Dintre diferitele sisteme de funcții ortogonale care pot fi folosite ca baze pentru reprezentare semnale radio, un loc excepțional îl ocupă funcțiile armonice (sinus și cosinus). Importanța semnalelor armonice pentru ingineria radio se datorează mai multor motive.

În special:

1. Semnalele armonice sunt invariante în raport cu transformările efectuate prin liniare staționară circuite electrice. Dacă un astfel de circuit este excitat de o sursă vibratii armonice, atunci semnalul la ieșirea circuitului rămâne armonic cu aceeași frecvență, diferind de semnalul de intrare doar în amplitudine și faza initiala.

2. Tehnica de generare a semnalelor armonice este relativ simplă.

Dacă orice semnal este reprezentat ca o sumă de oscilații armonice cu frecvente diferite, apoi se spune - că descompunerea spectrală a acestui semnal a fost efectuată. Componentele armonice individuale ale unui semnal formează spectrul acestuia.

2.1. Semnale periodice și seriile Fourier

Modelul matematic al unui proces care se repetă în timp este un semnal periodic cu următoarea proprietate:

Aici T este perioada semnalului.

Sarcina este de a găsi descompunerea spectrală a unui astfel de semnal.

Seria Fourier.

Să stabilim intervalul de timp considerat în cap. I baza ortonormala formata din functii armonice cu frecvente multiple;

Orice funcție din această bază satisface condiția de periodicitate (2.1). Prin urmare, - după efectuarea unei extinderi ortogonale a semnalului pe această bază, adică după calcularea coeficienților

obținem descompunerea spectrală

valabil pe parcursul infinitului axei timpului.

O serie de forma (2.4) se numește seria Fourier a unui semnal dat. Să introducem frecvența fundamentală a secvenței care formează un semnal periodic. Calculând coeficienții de expansiune prin formula (2.3), scriem seria Fourier pentru semnalul periodic

cu coeficienți

(2.6)

Deci in caz general un semnal periodic conține o componentă constantă independentă de timp și un set infinit de oscilații armonice, așa-numitele armonice cu frecvențe care sunt multipli ai frecvenței fundamentale a secvenței.

Fiecare armonică poate fi descrisă prin amplitudinea și faza sa inițială.Pentru a face acest lucru, coeficienții seriei Fourier ar trebui să fie scriși ca

Înlocuind aceste expresii în (2.5), obținem o altă formă echivalentă a seriei Fourier:

ceea ce uneori este mai convenabil.

Diagrama spectrală a unui semnal periodic.

Așa se numește imagine grafică coeficienții seriei Fourier pentru un anumit semnal. Există diagrame spectrale de amplitudine și fază (Fig. 2.1).

Aici, frecvențele armonice sunt reprezentate pe o anumită scară de-a lungul axei orizontale, iar amplitudinile și fazele inițiale ale acestora sunt prezentate de-a lungul axei verticale.

Orez. 2.1. Diagrame spectrale oarecare semnal periodic: a - amplitudine; b - faza

Interesat în special de diagrama de amplitudine, care vă permite să judecați procentul anumitor armonici în spectrul unui semnal periodic.

Să ne uităm la câteva exemple specifice.

Exemplul 2.1. Seria Fourier a unei secvențe periodice de impulsuri video dreptunghiulare cu parametri cunoscuți, chiar și în raport cu punctul t = 0.

În inginerie radio, raportul se numește ciclu de lucru al secvenței. Prin formulele (2.6) găsim

Este convenabil să scrieți formula finală a seriei Fourier în formă

Pe fig. 2.2 prezintă diagramele de amplitudine ale secvenței considerate în două cazuri extreme.

Este important de menționat că o secvență de impulsuri scurte, care se succed destul de rar, are o compoziție spectrală bogată.

Orez. 2.2. Spectrul de amplitudine al unei secvențe periodice de impulsuri video dreptunghiulare: a - cu un ciclu de lucru mare; b - cu ciclu de lucru redus

Exemplul 2.2. Seria Fourier a unui tren periodic de impulsuri format din semnal armonic specii mărginite la nivel (se presupune că ).

Introducem un parametru special - unghiul de tăiere , determinat din relația de unde

În conformitate cu aceasta, valoarea este egală cu durata unui impuls, exprimată în măsură unghiulară:

Notarea analitică a impulsului care generează succesiunea considerată are forma

Secvența DC

Factorul de creastă al primei armonice

În mod similar, amplitudinile componentelor armonice sunt calculate la

Rezultatele sunt de obicei scrise astfel:

unde sunt așa-numitele funcții Berg:

Graficele unor funcții Berg sunt prezentate în fig. 2.3.

Orez. 2.3. Grafice ale mai multor funcții prime Berg

Forma complexă a seriei Fourier.

Descompunerea spectrală a unui semnal periodic poate fi realizată și oarecum ionic, folosind un sistem de funcții de bază constând din exponențiale cu exponenți imaginari:

Este ușor de observat că funcțiile acestui sistem sunt periodice cu o perioadă și sunt ortonormale pe intervalul de timp, deoarece

Seria Fourier a unui semnal periodic arbitrar în acest caz ia forma

cu coeficienți

De obicei se folosește următoarea formă:

Expresia (2.11) este o serie Fourier în formă complexă.

Spectrul semnalului conform formulei (2.11) conține componente pe semiaxa frecvenței negative și . În seria (2.11), termenii cu frecvențe pozitive și negative sunt combinați în perechi, de exemplu: și sumele vectorilor sunt construite - în direcția creșterii unghiului de fază, în timp ce vectorii se rotesc în direcție opusă. Sfârșitul vectorului rezultat în fiecare moment în timp determină valoarea curentă a semnalului.

O astfel de interpretare ilustrativă a descompunerii spectrale a unui semnal periodic va fi folosită în secțiunea următoare.

Extindere în seria Fourier semnale periodice. După cum sa menționat mai sus, o funcție periodică de orice formă, dată pe un interval de o perioadă T \u003d b-a și care satisface condițiile Dirichlet pe acest interval (limitată, continuă pe bucăți, cu un număr finit de discontinuități de primul fel), poate fi reprezentată ca o serie Fourier:

s(t) = S n exp(jnDwt), S n = S(nDw), Dw = 2p/T, (1)

unde coeficienții de ponderare S n ai seriei sunt determinați prin formula:

S n = (1/T) s(t) exp(-jnDwt) dt. (2)

Seria Fourier este un ansamblu de exponenți complecși exp(jnDwt) cu frecvenţele formând o progresie aritmetică. Funcția de ponderare S(nDw) se numește de obicei spectrul complex al unui semnal periodic sau transformata Fourier a funcției s(t). Spectrul unui semnal periodic este o funcție discretă, deoarece este definit numai pentru valori întregi ale lui n cu o treaptă de frecvență reciprocă a perioadei: Dw = 2p/T(sau Df = 1/T). Prima componentă de frecvență a spectrului la n = 1, egală cu w 1 = 1×Dw = 2p/T(sau f 1 = 1/T), sunt numite de bază frecvența semnalului (prima armonică), alte frecvențe spectru discret n.w. 1 pentru n>1 se numesc armonici de semnal. Valori S(nDw) pe pozitive şi valori negative n sunt conjugate complexe.

Din punct de vedere pur matematic, setul de funcții exp(jnDwt), -¥ < n < ¥ образует бесконечномерный базис линейного пространства L 2 ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициенты S n по (2) представляют собой проекции сигнала s(t) на эти funcții de bază. În consecință, semnalul s(t) sub forma unei serii Fourier (1) este un vector cu dimensiuni infinite în spațiul L 2 , un punct cu coordonatele S n de-a lungul axelor de bază ale spațiului exp(jnDwt). Integrandul exponentului din expresia (2) folosind identitatea lui Euler

exp(±jwt) = cos(wt) ± j×sin(wt)

poate fi descompus în componente cosinus și sinus și exprimă spectrul complex ca părți reale și imaginare:

S n \u003d (1 / T) s (t) dt \u003d A n - jB n. (3)

A n ≡ A(nDw) = (1/T) s(t) cos(nDwt) dt, (4)

Bn ≡ B(nDw) = (1/T)s(t)sin(nDwt)dt. (cinci)

Pe fig. Figura 4 prezintă un exemplu de semnal periodic (impuls dreptunghiular în intervalul (1-3.3), care se repetă cu o perioadă de T=40) și forma părților reale și imaginare ale spectrului său. Rețineți că partea reală a spectrului este o funcție pară A(nDw) = A(-nDw) față de zero, deoarece funcția cosinus par cos(nDwt) = cos(-nDwt ). Partea imaginară a spectrului este o funcție impară B(nDw) = -B(-nDw), deoarece funcția sinus impară sin(nDwt) = -sin(-nDwt) este utilizată pentru a o calcula folosind (5).

Orez. 4. Semnalul și spectrul său complex.

Numere complexe funcția discretă (3) poate fi reprezentată ca module și argumente ale complexului. exponențial, care dă următoarea formă a spectrului complex:

S n = R n exp(jj n), (3")

Rn2 ≡ R2 (nDw) = A2 (nDw)+B2 (nDw),j n ≡ j(nDw) = arctg(-B(nDw)/A(nDw)).

Orez. 5. Modulul și argumentul spectrului.

Modulul spectrului R(nDw) se numește spectrul de amplitudine cu două fețe sau răspunsul în frecvență al semnalului, iar argumentul spectrului (secvența unghiurilor de fază j(nDw)) se numește spectru de fază cu două fețe sau PFC. Spectrul de amplitudine este întotdeauna o funcție pară: R(nDw) = R(-nDw), iar spectrul de fază este o funcție impară: j(nDw) = -j(-nDw). Un exemplu de spectru de reprezentare în amplitudine și fază pentru semnalul prezentat în fig. 4 este prezentat în fig. 5. Când se ia în considerare spectrul fazelor, trebuie luată în considerare periodicitatea 2p a frecvenței unghiulare (când valoarea fazei scade la o valoare mai mică de -p, valoarea -2p se resetează).

Dacă funcția s(t) este pară, atunci toate valorile lui B(nDw) cu (5) sunt egale cu zero, deoarece chiar și funcții ortogonală armonici sinus și integrandul s(t) sin(nDwt) dă o integrală zero. Prin urmare, spectrul funcției va fi reprezentat doar prin coeficienți reali. Dimpotrivă, atunci când funcția s(t) este impară, toate valorile coeficienților А(nDw) sunt setate la zero (funcții impare la armonici cosinus ortogonale) și spectrul este pur imaginar. Acest factor nu depinde de alegerea limitelor pentru setarea perioadei funcției pe axa reală. Pe fig. 6(A) se vede clar ortogonalitatea primei armonice a sinusului și a funcției pare, iar în fig. 6(B), respectiv cosinus și funcții impare într-o perioadă. Luând în considerare multiplicitatea de frecvență a armonicilor ulterioare ale primei armonici a spectrului, ortogonalitatea este păstrată pentru toate armonicile din seria Fourier.

Orez. 6. Ortogonalitatea funcţiilor.

Pentru n = 0, avem B o = 0 și obținem componenta constantă a semnalului:

S 0 ≡ A o ≡ R o ≡ (1/T) s(t) dt.

2.5. Forma trigonometrică a seriei Fourier .

Combinând componente complexe conjugate (termeni ai seriei care sunt simetrici față de termenul central al seriei S 0), putem merge la seria Fourier în formă trigonometrică:

s(t) \u003d A o +2 (A n cos (nDwt) + B n sin (nDwt)), (6)
s(t) \u003d A o +2 R n cos (nDwt + j n). (6")

Valorile A n , B n sunt calculate prin formule (4-5), valorile R n și j n - prin formule (3").

Seria (6) este extinderea semnalului periodic s(t) în suma funcțiilor armonice elementare reale (cosinus și sinus) cu coeficienți de greutate, ale căror valori dublate (adică valorile 2×A n , 2×B n) nu sunt altceva, ca amplitudinile oscilațiilor armonice corespunzătoare cu frecvențele nDw. Agregat valorile amplitudinii dintre aceste armonice formează un spectru de semnal unilateral real (numai pentru frecvențele pozitive nDw). Pentru semnalul din fig. 4, de exemplu, repetă complet jumătatea dreaptă a spectrelor prezentate în figură cu amplitudini dublate (cu excepția valorii lui Ao la frecvența zero, care, după cum urmează din (6), nu este dublată). Dar așa afisaj grafic spectrele sunt rareori utilizate (cu excepția pur aplicatii tehnice). Formula (6") găsește o aplicație mai largă pentru afișarea spectrelor fizice reale. Spectrul de amplitudine al armonicilor cosinus cu un astfel de afișaj se numește compoziția amplitudine-frecvență a semnalului, iar spectrul unghiurilor de fază ale armonicilor este caracteristica de fază. a semnalului.Forma spectrelor repetă jumătatea dreaptă a spectrelor cu două fețe corespunzătoare (vezi Fig. (Fig. 5), de asemenea, cu amplitudini dublate.Pentru semnale uniforme, citirile spectrului de fază pot lua doar valorile 0 sau p, pentru semnale impare, respectiv, ±p/2.

Seria Fourier de semnale periodice analogice arbitrare poate conține infinit un numar mare de membrii. Cu toate acestea, unul dintre avantajele importante ale transformării Fourier este că atunci când seria Fourier este limitată (trunchiată) la orice număr finit de termeni ai săi, se oferă cea mai bună aproximare a funcției inițiale în ceea ce privește eroarea pătratică medie (pentru cantitate dată membri).

Graficul superior din figura 7 arată semnalul reconstruit la N = 8 (armonici ale primului vârf al spectrului, al cărui centru corespunde armonicii principale a semnalului și termenului n = w s /Dw), N = 16 ( armonicele primelor două vârfuri) și N=40 (primele cinci vârfuri de spectru). Desigur, cu cât mai mulți membri ai seriei sunt incluși în reconstrucție, cu atât semnalul reconstruit este mai aproape de forma semnalului original. Principiul aproximării succesive față de forma originală este clar vizibil în graficul de jos al figurii. Pe ea, se pot vedea, de asemenea, motivele apariției pulsațiilor în reconstrucția salturilor de funcție, care sunt numite efectul Gibbs. La modificarea numărului de termeni însumați ai seriei, efectul Gibbs nu dispare. Amplitudinea relativă a ondulației (în raport cu amplitudinea saltului) și atenuarea relativă (în funcție de coeficientul de scădere succesivă a amplitudinii ondulației față de supratensiunea maximă) nu se modifică, de asemenea, doar frecvența pulsației, care este determinată de frecvență. ale ultimelor armonice însumate, modificări.

Efectul Gibbs are loc întotdeauna în cazul unor încălcări accentuate ale monotonității funcțiilor. La salturi, efectul este maxim; în toate celelalte cazuri, amplitudinea pulsațiilor depinde de natura încălcării monotonității funcției.

O funcție arbitrară neperiodică dată (limitată, tăiată dintr-un alt semnal etc.) pe intervalul (a,b) se poate extinde și ea într-o serie Fourier, dacă nu ne interesează comportamentul ei în afara acestui interval. Cu toate acestea, trebuie amintit că utilizarea formulelor (1-6) înseamnă automat continuarea periodică a acestei funcții în afara interval specificat(pe ambele părți ale acestuia) cu o perioadă T = b-a. Totuși, în același timp, fenomenul Gibbs poate apărea la marginile intervalului dacă nivelul semnalului de la margini nu se potrivește și se formează salturi de semnal în timpul repetății sale periodice, așa cum se poate observa în Fig. 8. Când extindeți funcția originală într-o serie Fourier mărginită și procesați-o în domeniul de frecventa de fapt, nu procesează functia originala, dar reconstruit dintr-o serie Fourier limitată. Când seriile Fourier sunt trunchiate, există întotdeauna o anumită distorsiune a funcțiilor. Dar pentru o mică parte din energia părții tăiate a semnalului (cu decădere rapidă a spectrelor de funcție), acest efect poate fi greu de observat. Pe salturi și discontinuități ale funcțiilor se manifestă cel mai clar.

Orez. 7. Reconstituirea (restaurarea) semnalului

Orez. 8. Manifestarea efectului Gibbs

Informații similare.

Expansiunea Fourier poate fi aplicată semnalelor periodice. Mai mult, ele sunt reprezentate ca o sumă de funcții armonice, sau exponențiale complexe cu frecvențe care formează o progresie aritmetică. Pentru ca o astfel de descompunere să existe, un fragment de semnal cu o durată de o perioadă trebuie să îndeplinească condițiile Dirichlet:

1. Nu ar trebui să existe discontinuități de al doilea fel (cu ramuri ale funcției mergând la infinit).

2. Numărul de pauze de primul fel (sărituri) trebuie să fie finit.

Numărul de extreme trebuie să fie finit.

Seria Fourier poate fi folosită pentru a reprezenta nu numai semnale periodice, ci și semnale cu durată finită. În același timp, este specificat intervalul de timp pentru care este construită seria Fourier, iar alteori semnalul este considerat. zero. Pentru a calcula coeficienții seriei, această abordare înseamnă de fapt o continuare periodică a semnalului dincolo de limitele intervalului considerat.

Metodele Fourier sunt folosite pentru a analiza circuite sau sisteme liniare: pentru a prezice reacția (răspunsul) sistemului; pentru a determina funcția de transfer; pentru a evalua rezultatele testelor.

Un semnal periodic arbitrar este exprimat în termeni de un număr infinit de armonici cu frecvențe crescătoare:

			membrii de bază;
			termeni armonici (pentru n > 1, n este un număr întreg);
			coeficienți armonici;
			termen constant sau componentă de curent continuu.

Perioada de funcționare
ar trebui să fie egală 2π sau un multiplu; pe langa functie
trebuie să fie lipsit de ambiguitate.Seria Fourier poate fi considerată ca o „rețetă pentru pregătirea” oricărui semnal periodic din componente sinusoidale. La această serie a fost de importanță practică, trebuie să converge, adică sumele parțiale ale seriei trebuie să aibă o limită.

Procesul de creare a unui semnal periodic arbitrar din coeficienții care descriu amestecarea armonicilor se numește sinteză. Procesul invers de calcul al coeficienților se numește analiză. Calculul coeficienților este facilitat de faptul că media produselor încrucișate ale unei unde sinusoide și cosinus (și invers) este 0.

Să introducem o bază în spațiul Hilbert:
Pentru simplitate, vom presupune că este ortonormal.

Apoi orice funcție
din spațiul Hilbert poate fi reprezentat în termeni de proiecții vector X pe axa de bază după seria Fourier generalizată:

Serii Fourier sunt utile în special în descrierea semnalelor periodice arbitrare cu o energie finită în fiecare perioadă. În plus, ele pot fi utilizate pentru a descrie semnale neperiodice care au o energie finită pe un interval finit. În practică, integrala Fourier este utilizată pentru a descrie astfel de semnale.

constatări

1. Seria Fourier este utilizată pe scară largă pentru a descrie semnale periodice. Integrala Fourier este folosită pentru a descrie semnale neperiodice.

Concluzie

1. Mesaje, semnale și interferențe ca vectori (puncte) în spațiu liniar poate fi descris în termenii unui set de coordonate într-o bază dată.

2. Pentru TPP cel mai mare interes reprezintă spațiul euclidian n-dimensional la afișarea semnalelor
, spațiu Hilbert infinit
și spațiul discret Hamming 2 n. În aceste spații se introduce conceptul de produs scalar a doi vectori (X, y) .

3. Oricare functie continua timpul ca element poate fi reprezentat printr-o serie Fourier generalizată într-o bază ortonormală dată.

Literatură

Principal:

Teorie comunicare electrică: Proc. Pentru universități / A.G. Zyuko, D. D. Klovsky, V.I. Korzhik, M. V. Nazarov; Ed. D. D. Klovsky. - M.: Radio și comunicare, 1998. - 433 p.

Adiţional:

Prokis J. Comunicare digitală: Per. din engleza. / Ed. D.D. Klovsky. - M .: Radio și comunicare, 2000. - 800 p.

Bernard Sklar. Comunicare digitală. Fundamente teoretice și aplicare practică: Per. din engleza. – M.: Editura„Williams”, 2003. - 1104 p.

Sukhorukov A.S. Teoria comunicației electrice: Note de curs. Partea 1. - M.: MTUCI, CENTRUL PENTRU, 2002. - 65 p.

Sukhorukov A.S. Teorie comunicare digitală: Tutorial. Partea 2. - M.: MTUSI, 2008. - 53 p.

LABORATORUL #1

EXPANSIUNI DE SEMNALE ÎNTR-O SERIE FOURIER

Scopul misiunii

Familiarizați-vă cu exemple de extindere a semnalelor într-o serie Fourier și implementați practic expansiunea alt fel semnale în sistemul MatLab.

Formularea problemei

Efectuați extinderi ale semnalelor de diferite tipuri într-o serie Fourier. Următoarele semnale sunt supuse descompunerii: o secvență de impulsuri dreptunghiulare, o undă pătrată, un semnal cu dinți de ferăstrău și o secvență de impulsuri triunghiulare.

Pentru fiecare opțiune și fiecare tip de semnal sunt setați următorii parametri:

pentru o secvență de impulsuri dreptunghiulare - amplitudine, perioadă de repetiție și durata pulsului;

pentru un meandre, un semnal din dinte de ferăstrău și o secvență de impulsuri triunghiulare - amplitudinea și perioada de repetare a impulsurilor.

Pentru toate tipurile de semnale, este specificat numărul de armonici diferite de zero.

Scrieți programe în sistemul MatLab și trasați grafice.

Formularea problemei.

Cod de program pentru descompunerea unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare, undă pătrată, semnal dinți de ferăstrău și o secvență de impulsuri triunghiulare.

Rezultatele execuției programului sunt grafice ale etapelor intermediare de însumare.

Instrucțiuni

Seria Fourier

Expansiunea Fourier poate fi aplicată semnalelor periodice. Mai mult, ele sunt reprezentate ca o sumă de funcții armonice sau exponențiale complexe cu frecvențe care formează o progresie aritmetică.

Seria Fourier poate fi aplicată pentru a reprezenta nu numai semnale periodice, ci și semnale cu durată finită. În acest caz, este specificat intervalul de timp pentru care este construită seria Fourier, iar în alte momente semnalul este considerat a fi egal cu zero. Pentru a calcula coeficienții seriei, această abordare înseamnă de fapt o continuare periodică a semnalului dincolo de limitele intervalului considerat.

Forma de undă sinuso-cosinus

În această versiune, seria Fourier are următoarea formă:

Aici
este frecvența circulară corespunzătoare perioadei de repetare a semnalului egală cu . Frecvențele incluse în formulă sunt multipli ale acesteia
se numesc armonici, armonicele sunt numerotate conform indicelui ; frecvență
numit a-a armonică a semnalului. Coeficienți de serie și se calculează după formulele:

,

.

Constant calculat conform formula generala pentru . Acest termen în sine este valoarea medie a semnalului pe perioada:

.

Dacă
este o funcție uniformă, atunci toate va fi egal cu zero și numai termenii cosinus vor fi prezenți în formula seriei Fourier. Dacă
este o funcție impară, coeficienții cosinus iar în formulă vor rămâne numai termeni sinus.

SECVENȚA DE PULSURI DREPTANGULARE

Urmare impulsuri dreptunghiulare cu amplitudine , durată si perioada de repetitie .

Orez. 1 Tren periodic de impulsuri dreptunghiulare

Acest semnal este o funcție uniformă, deci pentru reprezentarea sa este mai convenabil să folosiți forma sinus-cosinus a seriei Fourier - va conține numai termeni cosinus , egal cu

.

Se numește raportul dintre perioada și durata impulsurilor ciclu de lucru al trenului de impulsuriși notat cu scrisoarea :
.

Reprezentarea unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare sub forma unei serii Fourier:

.

Amplitudinile termenilor armonici ai seriei depind de numărul armonici.

MEANDRU

Un caz special al semnalului anterior este meandre- o succesiune de impulsuri dreptunghiulare cu un duty cycle egal cu doi, când duratele impulsurilor și intervalele dintre ele devin egale (Fig. 2).

Orez. 2 Meandru

La
, primim

Aici m este un număr întreg arbitrar.

Când sunt extinse într-o serie Fourier, chiar și componentele vor fi absente.

SEMNAL DE SAWTOCK

În cadrul perioadei, este descris de o funcție liniară:

Orez. 3. Semnal din dinți de ferăstrău

Acest semnal este o funcție ciudată, astfel încât seria lui Fourier în formă sinus-cosinus va conține numai termeni sinus:

.

Seria Fourier pentru semnalul dinți de ferăstrău în sine arată astfel:

SECVENȚA DE PULSURI TRIANGULARE

Fig.4. Secvență de impulsuri triunghiulare

Semnalul este o funcție uniformă, astfel încât componentele cosinus vor fi prezente.

Să calculăm coeficienții seriei Fourier:

Seria Fourier în sine are următoarea formă:

După cum puteți vedea, spre deosebire de secvențele de impulsuri dreptunghiulare și dinți de ferăstrău, pentru un semnal periodic triunghiular, amplitudinile armonicilor scad proporțional cu puterea a doua a numerelor armonice. .

Cod program pentru meander

N=8; % numărul de armonici diferite de zero

t= -1:0,01:1; % vector de timp

A=1; % amplitudine

T= 1; perioada %

nh=(1:N)*2-1; % numărul de armonici diferite de zero

armonici = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am=2/pi./nh; % amplitudinea armonicilor

Am(2:2:sfârșit) = -Am(2:2:sfârșit); % alternanță de caractere

s1 = armonici .* repmat(Am", 1, lungime(t));

linie % - sume parțiale ale armonicilor

pentru k=1:N, subplot(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), final

R
rezultatul programului

Comentarii :repmat- creație matricea blocurilor sau o matrice de blocuri multidimensionale de blocuri identice. repmat(Am", 1,length(t)) - matricea constă din 1 bloc pe verticală și lungime(t) blocuri pe orizontală, fiecare bloc este o matrice Am".

Cumsum– calculul sumelor parțiale de elemente.

Subplot (Rânduri, cols, N) – comandă pentru a afișa mai multe grafice. Fereastra grafică este împărțită în celule sub forma unei matrice având Rânduri– linii, cols– coloane, și N– celula devine curentă.

Opțiuni

№ opțiune	Parametri pentru semnale
	–amplitudinea semnalului	–perioada de repetare a semnalului	–durata semnalului	–numărul de armonici diferite de zero

Remarci introductive

LA aceasta sectiune se va avea în vedere reprezentarea semnalelor periodice folosind o serie Fourier. Seriile Fourier stau la baza teoriei analiza spectrală, deoarece, așa cum vom vedea mai târziu, transformata Fourier a unui semnal neperiodic poate fi obținută ca tranziție limită a seriei Fourier cu o perioadă de repetare infinită. Ca urmare, proprietățile seriei Fourier sunt valabile și pentru transformata Fourier a semnalelor neperiodice.

Vom lua în considerare expresiile pentru seria Fourier în forme trigonometrice și complexe și, de asemenea, vom acorda atenție condițiilor Dirichlet pentru convergența seriei Fourier. În plus, ne vom opri în detaliu asupra explicației unui astfel de concept, cum ar fi frecvența negativă a spectrului de semnal, care provoacă adesea dificultăți atunci când se familiarizează cu teoria analizei spectrale.

Semnal periodic. Seria Fourier trigonometrică

Să existe un semnal periodic în timp continuu, care se repetă cu o perioadă c, adică. , unde este un întreg arbitrar.

Ca exemplu, Figura 1 prezintă o secvență de impulsuri dreptunghiulare de durata c, care se repetă cu o perioadă de c.

Figura 1. Succesiunea periodică

Impulsuri dreptunghiulare

De la curs analiză matematică se ştie că sistemul de funcţii trigonometrice

cu frecvențe multiple, unde rad / s, este un număr întreg, se formează baza ortonormala pentru extinderea semnalelor periodice cu o perioadă care satisface condiţiile Dirichlet.

Condițiile Dirichlet pentru convergența seriei Fourier necesită ca un semnal periodic să fie dat pe segmentul , cu îndeplinirea următoarelor condiții:

De exemplu, funcția periodică nu satisface conditiile Dirichlet, deoarece functia are discontinuități de al doilea fel și ia valori infinite pentru , unde este un întreg arbitrar. Deci funcția nu poate fi reprezentat printr-o serie Fourier. De asemenea, puteți da un exemplu de funcție , care este mărginit, dar nici nu îndeplinește condițiile Dirichlet, deoarece are un număr infinit de puncte extreme pe măsură ce se apropie de zero. Graficul funcției prezentat în figura 2.

Figura 2. Graficul funcției :

A - două perioade de repetare; b - în vecinătate

Figura 2a prezintă două perioade de repetare ale funcției , iar în Figura 2b este zona din vecinătatea . Se poate observa că la apropierea de zero, frecvența de oscilație crește la infinit, iar o astfel de funcție nu poate fi reprezentată printr-o serie Fourier, deoarece nu este monotonă pe bucăți.

Trebuie remarcat faptul că în practică nu există semnale cu valori infinite curent sau tensiune. Functioneaza cu un număr infinit extreme de tipul De asemenea, în sarcini aplicate nu se intalnesc. Toate semnalele periodice reale satisfac condițiile Dirichlet și pot fi reprezentate printr-o serie Fourier trigonometrică infinită de forma:

În expresia (2), coeficientul specifică componenta constantă a semnalului periodic .

În toate punctele în care semnalul este continuu, seria Fourier (2) converge către valorile semnalului dat, iar în punctele de discontinuitate de primul fel, la valoarea medie, unde și sunt limitele la stânga și la dreapta a punctului de discontinuitate, respectiv.

De asemenea, se știe din cursul analizei matematice că utilizarea unei serii Fourier trunchiate care conține doar primii termeni în loc de o sumă infinită duce la o reprezentare aproximativă a semnalului:

care asigură eroarea pătratică medie minimă. Figura 3 ilustrează aproximarea unui tren de undă pătrată periodică și a unei forme de undă periodică din dinte de ferăstrău folosind numere diferite de termeni din seria Fourier.

Figura 3. Aproximarea semnalelor printr-o serie Fourier trunchiată:

A - impulsuri dreptunghiulare; b - semnal din dinți de ferăstrău

Seria Fourier în formă complexă

În paragraful anterior, am luat în considerare seria Fourier trigonometrică pentru extinderea unui semnal periodic arbitrar care satisface condițiile Dirichlet. Folosind formula lui Euler, putem arăta:
Apoi seria Fourier trigonometrică (2) ținând cont de (4):

Astfel, un semnal periodic poate fi reprezentat prin suma unei componente DC și a exponenților complecși care se rotesc la frecvențe cu coeficienți pentru frecvențe pozitive și pentru exponenți complecși care se rotesc la frecvențe negative.

Luați în considerare coeficienții exponenților complecși care se rotesc cu frecvențe pozitive:

Expresiile (6) și (7) coincid, în plus, componenta constantă poate fi scrisă și în termenii exponențialului complex la frecvență zero:

Astfel, (5), ținând cont de (6)-(8), poate fi reprezentată ca o singură sumă atunci când este indexată de la minus infinit la infinit:

Expresia (9) este o serie Fourier în formă complexă. Coeficienții seriei Fourier în formă complexă sunt legați de coeficienții și ai seriei în formă trigonometrică și sunt definiți atât pentru frecvențele pozitive, cât și pentru cele negative. Indicele din notația de frecvență indică numărul armonicii discrete, cu indici negativi corespunzători frecvențelor negative.

Din expresia (2) rezultă că pentru un semnal real coeficienții și ai seriei (2) sunt și ei reali. Totuși, (9) atribuie unui semnal real, un set de coeficienți conjugați complecși, relaționați atât cu frecvențele pozitive, cât și cu cele negative.

Câteva explicații pentru seria Fourier în formă complexă

În secțiunea anterioară, am făcut trecerea de la seria Fourier trigonometrică (2) la seria Fourier în formă complexă (9). Drept urmare, în loc să extindem semnalele periodice pe baza funcțiilor trigonometrice reale, am obținut o expansiune pe bază de exponenți complecși, cu coeficienți complexi, și chiar și frecvențe negative au apărut în expansiune! Pentru că această întrebare este adesea înțeles greșit, este necesar să se dea o explicație.

În primul rând, lucrul cu exponenți complecși este în cele mai multe cazuri mai ușor decât lucrul cu funcții trigonometrice. De exemplu, atunci când înmulțiți și împărțiți exponențiale complexe, este suficient doar să adăugați (scădeți) exponenții, în timp ce formulele de înmulțire și împărțire a funcțiilor trigonometrice sunt mai greoaie.

Diferențierea și integrarea exponenților, chiar și a celor complecși, este, de asemenea, mai ușoară decât funcțiile trigonometrice, care se schimbă constant la diferențiere și integrare (un sinus devine cosinus și invers).

Dacă semnalul este periodic și real, atunci seria Fourier trigonometrică (2) pare mai ilustrativă, deoarece toți coeficienții de expansiune , și rămân reali. Cu toate acestea, de multe ori trebuie să se ocupe de semnale periodice complexe (de exemplu, modulația și demodularea folosesc o reprezentare în cuadratura a anvelopei complexe). În acest caz, atunci când se utilizează seria Fourier trigonometrică, toți coeficienții și expansiunile (2) vor deveni complexe, în timp ce când se utilizează seria Fourier în formă complexă (9), aceiași coeficienți de expansiune vor fi utilizați atât pentru semnalele de intrare reale, cât și pentru cele complexe. .

Și în sfârșit, este necesar să ne oprim asupra explicației frecvențelor negative care au apărut în (9). Această întrebare este adesea greșit înțeleasă. LA Viata de zi cu zi nu întâlnim frecvențe negative. De exemplu, nu ne acordăm niciodată radioul la o frecvență negativă. Să luăm în considerare următoarea analogie din mecanică. Să existe un pendul cu arc mecanic care să funcționeze vibratii libere cu o oarecare frecvență. Poate un pendul să oscileze cu o frecvență negativă? Desigur că nu. Așa cum nu există posturi de radio care să emită frecvențe negative, la fel și frecvența pendulului nu poate fi negativă. Dar un pendul cu arc este un obiect unidimensional (pendulul oscilează de-a lungul unei linii drepte).

Mai putem da o altă analogie din mecanică: o roată care se rotește la o frecvență de . Roata, spre deosebire de pendul, se rotește, adică. un punct de pe suprafața roții se mișcă într-un plan și nu doar oscilează de-a lungul unei singure linii drepte. Prin urmare, pentru a seta în mod unic rotația roții, nu este suficient să setați frecvența de rotație, deoarece este necesară și setarea direcției de rotație. Exact pentru asta putem folosi semnul de frecvență.

Deci, dacă roata se rotește la o frecvență de rad / s în sens invers acelor de ceasornic, atunci considerăm că roata se rotește cu o frecvență pozitivă, iar dacă se rotește în sensul acelor de ceasornic, atunci frecvența de rotație va fi negativă. Astfel, pentru a specifica o rotație, o frecvență negativă încetează să mai fie un nonsens și indică direcția de rotație.

Și acum cel mai important lucru pe care trebuie să-l înțelegem. Oscilația unui obiect unidimensional (de exemplu, un pendul cu arc) poate fi reprezentată ca suma rotațiilor celor doi vectori prezentați în Figura 4.

Figura 4. Oscilația unui pendul cu arc

Ca sumă de rotații a doi vectori

pe plan complex

Pendulul oscilează de-a lungul axei reale a planului complex cu o frecvență de legea armonică. Mișcarea pendulului este prezentată ca un vector orizontal. Vectorul de sus se rotește în planul complex la o frecvență pozitivă (în sens invers acelor de ceasornic), iar vectorul de jos se rotește la o frecvență negativă (în sensul acelor de ceasornic). Figura 4 ilustrează clar relația binecunoscută de la cursul de trigonometrie:

Astfel, seria Fourier în formă complexă (9) reprezintă semnale periodice unidimensionale ca sumă de vectori pe planul complex care se rotesc cu frecvențe pozitive și negative. În același timp, observăm că în cazul unui semnal real, conform (9), coeficienții de expansiune pentru frecvențele negative sunt complex conjugați cu coeficienții corespunzători pentru frecvențele pozitive. În cazul unui semnal complex, această proprietate a coeficienților nu este valabilă datorită faptului că și sunt, de asemenea, complexi.

Spectrul de semnale periodice

Seria Fourier în formă complexă este expansiunea unui semnal periodic într-o sumă de exponențiale complexe care se rotesc cu frecvențe pozitive și negative în multipli de rad/s cu coeficienții complexi corespunzători, care determină spectrul semnalului. Coeficienții complecși pot fi reprezentați prin formula Euler ca , unde este spectrul de amplitudine și a este spectrul de fază.

Deoarece semnalele periodice sunt extinse într-o serie numai pe o grilă de frecvență fixă, spectrul semnalelor periodice este linie (discret).

Figura 5. Spectrul unei secvențe periodice

Impulsuri dreptunghiulare:

A este spectrul de amplitudine; b - spectrul de fază

Figura 5 prezintă un exemplu de amplitudine și spectru de fază al unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare (a se vedea figura 1) pentru c, durata pulsului c și amplitudinea pulsului B.

Spectrul de amplitudine al semnalului real original este simetric în raport cu frecvența zero, în timp ce spectrul de fază este antisimetric. În același timp, observăm că valorile spectrului de fază și corespund aceluiaşi punct din planul complex.

Se poate concluziona că toți coeficienții de expansiune ai semnalului redus sunt pur reali, iar spectrul de fază corespunde coeficienților negativi .

Rețineți că dimensiunea spectrului de amplitudine coincide cu dimensiunea semnalului. Dacă se descrie modificarea tensiunii în timp, măsurată în volți, atunci amplitudinile armonicilor spectrului vor avea și dimensiunea de volți.

constatări

În această secțiune, luăm în considerare reprezentarea semnalelor periodice folosind seria Fourier. Sunt date expresii pentru seria Fourier în forme trigonometrice și complexe. Noi am dat Atentie speciala Au fost date condiții Dirichlet pentru convergența seriei Fourier și exemple de funcții pentru care seria Fourier diverge.

Ne-am oprit în detaliu asupra expresiei seriei Fourier în formă complexă și am arătat că semnalele periodice, atât reale, cât și complexe, sunt reprezentate de o serie de exponențiale complexe cu frecvențe pozitive și negative. În acest caz, coeficienții de expansiune sunt de asemenea complecși și caracterizează spectrul de amplitudine și fază al unui semnal periodic.

În secțiunea următoare, vom analiza mai detaliat proprietățile spectrelor semnalelor periodice.

Implementare software în biblioteca DSPL

Dech, G. Ghid aplicație practică Laplace se transformă. Moscova, Nauka, 1965, 288 p.