Operatori liniari în spații euclidiene. Operatori liniari autoadjuncți în spațiul euclidian

Fie S un spațiu euclidian și complexificarea lui. Introducem produsul scalar în S prin formula:

Este necesar să se verifice corectitudinea acestei definiții. Aditivitatea față de primul argument cu un al doilea fix este evidentă. Pentru a verifica liniaritatea față de primul argument, este suficient să vă asigurați că este posibil să eliminați factorul complex din primul argument. Calculul corespunzător nu este dificil, ci mai degrabă greoi. Exact:

Simetria cu involuția este evidentă - la schimbul de locuri, partea reală a produsului scalar nu se schimbă, iar partea imaginară își schimbă semnul în sens opus.

În fine, dacă. Astfel, complexificarea spațiului euclidian S devine un spațiu unitar.

Rețineți, de asemenea, că produsul scalar al unei perechi de vectori și produsul scalar al unei perechi de vectori conjugați complexi cu ei sunt conjugați complexi. Aceasta rezultă direct din definiția produsului punctual în.

2. Operatorii în spațiul euclidian și continuarea lor la complexificare.

În spațiul euclidian, operatorul adjunct este definit pentru un operator prin aceeași formulă pentru orice x și y, ca și într-un spațiu unitar. Dovada existenței și unicității operatorului adjunct nu diferă în niciun fel de dovezi similare pentru un spațiu unitar. Matricea operatorului în baza ortonormală este pur și simplu transpusă cu matricea operatorului.Când operatorii conjugați reciproc sunt continuați de la S la, ei rămân conjugați.

Într-adevăr,

3. Operatori normali în spațiul euclidian.

Un operator normal într-un spațiu euclidian S rămâne normal în continuarea sa la complexificarea spațiului S. Prin urmare, S are o bază ortonormală de vectori proprii diagonalizand matricea operatorului A.

Pentru valorile proprii reale, putem lua vectori proprii reali, adică aflați în S. Într-adevăr, coordonatele vectorilor proprii față de bază sunt determinate din ecuații liniare omogene cu coeficienți reali în cazul în care valoarea proprie este reală.

Valorile proprii complexe apar în perechi de conjugate cu aceeași multiplicitate. După ce am ales o bază ortonormală din vectorii proprii aparținând unei valori proprii la, baza vectorilor proprii pentru valoarea proprie poate fi luată din vectorii conjugați la vectorii bazei valorilor proprii pentru X. O astfel de bază va fi ortonormală. Acum întindem un subspațiu complex bidimensional pentru fiecare pereche de vectori conjugați.

Toate aceste subspații sunt invariante, ortogonale între ele și la vectorii proprii reali corespunzători valorilor proprii reale.

Spațiul complex acoperit de vectori și, în mod evident, coincide cu subspațiul complex acoperit de vectorii reali u și y și, prin urmare, este complexarea subspațiului real acoperit de.

deoarece în spaţiul euclidian S produsul scalar este simetric.

Din această egalitate rezultă că, adică, vectorii și și v sunt de asemenea ortogonali. Să ne amintim acum că vectorul este normalizat, adică având în vedere ortogonalitatea lui u și. Prin urmare, astfel încât vectorii u și v nu sunt normalizați, ci devin normalizați după înmulțirea cu

Deci, pentru un operator normal care acționează într-un spațiu euclidian S, există o bază ortonormală compusă din vectori proprii aparținând valorilor proprii reale și înmulțiți cu părți reale și imaginare ale vectorilor proprii aparținând unor valori proprii complexe. Subspațiile unidimensionale acoperite de vectori proprii reali și subspațiile bidimensionale acoperite de componente ale vectorilor proprii complecși sunt invariante, astfel încât matricea operatorului din baza construită este cvasidiagonală și este compusă din blocuri diagonale de ordinul întâi și al doilea. Blocurile de ordinul întâi sunt valori proprii reale. Să găsim blocuri de ordinul doi. Fie și un vector propriu aparținând valorii proprii. Atunci

Exact aceleași relații rămân după ce vectorii sunt înmulțiți cu Astfel, blocurile de ordinul doi au forma

De asemenea, rețineți că aceste blocuri apar din subspațiul acoperit de vectorii proprii conjugați aparținând valorilor proprii conjugate, astfel încât împreună cu blocul scris folosind valoarea proprie, nu este necesar să se includă blocul corespunzător valorii proprii.

4. Operatori autoadjuncți în spațiul euclidian.

Un operator normal din spațiul euclidian este autoadjunct dacă și numai dacă toate valorile sale proprii sunt reale. Într-adevăr, un operator auto-adjunct într-un spațiu euclidian rămâne auto-adjunct și într-o complexificare. Prin urmare, există o bază ortonormală în spațiul euclidian însuși, în care matricea sa este diagonală. În ceea ce privește matricele, aceasta înseamnă că pentru orice matrice reală simetrică A, există o matrice ortogonală C astfel încât să fie diagonală. Această împrejurare a fost clarificată în cap. V în legătură cu transformarea ortogonală a formei pătratice în forma canonică. Legătura strânsă dintre teoria operatorilor autoadjuncți din spațiul euclidian cu teoria formelor pătratice se vede clar din faptul că produsul scalar este exprimat în termeni de coordonatele unui vector într-o bază ortonormală sub forma unui pătrat. formă cu o matrice egală cu matricea operatorului M în aceeași bază, și cu o transformare ortogonală de coordonate, operatorul matrice și matricea de formă pătratică se transformă în același mod:

deoarece pentru o matrice ortogonală

Pentru operatorii autoadjuncți într-un spațiu euclidian, aceleași proprietăți sunt valabile ca și pentru operatorii autoadjuncți într-un spațiu unitar, iar dovezile lor nu sunt diferite de cele din cazul unui spațiu unitar.

Prin urmare, ne vom limita la a le enumera.

Un operator auto-adjunct este definit pozitiv dacă și numai dacă valorile sale proprii sunt pozitive.

O rădăcină pătrată definită pozitivă poate fi extrasă dintr-un operator definit pozitiv auto-adjunct.

Orice operator nedegenerat poate fi reprezentat ca un produs al unui operator auto-adjunct definit pozitiv și al unui operator ortogonal, ca într-unul, nu? și într-o ordine diferită.

Un operator de proiecție ortogonală este un operator idempotent auto-adjunct și invers, un operator idempotent auto-adjunct este un operator de proiecție ortogonală.

5. Operatori ortogonali.

Un operator ortogonal are o matrice ortogonală în orice bază ortonormală. Deoarece operatorul ortogonal este normal, există o bază ortonormală în care matricea operatorului este bloc-diagonală și constă din numere reale pe diagonală și blocuri de tipul ortogonalității unei astfel de matrice, rezultă că în fiecare bloc de al doilea ordin (Acest lucru poate fi văzut și din faptul că operatorul ortogonal devine unitar pe măsură ce continuăm complexificarea și, prin urmare, toate valorile sale proprii sunt modulo 1.)

Poți să pui. Un operator pe un plan cu o matrice este un operator de rotație a unui plan cu un unghi.

Un operator ortogonal este numit propriu-zis ortogonal dacă determinantul matricei sale este egal cu 1; dacă determinantul este -1, atunci operatorul se numește impropriu ortogonal. Ordinea vectorilor de bază poate fi aleasă astfel încât diagonala să fie urmată mai întâi de 1, apoi de -1 și apoi de blocuri de ordinul doi. Dacă operatorul este corect ortogonal, numărul de elemente diagonale egal cu -1 este par. O matrice de ordinul doi este considerată ca un bloc de ordinul doi, însemnând din punct de vedere geometric rotația planului prin.

Astfel, acțiunea operatorului ortogonal adecvat înseamnă din punct de vedere geometric următoarele. Spațiul este împărțit într-o sumă ortogonală de subspații, dintre care unul este acoperit de vectorii proprii aparținând valorii proprii 1, care este subspațiul vectorilor ficși, și mai multe subspații bidimensionale, fiecare dintre ele care se rotește printr-un anumit unghi (în general vorbind). , planuri diferite în unghiuri diferite).

În cazul unui operator necorespunzător ortogonal, mai există un vector de bază, care se transformă în cel opus sub acțiunea operatorului.

În această secțiune, arătăm modul în care definițiile și rezultatele secțiunilor anterioare se transferă în cazul spațiilor euclidiene reale.

1. Observații generale.

Considerăm un spațiu euclidian real de dimensiuni arbitrare V și un operator A care acționează în V.

Conceptul de operator liniar pentru cazul unui spațiu liniar real este formulat în totală analogie cu conceptul corespunzător pentru un spațiu complex.

Definiție 1. Un operator A se numește liniar dacă pentru orice elemente ale oricăror numere reale a și P egalitatea

În analogie completă cu un spațiu complex, este introdus conceptul de valoare proprie și vector propriu al unui operator.

Este important de reținut că valorile proprii sunt rădăcinile ecuației caracteristice a operatorului.

Afirmația inversă în cazul real este adevărată numai dacă rădăcina corespunzătoare a ecuației caracteristice este reală. Numai în acest caz rădăcina indicată va fi o valoare proprie a operatorului liniar considerat.

În acest sens, este firesc să distingem o clasă de operatori liniari într-un spațiu euclidian real, toate rădăcinile ecuațiilor caracteristice ale cărora sunt reale.

În teorema 5.16 demonstrată mai sus, s-a stabilit că toate valorile proprii ale unui operator auto-adjunct sunt reale. Mai mult, conceptul de operator auto-adjunct a jucat un rol important în concluziile § 6 din acest capitol despre formele pătratice. Prin urmare, este firesc să transferăm conceptul de operator auto-adjunct în cazul unui spațiu real.

Introducem mai întâi conceptul de operator A conjugat la un operator A. Și anume, un operator A se numește conjugat la A dacă pentru orice x și y din V egalitatea

Teorema 5.12 privind existența și unicitatea operatorului adjunct poate fi transferată fără dificultate în cazul unui spațiu real.

Amintiți-vă că demonstrația teoremei 5.12 se bazează pe conceptul de formă seschiliniară. În cazul real, în locul formei sesquilineare, ar trebui să se folosească forma biliniară

În acest sens, în subsecțiunea 2, § 4, Cap. 5, se face o observație corespunzătoare.

În acest sens, ne amintim definiția unei forme biliniare în orice spațiu liniar real, nu neapărat euclidian. Fie B o funcție care atribuie fiecărei perechi ordonate de vectori un număr real.

Definiția 2. O funcție se numește formă biliniară definită pe dacă pentru orice vector din și orice număr real X relațiile

Un rol important în această secțiune îl va avea o reprezentare specială a formei biliniare în formă

unde A este un operator liniar. Teorema corespunzătoare (Teorema 5.11) privind o reprezentare similară a unei forme seschilinie într-un spațiu complex s-a bazat pe concluziile lemei din § 4 al acestui capitol privind o reprezentare specială a unei forme liniare. La sfârșitul acestei subsecțiuni, s-a remarcat că această lemă este adevărată și într-un spațiu real. Observăm doar că în demonstrarea lemei, alegerea elementelor trebuie făcută nu prin formula (5.41), ci prin intermediul formulei unde este o formă liniară dată în spațiul real.

În § 6 al acestui capitol au fost introduse forme hermitiene. O formă hermitiană este o formă sesquiliniară într-un spațiu complex caracterizat printr-o relație (o bară peste B înseamnă că este luată valoarea conjugată complexă pentru B).

În cazul unui spațiu real, formele biliniare simetrice sunt analoge cu formele hermitiene. Această formă se caracterizează prin raport

O formă biliniară definită pe un spațiu liniar se numește simetrică asimetrică dacă pentru orice vector din relație este satisfăcută. Evident, pentru fiecare formă biliniară a funcției

sunt, respectiv, forme biliniare simetrice și biliniare. De atunci obținem următoarea afirmație:

Orice formă biliniară poate fi reprezentată ca suma unei forme biliniare simetrice și biliniare.

Este ușor de observat că o astfel de reprezentare este unică.

Vom demonstra următoarea teoremă asupra formelor biliniare simetrice (această teoremă este analogă cu teorema 5.25 asupra formelor hermitiene).

Teorema 5.33. Pentru ca forma biliniară dată pe toți vectorii posibili x și y ai spațiului euclidian real V să fie simetrică, este necesar și suficient ca operatorul liniar A care apare în reprezentarea (5.113) să fie autoadjunct.

Dovada. Dacă A este un operator auto-adjunct, atunci folosind proprietățile produsului scalar, obținem

Astfel, relația (5.114) este valabilă, adică forma biliniară este simetrică.

Dacă forma este simetrică, atunci sunt valabile următoarele relații:

În consecință, operatorul A este autoadjunct. Teorema este demonstrată.

Introducem conceptul de matrice a unui operator liniar A, Fie o bază într-un spațiu liniar real -dimensional. Am pus

Apoi, ca și în cazul complex, este ușor să arăți că dacă atunci. Pentru componentele vectorului este valabilă următoarea reprezentare

Matricea se numește matricea operatorului liniar A din bază

La fel cum s-a procedat în § 2 al acestui capitol, se poate dovedi că mărimea nu depinde de alegerea bazei și, astfel, determinantul operatorului A este introdus corect.

Ecuația caracteristică corespunzătoare operatorului A se numește ecuație; polinomul din partea stângă a acestei ecuații se numește polinomul caracteristic al operatorului A.

Să demonstrăm acum o teoremă asupra rădăcinilor polinomului caracteristic al unui operator autoadjunct într-un spațiu euclidian real.

Teorema 5.34. Toate rădăcinile polinomului caracteristic al unui operator liniar autoadjunct A în spațiul euclidian sunt reale.

Dovada. Fie rădăcina ecuației caracteristice

operatorul auto-adjunct A.

Fixăm o anumită bază în V și notăm cu - elementele matricei operatorului A din această bază (rețineți că sunt numere reale).

Vom căuta o soluție diferită de zero pentru următorul sistem de ecuații liniare omogene cu privire la

Deoarece determinantul sistemului (5.116) este egal (amintim că determinantul matricei de transformare liniară nu depinde de alegerea bazei și, conform (5.115), acest determinant este egal cu zero), atunci sistemul (5.116) ) a ecuațiilor liniare omogene are o soluție diferită de zero

Înlocuind această soluție în părțile din dreapta și din stânga sistemului (5.116), ținând cont de faptul că și apoi separând părțile reale și imaginare ale relațiilor obținute, constatăm că mulțimile de numere reale satisfac următorul sistem de ecuații:

Luați în considerare pe această bază vectorii x și, respectiv, cu coordonate. Atunci relațiile (5.117) pot fi rescrise ca

Să înmulțim scalar prima dintre relațiile obținute cu y, iar a doua cu x. Evident, obținem egalitățile

Deoarece operatorul A este autoadjunct, prin scăderea relațiilor (5.118), obținem egalitatea

Dar (dacă atunci, prin urmare, soluția ar fi zero, în timp ce prin construcție această soluție este diferită de zero). Prin urmare, așa cum este partea imaginară a rădăcinii ecuației caracteristice (5.115), atunci, evident, este un număr real. Teorema este demonstrată.

Ca și în cazul complex, pentru un operator autoadjunct este valabilă afirmația despre existența unei baze ortonormale constând din vectorii proprii ai acestui operator (un analog al Teoremei 5.21). Să demonstrăm această afirmație.

Teorema 5.35. Fiecare operator liniar autoadjunct A care acționează într-un spațiu euclidian real n-dimensional V are o bază ortonormală de vectori proprii.

Dovada. Fie valoarea proprie reală a operatorului A și vectorul propriu unitar corespunzător acestei valori proprii

Notăm prin subspațiul -dimensional al spațiului V ortogonal față de. Evident, este subspațiul invariant al spațiului V (adică dacă atunci). Într-adevăr, fie atunci Deoarece operatorul A este autoadjunct - valoarea proprie a lui A, obținem

Operatori liniari autoadjuvanti
Aplicații Windows portabile pe Bodrenko.com

§ 5. Operatori liniari auto-adjuvanti
în spațiul euclidian .

1. Conceptul de operator conjugat. Vom lua în considerare operatori liniari într-un spațiu euclidian finit V. Definiție 1. Un operator A * din L (V, V) se numește conjugat la un operator liniar A dacă pentru orice x și y din V relația

(Ax, y) = (x, A * y). (5,51)

Este ușor de verificat că operatorul A *, conjugat cu un operator liniar A, este el însuși un operator liniar. Aceasta rezultă din relația evidentă

care este valabil pentru orice elemente x, y 1, y 2 și orice numere complexe α și β.

Să demonstrăm următoarea teoremă.

Teorema 5.12. Fiecare operator liniar A are un operator adjunct unic.

Dovada.În mod evident, produsul scalar (Ax, y) este o formă sesquiliniară (vezi cap. 4, § 3, itemul 1 și definiția formei seschilineare). Prin teorema 5.11, există un operator liniar unic A * astfel încât această formă poate fi reprezentată sub forma (x, A * y). Astfel, (Ax, y) = x, A * y.
În consecinţă, operatorul A * este conjugat cu operatorul A. Unicitatea operatorului A * rezultă din unicitatea reprezentării operatorului seschiliniar sub forma E.44). Teorema este demonstrată.

În cele ce urmează, simbolul A * va desemna operatorul conjugat cu operatorul A.
Observați următoarele proprietăți ale operatorilor conjugați:

Demonstrațiile proprietăților 1 ° -4 ° sunt elementare și le lăsăm cititorului. Să dăm o dovadă a proprietății 5 °. Conform definiției produsului operatorilor, relația (AB) x = A (Bx) este adevărată. Folosind această egalitate și definiția operatorului adjunct, obținem următorul lanț de relații:

((AB) x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A * y) = (x, B * (A * y)) = (x, (B * A *) y) . ..

Astfel, ((AB) x, y) = (x, (B * A *) y). Cu alte cuvinte, operatorul B * A * este conjugat cu operatorul AB. Se stabilește valabilitatea proprietății 5°.

Cometariu. Conceptul de operator conjugat pentru un spațiu real este introdus într-un mod complet similar. Concluziile acestei subsecțiuni și proprietățile operatorilor conjugați sunt valabile și pentru acest caz (în acest caz, proprietatea 3 ° este formulată astfel: (λА) * = λА *).

2. Operatori autoadjuvanti. Proprietăți de bază.
Definiția 2. Un operator liniar A din L (V, V) se numește autoadjunct dacă egalitatea

A * = A.

Un operator auto-adjunct într-un spațiu real este definit în mod similar.
Cel mai simplu exemplu de operator auto-adjunct este operatorul de identitate I (vezi proprietatea 1 ° a operatorilor adjuncți în subsecțiunea anterioară).
Operatorii autoadjuncți pot fi utilizați pentru a obține o reprezentare specială a operatorilor liniari arbitrari. Și anume, următoarea afirmație este adevărată.

Teorema 5.13... Fie A un operator liniar care acționează într-un spațiu euclidian complex V. Atunci este valabilă următoarea reprezentare: A = A R + iА eu, unde A R si A I sunt operatori autoadjuncți numiti, respectiv, părțile reale și imaginare ale operatorului A.

Dovada. Conform proprietăților 2 °, 3 ° și 4 ° ale operatorilor conjugați (a se vedea punctul anterior al acestei secțiuni), operatorii A R = (A + A *) / 2 și A eu = (A - A *) / 2i- autoadjunct.

Evident, A = A R + iА I Teorema este demonstrată.

În următoarea teoremă, sunt clarificate condițiile pentru auto-adjuvantul unui produs de operatori auto-adjuncți. Vom spune că operatorii A și B fac naveta dacă AB = BA.

Teorema 5.14. Pentru ca produsul AB al operatorilor autoadjuncți A și B să fie un operator autoadjunct, este necesar și suficient ca aceștia să facă naveta.
Dovada... Deoarece A și B sunt operatori auto-adăugați, atunci, conform proprietății 5 ° a operatorilor conjugați (a se vedea punctul 1 din această secțiune), sunt valabile următoarele relații:
(AB) * = B * A * = BA (5,52)

Prin urmare, dacă AB = BA, atunci ( AB) * = AB, adică operatorul AB este autoadjunct. Dacă AB este un operator auto-adjunct, atunci AB = (AB) *și apoi, pe baza (5.52), AB = BA. Teorema este demonstrată.
În teoremele ulterioare, sunt stabilite o serie de proprietăți importante ale operatorilor autoadjuncți.
Teorema 5.15. Dacă operatorul A este autoadjunct, atunci pentru oricare NS ϵ V produs scalar (Ah, x)- numar real.
Dovada. Valabilitatea enunțului teoremei rezultă din următoarea proprietate a produsului scalar în spațiul euclidian complex și definiția unui operator auto-adjunct (Reamintim că, dacă un număr complex este egal cu conjugatul său, atunci
acest număr este real.)

Teorema 5.16. Valorile proprii ale unui operator auto-adjunct sunt reale.
Dovada. Fie λ valoarea proprie a operatorului autoadjunct A. Prin definiția valorii proprii a operatorului A (vezi Definiția 2 din § 3 din acest capitol) există un vector diferit de zero x
astfel încât Ax = λx. Din această relație rezultă că produsul scalar real (în virtutea teoremei 5.15) (Ax, x) poate fi reprezentat ca 2)

( 2) Amintiți-vă că simbolul || x || denotă norma elementului x.)

Din moment ce || x || și (Ax, x) sunt reale, atunci, evident, λ este și un număr real. Teorema este demonstrată.

Următoarea teoremă clarifică proprietatea de ortogonalitate a vectorilor proprii ai unui operator auto-adjunct.
Teorema 5.17. Dacă A este un operator auto-adjunct, atunci vectorii proprii corespunzători diferitelor valori proprii ale acestui operator sunt ortogonali.

Dovada. Fie λ 1 și λ 2 valori proprii diferite (λ 1 ≠ λ 2) ale operatorului auto-adjunct A, a x 1 și, respectiv, x 2, vectorii proprii corespunzători. Atunci sunt valabile următoarele relații: Ax 1 = λ 1 x 1, Ax 2 = λ 2 x 2. Prin urmare, produsele scalare (Ax 1, x 2) și (x 1, Ax 2) sunt, respectiv, egale cu următoarele expresii 3):

3) Deoarece valorile proprii ale unui operator auto-adjunct sunt reale, atunci

Întrucât operatorul A este autoadjunct, produsele scalare (Ax 1, x 2) și (x 1, Ax 2) sunt egale și deci din ultimele relații prin scădere obținem egalitatea

Deoarece λ 1 ≠ λ 2, din ultima egalitate rezultă că produsul scalar (x 1 * x 2) dispare, i.e. ortogonalitatea vectorilor proprii x 1 şi x 2 Se demonstrează teorema.

3. Norma unui operator liniar. Fie A un operator liniar care mapează spațiul euclidian V în același spațiu. Să introducem conceptul de normă a operatorului A.
Definiția 3... Norma || A || operatorul liniar A este numărul definit de relația 1)

1) Reamintim că aceasta implică că este o funcție continuă x, care pe mulțimea închisă || x || = 1 atinge valoarea maximă finală.

Definiția normei unui operator liniar implică următoarea inegalitate evidentă:

(pentru demonstrație, este suficient să folosim relația Ax =

Din relația E.54) rezultă că dacă || A || = О, atunci operatorul A este zero.

Norma unui operator auto-adjunct A poate fi determinată în alt mod. Și anume, afirmația este adevărată:

Dacă A este un operator auto-adjunct, atunci norma introdusă mai sus || A || operatorul A este egal cu

Dovada. Pentru orice x din V, inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky este valabilă (vezi subsecțiunea 2 din §3 din Cap. 4)

Din ea și din inegalitatea (5.54), obținem următoarea inegalitate:

Prin urmare, numărul

satisface relatia

Rețineți că din egalitate

și definiția numărului μ (vezi 5.56)) urmează următoarea inegalitate:

Să ne întoarcem acum la următoarea identitate evidentă:

(în această identitate simbolul Re (Ax, y) denotă partea reală a numărului complex (Ax, y), identitatea însăși decurge cu ușurință din proprietățile produsului scalar, vezi Secțiunea 1, Secțiunea 3, Capitolul 4). Luând la stânga și la dreapta
parte a acestui modulo de identitate, folosind proprietatea de modul a sumei și inegalității E.58), obținem următoarele relații 1):

1 ) Am folosit definiția normei unui element într-un spațiu euclidian complex.

Prin urmare, pentru || x || = || y || = 1 obținem inegalitatea

Stabilirea în această inegalitate (evident, || y || = 1) și ținând cont că numărul (Ax, Ax) = || Ax || 2 este real (prin urmare, obținem

Prin urmare, conform inegalității (5.53), găsim

Pentru a completa demonstrația, rămâne să comparăm inegalitatea rezultată cu inegalitatea (5.57) și să folosiți definiția numărului µ (vezi 5.56)).

4. Alte proprietăți ale operatorilor autoadjuncți.În această subsecțiune, demonstrăm o serie de proprietăți importante ale operatorilor liniari legate de conceptul de normă. În primul rând, stabilim o condiție necesară și suficientă pentru auto-asamblarea unui operator. Să demonstrăm următoarea teoremă.
Teorema 5.18. Pentru ca operatorul liniar A să fie autoadjunct, este necesar și suficient ca 2)

2 ) Simbolul Im (Ax, x) denotă partea imaginară a unui număr complex (Ax, x). Egalitatea Im (Ax, x) = 0 înseamnă că numărul (Ax, x) este real.

Dovada. Prin teorema 5.13, un operator liniar arbitrar A poate fi reprezentat sub forma

operatori autoadjuncţi. De aceea

în plus, conform teoremei 5.15, pentru orice x numerele și sunt reale. În consecință, aceste numere sunt, respectiv, egale cu părțile reale și imaginare ale numărului complex (Ax, x):

Să presupunem că A este un operator auto-adjunct. Prin teorema 5.15, în acest caz (Ax, x) este un număr real,
și prin urmare Im (Ax, x) = 0. Este demonstrată necesitatea condiției teoremei.

Să demonstrăm suficiența condiției teoremei.

Fie Im (Ax, x) = (A I x, x) = 0. De aici rezultă că || A I || = 0, adică A I = 0. Prin urmare, A = A R, unde A R este un operator auto-adjunct.
Teorema este demonstrată.
Următoarele afirmații clarifică unele proprietăți ale valorilor proprii ale operatorilor autoadjuncți.

Lema. Orice valoare proprie X a unui operator auto-adjunct liniar arbitrar A în spațiul euclidian este egală cu produsul scalar (Ax, x), unde x este un vector, satisfăcător
satisfacerea condiției || x || = 1:

Dovada. Deoarece λ este o valoare proprie a operatorului A, există un vector z diferit de zero astfel încât

Setarea x = z / || z || (evident, || x || = 1), rescriem 5,60) astfel: Ax = λ x, || x || = 1. Din aceasta obținem relațiile care este, 5.59) are loc. Lema este demonstrată.
Consecinţă. Fie A un operator auto-adjunct și λ fie orice valoare proprie a acestui operator. Lasă mai departe

Sunt valabile următoarele inegalități:

Observație 1. Deoarece produsul scalar (Ax, x) este o funcție continuă a lui x, atunci pe mulțimea închisă || x || = 1 această funcție este mărginită și își atinge limitele exacte m și M.
Observația 2... Conform teoremei 5.16, valorile proprii ale unui operator auto-adjunct sunt reale. Prin urmare, inegalitățile 5.62) au sens.
Dovada corolarului. Deoarece orice valoare proprie λ satisface relația (5.59), atunci, evident, fiecare valoare proprie se află între fețele exacte m și M ale produsului scalar (Ax, x). Prin urmare, inegalitățile (5.62) sunt valide.
Vom demonstra că numerele m și M definite prin relațiile (5.61) sunt, respectiv, cele mai mici și, respectiv, cele mai mari valori proprii ale operatorului autoadjunct A. În primul rând, vom verifica validitatea următoarei afirmații.

Teorema 5.19. Fie A un operator auto-adjunct și, în plus, (Ax, x) ≥ 0 pentru orice x. Apoi norma || A || este egală cu cea mai mare valoare proprie a acestui operator 1)

1 ) Deoarece există un număr finit de valori proprii și sunt reale, se poate specifica cea mai mare dintre ele.

Dovada. Am observat deja (vezi afirmația secțiunii precedente) că

Deoarece (Ax, x) ≥ 0, atunci Conform observației 1 din această subsecțiune, pentru unele

Revenind la definiția normei și folosind egalitățile tocmai scrise, obținem relațiile 2)

Astfel, sau, cu alte cuvinte, este valoarea proprie a operatorului A. Faptul că λ este cea mai mare valoare proprie rezultă din corolarul tocmai stabilit la lema acestei subsecțiuni. Teorema este demonstrată.

Să demonstrăm acum că numerele m și M (vezi 5.61)) sunt cele mai mici și mai mari valori proprii ale operatorului auto-adjunct A.

Teorema 5.20. Fie A un operator autoadjunct, iar m și M fie fețe exacte (Ax, x) pe mulțime || x || = 1. Aceste numere reprezintă cele mai mici și mai mari valori proprii ale operatorului A.
Dovada... În mod evident, este suficient să demonstrăm că numerele m și M sunt valorile proprii ale operatorului A. Atunci inegalitățile 5.62) implică imediat că m și M sunt cele mai mici și, respectiv, cele mai mari valori proprii.
Să demonstrăm mai întâi că M este o valoare proprie. Pentru aceasta, luați în considerare operatorul auto-adjunct B = A - mI. pentru că

atunci operatorul В îndeplinește condițiile teoremei 5.19 și, prin urmare, norma || В || al acestui operator este egal cu cea mai mare valoare proprie. Pe de alta parte,

Astfel, (M - m) este cea mai mare valoare proprie a operatorului B. Prin urmare, există un vector diferit de zero x 0 astfel încât

pentru că

Substituind această expresie Bx 0 în partea stângă a egalității (5.63), obținem, după transformări simple, relația Ax 0 = Mx 0 - Astfel, M este valoarea proprie a operatorului A. Să verificăm acum că numărul m este, de asemenea, valoarea proprie a operatorului A.
Se consideră un operator auto-adjunct B = -A. Este evident că

Conform dovezii tocmai efectuate, numărul - m reprezintă valoarea proprie a operatorului B. Deoarece B = -A, atunci m va fi valoarea proprie a operatorului A. Se demonstrează teorema.

Următoarea teoremă clarifică o proprietate importantă a vectorilor proprii ai unui operator auto-adjunct.

Teorema 5.21. Fiecare operator liniar autoadjunct A care acționează în n spatiul euclidian -dimensional V, exista n liniar independenți perechi ortogonali și vectori proprii unitari.

Dovada... Lasa λ 1 este valoarea proprie maximă a operatorului

Notăm cu e 1 vectorul propriu corespunzător lui λ 1 și care satisface condiția || e 1 || = 1 (posibilitatea de a-l alege rezultă din demonstrarea lemei din această subsecțiune).
Notăm cu V 1 subspațiul (n - 1) -dimensional al spațiului V ortogonal la e 1 Evident, V 1 este un subspațiu invariant al operatorului A (adică dacă x ϵ V 1, atunci Ax ϵ V 1. Într-adevăr , fie x ϵ V 1 (adică (x, e 1 = 0). Atunci 1)

1 ) Am folosit proprietatea auto-adjunctă a operatorului (Ax, de ex 1 ) = (x, Ae 1 ) si faptul ca e 1 - vectorul propriu al operatorului:

Prin urmare, Ax este un element al lui V 1 și, prin urmare, V 1 este subspațiul invariant al operatorului A. Acest lucru ne dă dreptul de a considera operatorul A în subspațiul V 1 ... În acest subspațiu, A va fi un operator auto-adjunct. Prin urmare, există o valoare proprie maximă A 2 a acestui operator, care poate fi găsită folosind relația 1 )

1 ) Simbolul denotă ortogonalitatea vectorilor e 1 și e 2

În plus, puteți specifica un vector astfel încât

Revenind în continuare la subspațiul (n - 2) -dimensional V 2, ortogonal cu vectorii e 1 și e 2 și repetând raționamentul de mai sus, construim un vector propriu ez, || ez || = 1, ortogonală la e 1 și e 2. Argumentând în continuare în același mod, găsim succesiv n vectori proprii reciproc ortogonali e 1, e 2, ..., e n care satisfac condiția
Observație 1.În viitor, suntem de acord să numerotăm valorile proprii ale unui operator auto-adjunct în ordine descrescătoare, ținând cont de valorile proprii repetate, adică mai multe. în care

iar vectorii proprii corespunzători е 1, е 2, ..., е n pot fi considerați reciproc ortogonali și satisfacând condiția

Prin urmare,

Observația 2... Argumentele din demonstrația teoremei implică relația

Acest raport poate fi scris și ca

intervalul liniar al vectorilor е 1, е 2, ..., е m. Valabilitatea observației rezultă din faptul că (x, x) = || x || 2 și, prin urmare

iar norma elementului x / || x || este egal cu 1.

Lasa ∑ m este mulțimea tuturor subspațiilor m-dimensionale ale lui V. Următoarea proprietate minimax importantă a valorilor proprii este valabilă.
Teorema 5.22. Fie A un operator auto-adjunct și sunt valorile sale proprii, numerotate în ordinea indicată în Observația 1. Apoi

PRELEZA 9

Operatori în spații euclidiene

Operatorii liniari care acționează în spațiile euclidiene au o serie de proprietăți speciale care sunt foarte importante pentru aplicațiile algebrei liniare în diferite domenii. Ne vom opri doar asupra principalelor întrebări ale acestei teorii, în special, vom studia teoria operatorilor liniari exclusiv în spații reale cu baze ortonormale, și anume în spațiu. Mai mult, operatorii vor fi considerați transformări, adică vom studia operatorii
.

Operator conjugat ... Luați în considerare conceptul de operator asociat cu operatorul acţionând în spaţiul euclidian
.

Definiție 9.1. Lasa
- un operator liniar. Operator
numitconectat la operator , dacă
condiția este îndeplinită

. (9.1)

Teorema 9.1. Pentru orice operator liniar
există un operator adjunct unic
care este și liniară.

Dovada. 1) Lasă operatorul există, să-i dovedim unicitatea. Pentru a face acest lucru, presupunem că acest operator nu este singurul, adică există, de exemplu, doi operatori și satisfăcător Definiție 9.1. Atunci, prin formula (9.1), avem:

,
, (9.2)

de unde ajungem

Datorită faptului că în Definiţia 9.1 (în formula (9.1)) vectorul
este arbitrară, punem în egalitate (9.3)

,

.

Deoarece produsul scalar satisface axioma nondegenerării, din ultima egalitate pe care o avem

de unde, din cauza arbitrarului vectorului urmează că
iar unicitatea operatorului adjunct este dovedită.

2) Să demonstrăm liniaritatea operatorului adjunct. Folosind definiția (9.1) și proprietățile produsului scalar, obținem:

,
și

A)
;

Compararea formulelor a) și b) implică liniaritatea operatorului adjunct , și anume:

.

3) Să demonstrăm acum existența operatorului adjunct. Fixăm în spațiu
bază canonică
, și scrieți vectorii
și
sub forma extinderilor lor în baza canonică:

;
. (9.4)

Luați în considerare calculul părților din stânga și din dreapta (9.1):

;

.

Comparând ultimele două egalități ținând cont de (9.1), obținem:

. (9.5)

Deci, dacă matricea operatorului are forma

,

atunci matricea operatorului adjunct are forma

. (9.6)

Din (9.6) rezultă că matricea operatorului adjunct în orice bază ortonormală
se găseşte prin transpunerea matricei operator , care dovedește existența operatorului adjunct.

Să demonstrăm o teoremă asupra proprietăților operatorului conjugat la un operator liniar.

Teorema 9.2. Următoarele proprietăți ale operatorului adjunct sunt valide :
și

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

Dovada. Să demonstrăm prima relație. Lasa Este un operator liniar arbitrar. Pentru operatorul conjugat conjugatul va fi operatorul ... Atunci:

Ultima egalitate este valabilă pentru orice vector , acesta este,

,

de unde urmează demonstrarea primei proprietăţi.

Să demonstrăm a doua relație. Pentru a face acest lucru, luați în considerare următorul lanț de transformări:

Comparația părților stânga și dreaptă ale egalității (9.8) implică demonstrarea celei de-a doua proprietăți.

Restul proprietăților sunt dovedite în mod similar.

Operatori auto-adjuvanti ... Aplicațiile sunt de mare importanță operatori autoadjuncţi .

Definiție 9.2. Operator liniar
numitautoadjunct , dacă
.

Din definiție rezultă că pentru un operator autoadjunct relația

. (9.9)

Deoarece matricea operatorului adjunct este egală cu matricea transpusă a operatorului , atunci pentru un operator auto-adjunct elementele matricei satisfac egalitatea
, acesta este elementele matricei unui operator auto-adjunct care sunt simetrice față de diagonala principală sunt egale cu... O astfel de matrice se numește simetric ... Din acest motiv, operatori auto-adjuvanti
adesea numit simetric .

Operatorii auto-adjuncți au o serie de proprietăți care sunt ușor de demonstrat folosind definiția și proprietățile operatorului adjunct.

1. Un singur operator este autoadjunct.

Dovada. Evident,

.

2. Suma operatorilor autoadjuncți este un operator autoadjunct.

Dovada. Dacă
și
, atunci

.

3. O compoziție de operatori autoadjuncți este un operator autoadjunct dacă și numai dacă acești operatori sunt comutativi.

Dovada. Reamintim că operatorii se numesc comutativi dacă

,

,

Unde - operator nul. Dacă
,
, atunci

,

ceea ce este egal dacă şi numai dacă operatorii sunt comutativi.

4. Operator invers cu operatorul autoadjunct nedegenerat
de asemenea un operator auto-adjunct.

Dovada. Într-adevăr, dacă
, atunci

.

5. Dacă Este un operator auto-adjunct, apoi produsul acestui operator cu un număr real
este un operator auto-adjunct.

Dovada. Din a treia proprietate (9.7), avem:

.

Teorema 9.3. Vectori proprii ai unui operator auto-adjunct acționând în spațiu
corespunzătoare diferitelor valori proprii pe perechi sunt reciproc ortogonale.

:
și
, și
... Deoarece operatorul este autoadjunct, atunci
... Prin urmare, pe partea stângă și, respectiv, pe partea dreaptă, avem:

;

.

De unde in vigoare
primim:
.

Următoarea teoremă importantă este adevărată pentru operatorii autoadjuncți.

Teorema 9.4. Toate rădăcinile polinomului caracteristic al unui operator auto-adjunct
reale si diferite.

Dovada. În cazul general, demonstrarea teoremei este destul de greoaie. Din acest motiv, prezentam o dovada pentru cazul operatorului
... Deci, să fie dat un operator liniar
cu matrice ... Atunci ecuația caracteristică a acestui operator are forma:

.

Extinderea determinantului, obținem ecuația caracteristică:

Găsim soluția acestei ecuații prin formula binecunoscută:

.

Discriminantul este:

Primul termen, evident, este întotdeauna pozitiv, iar al doilea este pozitiv, deoarece
... Prin urmare, rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și diferite.

Teorema 9.5. Lasa
Este un operator auto-adjunct. Apoi în spațiu
se poate alege o bază ortonormală

astfel încât matricea operatorului în această bază era diagonală.

Dovada. După teorema 9.4, toate rădăcinile polinomului caracteristic al unui operator auto-adjunct sunt reale și diferite și, prin urmare, prin teorema 9.3, vectorii proprii ai unui operator auto-adjunct sunt reciproc ortogonali. Sistemul de vectori proprii poate fi evident normalizat. Dar atunci acești vectori formează baza spațiului
, în care operatorul este un operator de structură simplă, adică are o matrice diagonală.

Operatori ortogonali și proprietățile lor, interpretare geometrică ... Luați în considerare definiția și proprietățile unei clase importante de operatori care acționează în spațiu
.

Definiție 9.3. Operator acționând în spațiu
se numeșteortogonală dacă păstrează produsul punct, adică

.(9.10)

Din definiţie rezultă că operatorul ortogonal păstrează normele (lungimile) vectorilor și unghiurile dintre ei .

Lema 9.1. Operator

.

Dovada. Lasa

,

de unde avem:
... Presupunând
, primim:

.

Lasa
... Atunci noi avem:

.

Este evident că operatorul ortogonal este nedegenerat adică matricea sa este inversă a matricei.

Teorema 9.6 (asupra proprietăților operatorilor ortogonali). Operatori ortogonali
au urmatoarele proprietati:

1)operatorul de unitate este ortogonal;

2)compoziția operatorilor ortogonali este, de asemenea, un operator ortogonal;

3)operatorul invers operatorului ortogonal este de asemenea ortogonal;

4)dacă
Este un operator ortogonal, apoi operatorul
este ortogonală dacă și numai dacă
.

Dovada. 1. Dovada acestei proprietăți este aproape evidentă:

.

2. Lasă
și
- operatori ortogonali. Atunci:

3. Lasă operator ortogonal. Considera
:

.

4. Lasă - operator ortogonal. Atunci

.

Teorema 9.7 (criteriul ortogonalității unui operator). Operator acționând în spațiu
, este ortogonal dacă și numai dacă mapează cel puțin o bază ortonormală la o bază ortonormală.

Dovada. Lasa
- operator ortogonal. Apoi, păstrând produsul scalar, el transformă baza ortonormală în baza ortonormală.

Acum lăsați operatorul
traduce baza ortonormală

într-o nouă bază ortonormală

.

Atunci

.

.

Luați în considerare proprietățile matricei operatorului ortogonal.

Teorema 9.8. Sistem de vectori coloană (rânduri) ai matricei operatorului ortogonal
în orice bază ortonormală

este ortonormal.

Dovada. Lasa
- oarecare operator ortogonal și
- unele baze ortonormale. Prin teorema 9.9, sistemul de imagini ale vectorilor de bază este el însuși ortonormal, adică
... Prin urmare, pentru coloanele matricei operatorului

,

(ca vectori ai spațiului aritmetic
) avem:

. (9.11)

O proprietate similară este valabilă și pentru rândurile matricei :

.
(9.12)

Teorema 9.9. Matricea operatorului ortogonal
în orice bază ortonormală satisface condiţia

. (9.13)

Dovada. Lasa
- operator ortogonal. Din moment ce matricele operatorilor și sunt legate prin relaţii

,

de unde pentru matricea operatorului obţinem (9.11).

În schimb, să fie valabilă relația (9.11). Atunci
, de unde rezultă că operatorul este ortogonală.

Definiție 9.4. Matrice pentru care proprietatea este satisfăcută(9.13),numite ortogonale.

Iată câteva teoreme despre proprietățile operatorului ortogonal.

Teorema 9.10. Valorile proprii ale operatorului ortogonal in spatiu
sunt egale
.

Dovada. Lasa
... Atunci

Deoarece prin definiţie
, atunci
.

Teorema 9.11. Determinant al unei matrice ortogonale este egal cu

.

Dovada. Pentru o matrice ortogonală, egalitatea
... De aceea
... Atunci

.

220400 Algebră și Geometrie Tolstikov A.V.

Prelegeri 15. Operatori liniari în spații euclidiene

Plan

1. Conjugați operatori în spațiile euclidiene și proprietățile acestora.

2. Operatori autoadjuvanti.

3. Matrici ortogonale și proprietățile lor.

4. Operatori ortogonali și proprietățile acestora.

1. Curs de Geometrie Analitică și Algebră Liniară. Moscova: Nauka, 1984.

2. Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Elemente de algebră liniară și geometrie analitică. 1997.

3. Voevodin V.V. Algebră liniară .. M .: Nauka 1980.

4. Colectarea sarcinilor pentru colegiile tehnice. Algebra liniară și bazele analizei matematice. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P .. M .: Nauka, 1981.

5. Butozov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Algebra liniară în întrebări și probleme. Moscova: Fizmatlit, 2001.

6. Voevodin V.V. Algebră liniară. Moscova: Nauka, 1980.

1. Conjugați operatori în spațiile euclidiene și proprietățile acestora. Lasa E- Spațiul euclidian peste câmpul numerelor reale R , pe care produsul scalar al vectorilor ( A ,b ), A ,b Î E.

Definiția 1. Operator liniar A * Spațiul euclidian E numit conjuga operator liniar A * spaţiu E dacă pentru orice vector A ,b Î E conditia este indeplinita:

(Aa ,b ) = (A ,A * b ). (1)

Lema 1.Dacă produsul unui șir datU la orice coloanăY este egal cu zero, apoi șirulU este zero. Dacă produsul oricărui șirX t pe o coloană datăU este egal cu zero, apoi coloananul.

Dovada. Lasa U= (u 1 , u 2 ,…,u n), Y= (y 1 , y 2 ,…,y n)t... Prin ipoteza teoremei, pentru orice numere y 1 , y 2 ,…,y n U Y= (u 1 , u 2 ,…,u n)(y 1 , y 2 ,…,y n)t = u 1 y 1 + u 2 y 2 +…+u n y n= 0. Dacă toate numerele y 1 , y 2 ,…,y n sunt egale cu 0, cu excepția y j, care = 1, apoi din aceasta obținem că u j (i = 1,2,…,n). De aceea U= 0. A doua afirmație a teoremei este demonstrată în mod similar.

Teorema 1.Lasa v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - baza spațiului euclidianE, A - matrice operator liniar A pe baza v, G = (g ij) - matrice gram de bază v. Dacă pentru un operator liniarA există un operator adjunctA *, apoi egalitatea

A t G = G A *. (2)

Dovada. Lasa Xși Y coloane de coordonate vectoriale A ,b Î E pe baza v, Ași A * matrici ale operatorilor liniari A și A * pe baza v... Atunci

(Aa , b ) =(v(TOPOR), vY) = (TOPOR) t GY, (A ,A * b ) = X t G A * Y.(3)

Prin urmare, folosind formula (1), obținem egalitatea ( TOPOR) t GY= X t G A * Y, valabil pentru orice vector coloană Xși Y. Din moment ce vectori A ,b arbitrar, atunci prin lema 1 se obține A t G = G A *.

Teorema 2.Dacă bazav = (v 1 , v 2 ,…, v n) Spațiul euclidianE ortonormal, atunci matriceA * operator liniar adjunctA * este transpus în matriceOperator A ;

A t = A *. (4)

Dovada. Deoarece matricea Gram a bazei ortonormale este unitate, G = E, apoi (4) decurge din (2) . 

Corolarul 1. Pentru orice operatorA egalitate corectă (A * ) * = A .

Dovada. Prin formula (4) pentru matricele operatorilor liniari ( A * ) * și A în baza ortonormală avem ( A *) * = (A t)t = A... De aceea ( A * ) * = A .

Corolarul 2. Pentru orice operatorA , B egalitate corectă (AB ) * = B * A * .

Dovada. Prin formula (4) pentru matricele operatorilor liniari A ,B și A * , B * în baza ortonormală avem ( AB) * = (AB)t = B t A t = B * A*. De aceea ( AB ) * = B * A * .

Corolarul 3. Valorile proprii ale operatorilor liniariA șiA * Meci.

Dovada. Deoarece polinoamele caracteristice ale matricelor și coincid, valorile proprii ale operatorilor liniari, care sunt rădăcinile ecuației caracteristice, coincid . 

Teorema 3. Pentru orice operator liniarA Spațiul euclidianE există un operator liniar adjunct unicA * .

Dovada. Lasa v = (v 1 , v 2 ,…, v n) baza ortonormală a spațiului euclidian E, A - operator liniar cu matrice A pe baza v... Luați în considerare E operator liniar B cu matrice A t raportat la o bază dată. Operator B există doar unul. Laturile drepte ale egalităților (3) sunt egale: ( TOPOR) t GY = X t G A * Y. Prin urmare, stânga ( Aa , b ) = (A ,Bb ). Prin urmare, operatorul B - conjugat pentru operator A . 

2. Operatori autoadjuvanti.

Definiția 1. Operator liniar A Spațiul euclidian E numit autoadjunct sau simetric, dacă A = A * , adică pentru orice vector de doi A ,b Î E conditia este indeplinita:

(Aa , b ) = (A ,Ab ). (1)

Teorema 1. Operator liniarA Spațiul euclidianE este autoadjunct dacă și numai dacă matriceaUn operator liniarA matrice simetrica in baza ortogonala, i.e.. A = A * .