Proprietăți ale înmulțirii matricelor și transformărilor elementare ale matricei. Transformări elementare ale rândurilor matriceale

02.07.2020 In contact cu

Transformări matriceale elementare sunt utilizate pe scară largă în diverse probleme matematice. De exemplu, ele stau la baza celebrei metode gaussiene (metoda de eliminare a necunoscutelor) pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Transformările elementare includ:

1) rearanjarea a două rânduri (coloane);

2) înmulțirea tuturor elementelor unui rând (coloană) a matricei cu un număr diferit de zero;

3) adunarea a două rânduri (coloane) ale unei matrice înmulțite cu același număr, diferit de zero.

Cele două matrici sunt numite echivalent, dacă una dintre ele poate fi obținută de la cealaltă după un număr finit de transformări elementare. În general, matricele echivalente nu sunt egale, dar au același rang.

Calculul determinanților folosind transformări elementare

Folosind transformări elementare este ușor de calculat determinantul matricei. De exemplu, trebuie să calculați determinantul unei matrice:

Apoi puteți elimina multiplicatorul:

acum, scăzând din elemente j a coloanei a-lea, elementele corespunzătoare primei coloane, înmulțite cu , se obține determinantul:

care este egal cu: unde

Apoi repetăm aceiași pași pentru și, dacă toate elementele, atunci obținem în sfârșit:

Dacă pentru un anumit determinant intermediar se dovedește că elementul său din stânga sus este , atunci este necesar să rearanjați rândurile sau coloanele astfel încât noul element din stânga sus să nu fie egal cu zero. Dacă Δ ≠ 0, atunci acest lucru se poate face întotdeauna. Trebuie avut în vedere faptul că semnul determinantului se modifică în funcție de care element este principalul (adică atunci când matricea este transformată astfel încât ). Atunci semnul determinantului corespunzător este egal cu .

EXEMPLU Folosind transformări elementare, reduceți matricea

la o formă triunghiulară.

Soluție: În primul rând, înmulțiți primul rând al matricei cu 4 și al doilea cu (–1) și adăugați primul rând la al doilea:

Acum înmulțiți prima linie cu 6 și a treia cu (–1) și adăugați prima linie la a treia:

În cele din urmă, înmulțiți a doua linie cu 2 și a treia cu (–9) și adăugați a doua linie la a treia:

Rezultatul este o matrice triunghiulară superioară

Exemplu. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind aparatul matriceal:

Soluţie. Să scriem acest sistem de ecuații liniare sub formă de matrice:

Soluția acestui sistem de ecuații liniare sub formă de matrice are forma:

unde este inversul matricei matricei A.

Determinant al matricei coeficienților A egal cu:

de aici matricea A are o matrice inversă.

2. Maltsev A.I. Bazele algebrei liniare. – M.: Nauka, 1975. – 400 p.

3. Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. Manual de matematică pentru ingineri și studenți. – M.: Nauka, 1986. – 544 p.

Transformări matriceale elementare- sunt transformări ale matricei, în urma cărora se păstrează echivalența matricelor. Astfel, transformările elementare nu modifică setul de soluții al sistemului de ecuații algebrice liniare pe care îl reprezintă această matrice.

Transformările elementare sunt folosite în metoda Gaussiană pentru a reduce o matrice la o formă triunghiulară sau în trepte.

Definiție

Conversii elementare de șiruri sunt numite:

În unele cursuri de algebră liniară, permutarea rândurilor matricei nu se distinge ca o transformare elementară separată datorită faptului că permutarea oricăror două rânduri matricei poate fi obținută prin înmulțirea oricărui rând matricei cu o constantă și adăugând un alt rând la orice rând de matrice înmulțit. printr-o constantă , .

Definit în mod similar transformări elementare ale coloanei.

Transformări elementare reversibil.

Notația indică faptul că matricea poate fi obținută din transformări elementare (sau invers).

Proprietăți

Invarianța de rang în cadrul transformărilor elementare

Echivalența SLAE-urilor în cadrul transformărilor elementare

Hai sa sunăm transformări elementare asupra unui sistem de ecuații algebrice liniare :

rearanjarea ecuațiilor;
înmulțirea unei ecuații cu o constantă diferită de zero;
adunarea unei ecuații la alta, înmulțită cu o constantă.

Acestea. transformări elementare asupra matricei sale extinse. Atunci următoarea afirmație este adevărată: Amintim că două sisteme sunt numite echivalente dacă seturile lor de soluții coincid.

Găsirea matricilor inverse

Teoremă (despre găsirea matricei inverse).
Fie determinantul matricei diferit de zero, fie matricea definită prin expresia . Apoi, în timpul unei transformări elementare a rândurilor matricei în matricea de identitate din compoziție, are loc simultan o transformare a.

Reducerea matricilor la formă eșalonată

Să introducem conceptul de matrice pasă: O matrice are vedere în trepte , dacă: Atunci următoarea afirmație este adevărată:

Definiții înrudite

Matrice elementară. Matricea A este elementară dacă înmulțirea unei matrice arbitrare B cu aceasta duce la transformări elementare ale rândurilor din matricea B.

Literatură

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Algebră liniară: manual pentru universități. - Ed. a VI-a, șters. - M.: FIZMATLIT, 2004. - 280 p.

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce sunt „Transformările matriceale elementare” în alte dicționare:

Introducere. E. particulele în sensul exact al acestui termen sunt particule primare, în continuare necompuse, din care, prin presupunere, constă toată materia. În modern termenul de fizică „E. h." folosit de obicei nu în sensul său exact, dar mai puțin strict pentru nume... ... Enciclopedie fizică

Introducere. E. particulele în sensul exact al acestui termen sunt particule primare, în continuare necompuse, din care, prin presupunere, constă toată materia. În conceptul „E. h." în fizica modernă ideea de entități primordiale își găsește expresie... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Acest termen are alte semnificații, vezi Matrice. Matricea este un obiect matematic scris ca un tabel dreptunghiular de elemente ale unui inel sau câmp (de exemplu, numere întregi, reale sau numere complexe) care reprezintă ... ... Wikipedia

O matrice este un obiect matematic scris sub forma unui tabel dreptunghiular de numere (sau elemente ale unui inel) și care permite operații algebrice (adunare, scădere, înmulțire etc.) între aceasta și alte obiecte similare. Reguli de executare... ... Wikipedia

Transformările elementare sunt folosite în metoda Gaussiană pentru a reduce o matrice la o formă triunghiulară sau în trepte.

Definiție

Conversii elementare de șiruri sunt numite:

În unele cursuri de algebră liniară, permutarea rândurilor de matrice nu este separată într-o transformare elementară separată, datorită faptului că permutarea oricăror două rânduri de matrice poate fi obținută prin înmulțirea oricărui rând de matrice cu o constantă. k (\displaystyle k), și adăugând la orice rând al matricei un alt rând, înmulțit cu o constantă k (\displaystyle k), k ≠ 0 (\displaystyle k\neq 0).

Definit în mod similar transformări elementare ale coloanei.

Transformări elementare reversibil.

Notația indică faptul că matricea A (\displaystyle A) poate fi obtinut de la B (\displaystyle B) prin transformări elementare (sau invers).

Proprietăți

Invarianța de rang în cadrul transformărilor elementare

Teorema (asupra invarianței rangului sub transformări elementare).
Dacă A ∼ B (\displaystyle A\sim B), Acea r a n g A = r a n g B (\displaystyle \mathrm (sunet) A=\mathrm (sunet) B).

Echivalența SLAE-urilor în cadrul transformărilor elementare

Hai sa sunăm transformări elementare asupra unui sistem de ecuații algebrice liniare :

rearanjarea ecuațiilor;
înmulțirea unei ecuații cu o constantă diferită de zero;
adunarea unei ecuații la alta, înmulțită cu o constantă.

Adică transformări elementare peste matricea sa extinsă. Atunci următoarea afirmație este adevărată: Amintim că două sisteme sunt numite echivalente dacă seturile lor de soluții coincid.

Găsirea matricilor inverse

Teoremă (despre găsirea matricei inverse).
Fie determinantul matricei A n × n (\displaystyle A_(n\times n)) nu este egal cu zero, fie matricea B (\displaystyle B) este determinată de expresie B = [ A | E ] n × 2 n (\displaystyle B=_(n\times 2n)). Apoi, cu o transformare elementară a rândurilor matricei A (\displaystyle A) la matricea identitară E (\displaystyle E) ca parte din B (\displaystyle B) transformarea are loc în același timp E (\displaystyle E) La A - 1 (\displaystyle A^(-1)).

Următoarele trei operații sunt numite transformări elementare ale rândurilor matriceale:

1) Înmulțirea rândului i al matricei cu numărul λ ≠ 0:

pe care o vom scrie sub forma (i) → λ(i).

2) Permutarea a două rânduri dintr-o matrice, de exemplu rândurile i-lea și k-lea:

pe care o vom scrie sub forma (i) ↔ (k).

3) Adăugând la al-lea rând al matricei k-lea rând cu coeficientul λ:

pe care o vom scrie sub forma (i) → (i) + λ(k).

Operații similare pe coloanele matrice sunt numite transformări elementare ale coloanei.

Fiecare transformare elementară a rândurilor sau coloanelor unei matrice are transformare elementară inversă, care transformă matricea transformată în cea originală. De exemplu, transformarea inversă pentru permutarea a două șiruri este de a permuta aceleași șiruri.

Fiecare transformare elementară a rândurilor (coloanelor) matricei A poate fi interpretată ca o înmulțire a lui A din stânga (dreapta) cu o matrice de tip special. Această matrice se obține dacă se efectuează aceeași transformare matrice de identitate. Să aruncăm o privire mai atentă asupra conversiilor elementare de șiruri.

Fie matricea B obținută prin înmulțirea rândului i al matricei A de tip m×n cu un număr λ ≠ 0. Atunci B = E i (λ)A, unde matricea E i (λ) se obține din matricea de identitate E de ordinul m înmulțind a i-a linie a acesteia cu numărul λ.

Fie obținută matricea B ca rezultat al permutării rândurilor i și k ale matricei A de tip m×n. Atunci B = F ik A, unde matricea F ik se obține din matricea de identitate E de ordinul m prin rearanjarea rândurilor sale i-lea și k-lea.

Fie ca matricea B să fie obținută prin adăugarea rândului său k cu coeficientul λ la rândul i al unei matrice m×n A. Atunci B = G ik (λ)А, unde matricea G ik se obține din matricea de identitate E de ordinul m prin adăugarea rândului k cu coeficientul λ la rândul i, adică. la intersecția rândului i și coloanei k a matricei E, elementul zero este înlocuit cu numărul λ.

Transformările elementare ale coloanelor matricei A sunt implementate exact în același mod, dar în același timp este înmulțită cu matrici de tip special nu în stânga, ci în dreapta.

Folosind algoritmi care se bazează pe transformări elementare de rânduri și coloane, matricele pot fi transformate în diferite forme. Unul dintre cei mai importanți astfel de algoritmi stă la baza demonstrației următoarei teoreme.

Teorema 10.1. Folosind transformări elementare de rând, orice matrice poate fi redusă la vedere în trepte.

◄ Demonstrarea teoremei constă în construirea unui algoritm specific de reducere a matricei la formă eșalonată. Acest algoritm constă în repetarea în mod repetat, într-o anumită ordine, a trei operații asociate cu un element de matrice curent, care este selectat în funcție de locația sa în matrice. La primul pas al algoritmului, îl selectăm pe cel din stânga sus ca element curent al matricei, adică. [A] 11 .

1*. Dacă elementul curent este zero, treceți la operația 2*. Dacă nu este egal cu zero, atunci rândul în care se află elementul curent (rândul curent) se adaugă cu coeficienții corespunzători la rândurile situate mai jos, astfel încât toate elementele matricei din coloana de sub elementul curent să devină zero. De exemplu, dacă elementul curent este [A] ij , atunci ca coeficient pentru al-lea rând, k = i + 1, ... , ar trebui să luăm numărul - [A] kj /[A] ij . Selectăm un nou element curent, deplasându-ne în matrice o coloană la dreapta și un rând în jos și trecem la pasul următor, repetând operația 1*. Dacă o astfel de schimbare nu este posibilă, de ex. s-a ajuns la ultima coloană sau rând, oprim transformarea.

2*. Dacă elementul curent dintr-un rând al matricei este egal cu zero, atunci ne uităm prin elementele matricei situate în coloana de sub elementul curent. Dacă printre ele nu există altele diferite de zero, trecem la operația 3*. Să fie un element diferit de zero în al-lea rând de sub elementul curent. Schimbați liniile curente și k-a și reveniți la operațiunea 1*.

3*. Dacă elementul curent și toate elementele de sub el (în aceeași coloană) sunt egale cu zero, schimbăm elementul curent, deplasând o coloană la dreapta în matrice. Dacă o astfel de schimbare este posibilă, adică elementul curent nu se află în coloana din dreapta a matricei, atunci repetăm operația 1*. Dacă am ajuns deja la marginea dreaptă a matricei și schimbarea elementului curent este imposibilă, atunci matricea are o formă în trepte și putem opri transformarea.

Deoarece matricea este finită dimensiuni, iar într-un pas al algoritmului poziția elementului curent este deplasată la dreapta cu cel puțin o coloană, procesul de transformare se va încheia și în cel mult n pași (n este numărul de coloane din matrice). Aceasta înseamnă că va veni un moment în care matricea va avea o formă în trepte.

Exemplul 10.10. Să transformăm matricea la forma eșalonată folosind transformări elementare de șir.

Folosind algoritmul din demonstrația teoremei 10.1 și scriind matricele după finalizarea operațiilor, obținem

Transformările matriceale elementare includ:

1. Schimbarea ordinii rândurilor (coloanelor).

2. Renunțarea la zero rânduri (coloane).

3. Înmulțirea elementelor oricărui rând (coloană) cu un număr.

4. Adăugarea elementelor oricărui rând (coloană) a elementelor altui rând (coloană), înmulțit cu un număr.

Sisteme de ecuații algebrice liniare (Concepte și definiții de bază).

1. Sistem m ecuații liniare cu n numite necunoscute sistem de ecuații de forma:

2.Prin decizie sistemul de ecuații (1) se numește o colecție de numere X 1 , X 2 , … , X n , transformând fiecare ecuaţie a sistemului într-o identitate.

3. Sistemul de ecuații (1) se numește comun, dacă are cel puțin o soluție; dacă un sistem nu are soluții, se numește nearticulată.

4. Sistemul de ecuații (1) se numește anumit, dacă are o singură soluție, și incert, dacă are mai multe soluții.

5. Ca rezultat al transformărilor elementare, sistemul (1) este transformat într-un sistem echivalent cu acesta (adică, având același set de soluții).

La transformări elementare sistemele de ecuații liniare includ:

1. Eliminarea rândurilor nule.

2. Schimbarea ordinii liniilor.

3. Adăugarea elementelor oricărui rând a elementelor altui rând, înmulțite cu un număr.

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.

1) Metoda matricei inverse (metoda matricei) pentru rezolvarea sistemelor de n ecuații liniare cu n necunoscute.

Sistem n ecuații liniare cu n numite necunoscute sistem de ecuații de forma:

Să scriem sistemul (2) sub formă de matrice; pentru aceasta introducem notația.

Matricea coeficienților pentru variabile:

X = este o matrice de variabile.

B = este o matrice de termeni liberi.

Apoi sistemul (2) va lua forma:

A× X = B– ecuația matriceală.

Rezolvând ecuația, obținem:

X = A -1 × B

Exemplu:

; ;

1) │A│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 matricea A -1 există.

Ã =

4) A -1 = × Ã = ;

X = A -1 × B

Răspuns:

2) Regula lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de n – ecuații liniare cu n – necunoscute.

Considerăm un sistem de 2 – x ecuații liniare cu 2 – necunoscute:

Să rezolvăm acest sistem folosind metoda de substituție:

Din prima ecuație rezultă:

Înlocuind în a doua ecuație, obținem:

Înlocuind valoarea în formula pentru, obținem:

Determinantul Δ este determinantul matricei sistemului;

Δ X 1 - determinant al variabilei X 1 ;

Δ X 2 - determinant al variabilei X 2 ;

Formule:

X 1 =;X 2 =;…,X n = ;Δ  0;

- sunt numite formulele lui Cramer.

La găsirea determinanților necunoscutelor X 1 , X 2 ,…, X n coloana de coeficienți pentru variabila al cărei determinant se găsește se înlocuiește cu o coloană de termeni liberi.

Exemplu: Rezolvați un sistem de ecuații folosind metoda lui Cramer

Soluţie:

Mai întâi să compunem și să calculăm principalul determinant al acestui sistem:

Deoarece Δ ≠ 0, sistemul are o soluție unică, care poate fi găsită folosind regula lui Cramer:

unde Δ 1, Δ 2, Δ 3 se obțin din determinantul lui Δ prin înlocuirea coloanei 1, 2 sau 3, respectiv, cu coloana de termeni liberi.

Prin urmare:

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.

Luați în considerare sistemul:

Matricea extinsă a sistemului (1) este o matrice de forma:

metoda Gauss este o metodă de eliminare secvenţială a necunoscutelor din ecuaţiile sistemului, începând de la a doua ecuaţie până la m- acea ecuație.

În acest caz, prin intermediul transformărilor elementare, matricea sistemului este redusă la triunghiular (dacă m = nși determinantul sistemului ≠ 0) sau treptat (dacă m< n ) formă.

Apoi, pornind de la ultima ecuație după număr, se găsesc toate necunoscutele.

Algoritmul metodei Gauss:

1) Creați o matrice extinsă a sistemului, inclusiv o coloană de termeni liberi.

2) Dacă A 11  0, apoi împărțiți prima linie la A 11 și înmulțiți cu (– A 21) și adăugați a doua linie. În mod similar, ajunge m- acea linie:

Pagina 1 împărțiți cu A 11 și înmulțiți cu (– A m 1) și adăugați m– acea pagină

Mai mult, din ecuații, începând de la a doua până la m– adică variabila va fi exclusă X 1 .

3) La pasul 3, a doua linie este folosită pentru transformări elementare similare ale liniilor de la 3 la m- Tuyu. Aceasta va elimina variabila X 2, începând de la a 3-a linie până la m– thuyu, etc.

Ca urmare a acestor transformări, sistemul va fi redus la o formă triunghiulară sau în trepte (în cazul unei forme triunghiulare, sub diagonala principală vor fi zerouri).

Se numește reducerea unui sistem la o formă triunghiulară sau în trepte metoda Gaussiană directă, iar găsirea necunoscutelor din sistemul rezultat se numește în sens invers.

Exemplu: