5. Circuite electrice liniare în modul influențelor periodice nearmonice. Teoria circuitelor electrice

5. Circuite electrice liniare în modul influențelor periodice nearmonice

5.1. Semnale periodice nearmonice

La transmiterea informaţiei prin canale de comunicaţie în procesul de conversie a semnalelor în diferite dispozitive de regulă, se folosesc vibrații nearmonice, deoarece vibrațiile pur armonice nu pot fi purtătoare de informații. Pentru a transmite mesaje, oscilațiile armonice sunt modulate în amplitudine - modulație de amplitudine(AM), frecvență - modulația de frecvență(FM) sau fază - modularea fazei(FM) sau utilizați semnale de impuls, modulat în amplitudine - modulație de impuls-amplitudine (AIM), lățime - modularea lățimii impulsului(PWM), poziție în timp - modulare în timp a impulsului (PWM). Sunt altele, mai multe semnale complexe format conform legilor speciale. Trăsătură distinctivă semnalele indicate sunt de natură complexă nearmonică. Curenții și tensiunile formate în diverse dispozitive cu impulsuri și digitale (19. Semnale și circuite discrete) au o formă nesinusoidală, semnalele armonice care trec prin diferite dispozitive neliniare (11. Circuite electrice neliniare sub influențe armonice) dobândesc un caracter neliniar. -caracter sinusoidal etc Toate acestea conduc la necesitatea dezvoltării unor metode speciale de analiză şi sinteză a circuitelor electrice sub influenţa curenţilor şi tensiunilor periodice nesinusoidale şi neperiodice. Aceste metode se bazează pe reprezentări spectrale ale acțiunilor nesinusoidale bazate pe o extindere în serie sau integrală Fourier.

Din analiză matematică se ştie că funcţia periodică nearmonică f (t)îndeplinirea condițiilor Dirichlet poate fi extinsă într-o serie Fourier:
(5.1)
Unde un k,b k - coeficienţii de dilatare determinaţi de ecuaţii
(5.2)

Magnitudinea reprezintă valoarea medie pe perioada a funcției f (t)și se numește componentă constantă.

În studiile teoretice, în locul formulei (5.1), se folosește de obicei o alta, bazată pe înlocuirea variabilei independente:
(5.3)
Unde
(5.4)

Ecuația (5.3) este forma trigonometrică a seriei Fourier. Când se analizează lanțurile, este adesea mai convenabil să se folosească forma complexă a seriei Fourier, care poate fi obținută din (5.3) folosind formulele Euler:
(5.5)

Înlocuind (5.5) în ecuația (5.3), după transformări simple, obținem forma complexă a seriei Fourier:
(5.6)
Unde A k - amplitudine complexă k a-a armonică:
(5.7)
Unde - amplitudine; - faza initiala k a armonică.

Înlocuirea valorilor un kși b k de la (5.4) la (5.7), obținem:
(5.8)

Set de amplitudini 0,5 A k = 0,5A –kîn expansiune (5.6), în raport cu frecvențele pozitive și negative corespunzătoare, formează o simetrică în jurul axei de coordonate (datorită uniformității coeficienților un k) spectrul de amplitudine a liniei.

Set de ordonate k = – –k din (5.7) inclus în expansiunea (5.6) și amânat față de frecvențele pozitive și negative corespunzătoare, formează o simetrică față de originea axei de coordonate (datorită neobișnuităii coeficienților b k)spectru de fază liniară.

Extinderea (5.3) poate fi reprezentată sub altă formă. Având în vedere că un k = A k cos kși b k= A k păcat k, apoi după înlocuirea din (5.3) obținem:
(5.9)

Dacă considerăm componenta constantă a 0/2 ca o armonică zero cu faza initiala 0 = 0, atunci expansiunea (5.9) ia forma
(5.10)

În cazul special când funcţia f(a) este simetric față de axa ordonatelor (Fig.5.1, A), numai armonicile pare (cosinus) vor apărea în expansiune (5.3):

(5.11)

si cu simetrie f(a) relativ la origine (Fig.5.1, b) armonice impare
(5.12)

La deplasarea originii funcției f(a) spectrul său de amplitudine nu se modifică, ci se schimbă doar spectrul de fază. Într-adevăr, schimbăm funcția f(a) de-a lungul axei timpului la stânga de t 0 și notează.

Apoi expansiunea (5.9) ia forma
(5.13)

Exemplu. Extindeți oscilațiile dreptunghiulare într-o serie Fourier (Fig.5.1, b). Având în vedere că f(a) este simetric față de origine, doar armonicile sinusoidale (5.12) rămân în expansiune (5.3), unde b k se determină conform (5.4):

Înlocuind b kîn (5.12), obținem o expansiune într-o serie Fourier:
(5.14)

În continuare, să ne mișcăm f(a) p / 2 la stânga (a se vedea Fig.5.1, A). Apoi, conform (5.13), obținem

(5.15)

Adică am obținut o expansiune în componente cosinus, așa cum ar trebui să fie pentru un semnal simetric față de axa ordonatelor.

În unele cazuri, când funcția periodică f(a) este dat grafic și are formă complexă, extinderea sa într-o serie Fourier poate fi realizată grafic analitic. Esența sa constă în faptul că perioada semnalului T(fig.5.2) se împarte în m intervale egale, iar punctele de întrerupere f(a) nu trebuie să cadă în mijlocul secțiunilor despicate; determinați valoarea semnalului f(A n) în mijlocul fiecărei secțiuni a despărțirii.

Aflați coeficienții de expansiune un kși b k prin înlocuirea integralei din (5.2) cu suma finită
(5.16)

Ecuația (5.16) este ușor de programat și la calcul un kși b k, se poate folosi un computer.

5.2. RMS, valoarea medie și puterea unui semnal periodic nearmonic

Pentru certitudine, presupunem că f(t) are sensul de curent i(t). Apoi valoarea efectivă a curentului periodic nearmonic se determină conform (3.5), unde i(t) este determinată de ecuația (5.10):
(5.17)

Inlocuind aceasta valoare curenta in (3.5), dupa integrare obtinem
(5.18)

adică valoarea efectivă a curentului periodic nearmonic eu complet determinat de valorile efective ale armonicilor sale eu kși nu depinde de fazele lor inițiale k.

În același mod găsim valoarea efectivă a tensiunii periodice nesinusoidale:
(5.19)

Valoarea medie a curentului se determină conform expresiei generale (3.9). Mai mult, de obicei iau valoarea medie i(t) pe valoare absolută
(5.20)

În mod similar, este determinat U miercuri (2).

În ceea ce privește teoria circuitelor, mare interes reprezintă media putere activă un semnal nearmonic și distribuția lui între armonici individuale.

Puterea activă medie a unui semnal periodic nesinusoidal
(5.21)
Unde
(5.22)

k- defazaj între curent și tensiune k a armonică.

Înlocuirea valorilor i(t) și u(t) din (5.22) în ecuația (5.21), după integrare obținem:
(5.23)
adică puterea activă medie a unui semnal periodic nearmonic pe o perioadă este egală cu suma puterilor armonicilor individuale. Formula (5.23) este una dintre formele binecunoscutului Egalitățile lui Parseval.

În mod similar, găsim putere reactiva
(5.24)
și toata puterea
(5.25)

Trebuie subliniat faptul că, spre deosebire de semnalele armonice pt semnale inarmonice
(5.26)

Magnitudinea P isc = poartă numele putere de distorsiuneşi caracterizează gradul de diferenţă în formele curentului i(t) și tensiune u(t).

Pe lângă puterea de distorsiune, semnalele periodice nearmonice sunt caracterizate și de un număr de coeficienți:putere, k m = P / S; formează K f = U / U cf (2); amplitudini K a = U m / U; distorsiuni k și = U 1 / U; armonici k r = si etc.

Pentru semnal sinusoidal k f = / 21,11; k a = 1,41; k u = 1; k r = 0.

5.3. Spectre ale semnalelor periodice nearmonice

Luați în considerare succesiunea de impulsuri dreptunghiulare prezentată în Fig. 5.3, A... Semnalele de această formă sunt foarte utilizate pe scară largă în inginerie radio și telecomunicații: telegrafie, sisteme digitale sisteme de transmisie comunicare multicanal cu diviziunea în timp a canalelor, puls variat și dispozitive digitaleşi altele (vezi cap. 19). Secvența pulsului este caracterizată de următorii parametri de bază: amplitudinea pulsului Ași și poate înțelege atât tensiunea, cât și curentul. ">, durata sa tși și perioada care urmează T... Raportul perioadei T la durata tși a sunat ciclu de lucruși este notat cu q = T / t și... De obicei, valorile ciclului de lucru al impulsurilor se află în intervalul mai multor unități (în echipamente de măsurare, dispozitive transmisie discretăși procesarea informațiilor), până la câteva sute sau mii (în radar).

Pentru a găsi spectrul unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare, folosim seria Fourier în formă complexă (5.6). Amplitudine complexă k-a armonică este egală conform (5.8) după revenirea la variabila inițială t.

(5.27)

Înlocuirea valorii A kîn ecuația (5.6), obținem o expansiune într-o serie Fourier:
(5.28)

În fig. 5.4 arată spectrul amplitudinilor complexe pt q= 2 și q= 4. După cum se poate observa din figură, spectrul unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare este spectru discret cu un plic (linie întreruptă în Fig.5.4), care este descris de funcție
(5.29)
numită funcţie de numărare (vezi cap. 19). Numărul de linii spectrale dintre originea de-a lungul axei frecvenței și primul zero al anvelopei este q- 1. Componenta constanta a semnalului (valoare medie) , și valoarea efectivă A=, adică cu cât ciclul de lucru este mai mare, cu atât nivelul componentei constante și valoarea efectivă a semnalului sunt mai mici. Odată cu creșterea ciclului de lucru q numărul de componente discrete crește - spectrul devine mai dens (vezi Fig. 5.4, b), iar amplitudinea armonicilor scade mai lent. Trebuie subliniat că, în conformitate cu (5.27), spectrul secvenței considerate de impulsuri dreptunghiulare este real.

Din spectrul amplitudinilor complexe (5.27), se poate distinge amplitudinea A k = |A k| și spectrul de fază k= arg A k prezentat în Fig. 5.5 pentru caz q= 4. Din figuri se poate observa că spectrul de amplitudine este par, iar spectrul de fază este o funcție impară a frecvenței. Mai mult, fazele armonicilor individuale iau fie valoare zeroîntre noduri, unde sinusul este pozitiv, sau ±, unde sinusul este negativ (Fig.5.5, b)

Pe baza formulei (5.28), obținem forma trigonometrică a expansiunii în seria Fourier în armonici pare (comparați cu (5.15)):
(5.30)

Când secvența impulsurilor este deplasată de-a lungul axei timpului (Fig.5.2, b) în conformitate cu (5.13), spectrul său de amplitudine va rămâne același, iar spectrul de fază se va modifica:
(5.31)

În cazul în care secvența periodică are o formă bipolară (vezi Fig. 5.1), nu va exista o componentă constantă în spectru (comparați (5.30) și (5.31) cu (5.14) și (5.15)).

În mod similar, se poate studia compoziția spectrală a semnalelor periodice nearmonice de altă formă. Tabelul 5.1 prezintă expansiunea Fourier a unora dintre cele mai comune semnale.

Tabelul 5.1

	Tipuri de semnal	Extinderea seriei Fourier
1
2
3
4
5
6

5.4. Calculul circuitelor cu influențe periodice nearmonice

Principiul suprapunerii se află în centrul calculului circuitelor electrice liniare sub influența semnalelor periodice nearmonice. Esența sa în raport cu influențele nearmonice este de a descompune un semnal periodic nearmonic într-una dintre formele seriei Fourier (vezi 5.1. Semnale periodice nearmonice. Expansiunea într-o serie Fourier) și de a determina răspunsul lanțului de la fiecare armonică separat. Reacția rezultată se găsește prin suprapunerea (suprapunerea) reacțiilor parțiale rezultate. Astfel, calculul circuitelor sub influențe periodice nearmonice include sarcina de a analiza compoziția spectrală a semnalului (expansiunea acestuia într-o serie Fourier), calculul circuitului din fiecare componentă armonică și sarcina de sinteză, în urma căreia semnalul de ieșire rezultat este determinat în funcție de timp (frecvență) sau efectiv (valoarea de vârf).

La rezolvarea problemei de analiză, se utilizează de obicei forma trigonometrică (5.3) sau complexă (5.6) a seriei Fourier cu număr limitat termeni de expansiune, ceea ce duce la o eroare în aproximarea semnalului adevărat. Coeficienți de expansiune un kși b kîn (5.3) sau A kși kîn (5.6) sunt determinate folosind ecuațiile (5.4), (5.7) și (5.8). În acest caz, semnalul de intrare f(a) trebuie specificată analitic. Dacă semnalul este specificat grafic, de exemplu, sub forma unei oscilograme, atunci pentru a găsi coeficienții de expansiune un kși b k se poate folosi metoda grafico-analitică (vezi (5.16)).

Calculul circuitului din armonici individuale se realizează de obicei folosind o metodă simbolică. Trebuie avut în vedere că pe k-a armonică reactanța inductivă X L(k) = kL, A capacitate X C(k) = 1/(kС), adică pe k reactanța inductivă armonică în k ori mai mult, iar capacitivul in k ori mai puţin decât la prima armonică. Acest lucru, în special, explică faptul că armonicile ridicate în capacitate sunt mai pronunțate, iar în inductanță sunt mai slabe decât în ​​tensiunea aplicată acestora. Rezistență activă R la frecvenţe joase şi medii pot fi considerate independente de frecvenţă.

După determinarea curenților și tensiunilor dorite din armonicile individuale prin metoda suprapunerii, se găsește răspunsul circuitului rezultat la un efect periodic nearmonic. În acest caz, fie determinați valoare instantanee semnalul rezultat bazat pe calculul amplitudinilor și fazelor armonicilor individuale sau al amplitudinii sau valorilor efective ale acestuia conform ecuațiilor (5.18), (5.19). La determinarea reacției rezultate, trebuie reținut că, în conformitate cu noțiunea de periodic vibratii armonice pe planul complex, vectorii diferitelor armonici se rotesc cu frecvențe unghiulare diferite.

Exemplu. La circuitul prezentat în fig. 5.6, tensiune aplicată u(t) sub formă de impulsuri dreptunghiulare cu perioadă de repetare T= 2tși și amplitudine A u = 1B (vezi Fig.5.3, b). Definiți instant și valoare efectivă tensiune de capacitate.

Expansiunea acestei tensiuni într-o serie Fourier este determinată de formula (5.31). Să ne limităm la primii trei termeni de expansiune (5.31): armonica k-a este o stare a unui circuit electric format din elemente reactive de diferite caracteristici, în care defazajul între curentul de intrareși tensiunea aplicată k-x armonici este zero... Fenomenul de rezonanță poate fi utilizat pentru a izola armonici individuale de un semnal periodic nesinusoidal. Trebuie subliniat faptul că într-un circuit se pot realiza simultan o rezonanță de curent la o frecvență și o rezonanță de tensiune la alta.

Exemplu. Pentru circuitul prezentat în fig. 5.7, pentru un 1 dat, L 1 găsiți valoare C 1 și C 2, la care rezonanța tensiunii la armonica 1 și rezonanța curentului la armonica a 5-a apar simultan.

Din starea de rezonanță a tensiunii, constatăm că intrarea reactanţă circuitul la prima armonică ar trebui să fie zero:
(5.32)

și la a cincea - infinit (conductanța reactivă de intrare la a cincea armonică ar trebui să fie egală cu zero):
(5.33)

Din condițiile (5.32) și (5.33) găsim valoarea dorită a capacităților:

Dintre diferitele sisteme de funcții ortogonale care pot fi folosite ca baze pentru reprezentare semnale radio, un loc exclusiv este ocupat de funcțiile armonice (sinusoidale și cosinus). Importanța semnalelor armonice pentru inginerie radio se datorează mai multor motive.

În special:

1. Semnalele armonice sunt invariante sub transformările efectuate prin liniare staționară circuite electrice... Dacă un astfel de circuit este excitat de o sursă de oscilații armonice, atunci semnalul de la ieșirea circuitului rămâne armonic cu aceeași frecvență, diferind de semnalul de intrare doar în amplitudine și fază inițială.

2. Tehnica de generare a semnalelor armonice este relativ simplă.

Dacă orice semnal este prezentat ca o sumă de oscilații armonice cu frecvente diferite, apoi se spune - că descompunerea spectrală a acestui semnal a fost efectuată. Componentele armonice individuale ale semnalului formează spectrul acestuia.

2.1. Semnale periodice și seriile Fourier

Modelul matematic al unui proces care se repetă în timp este un semnal periodic cu următoarea proprietate:

Aici T este perioada semnalului.

Sarcina este de a găsi descompunerea spectrală a unui astfel de semnal.

Seria Fourier.

Să stabilim intervalul de timp considerat în cap. I baza ortonormala formata din functii armonice cu frecvente multiple;

Orice funcție din această bază satisface condiția de periodicitate (2.1). Prin urmare, - după efectuarea descompunerii ortogonale a semnalului în această bază, adică calculând coeficienții

obţinem descompunerea spectrală

care este valabil pe întregul infinit al axei timpului.

O serie de forma (2.4) se numește seria Fourier a semnalului dat. Să introducem frecvența fundamentală a secvenței care formează semnalul periodic. Calculând coeficienții de expansiune prin formula (2.3), scriem seria Fourier pentru un semnal periodic

cu coeficienți

(2.6)

Deci in caz general semnalul periodic conține o componentă constantă independentă de timp și un set infinit de oscilații armonice, așa-numitele armonice cu frecvențe care sunt multipli ai frecvenței fundamentale a secvenței.

Fiecare armonică poate fi descrisă prin amplitudinea și faza sa inițială. Pentru aceasta, coeficienții seriei Fourier ar trebui să se scrie sub forma

Înlocuind aceste expresii în (2.5), obținem o altă, - o formă echivalentă a seriei Fourier:

ceea ce uneori este mai convenabil.

Diagrama spectrală a unui semnal periodic.

Deci se obișnuiește să sune imagine grafică Coeficienții seriei Fourier pentru un anumit semnal. Distingeți diagramele spectrale de amplitudine și de fază (Fig. 2.1).

Aici, pe axa orizontală, la o anumită scară, sunt trasate frecvențele armonicilor, iar pe axa verticală sunt trasate amplitudinile și fazele inițiale ale acestora.

Orez. 2.1. Diagrame spectrale oarecare semnal periodic: a - amplitudine; b - faza

Ei sunt interesați în special de diagrama de amplitudine, care permite să se judece procentul anumitor armonici în spectrul unui semnal periodic.

Să ne uităm la câteva exemple specifice.

Exemplul 2.1. Seria Fourier succesiune periodică impulsuri video dreptunghiulare cu parametri cunoscuți, chiar relativ la punctul t = 0.

În inginerie radio, raportul se numește ciclu de lucru al secvenței. Folosind formulele (2.6), găsim

Este convenabil să scrieți formula finală a seriei Fourier în formă

În fig. 2.2 prezintă diagramele de amplitudine ale secvenței considerate în două cazuri extreme.

Este important de reținut că o secvență de impulsuri scurte, care se succed destul de rar, are o compoziție spectrală bogată.

Orez. 2.2. Spectrul de amplitudine al unei secvențe periodice de impulsuri video dreptunghiulare: a - la duty cycle ridicat; b - la ciclu de lucru redus

Exemplul 2.2. S-a format seria Fourier a unui tren periodic de impulsuri semnal armonic specii limitate la nivel (se presupune că).

Introducem un parametru special - unghiul de tăiere, determinat din relația de unde

În conformitate cu aceasta, valoarea este egală cu durata unui impuls, exprimată în măsură unghiulară:

O înregistrare analitică a impulsului care generează secvența luată în considerare are forma

Componentă constantă a secvenței

Coeficientul de amplitudine al primei armonice

În mod similar, se calculează amplitudinile - componentele armonice la

Rezultatele obţinute sunt de obicei scrise după cum urmează:

unde funcționează așa-numitul Berg:

Graficele unora dintre funcțiile lui Berg sunt prezentate în Fig. 2.3.

Orez. 2.3. Grafice ale primelor câteva funcții Berg

Forma complexă a seriei Fourier.

Descompunerea spectrală a unui semnal periodic poate fi realizată și oarecum ionică folosind sistemul funcții de bază format din exponenți cu exponenți imaginari:

Este ușor de observat că funcțiile acestui sistem sunt periodice cu o perioadă ortonormalizată pe un interval de timp de la

Seria Fourier a unui semnal periodic arbitrar în în acest caz ia forma

cu coeficienți

De obicei se folosește următoarea formă de notație:

Expresia (2.11) este o serie Fourier în formă complexă.

Spectrul de semnal conform formulei (2.11) conține componente pe semiaxa frecvenței negative și. În seria (2.11), termenii cu frecvențe pozitive și negative sunt combinați în perechi, de exemplu: și se construiesc sumele vectorilor - în direcția creșterii unghiului de fază, în timp ce vectorii se rotesc în direcție opusă... Sfârșitul vectorului rezultat în fiecare moment de timp determină valoarea curentă a semnalului.

O astfel de interpretare vizuală a descompunerii spectrale a unui semnal periodic va fi folosită în secțiunea următoare.

Semnalele periodice pot fi supuse expansiunii seriei Fourier. Mai mult, ele sunt reprezentate ca o sumă de funcții armonice, sau exponențiale complexe cu frecvențe care formează o progresie aritmetică. Pentru ca o astfel de descompunere să existe, un fragment de semnal cu o durată de o perioadă trebuie să îndeplinească condițiile Dirichlet:

1. Nu ar trebui să existe discontinuități de al doilea fel (cu ramuri ale funcției mergând la infinit).

2. Numărul discontinuităților de primul fel (sărituri) trebuie să fie finit.

Numărul de extreme trebuie să fie finit.

Seria Fourier poate fi folosită pentru a reprezenta nu numai semnale periodice, ci și semnale cu durată finită. În acest caz, este stipulat intervalul de timp pentru care este trasată seria Fourier, iar alteori semnalul este considerat egal cu zero. Pentru calcularea coeficienților unei serii, această abordare înseamnă de fapt o continuare periodică a semnalului dincolo de limitele intervalului considerat.

Metodele Fourier sunt folosite pentru a analiza circuite sau sisteme liniare: pentru a prezice răspunsul (răspunsul) sistemului; pentru a determina funcția de transfer; pentru a evalua rezultatele testelor.

Un semnal periodic arbitrar este exprimat printr-un număr infinit de armonici cu frecvențe crescătoare:

			membri principali;
			termeni armonici (pentru n> 1, n este un număr întreg);
			coeficienți armonici;
			termen constant sau componentă DC.

Perioada de funcționare
ar trebui să fie egală 2π sau un multiplu; pe langa functie
trebuie să fie lipsit de ambiguitate.Seria Fourier poate fi considerată ca o „reţetă” pentru orice semnal periodic de la componente sinusoidale. La rând dat a fost de importanță practică, ar trebui să convergă, adică sumele parțiale ale seriei trebuie să aibă o limită.

Procesul de creare a unui semnal periodic arbitrar din coeficienții care descriu amestecarea armonicilor se numește sinteză. Procesul invers de calcul al coeficienților se numește analiză. Calculul coeficienților este facilitat de faptul că media produselor încrucișate ale unei sinusoide și cosinus (și invers) este egală cu 0.

Să introducem baza în spațiul Hilbert:
Pentru simplitate, vom presupune că este ortonormal.

Apoi orice funcție
din spațiul Hilbert poate fi reprezentat prin proiecții vector NS pe axa de bază după seria Fourier generalizată:

Seriile Fourier sunt utile în special atunci când se descriu semnale periodice arbitrare cu o energie finită a fiecărei perioade. În plus, ele pot fi utilizate pentru a descrie semnale neperiodice care au o energie finită pe un interval finit. În practică, integrala Fourier este folosită pentru a descrie astfel de semnale.

concluzii

1. Seria Fourier este utilizată pe scară largă pentru a descrie semnale periodice. Integrala Fourier este folosită pentru a descrie semnale non-periodice.

Concluzie

1. Mesaje, semnale și zgomot ca vectori (puncte) în spațiu liniar poate fi descris în termeni de un set de coordonate într-o bază dată.

2. Pentru centralele termice, cel mai interesant la afișarea semnalelor este spațiul euclidian n-dimensional
, spațiu Hilbert infinit
și spațiu Hamming discret 2 n... În aceste spații este introdus conceptul de produs scalar a doi vectori (X, y) .

3. Oricare funcție continuă timpul ca element poate fi reprezentat printr-o serie Fourier generalizată într-o bază ortonormală dată.

Literatură

Principal:

Teorie comunicare electrică: Manual. Pentru universități / A.G. Zyuko, D. D. Klovsky, V. I. Korzhik, M. V. Nazarov; Ed. D. D. Klovsky. - M .: Radio și comunicare, 1998 .-- 433 p.

Adiţional:

Prokis J. Comunicare digitală: Per. din engleza / Ed. D.D. Klovsky. - M .: Radio și comunicare, 2000. - 800 p.

Bernard Sklar. Comunicare digitală. Fundamente teoretice și aplicare practică: Per. din engleza - M.: Editura„Williams”, 2003. - 1104 p.

A.S. Sukhorukov Teoria comunicației electrice: Note de curs. Partea 1. - M.: MTUCI, CENTRUL PENTRU, 2002 .-- 65 p.

A.S. Sukhorukov Teorie comunicare digitală: Tutorial. Partea 2. - M.: MTUSI, 2008 .-- 53 p.

Remarci introductive

V aceasta sectiune se va avea în vedere reprezentarea semnalelor periodice folosind seria Fourier. Seriile Fourier stau la baza teoriei analiza spectrală, deoarece, așa cum vom vedea mai târziu, transformata Fourier a unui semnal neperiodic poate fi obținută ca trecere la limita seriei Fourier cu o perioadă de repetiție infinită. Ca urmare, proprietățile seriei Fourier sunt valabile și pentru transformata Fourier a semnalelor neperiodice.

Vom lua în considerare expresiile seriei Fourier în forme trigonometrice și complexe și, de asemenea, vom acorda atenție condițiilor Dirichlet pentru convergența seriei Fourier. În plus, ne vom opri în detaliu asupra explicației unui astfel de concept precum frecvența negativă a spectrului de semnal, care provoacă adesea dificultăți în familiarizarea cu teoria analizei spectrale.

Semnal periodic. Seria Fourier trigonometrică

Să existe un semnal periodic de timp continuu, care se repetă cu o perioadă de s, adică. , unde este un întreg arbitrar.

Ca exemplu, Figura 1 prezintă o secvență de impulsuri dreptunghiulare de durata c, repetate cu o perioadă de s.

Figura 1. Succesiunea periodică

Impulsuri dreptunghiulare

Din cursul analizei matematice se știe că sistemul de funcții trigonometrice

cu frecvențe multiple, unde rad / s este un număr întreg, se formează baza ortonormala pentru extinderea semnalelor periodice cu o perioadă care satisface condiţiile Dirichlet.

Condițiile Dirichlet pentru convergența seriei Fourier necesită ca un semnal periodic să fie specificat pe un segment, îndeplinind în același timp următoarele condiții:

De exemplu, funcția periodică nu satisface conditiile Dirichlet, deoarece functia are discontinuități de al doilea fel și ia valori infinite la, unde este un întreg arbitrar. Deci funcția nu poate fi reprezentat printr-o serie Fourier. De asemenea, puteți da un exemplu de funcție , care este mărginit, dar nici nu îndeplinește condițiile Dirichlet, deoarece are un număr infinit de puncte extreme la apropierea de zero. Graficul funcției prezentat în figura 2.

Figura 2. Graficul funcției :

A - două perioade de repetare; b - în vecinătate

Figura 2a prezintă două perioade de repetare ale funcției , iar în Figura 2b - zona din vecinătate. Se poate observa că la apropierea de zero, frecvența de oscilație crește la infinit, iar o astfel de funcție nu poate fi reprezentată printr-o serie Fourier, deoarece nu este monotonă pe bucăți.

Trebuie remarcat faptul că în practică nu există semnale cu sensuri nesfârșite curent sau tensiune. Functioneaza cu număr nesfârșit extrema ca De asemenea, în sarcini aplicate nu se intalnesc. Toate semnalele periodice reale satisfac condițiile Dirichlet și pot fi reprezentate printr-o serie Fourier trigonometrică infinită de forma:

În expresia (2), coeficientul stabilește componenta constantă a semnalului periodic.

În toate punctele în care semnalul este continuu, seria Fourier (2) converge către valorile acestui semnal, iar la punctele de întrerupere de primul fel - la valoarea medie, unde și sunt limitele la stânga și la dreapta a punctului de pauză, respectiv.

De asemenea, se știe din cursul analizei matematice că utilizarea unei serii Fourier trunchiate care conține doar primii termeni în loc de o sumă infinită duce la o reprezentare aproximativă a semnalului:

la care se asigură minimul pătratului mediu al erorii. Figura 3 ilustrează aproximarea unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare și a unui semnal periodic cu dinți de ferăstrău folosind un număr diferit de termeni din seria Fourier.

Figura 3. Aproximarea semnalelor printr-o serie Fourier trunchiată:

A - impulsuri dreptunghiulare; b - semnal din dinți de ferăstrău

Seria Fourier în formă complexă

În secțiunea anterioară, am considerat seria Fourier trigonometrică pentru extinderea unui semnal periodic arbitrar care satisface condițiile Dirichlet. Aplicând formula lui Euler, se poate arăta:
Apoi seria Fourier trigonometrică (2) ținând cont de (4):

Astfel, un semnal periodic poate fi reprezentat prin suma unei componente constante și a exponenților complecși care se rotesc la frecvențe cu coeficienți pentru frecvențe pozitive și pentru exponenți complecși care se rotesc la frecvențe negative.

Luați în considerare coeficienții exponențialilor complexe care se rotesc la frecvențe pozitive:

Expresiile (6) și (7) coincid, în plus, componenta constantă poate fi scrisă și printr-o exponențială complexă la frecvență zero:

Astfel, (5), ținând cont de (6) - (8), poate fi reprezentată ca o singură sumă atunci când este indexată de la minus infinit la infinit:

Expresia (9) este o serie Fourier în formă complexă. Coeficienții seriei Fourier în formă complexă sunt legați de coeficienți și seria în formă trigonometrică și sunt determinați atât pentru frecvențe pozitive, cât și pentru cele negative. Indicele din desemnarea frecvenței indică numărul armonic discret, cu indicele negativi corespunzător frecvențelor negative.

Din expresia (2) rezultă că pentru un semnal real coeficienții și seria (2) sunt de asemenea reali. Totuși, (9) asociază un semnal real cu un set de coeficienți complex-conjugați relaționați atât cu frecvențele pozitive, cât și cu cele negative.

Câteva explicații pentru seria Fourier în formă complexă

În secțiunea anterioară, am făcut trecerea de la seria Fourier trigonometrică (2) la seria Fourier în formă complexă (9). Drept urmare, în loc să extindem semnalele periodice pe baza funcțiilor trigonometrice reale, am obținut o expansiune pe bază de exponențiale complexe, cu coeficienți complexi, și chiar și frecvențe negative au apărut în expansiune! În măsura în care această întrebare este deseori înțeles greșit, este necesar să se dau câteva lămuriri.

În primul rând, exponenții complecși sunt în general mai ușor de lucrat decât funcțiile trigonometrice. De exemplu, atunci când înmulțiți și împărțiți exponențiale complexe, este suficient să adăugați (scădeți) exponenții, în timp ce formulele de înmulțire și împărțire pentru funcțiile trigonometrice sunt mai greoaie.

Diferențierea și integrarea exponenților, chiar și a celor complecși, este, de asemenea, mai ușoară decât funcțiile trigonometrice, care se schimbă constant în timpul diferențierii și integrării (sinusul se transformă în cosinus și invers).

Dacă semnalul este periodic și real, atunci seria Fourier trigonometrică (2) pare a fi mai vizuală, deoarece toți coeficienții de expansiune și rămân reali. Cu toate acestea, de multe ori trebuie să se ocupe de semnale periodice complexe (de exemplu, în modulare și demodulare, se utilizează reprezentarea în cuadratura a anvelopei complexe). În acest caz, atunci când se utilizează seria Fourier trigonometrică, toți coeficienții și expansiunile (2) vor deveni complecși, în timp ce când se utilizează seria Fourier în formă complexă (9), aceiași coeficienți de expansiune vor fi utilizați atât pentru intrarea reală, cât și pentru cea complexă. semnale.

Și în sfârșit, este necesar să ne oprim asupra explicației frecvențelor negative care au apărut în (9). Această întrebare este adesea greșit înțeleasă. V Viata de zi cu zi nu întâlnim frecvenţe negative. De exemplu, nu ne acordăm niciodată radioul la o frecvență negativă. Să ne uităm la următoarea analogie din mecanică. Să existe un pendul cu arc mecanic care să funcționeze vibratii libere cu o oarecare frecvență. Poate un pendul să oscileze la o frecvență negativă? Desigur că nu. Deoarece nu există posturi de radio care difuzează la frecvențe negative, deci frecvența oscilațiilor unui pendul nu poate fi negativă. Dar un pendul cu arc este un obiect unidimensional (pendulul oscilează de-a lungul unei linii drepte).

Mai putem da o altă analogie din mecanică: o roată care se rotește la o frecvență. Roata, spre deosebire de pendul, se rotește, adică. un punct de pe suprafața roții se mișcă într-un plan, în loc să vibreze doar de-a lungul unei linii drepte. Prin urmare, pentru o setare neechivocă a rotației roții, nu este suficientă setarea vitezei, deoarece trebuie setat și sensul de rotație. Tocmai de aceea putem folosi semnul frecvenței.

Deci, dacă roata se rotește cu o frecvență de rad / s în sens invers acelor de ceasornic, atunci presupunem că roata se rotește cu o frecvență pozitivă, iar dacă în sensul acelor de ceasornic, atunci frecvența de rotație va fi negativă. Astfel, pentru setarea rotației, frecvența negativă încetează să mai fie lipsită de sens și indică direcția de rotație.

Și acum cel mai important lucru pe care trebuie să-l înțelegem. Oscilația unui obiect unidimensional (de exemplu, un pendul cu arc) poate fi reprezentată ca suma rotațiilor celor doi vectori prezentați în Figura 4.

Figura 4. Oscilația unui pendul cu arc

Ca sumă a rotațiilor a doi vectori

pe plan complex

Pendulul oscilează de-a lungul axei reale a planului complex cu o frecvență de-a lungul legea armonică... Mișcarea pendulului este prezentată ca un vector orizontal. Vectorul superior se rotește pe planul complex la o frecvență pozitivă (în sens invers acelor de ceasornic), iar vectorul inferior se rotește cu o frecvență negativă (în sensul acelor de ceasornic). Figura 4 ilustrează clar relația bine cunoscută de la cursul de trigonometrie:

Astfel, seria Fourier în formă complexă (9) reprezintă semnale periodice unidimensionale ca sumă de vectori pe planul complex care se rotesc cu frecvențe pozitive și negative. Rețineți că în cazul unui semnal real, conform (9), coeficienții de expansiune pentru frecvențele negative sunt complex conjugați cu coeficienții corespunzători pentru frecvențele pozitive. În cazul unui semnal complex, această proprietate a coeficienților nu este îndeplinită din cauza faptului că și sunt, de asemenea, complexi.

Spectrul de semnale periodice

Seria Fourier în formă complexă este descompunerea unui semnal periodic în suma exponențialelor complexe care se rotesc la frecvențe pozitive și negative în multipli de rad/s cu coeficienți complexi corespunzători care determină spectrul semnalului. Coeficienții complecși pot fi reprezentați prin formula Euler ca, unde este spectrul de amplitudine, a este spectrul de fază.

Deoarece semnalele periodice sunt descompuse într-un rând numai pe o grilă de frecvență fixă, spectrul semnalelor periodice este liniar (discret).

Figura 5. Spectrul unei secvențe periodice

impulsuri dreptunghiulare:

A - spectrul de amplitudine; b - spectrul de fază

Figura 5 prezintă un exemplu de amplitudine și spectru de fază al unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare (a se vedea figura 1) la c, durata pulsului c și amplitudinea impulsului B.

Spectrul de amplitudine al semnalului real original este simetric în raport cu frecvența zero, iar spectrul de fază este antisimetric. Rețineți că valorile spectrului de fază și corespund aceluiaşi punct din planul complex.

Se poate concluziona că toți coeficienții de expansiune ai semnalului redus sunt pur reali, iar spectrul de fază corespunde coeficienților negativi.

Rețineți că dimensiunea spectrului de amplitudine coincide cu dimensiunea semnalului. Dacă se descrie modificarea tensiunii în timp, măsurată în volți, atunci amplitudinile armonicilor din spectru vor avea și dimensiunea de volți.

concluzii

Această secțiune discută reprezentarea semnalelor periodice folosind seria Fourier. Expresiile sunt date pentru seria Fourier în forme trigonometrice și complexe. Noi am dat Atentie speciala au fost date condițiile Dirichlet pentru convergența seriei Fourier și exemple de funcții pentru care seria Fourier diverge.

Ne-am oprit asupra expresiei seriei Fourier în formă complexă și am arătat că semnalele periodice, atât reale, cât și complexe, sunt reprezentate de o serie de exponențiale complexe cu frecvențe pozitive și negative. În acest caz, coeficienții de expansiune sunt de asemenea complecși și caracterizează spectrul de amplitudine și fază al semnalului periodic.

În secțiunea următoare, vom arunca o privire mai atentă asupra proprietăților spectrelor semnalelor periodice.

Implementare software în biblioteca DSPL

Dötsch, G. Ghid aplicație practică Transformarea Laplace. Moscova, Nauka, 1965, 288 p.

A) Secvență de impulsuri dreptunghiulare .

Fig 2. Secvența impulsurilor dreptunghiulare.

Acest semnal este o funcție uniformă și pentru reprezentarea sa este convenabil de utilizat sinus cosinus Seria Fourier:

. (17)

Durata impulsurilor și perioada de repetare a acestora sunt incluse în formula rezultată sub forma unui raport, care se numește ciclu de lucru al trenului de impulsuri :.

. (18)

Valoarea termenului constant al seriei, ținând cont corespunde la:

.

Reprezentarea unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare sub forma unei serii Fourier este:

. (19)

Graficul funcției este în formă de lob. Axa orizontală este gradată în numere armonice și în frecvențe.

Fig 3. Reprezentarea unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare

sub forma unei serii Fourier.

Lățimea petelor, măsurat în numărul de armonici, este egal cu ciclul de lucru (pentru, avem, dacă). Aceasta implică o proprietate importantă a spectrului unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare - în ea nu există armonici cu numere care sunt multipli ai ciclului de lucru ... Distanța de frecvență dintre armonicile adiacente este egală cu rata de repetiție a pulsului. Lățimea lobilor, măsurată în unități de frecvență, este egală cu, i.e. este invers proporţională cu durata semnalului. Putem concluziona: cu cât pulsul este mai scurt, cu atât spectrul este mai larg .

b) Semnal din dinți de ferăstrău .

Fig 4. Semnal dinți de ferăstrău.

Este descrisă o formă de undă din dinte de ferăstrău într-o perioadă funcție liniară

, . (20)

Acest semnal este o funcție ciudată, prin urmare, seria lui Fourier în formă sinus-cosinus conține doar componente sinusoidale:

Seria Fourier a semnalului dinți de ferăstrău este:

Pentru spectrele semnalelor dreptunghiulare și dinți de ferăstrău, este caracteristic că amplitudinile armonicilor cu o creștere a numărului lor scade proportional .

v) Tren de impulsuri triunghiulare .

Seria Fourier este:

Fig 5. Succesiunea impulsurilor triunghiulare.

După cum puteți vedea, spre deosebire de o secvență de impulsuri dreptunghiulare și dinți de ferăstrău, pentru un semnal periodic triunghiular, amplitudinile armonicilor scad proporțional cu puterea a doua a numerelor armonice. Acest lucru se datorează faptului că viteza de dezintegrare a spectrului depinde de gradul de netezime al semnalului.

Cursul numărul 3. transformata Fourier.

Proprietăți transformate Fourier.