Dacă rangul matricei poate fi egal cu zero. Conceptul de rang de matrice

„Dacă vrei să înveți să înoți, atunci simți-te liber să intri în apă și dacă vrei să înveți sa rezolve probleme, atunci rezolva-le.»
D. Poya (1887-1985)

(Matematician. A avut o mare contribuție la popularizarea matematicii. A scris mai multe cărți despre cum să rezolvi problemele și cum să înveți să rezolvi probleme.)

Luați în considerare matricea

Să selectăm în ea k-liniiși k-coloane (k≤ (min (m, n))). Din elementele de la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, compunem determinantul k-a Ordin. Toți astfel de determinanți sunt numiți minorii acestei matrice.

Luați în considerare toți minorii posibili ai matricei A diferit de zero.

După rangul matricei A se numește cel mai mare ordin al minorului acestei matrice, altul decât zero.

Dacă toate elementele matricei sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este considerat egal cu zero.

Se numește minorul, a cărui ordine determină rangul matricei de bază.

O matrice poate avea mai multe minore de bază.

Rangul matricei A notat r (A)... Dacă r (A) = r (B), apoi matrice Ași V sunt numite echivalent. Scrie A̴∼В.

Proprietățile rangului matricei:

1. Când o matrice este transpusă, rangul ei nu se schimbă.
2. Dacă ștergeți rândul (coloana) zero din matrice, atunci rangul matricei nu se va schimba.
3. Rangul matricei nu se modifică în cazul transformărilor elementare ale matricei.

Transformările elementare se înțeleg după cum urmează:

• Permutarea rândurilor matricei;
• Înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;
• Adăugarea elementelor unei linii a elementelor corespunzătoare unei alte linii, înmulțite cu un număr arbitrar.

La calcularea rangului unei matrice, pot fi utilizate transformări elementare, metoda de reducere a matricei la o formă în trepte și metoda limitării minorilor.

Metoda de reducere a unei matrice la una în trepte forma este că, cu ajutorul transformărilor elementare, această matrice este redusă la o matrice în trepte.

Matricea se numește călcat dacă în fiecare dintre liniile sale primul element diferit de zero este la dreapta decât în ​​cel precedent (adică se obțin pași, înălțimea fiecărei trepte trebuie să fie egală cu unu).

Exemple de matrice în trepte:

Exemple de matrice fără trepte:

EXEMPLU: Aflați rangul unei matrice:

SOLUŢIE:

Să reducem această matrice la una în trepte folosind transformări elementare.

1. Să schimbăm locurile primei și al treilea rând.

2. Primim în prima coloană zerouri sub unu.

Adăugând la al doilea rând primul înmulțit cu (-3), la al treilea - primul înmulțit cu (-5), la al patrulea - primul înmulțit cu (-3), obținem

Pentru a fi mai clar de unde mai trebuie să obțineți zerouri, să desenăm pași în matrice. (Matricea va fi treptă dacă există zerouri peste tot sub trepte)

3. Adăugând la al treilea rând al doilea, înmulțit cu (-1), la al patrulea - al doilea, înmulțit cu (-1), obținem zerouri sub pașii din a doua coloană.

Dacă desenăm din nou pași, vom vedea că matricea este în trepte.

Rangul său este r = 3(numărul de rânduri ale unei matrice în trepte, în fiecare dintre care cel puțin un element este diferit de zero). Prin urmare, rangul acestei matrice r = 3.

Soluția poate fi scrisă astfel:

(Numerele romane indică numerele de linii)

Răspuns: r = 3.

Comanda minora k + 1 conţinând un minor al ordinului k numit minor învecinat.

Metoda minorilor de frontieră se bazează pe faptul că rangul unei anumite matrice este egal cu ordinea unui astfel de minor al acestei matrice, care este diferit de zero, iar toate minorele care o mărginesc sunt egale cu zero.

Definiție. După rangul matricei este numărul maxim de linii liniar independente considerate ca vectori.

Teorema 1 asupra rangului unei matrice. După rangul matricei este ordinul maxim al unui minor diferit de zero al matricei.

Am analizat deja conceptul de minor în lecție folosind determinanți, iar acum îl vom generaliza. Să luăm în matrice câteva rânduri și câteva coloane, iar acest „unele” ar trebui să fie mai mic decât numărul de rânduri și coloane ale matricei, iar pentru rânduri și coloane acest „unele” ar trebui să fie același număr. Apoi, la intersecția unor rânduri și câte coloane va fi o matrice de ordin mai mic decât matricea noastră originală. Determinantul acestei matrice va fi de ordinul k minor dacă „unele” menționat (numărul de rânduri și coloane) este notat cu k.

Definiție. Minor ( r+1) al-lea ordin, în care se află minorul selectat r-allea ordin se numește limită pentru un anumit minor.

Cele două cele mai frecvent utilizate sunt aflarea rangului matricei... Acest învecinat cu minoriiși metoda transformărilor elementare(prin metoda Gauss).

Următoarea teoremă este utilizată pentru metoda minorilor învecinați.

Teorema 2 asupra rangului unei matrice. Dacă din elementele matricei se poate compune un minor r de ordinul al-lea, nu este egal cu zero, atunci rangul matricei este r.

În metoda transformărilor elementare, se utilizează următoarea proprietate:

Dacă prin transformări elementare se obține o matrice trapezoidală echivalentă cu cea originală, atunci rangul acestei matrice este numărul de linii din el, cu excepția liniilor formate în întregime din zerouri.

Găsirea rangului unei matrice prin metoda minorilor limită

Un minor învecinat este un minor de ordin superior în raport cu unul dat, dacă acest minor de ordin superior conține un anumit minor.

De exemplu, având în vedere matricea

Să luăm un minor

învecinați vor fi următorii minori:

Algoritm pentru găsirea rangului unei matrice Următorul.

1. Găsiți minori diferit de zero de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei va fi egal cu unu ( r =1 ).

2. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi care nu este egal cu zero, atunci compuneți minorii de ordinul trei limită. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu doi ( r =2 ).

3. Dacă cel puțin unul dintre minorii învecinați de ordinul al treilea nu este egal cu zero, atunci compunem minorii învecinați. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este de trei ( r =2 ).

4. Continuați atâta timp cât dimensiunea matricei permite.

Exemplul 1. Aflați rangul unei matrice

.

Soluţie. Minor de ordinul doi .

Îl încadram. Vor fi patru minori în graniță:

,

,

Astfel, toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul acestei matrice este egal cu doi ( r =2 ).

Exemplul 2. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este 1, deoarece toți minorii de ordinul doi ai acestei matrice sunt egali cu zero (în acest sens, ca și în cazurile minorilor învecinați din următoarele două exemple, dragi elevi sunt invitați să verifice singuri, eventual folosind regulile de calcul al determinanților), iar între minorii de ordinul întâi, adică dintre elementele matricei, nu sunt egale cu zero.

Exemplul 3. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minor de ordinul doi al acestei matrice, în toate minorii de ordinul al treilea al acestei matrice sunt egali cu zero. Prin urmare, rangul acestei matrice este doi.

Exemplul 4. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este 3, deoarece singurul minor de ordinul trei al acestei matrice este 3.

Găsirea rangului unei matrice prin metoda transformărilor elementare (metoda lui Gauss)

Deja în Exemplul 1, se poate observa că problema determinării rangului unei matrice prin metoda limitării minorilor necesită calcularea unui număr mare de determinanți. Există, totuși, o modalitate de a menține cantitatea de calcul la minimum. Această metodă se bazează pe utilizarea transformărilor matriceale elementare și este numită și metoda Gauss.

Transformările matriceale elementare sunt înțelese ca următoarele operații:

1) înmulțirea oricărui rând sau a oricărei coloane a matricei cu un alt număr decât zero;

2) adăugarea la elementele oricărui rând sau a oricărei coloane a matricei a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând sau coloană, înmulțite cu același număr;

3) interschimbarea a două rânduri sau coloane ale matricei;

4) eliminarea liniilor „zero”, adică acelea, ale căror elemente sunt egale cu zero;

5) ștergerea tuturor liniilor proporționale, cu excepția uneia.

Teorema. O transformare elementară nu schimbă rangul matricei. Cu alte cuvinte, dacă folosim transformări elementare din matrice A a mers la matrice B, atunci .

Determinarea rangului unei matrice

Se consideră o matrice \ (A \) de tip \ ((m, n) \). Fie, pentru certitudine, \ (m \ leq n \). Luați \ (m \) rânduri și alegeți \ (m \) coloane ale matricei \ (A \), la intersecția acestor rânduri și coloane obținem o matrice pătrată de ordin \ (m \), al cărei determinant este numit comanda minora \ (m \) matrice \ (A \). Dacă acest minor este altul decât 0, se numește baza minora iar ei spun că rangul matricei \ (A \) este \ (m \). Dacă acest determinant este egal cu 0, atunci se aleg alte coloane \ (m \), la intersecția lor apar elemente care formează un alt minor de ordin \ (m \). Dacă minorul este 0, continuăm procedura. Dacă dintre toate minorele posibile de ordin \ (m \) nu există altele diferite de zero, alegem \ (m-1 \) rânduri și coloane din matrice \ (A \), la intersecția lor ia naștere o matrice pătrată de ordin \ (m-1 \) , determinantul său se numește minorul de ordin \ (m-1 \) al matricei originale. Continuând procedura, căutăm un minor diferit de zero, iterând peste toți minorii posibili, coborându-le ordinea.

Definiție.

Minorul diferit de zero al unei matrice de ordinul cel mai înalt dat este numit baza minora matricea originală, ordinea ei se numește rang matricele \ (A \), rândurile și coloanele, la intersecția cărora se află minorul de bază, se numesc rânduri și coloane de bază. Rangul unei matrice este notat cu \ (rang (A) \).

Această definiție implică proprietăți simple ale rangului unei matrice: este un număr întreg, iar rangul unei matrice nenule satisface inegalitățile: \ (1 \ leq rang (A) \ leq \ min (m, n) \).

Cum se va schimba rangul unei matrice dacă un rând este șters? Adăugați o linie?

Verifică răspunsul

1) Rangul poate scădea cu 1.

2) Rangul poate crește cu 1.

Dependența liniară și independența liniară a coloanelor matriceale

Fie \ (A \) o matrice de tip \ ((m, n) \). Luați în considerare coloanele matricei \ (A \) - acestea sunt coloane cu numere \ (m \) fiecare. Să le notăm \ (A_1, A_2, ..., A_n \). Fie \ (c_1, c_2, ..., c_n \) niște numere.

Definiție.

Coloana \ [D = c_1A_1 + c_2A_2 + ... + c_nA_n = \ sum _ (m = 1) ^ nc_mA_m \] se numește o combinație liniară de coloane \ (A_1, A_2, ..., A_n \), numere \ (c_1, c_2 , ..., c_n \) se numesc coeficienții acestei combinații liniare.

Definiție.

Fie date \ (p \) coloane \ (A_1, A_2, ..., A_p \). Dacă există numere \ (c_1, c_2, ..., c_p \) astfel încât

1.nu toate aceste numere sunt zero,

2.combinația liniară \ (c_1A_1 + c_2A_2 + ... + c_pA_p = \ sum _ (m = 1) ^ pc_mA_m \) este egală cu coloana zero (adică coloana, a cărei toate elementele sunt zero), atunci acestea spunem că coloanele \ ( A_1, A_2, ..., A_p \) sunt dependente liniar. Dacă pentru un anumit set de coloane astfel de numere \ (c_1, c_2, ..., c_n \) nu există, se spune că coloanele sunt liniar independente.

Exemplu. Luați în considerare 2 coloane

\ [A_1 = \ stânga (\ begin (matrice) (c) 1 \\ 0 \ end (matrice) \ dreapta), A_2 = \ stânga (\ begin (matrice) (c) 0 \\ 1 \ end (matrice) \ dreapta), \] atunci pentru orice numere \ (c_1, c_2 \) avem: \ [c_1A_1 + c_2A_2 = c_1 \ left (\ begin (array) (c) 1 \\ 0 \ end (array) \ right) + c_2 \ stânga (\ begin (array) (c) 0 \\ 1 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (c) c_1 \\ c_2 \ end (array) \ right). \]

Această combinație liniară este egală cu coloana zero dacă și numai dacă ambele numere \ (c_1, c_2 \) sunt egale cu zero. Astfel, aceste coloane sunt liniar independente.

Afirmație. Pentru ca coloanele să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca unul dintre ele să fie o combinație liniară a celorlalte.

Fie coloanele \ (A_1, A_2, ..., A_m \) să fie dependente liniar, adică. pentru unele constante \ (\ lambda _1, \ lambda _2, ..., \ lambda _m \), care nu sunt toate egale cu 0, se execută următoarele: \ [\ sum _ (k = 1) ^ m \ lambda _kA_k = 0 \ ] (în dreapta - coloana zero). De exemplu, fie \ (\ lambda _1 \ neq 0 \). Atunci \ [A_1 = \ sum _ (k = 2) ^ mc_kA_k, \ quad c_k = - \ lambda _k / \ lambda _1, \ quad \ quad (15) \] adică prima coloană este o combinație liniară a celorlalte.

Teorema de bază minoră

Teorema.

Pentru orice matrice diferită de zero \ (A \) este adevărat:

1. Coloanele de bază sunt liniar independente.

2. Orice coloană a unei matrice este o combinație liniară a coloanelor sale de bază.

(Același lucru este valabil și pentru șiruri.)

Fie, pentru certitudine, \ ((m, n) \) tipul matricei \ (A \), \ (rang (A) = r \ leq n \) iar baza minoră este situată în primul \ ( r \) matrice de rânduri și coloane \ (A \). Fie \ (s \) orice număr între 1 și \ (m \), \ (k \) orice număr între 1 și \ (n \). Luați în considerare un minor de următoarea formă: \ [D = \ stânga | \ begin (matrice) (ccccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1r) & a_ (1s) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2r) & a_ (2s) \\ \ puncte & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (r1) & a_ (r2) & \ ldots & a_ (rr) & a_ (rs) \\ a_ (k1) & a_ (k2) & \ ldots & a_ (kr) & a_ (ks) \\ \ end (matrice) \ dreapta | , \] adică am atribuit coloana a \ (s - \) și rândul \ (k - \) minorului de bază. Prin definiția rangului matricei, acest determinant este egal cu zero (dacă alegem \ (s \ leq r \) sau \ (k \ leq r \), atunci acest minor are 2 coloane identice sau 2 rânduri identice, dacă \ (s> r \) și \ (k> r \) - după definiția rangului, un minor de mărime mai mare decât \ (r \) dispare). Extindem acest determinant cu ultimul rând, obținem: \ [a_ (k1) A_ (k1) + a_ (k2) A_ (k2) + .... + a_ (kr) A_ (kr) + a_ (ks) A_ (ks) = 0. \ quad \ quad (16) \]

Aici numerele \ (A_ (kp) \) sunt complementele algebrice ale elementelor din linia de jos \ (D \). Valorile lor nu depind de \ (k \), deoarece sunt formate folosind elemente din primele \ (r \) linii. În acest caz, mărimea \ (A_ (ks) \) este o bază minoră, alta decât 0. Notați \ (A_ (k1) = c_1, A_ (k2) = c_2, ..., A_ (ks) = c_s \ neq 0 \). Să rescriem în notația nouă (16): \ [c_1a_ (k1) + c_2a_ (k2) + ... + c_ra_ (kr) + c_sa_ (ks) = 0, \] sau, împărțind la \ (c_s \), \ [ a_ (ks) = \ lambda_1a_ ​​​​(k1) + \ lambda_2a_ (k2) + ... + \ lambda_ra_ (kr), \ quad \ lambda _p = -c_p / c_s. \] Această egalitate este adevărată pentru orice valoare \ (k \), deci \ [a_ (1s) = \ lambda_1a_ ​​​​(11) + \ lambda_2a_ (12) + ... + \ lambda_ra_ (1r), \] \ [a_ (2s) = \ lambda_1a_ ​​​​(21) + \ lambda_2a_ (22) + ... + \ lambda_ra_ (2r), \] \ [................ .... .................................... \] \ [a_ (ms) = \ lambda_1a_ ​​​​(m1) + \ lambda_2a_ (m2) + ... + \ lambda_ra_ (mr). \] Deci, coloana \ (s - \) este o combinație liniară a primelor \ (r \) coloane. Teorema este demonstrată.

Cometariu.

Din teorema minoră de bază rezultă că rangul unei matrice este egal cu numărul coloanelor sale liniar independente (care este egal cu numărul de rânduri liniar independente).

Corolarul 1.

Dacă determinantul este zero, atunci are o coloană care este o combinație liniară a coloanelor rămase.

Corolarul 2.

Dacă rangul matricei este mai mic decât numărul de coloane, atunci coloanele matricei sunt dependente liniar.

Calcularea rangului unei matrice și găsirea minorului de bază

Unele transformări ale matricei nu își schimbă rangul. Astfel de transformări pot fi numite elementare. Faptele corespunzătoare sunt ușor de verificat folosind proprietățile determinanților și definiția rangului matricei.

1. Rearanjarea coloanelor.

2. Înmulțirea elementelor unei coloane cu un factor diferit de zero.

3. Adăugând la o coloană orice altă coloană înmulțită cu un număr arbitrar.

4. Trimiterea coloanei zero.

Același lucru este valabil și pentru șiruri.

Cu ajutorul acestor transformări, matricea poate fi transformată în așa-numita formă „trapezoidală” - o matrice, sub diagonala principală a căreia există doar zerouri. Pentru o matrice „trapezoidală”, rangul este numărul de intrări nenule de pe diagonala principală, iar baza minoră este o minoră a cărei diagonală coincide cu setul de intrări nenule de pe diagonala principală a matricei transformate.

Exemplu. Luați în considerare matricea

\ [A = \ stânga (\ începe (matrice) (cccc) 2 & 1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \ end (matrice) \ dreapta). \] Îl vom transforma folosind transformările de mai sus. \ [A = \ stânga (\ începe (matrice) (cccc) 2 & 1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \ end (matrice) \ dreapta) \ mapsto \ stânga (\ începe (matrice) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \ \ 2 & -1 & 5 & -6 \ end (array) \ right) \ mapsto \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \ end (array) \ right) \ mapsto \] \ [\ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end (matrice) \ dreapta) \ mapsto \ stânga (\ începe (matrice) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \ end (matrice) \ dreapta). \]

Aici facem următorii pași succesiv: 1) rearanjați al doilea rând în sus, 2) scădeți primul rând din restul cu un factor adecvat, 3) scădeți al doilea rând din al treilea de 4 ori, adăugați al doilea rând la al patrulea, 4) ștergeți liniile zero - a treia și a patra ... Matricea noastră finală a căpătat forma dorită: există numere diferite de zero pe diagonala principală și zerouri sub diagonala principală. După aceea, procedura se oprește și numărul de elemente nenule de pe diagonala principală este egal cu rangul matricei. Baza minoră sunt primele două linii și primele două coloane. La intersecția lor există o matrice de ordinul 2 cu un determinant diferit de zero. În acest caz, revenind de-a lungul lanțului de transformări în direcția opusă, se poate urmări unde își are originea acest sau acel rând (acesta sau acea coloană) în matricea finală, i.e. determinați rândurile și coloanele de bază din matricea originală. În acest caz, primele două rânduri și primele două coloane formează baza minoră.

Pentru a lucra cu conceptul de rang al unei matrice, avem nevoie de informații din tema „Complemente algebrice și minore. Tipuri de minore și complemente algebrice”. În primul rând, aceasta se referă la termenul de „matrice minoră”, întrucât rangul matricei va fi determinat tocmai prin intermediul minorilor.

După rangul matricei se numește ordinea maximă a minorilor săi, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero.

Matrici echivalente- matrice ale căror ranguri sunt egale între ele.

Să explicăm mai detaliat. Să presupunem că există cel puțin un minor diferit de zero printre minorii de ordinul doi. Și toți minorii, a căror ordine este mai mare de doi, sunt egali cu zero. Concluzie: rangul matricei este 2. Sau, de exemplu, printre minorii de ordinul al zecelea există cel puțin unul care nu este egal cu zero. Și toți minorii a căror ordine este mai mare de 10 sunt egali cu zero. Concluzie: rangul matricei este 10.

Rangul matricei $ A $ este notat cu $ \ rang A $ sau $ r (A) $. Se presupune că rangul matricei zero $ O $ este zero, $ \ rang O = 0 $. Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru a forma o matrice minoră este necesar să tăiați rândurile și coloanele, dar este imposibil să tăiați mai multe rânduri și coloane decât conține matricea în sine. De exemplu, dacă matricea $ F $ este $ 5 \ ori 4 $ (adică conține 5 rânduri și 4 coloane), atunci ordinea maximă a minorilor este de patru. Nu se va mai putea forma minori de ordinul al cincilea, deoarece vor necesita 5 coloane (și avem doar 4). Aceasta înseamnă că rangul matricei $ F $ nu poate fi mai mare de patru, adică. $ \ rang F≤4 $.

Într-o formă mai generală, cele de mai sus înseamnă că, dacă o matrice conține $ m $ rânduri și $ n $ coloane, atunci rangul ei nu poate depăși cel mai mic dintre numerele $ m $ și $ n $, adică. $ \ rang A≤ \ min (m, n) $.

În principiu, din însăși definiția rangului urmează metoda de a-l găsi. Procesul de găsire a rangului unei matrice prin definiție poate fi reprezentat schematic după cum urmează:

Voi explica această diagramă mai detaliat. Să începem să ne gândim de la bun început, adică. cu minori de ordinul întâi ai unei matrice $ A $.

1. Dacă toți minorii de ordinul întâi (adică, elementele matricei $ A $) sunt egale cu zero, atunci $ \ rang A = 0 $. Dacă printre minorii de ordinul întâi există cel puțin unul diferit de zero, atunci $ \ rang A≥ 1 $. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul doi.
2. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci $ \ rang A = 1 $. Dacă printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul diferit de zero, atunci $ \ rang A≥ 2 $. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul trei.
3. Dacă toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, atunci $ \ rang A = 2 $. Dacă printre minorii de ordinul trei există cel puțin unul diferit de zero, atunci $ \ rang A≥ 3 $. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul al patrulea.
4. Dacă toți minorii de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci $ \ rang A = 3 $. Dacă printre minorii de ordinul al patrulea există cel puțin unul diferit de zero, atunci $ \ rang A≥ 4 $. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul 5 și așa mai departe.

Ce ne așteaptă la finalul acestei proceduri? Este posibil ca printre minorii ordinului k să existe cel puțin un nul, iar toți minorii din ordinul (k + 1) să fie egali cu zero. Aceasta înseamnă că k este ordinea maximă a minorilor, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, adică. rangul va fi k. Situația poate fi diferită: printre minorii de ordinul k, va exista cel puțin unul care nu este egal cu zero și nu se va mai putea forma minorii de ordinul (k + 1). În acest caz, rangul matricei este, de asemenea, k. Pe scurt vorbind, ordinea ultimului minor alcătuit de zero și va fi egală cu rangul matricei.

Să trecem la exemple în care procesul de găsire a rangului unei matrice prin definiție va fi ilustrat vizual. Încă o dată, subliniez că în exemplele acestui subiect vom începe să găsim rangul matricelor folosind doar definiția rangului. Alte metode (calcularea rangului unei matrice prin metoda minorilor marginali, calcularea rangului unei matrice prin metoda transformărilor elementare) sunt luate în considerare în următoarele subiecte.

Apropo, nu este deloc necesar să începeți procedura de găsire a rangului cu minorii de ordinul cel mai mic, așa cum se face în exemplele #1 și #2. Puteți merge direct la minori superioare (vezi exemplul # 3).

Exemplul #1

Găsiți rangul matricei $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \ end (matrice) \ dreapta) $.

Această matrice are dimensiunea $ 3 \ ori 5 $, adică. conține trei rânduri și cinci coloane. Dintre numerele 3 și 5, minimul este 3; prin urmare, rangul matricei $ A $ este de cel mult 3, adică. $ \ rang A≤ 3 $. Și această inegalitate este evidentă, deoarece nu vom mai putea forma minori de ordinul al patrulea - au nevoie de 4 rânduri și avem doar 3. Să trecem direct la procesul de găsire a rangului unei matrice date.

Printre minorii de ordinul întâi (adică printre elementele matricei $ A $) există altele diferite de zero. De exemplu, 5, -3, 2, 7. În general, nu ne interesează numărul total de elemente diferite de zero. Există cel puțin un element diferit de zero - și asta este suficient. Întrucât printre minorii de ordinul întâi există cel puțin unul diferit de zero, concluzionăm că $ \ rang A≥ 1 $ și trecem la verificarea minorilor de ordinul doi.

Să începem să explorăm minorii de ordinul doi. De exemplu, la intersecția rândurilor # 1, # 2 și coloanele # 1, # 4 sunt elementele unui astfel de minor: $ \ left | \ begin (array) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ end (matrice) \ dreapta | $. Pentru acest determinant, toate elementele celei de-a doua coloane sunt egale cu zero, prin urmare determinantul în sine este egal cu zero, i.e. $ \ left | \ begin (array) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ end (array) \ right | = 0 $ (vezi proprietatea # 3 în subiectul proprietăților determinanților). Sau puteți calcula pur și simplu acest determinant folosind formula # 1 din secțiunea privind calcularea determinanților din ordinul doi și trei:

$$ \ left | \ begin (array) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ end (array) \ right | = 5 \ cdot 0-0 \ cdot 7 = 0. $$

Primul minor din al doilea ordin pe care l-am verificat sa dovedit a fi zero. Ce inseamna asta? Despre faptul că este necesară verificarea în continuare a minorilor de ordinul doi. Fie toate se dovedesc a fi zero (și atunci rangul va fi egal cu 1), fie printre ele există cel puțin un minor diferit de zero. Să încercăm să facem o alegere mai bună notând minorul de ordinul doi ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor # 1, # 2 și coloanele # 1 și # 5: $ \ left | \ begin (array) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ end (matrice) \ dreapta | $. Să găsim valoarea acestui minor de ordinul doi:

$$ \ left | \ begin (array) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ end (array) \ right | = 5 \ cdot 3-2 \ cdot 7 = 1. $$

Acest minor nu este zero. Concluzie: printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul diferit de zero. Prin urmare $ \ rang A≥ 2 $. Este necesar să se procedeze la studiul minorilor de ordinul trei.

Dacă alegem coloana #2 sau coloana #4 pentru a forma minorii de ordinul trei, atunci astfel de minori vor fi egali cu zero (pentru că vor conține o coloană zero). Rămâne de verificat doar un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente sunt situate la intersecția coloanelor nr. 1, nr. 3, nr. 5 și rândurile nr. 1, nr. 2, nr. 3. Să notăm acest minor și să îi găsim sensul:

$$ \ stânga | \ început (matrice) (ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \ end (matrice) \ dreapta | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0. $$

Deci, toți minorii de ordinul trei sunt zero. Ultimul minor diferit de zero pe care l-am compilat a fost de ordinul doi. Concluzie: ordinea maximă a minorilor, printre care există cel puțin unul altul decât zero, este 2. Prin urmare, $ \ rang A = 2 $.

Răspuns: $ \ rang A = 2 $.

Exemplul nr. 2

Găsiți rangul matricei $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ end (matrice) \ dreapta) $.

Avem o matrice pătrată de ordinul al patrulea. Rețineți imediat că rangul acestei matrice nu depășește 4, adică. $ \ rang A≤ 4 $. Să începem să găsim rangul matricei.

Printre minorii de ordinul întâi (adică dintre elementele matricei $ A $) există cel puțin un nenulu, deci $ \ rang A≥ 1 $. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul doi. De exemplu, la intersecția rândurilor # 2, # 3 și coloanele # 1 și # 2, obținem următorul minor de ordinul doi: $ \ left | \ begin (matrice) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ end (matrice) \ dreapta | $. Să o calculăm:

$$ \ stânga | \ begin (matrice) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ end (matrice) \ dreapta | = 0-10 = -10. $$

Printre minorii de ordinul doi, există cel puțin unul diferit de zero, prin urmare $ \ rang A≥ 2 $.

Să trecem la minorii de ordinul trei. Să găsim, de exemplu, un minor, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 1, nr. 2, nr. 4:

$$ \ stânga | \ begin (matrice) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & -7 \ end (matrice) \ dreapta | = 105-105 = 0. $$

Deoarece acest minor de ordinul trei s-a dovedit a fi zero, este necesar să se investigheze un alt minor de ordinul trei. Fie se dovedesc a fi toate egale cu zero (atunci rangul va fi egal cu 2), fie printre ele există cel puțin unul care nu este egal cu zero (apoi vom investiga minorii de ordinul al patrulea). Luați în considerare un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 2, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ end (matrice) \ dreapta | = -28. $$

Printre minorii de ordinul trei, există cel puțin unul diferit de zero, prin urmare $ \ rang A≥ 3 $. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul al patrulea.

Orice minor de ordinul al patrulea este situat la intersecția a patru rânduri și patru coloane ale matricei $ A $. Cu alte cuvinte, minorul de ordinul al patrulea este determinantul matricei $ A $, deoarece această matrice conține exact 4 rânduri și 4 coloane. Determinantul acestei matrice a fost calculat în exemplul 2 al subiectului „Scăderea ordinii determinantului. Descompunerea determinantului într-un rând (coloană)”, deci luați rezultatul final:

$$ \ stânga | \ begin (matrice) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ end (matrice) \ dreapta | = 86. $$

Deci, minorul de ordinul al patrulea nu este zero. Nu mai putem forma minori de ordinul al cincilea. Concluzie: cel mai mare ordin al minorilor, printre care se numără cel puțin unul altul decât zero, este 4. Total: $ \ rang A = 4 $.

Răspuns: $ \ rang A = 4 $.

Exemplul nr. 3

Găsiți rangul matricei $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ 7 & -4 & 0 & -5 \ end (matrice) \ dreapta) $.

Rețineți imediat că această matrice conține 3 rânduri și 4 coloane, deci $ \ rang A≤ 3 $. În exemplele anterioare, am început procesul de clasare analizând minorii de cel mai mic (prim) ordin. Aici vom încerca să verificăm imediat minorii de cea mai mare ordine posibilă. Pentru matricea $ A $, astfel de minori sunt de ordinul trei. Luați în considerare un minor de ordinul al treilea ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) 0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ end (matrice) \ dreapta | = -8-60-20 = -88. $$

Deci, cel mai înalt ordin al minorilor, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, este 3. Prin urmare, rangul matricei este 3, adică. $ \ rang A = 3 $.

Răspuns: $ \ rang A = 3 $.

În general, găsirea rangului unei matrice prin definiție este, în cazul general, o sarcină destul de laborioasă. De exemplu, o matrice de dimensiuni relativ mici $ 5 \ ori 4 $ are 60 de minori de ordinul doi. Și chiar dacă 59 dintre ele sunt egale cu zero, atunci al 60-lea minor se poate dovedi a fi diferit de zero. Apoi trebuie să investigați minorii de ordinul trei, dintre care matricea dată are 40 de bucăți. De obicei ei încearcă să folosească metode mai puțin greoaie, cum ar fi metoda limitării minorilor sau metoda transformărilor echivalente.

Rangul unei matrice este o caracteristică numerică importantă. Cea mai tipică problemă care necesită găsirea rangului unei matrice este verificarea consistenței unui sistem de ecuații algebrice liniare. În acest articol, vom prezenta conceptul de rang al unei matrice și vom lua în considerare metodele de găsire a acesteia. Pentru o mai bună asimilare a materialului, vom analiza în detaliu soluțiile mai multor exemple.

Navigare în pagină.

Determinarea rangului unei matrice și a conceptelor suplimentare necesare.

Înainte de a anunța definirea rangului unei matrice, ar trebui să înțelegem bine conceptul de minor, iar găsirea minorilor unei matrice implică capacitatea de a calcula determinantul. Așa că recomandăm, dacă este necesar, să reamintim teoria articolului, metodele de găsire a determinantului matricei, proprietățile determinantului.

Luați o matrice A de ordin. Fie k un număr natural care nu depășește cel mai mic dintre numerele m și n, adică .

Definiție.

Minor de ordinul k al matricei A se numește determinantul matricei pătrate a ordinului, compusă din elementele matricei A, care se află în k rânduri și k coloane preselectate, iar dispunerea elementelor matricei A se păstrează. .

Cu alte cuvinte, dacă ștergem (p – k) rânduri și (n – k) coloane din matricea A, și formăm o matrice din elementele rămase, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul matricei rezultate. este un minor de ordinul k al matricei A.

Să ne uităm la definiția unei matrice minore folosind un exemplu.

Luați în considerare matricea .

Să scriem mai multe minore de ordinul întâi ale acestei matrice. De exemplu, dacă alegem al treilea rând și a doua coloană a matricei A, atunci alegerea noastră corespunde minorului de ordinul întâi. ... Cu alte cuvinte, pentru a obține acest minor, am tăiat primul și al doilea rând, precum și prima, a treia și a patra coloană din matricea A și am alcătuit determinantul din elementul rămas. Dacă selectăm primul rând și a treia coloană a matricei A, atunci obținem un minor .

Să ilustrăm procedura de obținere a minorilor considerați de ordinul I
și .

Astfel, minorii de ordinul întâi ale matricei sunt elementele matricei în sine.

Arătăm câțiva minori de ordinul doi. Selectați două rânduri și două coloane. De exemplu, să luăm primul și al doilea rând și a treia și a patra coloană. Cu această alegere, avem un minor de ordinul doi ... Acest minor ar putea fi format și prin ștergerea celui de-al treilea rând, prima și a doua coloană din matricea A.

Un alt minor de ordinul doi al matricei A este.

Să ilustrăm construcția acestor minori de ordinul doi
și .

Minorii de ordinul al treilea al matricei A pot fi întâlniți în mod similar. Deoarece există doar trei rânduri în matricea A, le selectăm pe toate. Dacă alegem primele trei coloane pentru aceste rânduri, atunci obținem un minor de ordinul trei

Poate fi construit și prin ștergerea ultimei coloane a matricei A.

Un alt minor de ordinul trei este

obţinut prin ştergerea celei de-a treia coloane a matricei A.

Iată un desen care arată construcția acestor minori de ordinul trei.
și .

Pentru o anumită matrice A, minore de ordin mai mari decât a treia nu există, deoarece.

Câte minore de ordinul k a matricei A de ordin există?

Numărul de minori de ordinul k poate fi calculat ca, unde și - numărul de combinații de la p la k și, respectiv, de la n la k.

Cum se construiesc toate minorele de ordin k ale matricei A de ordinul p prin n?

Avem nevoie de multe numere de rând matrice și de multe numere de coloane. Scriem totul combinații de p elemente prin k(vor corespunde rândurilor selectate ale matricei A când se construiește un minor de ordinul k). La fiecare combinație de numere de linii, adăugăm succesiv toate combinațiile de n elemente cu k numere de coloană. Aceste seturi de combinații de numere de rând și numere de coloane ale matricei A vor ajuta la alcătuirea tuturor minorilor de ordinul k.

Să luăm un exemplu.

Exemplu.

Găsiți toate minorii de ordinul doi ale matricei.

Soluţie.

Deoarece ordinea matricei originale este 3 cu 3, atunci totalul minorilor de ordinul doi va fi .

Să notăm toate combinațiile de 3 cu 2 numere de rânduri ale matricei A: 1, 2; 1, 3 și 2, 3. Toate combinațiile de numere de coloană 3 cu 2 sunt 1, 2; 1, 3 și 2, 3.

Luați primul și al doilea rând al matricei A. Alegând la aceste rânduri prima și a doua coloană, prima și a treia coloană, a doua și a treia coloană, obținem minorele, respectiv

Pentru primul și al treilea rând, cu o alegere similară de coloane, avem

Rămâne să adăugați prima și a doua, prima și a treia, a doua și a treia coloană la al doilea și al treilea rând:

Deci, se găsesc toți cei nouă minori de ordinul doi ai matricei A.

Acum puteți trece la determinarea rangului matricei.

Definiție.

Rangul matricei Este ordinul cel mai înalt al unui minor diferit de zero într-o matrice.

Rangul matricei A este denumit Rangul (A). De asemenea, puteți găsi denumirile Rg (A) sau Rang (A).

Din definițiile rangului unei matrice și a unui minor al unei matrice, putem concluziona că rangul unei matrice zero este zero, iar rangul unei matrice nenule este cel puțin unul.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție.

Deci, prima metodă pentru găsirea rangului unei matrice este metoda forței brute... Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.

Să presupunem că trebuie să găsim rangul unei matrice A de ordin.

Să descriem pe scurt algoritm rezolvarea acestei probleme prin enumerarea minorilor.

Dacă există cel puțin un element al matricei care este diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unu (deoarece există un minor de ordinul întâi care nu este egal cu zero).

În continuare, repetăm ​​minorii de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi diferit de zero, atunci trecem la enumerarea minorilor de ordinul trei, iar rangul matricei este de cel puțin doi.

În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul trei, altul decât zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei și trecem peste minorii de ordinul al patrulea.

Rețineți că rangul matricei nu poate depăși cel mai mic dintre numerele p și n.

Exemplu.

Aflați rangul matricei .

Soluţie.

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său este de cel puțin unu.

Minor de ordinul doi este diferit de zero, prin urmare, rangul matricei A este de cel puțin doi. Trecem la enumerarea minorilor de ordinul al treilea. Toti lucruri.

Toți minorii de ordinul trei sunt zero. Prin urmare, rangul matricei este doi.

Răspuns:

Rang (A) = 2.

Găsirea rangului unei matrice prin metoda minorilor limită.

Există și alte metode pentru a găsi rangul unei matrice care vă permit să obțineți rezultatul cu mai puțină muncă de calcul.

O astfel de metodă este metoda minoră limită.

Să ne ocupăm de minor învecinat.

Se spune că minorul M ok de ordinul (k + 1) al matricei A mărginește M minorul de ordinul k al matricei A, dacă matricea corespunzătoare minorului M ok „conține” matricea corespunzătoare minor M.

Cu alte cuvinte, matricea corespunzătoare minorului marginit M se obține din matricea corespunzătoare minorului marginal M ok prin ștergerea elementelor unui rând și unei coloane.

De exemplu, luați în considerare matricea și ia un minor de ordinul doi. Să notăm toți minorii la graniță:

Metoda limitării minorilor este fundamentată de următoarea teoremă (prezentăm formularea acesteia fără dovezi).

Teorema.

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al matricei A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k + 1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Astfel, pentru a afla rangul unei matrice, nu este necesar să se itera pe toți minorii suficient de învecinați. Numărul de minore care mărginesc minorul de ordin k al matricei de ordine A se găsește prin formula ... Rețineți că minorii care mărginesc minorul de ordin k al matricei A nu sunt mai mult decât minorii de ordinul -al (k + 1) ale matricei A. Prin urmare, în cele mai multe cazuri, utilizarea metodei minorilor învecinați este mai profitabilă decât o simplă enumerare a tuturor minorilor.

Să trecem la găsirea rangului matricei prin metoda minorilor învecinați. Să descriem pe scurt algoritm aceasta metoda.

Dacă matricea A este diferită de zero, atunci ca minor de ordinul întâi luăm orice element al matricei A, altul decât zero. Luați în considerare minorii săi învecinați. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor la graniță diferit de zero (ordinea acestuia este de doi), atunci trecem să luăm în considerare minorii săi învecinați. Dacă toate sunt zero, atunci rangul (A) = 2. Dacă cel puțin un minor învecinat este diferit de zero (ordinea sa este de trei), atunci luăm în considerare minorii învecinați. etc. Ca rezultat, Rangul (A) = k, dacă toți minorii marginali de ordinul (k + 1) al matricei A sunt egali cu zero, sau Rangul (A) = min (p, n), dacă există o valoare diferită de zero. minor care mărginește minorul de ordin (min ( p, n) - 1).

Să analizăm metoda minorilor învecinați pentru găsirea rangului unei matrice folosind un exemplu.

Exemplu.

Aflați rangul matricei prin metoda limitării minorilor.

Soluţie.

Deoarece elementul a 1 1 al matricei A este diferit de zero, îl considerăm minor de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor care nu se limitează la zero:

A găsit un minor învecinat de ordinul doi, altul decât zero. Să-i rezolvăm pe minorii învecinați (lor lucruri):

Toți minorii care mărginesc minorul de ordinul doi sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei A este egal cu doi.

Răspuns:

Rang (A) = 2.

Exemplu.

Aflați rangul matricei folosind minori învecinați.

Soluţie.

Ca minor de ordinul întâi diferit de zero, luăm elementul a 1 1 = 1 al matricei A. Minorul de flancare de ordinul doi nu este zero. Acest minor este mărginit de un minor de ordinul trei.
... Deoarece nu este egal cu zero și nu există un singur minor de margine pentru acesta, rangul matricei A este egal cu trei.

Răspuns:

Rang (A) = 3.

Găsirea rangului folosind transformări matriceale elementare (metoda Gauss).

Luați în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice.

Următoarele transformări matriceale sunt numite elementare:

• permutarea rândurilor (sau coloanelor) ale matricei;
• înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a matricei cu un număr arbitrar k altul decât zero;
• adunând la elementele oricărui rând (coloană) elementele corespunzătoare din alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Matricea B se numește echivalentă cu matricea A dacă B se obţine din A folosind un număr finit de transformări elementare. Echivalența matricelor se notează prin simbolul „~”, adică se scrie A ~ B.

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări elementare de matrice se bazează pe afirmația: dacă matricea B este obținută din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rangul (A) = Rangul (B).

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din proprietățile determinantului matricei:

• Când rândurile (sau coloanele) unei matrice sunt rearanjate, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci la permutarea rândurilor (coloanelor) rămâne egal cu zero.
• Când toate elementele oricărui rând (coloană) a matricei sunt înmulțite cu un număr arbitrar k altul decât zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale înmulțit cu k. Dacă determinantul matricei inițiale este egal cu zero, atunci după înmulțirea tuturor elementelor oricărei rânduri sau coloane cu numărul k, determinantul matricei rezultate va fi, de asemenea, egal cu zero.
• Adăugarea elementelor unui rând (coloană) al matricei a elementelor corespunzătoare unui alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr k, nu schimbă determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare constă în reducerea matricei, al cărei rang trebuie să-l găsim, la un trapez (într-un caz particular, la triunghiul superior) folosind transformări elementare.

De ce se face asta? Rangul matricelor de acest fel este foarte ușor de găsit. Este egal cu numărul de linii care conțin cel puțin un element diferit de zero. Și deoarece rangul matricei nu se schimbă în timpul transformărilor elementare, valoarea rezultată va fi rangul matricei originale.

Iată câteva ilustrații ale matricelor, dintre care una ar trebui obținută după transformări. Forma lor depinde de ordinea matricei.

Aceste ilustrații sunt șabloane în care vom transforma matricea A.

Să descriem algoritmul metodei.

Să presupunem că trebuie să găsim rangul unei matrice A non-nule de ordin (p poate fi egal cu n).

Asa de, . Să înmulțim toate elementele primului rând al matricei A cu. În acest caz, obținem o matrice echivalentă, notăm cu A (1):

La elementele celui de-al doilea rând al matricei rezultate A (1), se adaugă elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu. La elementele din al treilea rând, adăugați elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu. Și așa mai departe până la linia p-a. Obținem o matrice echivalentă, o notăm cu A (2):

Dacă toate elementele matricei rezultate, situate în rânduri de la a doua la p-a, sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este egal cu unu și, în consecință, rangul matricei originale este egal cu unu.

Dacă există cel puțin un element diferit de zero în rândurile de la al doilea până la pth, atunci continuăm să efectuăm transformările. Mai mult, acționăm în absolut același mod, dar numai cu partea din matricea A marcată în figura (2)

Dacă, atunci rearanjam rândurile și (sau) coloanele matricei A (2) astfel încât elementul „nou” să devină diferit de zero.