Caracteristici spectrale. Spectrele semnalelor periodice Particularități ale proprietăților spectrale ale semnalelor periodice

Pentru a simplifica metodele de rezolvare a problemelor de analiză a circuitelor, semnalele sunt reprezentate ca o sumă a anumitor funcții.

Acest proces este fundamentat de conceptul de serie Fourier generalizată. S-a dovedit în matematică că orice funcție care satisface condițiile Dirichlet poate fi reprezentată ca o serie:

Pentru a determina, înmulțim părțile din stânga și din dreapta ale seriei cu și luăm integrala părților din stânga și din dreapta:

pentru intervalul în care sunt îndeplinite condiţiile de ortogonalitate.

Se poate observa că avem o expresie pentru seria Fourier generalizată:

Selectăm un anumit tip de funcție pentru extinderea semnalului într-o serie. Ca atare funcție, alegem un sistem ortogonal de funcții:

Pentru a determina seria, calculăm valoarea:

Astfel, obținem:

Grafic, această serie este reprezentată ca două grafice ale componentelor armonice de amplitudine.

Expresia rezultată poate fi reprezentată astfel:

Avem a doua formă de înregistrare a seriei Fourier trigonometrice. Grafic, această serie este prezentată sub forma a două grafice - spectre de amplitudine și de fază.

Să găsim forma complexă a seriei Fourier, pentru aceasta folosim formulele Euler:

Grafic, spectrul în această formă este reprezentat pe axa frecvenței în interval.

Evident, spectrul unui semnal periodic, exprimat sub formă complexă sau de amplitudine, este discret. Aceasta înseamnă că spectrul conține componente cu frecvențe

Caracteristicile spectrale ale unui semnal neperiodic

Deoarece un singur semnal este considerat ca un semnal neperiodic în inginerie radio, pentru a-și găsi spectrul, reprezentăm semnalul ca un semnal periodic cu o perioadă. Să folosim transformarea seriei Fourier pentru perioada dată. Obține pentru:

O analiză a expresiei obținute arată că la , amplitudinile componentelor devin infinit de mici și sunt situate continuu pe axa frecvenței. Apoi, pentru a ieși din această situație, folosim conceptul de densitate spectrală:

Inlocuim expresia rezultata in seria complexa Fourier, obtinem:

În sfârșit obținem:

Aici este densitatea spectrală, iar expresia în sine este transformata Fourier directă. Pentru a determina semnalul din spectrul său, se utilizează transformata Fourier inversă:

Proprietățile transformării Fourier

Din formulele transformării Fourier directe și inverse, este evident că dacă semnalul se schimbă, atunci spectrul lui se va schimba și el. Următoarele proprietăți stabilesc dependența spectrului semnalului modificat de spectrul semnalului înainte de modificări.

1) Proprietatea de liniaritate a transformatei Fourier

Am descoperit că spectrul sumei semnalelor este egal cu suma spectrelor lor.

2) Spectrul semnalului s-a deplasat în timp

S-a constatat că atunci când semnalul este deplasat, spectrul de amplitudine nu se modifică, ci doar spectrul de fază se modifică cu valoarea

3) Schimbarea scalei de timp

adică atunci când semnalul se extinde (se îngustează) de mai multe ori, spectrul acestui semnal se îngustează (se extinde).

4) Spectrul de deplasare

5) Spectrul derivatei semnalului

Luați derivata părților stângă și dreaptă ale transformării Fourier inverse.

Vedem că spectrul derivatei semnalului este egal cu spectrul semnalului original înmulțit cu, adică spectrul de amplitudine se modifică și spectrul de fază se modifică cu.

6) Spectru integral de semnal

Luați integrala părților stângă și dreaptă ale transformării Fourier inverse.

Vedem că spectrul derivatei semnalului este egal cu spectrul semnalului original împărțit la,

7) Spectrul produsului a două semnale

Astfel, spectrul produsului a două semnale este egal cu convoluția spectrelor lor înmulțită cu coeficientul

8) Proprietatea dualității

Astfel, dacă un spectru corespunde unui anumit semnal, atunci un semnal de formă care coincide cu spectrul de mai sus corespunde unui spectru de formă care coincide cu semnalul de mai sus.

Ghid pentru munca de laborator

DisciplinaElemente ale teoriei generale a semnalelor »

ACORD DEZVOLTAT

Inginer protecția muncii Conferențiar al Departamentului EAPP

G.V. Mangutkina ________ A.S. Khismatullin

2014 _____________2014

student gr. BAT-11-21

E.I.Bulankin

Instrucțiunile metodice sunt destinate studenților direcției de pregătire 220700 „Automatizarea proceselor și producțiilor tehnologice”, profilul „Automatizarea proceselor și producțiilor tehnologice în petrochimie și rafinarea petrolului”

Discutate la o întâlnire a departamentului EAPP

Proces-verbal Nr ______ din ___________________2014

ã Filiala FGBOU VPO UGNTU din Salavat, 2014

CARACTERISTICILE SEMNALELOR DETERMINISTICE

Obiectiv: studierea caracteristicilor semnalelor deterministe
în Mathcad.

Informații teoretice scurte

Caracteristicile spectrale ale semnalelor periodice

starea de periodicitate - X(t)= x(t+mT), Unde T- punct m- numar natural, m= 1, 2, .... Orice semnal periodic X(t) poate fi reprezentată printr-o serie Fourier trigonometrică.

X(t)= a0 + ∑(un k cos kw 1 t + b k păcat kw 1 t)= a 0 + ∑ A k cos( kw 1 t +φ k), (1.1)

unde ω 1 = 2π/T este frecvența unghiulară a armonicii I sau fundamentale; a 0 și k, și b la coeficienții de expansiune calculați prin formulele:

un 0 = un k = b k =

Unde Ak este amplitudinea armonicii k-a; φ k este faza armonicii a k-a; un 0– valoarea medie a semnalului (componentă constantă); kω 1 = ω k– frecvența unghiulară k-a armonică; t n este momentul în timp corespunzător începutului perioadei.

Dependente Akși φ k pe frecvența ω k sunt spectrele de amplitudine și, respectiv, de fază.

În unele cazuri, forma complexă a seriei Fourier este mai convenabilă

(1.2)

Coeficienții seriei (1.2) se calculează prin formula

(1.3)

Formulele (1.2) și (1.3) sunt o pereche de transformate Fourier. Set de coeficienți spectrul complex al unui semnal periodic x(t). Setul de valori reale în funcție de frecvență este spectrul de amplitudini. Setul de valori φ kîn funcţie de frecvenţa - spectrul de fază.

Seria (1.2) este reprezentată convenabil sub formă

(1.4)

(1.5)

Exemplul 1.1

Construiți spectrele amplitudinilor și fazelor semnalului x(t), a cărui expresie analitică, cu datele inițiale V m:= 4volt∙sec -1 ,T:= 2 sec și t 0:= 2 sec, are forma

.

Graficul semnalului pentru intervalul de timp t:=-1,5∙T, prezentat în figura 1.

Figura 1 - Graficul semnalului

Soluţie

Deoarece acest semnal este o funcție periodică a timpului, atunci pentru reprezentarea sa spectrală este necesar să se utilizeze fie o serie Fourier trigonometrică, fie complexă. Să găsim spectrele de amplitudini și faze pe baza seriei Fourier trigonometrice.

Să determinăm coeficienții de dilatare a semnalului în intervalul t:= 0..T la frecvența unghiulară a armonicii fundamentale ω 1:= și numărul de armonici k:= 1..5.

1) componentă DC

2) Coeficientul cosinus

Înlocuirea valorilor numerice V m , T și ω 1 dă

Ca rezultat al integrării, obținem

De exemplu, a 1 = 0 volți; a 2 = 0 volți; a 3 = 0 volți; a 4 = 0 volți.

O altă formă de determinare a coeficienților de expansiune este mai convenabilă.

atunci exprimând t 0 și ω 1 în termeni de T, avem

Rezultă că pentru k>0 coeficienții a k ​​sunt egali cu zero.

3) Coeficient sinusoidal

Exprimând t 0 și ω 1 în termeni de T, se poate obține

Prin urmare, după simplificări, urmează

Amplitudinea armonicii k-a

pentru k>1 va fi

Astfel, luând în considerare componenta constantă, spectrul de amplitudine

Spectrul de fază

Deoarece coeficienții a k ​​=0 și b k<0, и составит, например для k=1, φ = 1.571.

Graficele acestor spectre sub formă de grafice cu bare sunt prezentate în Figura 2.

Caracteristicile spectrale ale semnalelor neperiodice

Reprezentarea spectrală poate fi generalizată în cazul în care funcția X(t) este neperiodică, adică T→∞. În acest caz, se aplică transformata Fourier integrală

Aici Ф și Ф -1 sunt denumirile operatorului Fourier direct și invers.

Formulele (1.6) și (1.7) sunt o pereche de transformate Fourier integrale. Funcţie F(jω) se numește funcția spectrală sau spectrul complex al unui semnal neperiodic. Este definită la frecvențe pozitive și negative.

Funcția spectrală poate fi reprezentată ca

unde este spectrul de amplitudine,

este spectrul de fază.

Exemplul 1.2

Aflați spectrul funcției x(t) definită pe intervalul -τ/2

Exprimarea analitică a funcției

Figura 3 - Frecvența repetării

Soluţie

Deoarece funcția este o funcție neperiodică a timpului, găsim funcția ei spectrală (spectrul complex) pe baza transformării Fourier integrale (1.7). În ceea ce privește mărimile adimensionale, trebuie amintit că funcția spectrală caracterizează densitatea spectrală a amplitudinilor și fazelor oscilațiilor armonice complexe elementare. Are dimensiunea de volți × secundă pentru un semnal sub formă de tensiune. frecvența colțului ω are dimensiunea de radian/secundă.

Cu ajutorul caracteristicilor spectrale se estimează compoziția internă (spectrul) semnalului. Pentru acest semnal x(t) reprezintă sub forma unei serii Fourier generalizate, extinzând-o în termenii sistemului de funcții de bază T k(t)

Unde De la catre - coeficienți constanți care reflectă contribuția funcției F^(?) la formarea valorilor semnalului în intervalul de timp considerat.

Abilitatea de a reprezenta un semnal complex x(t) sub forma unei sume de semnale simple, RDO se dovedește a fi deosebit de important pentru sistemele dinamice liniare. În astfel de sisteme, principiul suprapunerii, adică reacția lor la suma influențelor (semnalelor) este egală cu suma reacțiilor la fiecare dintre influențe separat. Prin urmare, cunoscând reacția unui sistem liniar la un semnal simplu, este posibil, însumând rezultatele, să se determine reacția acestuia la orice alt semnal complex.

Selectarea funcției k(t) sub rezerva cerințelor de precizie maximă de aproximare a semnalului x(t) seria (7.21) cu numărul minim de termeni ai acestei serii și, dacă este posibil, reducerea dificultăților de calcul care apar la determinarea coeficienților seriei Cu k.

Ca funcții de bază, cele mai utilizate sunt funcțiile trigonometrice reale

și funcții exponențiale complexe

Analiza spectrală clasică a semnalelor se bazează pe acestea. În același timp, este posibil să se utilizeze și alte sisteme de funcții de bază (funcțiile lui Taylor, Walsh, Laguerre, Hermite, Legendre, Chebyshev, Kotel'nikov etc.121), ceea ce face posibilă, într-o serie de cazuri, luând ţinând cont de specificul funcţiei aproximative x(t), reduceți numărul de termeni din seria (7.21) menținând în același timp eroarea de aproximare dată.

În ultimii ani, a apărut un nou sistem foarte promițător de funcții de bază, numit undelete. Spre deosebire de funcțiile armonice, acestea sunt capabile să se adapteze la caracteristicile locale ale semnalului care se apropie, modificându-le forma și proprietățile. Ca urmare, devine posibilă reprezentarea cu ușurință a semnalelor complexe (inclusiv a celor cu salturi și discontinuități locale) prin seturi de wavelete de un tip sau altul.

Când se utilizează funcțiile de bază trigonometrice (7.22), seria (7.21) ia forma seriei Fourier trigonometrice clasice

unde Q \u003d 2n / T - frecvența armonicii fundamentale a seriei (G - perioada semnalului); k \u003d 1, 2, 3, ... - un număr întreg; ak, bk - numere reale (coeficienți Fourier), calculate după formule

În aceste formule, ca mai înainte (vezi (7.20)), t 0 - un număr arbitrar care poate fi ales din motive de comoditate în calcularea integralelor (7.25), deoarece valorile acestor integrale depind de mărime t0 nu depinzi; x T (t) - impuls de semnal de bază (vezi Fig. 7.3, în).

Coeficient un 0 determină valoarea medie dublată (pe perioada) a semnalului, coeficienții rămași a k > b k (k= 1, 2, 3, ...) - contribuție la a-a armonică a seriei Fourier (7.24) în formarea valorilor semnalului instantaneu X(?).

Seria trigonometrică Fourier (7.24) poate fi scrisă sub alte două forme: sub forma unei expansiuni sinusoidale

și sub formă de expansiune cosinus

Unde L 0 /2 \u003d a 0 /2 - componenta constantă a semnalului; Ak- amplitudine k-şi armonici de serie, calculate prin formula

Fazele inițiale ale acestor armonice sunt calculate din relații

Ansamblul amplitudinilor componentelor armonice ale unui semnal periodic (A la )°? =( numit spectrul de amplitudine acest semnal. Totalitatea fazelor inițiale ale acestor componente (φ/^)^ =1 - spectrul de fază semnal.

Folosind funcția Dirac 5-8(?), ambele spectre pot fi reprezentate funcții de rețea frecvente

c.t. spectrele de amplitudine și fază ale unui semnal periodic sunt discret spectre. Aceasta distinge un semnal periodic de alte semnale cu spectre continue.

Astfel, un semnal periodic poate fi reprezentat ca o sumă de armonici (7.24). În acest caz, frecvența fiecărei componente armonice a seriei Fourier este un multiplu al frecvenței armonicii fundamentale?2, care depinde de perioada semnalului. T.

Cu cât sunt mai multe astfel de armonici, cu atât eroarea de aproximare a funcției este mai mică x(t) suma finită a seriei Fourier (7.24). O excepție o reprezintă punctele de discontinuitate ale funcției x(i).În vecinătatea unor astfel de puncte, așa-numitele fenomenul Gibbs|2|. Conform acestui fenomen, în vecinătatea punctelor de discontinuitate, sumele finite ale seriei Fourier

formează „cozi” oscilante, a căror înălțime nu scade odată cu creșterea numărului de armonici din seria Fourier luată în considerare N- este aproximativ 9% din saltul în funcție x(t) la punctul de rupere.

Pentru a calcula amplitudinea și faza inițială a armonicii &-a a unui semnal periodic, în loc de formulele (7.28) și (7.29), se pot folosi formulele

Unde X t \u003d X t (p) \u003d L (x T (t)) index T variabil X - Imaginea Laplace a impulsului semnalului de bază, determinată de formulă (vezi Anexa 2)

eu- unitate imaginară; & = 0,1,2,... este un întreg pozitiv. Utilizarea acestor formule elimină necesitatea calculării integralelor (7.25), ceea ce simplifică foarte mult calculele. Să arătăm un exemplu de astfel de calcul.

Exemplul 7.1

Determinați spectrul de amplitudine al unui semnal periodic Soluţie

Pe fig. 7.3, A, este prezentat un grafic al unui astfel de semnal. Se vede că semnalul are punct T= i. Prin urmare, frecvența armonicii fundamentale a seriei Fourier corespunzătoare (7.24) este egală cu Q \u003d 2p / T \u003d 2 s -1. Luând t0 = 0, x T (t) = păcat? (pentru 0 t

Orez. 73.

A - forma de unda; b - spectrul de amplitudine a semnalului

Prin urmare, A 0 /2 = 2/p, A k= 4/i(4& 2 - 1), sch= l, unde k= 1,2, 3, adică extinderea funcției |sin(?)| în seria Fourier trigonometrică are forma

Notă: aici se acceptă f/, = l (și ns y k = 0) datorită utilizării semnului minus înainte de suma armonicilor serie.

Pe fig. 7.3, b este prezentat spectrul de amplitudine a semnalului considerat. Valoarea amplitudinii?-a armonică a seriei A la reprezentată printr-un segment vertical de lungimea corespunzătoare, la baza căruia se află numărul armonic.

Trebuie remarcat faptul că amplitudinea A la unele armonice ale seriei Fourier pot fi egale cu zero. În plus, scăderea monotonă a amplitudinilor acestor armonici cu creșterea numărului de armonici este opțională, așa cum este cazul în Fig. 7.3, b.

Cu toate acestea, în toate cazurile starea lim A la= 0, care rezultă din

convergența seriei Fourier.

Să rezolvăm problema folosind formulele (7.32). Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi imaginea Laplace a impulsului de bază al semnalului x T (t)

Înlocuind aici p = ikQ = 2ik(Unde i- unitate imaginară, k= 1, 2, 3,...), obținem care coincide cu rezultatele anterioare.

În aplicațiile tehnice, este adesea folosită forma complexă a seriei Fourier

În acest caz, funcțiile exponențiale complexe (7.23) sunt utilizate ca funcții de bază. Prin urmare, coeficienții C p seria (7.36) devin cuprinzătoare. Ele sunt calculate după formula

unde, ca în formula (7.6), variabila indice P poate fi un întreg pozitiv sau negativ.

Când se utilizează forma complexă a seriei Fourier (7.36) spectrul de amplitudine semnal periodic x(t) se numește mulțimea valorilor absolute ale coeficienților Fourier complecși C p

A spectrul de fază- ansamblu de argumente principale ale acestor coeficienți

Multe cantitati (DIN%)^ > = _ este numit spectrul puterii semnal periodic și mulțimea numerelor complexe (De la p - secvență spectrală semnal periodic. Aceste trei caracteristici (spectrul de amplitudine, spectrul de fază și spectrul de putere) sunt principalele caracteristici spectrale ale unui semnal periodic.

Spre deosebire de spectrele de amplitudine și fază ale unui semnal periodic, prezentate sub forma unei serii Fourier trigonometrice (7.24), spectrele aceluiași semnal, construite folosind coeficienții Fourier complecși (7.37), se dovedesc a fi bilateral. Aceasta este o consecință a prezenței în (7.36) a „frecvențelor negative” pe.(pentru valori negative P). Acestea din urmă, desigur, nu există în realitate. Ele reflectă doar reprezentarea funcției armonice exponențiale utilizate în formarea seriei complexe Fourier e~t sub forma unui vector unitar care se rotește în sensul acelor de ceasornic cu o viteză unghiulară ω.

Dacă există o imagine Laplace a impulsului de bază al unui semnal periodic X T (p) = L(x T (t)), atunci spectrul de amplitudini și spectrul de faze ale unui semnal periodic pot fi calculate prin formule

Algoritmii așa-numitelor Transformare rapidă Fourier, datorită căruia este posibil să se reducă atât de mult timpul de calcul al coeficienților Fourier încât spectrele semnalelor în timpul procesării lor sunt obținute aproape în timp real.

În concluzie, notăm cele mai importante trei proprietăți ale caracteristicilor spectrale ale unui semnal periodic.

• 1. Dacă x(t) - este o funcție pară, atunci componentele imaginare ale tuturor coeficienților Fourier complecși Im(C w ) sunt egale cu zero și, invers, dacă această funcție este impară, atunci componentele reale ale tuturor coeficienților Fourier complecși Re(Cn) sunt egale cu zero .
• 2. La punctul de discontinuitate de primul fel t = tr funcții x(t) Suma seriei Fourier Sf) este egal cu jumătate din suma valorilor limită ale funcției pe măsură ce argumentul se apropie de punctul de întrerupere t = r stânga și dreapta, adică

Notă: dacă valorile funcției x(€) la capete + D) impuls de bază x T (t) nu sunt egale între ele, apoi cu o continuare periodică a impulsului, aceste puncte devin puncte de discontinuitate de primul fel.

3. Puterile semnalului periodic în domeniile timp și frecvență sunt egale între ele, i.e.

Acest raport exprimă teorema lui Parseval.

Prezența în formula (7.36) a „frecvențelor negative” nQ.(pentru ani

Remarci generale

Dintre diversele sisteme de funcții ortogonale care pot fi folosite ca baze pentru reprezentarea semnalelor radio, funcțiile armonice (sinusoidale și cosinus) ocupă un loc excepțional. Importanța semnalelor armonice pentru ingineria radio se datorează mai multor motive.

În ingineria radio, trebuie să se ocupe de semnale electrice care sunt asociate cu mesajele transmise folosind metoda de codificare acceptată.

Putem spune că un semnal electric este un proces fizic (electric) care transportă informații. Cantitatea de informații care poate fi transmisă folosind un anumit semnal depinde de parametrii săi principali: durata, banda de frecvență, puterea și alte câteva caracteristici. Nivelul de interferență în canalul de comunicație este de asemenea important: cu cât este mai scăzut acest nivel, cu atât mai multe informații pot fi transmise folosind un semnal cu o putere dată. Înainte de a vorbi despre capacitățile informaționale ale unui semnal, este necesar să vă familiarizați cu principalele sale caracteristici. Este recomandabil să luați în considerare separat semnalele deterministe și aleatorii.

Un semnal determinist este orice semnal a cărui valoare instantanee în orice moment poate fi prezisă cu o probabilitate de unu.

Exemple de semnale deterministe sunt impulsurile sau rafale de impulsuri a căror formă, mărime și poziție în timp sunt cunoscute, precum și un semnal continuu cu relații date de amplitudine și fază în spectrul său. Semnalele deterministe pot fi împărțite în periodice și neperiodice.

Un semnal periodic este orice semnal pentru care starea

unde perioada T este un segment finit și k este orice număr întreg.

Cel mai simplu semnal periodic determinist este o oscilație armonică. Oscilația strict armonică se numește monocromatică. Acest termen, împrumutat din optică, subliniază faptul că spectrul unei oscilații armonice constă dintr-o singură linie spectrală. Pentru semnalele reale care au un început și un sfârșit, spectrul este inevitabil neclar. Prin urmare, oscilații strict monocromatice nu există în natură. În viitor, un semnal armonic și monocromatic va însemna condiționat o oscilație. Orice semnal periodic complex, așa cum este cunoscut, poate fi reprezentat ca o sumă de oscilații armonice cu frecvențe care sunt multipli ai frecvenței fundamentale w = 2*Pi/T. Caracteristica principală a unui semnal periodic complex este funcția sa spectrală, care conține informații despre amplitudinile și fazele armonicilor individuale.

Un semnal determinist neperiodic este orice semnal determinist pentru care este îndeplinită condiția s(t)s(t+kT).

De regulă, un semnal non-periodic este limitat în timp. Exemple de astfel de semnale sunt impulsurile deja menționate, exploziile de impulsuri, „fragmentele” de oscilații armonice etc. Semnalele non-periodice sunt de interes primordial, deoarece sunt utilizate predominant în practică.

Caracteristica principală a unui semnal neperiodic, precum și a unui semnal periodic, este funcția sa spectrală;

Semnalele aleatorii includ semnale ale căror valori nu sunt cunoscute în prealabil și pot fi prezise doar cu o anumită probabilitate mai mică de unu. Astfel de funcții sunt, de exemplu, tensiunea electrică corespunzătoare vorbirii, muzicii, o secvență de caractere a unui cod telegrafic atunci când se transmite un text care nu se repetă. Semnalele aleatorii includ, de asemenea, o secvență de impulsuri radio la intrarea receptorului radar, atunci când amplitudinile impulsurilor și fazele umplerii lor de înaltă frecvență fluctuează din cauza modificărilor condițiilor de propagare, a poziției țintei și a altor motive. . Pot fi date multe alte exemple de semnale aleatorii. În esență, orice semnal care transportă informații ar trebui considerat aleatoriu. Semnalele deterministe enumerate, "complet cunoscute", nu mai contin informatii. În cele ce urmează, astfel de semnale vor fi adesea denumite „oscilații”.

O abordare statistică este utilizată pentru a caracteriza și analiza semnale aleatorii. Principalele caracteristici ale semnalelor aleatorii sunt:

a) legea distribuției probabilităților.

b) distribuţia spectrală a puterii semnalului.

Pe baza primei caracteristici, se poate găsi timpul relativ de rezidență al valorii semnalului într-un anumit interval de nivel, raportul dintre valorile maxime și rădăcina pătrată medie și o serie de alți parametri importanți ai semnalului. A doua caracteristică oferă doar distribuția de frecvență a puterii medii a semnalului. Informații mai detaliate despre componentele individuale ale spectrului - despre amplitudinile și fazele acestora - caracteristica spectrală a unui proces aleatoriu nu oferă.

Alături de semnale aleatorii utile în teorie și practică, trebuie să se ocupe de interferența aleatoare - zgomot. După cum sa menționat mai sus, nivelul de zgomot este principalul factor care limitează rata de transfer de informații pentru un anumit semnal.

Imagini Fourier - coeficienți complexi ai seriei Fourier F(j w k) semnal periodic (1) și densitatea spectrală F(j w) semnal neperiodic (2) - au o serie de proprietăți comune.

1. Liniaritate . Integrale (1) și (2) efectuați o transformare liniară a funcției f(t). Prin urmare, imaginea Fourier a unei combinații liniare de funcții este egală cu o combinație liniară similară a imaginilor acestora. În cazul în care un f(t) = A 1 f 1 (t) + A 2 f 2 (t), apoi F(j w) = A 1 F 1 (j w) + A 2 F 2 (j w), unde F 1 (j baghetă F 2 (j w) - Imagini Fourier ale semnalelor f 1 (t) și f 2 (t), respectiv.

2. Întârziere (schimbarea originii timpului pentru funcțiile periodice) . Luați în considerare semnalul f 2 (t), întârziată pentru un timp t 0 raportat la semnal f 1 (t) care are aceeași formă: f 2 (t) = f 1 (t – t 0). Dacă semnalul f 1 are o poză F 1 (j w), apoi imaginea Fourier a semnalului f 2 egal F 2 (j w) == . Înmulțind și împărțind cu , grupăm termenii după cum urmează:

Deoarece ultima integrală este F 1 (j w), atunci F 2 (j w) = e -j w t 0 F 1 (j w) . Astfel, atunci când semnalul este întârziat pentru un timp t 0 (schimbând originea timpului), modulul densității sale spectrale nu se modifică, iar argumentul scade cu w t 0 proporțional cu timpul de întârziere. Prin urmare, amplitudinile spectrului semnalului nu depind de origine, iar fazele inițiale cu o întârziere de t 0 scădere cu w t 0 .

3. Simetrie . Pentru valabil f(t) imagine F(j w) are simetrie conjugată: F(– j w) = . În cazul în care un f(t) este o funcție pară, atunci Im F(j w) = 0; pentru funcția impară Re F(j w) = 0. Modulul | F(j w)| iar partea reală a lui Re F(j w) - chiar funcții de frecvență, argument arg F(j w) și Im F(j w) - ciudat.

4. Diferenţiere . Din formula de transformare directă, integrând pe părți, obținem legătura imaginii derivate de semnal f(t) cu imaginea semnalului în sine

Pentru o funcție absolut integrabilă f(t) termenul neintegral este egal cu zero și, prin urmare, la , iar ultima integrală reprezintă imaginea Fourier a semnalului original F(j w) . Prin urmare, imaginea Fourier a derivatei df/dt este legată de imaginea semnalului însuși prin relație j w F(j w) - la diferentierea unui semnal, imaginea lui Fourier este inmultita cu j w. Aceeași relație este valabilă pentru coeficienți F(j w k), care sunt determinate prin integrare în limite finite din – T/2 la + T/2. Într-adevăr, produsul în limitele corespunzătoare

Întrucât, datorită periodicității funcției f(T/2) = f(– T/2), a = = = (– 1) k, atunci în acest caz termenul din afara integralei dispare, iar formula

unde săgeata denotă simbolic funcționarea transformării directe Fourier. Această relaţie poate fi generalizată şi la diferenţierea multiplă: pentru n-derivata avem: d n f/dt n (j w) n F(j w).

Formulele obţinute ne permit să găsim imaginea Fourier a derivatelor unei funcţii din spectrul ei cunoscut. De asemenea, este convenabil să aplicăm aceste formule în cazurile în care, ca urmare a diferențierii, ajungem la o funcție a cărei imagine Fourier este calculată mai simplu. Astfel, dacă f(t) este o funcție liniară pe bucăți, apoi derivata ei df/dt este o constantă pe bucăți și pentru aceasta integrala de transformare directă poate fi găsită elementar. Pentru a obține caracteristicile spectrale ale integralei funcției f(t) imaginea sa ar trebui împărțită în j w.

5. Dualitatea timpului și a frecvenței . Compararea integralelor transformării Fourier directe și inverse conduce la concluzia despre simetria lor particulară, care devine mai evidentă dacă se rescrie formula pentru transformarea inversă, transferând factorul 2p în partea stângă a ecuației:

Pentru semnal f(t), care este o funcție uniformă a timpului f(– t) = f(t) când densitatea spectrală F(j w) - valoarea reală F(j w) = F(w), ambele integrale pot fi rescrise în forma trigonometrică a transformării Fourier cosinus:

Cu înlocuire reciprocă tşi w integralele transformărilor directe şi inverse se transformă una în alta. Din aceasta rezultă că dacă F(w) reprezintă densitatea spectrală a unei funcții par a timpului f(t), apoi funcția 2p f(w) este densitatea spectrală a semnalului F(t). Pentru funcții ciudate f(t) [f(t) = – f(t)] densitatea spectrală F(j w) pur imaginar [ F(j w) = jF(w)]. Integrale Fourier în acest caz sunt reduse la forma de transformări sinusoidale, din care rezultă că dacă densitatea spectrală jF(w) corespunde unei funcții impare f(t), apoi valoarea j 2p f(w) reprezintă densitatea spectrală a semnalului F(t). Astfel, graficele dependenței de timp a semnalelor acestor clase și densitatea spectrală a acesteia sunt duale între ele.

Integral (1)

Integral (2)

În ingineria radio, reprezentarea spectrală și temporală a semnalelor este utilizată pe scară largă. Deși semnalele sunt procese aleatorii prin natura lor, totuși, implementările individuale ale unui proces aleator și unele semnale speciale (de exemplu, de măsurare) pot fi considerate funcții deterministe (adică cunoscute). Acestea din urmă sunt de obicei împărțite în periodice și neperiodice, deși semnalele strict periodice nu există. Un semnal se numește periodic dacă îndeplinește condiția

pe un interval de timp , unde T este o valoare constantă, numită perioadă și k este orice număr întreg.

Cel mai simplu exemplu de semnal periodic este o oscilație armonică (sau armonică pe scurt).

unde este amplitudinea, = este frecvența, este frecvența circulară, este faza inițială a armonicii.

Importanța conceptului de armonice pentru teoria și practica ingineriei radio este explicată printr-o serie de motive:

1. semnalele armonice își păstrează forma și frecvența atunci când trec prin circuite electrice liniare staționare (de exemplu, filtre), modificând doar amplitudinea și faza;
2. semnalele armonice sunt generate destul de simplu (de exemplu, folosind oscilatoare LC).

Un semnal non-periodic este un semnal care este diferit de zero într-un interval de timp finit. Un semnal neperiodic poate fi considerat periodic, dar cu o perioadă infinit de mare. Una dintre principalele caracteristici ale unui semnal non-periodic este spectrul acestuia. Spectrul de semnal este o funcție care arată dependența intensității diferitelor armonici din compoziția semnalului de frecvența acestor armonici. Spectrul unui semnal periodic este dependența coeficienților din seria Fourier de frecvența armonicilor cărora le corespund acești coeficienți. Pentru un semnal non-periodic, spectrul este transformata Fourier directă a semnalului. Deci, spectrul unui semnal periodic este un spectru discret (o funcție discretă a frecvenței), în timp ce un semnal neperiodic este caracterizat de un spectru continuu (continuu).

Să acordăm atenție faptului că spectrele discrete și continue au dimensiuni diferite. Spectrul discret are aceeași dimensiune ca și semnalul, în timp ce dimensiunea spectrului continuu este egală cu raportul dintre dimensiunea semnalului și dimensiunea frecvenței. Dacă, de exemplu, semnalul este reprezentat de o tensiune electrică, atunci spectrul discret va fi măsurat în volți [V] și spectrul continuu în volți pe hertz [V/Hz]. Prin urmare, termenul „densitate spectrală” este folosit și pentru spectrul continuu.

Luați în considerare mai întâi reprezentarea spectrală a semnalelor periodice. Din cursul de matematică se știe că orice funcție periodică care îndeplinește condițiile Dirichlet (una dintre condițiile necesare este condiția ca energia să fie finită) poate fi reprezentată printr-o serie Fourier în formă trigonometrică:

unde determină valoarea medie a semnalului pe perioadă și se numește componentă constantă. Frecvența se numește frecvența fundamentală a semnalului (frecvența primei armonice), iar multiplii acesteia se numesc armonici superioare. Expresia (3) poate fi reprezentată ca:

Relațiile inverse pentru coeficienții a și b au forma

Figura 1 prezintă o vedere tipică a graficului spectrului de amplitudine al unui semnal periodic pentru forma trigonometrică a seriei (6):

Folosind o expresie (formula lui Euler).

în loc de (6), putem scrie forma complexă a seriei Fourier:

unde coeficientul se numește amplitudini complexe ale armonicilor, ale căror valori, după cum urmează din (4) și formula lui Euler, sunt determinate de expresia:

Comparând (6) și (9), observăm că atunci când se utilizează forma complexă a seriei Fourier, valorile negative ale lui k ne permit să vorbim despre componente cu „frecvențe negative”. Cu toate acestea, apariția frecvențelor negative este de natură formală și este asociată cu utilizarea unei notații complexe pentru a reprezenta un semnal real.

Atunci în loc de (9) obținem:

are dimensiunea [amplitudine / hertz] și arată amplitudinea semnalului pe bandă de 1 Hertz. Prin urmare, această funcție de frecvență continuă S(jw) se numește densitatea spectrală a amplitudinilor complexe sau pur și simplu densitatea spectrală. Remarcăm o circumstanță importantă. Comparând expresiile (10) și (11), observăm că pentru w=kwo ele diferă doar printr-un factor constant și

acestea. amplitudini complexe ale unei funcții periodice cu perioada T pot fi determinate din caracteristica spectrală a unei funcții neperiodice de aceeași formă, dată în intervalul . Cele de mai sus sunt valabile și în ceea ce privește modulul densității spectrale:

Din această relație rezultă că anvelopa spectrului de amplitudine continuă al unui semnal neperiodic și anvelopa amplitudinilor spectrului de linii ale unui semnal periodic coincid ca formă și diferă doar ca scară. Să calculăm acum energia semnalului neperiodic. Înmulțind ambele părți ale inegalității (14) cu s(t) și integrând în limite infinite, obținem:

unde S(jw) și S(-jw) sunt mărimi complexe conjugate. pentru că

Această expresie se numește egalitatea lui Parseval pentru un semnal neperiodic. Determină energia totală a semnalului. Rezultă că nu există nimic mai mult decât energia semnalului pe 1 Hz al benzii de frecvență din jurul frecvenței w. Prin urmare, funcția este uneori numită densitatea de energie spectrală a semnalului s(t). Prezentăm acum, fără dovezi, câteva teoreme asupra spectrelor care exprimă principalele proprietăți ale transformării Fourier.