2.1. Spectre semnale periodice

Un semnal periodic (curent sau tensiune) se numește un astfel de tip de influență atunci când forma de undă se repetă după un anumit interval de timp T care se numeste perioada. Cea mai simplă formă Un semnal periodic este un semnal armonic sau un sinusoid care se caracterizează prin amplitudine, perioadă și fază inițială. Toate celelalte semnale vor nearmonic sau nesinusoidal. Se poate demonstra, iar practica o dovedește, că, dacă semnalul de intrare al sursei de alimentare este periodic, atunci toți ceilalți curenți și tensiuni din fiecare ramură (semnale de ieșire) vor fi, de asemenea, periodice. În acest caz, formele de undă din diferite ramuri vor diferi unele de altele.

Există o tehnică generală pentru studierea semnalelor periodice nearmonice (acțiunile de intrare și reacțiile acestora) într-un circuit electric, care se bazează pe descompunerea semnalelor într-o serie Fourier. Această tehnică constă în faptul că este întotdeauna posibil să se selecteze un număr de semnale armonice (adică sinusoidale) cu astfel de amplitudini, frecvențe și faze inițiale, suma algebrică a ordonatelor cărora în orice moment este egală cu ordonata studiată. semnal nesinusoidal. Deci, de exemplu, tensiunea uîn fig. 2.1. poate fi înlocuit cu suma tensiunilor și , deoarece în orice moment are loc egalitatea identică: . Fiecare dintre termeni este o sinusoidă, a cărei frecvență de oscilație este legată de perioadă T rapoarte întregi.

Pentru exemplul luat în considerare, avem perioada primei armonice care coincide cu perioada semnalului nearmonicT 1 = T, iar perioada celei de-a doua armonice este de două ori mai micăT 2 = T/2, adică valori instantanee armonicele trebuie scrise ca:

Aici, amplitudinile oscilațiilor armonice sunt egale între ele ( ), iar fazele inițiale sunt egale cu zero.

Orez. 2.1. Exemplu de adăugare a primei și a doua armonici

semnal nearmonic

În inginerie electrică, o componentă armonică a cărei perioadă este egală cu perioada unui semnal nearmonic se numește primul sau de bază armonici de semnal. Toate celelalte componente sunt numite componente armonice superioare. O armonică a cărei frecvență este de k ori mai mare decât prima armonică (și, respectiv, perioada, de k ori mai mică) se numește

k --a armonică. Alocați și valoarea medie a funcției pentru perioada, care este numită nul muzicuţă. ÎN caz general seria Fourier este scrisă ca o sumă un număr infinit componente armonice de diferite frecvențe:

(2.1)

unde k este numărul armonic; - frecvenţa unghiulară a armonicii k - a;

ω 1 \u003d ω \u003d 2 π / T- frecvența unghiulară a primei armonice; - armonică zero.

Pentru formele de undă frecvente, o extindere a seriei Fourier poate fi găsită în literatura de specialitate. Tabelul 2 prezintă expansiunile pentru opt forme de undă. De remarcat că expansiunile date în Tabelul 2 vor avea loc dacă originea sistemului de coordonate este aleasă așa cum este indicat în figurile din stânga; la schimbarea originii timpului t fazele inițiale ale armonicilor se vor schimba, în timp ce amplitudinile armonicilor vor rămâne aceleași. În funcție de tipul de semnal studiat, V ar trebui înțeles fie ca o valoare măsurată în volți dacă este un semnal de tensiune, fie ca o valoare măsurată în amperi dacă este un semnal de curent.

Expansiunea seriei Fourier a funcțiilor periodice

masa 2

Programa f(t)	Seria Fourier de funcțiif(t)	Notă
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		S=1,2,3,4,..
		k=1,2,4,6,..

Semnalele 7 și 8 sunt generate dintr-o sinusoidă prin circuite de poartă.

Setul de componente armonice care formează un semnal nesinusoidal se numește spectrul acestui semnal nearmonic. Din acest set de armonici, ele disting și disting amplitudineȘi fază gamă. Spectrul de amplitudine este un set de amplitudini ale tuturor armonicilor, care este de obicei reprezentat printr-o diagramă sub forma unui set de linii verticale, ale căror lungimi sunt proporționale (în scara aleasă) cu valorile de amplitudine ale armonicii. componente, iar locul pe axa orizontală este determinat de frecvența (numărul armonic) acestei componente. În mod similar, spectrele de fază sunt considerate ca un set fazele inițiale toate armonicele; ele sunt, de asemenea, prezentate la scară ca un set de linii verticale.

Trebuie remarcat faptul că se obișnuiește să se măsoare fazele inițiale în inginerie electrică în intervalul de la -180 0 la +180 0. Se numesc spectre formate din linii individuale căptușite sau discrete. Liniile spectrale sunt la distanță fîn afară, unde f- interval de frecvență, egală cu frecvența prima armonică f.În acest fel, spectre discrete semnalele periodice au componente spectrale cu mai multe frecvențe - f, 2f, 3f, 4f, 5f etc.

Exemplul 2.1. Găsiți spectrul de amplitudine și de fază pentru un semnal dreptunghiular, când duratele semnalelor pozitive și negative sunt egale, iar valoarea medie a funcției pe perioada este zero

u(t) = TVA 0<t<T/2

u(t) = -Tva T/2<t<T

Pentru semnalele de forme simple, frecvent utilizate, este indicat să găsiți o soluție folosind tabele.

Orez. 2.2. Spectrul liniar de amplitudine al unui semnal dreptunghiular

Din expansiunea Fourier a unui semnal dreptunghiular (vezi Tabelele 2 - 1) rezultă că seria armonică conține doar armonici impare, în timp ce amplitudinile armonicilor scad proporțional cu numărul armonicilor. Spectrul de linie de amplitudine al armonicilor este prezentat în fig. 2.2. La construcție, se presupune că amplitudinea primei armonice (aici tensiunea) este egală cu un volt: B; atunci amplitudinea celei de-a treia armonice va fi egală cu B, a cincea - B etc. Fazele inițiale ale tuturor armonicilor semnalului sunt egale cu zero, prin urmare, spectrul de fază are doar valori zero ale ordonatelor.

Problema rezolvata.

Exemplul 2.2.Aflați spectrul de amplitudine și fază pentru o tensiune care variază conform legii: la - T/4<t<T/4; u(t) = 0 pentru T/4<t<3/4T. Un astfel de semnal se formează dintr-o sinusoidă prin eliminarea (prin circuite care utilizează elemente de supapă) a părții negative a semnalului armonic.

a) b)

Orez. 2.3. Spectrul de linie al unui semnal de redresare semiundă: a) amplitudine; b) faza

Pentru un semnal de redresare cu jumătate de undă a unei tensiuni sinusoidale (a se vedea tabelele 2 - 8), seria Fourier conține o componentă constantă (armonică zero), prima armonică și apoi un set de armonici pare, ale căror amplitudini scad rapid. cu creșterea numărului de armonici. Dacă, de exemplu, punem valoarea V = 100 B, atunci, înmulțind fiecare termen cu factorul comun 2V/π , găsim(2.2)

Spectrele de amplitudine și fază ale acestui semnal sunt prezentate în Fig. 2.3a,b.

Problema rezolvata.

În conformitate cu teoria seriei Fourier, egalitatea exactă a unui semnal nearmonic cu suma armonicilor are loc numai pentru un număr infinit de armonici. Calculul componentelor armonice pe un computer vă permite să analizați orice număr de armonici, care este determinat de scopul calculului, precizia și forma efectelor nearmonice. Dacă durata semnaluluit indiferent de forma sa, cu atât mai puțin perioada T, atunci amplitudinile armonicilor vor scădea lent, iar pentru o descriere mai completă a semnalului este necesar să se țină cont de un număr mare de termeni din serie. Această caracteristică poate fi urmărită pentru semnalele prezentate în Tabelele 2 - 5 și 6, cu condiția ca starea τ <<T. Dacă semnalul nearmonic este aproape de o formă sinusoidală (de exemplu, semnalele 2 și 3 din Tabelul 2), atunci armonicile scad rapid și pentru o descriere precisă a semnalului, este suficient să ne limităm la trei la cinci armonice ale seriei.

5. Circuite electrice liniare în modul efectelor periodice nearmonice. Teoria circuitelor electrice

5. Circuite electrice liniare în modul efectelor periodice nearmonice

5.1. Semnale periodice nearmonice

La transmiterea informațiilor pe canalele de comunicație în procesul de conversie a semnalului în diferite dispozitive, de regulă, se folosesc oscilații nearmonice, deoarece oscilațiile pur armonice nu pot fi purtători de informații. Pentru a transmite mesaje, o oscilație armonică este modulată în amplitudine - modulație în amplitudine (AM), frecvență - frecvență (FM) sau fază - fază (PM), sau se utilizează semnale de impuls modulate în amplitudine - modulație în amplitudine a impulsului (AIM), lățime - modulație de lățime a impulsurilor (PWM), poziție în timp - modulație a impulsului în timp (PWM). Există și alte semnale, mai complexe, formate conform legilor speciale. O trăsătură distinctivă a acestor semnale este un caracter complex nearmonic. Curenții și tensiunile generate în diverse dispozitive cu impulsuri și digitale au o formă nesinusoidală (19. Semnale și circuite discrete), semnalele armonice care trec prin diferite dispozitive neliniare capătă un caracter nesinusoidal (11. Circuite electrice neliniare sub armonică). influențe), etc. Toate acestea conduc la necesitatea dezvoltării unor metode speciale de analiză și sinteză a circuitelor electrice sub influența curenților și tensiunilor periodice nesinusoidale și neperiodice. Aceste metode se bazează pe reprezentări spectrale ale efectelor nesinusoidale bazate pe expansiunea într-o serie sau integrală Fourier.

Din analiza matematică se știe că funcția periodică nearmonică f(t), care satisface condițiile Dirichlet, poate fi extins într-o serie Fourier:
(5.1)
Unde un k,bk - coeficienţii de dilatare determinaţi de ecuaţii
(5.2)

Valoare reprezintă valoarea medie a funcției pe perioada f(t)și se numește componentă constantă.

În studiile teoretice, în locul formulei (5.1), se folosește de obicei o alta, bazată pe modificarea variabilei independente:
(5.3)
Unde
(5.4)

Ecuația (5.3) este forma trigonometrică a seriei Fourier. Când se analizează circuite, este adesea mai convenabil să se utilizeze forma complexă a seriei Fourier, care poate fi obținută din (5.3) folosind formulele Euler:
(5.5)

Înlocuind (5.5) în ecuația (5.3), după transformări simple, obținem forma complexă a seriei Fourier:
(5.6)
Unde A k- amplitudine complexă k a-a armonică:
(5.7)
Unde – amplitudine; - faza initiala k a armonică.

Înlocuirea valorilor un kȘi b k de la (5.4) la (5.7), obținem:
(5.8)

Set de amplitudini 0,5 A k = 0,5DAR –kîn expansiune (5.6), trasat în raport cu frecvențele pozitive și negative corespunzătoare, formează o simetrică față de axa de coordonate (datorită uniformității coeficienților un k) spectrul de amplitudine a liniei.

Set de ordonate k = – –k din (5.7) inclus în expansiunea (5.6) și trasat în funcție de frecvențele pozitive și negative corespunzătoare, formează o simetrică față de originea axei de coordonate (datorită neobișnuităii coeficienților b k)spectrul de fază de linie.

Extinderea (5.3) poate fi reprezentată și sub altă formă. Având în vedere că un k = A k cos kȘi b k= A k păcat k, apoi după înlocuirea în (5.3) obținem:
(5.9)

Dacă considerăm componenta constantă a 0 /2 ca o armonică zero cu faza inițială 0 = 0, atunci expansiunea (5.9) ia forma
(5.10)

În cazul special când funcţia f(a) simetric față de axa y (Fig. 5.1, dar), numai armonicile pare (cosinus) vor apărea în expansiune (5.3):

(5.11)

si cu simetrie f(a) în raport cu originea (Fig. 5.1, b) armonice impare
(5.12)

La deplasarea originii funcției f(a) spectrul său de amplitudine nu se modifică, ci se schimbă doar spectrul de fază. Într-adevăr, schimbăm funcția f(a) de-a lungul axei timpului la stânga de t 0 și notează .

Apoi expansiunea (5.9) ia forma
(5.13)

Exemplu. Extindeți seria Fourier de oscilații dreptunghiulare (Fig. 5.1, b). Dat fiind f(a) este simetric față de origine, numai armonicile sinusoidale (5.12) vor rămâne în expansiune (5.3), unde b k se determină conform (5.4):

Înlocuind b kîn (5.12), obținem o expansiune într-o serie Fourier:
(5.14)

Apoi ne mutam f(a) p/2 la stânga (vezi Fig. 5.1, dar). Apoi conform (5.13) obținem

(5.15)

Adică am obținut o expansiune în componente cosinus, așa cum ar trebui să fie pentru un semnal simetric față de axa ordonatelor.

În unele cazuri, când funcția periodică f(a) este dat grafic și are o formă complexă, extinderea sa într-o serie Fourier se poate face într-un mod grafic-analitic. Esența sa constă în faptul că perioada semnalului T(Fig. 5.2) se împart în m intervale egale cu , iar punctele de discontinuitate f(a) nu trebuie să cadă în mijlocul zonelor despărțite; determinați valoarea semnalului f(A n) în mijlocul fiecărei secțiuni a partiției.

Aflați coeficienții de expansiune un kȘi b k prin înlocuirea integralei din (5.2) cu o sumă finită
(5.16)

Ecuația (5.16) este ușor de programat și la calcul un kȘi b k poate fi folosit de un computer.

5.2. RMS, medie și putere a unui semnal periodic nearmonic

Pentru certitudine, să presupunem că f(t) are sensul de curent i(t). Apoi valoarea efectivă a curentului periodic nearmonic se determină conform (3.5), unde i(t) este determinată de ecuația (5.10):
(5.17)

Înlocuind această valoare curentă în (3.5), după integrare obținem
(5.18)

adică valoarea efectivă a curentului periodic nearmonic eu este complet determinată de valorile efective ale armonicilor sale eu kși nu depinde de fazele lor inițiale k.

În mod similar, găsim valoarea efectivă a tensiunii periodice nesinusoidale:
(5.19)

Valoarea medie a curentului se determină conform expresiei generale (3.9). Și de obicei luați valoarea medie i(t) în valoare absolută
(5.20)

Definit în mod similar U cf(2) .

Din punctul de vedere al teoriei circuitelor, de mare interes este puterea medie activă a unui semnal nearmonic și distribuția acestuia între armonici individuale.

Puterea activă medie a unui semnal periodic nesinusoidal
(5.21)
Unde
(5.22)

k- defazaj între curent și tensiune k a armonică.

Înlocuirea valorilor i(t) Și u(t) din (5.22) în ecuația (5.21), după integrare obținem:
(5.23)
m, adică puterea activă medie a unui semnal periodic nearmonic de-a lungul perioadei este egală cu suma puterilor armonicilor individuale. Formula (5.23) este una dintre formele binecunoscutului Egalitățile lui Parseval.

În mod similar, găsim puterea reactivă
(5.24)
și putere deplină
(5.25)

Trebuie subliniat că, spre deosebire de semnalele armonice, pentru semnalele nearmonice
(5.26)

Valoare P ic = se numește putere de distorsiuneşi caracterizează gradul de diferenţă în formele actuale i(t) și stres u(t).

Pe lângă puterea de distorsiune, semnalele periodice nearmonice sunt caracterizate de un număr de coeficienți:putere, k m = P/S; formează K f \u003d U / U cf (2); amplitudini K a = U m /U; distorsiunea k și = U 1 /U; armonici k r = si etc.

Pentru semnal sinusoidal k f = /21,11; k a = 1,41; k u = 1; k r = 0.

5.3. Spectre ale semnalelor periodice nearmonice

Luați în considerare succesiunea de impulsuri dreptunghiulare prezentată în Fig. 5.3, dar. Semnalele de această formă sunt utilizate pe scară largă în inginerie radio și telecomunicații: telegrafie, sisteme de transmisie digitală, sisteme de comunicații multicanal cu canale de divizare în timp, diverse dispozitive cu impulsuri și digitale etc. (vezi capitolul 19). Secvența pulsului este caracterizată de următorii parametri principali: amplitudinea pulsului A si si poate avea sensul atat de tensiune cat si de curent."> , durata sa tși și perioada T. Raportul perioadei T la durata tși a sunat ciclu de lucruși este notat cu q = T/t și. De obicei, valorile ciclului de lucru al impulsurilor variază de la câteva unități (în tehnologia de măsurare, transmisie discretă și dispozitive de procesare a informațiilor) la câteva sute sau mii (în radar).

Pentru a găsi spectrul unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare, folosim seria Fourier în formă complexă (5.6). Amplitudine complexă k a-a armonică este egală conform (5.8) după revenirea la variabila inițială t.

(5.27)

Înlocuirea valorii A kîn ecuația (5.6), obținem o expansiune într-o serie Fourier:
(5.28)

Pe fig. 5.4 arată spectrul amplitudinilor complexe pt q= 2 și q= 4. După cum se poate observa din figură, spectrul unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare este un spectru discret cu o anvelopă (linie întreruptă în Fig. 5.4), care este descris de funcția
(5.29)
numită funcţie de numărare (vezi cap. 19). Numărul de linii spectrale dintre originea de-a lungul axei frecvenței și primul zero al anvelopei este q- 1. Componenta DC a semnalului (valoare medie) , și valoarea efectivă A= , adică cu cât ciclul de lucru este mai mare, cu atât nivelul componentei constante și valoarea efectivă a semnalului sunt mai mici. Odată cu creșterea ciclului de lucru q numărul de componente discrete crește - spectrul devine mai dens (vezi Fig. 5.4, b), iar amplitudinea armonică scade mai lent. Trebuie subliniat că, în conformitate cu (5.27), spectrul secvenței considerate de impulsuri dreptunghiulare este real.

Din spectrul amplitudinilor complexe (5.27), se poate evidenția amplitudinea A k = |A k| și spectrul de fază k=arg A k prezentată în fig. 5.5 pentru carcasă q= 4. Din figuri se poate observa că spectrul de amplitudine este par, iar spectrul de fază este o funcție impară a frecvenței. Mai mult, fazele armonicilor individuale iau fie o valoare zero între noduri, unde sinusul este pozitiv, fie ±, unde sinusul este negativ (Fig. 5.5, b)

Pe baza formulei (5.28), obținem forma trigonometrică a expansiunii seriei Fourier în armonici pare (comparați cu (5.15)):
(5.30)

La deplasarea secvenței impulsurilor de-a lungul axei timpului (Fig. 5.2, b) în conformitate cu (5.13), spectrul său de amplitudine va rămâne același, dar spectrul de fază se va modifica:
(5.31)

În cazul în care secvența periodică are o formă bipolară (vezi Fig. 5.1), nu va exista o componentă constantă în spectru (comparați (5.30) și (5.31) cu (5.14) și (5.15)).

În mod similar, se poate investiga compoziția spectrală a semnalelor periodice nearmonice de altă formă. Tabelul 5.1 prezintă expansiunea Fourier a unora dintre cele mai comune semnale.

Tabelul 5.1

	Tipuri de semnal	Expansiunea Fourier
1
2
3
4
5
6

5.4. Calculul circuitelor cu efecte periodice nearmonice

Calculul circuitelor electrice liniare sub influența semnalelor periodice nearmonice se bazează pe principiul suprapunerii. Esența sa, aplicată efectelor nearmonice, este extinderea unui semnal periodic nearmonic într-una dintre formele seriei Fourier (vezi 5.1. Semnale periodice nearmonice. Expansiunea Fourier) și determinarea răspunsului circuitului de la fiecare armonică separat. Reacția rezultată se găsește prin suprapunerea (suprapunerea) reacțiilor parțiale rezultate. Astfel, calculul circuitelor sub influențe periodice nearmonice include sarcina de a analiza compoziția spectrală a semnalului (extinderea acestuia într-o serie Fourier), calcularea circuitului din fiecare componentă armonică și problema sintezei, ca urmare a care semnalul de ieșire rezultat este determinat în funcție de timp (frecvență) sau efectiv (valoarea amplitudinii).

Atunci când rezolvă o problemă de analiză, ei folosesc de obicei forma trigonometrică (5.3) sau complexă (5.6) a seriei Fourier cu un număr limitat de termeni de expansiune, ceea ce duce la o eroare în aproximarea semnalului adevărat. Coeficienți de descompunere un kȘi b kîn (5.3) sau A kȘi kîn (5.6) sunt determinate folosind ecuațiile (5.4), (5.7) și (5.8). În acest caz, semnalul de intrare f(a) trebuie specificate analitic. Dacă semnalul este specificat grafic, de exemplu, sub forma unei oscilograme, atunci pentru a găsi coeficienții de expansiune un kȘi b k se poate folosi metoda grafico-analitică (vezi (5.16)).

Calculul circuitului din armonici individuale se realizează de obicei folosind o metodă simbolică. Procedând astfel, trebuie avut în vedere faptul că k reactanța inductivă armonică X L(k) = kL, și capacitatea X C(k) = 1/(kС), adică pe k reactanța inductivă armonică în k ori mai mult, iar capacitivul k ori mai mic decât prima armonică. Acest lucru, în special, explică faptul că armonicile înalte sunt mai pronunțate în capacitate și mai slabe în inductanță decât în ​​tensiunea aplicată acestora. Rezistență activă R la frecvenţe joase şi medii pot fi considerate independente de frecvenţă.

După determinarea curenților și tensiunilor dorite din armonicile individuale, răspunsul rezultat al circuitului la un efect periodic nearmonic este găsit prin suprapunere. În acest caz, fie valoarea instantanee a semnalului rezultat este determinată pe baza calculului amplitudinilor și fazelor armonicilor individuale, fie amplitudinea sau valorile efective ale acestuia conform ecuațiilor (5.18), (5.19). La determinarea răspunsului rezultat, trebuie amintit că, în conformitate cu reprezentarea oscilațiilor periodice nearmonice pe plan complex, vectorii diferitelor armonici se rotesc cu frecvențe unghiulare diferite.

Exemplu. La circuitul prezentat în fig. 5.6 tensiune aplicată u(t) sub formă de impulsuri dreptunghiulare cu perioadă de repetare T= 2tși și amplitudine Ași \u003d 1V (a se vedea Fig. 5.3, b). Determinați valorile instantanee și efective ale tensiunii pe capacitate.

Expansiunea acestei tensiuni într-o serie Fourier este determinată de formula (5.31). Ne restrângem la primii trei termeni de expansiune (5.31): armonica k-a este o astfel de stare a unui circuit electric, constând din elemente reactive de diferite caracteristici, în care defazajul între curentul de intrare și tensiunea aplicată. k-x armonici este zero. Fenomenul de rezonanță poate fi utilizat pentru a izola armonici individuale de un semnal periodic nesinusoidal. Trebuie subliniat faptul că rezonanța curentului la o frecvență și rezonanța tensiunii la alta pot fi realizate simultan într-un circuit.

Exemplu. Pentru circuitul prezentat în fig. 5.7, pentru un 1 dat, L 1 găsiți valoare C 1 și C 2, la care rezonanța de tensiune la armonica 1 și rezonanța de curent la armonica a 5-a apar simultan.

Din condiția de rezonanță a tensiunii, aflăm că reactanța de intrare a circuitului la prima armonică ar trebui să fie zero:
(5.32)

iar pe a cincea - infinit (conductanța reactivă de intrare la a cincea armonică ar trebui să fie egală cu zero):
(5.33)

Din condițiile (5.32) și (5.33) găsim valoarea dorită a capacităților:

Descrieri generale

Matematicianul francez Fourier (J. B. J. Fourier 1768-1830) a proclamat o ipoteză destul de îndrăzneață pentru timpul său. Conform acestei ipoteze, nu există nicio funcție care să nu poată fi extinsă într-o serie trigonometrică. Cu toate acestea, din păcate, la acea vreme o astfel de idee nu era luată în serios. Și este firesc. Fourier însuși nu a fost în măsură să ofere dovezi convingătoare și este foarte dificil să crezi intuitiv în ipoteza lui Fourier. Este deosebit de dificil de imaginat faptul că atunci când se adaugă funcții simple precum funcțiile trigonometrice, sunt reproduse funcții care sunt complet diferite de acestea. Dar dacă presupunem că ipoteza Fourier este corectă, atunci un semnal periodic de orice formă poate fi descompus în sinusoide de diferite frecvențe, sau invers, prin adăugarea adecvată a sinusoidelor cu frecvențe diferite, este posibil să se sintetizeze un semnal. de orice formă. Prin urmare, dacă această teorie este corectă, atunci rolul ei în procesarea semnalului poate fi foarte mare. În acest capitol, vom încerca mai întâi să ilustrăm corectitudinea conjecturii lui Fourier.

Luați în considerare funcția

f(t)= 2sin t- păcat 2t

Serii trigonometrice simple

Funcția este suma funcțiilor trigonometrice, cu alte cuvinte, este prezentată ca o serie trigonometrică de doi membri. Adăugați un termen și creați o nouă serie de trei termeni

Adăugând din nou câțiva termeni, obținem o nouă serie trigonometrică de zece termeni:

Notăm coeficienții acestei serii trigonometrice ca b k , unde k - numere întregi. Dacă te uiți cu atenție la ultimul raport, poți vedea că coeficienții pot fi descriși prin următoarea expresie:

Atunci funcția f(t) poate fi reprezentată după cum urmează:

Cote b k - acestea sunt amplitudinile sinusoidelor cu frecventa unghiulara la. Cu alte cuvinte, ele stabilesc magnitudinea componentelor de frecvență.

Având în vedere cazul când superscriptul la este egal cu 10, adică M= 10. Creșterea valorii M până la 100, obținem funcția f(t).

Această funcție, fiind o serie trigonometrică, se apropie de un semnal din dinte de ferăstrău în formă. Și se pare că ipoteza Fourier este absolut corectă în raport cu semnalele fizice cu care avem de-a face. De asemenea, în acest exemplu, forma de undă nu este netedă, dar include puncte de întrerupere. Și faptul că funcția este reprodusă chiar și în punctele de întrerupere pare promițător.

În lumea fizică, există într-adevăr multe fenomene care pot fi reprezentate ca suma oscilațiilor diferitelor frecvențe. Un exemplu tipic al acestor fenomene este lumina. Este suma undelor electromagnetice cu o lungime de undă de 8000 până la 4000 angstroms (de la roșu la violet). Desigur, știți că dacă lumina albă este trecută printr-o prismă, atunci va apărea un spectru de șapte culori pure. Acest lucru se datorează faptului că indicele de refracție al sticlei din care este făcută prisma variază în funcție de lungimea de undă a undei electromagnetice. Aceasta este tocmai dovada că lumina albă este suma undelor luminoase de diferite lungimi. Deci, prin trecerea luminii printr-o prismă și obținerea spectrului acesteia, putem analiza proprietățile luminii prin examinarea combinațiilor de culori. În mod similar, prin descompunerea semnalului primit în diferitele sale componente de frecvență, putem afla cum a apărut semnalul inițial, ce cale a urmat sau, în cele din urmă, la ce influență externă a fost supus. Într-un cuvânt, putem obține informații pentru a afla originea semnalului.

Această metodă de analiză se numește analiza spectrală sau Analiza Fourier.

Luați în considerare următorul sistem de funcții ortonormale:

Funcţie f(t) poate fi extins în acest sistem de funcții pe intervalul [-π, π] după cum urmează:

Coeficienții α k ,β k , așa cum sa arătat mai devreme, poate fi exprimat în termeni de produse scalare:

În general, funcția f(t) poate fi reprezentat astfel:

Coeficienții α 0 , α k ,β k se numește coeficienții Fourier, iar o astfel de reprezentare a unei funcţii se numeşte expansiune într-o serie Fourier. Uneori se numește această vedere valabil expansiunea într-o serie Fourier, iar coeficienții sunt coeficienții Fourier reali. Termenul „real” este introdus pentru a distinge expansiunea prezentată de expansiunea într-o serie Fourier în formă complexă.

După cum am menționat mai devreme, o funcție arbitrară poate fi extinsă în termeni de un sistem de funcții ortogonale, chiar dacă funcțiile din acest sistem nu sunt reprezentate ca o serie trigonometrică. De obicei, expansiunea într-o serie Fourier înseamnă expansiune într-o serie trigonometrică. Dacă coeficienții Fourier sunt exprimați în termeni de α 0 , α k ,β k obținem:

Deoarece pentru k = 0 costum= 1, apoi constanta a 0 /2 exprimă forma generală a coeficientului un k la k= 0.

În relația (5.1), oscilația celei mai mari perioade, reprezentată de suma cos t si păcat t se numeşte oscilaţia frecvenţei fundamentale sau prima armonică. O oscilație cu o perioadă egală cu jumătate din perioada principală se numește a doua muzicuţă. Se numește o oscilație cu o perioadă egală cu 1/3 din perioada principală a treia armonică etc. După cum se poate vedea din relația (5.1) A 0 este o valoare constantă care exprimă valoarea medie a funcției f(t). Dacă funcţia f(t) este un semnal electric un 0 reprezintă componenta sa constantă. Prin urmare, toți ceilalți coeficienți Fourier exprimă componentele sale variabile.

Pe Fig. 5.2 prezintă semnalul și extinderea acestuia într-o serie Fourier: într-o componentă constantă și armonici de diferite frecvențe. În domeniul timpului, unde variabila este timpul, semnalul este exprimat prin funcție f(t), iar în domeniul frecvenței, unde variabila este frecvența, semnalul este reprezentat de coeficienții Fourier (a k, b k).

Prima armonică este o funcție periodică cu punct 2 π. Alte armonice au, de asemenea, o perioadă care este multiplu a lui 2 π . Pe baza acestui fapt, la formarea unui semnal din componentele seriei Fourier, obținem în mod natural o funcție periodică cu o perioadă 2 π. Și dacă este așa, atunci expansiunea într-o serie Fourier este, de fapt, o modalitate de a reprezenta funcțiile periodice.

Să extindem semnalul unui tip care apare frecvent într-o serie Fourier. De exemplu, luați în considerare curba dinților de ferăstrău menționată mai devreme (Figura 5.3). Un semnal de această formă pe un segment - π < t < π i este exprimat prin funcția f( t)= t, deci coeficienții Fourier pot fi exprimați după cum urmează:

Exemplul 1

Expansiunea seriei Fourier a unui semnal din dinți de ferăstrău

f(t) = t,

dar) Tren de impulsuri dreptunghiulare .

Fig 2. Succesiunea impulsurilor dreptunghiulare.

Acest semnal este o funcție uniformă și pentru reprezentarea sa este convenabil de utilizat forma de undă sinuso-cosinus Seria Fourier:

. (17)

Durata impulsurilor și perioada de repetare a acestora sunt incluse în formula rezultată sub forma unui raport, care se numește ciclul de lucru al trenului de impulsuri :.

. (18)

Valoarea termenului constant al seriei, luând în considerare corespunde la:

.

Reprezentarea unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare sub forma unei serii Fourier are forma:

. (19)

Graficul funcției are un caracter petală. Axa orizontală este gradată în numere armonice și în frecvențe.

Fig 3. Reprezentarea unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare

sub forma unei serii Fourier.

lățimea petalelor, măsurat în numărul de armonici, este egal cu ciclul de lucru (la , avem , dacă ). Aceasta implică o proprietate importantă a spectrului unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare - în ea nu există armonici cu numere care sunt multipli ai ciclului de lucru . Distanța de frecvență dintre armonicile adiacente este egală cu rata de repetiție a pulsului. Lățimea lobilor, măsurată în unități de frecvență, este , i.e. invers proporțional cu durata semnalului. Putem concluziona: cu cât pulsul este mai scurt, cu atât spectrul este mai larg .

b) Semnal din dinți de ferăstrău .

Fig 4. Semnal dinți de ferăstrău.

Semnalul dinți de ferăstrău într-o perioadă este descris de o funcție liniară

, . (20)

Acest semnal este o funcție ciudată, astfel încât seria sa Fourier în formă sinus-cosinus conține doar componente sinusoidale:

Seria Fourier a semnalului dinți de ferăstrău are forma:

Pentru spectrele semnalelor dreptunghiulare și dinți de ferăstrău, este tipic ca amplitudinile armonicilor cu numere tot mai mari scade proportional .

în) Secvență de impulsuri triunghiulare .

Seria Fourier are forma:

Fig 5. O succesiune de impulsuri triunghiulare.

După cum puteți vedea, spre deosebire de o secvență de impulsuri dreptunghiulare și dinți de ferăstrău, pentru un semnal periodic triunghiular, amplitudinile armonicilor scad proporțional cu puterea a doua a numerelor armonice. Acest lucru se datorează faptului că rata de dezintegrare a spectrului depinde de gradul de netezime al semnalului.

Cursul numărul 3. transformata Fourier.

Proprietăți transformate Fourier.

Forme din seria Fourier. Semnalul este apelat periodic, dacă forma sa se repetă ciclic în timp Semnal periodic u(t) in general se scrie asa:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,...

Aici T este perioada semnalului. Semnalele periodice pot fi atât simple, cât și complexe.

Pentru reprezentarea matematică a semnalelor periodice cu perioadă T folosiți adesea seria (2.2), în care sunt alese ca funcții de bază oscilațiile armonice (sinusoidale și cosinus) ale frecvențelor multiple.

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …, (2.3)

unde w 1 \u003d 2p / T este frecvența unghiulară principală a secvenței

funcții. Cu funcții de bază armonică, din seria (2.2) obținem seria Fourier (Jean Fourier - matematician și fizician francez al secolului al XIX-lea).

Funcţiile armonice de forma (2.3) din seria Fourier au următoarele avantaje: 1) o descriere matematică simplă; 2) invarianța la transformările liniare, adică dacă la intrarea unui circuit liniar acționează o oscilație armonică, atunci la ieșirea acestuia va exista și o oscilație armonică, care diferă de intrare doar în amplitudine și fază inițială; 3) ca un semnal, funcțiile armonice sunt periodice și au o durată infinită; 4) Tehnica de generare a funcțiilor armonice este destul de simplă.

Din cursul de matematică se știe că pentru a extinde un semnal periodic într-o serie în termeni de funcții armonice (2.3), trebuie îndeplinite condițiile Dirichlet. Dar toate semnalele periodice reale îndeplinesc aceste condiții și pot fi reprezentate ca o serie Fourier, care poate fi scrisă în una dintre următoarele forme:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

unde coeficienți

A 0 =

Amn"= (2.5)

u(t)=A0/2+ (2.6)

A mn = (2.7)

sau în formă complexă

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

Din (2.4) - (2.9) rezultă că, în cazul general, semnalul periodic u(t) conţine o componentă constantă A 0 /2 şi un set de oscilaţii armonice ale frecvenţei fundamentale w 1 =2pf 1 şi armonicele sale. cu frecvențele wn =nw 1 , n=2 ,3,4,... Fiecare dintre armonici

oscilațiile seriei Fourier se caracterizează prin amplitudine și faza inițială y n .nn

Diagrama spectrală și spectrul unui semnal periodic. Dacă orice semnal este prezentat ca o sumă de oscilații armonice cu frecvențe diferite, atunci ei spun asta descompunerea spectrală semnal.

Diagrama spectrală semnalul se numește reprezentare grafică a coeficienților din seria Fourier a acestui semnal. Există diagrame de amplitudine și fază. Pe fig. 2.6 pe o anumită scară, frecvențele armonice sunt reprezentate de-a lungul axei orizontale, iar amplitudinile lor A mn și fazele y n sunt reprezentate de-a lungul axei verticale. Mai mult, amplitudinile armonicilor pot lua doar valori pozitive, fazele - atat valori pozitive cat si negative in intervalul -p£y n £p

Spectrul de semnal- acesta este un ansamblu de componente armonice cu valori specifice de frecvențe, amplitudini și faze inițiale, formând un semnal în total. În aplicațiile tehnice în practică, diagramele spectrale sunt numite mai pe scurt - spectru de amplitudine, spectru de fază. Cel mai adesea ei sunt interesați de diagrama spectrală de amplitudine. Poate fi folosit pentru a estima procentul de armonici din spectru.

Exemplu 2.3. Extindeți într-o serie Fourier o secvență periodică de impulsuri video dreptunghiulare din parametri cunoscuți (Um,T,tz), chiar „Relativ la punctul t=0. Construiți o diagramă spectrală a amplitudinilor și fazelor la U m =2B, T=20ms, S=T/t și =2 și 8.

Un semnal periodic dat pe un interval de o perioadă poate fi scris ca

u(t) =

Pentru a reprezenta acest semnal, vom folosi forma seriei Fourier în forma (2.4). Deoarece semnalul este uniform, doar componentele cosinus vor rămâne în expansiune.

Orez. 2.6. Diagrame spectrale ale unui semnal periodic:

a - amplitudine; b- faza

Integrala unei funcții impare pe o perioadă egală cu zero. Folosind formulele (2.5), găsim coeficienții

permițând să scrie seria Fourier:

Pentru a construi diagrame spectrale pentru date numerice specifice, setăm n=0, 1, 2, 3, ... și calculăm coeficienții armonici. Rezultatele calculului primelor opt componente ale spectrului sunt rezumate în tabel. 2.1. În serie (2.4) A "mn \u003d 0 iar conform (2.7) A mn =|A’ mn |, frecvența fundamentală f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314rad/s. Spectrul de amplitudine din fig.

2.7 este construit pentru acestea n, sub care Un mn mai mare de 5% din valoarea maximă.

Din exemplul 2.3 de mai sus rezultă că odată cu creșterea ciclului de lucru, numărul componentelor spectrale crește și amplitudinile acestora scad. Se spune că un astfel de semnal are un spectru bogat. Trebuie remarcat faptul că pentru multe semnale utilizate practic, nu este nevoie să se calculeze amplitudinile și fazele armonicilor folosind formulele date anterior.

Tabelul 2.1. Amplitudini ale componentelor seriei Fourier ale unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare

Orez. 2.7. Diagrame spectrale ale unui tren periodic de impulsuri: dar- cu ciclu de lucru S-2; - b-cu duty cycle S=8

În cărțile de referință matematică există tabele de expansiuni ale semnalelor dintr-o serie Fourier. Unul dintre aceste tabele este prezentat în Anexă (Tabelul A.2).

Adesea apare întrebarea: câte componente spectrale (armonice) ar trebui luate pentru a reprezenta un semnal real într-o serie Fourier? La urma urmei, serialul este, strict vorbind, infinit. Un răspuns clar nu poate fi dat aici. Totul depinde de forma semnalului și de acuratețea reprezentării acestuia de către seria Fourier. Schimbare mai ușoară a semnalului - sunt necesare mai puține armonice. Dacă semnalul are salturi (discontinuități), atunci trebuie însumate mai multe armonice pentru a obține aceeași eroare. Cu toate acestea, în multe cazuri, de exemplu, în telegrafie, se crede că trei armonice sunt suficiente pentru transmiterea impulsurilor dreptunghiulare cu fronturi abrupte.