cometariu
Alegerea lui δ în definiția continuității uniforme depinde de ε, dar nu de X 1 ,X 2 .
Proprietăți
- Funcția uniformă continuă pe platou M, este continuu pe el. În general vorbind, inversul nu este adevărat. De exemplu, funcția
este continuu in toata zona de definitie, dar nu este uniform continuu, deoarece pentru orice src = "/ pictures / wiki / files / 98 /.png" border = "0"> puteti specifica un segment de lungime arbitrar mica, cum ar fi că capetele valorilor funcției vor diferi mai mult decât prin Un alt exemplu: funcția
este continuă pe întreaga axă a numerelor, dar nu este uniform continuu, deoarece
Pentru orice src = "/ imagini / wiki / fișiere / 98 /.png" border = "0"> puteți alege un segment de lungime arbitrar mică, astfel încât diferența dintre valorile funcției f(X) = X 2 la capetele segmentului va fi mai mare. În special, pe segment, diferența dintre valorile funcției tinde să
Vezi si
Fundația Wikimedia. 2010.
- Scară egal temperată
- Scară uniform temperată
Vedeți ce este „Funcția uniformă continuă” în alte dicționare:
Funcție continuă- Acest articol este despre funcția numerică continuă. Pentru mapări continue în diferite ramuri ale matematicii, consultați cartografierea continuă. Funcția continuă este o funcție fără „sărituri”, adică una cu mici modificări ...... Wikipedia
FUNCȚIE CONTINUĂ- unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice. Fie definită o funcție reală f pe o anumită submulțime a Realilor, i.e. Se apelează funcția f continuu intr-un punct (sau, mai detaliat, continuu intr-un punct de-a lungul multimii E), daca pentru ... ... Enciclopedia de matematică
Funcție absolut continuă- O funcție se numește funcție absolut continuă pe un segment finit sau infinit dacă, pentru orice set finit de intervale disjunse din domeniul funcției... Wikipedia
FUNCȚIE RECURENTA- o funcție care este un punct recurent al deplasărilor dinamice. sisteme. Definiție echivalentă: funcție, unde S este metric. spațiu, numit. recurent dacă are un set precompac de valori, este uniform continuu și pentru orice ...... Enciclopedia de matematică
Funcție aproape periodică- o funcție ale cărei valori sunt aproximativ repetate atunci când la argument se adaugă numere constante selectate corect (aproape puncte). Mai precis: o funcție continuă f (x) definită pentru toate valorile reale ale lui x, ... ... Marea Enciclopedie Sovietică
FUNCȚIE SELECTIVĂ- funcţia argumentului t, corespunzătoare în mod unic fiecărei observaţii a unui proces aleatoriu; sunt multe evenimente elementare aici. Adesea D sunt folosite echivalent cu V. f. termeni implementare, traiectorie. Procesul aleatoriu este caracterizat de ...... Enciclopedia de matematică
FUNCȚIA DE DISTRIBUȚIE- ce fel de valoare aleatoare X este o funcție a unei variabile reale x, luând pentru fiecare x o valoare egală cu probabilitatea inegalității X
FUNCȚIE ANALITICĂ GENERALIZĂ- o funcție care satisface sistemul cu coeficienți reali care sunt funcții ale variabilelor reale x și y. În notație, sistemul original se scrie ca Enciclopedia de matematică
FUNCȚIA ARMONICĂ- o funcție reală definită în regiunea spațiului euclidian având derivate parțiale continue de ordinul 1 și 2 în D și fiind soluția ecuației Laplace unde sunt coordonatele dreptunghiulare carteziene ale punctului x. Uneori această definiție ...... Enciclopedia de matematică
Funcția plurisubarmonică- O funcție plurisubarmonică este o funcție cu valoare reală a variabilelor complexe din regiunea spațiului complex, care îndeplinește următoarele condiții... Wikipedia
Dacă funcția este continuă pe un anumit interval (interzis sau deschis), atunci asta, așa cum știm deja, înseamnă că pentru orice punct al acestui interval pentru un ε> 0 predeterminat există un astfel de q> 0 încât din inegalitate
x 0 - x< д
urmează inegalitatea
f (x 0) - f (x)<
astfel încât numai punctele x sunt și ele în intervalul dat.
Deci, este clar că q depinde de e. În plus, pentru diferite puncte ale intervalului pentru același număr este, de asemenea, q poate fi diferit, i.e. q depinde nu numai de e, ci și de x 0. Apoi, de importanță fundamentală este faptul că printre valorile lui q pentru diferite puncte ale intervalului și pentru aceeași valoare este cea mai mică valoare a lui q, nu există așa ceva. În primul caz, pentru un e> 0 dat, se poate găsi valoarea comună pentru toate punctele intervalului și apoi se spune că funcția pe intervalul luat în considerare este uniform continuă.
Definiție. O funcție este numită uniform continuă pe un interval dat dacă, în primul rând, este definită în toate punctele acestui interval și, în al doilea rând, dacă este adevărată următoarea condiție: fiecare ε> 0 arbitrar mic poate fi asociat cu un astfel de q> 0, din inegalitatea x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.
Odată cu definiția continuității uniforme a unei funcții, rezultă că funcția este uniform continuă pe un anumit interval, continuă în fiecare punct al acestui interval. Afirmația inversă, așa cum arată exemplul unei funcții pe pivinterval (0, 1], nu este întotdeauna adevărată.
Teorema lui Cantor (cu privire la continuitatea uniformă a unei funcții). Dacă o funcție este continuă pe segmentul [a, b], atunci este uniform continuă pe acest segment.
Dovada. Să avem un număr arbitrar mic e> 0. Împărțiți segmentul [a, b] într-un număr finit de m părți, astfel încât oscilațiile unei date continue pe (a, b] să funcționeze pe fiecare dintre părțile astfel obținute ale segmente
[a, c 1], [c 1, c 2], [c 2, c 3], …… .., [ci, c i + 1], ……., [a, b],
a fost mai puțin de. Deoarece există un număr finit de segmente private, lungimile lor sunt, de asemenea, finite și, prin urmare, printre ele se află și cel mai mic, pe care îl notăm cu d. Acum luăm oricare două puncte x 1 și x 2 de pe segmentul [a, b ] astfel încât distanța dintre ele să fie mai mică:
x 2 - x 1< д (95)
Astfel de două puncte pot fi situate fie pe același segment privat, fie pe segmente private adiacente. În primul caz
f (x 2) - f (x 1)< , (96)
În al doilea caz, dacă notăm capătul comun al segmentelor private adiacente cu c i, obținem:
f (x 2) - f (x 1) = | f (x 2) - f (c i) + f (c i) - f (x 1) | ?,
f (x 2) - f (x 1)< (97)
Astfel, în primul caz, inegalitatea (95) implică inegalitatea (96), iar în al doilea, inegalitatea (95) implică inegalitatea (97). Teorema este demonstrată.
(Această proprietate este valabilă numai pentru segmente de linie, nu pentru intervale și semiintervale.)
Funcția este continuă pe intervalul (0, a), dar nu este uniform continuă pe acesta, deoarece există un număr> 0 astfel încât să existe valori x 1 și x 2 astfel încât f (x 1) - f (x 2)>, - orice număr cu condiția ca x 1 și x 2 să fie aproape de zero.
Funcția $% f (x) $% se numește continuă în punctul $% x_0 $% dacă $$ \ forall \ varepsilon> 0 \ \ \ există \ delta (x_0, \ varepsilon)> 0: \ \ forall x: | x -x_0 |<\delta =>| f (x) -f (x_0) |<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.
Și cu ce este diferită de continuitatea obișnuită?>
Continuitatea obișnuită (punctual) este o proprietate locală a unei funcții. Aceasta înseamnă că se realizează într-un anumit punct. Rețineți că definiția continuității unei funcții este dată exact într-un punct. Mai mult, știm că există funcții care sunt continue nu numai într-un punct, ci și pe o mulțime (de exemplu, $% f (x) = \ sin x $% este continuă pe $% \ mathbb (R ) $% ). Acest lucru nu anulează natura locală a continuității, adică înseamnă pur și simplu că dacă verificăm $% \ sin x $% pentru continuitate la fiecare punct separat al $% \ mathbb (R) $%, atunci funcția va satisface în acest punct anume... Deoarece în fiecare punct $% x_0 $% al mulțimii $% \ mathbb (R) $% este îndeplinită condiția de continuitate a funcției $% \ sin x $% în punctul $% x_0 $%, funcția se numește continuă pe acest platou. Mai mult, când am studiat continuitatea funcției în fiecare punct separat, noi (pentru un anumit $% \ varepsilon $%) pentru acest punct am luat $% \ delta = \ delta (x_0, \ varepsilon) $%. Adică, pentru diferite puncte ale mulțimii, (în general vorbind) se vor obține delte diferite. Astfel, există o proprietate neuniformă a funcției „a fi continuu” de-a lungul deltei: aproximativ vorbind, în punctul $% x_1 $% funcția este continuă cu o deltă, iar în punctul $% x_2 $% - cu alta delta.
Cum să înțelegeți δ> 0, dacă funcția este continuă, atunci pentru orice epsilon trebuie să existe o deltă.>
Ai remarcat corect asta dacă funcția este continuă, atunci pentru orice epsilon există delta. Cu toate acestea, în practică, situația este adesea așa - vi se oferă o funcție (de exemplu, $% y = 3 + x $%) și un punct (de exemplu, $% x_0 = 2 $%). Întrebarea este, va fi funcția $% f $% continuă în punctul $% x_0 $%? Cum să aflu? Cea mai de bază este de a verifica dacă definiția continuității unei funcții într-un punct este îndeplinită. Și anume, vă voi oferi epsilon diferit ($% \ varepsilon = 1, \ spațiu \ varepsilon = 1/2, \ spațiu \ varepsilon = 1/100 $% și așa mai departe), și veți selecta o astfel de deltă pentru mine , în funcție de acest epsilon și punctul x sunt zero, că definiția este îndeplinită. Dacă după ce am enumerat toate epsilonii pozitivi pentru tine (nu va fi ușor, dar totuși), se dovedește că ai găsit o astfel de deltă pentru fiecare epsilon, atunci suntem de acord că funcția în acest moment este continuă. Dacă la un moment dat vă spun un astfel de epsilon (de exemplu, $% \ varepsilon = 1/1000 $%) pentru care nu puteți găsi o deltă astfel încât definiția să fie satisfăcută, atunci funcția nu poate fi continuă în acest moment (este nu satisface definitia continuitatii).
Când condiția | x - x0 |<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>
În acest citat al tău, am înlocuit continuitatea uniformă cu cea obișnuită (se pare că mai întâi trebuie să te ocupi de ea). Rețineți că pentru a recunoaște o funcție ca fiind discontinuă (nu continuă), este necesar ca definiția continuității(care la începutul mesajului) nu a fost executat. Și nu doar o bucată din această definiție, ci ea în întregime. În loc de o definiție în acest caz, ar trebui să fie executată negație logică... Regula mnemonică pentru alcătuirea negației este următoarea: toți cuantificatorii „există” (pictograma $% \ există $%) și „pentru orice” (pictograma $% \ forall $%) trebuie înlocuite cu cele opuse (adică , $% \ exists $% trebuie înlocuit cu $ % \ forall $% și înlocuiți $% \ forall $% cu $% \ exists $%). De asemenea, trebuie să schimbați semnul ultimei inegalități la opus (în acest caz, $% | f (x) -f (x_0) |<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
Funcția $% f (x) $% este discontinuă (adică nu continuă) în punctul $% x_0 $% dacă $$ \ există \ varepsilon> 0: \ forall \ delta> 0 \ spațiu \ există x: | x- x_0 |<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
De aici vedem că criteriul dumneavoastră pentru discontinuitate (condiția $% | x-x_0 |<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
Pentru a înțelege mai bine acest lucru, este util să analizați în mod independent câteva exemple de bază pe acest subiect (de exemplu, pentru a investiga o funcție foarte simplă pentru continuitate în punctul $% x_0 $% și dacă este continuă în el, atunci specificați în mod explicit $% \ delta (x_0, \ varepsilon) $%, iar dacă este discontinuu, atunci specificați $% \ varepsilon $%, pentru care se efectuează negația etc.). După ce vă familiarizați cu definiția continuității și negația acesteia (în general și în limbajul $% \ varepsilon $% - $% \ delta $% în special), trecerea la continuitatea uniformă va fi mult mai ușoară. Și, desigur, trebuie să citiți despre continuitate și continuitate uniformă în manualul de analiză. Conform link-ului pe care l-ai dat, există unele materiale care arată mai degrabă ca un pinten pentru un examen, unde continuitatea uniformă este explicată într-un singur rând. Cum este posibil să stăpânești acest lucru (și alte concepte) în matematică în acest format este complet neclar pentru mine.
P.S. Solicităm altor participanți să verifice acest răspuns (dacă am spus totul corect), deoarece este de natură metodologică.
