Transformată Wavelet - o transformare similară cu transformarea Fourier (sau mult mai mult cu transformarea Fourier cu fereastră) cu o funcție de evaluare complet diferită. Principala diferență constă în următoarele: transformata Fourier descompune semnalul în componente sub formă de sinusuri și cosinus, adică. funcții localizate în spațiul Fourier; dimpotrivă, transformata wavelet folosește funcții localizate atât în ​​spațiul real, cât și în spațiul Fourier. În general, transformarea wavelet poate fi exprimată prin următoarea ecuație:

unde * este simbolul conjugației complexe și al funcției ψ - o anumită funcție. Funcția poate fi aleasă în mod arbitrar, dar trebuie să satisfacă anumite reguli.

După cum puteți vedea, transformarea wavelet este de fapt un set infinit diverse transformăriîn funcție de funcția de scoring utilizată pentru calcularea acesteia. Acesta este motivul principal pentru care termenul « transformarea wavelet» utilizat în situații foarte diferite și pentru diferite aplicații. Există, de asemenea, multe tipuri de clasificare a opțiunilor de transformare wavelet. Aici arătăm doar diviziunea bazată pe ortogonalitatea waveletului. Poate fi utilizat undelete ortogonale pentru transformarea wavelet discretă și undelete non-ortogonale pentru continuu. Aceste două tipuri de transformări au următoarele proprietăți:

1. Transformarea wavelet discretă returnează un vector de date de aceeași lungime ca și intrarea. De obicei, chiar și în acest vector, o mulțime de date este aproape zero. Acest lucru este în concordanță cu faptul că se descompune într-un set de wavelets (funcții) care sunt ortogonale cu translația și scalarea lor paralelă. Prin urmare, descompunem un semnal similar în aceiași sau mai puțini coeficienți de spectru de undă ca numărul de puncte de date ale semnalului. Un astfel de spectru wavelet este foarte bun pentru procesarea și compresia semnalului, de exemplu, deoarece nu primim informații redundante aici.
2. În schimb, transformarea wavelet continuă returnează o matrice cu o dimensiune mai mult decât intrarea. Pentru datele unidimensionale, obținem o imagine a planului timp-frecvență. Puteți urmări cu ușurință schimbarea frecvenței semnalului pe durata acesteia și puteți compara acest spectru cu spectrele altor semnale. Deoarece utilizează un set non-ortogonal de wavelets, datele sunt foarte corelate și extrem de redundante. Acest lucru vă ajută să vedeți rezultatul într-o percepție umană mai apropiată.

Mai multe detalii despre transformarea wavelet sunt disponibile pe mii de resurse de internet wavelet de pe web sau, de exemplu, aici.

Ambele transformări sunt implementate în biblioteca de procesare a datelor Gwyddion, iar modulele care utilizează transformarea wavelet sunt disponibile în meniu Procesarea datelor → Transformări integrale.

Transformare Wavelet discretă

Transformarea wavelet discretă (DWT) este o implementare a unei transformări wavelet folosind un set discret de scale wavelet și translații care respectă anumite reguli. Cu alte cuvinte, această transformare descompune semnalul într-un set reciproc ortogonal de wavelets, care este principala diferență față de transformarea wavelet continuă (CWT) sau implementarea ei pentru serii de timp discrete, uneori numită transformată wavelet în timp discret continuu (DT-CWT). ).

O wavelet poate fi construită dintr-o funcție de scară care descrie proprietățile sale de scalabilitate. Limitarea este că funcția scară trebuie să fie ortogonală transformărilor sale discrete, ceea ce implică unele restricții matematice asupra acestora, care sunt menționate peste tot, i.e. ecuația de homotezie

Unde S- factor de scară (de obicei ales ca 2). Mai mult, aria de sub funcție trebuie să fie normalizată, iar funcția de scalare trebuie să fie ortogonală cu translațiile sale numerice, i.e.

După introducerea unora conditii suplimentare(deoarece restricțiile de mai sus nu au ca rezultat singura solutie) putem obține rezultatul tuturor acestor ecuații, i.e. set finit de coeficienți un k care definesc funcţia de scalare precum şi wavelet. Unda este obținută din funcția de scalare ca N Unde N- un număr întreg par. Se formează apoi setul de undă baza ortonormala pe care îl folosim pentru a descompune semnalul. Trebuie remarcat faptul că, de obicei, doar câțiva coeficienți un k va fi diferit de zero, ceea ce simplifică calculele.

Figura următoare prezintă câteva funcții de scalare și wavelets. Cea mai cunoscută familie de wavelets ortonormalizate este familia Daubechies. Undele sale sunt de obicei notate cu numărul de coeficienți diferit de zero un k deci vorbim de obicei de wavelets Daubechies 4, Daubechies 6 etc. În linii mari, odată cu creșterea numărului de coeficienți wavelet, funcțiile devin mai fine. Acest lucru se vede în mod clar când comparăm waveletele Daubechies 4 și 20 prezentate mai jos. O alta dintre waveletele mentionate - cea mai simplă wavelet Haar care folosește puls dreptunghiular ca funcție de scalare.

Funcția de scalare Haar și wavelet (stânga) și componentele lor de frecvență (dreapta).

Funcția de scalare Daubechies 4 și wavelet (stânga) și componentele lor de frecvență (dreapta).

Funcția de scalare Daubechies 20 și wavelet (stânga) și componentele lor de frecvență (dreapta).

Există mai multe tipuri de implementare a algoritmului de transformare wavelet discretă. Cel mai vechi și mai faimos este algoritmul Malla (piramidal). În acest algoritm, două filtre - netezire și nenetezire - sunt compuse din coeficienți wavelet și aceste filtre sunt aplicate recursiv pentru a obține date pentru toate scalele disponibile. Dacă este folosit Set complet date D = 2 N iar lungimea semnalului este L, datele sunt calculate mai întâi D/2 pentru scară L / 2 N - 1, apoi date ( D / 2) / 2 pentru scară L / 2 N - 2, ... până când la final sunt 2 elemente de date pentru scară L/2... Rezultatul acestui algoritm va fi o matrice de aceeași lungime cu cea de intrare, unde datele sunt de obicei sortate din cele mai multe scară largă la cel mai mic.

Gwyddion folosește un algoritm piramidal pentru a calcula transformarea wavelet discretă. Transformarea wavelet discretă în spațiul 2D este disponibilă în modulul DWT.

Transformarea wavelet discretă poate fi utilizată pentru simplu și îndepărtare rapidă zgomot de la un semnal zgomotos. Dacă luăm doar număr limitat cei mai mari coeficienți spectrali ai transformării wavelet discrete și efectuăm transformarea wavelet inversă (cu aceeași bază), putem obține un semnal mai mult sau mai puțin curățat de zgomot. Există mai multe moduri de a selecta coeficienții de salvare. Gwyddion implementează un prag universal, un prag adaptiv și un prag adaptiv și spațiu. Pentru a determina pragul în aceste metode, determinăm mai întâi estimarea varianței zgomotului dată de

Unde Y ij corespunde tuturor coeficienților din cel mai înalt sub-gamă al scalei de descompunere (unde se așteaptă să fie prezent cea mai mare parte a zgomotului). Sau variația zgomotului poate fi obținută într-un mod independent, de exemplu, ca variația semnalului AFM atunci când scanarea nu rulează. Pentru cea mai mare sub-bandă de frecvențe (pragul universal) sau pentru fiecare sub-bandă (pentru un prag adaptativ la scară) sau pentru mediul fiecărui pixel dintr-o sub-bandă (pentru un prag adaptativ la scară și spațiu) , varianța se calculează ca

Valoarea prag este considerată în forma sa finală ca

Când se cunoaște pragul pentru o scară dată, putem elimina toți coeficienții mai mici decât valoarea pragului (pragul dur) sau putem scădea valoarea absolută a acestor coeficienți cu valoarea pragului (pragul soft).

Eliminarea zgomotului DWT este disponibilă în meniu Procesarea datelor → Transformări integrale→ Eliminați zgomotul DWT.

Transformată wavelet continuă

Continuous Wavelet Transform (CWT) este o implementare a unei transformări wavelet folosind scale arbitrare și wavelet aproape arbitrare. Undelele utilizate nu sunt ortogonale și datele obținute în timpul acestei transformări sunt foarte corelate. Pentru secvențe de timp discrete, puteți utiliza și această transformare, cu restricția că cele mai mici translații wavelet trebuie să fie egale cu eșantionarea datelor. Aceasta este uneori numită Transformare în undă continuă în timp discret (DT-CWT) și este metoda cea mai frecvent utilizată pentru calcularea CWT în aplicațiile din lumea reală.

În principiu, transformarea wavelet continuă funcționează folosind direct definiția transformării wavelet, adică. calculăm convoluția semnalului wavelet scalat. Pentru fiecare scară, obținem în acest fel o mulțime de aceeași lungime N ca semnal de intrare. Folosind M scale alese arbitrar obținem un câmp N × M care reprezintă direct planul timp-frecvenţă. Algoritmul utilizat pentru acest calcul se poate baza pe convoluția directă sau pe convoluția prin multiplicare Fourier (aceasta este uneori numită transformată rapidă wavelet).

Alegerea waveletului pentru utilizare în descompunerea timp-frecvență este cel mai important lucru. Prin această alegere, putem influența rezoluția rezultatului în timp și frecvență.În acest fel, caracteristicile principale ale transformării wavelet nu pot fi modificate (frecvențele joase au rezolutie buna după frecvență și sărac în timp; cele înalte au o rezoluție slabă în frecvență și o rezoluție bună în timp), dar puteți crește ușor frecvența generală sau rezoluția în timp. Aceasta este direct proporțională cu lățimea waveletului utilizat în spațiul real și Fourier. Dacă, de exemplu, folosim unda Morlet (partea reală este funcția cosinus în descompunere), atunci ne putem aștepta Rezoluție înaltăîn frecvențe, deoarece o astfel de undă este foarte bine localizată în frecvență. dimpotrivă, utilizând wavelet gaussian derivat (DOG) obținem o localizare bună în timp, dar săracă ca frecvență.

Transformarea wavelet continuă este implementată în modulul CWT, care este disponibil în meniu Procesarea datelor → Transformări integrale→ CWT.

Surse de

A. Bultheel: Bull. Belg. Matematică. Soc.: (1995) 2

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Procesarea imaginii, (2000) 9 p. 1532

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Procesarea imaginilor, (2000) 9 p. 1522

Se știe că un semnal arbitrar pentru care condiția poate fi reprezentat printr-un sistem ortogonal de funcții:

, (18)

coeficienţii se determină din relaţie

,

Unde - pătratul normei sau energia funcției de bază. Seria (18) se numește seria Fourier generalizată. În acest caz, produsele de forma incluse în seria (18) reprezintă densitatea spectrală a semnalului, iar coeficienții reprezintă spectrul semnalului. Esenta analiza spectrală semnalul constă în determinarea coeficienţilor. Cunoscând acești coeficienți, se pot sintetiza (aproximativ) semnale cu un număr fix al seriei:

.

Serii Fourier generalizate pentru un sistem dat funcții de bazăși numărul de termeni, oferă cea mai bună sinteză în funcție de criteriul erorii pătratice medii minime, care este înțeleasă ca valoare

.

Transformările binecunoscute (Hadamard, Karunen-Loev, Fourier) reprezintă „prost” semnalul nestaționar în coeficienții de expansiune. Să arătăm acest lucru cu următorul exemplu. Să fie dată o funcție nestaționară

și transformata sa Fourier (Fig. 9).

Analiza Fig. 9 arată că non-staționaritatea semnalului de timp este reprezentată de un număr mare de coeficienți de înaltă frecvență, alții decât zero. În acest caz, apar următoarele probleme:

Este dificil de analizat un semnal de timp prin transformarea lui Fourier;

O aproximare acceptabilă a semnalului de timp este posibilă atunci când se ia în considerare un număr mare de coeficienți de înaltă frecvență;

Calitatea vizuală slabă a imaginilor reale reconstruite prin coeficienți de joasă frecvență; etc.

Problemele existente au necesitat dezvoltarea unui aparat matematic de conversie a semnalelor nestaționare. Unul dintre modalități posibile analiza unor astfel de semnale a devenit transformata wavelet (WP).

Orez. 9. Transformată Fourier a unui semnal sinusoidal cu pași mici la trecerea cu zero

IP-ul unui semnal unidimensional este reprezentarea acestuia sub forma unei serii Fourier generalizate sau a unei integrale Fourier peste un sistem de funcții de bază localizate atât în ​​domeniul spațial, cât și în domeniul frecvenței. Un exemplu de astfel de funcție de bază este wavelet Haar, care este definită de expresie

(20)

Grafic, waveletul Haar este reprezentat după cum urmează:

Orez. 10. Funcția wavelet de bază Haar

Luați în considerare procesul de descompunere a semnalului în sistemul de funcții de bază Haar. Prima funcție de bază, spre deosebire de toate cele ulterioare, este o linie dreaptă. În cazul unei baze normalizate, convoluția primei funcție de bază cu semnalul original va determina valoarea medie a acesteia. Fie dat un semnal discret cu lungimea probelor. Funcția de bază normalizată pe interval este descrisă de expresie. Apoi convoluția acestei funcții cu semnalul duce la expresia

Dacă efectuăm sinteza semnalului prin coeficient folosind funcția de sinteză, obținem o componentă constantă corespunzătoare valorii medii a semnalului. Pentru a putea descrie semnalul mai detaliat, calculăm al doilea coeficient folosind funcția de bază reprezentată de expresia (20):

Analiză a acestei expresii arată că coeficientul caracterizează diferența dintre valorile medii ale jumătăților de semnal. Dacă acum efectuăm o sinteză în doi coeficienți cu o funcție de bază de sinteză pentru al doilea coeficient

obținem următoarea aproximare:

Operația de analiză ulterioară, adică calculul coeficienților și sinteza este similară cu cea luată în considerare, cu diferența că toate acțiunile se repetă pentru jumătăți de semnal, apoi pentru un sfert etc. La ultima iterație, analiza este efectuată pentru perechi de variabile aleatoare (Figura 11).

Orez. 11. Conversia perechilor de variabile aleatoare

Ca rezultat, semnalul original este descris cu acuratețe de coeficienții transformării wavelet Haar. Coeficienții wavelet ai semnalului (19) sunt prezentați în Fig. 10.

Din figura dată se poate observa că non-staționaritatea semnalului (picături ascuțite) sunt localizate într-un număr mic de coeficienți wavelet. Acest lucru duce la posibilitatea unei mai bune recuperări a semnalului nestaționar din datele incomplete.

Orez. 12. Coeficienții wavelet ai unei perioade de funcție (19)

La calcularea coeficienților wavelet, funcțiile de bază au acoperit semnalul analizat după cum urmează (Fig. 12). Din fig. 12 arată că sistemul de funcții de bază Haar în spațiu discret ar trebui specificat de doi parametri: deplasare și frecvență (scală):

,

unde este scara funcției de bază; - schimb. În cazul discret, parametrul de scară, unde este orice număr întreg pozitiv, parametrul de deplasare. Astfel, întregul set de funcții de bază poate fi scris ca

.

EP-urile discrete înainte și înapoi sunt calculate prin formule

,

.

Trebuie remarcat faptul că, dacă numărul de probe, atunci valoarea maximă este. Cea mai mare valoare a curentului este.

Pentru semnalele continue vor fi valabile următoarele expresii integrale:

,

.

Astfel, prin specificarea funcțiilor wavelet, este posibil să se descompună semnalul în bază wavelet de semnale continue sau discrete.

Orez. 13. Distribuția funcțiilor de bază Haar în analiza semnalului

O funcție poate forma o bază wavelet dacă îndeplinește următoarele condiții:

1. Limitarea normei:

.

2. Funcția wavelet trebuie să fie limitată atât în ​​timp, cât și în frecvență:

și , la .

Contraexemplu: funcția delta și funcția armonică nu îndeplinesc această condiție.

3. Medie zero:

Dacă generalizăm această condiție, atunci putem obține formula , care determină gradul de netezime al funcţiei. Se crede că, cu cât gradul de netezime al funcției de bază este mai mare, cu atât proprietățile sale de aproximare sunt mai bune.

Ca exemplu, prezentăm următoarele funcții wavelet bine-cunoscute:

, .

Pentru VP, precum și pentru DFT, există un algoritm de transformare rapidă. Luați în considerare din nou vicepreședintele Haar. Din fig. 13, se poate observa că funcțiile de factor la scară mică folosesc aceleași eșantioane de semnal pentru a calcula coeficienții ca și funcțiile de factor la scară mare. În acest caz, operația de însumare a acelorași citiri se repetă de mai multe ori. Prin urmare, pentru a reduce cantitatea de calcul, este recomandabil să se calculeze VI-ul de la cel mai mic factor de scară. Ca rezultat, obținem coeficienții wavelet, care sunt valorile medii si diferenta ... Pentru cote repeta această procedură... În acest caz, media coeficienților va corespunde medierii a patru mostre de semnal, dar aceasta consumă o operație de înmulțire și o operație de adunare. Procesul de descompunere se repetă până când toți coeficienții spectrului au fost calculați.

Să scriem algoritmul rapid de transformare wavelet Haar sub formă de matrice. Fie dat un vector dimensiunea a 8 elemente. Matricea de transformare Haar este scrisă ca

Transformată wavelet continuă

Proprietăți de transformare wavelet

Cerințe Wavelet

Pentru a implementa transformarea wavelet, funcțiile wavelet trebuie să îndeplinească următoarele criterii:

1. Unda trebuie să aibă o energie finită:

2. Dacă transformata Fourier este pentru, adică

atunci trebuie îndeplinită următoarea condiție:

Această condiție se numește condiție de admisibilitate și din aceasta rezultă că wavelet cu o componentă de frecvență zero trebuie să îndeplinească condiția sau, în alt caz, wavelet trebuie să aibă o medie egală cu zero.

3. Criteriu suplimentar este prezentată pentru wavelets complexe și anume că pentru ele transformata Fourier trebuie să fie simultan reală și trebuie să scadă pentru frecvențe negative.

4. Localizare: unda trebuie să fie continuă, integrabilă, să aibă un purtător compact și să fie localizată atât în ​​timp (în spațiu), cât și în frecvență. Dacă wavelet se îngustează în spațiu, atunci frecvența sa medie crește, spectrul wavelet se deplasează în regiunea de frecvențe mai înalte și se extinde. Acest proces ar trebui să fie liniar - îngustarea waveletului la jumătate ar trebui să-și mărească frecvența medie și lățimea spectrală să se dubleze.

1. Linearitate

2. Invarianța deplasării

O schimbare în timp a semnalului cu t0 duce și la o schimbare a spectrului wavelet cu t0.

3. Invarianța de scalare

Întinderea (compresia) semnalului are ca rezultat compresia (întinderea) spectrului de undă al semnalului.

4. Diferențierea

De aici rezultă că nu are nicio diferență dacă funcția sau waveletul de analiză este diferențiată. Dacă waveletul de analiză este dat de o formulă, atunci poate fi foarte util pentru analiza semnalului. Această proprietate este utilă în special dacă semnalul este specificat de o serie discretă.

Transformarea wavelet pentru un semnal continuu în raport cu funcția wavelet este definită după cum urmează:

unde înseamnă conjugat complex pentru, parametrul corespunde deplasării în timp și se numește parametru de poziție, parametrul specifică scalarea și se numește parametru de întindere.

Funcția de ponderare.

Putem defini o funcție normalizată după cum urmează

ceea ce înseamnă deplasare în timp cu b și scalare în timp cu a. Apoi formula pentru transformarea wavelet se va schimba în

Semnalul original poate fi reconstruit folosind formula de transformare inversă

În cazul discret, parametrii de scalare a și deplasare b sunt reprezentați prin valori discrete:

Atunci waveletul de analiză are următoarea formă:

unde m și n sunt numere întregi.

În acest caz, pentru un semnal continuu, transformarea wavelet discretă și ea transformare inversă se va scrie cu următoarele formule:

Mărimile sunt cunoscute și sub denumirea de coeficienți wavelet.

există o constantă de normalizare.

În practică, DTWS ar trebui aplicat semnalelor cu lungime finită. Astfel, acesta trebuie modificat pentru a obține o succesiune de coeficienți de aceeași lungime dintr-un semnal de o anumită lungime. Transformarea rezultată se numește transformată wavelet discretă (DWT).

Mai întâi, descriem DWT sub formă de matrice și apoi pe baza băncilor de filtre, care este cel mai des folosit în procesarea semnalului.

În ambele cazuri, presupunem că baza funcţionează şi
sunt definite compact. Acest lucru garantează automat caracterul finit al secvenţelor. și ... Să presupunem în continuare că semnalul care este transformat are o lungime
.

1. Descrierea matricei dwt

Să notăm prin vector succesiune de lungime finită pentru unii ... Acest vector este convertit în vector
conţinând secvenţe
și
, fiecare jumătate din lungime. Transformarea poate fi scrisă ca înmulțire matriceală
unde matricea
- pătrat și este format din zerouri și elemente înmulțit cu
... Datorita proprietatilor obţinută în Secţiunea 2.3, matricea
este ortonormal, iar inversul său este egal cu cel transpus. Ca o ilustrare, luați în considerare următorul exemplu. Luați un filtru cu o lungime
, o secvență de lungime
, si ca valoarea initiala -
... Secvenţă ia de la prin formula (2.35), unde
... Apoi operația de multiplicare matrice-vector va fi reprezentată sub formă

. (2.52)

Transformarea inversă este înmulțirea
pe matricea inversă
:

. (2.53)

Astfel, expresia (2.51) este un pas DWT. DWT complet este de a multiplica iterativ jumătatea superioară a vectorului
pe matrice pătrată
a cărui dimensiune
... Această procedură poate fi repetată d ori până când lungimea vectorului este egală cu 1.

În rândurile al patrulea și al optulea ale matricei (2.51), secvența deplasați circular: coeficienții din afara matricei din dreapta sunt plasați în același rând din stânga. Aceasta înseamnă că DWT este exact o perioadă lungă N Semnal DTWS obţinut prin continuare periodică infinită ... Deci DWT, atunci când este definit în acest fel, folosește periodicitatea semnalului, așa cum este cazul DFT.

Descrierea matricei a DWT este concisă și clară. Cu toate acestea, la procesarea semnalelor, DWT este cel mai adesea descris prin intermediul unei diagrame bloc similare cu diagrama unui sistem de analiză-sinteză (vezi Figura 1.1).

1. Descrierea dwt folosind blocuri de filtrare

Luând în considerare transformările sub-bandă din Capitolul 1, am interpretat egalități similare cu (2.45) și (2.46) ca filtrare urmată de decimare la jumătate. Deoarece în acest caz există două filtre și , atunci banca de filtre este cu două benzi și poate fi reprezentată așa cum se arată în Figura 2.5.

Filtre Fși Eînseamnă filtrare prin filtre și
, respectiv. Filtrarea trece-jos se realizează în ramura inferioară a circuitului. Rezultatul este o aproximare a semnalului, o subbandă de frecvență joasă (LF) lipsită de detalii. O subbandă de înaltă frecvență (HF) este evidențiată în partea de sus a circuitului. Rețineți că atunci când procesați semnale, constanta
este întotdeauna eliminat din banca de filtre și semnalul este înmulțit cu 2 (vezi figura 3.2, capitolul 3).

Deci, circuitul din Figura 2.5 împarte semnalul de nivel
semnale cu două niveluri
... Mai mult, transformarea wavelet este obținută prin aplicarea recursiv a acestei scheme la partea de joasă frecvență. Când se realizează transformarea wavelet a imaginii, fiecare iterație a algoritmului este efectuată mai întâi la rânduri, apoi la coloanele imaginii (este construită așa-numita piramidă Mallat). În codecurile video ADV6xx se folosește o piramidă Mallat modificată, când la fiecare iterație transformarea nu se realizează neapărat atât în ​​rânduri, cât și în coloane. Aceasta este pentru mai mult contabilitate completă percepția vizuală a unei persoane.

Transformarea rezultată este similară cu (2.51). Cu toate acestea, există unele diferențe. La filtrarea unui semnal de lungime finită ne confruntăm cu problema continuării acestuia la limită. Execuția matricei a DWT este echivalentă cu continuarea periodică a semnalului la graniță. Acest tip de continuare este necesar pentru filtrele ortogonale. În cazul utilizării filtrelor biortogonale apar și alte posibilități datorită simetriei caracteristicilor acestora. Această problemă va fi discutată mai detaliat în capitolul 3.

O schemă care realizează DWT poate fi de asemenea reprezentată așa cum se arată în Figura 2.6. Aici, filtrarea recursivă și decimarea sunt înlocuite cu o operație de filtrare și o operație de decimare pe sub-bandă. Definirea filtrelor iterative și cel mai ușor să cedezi domeniul de frecventa.

Transformări wavelet discrete.

6.3.3.1. Informatii generale despre transformările wavelet.

Transformarea wavelet a semnalelor este o generalizare a analizei spectrale, un reprezentant tipic al căreia este transformata Fourier clasică.

Transformarea wavelet (WT) este clasificată în discretă (DWT) și continuă (CWT). DWT este folosit pentru transformarea semnalului și codificare, CWT este folosit pentru analiza semnalului.

În analiza wavelet, rolul funcțiilor de bază este jucat de funcții de un tip special numit wavelets. Termenul „wavelet” în traducere din engleză înseamnă „undă mică (scurtă)”. Waveletele sunt un nume generalizat pentru familiile de funcții de formă specifice care sunt locale în timp și frecvență și în care toate funcțiile sunt obținute dintr-o funcție de bază (generatoare) prin intermediul deplasărilor și întinderilor sale de-a lungul axei timpului.

Transformele wavelet iau în considerare funcțiile de timp analizate în termeni de oscilații localizate în timp și frecvență.

Trăsătură distinctivă Analiza wavelet este că poate folosi o familie de funcții care le implementează diferite opțiuni relații de incertitudine. În consecință, cercetătorul are o alegere flexibilă între ele și utilizarea acelor funcții wavelet care rezolvă cel mai eficient sarcinile atribuite.

Domeniul principal de aplicare a transformărilor wavelet este analiza și procesarea semnalelor și funcțiilor care sunt nestaționare în timp, când rezultatele analizei ar trebui să conțină nu numai răspuns în frecvență semnal (distribuția energiei semnalului pe componente de frecvență), dar și informații despre coordonatele locale pe care se manifestă anumite grupuri de componente de frecvență sau pe care schimbări rapide componentele de frecvență ale semnalului.

În Figura 3.1, semnalul analizat constă din doi deesieni modulați. Transformarea wavelet Morlet arată clar localizarea lor spațială și de frecvență, în timp ce spectrul Fourier oferă doar localizarea în frecvență.

Una dintre ideile principale și mai ales fructuoase ale reprezentării wavelet a semnalelor este împărțirea funcțiilor de abordare a semnalului în două grupe: aproximare - brută, cu o dinamică temporală destul de lentă a modificărilor și detaliere - cu dinamică locală și rapidă a modificărilor. pe fondul dinamicii netede, cu fragmentarea lor ulterioară și detalierea la alte niveluri de descompunere a semnalului. Acest lucru este posibil atât în ​​domeniul timpului, cât și al frecvenței reprezentării semnalelor prin wavelet.

Desen

Figura 3.1 - transformarea wavelet a unui semnal

6.3.3.2. Funcțiile de bază ale transformărilor wavelet.

Waveletele au forma unor pachete de unde scurte cu zi medie zero, localizate de-a lungul axei argumentelor, invariante față de deplasare și liniară față de operația de scalare. În ceea ce privește localizarea în timp și reprezentarea frecvenței, waveletele ocupă o poziție intermediară între funcțiile armonice localizate în frecvență și funcția Dirac, localizată în timp.

Funcția wavelet de bază este un fel de oscilație „scurtă”. Mai mult, conceptul de frecvență a analizei spectrale a fost înlocuit cu o scară, iar pentru suprapunere „ unde scurte» Întreaga axă a timpului este deplasată în timp. Baza waveletelor sunt funcții temporale de tipul:

, (3.1)

unde b este deplasarea;

o scală.

Funcția trebuie să aibă zonă zero. Transformarea Fourier a unor astfel de funcții este egală cu zero la frecvență zero și are forma unui filtru trece-bandă. Înțelesuri diferite parametrul de scară „a” acesta corespunde setului de filtre trece-bandă. Familiile de wavelets din domeniul timpului sau al frecvenței sunt folosite pentru a reprezenta semnale și funcționează ca suprapoziții de wavelet la diferite niveluri de scară de descompunere a semnalului (descompunere).

Următoarea funcție

nu depinde de parametrii şi. Vector, dat de funcţie, are o lungime constantă în spațiu:

.

În practică, funcția este adesea folosită ca funcție de bază

numit pălăria mexicană.

6.3.3.3. Transformată wavelet continuă.

Să fie o funcție și o anumită funcție - o funcție de bază. Transformarea wavelet continuă este descrisă printr-o expresie de forma:

. (3.2)

Dacă funcția de bază este descrisă prin expresia:

,

atunci rezultatul este transformata Fourier obișnuită (în acest caz, parametrul nu este utilizat).

Pentru a acoperi întreaga axă a timpului a spațiului prin funcția wavelet, utilizați operația de deplasare (deplasare de-a lungul axei timpului): , unde valoarea lui b pentru CWP este continuă. Pentru a acoperi totul gama de frecvente se utilizează operația de scalare temporală a waveletului cu schimbare continuă a variabilei independente: ... Astfel, prin deplasarea de-a lungul variabilei independente (tb), wavelet are capacitatea de a se deplasa de-a lungul întregii axe numerice a unui semnal arbitrar și prin schimbarea variabilei de scară „a” (la un punct fix (tb) al axei) , „vedeți” spectrul de frecvență al semnalului pe un anumit interval din vecinătatea acestor puncte.

Astfel, transformarea wavelet continuă este o descompunere a semnalului în ceea ce privește toate deplasările și contracțiile / întinderile posibile ale unei funcții finite localizate - o wavelet. În acest caz, variabila „a” determină scara waveletului și este echivalentă cu frecvența în transformatele Fourier, iar variabila „b” este deplasarea waveletului de către semnalul din punctul inițial din domeniul definiției sale, scara lui care repetă scara de timp a semnalului analizat.

Conceptul de scară a IP are o analogie cu scara hărților geografice. Valorile la scară mai mare corespund reprezentării globale a semnalului și valori scăzute scalele vă permit să distingeți detaliile. În ceea ce privește frecvența, frecvențele joase corespund informațiilor globale ale semnalului, iar frecvențele înalte corespund informatii detaliateși caracteristici care sunt scurte ca întindere, de ex. scara waveletului, ca unitate a reprezentării timp-frecvență a semnalelor, este reciproca frecvenței. Scalare ca operatie matematica, extinde sau contractă semnalul. Valorile la scară mare corespund extensiilor de semnal, iar valorile la scară mică corespund versiunilor comprimate. În definiția wavelet, factorul de scară A stă la numitor. Respectiv, A> 1 extinde semnalul, A < 1 сжимает его.

6.3.3.4. Transformată wavelet discretă.

În principiu, la procesarea datelor pe un PC, se poate realiza o versiune discretizată a transformării wavelet continue cu setarea unor valori discrete ale parametrilor (a, b) wavelets cu un pas arbitrar a și b. Rezultatul este un număr în exces de coeficienți, depășind cu mult numărul de mostre ale semnalului original, care nu este necesar pentru reconstrucția semnalului.

Transformarea wavelet discretă (DWT) oferă suficiente informații atât pentru analiza semnalului, cât și pentru sinteza, fiind în același timp economică în ceea ce privește numărul de operații și memoria necesară. Fibreboard funcționează cu valori discrete ale parametrilor Ași b, care sunt setate, de regulă, sub formă de funcții de putere:

,

,

Unde ;

Numere întregi;

Parametrul de scară;

Parametrul de schimbare.

Baza spațială în reprezentarea discretă:

Coeficienții wavelet de transformare directă:

. (3.5)

Valoarea „a” poate fi arbitrară, dar de obicei este luată egală cu 2, iar transformarea este numită transformarea wavelet diadic... Pentru transformarea diadică, a algoritm rapid calcule, similare cu transformata Fourier rapidă, care a predeterminat utilizarea sa pe scară largă în analiza matricelor de date digitale.

Reversul transformare discretă pentru semnale continue cu o bază de undeletă ortogonală normalizată a spațiului:

. (3.6)

Numărul de wavelets utilizate prin factorul de scară m specifică nivelul descompunere semnal, în timp ce nivelul zero (m = 0) este de obicei luat drept nivelul rezoluției temporale maxime a semnalului, i.e. semnalul în sine și nivelurile ulterioare (m< 0) образуют ниспадающее arbore wavelet... V software calcule pentru a exclude utilizarea numerotării negative cu m, semnul minus este de obicei transferat direct la următoarea performanță functii de baza:

6.3.3.5. Localizarea timp-frecvență a analizei wavelet.

Semnale reale sunt de obicei finite. Spectrul de frecvență al semnalelor este invers proporțional cu durata lor. În consecință, o analiză a semnalului de frecvență joasă suficient de precisă ar trebui efectuată la intervale mari de atribuire și analiza de înaltă frecvență la intervale mici. Dacă compoziția de frecvență a semnalului suferă modificări semnificative în intervalul de atribuire, atunci transformata Fourier oferă numai datele medii ale compoziției de frecvență a semnalului cu o rezoluție de frecvență constantă. O anumită localizare timp-frecvență a analizei este creată de acțiunea unei transformări Fourier cu ferestre, care dă o familie de spectre de frecvență localizate în timp, dar într-o lățime constantă a ferestrei a funcției de fereastră și, prin urmare, și cu o constantă. valoarea rezoluției atât a frecvenței, cât și a timpului.

Spre deosebire de transformata Fourier cu fereastră, transformata wavelet, cu valori discrete similare ale deplasărilor b, oferă familiilor de spectre de coeficienți de scară A compresie-întindere:

. (3.8)

Dacă presupunem că fiecare wavelet are o anumită „lățime” a ferestrei sale de timp, care corespunde unei anumite frecvențe „medii” a imaginii spectrale wavelet, invers cu factorul său de scară A, atunci familiile de coeficienți de scară ai transformării wavelet pot fi considerate similare cu familiile de spectre de frecvență ale transformării Fourier cu ferestre, dar cu una diferenta fundamentala... Coeficienții de scară modifică „lățimea” waveletelor și, în consecință, frecvența „medie” a transformărilor lor Fourier și, prin urmare, fiecare frecvență are propria sa durată a ferestrei de timp de analiză și invers. Deci valori mici ale parametrului A, care caracterizează componentele rapide din semnale, corespund frecvenţelor înalte, şi valori mari – frecvențe joase... Schimbând scara, waveletele sunt capabile să dezvăluie diferențe în frecvente diferite, și datorită deplasării (parametrului b) analizați proprietățile semnalului în puncte diferite pe întreg intervalul de timp investigat. Fereastra de timp de transformare wavelet multidimensională este adaptată pentru detectarea optimă atât a frecvenței joase, cât și caracteristici de înaltă frecvență semnale.

Astfel, pe frecvente inalte rezoluție mai bună în timp și la frecvență scăzută. Pentru componenta de înaltă frecvență a semnalului, putem indica mai precis poziția sa în timp, iar pentru componenta de joasă frecvență, valoarea de frecvență.

Informațiile de înaltă frecvență (la scară mică) sunt calculate pe baza intervalelor lungi de semnal, iar informațiile de joasă frecvență pe baza celor mari. Deoarece semnalele analizate sunt întotdeauna finite, atunci când se calculează coeficienții la limitele setării semnalului, zona de valabilitate depășește limitele semnalului, iar pentru a reduce eroarea de calcul, semnalul este completat prin stabilirea condițiilor inițiale și finale.

6.3.3.6. Avantajele și dezavantajele analizei wavelet.

Avantajele analizei wavelet includ:

Transformările wavelet au toate avantajele transformărilor Fourier;

Bazele wavelet pot fi bine localizate atat in frecventa cat si in timp;

Când se disting procesele de scară diferită bine localizate în semnale, pot fi luate în considerare doar acele nivele de descompunere la scară care sunt de interes;

Bazele wavelet, spre deosebire de transformata Fourier, au multe diferite funcții de bază, ale căror proprietăți sunt concentrate pe rezolvarea diferitelor probleme.

Dezavantajul transformărilor wavelet este complexitatea lor relativă.

6.3.3.7. Proprietățile analizei wavelet.

Obținerea informațiilor obiective despre semnal se bazează pe proprietățile transformării wavelet, care sunt comune pentru toate tipurile de wavelet. Să luăm în considerare principalele acestor proprietăți. Pentru a desemna funcționarea transformării wavelet a funcțiilor arbitrare x (t), vom folosi indicele TW.

Liniaritate.

TW [α · x 1 (t) + β · x 2 (t)] = α · TW + β · TW.

Invarianța la forfecare. O deplasare a semnalului în timp cu t 0 duce la o deplasare a spectrului wavelet tot cu t 0:

TW = X (a, b-t o).

Invarianța de scalare. Întinderea (compresia) semnalului duce la compresia (întinderea) spectrului de wavelet al semnalului:

TW = (1 / а о) X (a / а о, b / а о).

Diferenţiere.

D n (TW) / dt n = TW.

TW = (-1) n x (t) dt.

Nu are nicio diferență dacă funcția este diferențiată sau wavelet de analiză. Dacă wavelet de deelizing este dat de o formulă, atunci aceasta poate fi foarte utilă pentru de-eliberarea semnalelor. Este posibil să se analizeze caracteristicile de ordin înalt sau variațiile la scară mică ale semnalului x (t) ignorând componentele polinomiale la scară mare (tendință și fundal regional) prin diferențierea numărului necesar de ori fie al waveletului, fie al semnalului însuși. Această proprietate este utilă în special atunci când semnalul este specificat de o serie discretă.

Un analog al teoremei lui Parseval pentru undele ortogonale și biortogonale.

X 1 (t) x 2 * (t) = X ψ -1 a -2 X (a, b) X * (a, b) da db.

Prin urmare, rezultă că energia semnalului poate fi calculată prin coeficienții transformării wavelet.

Cele elementare prelucrare digitală semnale: tutorial/ Yu.A. Bryukhanov, A.A. Priorov, V.I. Dzhigan, V.V. Hrîașciov; Yarros. Stat un-t ei. P.G. Demidov. - Yaroslavl: YarSU, 2013 .-- 344 p. (pag. 270)