Neka je X Banahov prostor i A ograničeni linearni operator definisan na X sa opsegom u Banahovom prostoru Y. Neka je x ÎX i f ÎY *. Tada je definirana vrijednost f (Ax), a nejednakosti | f (Sjekira) | £ || f ||? || Axe || £ || f ||? || A ||? || x ||.

Ove nejednakosti pokazuju da je linearni funkcional j (x) definiran jednakošću j (x) = f (Ax) ograničeni funkcional. Dakle, svakoj linearnoj ograničenoj funkciji f ÎY uz pomoć operatora A pridružuje se linearni kontinuirani funkcional j ÎX *. Promjenom elementa f dobićemo, općenito govoreći, različite elemente od j; tako dobijamo operator

definiran na Y *, s rasponom u X * prostoru. Ovaj operator A * povezan je sa operatorom A jednakošću (A * f) (x) = f (Ax). Ako primijenimo notaciju uvedenu u Odjeljku 2 za linearni funkcional f (x) = (x, f), tada će veza između operatora izgledati simetrično:

(Ax, f) = (x, A * f). (jedan)

Operator A * jedinstveno je određen formulom (1) i naziva se operator konjugiran s operatorom A.

Zaista, ako za sve x i y vrijede jednakosti

(Ax, y) = (x, A * y) = (x, A 1 * y),

onda iz korolara 4 iz Hahn-Banachove teoreme slijedi da je A 1 * y = A * y za sve y, što znači da je A * = A 1 *.

Teorema 11. Pridruženi operator A * je linearan i.

Dokaz. Dokažimo aditivnost operatora A *. Zaista, ako je y, z ÎY *, onda gornje rezonovanje implicira postojanje jedinstvenog elementa (y + z) * ÎX takvog da je (Ax, y + z) = (x, (y + z) *) za sve x ÎX.

S druge strane, koristeći formulu (1), imamo

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A * y) + (x, A * z) = (x, A * y + A * z) = (x , (y + z) *),

one. (y + z) * = A * x + A * y, odakle je A * (y + z) = A * y + A * z. Ovo dokazuje aditivnost operatora A *. Ujednačenost se takođe lako provjerava.

Da bismo izračunali normu operatora A *, procjenjujemo

Iz toga slijedi da je operator A * ograničen i.

Operator A *, zauzvrat, ima konjugat - A **, definisan jednakošću sličnom (1)

(A * y, x) = (y, A ** x) (2).

Ali, budući da je iz (2) A ** x jednoznačno određen za svaki xÎH, iz poređenja jednakosti (1) i (2) slijedi da

(Ax, y) = (A ** x, y) "xÎX," yÎY.

Na osnovu posledica 4 Hahn-Banahove teoreme, ovo poslednje znači da je A ** x = Ax za sve xÎX, tj. A ** = A na prostoru X. Primjenjujući dokazanu nejednakost za normu spojnog operatora na A * i A **, imamo , što daje traženu jednakost:. Teorema je dokazana.

Teorema. 12. Ako su A i B linearni ograničeni operatori iz Banahovog prostora X u Banahov prostor Y, tada

1. (A + B) * = A * + B *

2. (λA) * = λA *

3. Pod pretpostavkom X = Y, jednakost (AB) * = B * A * je tačna.

Dokaz. Gore navedena svojstva proizlaze iz sljedećih odnosa:

1. ((A + B) x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) = (x, A * y) + (x, B * y) = (x, (A * + B * ) y);

2. ((λA) x, y) = λ (Ax, y) = λ (x, A * y) = (x, (λA * y));

3. ((AB) x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A * y) = (x, B * (A * y)) = (x, (B * A *) y ).

Teorema je dokazana.

Primjer 8. U prostoru L2 razmotrimo Fredholmov integralni operator

sa jezgrom sa integrabilnim kvadratom. Imamo, koristeći Fubinijevu teoremu,

, gdje

.

Dakle, prijelaz na adjuint operator je da se integracija vrši preko prve varijable. Dok u originalnom operatoru slijedi drugi.

Više o temi 6. Konjugirani operator. Uvjeti za postojanje spojnog operatora. Zatvorenost pridruženog operatora. Pridruženi operator ograničenom operatoru i njegovoj normi .:

1. 2. Schauderova teorema o potpunom kontinuitetu pridruženog operatora. Jednačine prve i druge vrste sa potpuno kontinuiranim operatorima. Teorema o zatvorenosti raspona vrijednosti operatora
2. 1. Linearni operatori u normiranim linearnim prostorima. Ekvivalencija kontinuiteta i ograničenosti linearnog operatora. Koncept norme ograničenog operatora. Razne formule za izračunavanje normi. Primjeri linearnih ograničenih operatora.
3. 4. Jezgro operatera. Kriterijum ograničenosti za inverzni operator. Teoreme inverznog operatora
4. 2. Prostor linearnih kontinuiranih operatora i njegova kompletnost s obzirom na uniformnu konvergenciju operatora
5. 5. Primjeri inverznih operatora. Invertibilnost operatora oblika (I - A) i (A - C).
6. 1. Potpuno kontinuirani operatori i njihova svojstva. Fredholm i Hilbert-Schmidt operatori
7. 6. Operatorski graf i zatvoreni operatori. Kriterijum zatvaranja. Banahov teorem o zatvorenom grafu. Otvorena teorema preslikavanja

Proučimo dodatna svojstva linearnih operatora vezanih za koncept ortogonalnosti u euklidskom prostoru. Prvo, dokazujemo sljedeće svojstvo: if A i B - linearni operatori koji djeluju u n-dimenzionalni euklidski prostor V, i ( x , Ay ) = (x , By ), x , y V, onda A = B .

Zaista, stavljajući u jednakost ( x , Ay ) = (x , By ) Û ( x , (A – B )y ) = 0 vektor x = (A – B )y , dobijamo (( A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V, što je ekvivalentno jednakosti ( A – B )y = 0 , y V, tj. A – B = O , ili A = B .

Definicija 11.1. Linearni operator A * pozvan konjugirati operater A , ako

(Sjekira , y ) = (x , A * y ), x , y V. (11.1)

Prirodno se postavlja pitanje: postoji li za dati operator A konjugirati?

Teorema 11.1. Svaki linearni operator A ima jedan pridruženi operator A * .

Dokaz. Birajmo u svemiru V ortonormalna osnova u 1 , u 2 ,…, u n... Svakom linearnom operatoru A : V® V u ovoj osnovi odgovara matrica A = , i, j = 1, 2,..., n... Neka je matrica dobivena iz matrice A transpozicija. Odgovara linearnom operatoru B ... Onda

(Au j, u i) = (a 1 ju 1 + a 2 ju 2 +…+ i nju n, u i) = i ij;

(u j, Bu i) = (u j, i ja 1 u 1 + i ja 2 u 2 +…+ i uu n) = i ij.

(Au j, u i) = (u j, Bu i), i, j = 1, 2,..., n. (11.2)

Neka dalje x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x nu n i y = at 1 u 1 + at 2 u 2 +…+ kod nu n- bilo koja dva vektora iz V... Uzmite u obzir proizvode sa tačkama ( Sjekira , y ) i ( x , By ):

(Sjekira , y ) = (Au j, u i),

(x , By ) = (u j, Bu i).

Upoređujući ove izraze uzimajući u obzir jednakost (11.2) i prethodno navedeno svojstvo, dobijamo jednakost ( Sjekira , y ) = (x , By ), x , y V, tj. B = A * .

Dakle, dokazano je da za svaki linearni operator A u konačno-dimenzionalnom euklidskom prostoru postoji operator konjugiran s njim A *, čija je matrica u bilo kojoj ortonormalnoj bazi transponirana u odnosu na matricu operatora A ... Jedinstvenost operatera A * proizlazi iz definicije pridruženog operatora i svojstva dokazanog iznad.

Lako je provjeriti da li je operater A * konjugirano na linearni operator A , je linearan.

Dakle, operater A * je linearan i odgovara matrici A*. Prema tome, matrična relacija koja odgovara formuli (11.1) ima oblik

(Ax , y ) = (x , A * y ), x , y V.

Konjugirani operatori imaju sljedeća svojstva:

1 °. E * = E .

2 °. ( A *) * = A .

3 °. ( A + B ) * = A * + B * .

4 °. ( A ) * = A * , R.

5 °. ( AB ) * = B * A * .

6 °. ( A –1) * = (A *) –1 .

Valjanost osobina 1° –5° proizilazi iz svojstava transpozicije matrice.

Provjerimo valjanost svojstva 6°. Neka A -1 postoji. Zatim iz jednakosti aa –1 = A –1 A = E i svojstva 1°, 5° slijedi da ( aa –1) * = (A –1 A ) * = E * = = E i ( aa –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) *, odnosno da ( A –1) * = (A *) -jedan . Ovo nam daje još jedno važno svojstvo transpozicije matrice:

(A –1) * = (A *) –1 .

Primjer 1. Neka A - rotacija euklidske ravni R 2 na uglu j sa matricom

u ortonormalnoj bazi i , j ... Tada je matrica pridruženog operatora u ovoj bazi

= .

dakle, A * - rotacija ravnine pod uglom j u suprotnom smeru.·

Element različit od nule x GV naziva se svojstvena vrijednost linearnog operatora A: VV ako postoji broj A - vlastita vrijednost linearnog operatora A takva da je Primjer 1. Bilo koji polinom nultog stepena je vlastita vrijednost operatora diferencijacije; odgovarajući svojstvena vrijednost je nula: Primjer 2. Operator diferencijacije Sopstvene vrijednosti vrijednosti i vlastite elemente. Konjugirani operator. nema sopstvene elemente. Neka neki trigonometrijski polinom a cos t + 0 sin t nakon diferencijacije postane proporcionalan: To znači da ili, što je isto, Posljednja jednakost vrijedi ako i samo ako iz toga slijedi da je a = p = 0 i, stoga, polinom može biti samo nula. Teorema 6. Realni broj A je vlastita vrijednost linearnog operatora A ako i samo ako je ovaj broj korijen njegovog karakterističnog polinoma: x (A) = 0. Nužnost. Neka je A vlastita vrijednost operatora A. Tada postoji element x različit od nule za koji je Ax = Ax. Neka bude osnova prostora. Tada se posljednja jednakost može prepisati u ekvivalentnom matričnom obliku ili, što je isto, A ovo, da je x pravi element, slijedi da je njegov koordinatni stupac x (c) različit od nule. To znači da linearni sistem (1) ima rješenje različito od nule. Ovo poslednje je moguće samo pod uslovom ili, što je isto, dovoljnosti. Način da izgradite vlastiti element. Neka je A korijen polinoma. Razmotrimo homogeni linearni sistem sa matricom A (c) - AI: Prema uslovu (2), ovaj sistem ima rješenje različito od nule. Konstruirajmo element x prema pravilu Koordinatni stupac x (c) ovog elementa zadovoljava uvjet ili, što je također, potonji je ekvivalentan činjenici da je ili, detaljnije, Prema tome, x je vlastita vrijednost linearni operator A, a A je njegova odgovarajuća vlastita vrijednost. Komentar. Da bismo pronašli sve svojstvene vrijednosti koje odgovaraju datoj svojstvenoj vrijednosti A, potrebno je konstruirati FSR sistema (3). Primjer 1. Odrediti svojstvene vektore linearnog operatora koji djeluje po pravilu (operator projekcije) (slika 6). M Razmotrimo akcije linearnog operatora P na bazne vektore. Imamo Napišimo matricu operatora: Svojstvene vrijednosti i svojstvene vrijednosti. Konjugirani operator. konstruiramo karakterističan polinom i pronalazimo njegove korijene. Imamo Konstruišemo homogene linearne sisteme sa matricama: Dobijamo, respektivno: Nalazimo osnovne sisteme rešenja za svaki od ovih sistema. Imamo 1 Dakle, svojstveni vektori ovog operatora projekcije su: vektor k sa svojstvenom vrijednošću od 0 i bilo koji vektor sa svojstvenom vrijednošću Primjer 2. Pronađite vlastite vrijednosti linearnog operatora diferencijacije V koji djeluje u prostoru Afj polinoma stepena najviše dva: Matrica D datog operatora u bazi I, t, O ima oblik karakterističan polinom -A3 ima tačno jedan korijen A = 0. Rješenje sistema je skup 1,0,0, što odgovara na polinom nultog stepena. §5. Konjugirani operator U euklidskom prostoru nad linearnim operatorima možemo uvesti jednu akciju - operaciju konjugacije. Neka je V n-dimenzionalni euklidski prostor. Sa svakim linearnim operatorom koji djeluje u ovom prostoru; drugi linearni operator konjugiran sa datim je prirodno povezan. Definicija. Linearni operator (čitaj: "a sa zvijezdom") naziva se konjugiranim s linearnim operatorom A: V - * V ako za bilo koje elemente x i y iz prostora V vrijedi jednakost. Linearni operator A *, konjugiran s a dati operator A, uvijek postoji. Neka je c = (et, ..., en) ortobaza prostora V i neka je A = A (c) = (o ^) matrica linearnog operatora A u ovoj bazi, odnosno direktnim proračunima može se potvrditi da je za linearnog operatora A": V -» V, definisanog pravilom, jednakost (1) zadovoljena za bilo koje i y. Podsjetimo da je, prema teoremi 1, da bi se konstruirao linearni operator, potrebno dovoljan da se definiše njegovo djelovanje na osnovne elemente. polinoma sa realnim koeficijentima stepena najviše jedne skalarne operacije množenja prema sljedećem pravilu. Konstruirajte adjuint operator. Matrica operatora V u ovoj bazi ima oblik. Tada je matrica pridruženog operatora V, postupajući po pravilu: Za proizvoljni polinom dobijamo Svojstva operacije konjugacije. konjugirani su datom operatoru A. To znači da za bilo koje elemente x i y iz prostora V vrijede jednakosti. Otuda slijedi da su svojstvene vrijednosti i svojstveni elementi. Konjugirani operator. i, dalje, proizvoljnošću izbora elementa x zaključujemo da je element Vu-Su ortogonalan na bilo koji element prostora V, a posebno na sebe. Potonje je moguće samo u slučaju kada je By - Cy = 0 i, prema tome, By = C y. Zbog činjenice da je y proizvoljan element, dobijamo B ~ C. 2. (a.4) * = aA *, gdje je a proizvoljan realan broj. Neka su A: V - + V i B: V - + V linearni operatori. Tada svojstva 2-5 lako slijede iz jedinstvenosti spojnog operatora. 6. Neka je c ortobaza prostora V. Da bi operatori A: V V i B: V - »V bili međusobno konjugirani, tj. jednakosti B = A", A = B * su zadovoljene, potrebno je i dovoljno da se njihove matrice A = A (c) i B = B (c) dobiju jedna od druge transpozicijom. Napomena. Naglašavamo da je svojstvo 6 vrijedi samo za matricu, 7. Ako je linearni operator A nedegeneriran, tada je i operator A * konjugiran s njim također nedegeneriran i jednakost

Inverzni operator

Neka je V linearni prostor nad poljem P, A operator (ne nužno linearan) koji djeluje u V.

Definicija. Operator A se naziva inverzibilnim ako postoji operator B koji djeluje u V tako da je BA = AB = I.

Definicija. Operator B koji zadovoljava uslov BA = AB = I naziva se inverznim prema A i označava se.

Dakle, operator inverzan operatoru A zadovoljava uslov A = A = I. Za invertibilni operator A, jednakosti Ax = y i y = x su ekvivalentne. Zaista, neka je Ax = y, tada je y = (Ax) = (A) x = Ix = x.

Ako je y = x, onda

Ax = A (y) = (A) y = Iy = y.

Teorema. Ako je linearni operator invertibilan, onda je i njegov inverzni operator linearan.

Dokaz. Neka je A inverzni linearni operator koji djeluje u linearnom prostoru V nad poljem P, operator inverzan A. Uzmite proizvoljne vektore i brojeve. Tada je A =, A =. Zbog linearnosti operatora A

Odavde dobijamo:

= = ,

To jest, operator je linearan.

Konjugirani linearni operator

Neka su data dva unitarna prostora X, Y.

Definicija. Operator A * koji djeluje od Y do X naziva se konjugiranim u odnosu na operator A koji djeluje od X do Y ako je za bilo koje vektore xX, yY jednakost

(Ax, y) = (x, A * y). (jedan)

Teorema. Za bilo koji linearni operator A postoji pridruženi operator A *, i štaviše, samo jedan.

Dokaz. Odaberimo neku ortonormalnu bazu u X. Za bilo koji vektor xX, dekompozicija

Ako operator A * postoji, onda, prema ovoj formuli, za bilo koji vektor yY imamo

Ili po definiciji

Ali to znači da ako operator A * postoji, onda je jedini.

Ovako konstruisan operator A * je linearan. Takođe zadovoljava jednakost (Ax, y) = (x, A * y). Zaista, uzimajući u obzir ortonormalnost sistema i uzimajući u obzir (1), (2), dobijamo za bilo koje vektore xX, yY

(Ax, y) = (A) =,

(x, A * y) = (A) =

Teorema je dokazana.

Pridruženi operator A * povezan je sa operatorom A određenim relacijama. Napomenimo neke od njih:

Dokaz. Razmotrimo proizvoljni operator A i njegov konjugirani operator A *. Zauzvrat, operator (A *) * će biti konjugiran za operator A *. Sada za bilo koje xX, yY koje imamo

(y, (A *) * x) = (A * y, x) == = (y, Ax).