Neka je X Banahov prostor i A ograničeni linearni operator, definisan na X, sa opsegom u Banahovom prostoru Y. Neka je x nX i f nY*. Tada je definirana vrijednost f(Ax), a nejednačine | f(Ax)| £ ||f ||?||Ax|| £ ||f ||?||A||?||x||.

Ove nejednakosti pokazuju da je linearna funkcionalnost j(h) definisana jednakošću j(h) = f(Ax) ograničena funkcionalna. Dakle, svaki linearni ograničeni funkcional f nY pridružen je operatoru A kontinuiranom linearnom funkcionalu j nH*. Promjenom elementa f dobićemo, općenito govoreći, različitih elemenata j; tako dobijamo operatora

definisano na Y*, sa rasponom u X* prostoru. Ovaj operator A* povezan je sa operatorom A jednakošću (A*f)(x) = f(Ax). Ako primijenimo notaciju uvedenu u Odjeljku 2 za linearni funkcional f(x) = (x, f), tada će veza operatora izgledati simetrično:

(Ax, f)=(x, A*f). (jedan)

Operator A* je jednoznačno određen formulom (1) i naziva se operatorom pridruženim operatoru A.

Zaista, ako za sve x i y vrijede jednakosti

(Ax, y) = (x, A*y) = (x, A 1 *y),

onda iz korolarije 4 Hahn-Banachove teoreme slijedi da je A 1 *y= A*y za sve y, što znači da je A*=A 1 *.

Teorema 11. Pridruženi operator A* je linearan i .

Dokaz. Dokažimo aditivnost operatora A*. Zaista, ako je y, z OY*, onda gornji argumenti impliciraju postojanje jedinstvenog elementa (y + z)* OX takvog da je (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) za sve x OX.

S druge strane, koristeći formulu (1), imamo

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x , (y+z)*),

one. (y+z)* = A*x + A*y, odakle je A*(y+z)=A*y+A*z. Ovo dokazuje aditivnost operatora A*. Homogenost se takođe lako provjerava.

Da bismo izračunali normu operatora A*, pravimo procjene

Ovo implicira da je operator A* ograničen i .

Operator A*, zauzvrat, ima adjuint - A**, definisan jednakošću sličnom (1)

(A*y, x) = (y, A**x) (2).

Ali, budući da je iz (2) A**x jednoznačno određen za svaki xOH, iz poređenja jednakosti (1) i (2) slijedi da

(Ax, y) = (A**x, y) "hOH, "yOY.

Korolarm 4 Hahn-Banachove teoreme, ovo drugo znači da je A**x=Ax za sve xnX, tj. A**= A na prostoru X. Primjenjujući gornju nejednakost za normu pridruženog operatora na A* i A**, imamo , što daje traženu jednakost: . Teorema je dokazana.

Teorema. 12. Ako su A i B linearni ograničeni operatori iz Banahovog prostora X u Banahov prostor Y, tada

1. (A+B)*=A*+B*

2. (λA)*= λA*

3. Uz pretpostavku X = Y, jednakost (AB) * = B * A * je tačna.

Dokaz. Gore navedena svojstva proizlaze iz sljedećih relacija:

1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B*) )y);

2. ((λA)x ,y) = λ(Ax,y) = λ(x, A*y) = (x, (λA*y));

3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y ).

Teorema je dokazana.

Primjer 8. U prostoru L 2 razmotrimo Fredholmov integralni operator

sa jezgrom koje ima integrabilni kvadrat. Imamo, koristeći Fubinijevu teoremu,

, gdje

.

Dakle, prijelaz na adjuint operator je da se integracija vrši preko prve varijable. Dok je u originalnoj izjavi izvedeno prema drugom.

Više o temi 6. Adjoint operator. Uvjeti za postojanje spojnog operatora. Zatvorenost pridruženog operatora. Pridruženi operator ograničenom operatoru i njegovoj normi.:

1. 2. Schauderova teorema o potpunom kontinuitetu pridruženog operatora. Jednačine prve i druge vrste sa potpuno kontinuiranim operatorima. Teorema o zatvorenom opsegu operatora
2. 1. Linearni operatori u linearnim normiranim prostorima. Ekvivalencija između kontinuiteta i ograničenosti linearnog operatora. Koncept norme ograničenog operatora. Razne formule za izračunavanje normi. Primjeri linearnih ograničenih operatora.
3. 4. Jezgro operatera. Kriterijum ograničenosti za inverzni operator. Teoreme inverznog operatora
4. 2. Prostor linearnih kontinuiranih operatora i njegova kompletnost s obzirom na uniformnu konvergenciju operatora
5. 5. Primjeri inverznih operatora. Invertibilnost operatora oblika (I - A) i (A - C).
6. 1. Potpuno kontinuirani operatori i njihova svojstva. Fredholm i Hilbert-Schmidt operatori
7. 6. Grafikon operatora i zatvorenih operatora. Kriterijum zatvaranja. Banahov teorem o zatvorenom grafu. Otvorena teorema preslikavanja

Element različit od nule x G V naziva se svojstvenim elementom linearnog operatora A: V V, ako postoji takav broj A - vlastita vrijednost linearnog operatora A, takva da Svojstvene vrijednosti I sopstvenim elementima. Pridruženi operater. nema svoje elemente. Neka neki trigonometrijski polinom a cos t + 0 sin t postane proporcionalan nakon diferencijacije: To znači da ili, što je isto, posljednja jednakost je zadovoljena ako i samo ako slijedi da je a = p = 0 i, stoga, polinom može biti samo nula. Teorema 6. Realni broj A je vlastita vrijednost linearnog operatora A ako i samo ako je ovaj broj korijen njegovog karakterističnog polinoma: x(A) = 0. Nužnost. Neka je A vlastita vrijednost operatora A. Tada postoji element x koji nije nula za koji je Ax = Ax. Neka bude osnova prostora. Tada se posljednja jednakost može prepisati u ekvivalentnom matričnom obliku ili, što je isto, A ovo, da je x svojstveni element, slijedi da je njegov koordinatni stupac x(c) različit od nule. To znači da linearni sistem (1) ima rješenje različito od nule. Ovo poslednje je moguće samo pod uslovom ili, što je isto, dovoljnosti. Način da izgradite vlastiti element. Neka je A korijen polinoma. Razmotrimo homogeni linearni sistem sa matricom A(c) - AI: Zbog uslova (2), ovaj sistem ima rješenje različito od nule Konstruirajmo element x prema pravilu Koordinatni stupac x(c) ovog elementa zadovoljava uvjet ili, što je također, Potonji je ekvivalentan ili, detaljnije, Prema tome, x je svojstveni element linearnog operatora A, a A je odgovarajuća svojstvena vrijednost. Komentar. Da bismo pronašli sve svojstvene elemente koji odgovaraju datoj svojstvenoj vrijednosti A, potrebno je konstruirati FSR sistema (3). Primjer 1. Odrediti svojstvene vektore linearnog operatora koji djeluje po pravilu (operator projekcije) (slika 6). M Razmotrimo akcije linearnog operatora P na bazne vektore. Imamo Zapišite matricu operatora: vlastite vrijednosti i svojstveni elementi. Pridruženi operater. konstruirati karakterističan polinom i pronaći njegove korijene. Imamo Construct homogene linearni sistemi sa matricama: Dobijamo, respektivno: Nađimo osnovne sisteme rješenja za svaki od ovih sistema. Imamo 1 Dakle, svojstveni vektori ovog operatora projekcije su: vektor k sa svojstvenom vrijednošću od 0 i svaki vektor s osnovom svojstvene vrijednosti I, t, O ima oblik karakterističnog polinoma -A3 ima tačno jedan korijen A = 0. rješenje sistema je skup 1,0,0, koji odgovara polinomu stepena nula. §pet. Adjuint operator U Euklidskom prostoru nad linearnim operatorima može se uvesti još jedna radnja - operacija konjugacije. Neka je V n-dimenzionalni euklidski prostor. Sa svakim linearnim operatorom koji djeluje u ovom prostoru; drugi linearni operator koji je povezan sa datim je prirodno povezan. Definicija. Linearni operator (čitaj: "a sa zvijezdom") naziva se adjoint linearni operator A: V -* V, ako je za bilo koje elemente x i y iz prostora V zadovoljena jednakost Linearni operator A*, adjukcioni ovog operatera Ah, uvijek postoji. Neka je c = (et,..., en) ortobaza prostora V i A = A(c) = (o^) matrica linearnog operatora A u ovoj bazi, tj. direktnim proračunima možemo provjeriti da za linearni operator A": V -> V, definisan pravilom, jednakost (1) vrijedi za bilo koje x i y. Podsjetimo da je, prema teoremi 1, da bi se konstruirao linearni operator, dovoljno specificirati njegov djelovanje na osnovne elemente Primjer. Uvodimo u linearni prostor M\ polinomi sa realnim koeficijentima stepena ne većim od prve operacije skalarnog množenja sa sledeće pravilo. Neka je Dakle, M\ je dvodimenzionalni euklidski prostor. Neka je V: M\ - M\ operator diferencijacije: V(a + d»f) = b. Konstruirajmo pridruženi operator. Operatorska matrica V u ovoj bazi ima oblik. Tada je matrica pridruženog operatora V, koja djeluje po pravilu: Za proizvoljni polinom dobijamo Svojstva operacije konjugacije 1. Za svaki linearni operator postoji tačno jedan operator koji mu je konjugiran. Neka su B i C operatori konjugirani sa datim uoperatorom A. To znači da su za bilo koje elemente x i y iz prostora V zadovoljene jednakosti. Iz toga slijedi da su svojstvene vrijednosti i svojstveni elementi. Pridruženi operater. i dalje, Na osnovu proizvoljnosti izbora elementa x, zaključujemo da je element Vu-Su ortogonalan na bilo koji element prostora V, a posebno na sebe. Potonje je moguće samo u slučaju kada je By - Cy = 0 i, prema tome, By = C y. Zbog činjenice da je y proizvoljan element, dobijamo B ~ C. 2. (a.4)* = aL*, gdje je a proizvoljan realan broj. Neka su A:V -+ V i B:V -+ V linearni operatori. Tada svojstva 2-5 lako slijede iz jedinstvenosti spojnog operatora. 6. Neka je c ortobaza prostora V. Da bi operatori A: V V i B: V -* V bili međusobno konjugirani, jednakosti B = A", A = B* su zadovoljene, potrebno je i dovoljno da se njihove matrice A = A(c) i B = B(c) dobiju jedna od druge transpozicijom. Napomena. Naglašavamo da je svojstvo 6 vrijedi samo za matricu 7. Ako je linearni operator A nedegeneriran, tada je i njegov konjugirani operator A* nedegeneriran, a jednakost

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Opšti linearni prostor

Neka bude $E,\; \backslash ,\; L$ su linearni prostori, i $E^*,\; \backslash ,\; L^*$- konjugirani linearni prostori (prostori linearnih funkcionala definirani na $E,\; \backslash ,\; L$). Zatim za bilo koji linearni operator $A\backslash kolon\; E\backslash do\; L$ i bilo koji linearni funkcional $g\; \backslash in\; L^*$ definiran je linearni funkcional $f\; \backslash in\; E^*$- superpozicija $g$ I $A$: $f(x)=g(A(x))$. Display $g\backslash mapsto\; f$ naziva se adjuint linearni operator i označava se $A^*\backslash dvotočka\; L^*\; \backslash do\; E^*$.

Onda ukratko $(A^*g,\; x)\; =\; (g,\; Ax)$, gdje $(B,\; x)$- funkcionalno djelovanje $B$ po vektoru $x$.

Topološki linearni prostor

Neka bude $E,\; \backslash ,\; L$ su topološki linearni prostori, i $E^*,\; \backslash ,\; L^*$- konjugirani topološki linearni prostori (prostori kontinuirano linearne funkcionalnosti definirane na $E,\; \backslash ,\; L$). Za bilo koji kontinuirani linearni operator $A\backslash kolon\; E\backslash do\; L$ i bilo koji kontinuirani linearni funkcional $g\; \backslash in\; L^*$ definiran je kontinuirani linearni funkcional $f\; \backslash in\; E^*$- superpozicija $g$ I $A$: $f(x)=g(A(x))$. Lako je provjeriti da li je mapiranje $g\backslash mapsto\; f$ linearno i kontinuirano. Zove se adjuint operator i takođe se označava $A^*\backslash dvotočka\; L^*\; \backslash do\; E^*$.

Banahov prostor

Neka bude $A\backslash dvotočka\; X\backslash do\; Y$ je kontinuirani linearni operator koji djeluje iz Banahovog prostora $X$ u Banahov prostor $Y$ pusti to $X^*,\; Y^*$- konjugirani prostori. Označiti $\backslash za\; sve\; x\backslash u\; X,\; f\backslash u\; Y^*\; =f(Ax)$. Ako $f$ je onda fiksno $$ je linearni kontinuirani funkcional u $X,\; \backslash u\; X^*$. Dakle za $\backslash za\; sve\; jebo\backslash u\; Y^*$ linearni kontinuirani funkcional je definiran iz $X^*$, pa je operator definiran $A^*\backslash dvotočka\; Y^*\backslash do\; X^*$, takav da $=$.

$A^*$ pozvao konjugirani operator. Slično, može se definirati pridruženi operator neograničenom linearnom operatoru, ali on neće biti definiran na cijelom prostoru.

Za $A^*$ sljedeća svojstva vrijede:

• Operater $A^*$- linearno.
• Ako $A$ je linearni kontinuirani operator, dakle $A^*$ takođe linearni kontinuirani operator.
• Neka bude $O$ je nulti operator, i $E$ je operater jedinice. Onda $O^*=O,\; E^*=E$.
• $(A+B)^*=A^*+B^*$.
• $\backslash forall\backslash alpha\backslash in\backslash mathbb\; C,\; (\backslash alpha\; A)^*=\backslash bar(\backslash alpha)A^*$.
• $(AB)^*=B^*A^*$.
• $(A^(-1))^*=(A^*)^(-1)$.

Hilbertov prostor

U Hilbertovom prostoru $H$ Riesz teorem daje identifikaciju prostora sa njegovim dualom, dakle za operatora $A\backslash dvotočka\; H\; \backslash do\; H$ jednakost $(Ax,\; y)\; =\; (x,\; A^*y)$ definira pridruženi operator $A^*\backslash dvotočka\; H\; \backslash do\; H$. Evo $(x,\; y)$- skalarni proizvod u prostoru $H$.

vidi takođe

Napišite recenziju na članak "Konjugirani operator"

Bilješke

Književnost

• Schaefer H. Topološki vektorski prostori. - M.: Mir, 1971.
• Vorovich I.I. , Lebedev L.P. funkcionalna analiza i njegove primjene u mehanici kontinuuma. - M.: Univerzitetska knjiga, . - 320 s.
• Trenogin V. A. Funkcionalna analiza. - M.: Nauka, . - 495 str.
• Funkcionalna analiza / urednik S. G. Krein. - 2., revidiran i dopunjen. - M.: Nauka, . - 544 str. - (Referentna matematička biblioteka).
• Halmosh P. Konačno-dimenzionalni vektorski prostori = Konačno-dimenzionalni vektorski prostori. - M .: Fizmatgiz, . - 264 str.
• Shilov G.E. Matematička analiza(funkcije jedne varijable), dio 3. - M .: Nauka, . - 352 str.

Izvod koji karakterizira spojni operator

Ađutanti su galopirali ispred njega u dvorište. Kutuzov je, nestrpljivo gurajući konja koji je pod njegovom težinom lutao, i neprestano klimajući glavom, stavio ruku na nesreću konjičke garde (sa crvenom trakom i bez vizira) koja je bila na njemu. Približivši se počasnoj gardi mladih grenadira, uglavnom kavalira, koji su mu salutirali, na trenutak je ćutke, pažljivo ih pogledao zapovjedničkim tvrdoglavim pogledom i okrenuo se prema gomili generala i oficira koja je stajala oko njega. Lice mu je odjednom poprimilo suptilan izraz; slegnuo je ramenima sa gestom zbunjenosti.
- A sa takvim dobrim momcima, sve se povlači i povlači! - on je rekao. „Pa, ​​zbogom, generale“, dodao je i dodirnuo konja kroz kapiju pored kneza Andreja i Denisova.
- Ura! Ura! Ura! viknu iza njega.
Pošto ga princ Andrej nije video, Kutuzov je postao debeo, mlohav i natekao od masti. Ali poznato bijelo oko, i rana, i izraz umora na njegovom licu i figuri bili su isti. Bio je odjeven u uniformu saraka (preko ramena mu je visio bič na tankom pojasu) i u bijelu konjičku kapu. On je, jako zamagljen i ljuljajući se, sjeo na svog veselog konja.
„Fu… fu… fu…“ zazviždao je gotovo čujno dok je vozio u dvorište. Njegovo lice izražavalo je radost umirivanja čovjeka koji namjerava da se odmori nakon reprezentacije. Izvukao je lijevu nogu iz stremena, padajući cijelim tijelom i grimaseći od napora, s mukom je doveo do sedla, oslonio se na koleno, zagunđao i spustio se na ruke do kozaka i ađutanta koji su ga podržavali. .
Oporavio se, pogledao oko sebe suženih očiju i gledajući princa Andreja, očigledno ga ne prepoznajući, otišao je ronilačkim hodom do trijema.
„Fu… fu… fu“, zviždao je i pogledao princa Andreja. Utisak lica princa Andreja tek nakon nekoliko sekundi (kao što je često slučaj sa starim ljudima) povezivao se sa sjećanjem na njegovu ličnost.
"Ah, zdravo, prinče, zdravo, draga moja, idemo...", rekao je umorno, osvrćući se oko sebe, i teško ušao u trem, škripući pod njegovom težinom. Otkopčao je i sjeo na klupu na trijemu.
- Pa, šta je sa ocem?
„Juče sam dobio vest o njegovoj smrti“, kratko je rekao princ Andrej.
Kutuzov je uplašeno otvorenih očiju pogledao princa Andreja, a zatim skinuo kapu i prekrstio se: „Kraljevstvo mu na nebesima! Neka je volja Božja nad svima nama!“ Uzdahnuo je teško, svim grudima, i ćutao. “Volela sam ga i poštovala i saosjećam s tobom svim srcem.” Zagrlio je princa Andreja, pritisnuo ga na svoja debela grudi i dugo nije puštao. Kada ga je pustio, princ Andrej je video da Kutuzovljeve natečene usne drhte i da su mu u očima bile suze. Uzdahnuo je i objema rukama uhvatio klupu da ustane.
„Dođi, dođi kod mene, razgovaraćemo“, rekao je; ali u to vreme Denisov, malo stidljiv pred svojim pretpostavljenima kao i pred neprijateljem, uprkos činjenici da su ga ađutanti na trijemu ljutitim šapatom zaustavili, smelo, udarajući mamzama o stepenice, uđe u trem. Kutuzov je, ostavljajući ruke na klupi, nezadovoljno pogledao Denisova. Denisov je, nakon što se predstavio, objavio da mora obavijestiti svoje gospodstvo o stvari od velike važnosti za dobro otadžbine. Kutuzov je umornim pogledom počeo da gleda Denisova i iznerviranim pokretom, uzevši ga za ruke i sklopivši ih na stomaku, ponovio je: „Za dobro otadžbine? Pa, šta je to? Govori." Denisov je pocrveneo kao devojka (bilo je tako čudno videti boju na tom brkatom, starom i pijanom licu) i smelo je počeo da iznosi svoj plan za presecanje neprijateljske operativne linije između Smolenska i Vjazme. Denisov je živio u ovim krajevima i dobro je poznavao to područje. Njegov plan se činio nesumnjivo dobrim, posebno u pogledu snage ubjeđenja koja je bila u njegovim riječima. Kutuzov je pogledao u svoja stopala i povremeno se osvrnuo na dvorište susedne kolibe, kao da je odatle očekivao nešto neprijatno. Zaista, tokom Denisovljevog govora, iz kolibe u koju je gledao pojavio se general sa aktovkom ispod ruke.
- Šta? - rekao je Kutuzov usred izlaganja Denisova. - Spreman?
"Spremni, vaša milosti", rekao je general. Kutuzov je odmahnuo glavom, kao da kaže: "Kako jedna osoba može sve ovo da uradi", i nastavio da sluša Denisova.
„Dajem vam poštenu plemenitu reč od jednog husijskog oficira“, rekao je Denisov, „da sam g“ azog “wu Napoleonovih poruka.

Obrnuti operator

Neka je V linearni prostor nad poljem P, i neka je A operator (ne nužno linearan) koji djeluje na V.

Definicija. Za operator A se kaže da je invertibilan ako postoji operator B koji djeluje na V takav da je BA = AB = I.

Definicija. Operator B koji zadovoljava uslov BA = AB = I naziva se inverz od A i označava se.

Dakle, operator inverzan operatoru A zadovoljava uslov A = A = I. Za inverzibilni operator A, jednakosti Ax = y i y = x su ekvivalentne. Zaista, neka je Ax = y, tada je y = (Ax) = (A)x = Ix = x.

Ako je y = x, onda

Sjekira \u003d A (y) \u003d (A) y \u003d Iy \u003d y.

Teorema. Ako je linearni operator invertibilan, onda je i njegov inverzni operator linearan.

Dokaz. Neka je A invertibilni linearni operator koji djeluje u linearnom prostoru V nad poljem P, neka je A operator inverzan A. Uzmite proizvoljne vektore i brojeve. Tada je A=, A=. Zbog linearnosti operatora A

Odavde dobijamo:

= = ,

To jest, operator je linearan.

Pridruženi linearni operator

Neka su data dva unitarna prostora X, Y.

Definicija. Operator A*, koji djeluje od Y do X, naziva se adjunkt u odnosu na operator A, koji djeluje od X do Y, ako je za bilo koje vektore xX, yY jednakost

(Ax, y) = (x, A*y). (jedan)

Teorema. Za bilo koji linearni operator A postoji pridruženi operator A*, i to samo jedan.

Dokaz. Odaberimo neku ortonormalnu bazu u X. Za bilo koji vektor xX postoji dekompozicija

Ako operator A* postoji, onda, prema ovoj formuli, za bilo koji vektor yY imamo

Ili po definiciji

Ali to znači da ako operator A* postoji, onda je jedinstven.

Ovako konstruisan operator A* je linearan. Takođe zadovoljava jednakost (Ax, y) = (x, A*y). Zaista, uzimajući u obzir ortonormalnost sistema i uzimajući u obzir (1), (2), dobijamo za bilo koje vektore xX, yY

(Ax, y) = (A) =,

(x, A*y) = (A) =

Teorema je dokazana.

Pridruženi operator A* povezan je sa operatorom A određenim relacijama. Napomenimo neke od njih:

Dokaz. Razmotrimo proizvoljni operator A i njegov pridruženi operator A*. Zauzvrat, za operator A* operator (A*)* će biti spojen. Sada za bilo koje xX, yY koje imamo

(y, (A*)*x) = (A*y, x) == = (y, Ax).

Proučimo dodatna svojstva linearnih operatora vezanih za koncept ortogonalnosti u euklidskom prostoru. Hajde da prvo dokažemo sljedeću osobinu: if A I B su linearni operatori koji djeluju u n-dimenzionalni euklidski prostor V, i ( x , Ay ) = (x , By ), x , y V, onda A = B .

Zaista, stavljajući u jednakost ( x , Ay ) = (x , By ) Û ( x , (A – B )y ) = 0 vektor x = (A – B )y , dobijamo (( A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V, što je ekvivalentno ( A – B )y = 0 , y V, tj. A – B = O , ili A = B .

Definicija 11.1. Linearni operator A * pozvan konjugirati operater A , ako

(Sjekira , y ) = (x , A * y ), x , y V. (11.1)

Prirodno se postavlja pitanje: postoji li za dati operator A konjugirati?

Teorema 11.1. Operator svake linije A ima jedan pridruženi operator A * .

Dokaz. Birajmo u svemiru V ortonormalna osnova u 1 , u 2 ,…, u n. Svaki linearni operator A : V® V u ovoj osnovi odgovara matrica ALI = , i, j = 1, 2,..., n. Neka je matrica dobivena iz matrice ALI transpozicija. Odgovara linearnom operatoru B . Onda

(Au j, u i) = (ali 1 ju 1 + ali 2 ju 2 +…+ i nju n, u i) = i ij;

(u j, Bu i) = (u j, a i 1 u 1 + a i 2 u 2 +…+ i uu n) = i ij.

(Au j, u i) = (u j, Bu i), i, j = 1, 2,..., n. (11.2)

Neka dalje x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x nu n I y = at 1 u 1 + at 2 u 2 +…+ kod nu n su bilo koja dva vektora iz V. Razmotrimo skalarne proizvode ( Sjekira , y ) I ( x , By ):

(Sjekira , y ) = (Au j, u i),

(x , By ) = (u j, Bu i).

Upoređujući ove izraze, uzimajući u obzir jednakost (11.2) i prethodno navedeno svojstvo, dobijamo jednakost ( Sjekira , y ) = (x , By ), x , y V, tj. B = A * .

Tako smo dokazali da za svaki linearni operator A u konačno-dimenzionalnom euklidskom prostoru postoji operator koji je povezan s njim A * , čija je matrica u bilo kojoj ortonormalna osnova transponuje se u odnosu na matricu operatora A . Jedinstvenost operatera A * slijedi iz definicije pridruženog operatora i svojstva dokazanog iznad.¨

Lako je provjeriti da li je operater A * pridružen linearnom operatoru A , je linearan.

Dakle, operater A * je linearan i ima odgovarajuću matricu A*. Prema tome, matrična relacija koja odgovara formuli (11.1) ima oblik

(ALIx , y ) = (x , A * y ), x , y V.

Pridruženi operatori imaju sljedeća svojstva:

1°. E * = E .

2°. ( A *) * = A .

3°. ( A + B ) * = A * + B * .

4°. ( ALI ) * = A * , R.

5°. ( AB ) * = B * A * .

6°. ( A –1) * = (A *) –1 .

Valjanost osobina 1°–5° proizilazi iz svojstava transpozicije matrice.

Provjerimo valjanost svojstva 6°. Neka bude A -1 postoji. Zatim iz jednakosti aa –1 = A –1 A = E i svojstva 1°, 5° slijedi da ( aa –1) * = (A –1 A ) * = E * = = E i ( aa –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) * , tj. da ( A –1) * = (A *) -jedan . Iz ovoga dobijamo još jedno važno svojstvo transpozicije matrice:

(A –1) * = (A *) –1 .

Primjer 1 Neka bude A – rotacija euklidske ravni R 2 po uglu j sa matricom

u ortonormalnoj osnovi i , j . Tada je matrica pridruženog operatora u ovoj bazi

= .

shodno tome, A * - rotacija ravnine za ugao j u suprotnom smeru.·