Filtre digitale (prelegere)
După tipul de răspuns la impuls, filtrele digitale sunt împărțite în două clase mari:
· Filtre cu răspuns la impuls finit (FIR - filtre, filtre transversale, filtre nerecursive). Numitorul funcției de transfer a unor astfel de filtre este o anumită constantă.
FIR - filtrele se caracterizează prin expresia:
· Filtrele cu răspuns la impuls infinit (IIR - filtre, filtre recursive) folosesc una sau mai multe dintre ieșirile lor ca intrare, adică formează un feedback. Principala proprietate a unor astfel de filtre este că răspunsul lor tranzitoriu la impuls are o lungime infinită în domeniul timpului, iar funcția de transfer are o formă rațională fracțională.
IIR - filtrele se caracterizează prin expresia:
Diferența dintre filtrele FIR și filtrele IIR este că pentru filtrele FIR răspunsul de ieșire depinde de semnalele de intrare, în timp ce pentru filtrele IIR răspunsul de ieșire depinde de valoarea curentă.
Răspuns la impuls Este reacția circuitului la un singur semnal.
Esemnal binar
Astfel, un singur semnal într-un singur punct este egal cu unitatea - în punctul de origine.
Deţinut esemnal binar este definită după cum urmează:
Astfel, semnalul unic întârziat este întârziat cu k perioade de eșantionare.
Semnale și spectre
Dualitatea (dualitatea) prezentării semnalelor.
Toate semnalele pot fi reprezentate în planul timpului sau al frecvenței.
Mai mult, există mai multe planuri de frecvență.
Planul timpului.
Transformări.
Planul de frecvență.
Pentru a vizualiza semnalul în planul temporal, există un dispozitiv:
Să ne imaginăm că există un semnal sinusoidal destul de lung (în 1 sec. s-a repetat de 1000 de ori o sinusoidă):
Să luăm un semnal cu o frecvență de două ori mai mare decât:
Să adăugăm aceste semnale. Nu obținem un semnal sinusoid, ci un semnal distorsionat:
Transformările din planul timpului în planul frecvenței sunt efectuate folosind transformate Fourier.
Pentru a vizualiza semnalul în planul frecvenței, există un dispozitiv:
Frecvența ciclică sau circulară ( f).
Planul de frecvență va arăta serif:
Valoarea intersecției este proporțională cu amplitudinea sinusoidei, iar frecvența este:
Pentru a doua formă de undă, domeniul frecvenței va arăta o intersecție diferită:
Două crestături vor apărea în domeniul temporal al semnalului însumat:
Ambele reprezentări ale semnalului sunt echivalente și folosesc fie prima, fie cealaltă reprezentare, oricare dintre acestea este mai convenabilă.
Transformările din planul timpului în planul frecvenței se pot face în diferite moduri. De exemplu: folosind transformate Laplace sau folosind transformate Fourier.
Trei forme de scriere a seriei Fourier.
Există trei forme de scriere a seriei Fourier:
· Sinus - forma cosinus.
· Forma reală.
· Forma complexă.
1.) În formă sinus - cosinus seria Fourier este:
Multiplii de frecvență incluși în formulă kω 1 sunt numite armonici; armonicele sunt numerotate conform indicelui k; frecvență ωk =kω 1 este numit k-a-a armonică a semnalului.
Această expresie spune următoarele: că orice funcție periodică poate fi reprezentată ca o sumă de armonici, unde:
T- perioada de repetare a acestei functii;
ω - frecventa circulara.
, Unde
t- ora curentă;
T- punct.
Într-o expansiune Fourier, cel mai important lucru este periodicitatea. Datorită acesteia, are loc eșantionarea în frecvență, începe un anumit număr de armonici.
Pentru a stabili posibilitatea descompunerii trigonometrice pentru o anumită funcție periodică, trebuie să pornești de la un anumit set de coeficienți. Un dispozitiv pentru determinarea lor a fost inventat de Euler în a doua jumătate a secolului al XVIII-lea și independent de Fourier la începutul secolului al XIX-lea.
Cele trei formule ale lui Euler pentru determinarea coeficienților:
; 
; 
Formulele lui Euler nu au nevoie de nicio dovadă. Aceste formule sunt precise pentru un număr infinit de armonici. Seria Fourier este o serie trunchiată, deoarece nu există un număr infinit de armonici. Coeficientul seriei trunchiate este calculat folosind aceleași formule ca pentru seria completă. În acest caz, eroarea pătratică medie este minimă.
Puterea armonicilor scade odată cu creșterea numărului lor. Dacă adăugați/eliminați unele componente armonice, atunci nu este necesară recalcularea restului termenilor (alte armonice).
Aproape toate funcțiile sunt pare sau impare:
CHIAR FUNCȚIE
FUNCȚIE IMPARE
Caracterizat prin ecuația:
De exemplu, funcția Cos:
unde: t = −t
O funcție pară este simetrică în raport cu
axa ordonatelor.
Dacă funcția este pară, atunci toți coeficienții sinus bk cosinus termeni.
Caracterizat prin ecuația:
De exemplu, funcția Păcat:
Funcția impară este simetrică față de centru.
Dacă funcția este impară, atunci toți coeficienții cosinus ak va fi egal cu zero și numai sinusului termeni.
2.) Forma reală înregistrările seriei Fourier.
Unele inconveniente ale formei sinus-cosinus a seriei Fourier este că pentru fiecare valoare a indicelui de însumare k(adică pentru fiecare armonică cu o frecvență kω 1) există doi termeni în formulă - sinus și cosinus. Folosind formulele transformărilor trigonometrice, suma acestor doi termeni poate fi transformată într-un cosinus de aceeași frecvență cu o amplitudine diferită și o fază inițială:
, Unde
;
Dacă S(t) este o funcție uniformă, faze φ poate lua doar valori 0 și π , ce-ar fi dacă S(t) este o funcție impară, apoi valorile posibile pentru fază φ sunt egale + π /2.
Dacă bk= 0, apoi tg φ = 0 și unghi φ = 0
Dacă ak= 0, apoi tg φ - infinit și unghi φ =
În această formulă, poate exista un minus (în funcție de direcția luată).
3.) Formă complexă înregistrările seriei Fourier.
Această formă de reprezentare a seriei Fourier este poate cea mai folosită în ingineria radio. Se obține din forma reală prin reprezentarea cosinusului ca o jumătate de sumă de exponențiale complexe (o astfel de reprezentare rezultă din formula lui Euler ejθ = Cosθ + jSinθ):
Aplicând această transformare la forma reală a seriei Fourier, obținem sumele exponenților complecși cu exponenți pozitivi și negativi:
Și acum vom trata exponenții cu semnul minus în exponent ca termeni ai unei serii cu numere negative. În cadrul aceleiași abordări generale, termenul constant A 0/2 va deveni membru al rândului numărul zero. Rezultatul este o formă complexă de scriere a seriei Fourier:
Formula pentru calcularea cotelor Ck Seria Fourier:
Dacă S(t) este o chiar funcția, coeficienții seriei Ck va fi curat real, ce-ar fi dacă S(t) - funcție ciudat, coeficienții seriei se dovedesc a fi puri imaginar.
Setul de amplitudini ale armonicilor din seria Fourier este adesea numit spectrul de amplitudine, iar totalitatea fazelor lor este spectrul de fază.
Spectrul de amplitudini este partea reală a coeficienților Ck Seria Fourier:
Re ( Ck) Este spectrul de amplitudine.
Spectrul de semnale dreptunghiulare.
Luați în considerare un semnal sub forma unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare cu o amplitudine A, durata τ și perioada de repetare T... Referința de timp este considerată a fi situată în mijlocul pulsului.
Acest semnal este o funcție uniformă, prin urmare, pentru a-l reprezenta, este mai convenabil să folosiți forma sinus-cosinus a seriei Fourier - va conține numai termeni cosinus ak egal cu:
Din formulă se poate observa că durata impulsurilor și perioada de repetare a acestora nu sunt incluse în ea separat, ci exclusiv sub forma unui raport. Acest parametru - raportul dintre perioada și durata pulsului - este numit ciclu de lucru succesiune de impulsuri și se notează cu litera: g: g = T/ τ. Introducem acest parametru în formula obținută pentru coeficienții seriei Fourier, apoi aducem formula la forma Sin (x) / x:
Notă: În literatura străină, în locul ciclului de sarcină, se folosește o valoare reciprocă, numită ciclu de sarcină și egală cu τ / T.
Cu această formă de notație, devine clar cu ce este egală valoarea termenului constant al seriei: întrucât la X→ 0 Sin ( X)/X→ 1, atunci
Acum puteți scrie însăși reprezentarea unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare sub forma unei serii Fourier:
Amplitudinile termenilor armonici ai seriei depind de numărul armonic conform Sin ( X)/X.
păcatul ( X)/X are un caracter petal. Vorbind despre lățimea acestor petale, trebuie subliniat faptul că pentru graficele spectrelor discrete ale semnalelor periodice, există două opțiuni pentru gradarea axei orizontale - în numere armonice și în frecvențe.
În figură, gradarea axei corespunde numerelor armonicelor, iar parametrii de frecvență ai spectrului sunt reprezentați pe grafic folosind linii de dimensiune.
Deci, lățimea lobilor, măsurată în numărul de armonici, este egală cu ciclul de lucru al secvenței (la k = ng avem Păcat (π k/g) = 0 dacă n≠ 0). Aceasta implică o proprietate importantă a spectrului unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare - nu există armonici (de amplitudini zero) cu numere care sunt multipli ai ciclului de lucru.
Distanța de frecvență dintre armonicile adiacente este egală cu rata de repetare a impulsului - 2 π /T... Lățimea lobilor spectrului, măsurată în unități de frecvență, este de 2 π /τ , adică este invers proporțional cu durata pulsului. Aceasta este o manifestare a legii generale - cu cât semnalul este mai scurt, cu atât spectrul său este mai larg.
Ieșire : pentru orice semnal, sunt cunoscute expansiunile sale din seria Fourier. știind τ și T putem calcula câte armonice sunt necesare pentru a transmite puterea.
Metode de analiză a sistemelor liniare cu coeficienți constanți.
Problema la setare:
Există un sistem liniar (nu depinde de amplitudinea semnalului):
COEFII: DS b0, b1, b3
…………………
PORT_VVOD EQU Y: FFC0; definiți porturile de intrare.
PORT_VIVOD EQU Y: FFC1; definiți porturile de ieșire.
ORG P: 0; organizarea memoriei P.
RESET: JMP START; sari neconditionat la eticheta START.
P: 100; programul va începe de la a suta celulă.
START: MOVE BUF_X, R0; adresa de pornire X este introdusă în R0.
MUTA # ORDFIL─1, M0; trad. la mod. aritmetica (scrieți. număr pentru 1 bărbați. decât ordinea. acestui tampon.)
MUȘCARE # COEFICE, R4; ciclu de organizare. tampon pentru coeficienți. în memoria Y.
MUȚARE # M0, M4; deoarece lungimea trebuie să fie aceeași, atunci de la M0 la M4.
CLRA; reseta bateria.
REP # ORDFIL; repetă operația înlănțuită.
MUTAREA A, X: (R4) +; folosit autoincrement și toate celulele sunt tamponate. resetat la zero.
LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0); octet. transferul citirilor (ultimul inteligent. la b0).
REP # ORDFIL─1; reprezentant. operație înlănțuită (inteligentă de 39 de ori fără rotunjire)
MAC X0, Y0, A X: (R0) +, X0 Y: (R4) +, Y0; inteligent X0 pe Y0, res. în ak; pregătire sl. operă.
MOVEP A, Y: PORT_VIVOD; conținut de transfer de octeți baterie.
JMP LOOP; sari neconditionat la eticheta LOOP.
Ordinea proiectării filtrelor digitale.
Ordinea proiectării filtrelor digitale este legată în primul rând de tipul de filtru de-a lungul liniei de răspuns în frecvență. Una dintre problemele frecvent întâlnite în practică este crearea de filtre care trec semnale într-o anumită bandă de frecvență și întârzie restul frecvențelor. Există patru tipuri:
1.) Filtre low-pass (LPF; termen englezesc - low-pass filter), frecvențe de trecere mai mici decât o anumită frecvență de tăiere ω 0.
2.) Filtre de trecere înaltă (HPF; termen englezesc - filtru de trecere înaltă), frecvențe de trecere mai mari decât o anumită frecvență de tăiere ω 0.
3.) Filtre trece-bandă (PF; termen englezesc - filtru trece-bandă), frecvențe de trecere într-un anumit interval ω 1…. ω 2 (pot avea și o frecvență medie ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).
4.) Filtre notch (alte denumiri posibile - filtru notch, filter-notch, filtru band-stop; termen englezesc - band-stop filter), trecând la ieșire toate frecvență, cu exceptia situată într-un anumit interval ω 1…. ω 2 (pot fi caracterizate și printr-o frecvență medie ω 0 = (ω 1 + ω 2) / 2 și lățimea de bandă Δ ω = ω 2 – ω 1).
Forma ideală a răspunsului în frecvență al acestor patru tipuri de filtre:
Cu toate acestea, un astfel de răspuns de frecvență ideal (dreptunghiular) nu poate fi realizat fizic. Prin urmare, în teoria filtrelor analogice, au fost dezvoltate o serie de metode. aproximări răspuns în frecvență dreptunghiular.
În plus, după ce ați calculat filtrul trece-jos, puteți modifica frecvența de tăiere a acestuia prin transformări simple, îl puteți transforma într-un filtru trece-înalt, filtru trece-bandă sau filtru notch cu parametri specificați. Prin urmare, calculul filtrului analogic începe cu calculul așa-numitului prototip de filtru, care este un filtru trece-jos cu o frecvență de tăiere de 1 rad / s.
1.) filtru Butterworth:
Funcția de transfer a filtrului Butterworth nu are zerouri, iar polii săi sunt distanțați uniform s-plane în jumătatea stângă a unui cerc de rază unitară.
Pentru un filtru Butterworth, frecvența de tăiere este determinată de nivelul 1/. Filtrul Butterworth oferă cât se poate de plat apex în banda de trecere.
2.) Filtru Chebyshev de primul fel:
Funcția de transfer a filtrului Chebyshev de tip I, de asemenea, nu are zerouri, iar polii săi sunt localizați în jumătatea stângă a elipsei pe s-avioane. Pentru un filtru Chebyshev de primul fel, frecvența de tăiere este determinată de nivelul de ondulare din banda de trecere.
În comparație cu un filtru Butterworth de același ordin, filtrul Chebyshev oferă o declinare mai abruptă a răspunsului în frecvență în regiunea tranziției de la banda de trecere la banda de oprire.
3.) Filtru Chebyshev de al doilea fel:
Funcția de transfer a filtrului de tip Chebyshev II, spre deosebire de cazurile anterioare, are atât zerouri, cât și poli. Filtrele Chebyshev de al doilea fel sunt numite și filtre Chebyshev inverse. Frecvența de tăiere a celui de-al doilea filtru Chebyshev nu este sfârșitul benzii de trecere, dar opri pornirea benzii... Coeficientul de transmisie al filtrului la frecvența zero este egal cu 1, la frecvența de tăiere este la un anumit nivel de ondulare în banda de oprire. La ω → ∞, coeficientul de transmisie este zero pentru o ordine de filtru impar și un nivel de ondulare pentru una par. La ω = 0 Răspunsul în frecvență al filtrului Chebyshev de al doilea fel este cât se poate de plat.
4.) Filtre eliptice:
Filtrele eliptice (filtre Cauer; termeni englezi - filtru elliptic, filtru Cauer) într-un sens combină proprietățile filtrelor Chebyshev de primul și al doilea fel, deoarece răspunsul în frecvență al unui filtru eliptic are o ondulație de o valoare dată, atât în banda de trecere și în banda de oprire. Datorită acestui fapt, este posibil să se asigure panta maximă posibilă (cu o ordine fixă a filtrului) a pantei răspunsului în frecvență, adică zona de tranziție între benzile de trecere și de oprire.
Funcția de transfer a unui filtru eliptic are atât poli, cât și zerouri. Zerourile, ca și în cazul unui filtru Chebyshev de al doilea fel, sunt pur imaginare și formează perechi conjugate complexe. Numărul de zerouri ale funcției de transfer este egal cu numărul par maxim care nu depășește ordinea filtrului.
Funcțiile MATLAB pentru calcularea filtrelor Butterworth, Chebyshev de primul și al doilea fel, precum și filtrele eliptice, vă permit să calculați atât filtre analogice, cât și filtre discrete. Funcțiile de calcul ale filtrului necesită specificarea ordinii filtrului și a frecvenței sale de tăiere ca parametri de intrare.
Ordinea filtrului depinde de:
- din denivelările admisibile în banda de trecere din mărimea zonei de incertitudine. (Cu cât zona de incertitudine este mai mică, cu atât declinul răspunsului în frecvență este mai abruptă.)
Pentru filtrele FIR, comanda este de câteva zeci sau sute, iar pentru filtrele IIR, comanda nu depășește câteva unități.
Pictogramele oferă posibilitatea de a vizualiza toți coeficienții. Proiectarea filtrului se realizează pe o singură fereastră.
Adesea, descrierea matematică a semnalelor deterministe, chiar și simplă ca structură și formă, este o sarcină dificilă. Prin urmare, se folosește o tehnică originală, în care semnalele complexe reale sunt înlocuite (reprezentate, aproximate) cu o mulțime (sumă ponderată, adică o serie) de modele matematice descrise de funcții elementare. Acesta oferă un instrument important pentru analiza trecerii semnalelor electrice prin circuite electronice. În plus, prezentarea semnalului poate fi folosită ca una inițială în descrierea și analiza acestuia. În acest caz, problema inversă poate fi simplificată semnificativ - sinteză semnale complexe dintr-un set de funcţii elementare.
Reprezentarea spectrală a semnalelor periodice prin seria Fourier
Seria Fourier generalizată.
Ideea fundamentală a reprezentării spectrale a semnalelor (funcțiilor) datează de acum peste 200 de ani și aparține fizicianului și matematicianului J. B. Fourier.
Luați în considerare un sistem de funcții ortogonale elementare, fiecare dintre acestea obținută dintr-o funcție inițială - prototip. Această funcție prototip joacă rolul unui „bloc de construcție”, iar aproximarea necesară este găsită prin combinarea corespunzătoare a blocurilor identice. Fourier a arătat că orice funcție complexă poate fi reprezentată (aproximată) ca o sumă finită sau infinită a unei serii de oscilații armonice multiple cu anumite amplitudini, frecvențe și faze inițiale. Această funcție poate fi, în special, curentul sau tensiunea din circuit. Raza de soare, descompusă de o prismă într-un spectru de culori, este un analog fizic al transformării matematice Fourier (Fig. 2.7).
Lumina care iese din prismă este împărțită în spațiu în culori pure separate, sau frecvențe. Spectrul are o amplitudine medie la fiecare frecvență. Astfel, funcția de intensitate față de timp a fost transformată într-o funcție de amplitudine față de frecvență. O ilustrare simplă a raționamentului lui Fourier este prezentată în Fig. 2.8. O curbă periodică de formă destul de complexă (Fig. 2.8, A) - aceasta este suma a două armonici cu frecvențe diferite, dar multiple: unică (Fig. 2.8, b)și sa dublat (Fig. 2.8, v).
Orez. 2.7.
Orez. 2.8.
A- leagăn complex; b, c- Semnale de aproximare 1 și 2
Cu ajutorul analizei spectrale Fourier, o funcție complexă este reprezentată de suma armonicilor, fiecare având propria frecvență, amplitudine și fază inițială. Transformata Fourier definește funcții care reprezintă amplitudinea și faza componentelor armonice corespunzătoare unei anumite frecvențe, iar faza este punctul de plecare al sinusoidei.
Transformarea poate fi obținută prin două metode matematice diferite, dintre care una este utilizată atunci când funcția inițială este continuă, iar cealaltă când este dată de un set de valori discrete separate.
Dacă funcția studiată este obținută din valori cu anumite intervale discrete, atunci poate fi împărțită într-o serie secvențială de funcții sinusoidale cu frecvențe discrete - de la frecvența cea mai joasă, fundamentală sau principală și apoi cu frecvențe de două ori, de trei ori, etc. deasupra celui principal. O astfel de sumă de componente se numește lângă Fourier.
Semnale ortogonale. O modalitate convenabilă de descriere spectrală a unui semnal conform lui Fourier este reprezentarea sa analitică folosind un sistem de funcții elementare ortogonale ale timpului. Să existe un spațiu de semnal Hilbert u 0 (t) y G/,(?), ..., u n (t) cu energie finită, definită pe un interval de timp finit sau infinit (t v 1 2). Pe acest segment, definim un sistem infinit (subset) de funcții elementare ale timpului interconectate și îl numim de bază".
Unde r = 1, 2, 3,....
Funcții u (t)și v (t) sunt ortogonale pe intervalul (?,? 2) dacă produsul lor scalar, cu condiția ca niciuna dintre aceste funcții ns să nu fie identic zero.
În matematică, aceasta este dată în spațiul Hilbert al semnalelor baza de coordonate ortogonale, adică sistem de funcții de bază ortogonală.
Proprietatea de ortogonalitate a funcțiilor (semnalelor) este asociată cu intervalul de determinare a acestora (Fig. 2.9). De exemplu, două semnale armonice m, (?) = = Sin (2nr / 7'0) și u., (t)= păcat (4 nt / T Q)(adică, cu frecvențe / 0 = 1/7 ’0 și, respectiv, 2/0) sunt ortogonale în orice interval de timp, a cărui durată este egală cu un număr întreg de semiperioade T 0(fig. 2.9, A). Prin urmare, în prima perioadă, semnalele și ((1)și u 2 (t) sunt ortogonale pe intervalul (0, 7 "0/2); dar pe intervalul (О, ЗГ 0/4) nu sunt ortogonale. Pa Fig. 2.9, b semnalele sunt ortogonale datorită diferenței de timp a apariției lor.
Orez. 2.9.
A- pe interval; b - datorită diferenţei de timp de apariţie Prezentarea semnalului u (t) modelele elementare este mult simplificată dacă se alege sistemul de funcții de bază vff), detinand proprietatea ortonormalitate. Din matematică se știe dacă pentru orice pereche de funcții din sistemul ortogonal (2.7) condiția
apoi sistemul de funcții (2.7) ortonormal.
În matematică, un astfel de sistem de funcții de bază de forma (2.7) se numește o bază ortonormală.
Fie pe un interval de timp dat | r, t 2| semnal arbitrar activ u (t) iar sistemul ortonormal de funcţii (2.7) este folosit pentru a-l reprezenta. Proiectarea formei de undă arbitrare u (t) pe axa bazei de coordonate se numește expansiunea într-o serie Fourier generalizată. Această expansiune are forma
unde c, sunt niște coeficienți constanți.
Pentru a determina coeficienții de la catre seria Fourier generalizată, alegem una dintre funcțiile de bază (2.7) v k (t) cu număr arbitrar La.Înmulțim ambele părți ale expansiunii (2.9) cu această funcție și integrăm rezultatul în timp:
Datorită ortonormalității bazei funcțiilor selectate din partea dreaptă a acestei egalități, toți termenii sumei pentru i ^ La va dispărea. Doar singurul membru al sumei cu numărul i = La, prin urmare
Produsul formei c k v k (t), inclusă în seria Fourier generalizată (2.9), este componenta spectrală semnal u (t),și mulțimea de coeficienți (proiecții ale vectorilor semnal pe axele de coordonate) (с 0, с, ..., de la catre,..., cu „) definește complet semnalul analizat ii (t)și l-a numit spectru(din lat. spectru- imagine).
Esenta reprezentare spectrală (analiză) a semnalului constă în determinarea coeficienţilor cu i conform formulei (2.19).
Alegerea unui sistem ortogonal rațional al bazei de coordonate a funcțiilor depinde de scopul cercetării și este determinată de dorința de a simplifica pe cât posibil aparatul matematic de analiză, transformări și prelucrare a datelor. Polinoamele lui Cebyshev, Hermite, Laguerre, Legendre etc sunt utilizate în prezent ca funcții de bază.Cea mai răspândită este transformarea semnalelor în bazele funcțiilor armonice: exponențial complex. exp (J 2lft)și funcții sinuso-cosinus trigonometrice reale legate de formula lui Euler f> x= cosx + y "sinx. Acest lucru se datorează faptului că oscilația armonică, teoretic, își păstrează complet forma la trecerea prin circuite liniare cu parametri constanți, și se schimbă doar amplitudinea și faza inițială. Metoda simbolică, bine dezvoltată în teoria circuitelor, este de asemenea utilizat pe scară largă.Operația de reprezentare a semnalelor deterministe sub forma unui set de componente constante ( componenta constanta) iar sumele vibraţiilor armonice cu frecvenţe multiple se numesc de obicei descompunerea spectrală. Utilizarea destul de răspândită a seriei Fourier generalizate în teoria semnalului este, de asemenea, asociată cu proprietatea sa foarte importantă: pentru sistemul de funcții ortonormal ales. v k (t)și un număr fix de termeni din seria (2.9), oferă cea mai bună reprezentare a semnalului dat u (t). Această proprietate a seriei Fourier este cunoscută pe scară largă.
În reprezentarea spectrală a semnalelor, bazele ortonormale ale funcțiilor trigonometrice sunt cele mai utilizate. Acest lucru se datorează următoarelor: oscilațiile armonice sunt cel mai ușor de generat; semnalele armonice sunt invariante în raport cu transformările efectuate de circuitele electrice liniare staţionare.
Să evaluăm reprezentarea temporală și spectrală a semnalului analogic (Fig. 2.10). În fig. 2.10, A prezintă o diagramă temporală a unui semnal continuu cu o formă complexă, iar Fig. 2.10, b - descompunerea sa spectrală.
Luați în considerare reprezentarea spectrală a semnalelor periodice ca o sumă fie a funcțiilor armonice, fie a exponențialelor complexe cu frecvențe care formează o progresie aritmetică.
Periodic apelați semnalul și „(?). repetând la intervale regulate (fig. 2.11):
unde G este perioada de repetare sau repetare a impulsurilor; n = 0,1, 2,....
Orez. 2.11. Semnal periodic
Dacă T este perioada semnalului u (t), atunci și perioadele vor fi multiplii săi: 2Г, 3 T etc. O secvență periodică de impulsuri (se numesc impulsuri video) este descrisă de expresia
Orez. 2.10.
A- diagrama de timp; b- spectrul de amplitudine
Aici u Q (t)- forma unui singur impuls, caracterizată prin amplitudine (înălțime) h = E, durata т „, perioada de T = 1 / F (F - frecvență), poziția impulsurilor în timp în raport cu punctele de ceas, de exemplu t = 0.
Pentru analiza spectrală a semnalelor periodice, sistemul ortogonal (2.7) este convenabil sub formă de funcții armonice cu frecvențe multiple:
unde ω, = 2p / T- rata de repetare a pulsului.
Calculând integralele, folosind formula (2.8), este ușor de verificat ortogonalitatea acestor funcții pe intervalul [-Г / 2, Г / 2 |. Orice funcție îndeplinește condiția de periodicitate (2.11), deoarece frecvențele lor sunt multiple. Dacă sistemul (2.12) se scrie ca
apoi obținem o bază ortonormală pentru funcțiile armonice.
Imaginați-vă un semnal periodic, cel mai comun în teoria semnalului trigonometric(sinus cosinus) formă Seria Fourier:
Din cursul de matematică se știe că expansiunea (2.11) există, i.e. seria converge dacă funcția (în acest caz, semnalul) u (t) pe intervalul [-7/2, 7/2] satisface Condiții Dirichlet(spre deosebire de teorema Dirichlet, acestea sunt adesea interpretate într-o manieră simplificată):
- nu ar trebui să existe pauze de al 2-lea fel (cu ramuri mergând la infinit);
- funcția este mărginită și are un număr finit de discontinuități de primul fel (sărituri);
- funcția are un număr finit de extreme (adică maxime și minime).
Formula (2.13) conține următoarele componente ale semnalului analizat:
Componentă constantă
Amplitudini ale componentelor cosinus
Amplitudini ale componentelor sinusoidale
Componenta spectrală cu o frecvență ω, în teoria comunicării se numește primul (de bază) armonic, și componente cu frecvențe iso, (n> 1) - armonici superioare semnal periodic. Se numește treapta de frecvență Aco dintre două sinusoide adiacente din expansiunea Fourier rezoluție de frecvență spectru.
Dacă semnalul este o funcție uniformă a timpului u (t) = u (-t), atunci în notația trigonometrică a seriei Fourier (2.13) nu există coeficienți sinusoidali B n, deoarece conform formulei (2.16) ele dispar. Pentru semnal u (t), descrise printr-o funcție impară a timpului, dimpotrivă, conform formulei (2.15), coeficienții cosinus un n(componentă constantă un 0 lipsește și el), iar seria conține componentele B n.
Limitele de integrare (de la -7/2 la 7/2) nu trebuie să fie aceleași ca în formulele (2.14) - (2.16). Integrarea poate fi efectuată pe orice interval de timp 7 - rezultatul nu se va schimba. Limitele specifice sunt selectate pentru comoditate de calcul; de exemplu, poate fi mai ușor să se integreze de la 0 la 7 sau de la -7 la 0 și așa mai departe.
Ramura matematicii care stabilește relația dintre funcția timpului u (t) și coeficienții spectrale a n, b n, sunt numite analiza armonică datorită funcției de conectare u (t) cu termeni sinusoidal și cosinus ai acestei sume. Mai mult, analiza spectrală este limitată în principal de sfera analizei armonice, care își găsește o utilizare exclusivă.
Adesea, utilizarea formei sinus-cosinus a seriei Fourier nu este complet convenabilă, deoarece pentru fiecare valoare a indicelui de însumare NS(adică, pentru fiecare armonică cu o frecvență mOj) în formula (2.13) apar doi termeni - cosinus și sinus. Din punct de vedere matematic, este mai convenabil să reprezentăm această formulă ca o serie Fourier echivalentă în formă reală /.
Unde A 0 = a 0 / 2; A n = yja 2 n + B - amplitudine; a n-a armonică a semnalului. Uneori în relația (2.17) se pune un semn plus în fața lui cp A, apoi faza inițială a armonicilor se scrie cp și = -arctg ( b n fa n).
În teoria semnalului, forma complexă a seriei Fourier este utilizată pe scară largă. Se obține din forma reală a seriei prin reprezentarea cosinusului sub forma unei jumătăți de sume de exponențiale complexe folosind formula lui Euler:
Aplicând această transformare la forma reală a seriei Fourier (2.17), obținem sumele exponenților complecși cu exponenți pozitivi și negativi:
Și acum vom interpreta exponențiale în formula (2.19) la frecvența ω, cu semnul minus în exponent ca termeni ai unei serii cu numere negative. În cadrul aceleiași abordări, coeficientul A 0 va deveni membru al seriei cu numărul zero. După simple transformări, ajungem la formă integrată Seria Fourier
Amplitudine complexă NS a armonică.
Valorile C n prin numere pozitive și negative NS sunt complexe conjugate.
Rețineți că seria Fourier (2.20) este un ansamblu de exponențiale complexe exp (jn (o (t)) cu frecvenţele formând o progresie aritmetică.
Să definim relația dintre coeficienții formelor trigonometrice și complexe ale seriei Fourier. Este evident că
Se mai poate arăta că coeficienţii un n= 2C w coscp „; b n = 2C / I sincp, f.
Dacă u (t) este o funcție pară, coeficienții seriei C vor fi real, ce-ar fi dacă u (t) - funcția este impară, coeficienții seriei devin imaginar.
Reprezentarea spectrală a unui semnal periodic prin forma complexă a seriei Fourier (2.20) conține atât frecvențe pozitive, cât și negative. Dar frecvențele negative nu există în natură, iar aceasta este o abstractizare matematică (sensul fizic al frecvenței negative este rotația în sens opus celui care este considerat pozitiv). Ele apar ca o consecință a prezentării formale a vibrațiilor armonice într-o formă complexă. La trecerea de la forma complexă de notație (2.20) la forma reală (2.17), frecvența negativă dispare.
Spectrul semnalului este clar judecat după imaginea sa grafică - diagrama spectrală (Fig. 2.12). Distinge amplitudine-frecventași spectre de fază-frecvență. Set de amplitudini armonice A n(fig. 2.12, A) sunt numite spectrul de amplitudine, fazele lor (Fig. 2.12, b) miercuri I - spectrul de fază. Agregatul C n = |C n este o spectru de amplitudine complex(fig. 2.12, v).În diagramele spectrale, axele de abscisă prezintă frecvența curentă, dar axele ordonatelor reprezintă fie amplitudinea reală sau complexă, fie faza componentelor armonice corespunzătoare ale semnalului analizat.
Orez. 2.12.
A - amplitudine; b - fază; v - spectrul de amplitudine al unei serii Fourier complexe
Se numește spectrul semnalului periodic stăpânit sau discret, deoarece este format din linii separate cu o înălțime egală cu amplitudinea A n armonici. Dintre toate tipurile de spectre, spectrul de amplitudine este cel mai informativ, deoarece permite estimarea conținutului cantitativ al anumitor armonici în compoziția de frecvență a semnalului. În teoria semnalului, s-a dovedit că spectrul de amplitudine este funcția de frecvență uniformă, și faza - ciudat.
Notă echidistanţă(echidistanța de la origine) a spectrului complex de semnale periodice: frecvențele simetrice (pozitive și negative), la care se află coeficienții spectrali ai seriei trigonometrice Fourier, formează o secvență echidistantă (..., -jo v..., -2co p -co p 0, v 2co, ..., ncov...) conţinând frecvenţa co = 0 şi având o treaptă co t = 2n / 7 '. Coeficienții pot lua orice valoare.
Exemplul 2.1
Să calculăm spectrele de amplitudine și fază ale unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare cu o amplitudine β, durata τ și o perioadă de repetiție T. Semnal - funcție par (Fig. 2.13).
Orez. 2.13.
Soluţie
Se știe că un impuls video dreptunghiular ideal este descris de următoarea ecuație:
acestea. se formează ca diferență între două funcții unitare a (?) (funcții de includere), deplasate în timp de așa-numitele.
Un tren de unde pătrate este o sumă cunoscută de impulsuri simple:
Deoarece semnalul dat este o funcție pară a timpului și pe parcursul unei perioade acționează numai asupra intervalului [t și / 2, t și / 2], atunci conform formulei (2.14)
Unde q = T/ T”. 
Analizând formula rezultată, puteți vedea că perioada de repetare și durata pulsului sunt incluse în ea sub forma unui raport. Acest parametru q - raportul dintre perioada și durata impulsurilor – numit ciclu de lucru secvență periodică de impulsuri (în literatura străină, în loc de ciclul de funcționare, se folosește reciprocul - factor de umplere, din engleza, ciclu de lucru egal cu m și / 7); la q = 2 o succesiune de impulsuri dreptunghiulare, când duratele impulsurilor și intervalele dintre ele devin egale, se numesc meandre(din greaca paiav5poq - model, ornament geometric).
Datorită parității funcției care descrie semnalul analizat, în seria Fourier, împreună cu componenta constantă, vor fi prezente doar componentele cosinus (2.15):
În partea dreaptă a formulei (2.22), al doilea factor are forma unei funcții elementare (sinx) / x. În matematică, această funcție este notată ca sinc (x) și numai pentru valoare NS= 0 este egal cu unu (lim (sinx / x) = 1), trece
prin zero în punctele x = ± n, ± 2n, ... și decade cu argumentul crescător x (Fig. 2.14). În cele din urmă, seria Fourier trigonometrică (2.13), care aproximează semnalul dat, se scrie sub forma
Orez. 2.14. Graficul funcției sinx / x
Funcția sinus are un caracter petală. Vorbind despre lățimea petalelor, trebuie subliniat faptul că pentru graficele spectrelor discrete ale semnalelor periodice, există două opțiuni pentru gradarea axei orizontale - în numere și frecvențe armonice. De exemplu, în Fig. 2.14 gradaţia ordonatei corespunde frecvenţelor. Lățimea lobilor, măsurată în numărul de armonici, este egală cu ciclul de lucru al secvenței. Aceasta implică o proprietate importantă a spectrului unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare - nu există armonici (de amplitudini zero) cu numere care sunt multipli ai ciclului de lucru. Când ciclul de lucru este egal cu trei, fiecare a treia armonică dispare. Dacă ciclul de lucru ar fi egal cu doi, atunci doar armonicile impare ale frecvenței fundamentale ar rămâne în spectru.
Din formula (2.22) și Fig. 2.14 rezultă că coeficienții unui număr de armonici superioare ale semnalului au semn negativ. Acest lucru se datorează faptului că faza inițială a acestor armonici este NS. Prin urmare, se obișnuiește să se reprezinte formula (2.22) într-o formă modificată:
Cu o astfel de înregistrare a seriei Fourier, valorile amplitudinilor tuturor componentelor armonice superioare de pe graficul diagramei spectrale sunt pozitive (Fig. 2.15, A).
Spectrul de amplitudine al semnalului depinde în mare măsură de raportul perioadei de repetiție Tşi durata pulsului m şi, i.e. din ciclul de lucru q. Distanța de frecvență dintre armonicile adiacente este egală cu rata de repetiție a pulsului cu 1 = 2n / T. Lățimea lobilor spectrale, măsurată în unități de frecvență, este egală cu 2n / mn, adică. este invers proporţională cu durata pulsului. Rețineți că pentru aceeași durată a impulsului m și cu o creștere în
Orez. 2.15.
A- amplitudine;b- faza
perioada de repetare a acestora T frecvența fundamentală ω scade și spectrul devine mai dens.
Aceeași imagine se observă dacă durata pulsului m este scurtată și la o perioadă constantă T.În acest caz, amplitudinile tuturor armonicilor scad. Aceasta este o manifestare a legii generale (principiul de incertitudine al lui V. Heisenberg - Principiul incertitudinii) ', cu cât durata semnalului este mai scurtă, cu atât spectrul acestuia este mai larg.
Fazele componentelor se determină din formula cp n = arctan (b n / a n). Din moment ce aici coeficienţii B „= 0, atunci
Unde m = 0, 1, 2,....
Relația (2.24) arată că la calcularea fazelor componentelor spectrale avem de-a face cu incertitudine matematică. Pentru a o dezvălui, să ne întoarcem la formula (2.22), conform căreia amplitudinile armonicilor își schimbă periodic semnul în funcție de schimbarea semnului funcției sin (nco 1 x 1I / 2). O modificare a semnului în formula (2.22) este echivalentă cu o defazare a acestei funcții prin NS. Prin urmare, atunci când această funcție este pozitivă, faza armonicii (p u = 2 tp, iar când negativ - = (2t + 1 )La(Fig. 2.15, b). Rețineți că, deși amplitudinile componentelor din spectrul impulsurilor dreptunghiulare scad odată cu creșterea frecvenței (vezi Fig. 2.15, A), această dezintegrare este destul de lentă (amplitudinile se diminuează invers cu frecvența). Pentru a transmite astfel de impulsuri fără distorsiuni, este necesară o lățime de bandă infinită a canalului de comunicație. Pentru distorsiuni relativ discrete, valoarea de tăiere a benzii de frecvență ar trebui să fie de multe ori mai mare decât valoarea inversă lățimii impulsului. Cu toate acestea, toate canalele reale au o lățime de bandă finită, ceea ce duce la distorsiuni în forma impulsurilor transmise.
Seria Fourier de semnale periodice arbitrare poate conține un număr infinit de termeni. La calcularea spectrelor unor astfel de semnale, calculul sumei infinite a seriei Fourier provoacă anumite dificultăți și nu este întotdeauna necesar, prin urmare, acestea sunt limitate la însumarea unui număr finit de termeni (seria este „trunchiată”).
Precizia aproximării semnalului depinde de numărul de componente însumate. Să luăm în considerare acest lucru folosind un exemplu de aproximare prin suma primelor opt armonici ale unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare (Fig. 2.16). Semnalul are forma unui meandre unipolar cu o perioadă de repetare Acea amplitudine E= 1 și durata impulsului m și = T/ 2 (semnalul dat este o funcție pară - Fig. 2.16, A; ciclu de lucru q= 2). Aproximarea este prezentată în Fig. 2.16, b, iar graficele arată numărul de armonici însumate. În aproximarea unui semnal periodic dat (vezi Fig. 2.13) prin seria trigonometrică (2.13), însumarea primei armonice și a armonicilor superioare se va efectua numai pe coeficienți impari. Caca deoarece chiar și pentru valorile și durata pulsului m și = T/ 2 = = mt / co, valoarea sin (mo, T H / 2) = sin (wt / 2) dispare.
Forma trigonometrică a seriei Fourier (2.23) pentru un semnal dat are forma
Orez. 2.16.
A - semnal dat; 6 - etape intermediare de însumare
Pentru comoditatea prezentării, seria Fourier (2.25) poate fi scrisă într-un mod simplificat:
Din formula (2.26) este evident că armonicile care aproximează meandrele sunt impare, au semne alternative, iar amplitudinile lor sunt invers proporționale cu numerele. Rețineți că o secvență de impulsuri dreptunghiulare este slab potrivită pentru reprezentarea printr-o serie Fourier - aproximarea conține pulsații și salturi, iar suma oricărui număr de componente armonice cu orice amplitudine va fi întotdeauna o funcție continuă. Prin urmare, comportamentul seriei Fourier în vecinătatea discontinuităților prezintă un interes deosebit. Din graficele din Fig. 2.16, b este ușor de observat cum, odată cu creșterea numărului de armonici însumate, funcția rezultată se apropie din ce în ce mai mult de forma semnalului original u (t) peste tot, cu excepția punctelor de rupere. În vecinătatea punctelor de discontinuitate, însumarea seriei Fourier dă o porțiune înclinată, iar abruptul pantei funcției rezultate crește odată cu creșterea numărului de armonici însumate. În chiar punctul de discontinuitate (o notăm ca t = t 0) Seria Fourier u (t 0) converge către jumătatea sumei limitelor din dreapta și din stânga:
Pe secțiunile curbei aproximative adiacente rupturii, suma seriei dă pulsații vizibile, iar în fig. 2.16 se poate observa că amplitudinea emisiei principale a acestor pulsații nu scade odată cu creșterea numărului de armonici însumate - se contractă doar pe orizontală, apropiindu-se de punctul de discontinuitate.
La NS-? în punctele de rupere, amplitudinea ejecției rămâne constantă,
iar lățimea sa va fi infinit de îngustă. Nu se modifică nici amplitudinea relativă a pulsațiilor (în raport cu amplitudinea săriturii) și amortizarea relativă; se modifică doar frecvența de ondulare, care este determinată de frecvența ultimelor armonice însumate. Acest lucru se datorează convergenței seriei Fourier. Să luăm un exemplu clasic: vei ajunge vreodată la un perete dacă vei parcurge jumătate din distanța rămasă cu fiecare pas? Primul pas va duce la jumătatea parcursului, al doilea la marcajul trei sferturi, iar după al cincilea pas vei fi parcurs aproape 97% din drum. Aproape ți-ai atins obiectivul, dar oricât de pași ai face, nu-l vei atinge niciodată în sensul strict matematic. Nu poți decât să demonstrezi matematic că în cele din urmă te vei putea apropia de orice distanță arbitrar mică. Această dovadă va echivala cu demonstrarea faptului că suma numerelor este 1 / 2,1 / 4,1 / 8,1 / 16 etc. tinde spre unitate. Acest fenomen, inerent în toate seriile Fourier pentru semnale cu discontinuități de primul fel (de exemplu, salturi, ca în fronturile impulsurilor dreptunghiulare), se numește efectul Gibbs*. În acest caz, valoarea primului (cel mai mare) vârf al amplitudinii din curba aproximativă este de aproximativ 9% din nivelul săriturii (vezi Fig. 2.16, NS = 4).
Efectul Gibbs duce la o eroare fatală în aproximarea semnalelor periodice de puls cu discontinuități de primul fel. Efectul are loc în cazul unor încălcări ascuțite ale monotonității funcțiilor. La salturi, efectul este maxim; în toate celelalte cazuri, amplitudinea pulsațiilor depinde de natura încălcării monotonității. Pentru o serie de aplicații practice, efectul Gibbs provoacă anumite probleme. De exemplu, în sistemele de reproducere a sunetului, acest fenomen se numește „sunet” sau „sărit”. În acest caz, fiecare consoană ascuțită sau alt sunet brusc poate fi însoțit de un sunet scurt neplăcut pentru ureche.
Seria Fourier poate fi aplicată nu numai pentru semnale periodice, ci și pentru semnale cu durată finită. În același timp, ora este negociată.
interval, pentru care se construiește seria Fourier, iar alteori semnalul este considerat egal cu zero. Pentru a calcula coeficienții unei serii, această abordare înseamnă continuare periodică semnal în afara intervalului considerat.
Rețineți că natura (de exemplu, auzul uman) folosește principiul analizei semnalului armonic. O persoană efectuează o transformare Fourier virtuală ori de câte ori aude un sunet: urechea realizează automat acest lucru, prezentând sunetul ca un spectru de valori succesive de intensitate pentru tonuri de diferite înălțimi. Creierul uman transformă această informație în sunet perceput.
Sinteza armonică. În teoria semnalului, împreună cu analiza semnalului armonic, sinteza armonică- obţinerea vibraţiilor specificate ale unei forme complexe prin însumarea unui număr de componente armonice ale spectrului acestora. În esență, mai sus a fost realizată sinteza unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare prin suma unui număr de armonici. În practică, aceste operații sunt efectuate pe un computer, așa cum se arată în Fig. 2.16, b.
- Jean Baptiste Joseph Fourier (J. B. J. Fourier; 1768-1830) - matematician și fizician francez.
- Josiah Gibbs (J. Gibbs, 1839-1903) - fizician și matematician american, unul dintre fondatorii termodinamicii chimice și fizicii statistice.
Un semnal periodic de orice formă cu o perioadă T poate fi reprezentat ca o sumă
oscilații armonice cu amplitudini și faze inițiale diferite, ale căror frecvențe sunt multiple ale frecvenței fundamentale. Armonica acestei frecvențe se numește fundamentală sau prima, restul - armonicile superioare.
Forma trigonometrică a seriei Fourier:
,
Unde 
- componenta constanta;
- amplitudinile componentelor cosinus;
- amplitudinile componentelor sinusoidale.
Semnal uniform ( 
) are doar cosinus și impar ( 
- numai termeni sinusoidali.
Forma trigonometrică echivalentă a seriei Fourier este mai convenabilă:
,
Unde 
- componenta constanta;
- amplitudinea armonicii a n-a a semnalului. Agregatul amplitudinilor componentelor armonice se numeste spectru de amplitudine;
- faza inițială a armonicii a n-a a semnalului. Setul de faze ale componentelor armonice se numește spectru de fază.
Spectrul unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare. Dependența spectrului de perioada de repetare a pulsului și durata acestora. Lățimea spectrului. Seria Fourier pppi
Să calculăm spectrele de amplitudine și fază ale AEFI având o amplitudine 
, durată 
, perioada următoare 
și situate simetric față de origine (semnalul este o funcție pară).
Figura 5.1 - Diagrama de timp AEFI.
Un semnal pe un interval de o perioadă poate fi înregistrat:
Calcule:
,
Seria Fourier pentru PPPI este:
Figura 5.2 - Diagrama spectrală de amplitudine a AEFI.
Figura 5.3 - Diagrama spectrală de fază a AEFI.
Spectrul AEFI este liniar (discret) (reprezentat printr-un set de linii spectrale individuale), armonic (liniile spectrale sunt la aceeași distanță între ele ω 1), descrescător (amplitudinele armonicilor descresc cu creșterea numărului), are o petală. structură (lățimea fiecărui lob este de 2π / τ), nelimitată (intervalul de frecvență în care sunt situate liniile spectrale este infinit);
La un ciclu de lucru întreg, componentele de frecvență cu frecvențe care sunt multiple ale ciclului de lucru sunt absente în spectru (frecvențele lor coincid cu zerourile anvelopei spectrului de amplitudine);
Odată cu creșterea ciclului de lucru, amplitudinile tuturor componentelor armonice scad. Mai mult, dacă este asociată cu o creștere a perioadei de repetiție T, atunci spectrul devine mai dens (ω 1 scade), cu o scădere a duratei pulsului τ - lățimea fiecărui lob devine mai mare;
Gama de frecvență care conține 95% din energia semnalului (egal cu lățimea primilor doi lobi ai anvelopei) este luată ca lățimea spectrului AEFI:
sau 
;
Toate armonicile situate într-un lob de anvelopă au aceeași fază, egală fie cu 0, fie cu π.
Utilizarea transformatei Fourier pentru analiza spectrului de semnale non-periodice. Spectrul unui singur impuls dreptunghiular. Transformate Fourier integrale
Semnalele de comunicare sunt întotdeauna limitate în timp și, prin urmare, nu sunt periodice. Dintre semnalele neperiodice, impulsurile unice (SS) sunt de cel mai mare interes. OI poate fi considerat un caz limitativ al unei secvențe periodice de impulsuri (PPI) cu o durată 
cu o perioadă infinit de mare de repetare a acestora 
.
Figura 6.1 - PPI și OI.
Un semnal neperiodic poate fi reprezentat ca suma unui număr infinit de oscilații infinit apropiate de frecvență cu amplitudini extrem de mici. Spectrul OI este continuu și este introdus de integralele Fourier:
-
(1) - transformată Fourier directă. Vă permite să găsiți analitic funcția spectrală pentru o anumită formă de semnal;
-
(2) - transformată Fourier inversă. Vă permite să găsiți analitic forma pentru o anumită funcție spectrală a semnalului.
Forma complexă a transformării Fourier integrale(2) oferă o reprezentare spectrală pe două fețe (având frecvențe negative) a unui semnal neperiodic 
ca sumă de vibraţii armonice 
cu amplitudini complexe infinitezimale 
ale căror frecvenţe umplu continuu întreaga axă a frecvenţelor.
Densitatea spectrală complexă a unui semnal este o funcție complexă a frecvenței, transportând simultan informații atât despre amplitudinea, cât și despre faza armonicilor elementare.
Modulul densității spectrale se numește densitatea spectrală a amplitudinilor. Poate fi considerat ca răspunsul în frecvență al spectrului continuu al unui semnal neperiodic.
Argumentul densității spectrale 
numită densitatea spectrală a fazelor. Poate fi considerată caracteristica fază-frecvență a spectrului continuu al unui semnal neperiodic.
Să transformăm formula (2):
Forma trigonometrică a transformatei Fourier integrale oferă o reprezentare spectrală unidirecțională (fără frecvențe negative) a unui semnal neperiodic:
.
În secolul trecut, Ivan Bernoulli, Leonard Euler și apoi Jean-Baptiste Fourier au fost primii care au folosit reprezentarea funcțiilor periodice prin serii trigonometrice. Această viziune este studiată suficient de detaliat în alte cursuri, așa că amintim doar relațiile și definițiile de bază.
După cum sa menționat mai sus, orice funcție periodică u (t) pentru care egalitatea u (t) = u (t + T) , Unde T = 1 / F = 2p / W , poate fi reprezentat printr-o serie Fourier:
Fiecare termen din această serie poate fi extins folosind formula cosinus pentru diferența dintre două unghiuri și reprezentat ca doi termeni:
,
Unde: A n = C n cosφ n, B n = C n sinφ n
, asa de 
, A 
Cote A n și Han sunt determinate de formulele lui Euler:
; 
.
La n = 0 :
A B 0 = 0.
Cote A n și Han , sunt valorile medii ale produsului funcției u (t) şi oscilaţii armonice cu frecvenţa nw pe un interval de durată T ... Știm deja (Secțiunea 2.5) că acestea sunt funcții de corelație încrucișată care determină măsura relației lor. Prin urmare, coeficienții A n și B n arată-ne „câte” sinusoide sau cosinus cu frecvență nW cuprinse în această funcție u (t) , extins într-o serie Fourier.
Astfel, putem reprezenta funcția periodică u (t)
ca o sumă de vibrații armonice, unde numerele C n
sunt amplitudinile și numerele φ n
- faze. De obicei în literatură 
se numește spectrul amplitudinilor și 
- spectrul fazelor. Adesea este luat în considerare doar spectrul amplitudinilor, care este reprezentat ca linii situate în puncte nW
pe axa frecvenţelor şi având o înălţime corespunzătoare numărului C n
... Cu toate acestea, trebuie amintit că pentru a obține o corespondență unu-la-unu între funcția temporală u (t)
și spectrul acestuia, este necesar să se utilizeze atât spectrul de amplitudine, cât și spectrul de fază. Acest lucru se poate vedea dintr-un exemplu atât de simplu. Semnalele vor avea același spectru de amplitudine, dar tipuri complet diferite de funcții temporale.
Un spectru discret poate avea nu numai o funcție periodică. De exemplu, semnalul: nu este periodic, dar are un spectru discret format din două linii spectrale. De asemenea, nu va exista un semnal strict periodic constând dintr-o succesiune de impulsuri radio (impulsuri cu umplere de înaltă frecvență), în care perioada de repetare este constantă, dar faza inițială a umplerii de înaltă frecvență se modifică de la puls la puls. la vreo lege. Astfel de semnale sunt numite aproape periodice. După cum vom vedea mai târziu, au și un spectru discret. Investigarea naturii fizice a spectrelor unor astfel de semnale, o vom efectua în același mod ca și pentru cele periodice.
Semnalul este apelat periodic dacă forma sa se repetă ciclic în timp. Un semnal periodic se scrie, în general, după cum urmează:
Iată perioada semnalului. Semnalele periodice pot fi simple sau complexe.
Pentru reprezentarea matematică a semnalelor periodice cu o perioadă, se utilizează adesea această serie, în care oscilațiile armonice (sinusoidale și cosinus) ale frecvențelor multiple sunt selectate ca funcții de bază:
Unde . este frecvența unghiulară fundamentală a șirului de funcții. Cu funcții de bază armonică, din această serie obținem o serie Fourier, care în cel mai simplu caz poate fi scrisă sub următoarea formă:
unde coeficienții
Din seria Fourier se poate observa că, în cazul general, un semnal periodic conţine o componentă constantă şi un set de oscilaţii armonice ale frecvenţei fundamentale şi armonicele sale cu frecvenţe. Fiecare oscilație armonică a seriei Fourier este caracterizată de o amplitudine și o fază inițială.
Diagrama spectrală și spectrul unui semnal periodic.
Dacă orice semnal este prezentat ca o sumă de oscilații armonice cu frecvențe diferite, atunci aceasta înseamnă că descompunerea spectrală semnal.
Diagrama spectrală semnalul este o reprezentare grafică a coeficienților din seria Fourier a acestui semnal. Există diagrame de amplitudine și fază. Pentru a construi aceste diagrame, frecvențele armonice sunt reprezentate pe o anumită scară de-a lungul axei orizontale, iar amplitudinile și fazele lor sunt reprezentate de-a lungul axei verticale. În plus, amplitudinile armonicilor pot lua numai valori pozitive, fazele - atât valori pozitive, cât și negative în interval.
Diagrame spectrale ale unui semnal periodic:
a) - amplitudine; b) - faza.
Spectrul de semnal este un ansamblu de componente armonice cu valori specifice ale frecvențelor, amplitudinilor și fazelor inițiale, care împreună formează un semnal. În practică, diagramele spectrale sunt numite mai concis - spectrul de amplitudine, spectrul de fază... Cel mai mare interes este prezentat în diagrama spectrală de amplitudine. Poate fi folosit pentru a estima procentul de armonici din spectru.
Caracteristicile spectrale joacă un rol important în tehnologia telecomunicațiilor. Cunoscând spectrul semnalului, puteți calcula și seta corect lățimea de bandă a amplificatoarelor, filtrelor, cablurilor și altor noduri ale canalelor de comunicație. Cunoașterea spectrelor de semnal este necesară pentru construirea de sisteme multicanal cu multiplexare cu diviziune de frecvență. Fără cunoașterea spectrului de interferență, este dificil să se ia măsuri pentru a-l suprima.
Din aceasta putem concluziona că spectrul trebuie cunoscut pentru a realiza transmisia nedistorsionată a semnalului pe canalul de comunicație, pentru a asigura separarea semnalului și pentru a atenua interferența.
Pentru a observa spectrele semnalelor, există dispozitive numite analizoare de spectru... Acestea permit observarea și măsurarea parametrilor componentelor individuale ale spectrului unui semnal periodic, precum și măsurarea densității spectrale a unui semnal continuu.
