Linearna funkcija naziva se funkcija oblika y = kx + b dati na skupu svih realnih brojeva. Evo k- nagib (stvarni broj), b – slobodni termin (stvarni broj), x Je nezavisna varijabla.
U konkretnom slučaju, ako k = 0, dobijamo konstantnu funkciju y = b, čiji je graf prava linija paralelna sa Ox osi koja prolazi kroz tačku sa koordinatama (0; b).
Ako b = 0, tada dobijamo funkciju y = kx, koji je direktnu proporcionalnost.
b – dužina segmenta, koji je odsječen linijom duž ose Oy, računajući od početka.
Geometrijsko značenje koeficijenta k – ugao nagiba prava linija u pozitivnom smjeru ose Ox, broji se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Svojstva linearne funkcije:
1) Domen linearne funkcije je cijela realna os;
2) Ako k ≠ 0, tada je raspon vrijednosti linearne funkcije cijela realna os. Ako k = 0, tada se raspon vrijednosti linearne funkcije sastoji od broja b;
3) Parnost i neparnost linearne funkcije ovise o vrijednostima koeficijenata k i b.
a) b ≠ 0, k = 0, dakle, y = b - paran;
b) b = 0, k ≠ 0, dakle y = kx - neparan;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, dakle y = kx + b je opća funkcija;
d) b = 0, k = 0, dakle y = 0 - i parna i neparna funkcija.
4) Linearna funkcija ne posjeduje svojstvo periodičnosti;
5) Točke preseka sa koordinatnim osama:
vol: y = kx + b = 0, x = -b / k, dakle (-b / k; 0)- tačka preseka sa osom apscise.
oy: y = 0k + b = b, dakle (0; b)- tačka preseka sa ordinatnom osom.
Napomena: Ako b = 0 i k = 0, zatim funkciju y = 0 nestaje za bilo koju vrijednost varijable X... Ako b ≠ 0 i k = 0, zatim funkciju y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable X.
6) Intervali predznaka konstante zavise od koeficijenta k.
a) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.
y = kx + b- je pozitivan na x od (-b / k; + ∞),
y = kx + b- je negativan na x od (-∞; -b / k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b- je pozitivan na x od (-∞; -b / k),
y = kx + b- je negativan na x od (-b / k; + ∞).
c) k = 0, b> 0; y = kx + b pozitivan je u cijelom domenu definicije,
k = 0, b< 0; y = kx + b negativan je u cijeloj domeni.
7) Intervali monotonosti linearne funkcije zavise od koeficijenta k.
k> 0, dakle y = kx + b povećava se u cijelom domenu definicije,
k< 0 , dakle y = kx + b opada u cijelom domenu definicije.
8) Grafikon linearne funkcije je prava linija. Za izgradnju prave linije dovoljno je znati dvije tačke. Položaj prave linije na koordinatnoj ravni ovisi o vrijednostima koeficijenata k i b... Ispod je tabela koja to jasno ilustruje.
Definicija linearne funkcije
Hajde da uvedemo definiciju linearne funkcije
Definicija
Funkcija oblika $ y = kx + b $, gdje je $ k $ različita od nule, naziva se linearna funkcija.
Grafikon linearne funkcije - prava linija. Broj $ k $ naziva se nagib prave.
Za $ b = 0 $, linearna funkcija se zove funkcija direktne proporcionalnosti $ y = kx $.
Razmotrite sliku 1.
Rice. 1. Geometrijsko značenje nagiba prave linije
Posmatrajmo trougao ABC. Vidimo da je $ VS = kx_0 + b $. Pronađite tačku preseka prave $ y = kx + b $ sa osom $ Ox $:
\ \
Otuda $ AC = x_0 + \ frac (b) (k) $. Nađimo omjer ovih partija:
\ [\ frac (BC) (AC) = \ frac (kx_0 + b) (x_0 + \ frac (b) (k)) = \ frac (k (kx_0 + b)) ((kx) _0 + b) = k \]
S druge strane, $ \ frac (BC) (AC) = tg \ ugao A $.
Dakle, može se izvesti sljedeći zaključak:
Zaključak
Geometrijsko značenje koeficijenta $ k $. Nagib prave $ k $ jednak je tangenti ugla nagiba ove prave na osu $ Ox $.
Istraživanje linearne funkcije $ f \ lijevo (x \ desno) = kx + b $ i njenog grafa
Prvo, razmotrite funkciju $ f \ lijevo (x \ desno) = kx + b $, gdje je $ k> 0 $.
- $ f "\ lijevo (x \ desno) = (\ lijevo (kx + b \ desno))" = k> 0 $. Posljedično, ova funkcija se povećava u cijelom domenu definicije. Ne postoje ekstremne tačke.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) kx \) = - \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) kx \) = + \ infty $
- Grafikon (slika 2).
Rice. 2. Grafovi funkcije $ y = kx + b $, za $ k> 0 $.
Sada razmotrite funkciju $ f \ lijevo (x \ desno) = kx $, gdje je $ k
- Opseg su svi brojevi.
- Opseg su svi brojevi.
- $ f \ lijevo (-x \ desno) = - kx + b $. Funkcija nije ni parna ni neparna.
- Za $ x = 0, f \ lijevo (0 \ desno) = b $. Za $ y = 0,0 = kx + b, \ x = - \ frac (b) (k) $.
Točke preseka sa koordinatnim osama: $ \ lijevo (- \ frac (b) (k), 0 \ desno) $ i $ \ lijevo (0, \ b \ desno) $
- $ f "\ lijevo (x \ desno) = (\ lijevo (kx \ desno))" = k
- $ f ^ ("") \ lijevo (x \ desno) = k "= 0 $. Dakle, funkcija nema prevojne tačke.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) kx \) = + \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) kx \) = - \ infty $
- Grafikon (slika 3).
Linearna funkcija je funkcija oblika y = kx + b, gdje je x nezavisna varijabla, k i b su bilo koji brojevi.
Grafikon linearne funkcije je prava linija.
1. Da nacrtate graf funkcije, potrebne su nam koordinate dvije tačke koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije vrijednosti x, zamijeniti ih u jednadžbi funkcije i iz njih izračunati odgovarajuće vrijednosti y.
Na primjer, za crtanje funkcije y = x + 2, prikladno je uzeti x = 0 i x = 3, tada će ordinate ovih tačaka biti jednake y = 2 i y = 3. Dobijamo tačke A (0; 2) i B (3; 3). Povezujemo ih i dobijamo graf funkcije y = x + 2:
2.
U formuli y = kx + b, broj k se naziva koeficijent proporcionalnosti:
ako je k> 0, tada funkcija y = kx + b raste
ako k
Koeficijent b pokazuje pomak grafa funkcije duž ose OY:
ako je b> 0, onda se grafik funkcije y = kx + b dobija iz grafika funkcije y = kx pomicanjem b jedinica prema gore duž ose OY
ako b
Na slici ispod prikazani su grafovi funkcija y = 2x + 3; y = ½ x + 3; y = x + 3
Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent k iznad nule, a funkcije su povećanje.Štaviše, što je veća vrijednost k, veći je ugao nagiba prave linije prema pozitivnom smjeru ose OX.
U svim funkcijama b = 3 - i vidimo da svi grafovi sijeku osu OY u tački (0; 3)
Sada razmotrite grafove funkcija y = -2x + 3; y = - ½ x + 3; y = -x + 3
Ovaj put, u svim funkcijama, koeficijent k manje od nule, i funkcije smanjiti. Koeficijent b = 3, a grafovi, kao iu prethodnom slučaju, sijeku osu OY u tački (0; 3)
Razmotrimo grafove funkcija y = 2x + 3; y = 2x; y = 2x-3
Sada su u svim jednadžbama funkcija koeficijenti k jednaki 2. I dobili smo tri paralelne prave.
Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafovi sijeku os OY u različitim tačkama:
Grafikon funkcije y = 2x + 3 (b = 3) prelazi osu OY u tački (0; 3)
Grafikon funkcije y = 2x (b = 0) siječe osu OY u tački (0; 0) - ishodištu.
Grafikon funkcije y = 2x-3 (b = -3) prelazi osu OY u tački (0; -3)
Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda možemo odmah zamisliti kako izgleda grafik funkcije y = kx + b.
Ako k 0
Ako k> 0 i b> 0, tada graf funkcije y = kx + b ima oblik:
Ako k> 0 i b, tada graf funkcije y = kx + b ima oblik:
Ako k, tada graf funkcije y = kx + b ima oblik:
Ako k = 0, tada se funkcija y = kx + b pretvara u funkciju y = b i njen graf izgleda ovako:
Ordinate svih tačaka grafa funkcije y = b jednake su b If b = 0, tada graf funkcije y = kx (direktna proporcionalnost) prolazi kroz ishodište:
3. Zasebno, bilježimo grafik jednačine x = a. Grafikon ove jednačine je prava linija paralelna sa OY osi, čije sve tačke imaju apscisu x = a.
Na primjer, graf jednadžbe x = 3 izgleda ovako:
Pažnja! Jednadžba x = a nije funkcija, jer jedna vrijednost argumenta odgovara različitim vrijednostima funkcije, što ne odgovara definiciji funkcije.
4. Uslov za paralelnost dve prave:
Grafikon funkcije y = k 1 x + b 1 je paralelan sa grafikom funkcije y = k 2 x + b 2, ako je k 1 = k 2
5. Uslov za okomitost dvije prave:
Grafikon funkcije y = k 1 x + b 1 je okomit na grafik funkcije y = k 2 x + b 2 ako je k 1 * k 2 = -1 ili k 1 = -1 / k 2
6. Tačke presjeka grafika funkcije y = kx + b sa koordinatnim osa.
Sa OY osom. Apscisa bilo koje tačke koja pripada osi OY je nula. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa OY osom, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto x. Dobijamo y = b. Odnosno, tačka preseka sa OY osom ima koordinate (0; b).
Sa OX-osi: Ordinata bilo koje tačke koja pripada OX-osi je nula. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa osom OX, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto y. Dobijamo 0 = kx + b. Dakle, x = -b / k. Odnosno, tačka preseka sa OX osom ima koordinate (-b / k; 0):
