Unele idei ale teoriei waveletelor au apărut cu mult timp în urmă. De exemplu, deja în 1910, A. Haar a publicat sistemul ortonormal complet funcții de bază cu un domeniu local (acum se numesc wavelets Haar). Prima mențiune despre wavelets a apărut în literatura de specialitate privind procesarea și analiza digitală a semnalelor seismice (lucrări de A. Grossman și J. Morlet).

Recent, un întreg direcție științifică legate de analiza wavelet și teoria transformării wavelet. Waveletele sunt utilizate pe scară largă pentru filtrarea și preprocesarea datelor, analizarea stării și prezicerea situației de pe bursele, recunoașterea modelelor, procesarea și sinteza semnale diferite, de exemplu, vorbire, medicale, pentru rezolvarea problemelor de compresie și procesare a imaginilor, pentru antrenarea rețelelor neuronale și în multe alte cazuri.

În ciuda faptului că teoria transformărilor wavelet a fost deja dezvoltată practic, din câte știu eu, nu există o definiție precisă a ceea ce este o „wavelet”, ce funcții pot fi numite wavelets. Undatele pot fi ortogonale, semi-ortogonale, biortogonale. Aceste funcții pot fi simetrice, asimetrice și dezechilibrate.

Există wavelets cu un domeniu compact de definiție și cele fără unul. Unele funcții au expresie analitică, altele - un algoritm rapid pentru calcularea transformării wavelet asociate. Să încercăm să dăm mai întâi o definiție informală a transformării wavelet și apoi - justificarea sa matematică exactă.

Wavelets și analiză multiscală

Luați în considerare o problemă care este foarte comună în practică: avem un semnal (și semnalul poate fi orice, de la înregistrarea citirilor senzorului până la o vorbire sau o imagine digitalizată). Idee analiza pe mai multe scari(analiza multiscale, analiză multirezoluție) este să priviți mai întâi semnalul îndeaproape - la microscop, apoi printr-o lupă, apoi să faceți un pas înapoi cu câțiva pași, apoi să priviți de departe (Fig. 1).

Ce ne oferă? În primul rând, putem, prin degradarea succesivă (sau rafinarea) semnalului, să-l identificăm caracteristici locale(accent în vorbire sau detalii caracteristice imaginii) și subdivizați-le în funcție de intensitatea lor. În al doilea rând, în acest fel este detectată dinamica modificărilor semnalului în funcție de scară.

Dacă salturile bruște (de exemplu, o abatere de urgență a citirilor senzorului) sunt în multe cazuri vizibile cu „ochiul liber”, atunci interacțiunile evenimentelor la scară mică care se dezvoltă în fenomene la scară largă (de exemplu, un flux puternic de trafic constă în mișcarea multor mașini individuale) este foarte greu de văzut. Dimpotrivă, concentrându-vă doar pe mici detalii, este posibil să nu observați fenomenele care au loc la nivel global.

Ideea utilizării wavelet-urilor pentru analiza multiscală este că semnalul este descompus în funcție de baza formată din deplasări și copii multi-scale ale funcției prototip (adică transformarea wavelet este în mod inerent fractal). Astfel de funcții de bază se numesc wavelets ( wavelet) dacă sunt definite pe spațiu L 2 (R)(spațiul funcțiilor cu valori complexe f (t) pe o linie dreaptă cu energie limitată), oscilează în jurul axei absciselor și converg rapid către zero pe măsură ce valoarea absolută a argumentului crește (Fig. 2).

Să facem imediat o rezervă că această definiție nu se pretinde a fi completă și exactă, ci oferă doar un anumit „portret verbal” al waveletului. Astfel, convoluția semnalului cu una dintre undele permite selectarea caracteristici semnal în regiunea de localizare a acestei wavelet și cum scară mai mare are o wavelet, cu cât zona semnalului va afecta mai mare rezultatul convoluției.

Conform principiului incertitudinii, cu cât o funcție este mai bine concentrată în timp, cu atât este mai mult întinsă în domeniul frecvenței. Când funcția este redimensionată, produsul dintre intervalele de timp și frecvență rămâne constant și reprezintă aria celulei în planul timp-frecvență (fază).

Avantajul transformării wavelet față de, de exemplu, transformata Gabor este că acoperă planul de fază cu celule de aceeași zonă, dar forme diferite (Fig. 3). Acest lucru face posibilă localizarea bine a detaliilor semnalului de joasă frecvență în domeniul frecvenței (armonici dominante) și a celor de înaltă frecvență în domeniul temporal (sărituri ascuțite, vârfuri etc.).

Mai mult, analiza wavelet permite studierea comportamentului funcțiilor fractale - adică nu au derivate în niciunul dintre punctele lor!

Transformarea Wavelet ortogonală

Transformarea wavelet poartă o cantitate imensă de informații despre semnal, dar, pe de altă parte, are o redundanță puternică, deoarece fiecare punct al planului de fază influențează rezultatul său.

În general, pentru a reconstrui cu acuratețe semnalul, este suficient să cunoașteți transformarea sa wavelet pe o rețea destul de rară în planul de fază (de exemplu, doar în centrul fiecărei celule din Fig. 3). În consecință, toate informațiile despre semnal sunt conținute în acest set destul de mic de valori.

Ideea aici este de a scala wavelet de un număr constant (de exemplu, de 2) de ori și de a o deplasa în timp cu o distanță fixă, în funcție de scară. În acest caz, toate deplasările de aceeași scară trebuie să fie ortogonale în perechi - astfel de undele se numesc ortogonale.

Cu o astfel de transformare, semnalul este convolut cu o anumită funcție (așa-numita funcție de scalare, despre proprietățile ei vom vorbi mai târziu) și cu o wavelet asociată acestei funcții de scalare. Ca rezultat, obținem o versiune „netezită” a semnalului original și un set de „detalii” care disting semnalul netezit de original.

Prin aplicarea succesivă a unei astfel de transformări, putem obține rezultatul gradului de detaliu necesar (netezime) și un set de detalii privind scale diferite- ce s-a spus la începutul articolului. Mai mult, aplicând transformarea wavelet la detaliul semnalului care ne interesează, putem obține „imaginea mărită”. Și invers, eliminând detalii nesemnificative și efectuând transformarea inversă, obținem un semnal curățat de zgomot și emisii aleatorii (de exemplu, „eliminăm” o pasăre care a intrat accidental în cadru într-o fotografie a unei clădiri).

Transformarea wavelet discretă și alte direcții de analiză wavelet

Evident, ideea de a folosi transformarea wavelet pentru procesarea datelor discrete este foarte atractivă (prelucrarea datelor este necesară, de exemplu, atunci când le procesăm pe un computer). Principala dificultate constă în faptul că formulele pentru transformarea wavelet discretă nu pot fi obținute pur și simplu prin discretizarea formulelor corespunzătoare pentru transformarea continuă.

Din fericire, I. Dobeshi a reușit să găsească o metodă care să permită construirea unei serii (infinite) de wavelets ortogonale, fiecare dintre acestea fiind determinată de un număr finit de coeficienți. A devenit posibilă construirea unui algoritm care implementează transformarea rapidă wavelet pe date discrete (algoritmul lui Mall). Avantajul acestui algoritm, pe lângă toate cele de mai sus, constă în simplitatea sa și de mare viteză: atât descompunerea cât și recuperarea necesită un ordin de cN operațiuni unde cu Este numărul de coeficienți și N- lungimea probei.

Recent, teoria transformării wavelet se confruntă cu o creștere revoluționară. Au apărut și se dezvoltă zone precum wavelets biortogonale, multi-wavelet, pachete wavelet, lifting etc.

Aplicarea transformării wavelet

În încheierea articolului nostru, enumerăm câteva zone în care utilizarea waveleturilor poate fi (sau este deja) foarte promițătoare.

1. Prelucrarea experimentală a datelor. Deoarece waveletele au apărut tocmai ca un mecanism de prelucrare a datelor experimentale, aplicarea lor pentru rezolvarea unor astfel de probleme este încă foarte atractivă. Transformarea wavelet oferă cea mai vizuală și mai informativă imagine a rezultatelor experimentului, vă permite să curățați datele inițiale de zgomot și distorsiuni aleatorii și chiar „prin ochi” să observați unele dintre caracteristicile datelor și direcția lor mai departe. prelucrare si analiza. În plus, waveletele sunt potrivite pentru analiza semnalelor nestaționare care apar în medicină, analiza pieței de valori și în alte domenii.
2. Procesarea imaginii. Viziunea noastră este concepută în așa fel încât să ne concentrăm atenția asupra detaliilor esențiale ale imaginii, eliminând cele inutile. Folosind o transformare wavelet, putem netezi sau evidenția unele dintre detaliile unei imagini, o mărim sau reducem, evidențiază detalii importante și chiar îmbunătăți calitatea acesteia!
3. Comprimarea datelor. O caracteristică a analizei multiscale ortogonale este că, pentru date suficient de netede, detaliile convertite sunt în general aproape de zero în mărime și, prin urmare, sunt comprimate foarte bine prin metode statistice convenționale. Mare demnitate transformarea wavelet este că nu introduce redundanță suplimentară în datele originale, iar semnalul poate fi reconstruit complet folosind aceleași filtre. În plus, separarea detaliilor de semnalul principal ca urmare a transformării face foarte ușor să implementați compresia cu pierderi - trebuie doar să aruncați detaliile la scalele în care sunt nesemnificative! Este suficient să spunem că o imagine procesată prin wavelets poate fi comprimată de 3-10 ori fără pierderi semnificative de informații (și cu pierderi acceptabile - de până la 300 de ori!). Ca exemplu, observăm că transformarea wavelet este baza standardului de compresie a datelor MPEG4.
4. Rețele neuronale și alte mecanisme de analiză a datelor. Marile dificultăți în antrenarea rețelelor neuronale (sau în crearea altor mecanisme de analiză a datelor) sunt create de datele puternice zgomotoase sau de prezența un numar mare "cazuri speciale„(Valori aleatorii, goluri, distorsiuni neliniare etc.). Un astfel de zgomot poate ascunde sau uzurpa identitatea caracteristicilor datelor și poate degrada foarte mult rezultatele antrenamentului. Prin urmare, se recomandă curățarea datelor înainte de a le analiza. Din motivele deja menționate mai sus , precum și datorită prezenței fast și algoritmi eficienti implementări, waveletele par a fi un mecanism foarte convenabil și promițător pentru curățarea și preprocesarea datelor pentru utilizare în aplicații statistice și de afaceri, sisteme de inteligență artificială etc.
5. Sisteme de transmitere a datelor și prelucrare digitală semnale. Datorită eficienței algoritmice ridicate și robusteței la interferențe, transformarea wavelet este un instrument puternic în zonele în care au fost utilizate în mod tradițional alte metode de analiză a datelor, cum ar fi transformata Fourier. Posibilitate de aplicare deja metode existente prelucrarea rezultatelor transformării, precum și trăsăturile caracteristice ale comportamentului transformării wavelet în domeniul timp-frecvență, pot extinde și completa semnificativ capacitățile unor astfel de sisteme.

Și asta nu este tot!

Concluzie

În ciuda faptului că aparatul matematic de analiză wavelet este bine dezvoltat și teoria, în general, a prins contur, waveletele lasă un câmp vast pentru cercetare. Este suficient să spunem că alegerea waveletului cel mai potrivit pentru analiza datelor specifice este mai mult o artă decât o procedură de rutină. În plus, sarcina de a dezvolta aplicații folosind analiza wavelet este de mare importanță, atât în ​​zonele enumerate, cât și în multe altele, care pur și simplu nu pot fi enumerate.

Literatură

1. Daubechies I. Zece prelegeri despre wavelets. Moscova, „RHD”, 2001
2. Vorobiev V.I., Gribunin V.G. Teoria și practica transformării wavelet. Sankt Petersburg, VUS, 1999
3. Mallat S. A theory for multiresolutional signal descomposition: the wavelet representation. IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1989, N7, p. 674-693.

Wavelets(din engleză. wavelet), izbucni- aceasta este funcții matematice permițând analiza diferitelor componente de frecvență ale datelor. Coeficienții wavelet sunt determinați de transformarea integrală a semnalului. Spectrogramele wavelet obținute sunt fundamental diferite de spectrele Fourier convenționale prin faptul că oferă o legare clară a spectrului diverse caracteristici semnale la timp.

Pentru procesare semnale discrete se folosește transformarea wavelet discretă (DWT, DWT).

Primul DVP a fost propus de matematicianul ungur Alfred Haar. Pentru un semnal de intrare reprezentat de o matrice de 2 n numere, transformata wavelet Haar grupează pur și simplu elementele cu 2 și formează sume și diferențe față de acestea. Sumele sunt grupate recursiv pentru a forma următorul nivel de expansiune. Ca rezultat, obținem 2 n −1 diferență și 1 valoare totală... Vom începe cu un set de date unidimensional format din N elemente. În principiu, aceste elemente pot fi pixeli de imagine adiacenți sau mușcături de sunet succesive. Un exemplu ar fi o matrice de numere (2,9,12,10,9,8,8,7). Mai întâi, să calculăm patru valori medii (Fig. 40)

Este clar că cunoașterea acestor patru jumătăți de sume nu este suficientă pentru a reconstrui întregul tablou, așa că vom calcula în continuare patru jumătate de diferențe.

(2 - 9)/2 = - 4,5,

(12 - 10)/2 = 1,

(9 – 8)/2 = 0,5,

(8 – 7)/2 = 0,5,

pe care îi vom numi coeficienţi de detalii. Mediile pot fi considerate ca rezoluții la scară largă imaginea originală, iar detaliile sunt necesare pentru a recupera detalii sau corecții minore. Dacă datele originale sunt corelate, atunci rezoluția la scară mare va repeta imaginea originală, iar detaliile vor fi mici.

O matrice formată din patru jumătăți de sume și patru jumătate de diferențe poate fi utilizată pentru a recupera matrice sursă numerele. Noua matrice constă, de asemenea, din opt numere, dar ultimele sale patru componente, jumătățile de diferență, tind să devină mai mici, ceea ce este bun pentru compresie.

Să repetăm ​​procedura noastră pentru primele patru componente (mari) ale noii noastre matrice. Ele sunt convertite în două medii și două semi-diferențe. Lăsați celelalte patru componente neschimbate. Următoarea și ultima iterație a procesului nostru transformă primele două componente ale acestei matrice la o singură medie (care este de fapt media tuturor celor 8 elemente din tabloul original) și o jumătate de diferență.

Figura 3.18. O ilustrare a modului în care funcționează transformarea wavelet unidimensională.

Ca rezultat, obținem o serie de numere numite Transformarea wavelet Haar matricea de date originală.

Transformarea wavelet Haar unidimensională este ușor transferată în cazul bidimensional. Descompunerea standard (Figura 3.19) începe prin calcularea transformărilor wavelet ale tuturor liniilor imaginii. Toate iterațiile procesului sunt aplicate fiecărei linii până când elementul din stânga fiecărei linii este egal cu valoarea medie a numerelor acestei linii și toate celelalte elemente sunt egale cu diferențele ponderate. Veți obține o imagine, a cărei prima coloană conține media coloanelor imaginii originale. După care algoritm standard efectuează o transformare wavelet pe fiecare coloană. Rezultatul este o matrice bidimensională cu elementul din colțul din stânga sus egal cu media întregului tablou original. Elementele rămase linia de sus va fi egal cu media ponderată a diferențelor, mai jos sunt diferențele mediei, iar toți ceilalți pixeli sunt convertiți la diferențele corespunzătoare.

Descompunerea piramidei calculează o transformare wavelet prin iterarea pe rânduri și coloane pe rând. La prima etapă, se calculează jumătățile și jumătățile de diferențe pentru toate rândurile (o singură iterație, nu întreaga transformată wavelet). Această acțiune produce medii în jumătatea stângă a matricei și diferențe de jumătate în jumătatea dreaptă. La a doua etapă, se calculează jumătățile de sume și jumătate de diferență pentru toate coloanele matricei rezultate.

Figura 3.19. Transformare Wavelet 2D standard

Figura 3.20. Transformarea Wavelet 2D piramidală

Rezultatul transformării wavelet bidimensionale este un set de matrice corespunzătoare diferitelor componente spectrale ale imaginii originale. Mai mult, în stânga colțul de sus se găsește componenta de joasă frecvență LL4 (Fig. 3.21), care a fost creată numai pe baza de jumătăți de sume și este o copie redusă a imaginii originale.

Figura 3.21. Componentele unei transformări Wavelet 2D

Restul componentelor de transformare pot fi folosite pentru a restaura imaginea originală. În același timp, componentele de înaltă frecvență se pretează bine la compresie folosind algoritmii RLE și Huffman. De asemenea, trebuie remarcat faptul că în compresia cu pierderi, este, de asemenea, posibilă utilizarea cuantizării, precum și eliminarea directă a unora dintre componente. Rezultatul unor astfel de operațiuni este un raport de compresie bun. În fig. 3.22 prezintă un exemplu de codificare a imaginii folosind transformarea wavelet.

Trebuie remarcat faptul că transformarea wavelet bidimensională necesită resurse de calcul semnificative atunci când este implementată cu convențional metode programatice... Cu toate acestea, algoritmul de transformare wavelet constă dintr-un număr mare de transformări simple care se pretează bine paralelizării. Ca rezultat, această transformare este bine realizată în hardware folosind o bază de elemente specializate.

Figura 3.22. Un exemplu de transformare wavelet a unei imagini.

Transformarea Wavelet este utilizată în standardul de compresie a imaginii JPEG2000 și este, de asemenea, furnizată ca instrument în format MPEG-4.

Transformări wavelet discrete.

6.3.3.1. Informații generale despre transformările wavelet.

Transformarea wavelet a semnalelor este o generalizare analiza spectrală, un reprezentant tipic al căruia este transformata Fourier clasică.

Transformarea wavelet (WT) este clasificată în discretă (DWT) și continuă (CWT). DWT este folosit pentru transformarea semnalului și codificare, CWT este folosit pentru analiza semnalului.

În analiza wavelet, rolul funcțiilor de bază este jucat de funcții de un tip special numit wavelets. Termenul „wavelet” în traducere din engleză înseamnă „undă mică (scurtă)”. Waveletele sunt un nume generalizat pentru familii de forme specifice de funcții tematice, care sunt locale în timp și frecvență, și în care toate funcțiile sunt obținute dintr-o funcție de bază (generatoare) prin intermediul deplasărilor și întinderilor sale de-a lungul axei timpului.

Transformele wavelet iau în considerare funcțiile de timp analizate în termeni de oscilații localizate în timp și frecvență.

Trăsătură distinctivă Analiza wavelet este că poate folosi o familie de funcții care implementează diverse opțiuni pentru relația de incertitudine. În consecință, cercetătorul are o alegere flexibilă între ele și utilizarea acelor funcții wavelet care rezolvă cel mai eficient sarcinile atribuite.

Principala zonă de aplicare a transformărilor wavelet este analiza și procesarea semnalelor și funcțiilor care sunt nestaționare în timp, atunci când rezultatele analizei trebuie să conțină nu numai caracteristica de frecvență a semnalului (distribuția energiei semnalului pe componente de frecvență), dar şi informaţii despre coordonatele locale pe care acestea sau acelea se manifestă.grupuri de componente de frecvenţă sau pe care schimbări rapide componentele de frecvență ale semnalului.

În Figura 3.1, semnalul analizat constă din doi deesieni modulați. Transformarea wavelet Morlet arată clar localizarea lor spațială și de frecvență, în timp ce spectrul Fourier oferă doar localizarea în frecvență.

Una dintre ideile principale și mai ales fructuoase ale reprezentării wavelet a semnalelor este împărțirea funcțiilor de abordare a semnalului în două grupe: aproximare - brută, cu o dinamică temporală destul de lentă a modificărilor și detaliere - cu dinamică locală și rapidă a modificărilor. pe fondul dinamicii netede, cu fragmentarea lor ulterioară și detalierea la alte niveluri de descompunere a semnalului. Acest lucru este posibil atât în ​​domeniul timpului, cât și al frecvenței reprezentării semnalelor prin wavelet.

Desen

Figura 3.1 - transformarea wavelet a unui semnal

6.3.3.2. Funcțiile de bază ale transformărilor wavelet.

Waveletele au forma unor pachete de unde scurte cu zi medie zero, localizate de-a lungul axei argumentelor, invariante față de deplasare și liniară față de operația de scalare. În ceea ce privește localizarea în timp și reprezentarea frecvenței, waveletele ocupă o poziție intermediară între funcțiile armonice localizate în frecvență și funcția Dirac, localizată în timp.

Funcția wavelet de bază este un fel de oscilație „scurtă”. Mai mult, conceptul de frecvență a analizei spectrale a fost înlocuit cu o scară, iar pentru suprapunere „ unde scurte» Întreaga axă a timpului este deplasată în timp. Baza waveletelor sunt funcții temporale de tipul:

, (3.1)

unde b este deplasarea;

o scală.

Funcția trebuie să aibă zonă zero. Transformarea Fourier a unor astfel de funcții este egală cu zero la frecvență zero și are forma unui filtru trece-bandă. Diferite valori ale parametrului de scară „a”, acestea corespund unui set de filtre trece-bandă. Familiile de wavelets din domeniul timpului sau al frecvenței sunt folosite pentru a reprezenta semnale și funcționează ca suprapoziții de wavelets la diferite niveluri de scară de descompunere a semnalului (descompunere).

Următoarea funcție

nu depinde de parametrii şi. Vectorul dat de funcție are lungime constantă în spațiu:

.

În practică, funcția este adesea folosită ca funcție de bază

numit pălăria mexicană.

6.3.3.3. Transformată wavelet continuă.

Să fie o funcție și o anumită funcție - o funcție de bază. Transformarea wavelet continuă este descrisă printr-o expresie de forma:

. (3.2)

Dacă funcția de bază este descrisă prin expresia:

,

atunci rezultatul este transformata Fourier obișnuită (în acest caz, parametrul nu este utilizat).

Pentru a acoperi întreaga axă a timpului a spațiului prin funcția wavelet, utilizați operația de deplasare (deplasare de-a lungul axei timpului): , unde valoarea lui b pentru CWP este continuă. Pentru a acoperi întregul interval de frecvență, operațiunea de scalare în timp a waveletului este utilizată cu o schimbare continuă a variabilei independente: ... Astfel, prin deplasarea de-a lungul variabilei independente (tb), wavelet are capacitatea de a se deplasa de-a lungul întregii axe numerice a unui semnal arbitrar și prin schimbarea variabilei de scară „a” (la un punct fix (tb) al axei) , „vedeți” spectrul de frecvență al semnalului pe un anumit interval din vecinătatea acestor puncte.

Astfel, transformarea wavelet continuă este o descompunere a semnalului în ceea ce privește toate deplasările și contracțiile / întinderile posibile ale unei funcții finite localizate - o wavelet. În acest caz, variabila „a” determină scara wavelet și este echivalentă cu frecvența în transformatele Fourier, iar variabila „b” este deplasarea wavelet de către semnalul din punctul inițial din domeniul definiției sale, scara de care repetă scara de timp a semnalului analizat.

Conceptul de scară a IP are o analogie cu scara hărților geografice. Valorile la scară mai mare corespund reprezentării globale a semnalului și valori scăzute scalele vă permit să distingeți detaliile. În ceea ce privește frecvența frecvențe joase corespund informațiilor de semnal global, iar frecvențele înalte corespund informatii detaliateși caracteristici care sunt scurte ca întindere, de ex. scara waveletului, ca unitate a reprezentării timp-frecvență a semnalelor, este reciproca frecvenței. Scalare ca operatie matematica, extinde sau contractă semnalul. Valorile la scară mare corespund extensiilor de semnal, iar valorile la scară mică corespund versiunilor comprimate. În definiția wavelet, factorul de scară A stă la numitor. Respectiv, A> 1 extinde semnalul, A < 1 сжимает его.

6.3.3.4. Transformată wavelet discretă.

În principiu, la procesarea datelor pe un PC, se poate realiza o versiune discretizată a transformării wavelet continue cu setarea unor valori discrete ale parametrilor (a, b) wavelets cu un pas arbitrar a și b. Rezultatul este un număr în exces de coeficienți, depășind cu mult numărul de mostre ale semnalului original, care nu este necesar pentru reconstrucția semnalului.

Transformarea wavelet discretă (DWT) oferă suficiente informații atât pentru analiza semnalului, cât și pentru sinteza, fiind în același timp economică în ceea ce privește numărul de operații și memoria necesară. Fibreboard funcționează cu valori discrete ale parametrilor Ași b, care sunt stabilite, de regulă, sub formă de funcții de putere:

,

,

Unde ;

Numere întregi;

Parametrul de scară;

Parametrul de schimbare.

Baza spațială în reprezentarea discretă:

Coeficienții wavelet de transformare directă:

. (3.5)

Valoarea „a” poate fi arbitrară, dar de obicei este luată egală cu 2, iar transformarea este numită transformarea wavelet diadic... Pentru transformarea diadică, a fost dezvoltat un algoritm de calcul rapid, similar transformării rapide Fourier, care a predeterminat utilizarea sa pe scară largă în analiza matricelor de date digitale.

Transformarea discretă inversă pentru semnale continue pentru o bază undeletă ortogonală normalizată a spațiului:

. (3.6)

Numărul de wavelets utilizate prin factorul de scară m specifică nivelul descompunere semnal, în timp ce nivelul zero (m = 0) este de obicei luat drept nivelul rezoluției temporale maxime a semnalului, i.e. semnalul în sine și nivelurile ulterioare (m< 0) образуют ниспадающее arbore wavelet... V software calcule pentru a exclude utilizarea numerotării negative cu m, semnul minus este de obicei transferat direct la următoarea performanță functii de baza:

6.3.3.5. Localizarea timp-frecvență a analizei wavelet.

Semnale reale sunt de obicei finite. Spectrul de frecvență al semnalelor este invers proporțional cu durata lor. În consecință, o analiză a semnalului de frecvență joasă suficient de precisă ar trebui efectuată la intervale mari de atribuire, iar analiza de înaltă frecvență la intervale mici. Dacă compoziția de frecvență a semnalului suferă modificări semnificative în intervalul de atribuire, atunci transformata Fourier oferă numai datele medii ale compoziției de frecvență a semnalului cu o rezoluție de frecvență constantă. O anumită localizare timp-frecvență a analizei este creată de acțiunea transformării Fourier de ferestre, care dă o familie de spectre de frecvență localizate în timp, dar într-o lățime constantă a ferestrei a funcției de fereastră și, prin urmare, și cu o constantă. valoarea rezoluției atât a frecvenței, cât și a timpului.

Spre deosebire de transformata Fourier cu fereastră, transformata wavelet, cu valori discrete similare ale deplasărilor b, oferă familiilor de spectre de coeficienți de scară A compresie-întindere:

. (3.8)

Dacă presupunem că fiecare wavelet are o anumită „lățime” a ferestrei sale de timp, care corespunde unei anumite frecvențe „medii” a imaginii spectrale wavelet, invers cu factorul său de scară A, atunci familiile de coeficienți de scară ai transformării wavelet pot fi considerate similare cu familiile de spectre de frecvență ale transformării Fourier cu ferestre, dar cu una diferenta fundamentala... Coeficienții de scară modifică „lățimea” waveletelor și, în consecință, frecvența „medie” a transformărilor lor Fourier și, prin urmare, fiecare frecvență are propria sa durată a ferestrei de timp de analiză și invers. Deci valori mici ale parametrului A, care caracterizează componentele rapide din semnale, corespund frecvenţelor înalte, şi valori mari- frecvente joase. Schimbând scara, waveletele sunt capabile să detecteze diferențele la frecvențe diferite și prin deplasarea (parametrul b) analizează proprietățile semnalului în diferite puncte de-a lungul întregului interval de timp investigat. Fereastra de timp de transformare wavelet multidimensională este adaptată pentru detectarea optimă atât a frecvenței joase, cât și caracteristici de înaltă frecvență semnale.

Astfel, pe frecvente inalte rezoluție mai bunăîn timp și la frecvență scăzută. Pentru componenta de înaltă frecvență a semnalului, putem indica mai precis poziția sa în timp, iar pentru componenta de joasă frecvență, valoarea de frecvență.

Informațiile de înaltă frecvență (la scară mică) sunt calculate pe baza intervalelor lungi de semnal, iar informațiile de joasă frecvență pe baza celor mari. Deoarece semnalele analizate sunt întotdeauna finite, atunci când se calculează coeficienții la limitele setării semnalului, aria de valabilitate depășește limitele semnalului, iar pentru a reduce eroarea de calcul, semnalul este completat prin stabilirea condițiilor inițiale și finale.

6.3.3.6. Avantajele și dezavantajele analizei wavelet.

Avantajele analizei wavelet includ:

Transformările wavelet au toate avantajele transformărilor Fourier;

Bazele wavelet pot fi bine localizate atat in frecventa cat si in timp;

Când se disting procesele de scară diferită bine localizate în semnale, pot fi luate în considerare doar acele nivele de descompunere la scară care sunt de interes;

Bazele wavelet, spre deosebire de transformata Fourier, au multe funcții de bază diferite, ale căror proprietăți sunt concentrate pe rezolvarea diferitelor probleme.

Dezavantajul transformărilor wavelet este complexitatea lor relativă.

6.3.3.7. Proprietățile analizei wavelet.

Obținerea informațiilor obiective despre semnal se bazează pe proprietățile transformării wavelet, care sunt comune pentru toate tipurile de wavelet. Să luăm în considerare principalele acestor proprietăți. Pentru a desemna funcționarea transformării wavelet a funcțiilor arbitrare x (t), vom folosi indicele TW.

Liniaritate.

TW [α · x 1 (t) + β · x 2 (t)] = α · TW + β · TW.

Invarianța la forfecare. O deplasare a semnalului în timp cu t 0 duce la o deplasare a spectrului wavelet tot cu t 0:

TW = X (a, b-t o).

Invarianța de scalare. Întinderea (compresia) semnalului duce la compresia (întinderea) spectrului de wavelet al semnalului:

TW = (1 / а о) X (a / а о, b / а о).

Diferenţiere.

D n (TW) / dt n = TW.

TW = (-1) n x (t) dt.

Nu are nicio diferență dacă funcția este diferențiată sau wavelet de analiză. Dacă wavelet de deelizing este dat de o formulă, atunci aceasta poate fi foarte utilă pentru de-eliberarea semnalelor. Este posibil să se analizeze caracteristicile de ordin înalt sau variațiile la scară mică ale semnalului x (t) ignorând componentele polinomiale la scară mare (tendință și fundal regional) prin diferențierea numărului necesar de ori fie al waveletului, fie al semnalului însuși. Această proprietate este utilă în special atunci când semnalul este specificat de o serie discretă.

Un analog al teoremei lui Parseval pentru undele ortogonale și biortogonale.

X 1 (t) x 2 * (t) = X ψ -1 a -2 X (a, b) X * (a, b) da db.

Prin urmare, rezultă că energia semnalului poate fi calculată prin coeficienții transformării wavelet.

Elementele fundamentale ale procesării semnalului digital: tutorial/ Yu.A. Bryukhanov, A.A. Priorov, V.I. Dzhigan, V.V. Hrîașciov; Yarros. Stat un-t ei. P.G. Demidov. - Yaroslavl: YarSU, 2013 .-- 344 p. (pag. 270)

12.3 Algoritmul discret de transformare a undă

Pentru a construi un algoritm de transformare wavelet discretă, introducem câteva transformări liniare. În primul rând, să notăm pentru toate suma numerelor modulo s după cum urmează: și, de asemenea, să presupunem că există un vector în care s chiar. Apoi punem transformările introduse având forma:

,

pentru toți . Evident, aceste expresii sunt analoge ale filtrelor trece-înalt și trece-jos (12.1), (12.2), ținând cont de suplimentul periodic de date folosind însumarea modulo. Este clar că transformările efectuează divizarea vectorului original cu lungimea sîn doi vectori de jumătate de lungime.

Deci, algoritmul de transformare wavelet este redus la implementarea unei proceduri iterative - și - transformări aplicate vectorului. Rezultatul unor astfel de transformări sunt vectori , coeficienţi de aproximare şi de detaliu.

Cu alte cuvinte, recursiv acest algoritm după cum urmează:

,

(12.12)

.

(12.13)

Rețineți că denumirile introduse pentru coeficienții de expansiune sunt foarte asemănătoare cu denumirile coeficienților, în timp ce recursiunile (12.12), (12.13) sunt foarte asemănătoare cu algoritmul în cascadă. Ideea este că construcția unui algoritm de transformare discretă se bazează complet pe teoria transformării discrete pe baza funcțiilor wavelet (a se vedea secțiunea anterioară). Principala diferență aici este faptul că în aplicațiile statistice coeficienții corespund doar aproximativ coeficienților de expansiune.

Rețineți că recursiunile (12.12), (12.13) pot fi aplicate cu succes la calculul coeficienților de aproximare și detaliere și pentru cazurile: faptul este că secvențele augmentate sunt periodice și

,

.

Algoritmul transformării inverse a dischetei se reduce la implementarea expresiei (12.11) tot în condiția periodizării datelor. Algoritmul începe cu restaurarea vectorilor

,

și continuă până când vectorul este restaurat până devine. În acest caz, expresia recursivă pentru recuperarea datelor este:

12.4 Analiză statistică wavelet discretă

Date de partiţionare

Deci, calculul estimărilor wavelet se bazează pe transformarea wavelet discretă descrisă mai sus. După cum sa arătat, o astfel de analiză implică lucrul cu date, a căror lungime este egală cu, unde LA- unele întregi. Cu toate acestea, în practică, lungimea datelor studiate se dovedește adesea a nu fi egală cu o putere a numărului 2, în legătură cu care devine necesară tensionarea acestor date pe o rețea echidistantă cu un număr de noduri. Cele de mai sus sunt valabile atât pentru problemele de estimare a densității distribuției, cât și pentru problemele de netezire a datelor de regresie.

Proceduri de împărțire a datelor pentru estimarea densității și analiza regresiei introduse la paragrafele 10.2, respectiv 10.8. V acest loc se discută efectul unei astfel de împărţiri asupra calităţii estimărilor sintetizate. Exemplele folosite pentru a discuta efectul sunt preluate din cap. 10, fig. 10.1 - 10.11.

Pentru datele de lungime luate ca exemplu, se investighează efectul împărțirii în intervale de puncte. Erorile rădăcină-medie-pătratică integrală ale calculării estimărilor sunt prezentate în Tabelul 12.1.

Tabelul 12.1

Erorile pătratice medii ale rădăcinii integrale

pentru intervale divizate de diferite lungimi

m	S8 greu	S8 moale	H greu	H moale

După cum se poate observa din tabel, abaterea standard integrală atinge minimul la. Graficul acestei erori este prezentat în Fig. 12.1.

În ciuda faptului că pentru astfel de estimări este posibil să se determine dimensiune optimă interval, ar trebui să fie foarte atent în interpretarea sa statistică. Ideea este că împărțirea datelor în intervale este un fel de netezire preliminară, care în teorie nu este adesea luată în considerare. Evident, odată cu creșterea numărului de intervale de partiție, cea mai mare parte a eficienței de calcul se pierde. algoritm rapid... Punctele care arată valorile RMS din Fig. 12.1 reprezintă un compromis între viteza de calcul a estimării și calitatea pre-netezirii.

Construcția aproximativă a estimărilor wavelet

Algoritmul pentru implementarea transformării wavelet discrete în scopul construirii estimărilor statistice (12.6) - (12.8) este următorul:

Deviația standard integrală construită pentru symmelet S8

Să facem câteva observații în acest loc despre algoritmul de mai sus. În primul rând, definiția unei transformări discrete implică utilizarea datelor care sunt suplimentate periodic la fiecare pas al algoritmului. Cu alte cuvinte, datele sunt rezultatul însumării diadice, în care datele originale sunt suplimentate periodic cu Zîn aşa fel încât pt.

În al doilea rând, după cum am subliniat mai devreme, nivel superior descompunerea nu este implicată în algoritmul prezentat: în practică, se presupune, iar procedurile de prag sunt aplicate coeficienților de descompunere ai tuturor nivelurilor, cu excepția nivelului K conţinând doar coeficienţii de aproximare. Totuși, dacă se presupune că se exclud coeficienții de expansiune ai celor mai înalte niveluri, așa cum se face în exemplul cu o estimare wavelet liniară, definiția (12.6) este completată de condiția:

.

În mod similar (12.3) acțiunile 1 - 3 ale algoritmului pot fi reprezentate sub formă de matrice. În acest scop, vectorul datelor studiate este notat cu ... Apoi transformarea directă va lua forma:

,

(12.17)

în care se află un operator de dimensiune. Este ușor să arăți asta acest operator este ortogonal deoarece conține produsele unui număr finit de operatori de matrice ortogonală corespunzător diferitelor etape ale algoritmului lui Mall.

Fie operatorul să desemneze procedura de transfer vectorială:

pe când operatorul transformare inversă-, sau în virtutea ortogonalității. În consecință, rezultatul aplicării secvențiale a acțiunilor 1 - 3, exprimat prin vector , se poate obține după cum urmează:

În cazul în care problema de rezolvat este construcția unei estimări wavelet lineare și nivelul este luat ca nivel, transferul se reduce la o transformare de identitate, care în cele din urmă asigură. Ideea este că păstrarea coeficienților de expansiune la fiecare dintre nivelurile din în acest caz permite ca evaluarea finală să repete doar datele originale.

În plus, algoritmul reprezentat de pașii 1 - 3 este regula generala construirea estimărilor wavelet. Rețineți că acest algoritm este mai rapid decât FFT, deoarece necesită doar operații. În general, algoritmul vă permite să construiți o aproximare a datelor mai degrabă decât o estimare a acestora. Excepția aici este descompunerea datelor în baza Haar. Din pacate, fapt dat nu este discutat în literatură.

Să ne oprim această problemă in detaliu. În acest scop, luați în considerare o estimare liniară, setare pentru orice și k... Să presupunem, de asemenea, că datele originale îndeplinesc cerința:

.

(12.18)

Se știe că recursiile (12.9), (12.10) permit calcularea estimărilor coeficienților, în timp ce expresiile recursiei (12.12), (12.13) sunt aproximativ aceiași coeficienți în ipoteza că datele inițiale pentru recursivitate sunt absolut la fel. Cu toate acestea, dacă cerința (12.18) este îndeplinită, datele inițiale pentru (12.12), (12.13) din pasul 3 al algoritmului devin diferite de datele analogice de recursivitate inversă (12.9), (12.10) printr-un anumit factor. În consecință, liniaritatea algoritmului implică necesitatea introducerii unei modificări în transformarea directă:

,

Mai mult, expresia principală pentru conversia directă este modificată:

,

(12.19)

iar operatorul ia forma:

Combinând expresiile (12.17) și (12.19), putem scrie asta acum

Transformată Wavelet - o transformare similară cu transformarea Fourier (sau mult mai mult cu transformarea Fourier cu fereastră) cu o funcție de evaluare complet diferită. Principala diferență constă în următoarele: transformata Fourier descompune semnalul în componente sub formă de sinusuri și cosinus, adică. funcții localizate în spațiul Fourier; dimpotrivă, transformata wavelet folosește funcții localizate atât în ​​spațiul real, cât și în spațiul Fourier. În general, transformarea wavelet poate fi exprimată prin următoarea ecuație:

unde * este simbolul conjugației complexe și al funcției ψ - o anumită funcție. Funcția poate fi aleasă în mod arbitrar, dar trebuie să satisfacă anumite reguli.

După cum puteți vedea, transformarea wavelet este de fapt un set infinit diverse transformăriîn funcție de funcția de scoring utilizată pentru calcularea acesteia. Acesta este motivul principal pentru care termenul « transformarea wavelet» utilizat în situații foarte diferite și pentru diferite aplicații. Există, de asemenea, multe tipuri de clasificare a opțiunilor de transformare wavelet. Aici arătăm doar diviziunea bazată pe ortogonalitatea waveletului. Poate fi utilizat undelete ortogonale pentru transformarea wavelet discretă și undelete non-ortogonale pentru continuu. Aceste două tipuri de transformări au următoarele proprietăți:

1. Transformarea wavelet discretă returnează un vector de date de aceeași lungime ca și intrarea. De obicei, chiar și în acest vector, o mulțime de date este aproape zero. Acest lucru este în concordanță cu faptul că se descompune într-un set de wavelets (funcții) care sunt ortogonale cu translația și scalarea lor paralelă. Prin urmare, descompunem un semnal similar în aceiași sau mai puțini coeficienți de spectru de undă ca numărul de puncte de date ale semnalului. Un astfel de spectru wavelet este foarte bun pentru procesarea și compresia semnalului, de exemplu, deoarece nu primim informații redundante aici.
2. În schimb, transformarea wavelet continuă returnează o matrice cu o dimensiune mai mult decât intrarea. Pentru datele unidimensionale, obținem o imagine a planului timp-frecvență. Puteți urmări cu ușurință schimbarea frecvenței semnalului pe durata acesteia și puteți compara acest spectru cu spectrele altor semnale. Deoarece utilizează un set non-ortogonal de wavelets, datele sunt foarte corelate și extrem de redundante. Acest lucru vă ajută să vedeți rezultatul într-o percepție umană mai apropiată.

Mai multe detalii despre transformarea wavelet sunt disponibile pe mii de resurse de internet wavelet de pe web sau, de exemplu, aici.

Ambele transformări sunt implementate în biblioteca de procesare a datelor Gwyddion, iar modulele care utilizează transformarea wavelet sunt disponibile în meniu Procesarea datelor → Transformări integrale.

Transformare Wavelet discretă

Transformarea wavelet discretă (DWT) este o implementare a unei transformări wavelet folosind un set discret de scale wavelet și translații care respectă anumite reguli. Cu alte cuvinte, această transformare descompune semnalul într-un set reciproc ortogonal de wavelets, care este principala diferență față de transformarea wavelet continuă (CWT) sau implementarea ei pentru serii de timp discrete, uneori numită transformată wavelet în timp discret continuu (DT-CWT). ).

O wavelet poate fi construită dintr-o funcție de scară care descrie proprietățile sale de scalabilitate. Restricția este că funcția scară trebuie să fie ortogonală transformărilor sale discrete, ceea ce implică unele restricții matematice asupra acestora, care sunt menționate peste tot, i.e. ecuația de homotezie

Unde S- factor de scară (de obicei ales ca 2). Mai mult, aria de sub funcție trebuie să fie normalizată, iar funcția de scalare trebuie să fie ortogonală cu translațiile sale numerice, i.e.

După introducerea unora conditii suplimentare(deoarece restricțiile de mai sus nu au ca rezultat singura solutie) putem obține rezultatul tuturor acestor ecuații, i.e. set finit de coeficienți un k care definesc funcţia de scalare precum şi wavelet. Unda este obținută din funcția de scalare ca N Unde N- un număr întreg par. Se formează apoi setul de undă baza ortonormala pe care îl folosim pentru a descompune semnalul. Trebuie remarcat faptul că, de obicei, doar câțiva coeficienți un k va fi diferit de zero, ceea ce simplifică calculele.

Figura următoare prezintă câteva funcții de scalare și wavelets. Cea mai cunoscută familie de wavelets ortonormalizate este familia Daubechies. Undele sale sunt de obicei notate cu numărul de coeficienți diferit de zero un k deci vorbim de obicei de wavelets Daubechies 4, Daubechies 6 etc. În linii mari, odată cu creșterea numărului de coeficienți wavelet, funcțiile devin mai fine. Acest lucru se vede în mod clar când comparăm waveletele Daubechies 4 și 20 prezentate mai jos. Un alt wavelet menționat este cel mai simplu wavelet Haar, care folosește puls dreptunghiular ca funcție de scalare.

Funcția de scalare Haar și wavelet (stânga) și componentele lor de frecvență (dreapta).

Funcția de scalare Daubechies 4 și wavelet (stânga) și componentele lor de frecvență (dreapta).

Funcția de scalare Daubechies 20 și wavelet (stânga) și componentele lor de frecvență (dreapta).

Există mai multe tipuri de implementare a algoritmului de transformare wavelet discretă. Cel mai vechi și mai faimos este algoritmul Malla (piramidal). În acest algoritm, două filtre - de netezire și nenetezire - sunt compuse din coeficienți wavelet și aceste filtre sunt aplicate recursiv pentru a obține date pentru toate scalele disponibile. Dacă se utilizează un set de date complet D = 2 N iar lungimea semnalului este L, datele sunt calculate mai întâi D/2 pentru scară L / 2 N - 1, apoi date ( D / 2) / 2 pentru scară L / 2 N - 2, ... până când la final sunt 2 elemente de date pentru scară L/2... Rezultatul acestui algoritm va fi o matrice de aceeași lungime cu cea de intrare, unde datele sunt de obicei sortate din cele mai multe scară largă la cel mai mic.

Gwyddion folosește un algoritm piramidal pentru a calcula transformarea wavelet discretă. Transformarea wavelet discretă în spațiul 2D este disponibilă în modulul DWT.

Transformarea wavelet discretă poate fi utilizată pentru simplu și îndepărtare rapidă zgomot de la un semnal zgomotos. Dacă luăm doar număr limitat cei mai mari coeficienți spectrali ai transformării wavelet discrete și efectuăm transformarea wavelet inversă (cu aceeași bază), putem obține un semnal mai mult sau mai puțin curățat de zgomot. Există mai multe moduri de a selecta coeficienții de salvare. Gwyddion implementează un prag universal, un prag adaptiv și un prag adaptiv și spațiu. Pentru a determina pragul în aceste metode, determinăm mai întâi estimarea varianței zgomotului dată de

Unde Y ij corespunde tuturor coeficienților din cel mai înalt sub-gamă al scalei de descompunere (unde se așteaptă să fie prezent cea mai mare parte a zgomotului). Sau variația zgomotului poate fi obținută într-un mod independent, de exemplu, ca variația semnalului AFM atunci când scanarea nu rulează. Pentru cea mai mare sub-bandă de frecvențe (pragul universal) sau pentru fiecare sub-bandă (pentru un prag adaptativ la scară) sau pentru mediul fiecărui pixel dintr-o sub-bandă (pentru un prag adaptativ la scară și spațiu) , varianța se calculează ca

Valoarea prag este considerată în forma sa finală ca

Când se cunoaște pragul pentru o scară dată, putem elimina toți coeficienții mai mici decât valoarea pragului (pragul dur) sau putem scădea valoarea absolută a acestor coeficienți cu valoarea pragului (pragul soft).

Eliminarea zgomotului DWT este disponibilă în meniu Procesarea datelor → Transformări integrale→ Eliminați zgomotul DWT.

Transformată wavelet continuă

Continuous Wavelet Transform (CWT) este o implementare a unei transformări wavelet folosind scale arbitrare și wavelet aproape arbitrare. Undelele utilizate nu sunt ortogonale și datele obținute în timpul acestei transformări sunt foarte corelate. Pentru secvențe de timp discrete, puteți utiliza și această transformare, cu restricția că cele mai mici translații wavelet trebuie să fie egale cu eșantionarea datelor. Aceasta este uneori numită Transformare în undă continuă în timp discret (DT-CWT) și este metoda cea mai frecvent utilizată pentru calcularea CWT în aplicațiile din lumea reală.

În principiu, transformarea wavelet continuă funcționează folosind direct definiția transformării wavelet, adică. calculăm convoluția semnalului wavelet scalat. Pentru fiecare scară, obținem în acest fel o mulțime de aceeași lungime N ca semnal de intrare. Folosind M scale alese arbitrar obținem un câmp N × M care reprezintă direct planul timp-frecvenţă. Algoritmul utilizat pentru acest calcul se poate baza pe convoluția directă sau pe convoluția prin multiplicare Fourier (aceasta este uneori numită transformată rapidă wavelet).

Alegerea waveletului pentru utilizare în descompunerea timp-frecvență este cel mai important lucru. Cu această alegere, putem influența rezoluția rezultatului în timp și în frecvență Este imposibil să se modifice în acest fel caracteristicile de bază ale transformării wavelet (frecvențele joase au o rezoluție bună în frecvență și o rezoluție în timp slabă; frecvențele înalte au o frecvență slabă). rezoluție și rezoluție în timp bună), dar puteți crește ușor frecvența generală sau rezoluția în timp. Aceasta este direct proporțională cu lățimea waveletului utilizat în spațiul real și Fourier. Dacă, de exemplu, folosim unda Morlet (partea reală este funcția cosinus în descompunere), atunci ne putem aștepta Rezoluție înaltăîn frecvențe, deoarece o astfel de undă este foarte bine localizată în frecvență. dimpotrivă, utilizând wavelet gaussian derivat (DOG) obținem o localizare bună în timp, dar săracă ca frecvență.

Transformarea wavelet continuă este implementată în modulul CWT, care este disponibil în meniu Procesarea datelor → Transformări integrale→ CWT.

Surse de

A. Bultheel: Bull. Belg. Matematică. Soc.: (1995) 2

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Procesarea imaginii, (2000) 9 p. 1532

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Procesarea imaginilor, (2000) 9 p. 1522