
Lemma o graničnim maloletnicima. Ako je minor reda r matrice A= različit od nule, a svi minori koji graniče s njom jednaki su nuli, tada je bilo koji red (stupac) matrice A linearna kombinacija njenih redova (kolona) koji čine .
Dokaz. Bez narušavanja uopštenosti rezonovanja, pretpostavićemo da je minor koji nije nula r-tog reda u gornjem levom uglu matrice A = :
.
Za prvih k redova matrice A, izjava leme je očigledna: dovoljno je isti red sa koeficijentom jednakim jedan uključiti u linearnu kombinaciju, a ostatak sa koeficijentima jednakim nuli.
Sada ćemo dokazati da su preostali redovi matrice A linearno izraženi u terminima prvih k redova. Da bismo to učinili, konstruiramo minor (r + 1)-og reda dodavanjem k-tog reda () u minor i l-ta kolona():
.
Rezultirajući minor je nula za sve k i l. Ako je , tada je jednako nuli jer sadrži dvije identične kolone. Ako je , tada je rezultirajući minor granični minor za i, prema tome, jednak je nuli prema hipotezi leme.
Proširimo mol u smislu elemenata potonjeg l-ta kolona:
Pod pretpostavkom, dobijamo:
 | (3.3.6) |
Izraz (3.3.6) znači da je k-ti red matrice A linearno izražen kroz prve r redove.
Kako se vrijednosti njenih minora ne mijenjaju kada se matrica transponira (zbog svojstva determinanti), sve dokazano vrijedi i za stupce. Teorema je dokazana.
Korolar I. Svaki red (kolona) matrice je linearna kombinacija njenih osnovnih redova (kolona). Zaista, osnovni minor matrice je drugačiji od nule, a svi minori koji graniče s njom jednaki su nuli.
Zaključak II. Determinanta n-tog reda jednaka je nuli ako i samo ako sadrži linearno zavisne redove (kolone). Dovoljnost linearne zavisnosti redova (kolona) za jednakost determinante sa nulom ranije je dokazana kao svojstvo determinanti.
Dokažimo neophodnost. Neka je data kvadratna matrica n-tog reda čiji je jedini minor jednak nuli. Iz toga slijedi da je rang ove matrice manji od n, tj. postoji barem jedan red koji je linearna kombinacija osnovnih redova ove matrice.
Dokažimo još jednu teoremu o rangu matrice.
Teorema. Maksimalni broj linearno nezavisnih redova matrice jednak je maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih stupaca i jednak je rangu ove matrice.
Dokaz. Neka je rang matrice A= jednak r. Tada je bilo koji od njegovih k osnovnih redova linearno nezavisan, inače bi osnovni minor bio jednak nuli. S druge strane, bilo koji r+1 ili više redova su linearno zavisni. Uz pretpostavku suprotno, mogli bismo pronaći minor koji nije nula reda većeg od r prema posljedicama 2 prethodne leme. Potonje je u suprotnosti s činjenicom da je maksimalni poredak minora koji nije nula r. Sve što je dokazano za redove važi i za kolone.
U zaključku predstavljamo još jednu metodu za određivanje ranga matrice. Rang matrice se može odrediti pronalaženjem minora maksimalnog reda koji je različit od nule.
Na prvi pogled, ovo zahtijeva izračunavanje konačnog, ali možda i vrlo velikog broja minora ove matrice.
Sljedeća teorema dopušta, međutim, značajna pojednostavljenja.
Teorema. Ako je minor matrice A različit od nule, a svi minori koji ga graniče jednaki su nuli, tada je rang matrice r.
Dokaz. Dovoljno je pokazati da će bilo koji podsistem redova matrice za S>r biti linearno ovisan pod uvjetima teoreme (iz ovoga slijedi da je r maksimalni broj linearno nezavisnih redova matrice ili bilo kojeg njegovog minora reda većeg od k su jednaki nuli).
Pretpostavimo suprotno. Neka su redovi linearno nezavisni. Po lemi o graničnim minorima, svaki od njih će biti linearno izražen kroz redove u kojima se minor nalazi i koji su, zbog činjenice da je različit od nule, linearno nezavisni:
Sada razmotrite sljedeću linearnu kombinaciju:
ili
Koristeći (3.3.7) i (3.3.8), dobijamo
,
što je u suprotnosti sa linearnom nezavisnošću nizova.
Prema tome, naša pretpostavka je pogrešna i, prema tome, bilo koji S>r redovi pod uslovima teoreme su linearno zavisni. Teorema je dokazana.
Razmotrimo pravilo za izračunavanje ranga matrice - metodu graničnih minora, na osnovu ove teoreme.
Prilikom izračunavanja ranga matrice treba prijeći sa minora nižeg reda na minore višeg reda. Ako je već pronađen minor r-tog reda različit od nule, tada je potrebno izračunati samo minore (r+1)-tog reda koji graniče s minorom. Ako su nula, tada je rang matrice r. Ova metoda se također koristi ako ne samo da izračunamo rang matrice, već i odredimo koji stupci (redovi) čine bazni minor matrice.
Primjer. Izračunajte rang matrice metodom rubnih minora
.
Rješenje. Minor drugog reda u gornjem lijevom uglu matrice A nije nula:
.
Međutim, svi minori trećeg reda koji ga okružuju jednaki su nuli:
 ;
|  ;
|
 ;
|  ;
|
 ;
|  .
|
Prema tome, rang matrice A je jednak dva: .
Prvi i drugi red, prvi i drugi stupac u ovoj matrici su osnovni. Preostali redovi i kolone su njihove linearne kombinacije. Zaista, sljedeće jednakosti vrijede za nizove:
U zaključku, napominjemo valjanost sljedećih svojstava:
1) rang proizvoda matrica nije veći od ranga svakog od faktora;
2) rang proizvoda proizvoljne matrice A s desne ili lijeve strane nesingularne kvadratne matrice Q jednak je rangu matrice A.
Polinomske matrice
Definicija. Polinomska matrica ili -matrica je pravokutna matrica čiji su elementi polinomi u jednoj varijabli s numeričkim koeficijentima.
Elementarne transformacije se mogu izvesti na -matricama. To uključuje:
Permutacija dva reda (kolona);
Množenje reda (kolone) brojem koji nije nula;
Dodavanje u jedan red (kolona) drugog reda (kolona), pomnoženo bilo kojim polinomom.
Dvije -matrice i iste veličine nazivaju se ekvivalentnim: ako je moguće prijeći sa matrice na korištenje konačnog broja elementarnih transformacija.
Primjer. Dokazati ekvivalentnost matrica
 ,
|  .
|
1. Zamijenite prvi i drugi stupac u matrici:
.
2. Od drugog reda oduzmite prvi, pomnožen sa ():
.
3. Pomnožite drugi red sa (-1) i zabilježite to
.
4. Oduzmite od druge kolone prvi, pomnoženo sa , Dobijamo
.
Skup svih -matrica zadanih veličina podijeljen je u klase ekvivalentnih matrica koje se ne sijeku. Matrice koje su jedna drugoj ekvivalentne formiraju jednu klasu, a ne ekvivalentne - drugu.
Svaka klasa ekvivalentnih matrica je okarakterisana kanonskom, ili normalnom, -matricom datih veličina.
Definicija. Kanonička, ili normalna, -matrica dimenzija je -matrica, koja ima polinome na glavnoj dijagonali, gdje je p manji od brojeva m i n ( 
), a polinomi koji nisu jednaki nuli imaju vodeće koeficijente jednake 1, a svaki sljedeći polinom je djeljiv sa prethodnim. Svi elementi izvan glavne dijagonale su 0.
Iz definicije proizilazi da ako među polinomima postoje polinomi stepena nula, onda se oni nalaze na početku glavne dijagonale. Ako postoje nule, onda su one na kraju glavne dijagonale.
Matrica prethodnog primjera je kanonska. Matrica
takođe kanonski.
Svaka klasa -matrix sadrži jedinstvenu kanonsku -matricu, tj. svaka -matrica je ekvivalentna jednoj kanonskoj matrici, koja se zove kanonski oblik ili normalni oblik date matrice.
Polinomi na glavnoj dijagonali kanonskog oblika date -matrice nazivaju se invarijantni faktori date matrice.
Jedna od metoda za izračunavanje invarijantnih faktora je da se data -matrica svede na kanonski oblik.
Dakle, za matricu iz prethodnog primjera, invarijantni faktori su
, , 
, .
Iz rečenog proizilazi da je prisustvo istog skupa invarijantnih faktora neophodan i dovoljan uslov za ekvivalentnost -matrica.
Redukcija -matrica na kanonski oblik svodi se na definiciju invarijantnih faktora
, ; ,
gdje je r rang matrice; - najveći zajednički djelitelj minora k-tog reda, uzet sa najvećim koeficijentom jednakim 1.
Primjer. Neka -matrica
.
Rješenje. Očigledno, najveći zajednički djelitelj prvog reda, tj. .
Minore drugog reda definiramo:
 ,
|  | itd. |
Već su ovi podaci dovoljni da se izvuče zaključak: dakle, .
Mi definišemo
,
shodno tome, 
.
Dakle, kanonski oblik ove matrice je sljedeća -matrica:
.
Matrični polinom je izraz oblika
gdje je varijabla; - kvadratne matrice reda n sa numeričkim elementima.
Ako je , tada se S naziva stepen matričnog polinoma, n je red matričnog polinoma.
Bilo koja kvadratna matrica se može predstaviti kao matrični polinom. Očigledno je tačna i suprotna izjava, tj. bilo koji matrični polinom može se predstaviti kao neka kvadratna matrica.
Valjanost ovih iskaza jasno proizilazi iz svojstava operacija nad matricama. Pogledajmo sljedeće primjere:
Primjer. Predstavljaju polinomsku matricu
u obliku matričnog polinoma može biti kako slijedi
.
Primjer. Matrični polinom
može se predstaviti kao sljedeća polinomska matrica ( -matrica)
.
Ova zamjena matričnih polinoma i polinomskih matrica igra bitnu ulogu u matematičkom aparatu metoda faktorske i komponentne analize.
Matrični polinomi istog reda se mogu sabirati, oduzimati i množiti na isti način kao i obični polinomi sa numeričkim koeficijentima. Međutim, treba imati na umu da množenje matričnih polinoma, općenito govoreći, nije komutativno, jer množenje matrice nije komutativno.
Dva matrična polinoma nazivaju se jednakima ako su im koeficijenti jednaki, tj. odgovarajuće matrice za iste potencije varijable .
Zbir (razlika) dva matrična polinoma je takav matrični polinom čiji je koeficijent na svakom stepenu varijable jednak zbiru (razlici) koeficijenata na istom stepenu u polinomima i .
Da pomnožite matrični polinom sa matričnim polinomom, trebate pomnožiti svaki član matričnog polinoma sa svakim članom matričnog polinoma, dodati rezultirajuće proizvode i donijeti slične članove.
Stepen matričnog polinoma je proizvod manji ili jednak zbiru stupnjeva faktora.
Operacije nad matričnim polinomima mogu se izvesti korištenjem operacija na odgovarajućim -matricama.
Za dodavanje (oduzimanje) matričnih polinoma dovoljno je sabrati (oduzeti) odgovarajuće -matrice. Isto vrijedi i za množenje. -matrica proizvoda matričnih polinoma jednaka je proizvodu -matrica faktora.
 |  |
S druge strane, i može se napisati u obliku
gdje je B 0 nesingularna matrica.
Prilikom dijeljenja sa, postoji jedinstveno definiran desni količnik i desni ostatak
gdje je stepen R 1 manji od stepena , ili (podjela bez ostatka), kao i lijevi količnik i lijevi ostatak ako i samo ako, gdje, red
Sistem vektora istog reda naziva se linearno zavisnim ako se nulti vektor može dobiti iz ovih vektora odgovarajućom linearnom kombinacijom. (U ovom slučaju nije dozvoljeno da svi koeficijenti linearne kombinacije budu jednaki nuli, jer bi to bilo trivijalno.) Inače, vektori se nazivaju linearno nezavisni. Na primjer, sljedeća tri vektora:
su linearno zavisne, jer ih je lako provjeriti. U slučaju linearne zavisnosti, bilo koji vektor se uvijek može izraziti u terminima linearne kombinacije preostalih vektora. U našem primjeru: ili ili Ovo se može lako provjeriti odgovarajućim proračunima. To podrazumijeva sljedeću definiciju: vektor je linearno nezavisan od drugih vektora ako se ne može predstaviti kao linearna kombinacija ovih vektora.
Razmotrite sistem vektora bez specificiranja da li je linearno zavisan ili linearno nezavisan. Za svaki sistem koji se sastoji od vektora stupaca a, moguće je identificirati najveći mogući broj linearno nezavisnih vektora. Ovaj broj, označen slovom , je rang datog sistema vektora. Pošto se svaka matrica može zamisliti kao sistem vektora stupaca, rang matrice je definiran kao maksimalni broj linearno nezavisnih vektora stupaca koji sadrži. Vektori reda se također koriste za određivanje ranga matrice. Obje metode daju isti rezultat za istu matricu, i ne može premašiti najmanju od ili Rang matrice kvadratnog reda kreće se od 0 do . Ako su svi vektori nula, onda je rang takve matrice nula. Ako su svi vektori linearno nezavisni jedan od drugog, tada je rang matrice jednak. Ako formirate matricu od gornjih vektora, tada je rang ove matrice 2. Pošto se svaka dva vektora linearnom kombinacijom mogu svesti na trećinu, tada je rang manji od 3.
Ali može se potvrditi da su bilo koja dva od njih linearno nezavisna, otuda i rang
Za kvadratnu matricu se kaže da je degenerisana ako su njeni vektori stupaca ili vektori reda linearno zavisni. Determinanta takve matrice je jednaka nuli i ne postoji matrica inverzna njoj, kao što je gore navedeno. Ovi zaključci su jedni drugima ekvivalentni. Kao rezultat toga, kvadratna matrica se naziva nesingularna ili nesingularna, ako su njeni vektori stupaca ili vektori reda nezavisni jedan od drugog. Determinanta takve matrice nije jednaka nuli i njena inverzna matrica postoji (usp. str. 43)
Rang matrice ima sasvim očiglednu geometrijsku interpretaciju. Ako je rang matrice , onda kažemo da je -dimenzionalni prostor pokriven vektorima. Ako rang vektora tada leži u -dimenzionalnom podprostoru koji uključuje sve njih. Dakle, rang matrice odgovara minimalnoj potrebnoj dimenziji prostora, "koja sadrži sve vektore", -dimenzionalni podprostor u -dimenzionalnom prostoru naziva se -dimenzionalna hiperplane. Rang matrice odgovara najmanjoj dimenziji hiperravnine u kojoj svi vektori još uvijek leže.
Ortogonalnost. Dva vektora a i b nazivaju se međusobno ortogonalnimi ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli. Ako jednakost vrijedi za matricu reda gdje je D dijagonalna matrica, tada su vektori stupaca matrice A u paru međusobno ortogonalni. Ako se ovi vektori stupaca normalizuju, tj. smanje na dužinu jednaku 1, tada dolazi do jednakosti i govorimo o ortonormiranim vektorima. Ako je B kvadratna matrica i vrijedi jednakost, tada se B naziva ortogonalna matrica. U ovom slučaju iz formule (1.22) slijedi da je ortogonalna matrica uvijek nesingularna. Dakle, ortogonalnost matrice implicira linearnu nezavisnost njenih vektora redova ili vektora kolona. Obrnuto nije tačno: linearna nezavisnost sistema vektora ne implicira poparnu ortogonalnost ovih vektora.
