Hajde da pogledamo jedan od glavne teme u informatici - . V školski program otkriva se prilično "skromno", najvjerovatnije zbog nedostatka sati za to. Znanje o ovoj temi, posebno o prevođenje brojevnih sistema, are preduslov za uspješno položen ispit i upis na univerzitete na odgovarajućim fakultetima. Ispod detaljno koncepti kao što su pozicione i nepozicione sisteme brojeva, dati su primjeri ovih brojevnih sistema, pravila za pretvaranje cijelih decimalnih brojeva, regularnih decimalnih razlomaka i mješovitih decimalnih brojeva u bilo koji drugi brojevni sistem, pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni, pretvaranje iz oktalnog i heksadecimalnog brojevnog sistema u binarni sistem brojeva predstavljeno. Na ispitima u u velikom broju postoje zadaci na ovu temu. Sposobnost njihovog rješavanja jedan je od zahtjeva za kandidate. Uskoro: Za svaku temu sekcije, pored detaljnog teorijskog materijala, gotovo sve moguće opcije zadataka za samostalno učenje. Osim toga, imat ćete priliku potpuno besplatno preuzeti gotove datoteke sa servisa za razmjenu datoteka. detaljna rješenja na ove zadatke, ilustrirajući razne načine dobijanje tačnog odgovora.
pozicioni brojevni sistemi.
Nepozicioni sistemi brojeva- sistemi brojeva u kojima kvantitativna vrijednost cifre ne zavisi od njenog položaja u broju.
Nepozicioni sistemi brojeva uključuju, na primjer, rimski, gdje umjesto brojeva - pisma.
| I | 1 (jedan) |
| V | 5 (pet) |
| X | 10 (deset) |
| L | 50 (pedeset) |
| C | 100 (sto) |
| D | 500 (petsto) |
| M | 1000 (hiljadu) |
Ovdje slovo V znači 5, bez obzira na njegovu lokaciju. Međutim, vrijedno je napomenuti da iako je rimski numerički sistem klasičan primjer nepozicionog numeričkog sistema, on nije potpuno nepozicionalan, jer. manji broj prije nego što se od njega oduzme veći:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
pozicioni brojevni sistemi.
Sistemi pozicijskih brojeva- sistemi brojeva u kojima kvantitativna vrijednost cifre zavisi od njenog položaja u broju.
Na primjer, ako govorimo o decimalnom sistem brojeva, zatim u broju 700 broj 7 znači "sedam stotina", ali ista cifra u broju 71 znači "sedam desetica", a u broju 7020 - "sedam hiljada".
Svaki pozicioni brojevni sistem ima svoje baza. Baza je prirodni broj veći ili jednak dva. Jednako je broju cifara koje se koriste u ovom brojevnom sistemu.
- Na primjer:
- Binarno- pozicioni brojevni sistem sa osnovom 2.
- kvartar- pozicioni brojevni sistem sa bazom 4.
- petostruko- pozicioni brojevni sistem sa bazom 5.
- oktalno- pozicijski brojevni sistem sa bazom 8.
- Heksadecimalni- pozicioni brojevni sistem sa bazom 16.
Za uspješno rješavanje zadataka na temu „Brajevi sistemi“, učenik mora napamet znati korespondenciju binarnih, decimalnih, oktalnih i heksadecimalnih brojeva do 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Korisno je znati kako se brojevi dobijaju u ovim brojevnim sistemima. To možete pogoditi u oktalnom, heksadecimalnom, ternarnom i drugom pozicioni brojevni sistemi sve se dešava slično nama poznatom decimalnom sistemu:
Jedan se dodaje broju i dobija se novi broj. Ako mjesto jedinica postane jednako osnovici brojevnog sistema, povećavamo broj desetica za 1, i tako dalje.
Ova "tranzicija jednog" je upravo ono što plaši većinu učenika. U stvari, sve je prilično jednostavno. Prijelaz se događa ako cifra jedinice postane jednaka baza brojevnog sistema, povećavamo broj desetica za 1. Mnogi, sećajući se starog dobrog decimalnog sistema, odmah se zbune u pražnjenju i u ovom prelazu, jer su decimalne i, na primer, binarne desetice različite stvari.
Dakle, snalažljivi učenici imaju "svoje metode" (iznenađujuće... rade) kada ispunjavaju, na primjer, tablice istinitosti, čiji su prvi stupci (vrijednosti varijabli) u stvari ispunjeni binarnim brojevima u rastućem redoslijedu. .
Na primjer, pogledajmo unos brojeva oktalni sistem: Prvom broju (0) dodajemo 1, dobijamo 1. Zatim dodajemo 1 na 1, dobijamo 2, itd. do 7. Ako 7 dodamo jedan, dobijamo broj jednak osnovici brojevnog sistema, tj. 8. Zatim trebate povećati cifru desetice za jedan (dobijamo oktalnu deseticu - 10). Slijede, očigledno, brojevi 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
pravila za konverziju iz jednog brojevnog sistema u drugi.
1 Pretvorite cijele decimalne brojeve u bilo koji drugi brojevni sistem.
Broj se mora podijeliti sa nova baza brojeva. Prvi ostatak dijeljenja je prva najmanje značajna znamenka novog broja. Ako je količnik dijeljenja manji ili jednak novoj bazi, tada se (količnik) mora ponovo podijeliti novom bazom. Dijeljenje se mora nastaviti sve dok ne dobijemo količnik manji od nove baze. Ovo je najviša cifra novog broja (treba zapamtiti da, na primjer, u heksadecimalnom sistemu slova slijede iza 9, tj. ako ste dobili 11 u ostatku, trebate to napisati kao B).
Primjer ("podjela uglom"): Hajde da prevedemo broj 173 10 u oktalni sistem obračun.
Dakle, 173 10 \u003d 255 8
2 Pretvaranje tačnih decimalnih razlomaka u bilo koji drugi brojevni sistem.
Broj se mora pomnožiti sa novom bazom brojevnog sistema. Cifra koja je prešla u cijeli broj je najviša znamenka razlomka novog broja. da bi se dobila sljedeća znamenka, razlomak rezultujućeg proizvoda mora se ponovo pomnožiti s novom bazom brojevnog sistema sve dok ne dođe do prijelaza na cijeli broj. Nastavljamo množenje sve dok razlomak ne postane jednak nuli, ili dok ne dostignemo tačnost navedenu u zadatku ("... izračunaj s tačnošću od, na primjer, dvije decimale").
Primjer: Prevedemo broj 0,65625 10 u oktalni brojevni sistem.
Metodički komentar lekcije
Ciljevi nastavnika: Pokazati učenicima metode integracije znanja iz različitih izvora, stvoriti uslove za produktivan rad u grupama.
Ciljevi učenika: Upoznati istoriju nastanka brojevnih sistema, naučiti principe konstruisanja različitih brojevnih sistema i oblasti njihove upotrebe, steći potrebne veštine timski rad sa raznim izvorima informacija.
Na času matematike u 5. razredu, dok su radili zadatak u vezi sa razlaganjem višecifrenih brojeva na cifre, učenici su imali pitanja: „Zašto brojimo deseticama? Zašto se to ne može posmatrati drugačije? Postoje li drugi načini brojanja? Nastavnik je zamoljen da pronađe odgovore na ova pitanja tako što će tokom sedmice pretraživati, analizirati i sumirati informacije o ovoj temi, radeći u malim grupama formiranim od učenika razreda po želji. Rezultate ovog rada treba formalizovati i predstaviti na času matematike za nedelju dana. Na kraju časa odeljenje je podeljeno u sledeće kreativne grupe:
- Sistemi brojeva ( opšti koncepti) - 5 osoba
- Binarni sistem - 7 ljudi (ovo pitanje je izazvalo najveće interesovanje)
- Heksadecimalni sistem - 5 osoba
- Decimalni sistem - 5 osoba
- Ostali sistemi brojeva - 3 osobe
- Prebacivanje iz jednog sistema u drugi - 5 ljudi.
Kao rezultat aktivnosti pretraživanja učenika, dobijena je sljedeća lekcija:
“Brojevi ne vladaju svijetom, već pokazuju kako se svijetom vlada”
(I-In Goethe)
Grupe studenata predstavile su rezultate pretraživanja i analitičkog rada.
I - Opšti pojmovi
Brojevni sistem je skup metoda za označavanje brojeva - jezik čija su abeceda simboli (brojevi) i sintaksa - pravilo koje omogućava da se nedvosmisleno formuliše brojčani zapis.
Broj je neki apstraktni entitet za opisivanje količine
Cifra je znak koji se koristi za pisanje brojeva. Brojevi su različiti, najčešći su arapski brojevi; manje uobičajeni rimski brojevi (mogu se vidjeti na satu ili u oznaci stoljeća)
Baza je broj cifara koji se koriste u brojevnom sistemu.
Primjeri brojeva u različitim brojevnim sistemima:
11001 2 – binarni broj
221 3 - broj u ternarnom brojevnom sistemu
31 8 - broj u oktalnom brojevnom sistemu
25 10 - broj u decimalnom brojevnom sistemu
U starim knjigama iz aritmetike, pored 4 računske operacije, spominje se i peta - numeracija. Numeracija (račun) bila je jedan od prvih problema sa kojima se susreće u konstrukciji aritmetike.
Postoji mnogo načina za pisanje brojeva pomoću brojeva. Ove metode se mogu podijeliti u tri grupe:
- pozicioni brojevni sistemi
- mešoviti sistemi brojeva
- nepozicioni brojevni sistemi
Novčanice su primjer mješovitog sistema brojeva. Sada se u Rusiji koriste kovanice i novčanice sljedećih apoena: 1 kopejka, 5 kopejki, 10 kopejki, 50 kopejki, 1 rub., 2 rub., 5 rub., 10. rub., 50. rub., 100. rub., 500. rub., 1000 rub., 5000 rub. Da biste dobili određeni iznos u rubljama, morate koristiti određenu količinu novčanica različitih apoena. Pretpostavimo da kupujemo usisivač koji košta 6379 rubalja. Da biste platili kupovinu, trebat će vam 6 novčanica od 1000 rubalja, 3 novčanice od 100 rubalja, 1 novčanica od pedeset rubalja, dvije desetke, jedna novčanica od pet rubalja i dva novčića od 2 rublje. Ako zapišemo broj novčanica i kovanica, počevši od 100 rubalja i završavajući s jednom kopejkom, zamjenjujući nedostajuće apoene nulama, dobit ćemo broj predstavljen u mješovitom brojevnom sistemu: u našem slučaju, 603121200000.
U nepozicionim brojevnim sistemima, vrijednost broja ne zavisi od položaja cifara u unosu broja. Ako bismo pomiješali brojeve u broju 603121200000, onda ne bismo mogli shvatiti koliko košta usisivač; u ne pozicioni sistem Brojevi se mogu preurediti bez promjene iznosa. Primjer nepozicionog sistema je rimski sistem. Ovakvi sistemi su izgrađeni na principu aditivnosti (engleski add. - sum). Kvantitativni ekvivalent broja definiran je kao zbir cifara. Na primjer:
U pozicionim sistemima brojeva, redosled cifara u unosu brojeva je uvek važan. (25 i 52 su različiti brojevi)
Svaki brojevni sistem namijenjen za praktičnu upotrebu mora osigurati:
- sposobnost predstavljanja broja u datom rasponu brojeva
- nedvosmislenost reprezentacije
- kratkoća i lakoća pisanja
- lakoća savladavanja sistema, kao i jednostavnost i pogodnost upravljanja njime
II - Binarni sistem brojeva
Binarni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa bazom 2. U ovom brojevnom sistemu prirodni brojevi se pišu pomoću dva simbola: 1 i 0. Cifra binarni sistem- malo. Osam cifara je bajt.
Binarni sistem brojeva izmislili su matematičari i filozofi još u 17.-19. veku. Izvanredni matematičar Leibniz je rekao: „Računanje uz pomoć dvojke... je glavno za nauku i stvara nova otkrića... Kada se brojevi svedu na najjednostavnije početke, a to su 0 i 1, svuda se pojavljuje divan poredak. ” Kasnije je binarni sistem zaboravljen, a tek 1936-1938 američki inženjer i matematičar Claude Shannon pronašao je izuzetnu primjenu binarnog sistema u dizajnu elektronskih kola.
Binarni sistem se koristi u digitalnim uređajima jer je najjednostavniji.
Prednosti binarnog sistema:
- Što je manje vrijednosti u sistemu, to je lakše napraviti pojedinačni elementi radeći na ovim vrijednostima. Dvije cifre se lako predstavljaju fizičke pojave: postoji struja - nema struje; indukcija magnetsko polje veći od granične vrijednosti ili ne, itd.
- Što manje stanja element ima, to je veća otpornost na buku i brže može raditi.
- Binarna aritmetika je prilično jednostavna.
- Moguće je koristiti logički aparat za izvođenje bitskih operacija
Za pretvaranje iz binarnog u decimalni, koristi se tabela stepena 2.
III - Heksadecimalni brojni sistem
V moderno vrijeme seksagezimalni sistem brojeva koristi se za mjerenje vremena, uglova.
U prikazu vremena koriste se tri pozicije: sati, minute, sekunde, jer za svaku poziciju moramo koristiti 60 cifara, a imamo samo 10, onda se za svaku koriste dvije decimalne cifre (00, 01, ...). seksagezimalni položaj, pozicije su razdvojene dvotočkom. h:m:s.
Razmotrite radnje u seksagezimskom brojevnom sistemu na dva zadatka:
- Kolač je potrebno peći u rerni 45 minuta. Koliko će sekundi trebati?
- Potrebno je ispeći 10 pita. Koliko će vremena trebati?
Da biste izvršili proračune u seksagezimskom brojevnom sistemu, morate znati tablice sabiranja i množenja seksagezimalnih brojeva. Svaka tablica je jako velika, veličine je 60 * 60, jedva smo se sjetili uobičajene tablice množenja, a bit će nam još teže naučiti seksagezimalnu tablicu. Kako biti? Ove probleme možete riješiti u decimalnom brojevnom sistemu, a zatim rezultat prevesti u seksagezimalni.
45 minuta=0*3600+45*60+0= 2700 sekundi
2700*10=27000 sekundi će biti potrebno da se ispeče 10 pita.
27000/60=450 (ostatak 0)
450/60=7 (ostatak 30)
7/60=0 (ostatak 7) Ispostavilo se 07:30:00
IV - Decimalni brojevni sistem
Predstavljanje brojeva arapskim brojevima je najčešći pozicioni brojevni sistem, naziva se „dekadski brojevni sistem“. Naziva se decimalnim jer koristi deset cifara: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Najviše je decimalni brojevni sistem poznato dostignuće Indijska matematika (595). Sistem baze 10 prodro je karavanskim putevima od Indije do mnogih područja Bliskog istoka. Postepeno, ovaj sistem je počeo da se sve više koristi u arapskom svetu, iako su ostali sistemi ostali u upotrebi u isto vreme. "Knjiga Abakusa" Leonarda iz Pize (1202) bila je jedan od izvora prodora indoarapskog sistema brojeva u Zapadnu Evropu. Ova knjiga je bila grandiozno djelo za ono vrijeme, u štampanom obliku imala je 460 stranica. Njegov autor je poznat i pod imenom Fibonači. Njegova knjiga predstavljala je matematičku enciklopediju svog vremena. Decimalni sistem je postao široko rasprostranjen i priznat u Evropi tek tokom renesanse.
V - Drugi sistemi brojeva
Heksadecimalni sistem brojeva - za pisanje brojeva koriste se sljedeći znakovi: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.
Binarno decimalni sistem obračun. U takvom sistemu svaka decimalna cifra je kodirana određenu kombinaciju binarne cifre. Oznaka svake decimalne cifre naziva se tetrada. primjer:
125 10 =000100100101 2-10 (3 tetrade)
0000=1 0100=4 1000=8
0001=1 0101=5 1001=9
Petostruki sistem brojeva - Prvi matematičari su mogli brojati samo na prste jedne ruke, a da je bilo više objekata, rekli bi ovo: "pet + jedan" itd. Ponekad se kao osnova uzimao broj 20 - broj prstiju na rukama i nogama. Od 307 brojevnih sistema primitivnih američkih naroda, 146 su bili decimalni, 106 kvinarni i decimalni. U karakterističnijem obliku, sistem baza 20 postojao je među Majama u Meksiku i među Keltima u Evropi.
VI - Transfer iz jednog sistema u drugi
Da li su sistemi brojeva povezani? Da li je moguće prevesti broj iz jednog sistema u drugi? Postoje dva glavna pravila za prelazak sa jednog sistema na drugi:
Prevođenje iz bilo kojeg drugog u decimalni sistem vrši se prema formulama:
11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10
221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10
31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10
25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10
Pretvaranje broja iz decimalnog sistema u sistem sa bilo kojom bazom vrši se prema algoritmu:
25 10 pretvoriti u binarni broj
25/2=12 (ostatak 1)
12/2=6 (ostatak 0)
6/2=3 (ostatak 0)
3/2=1 (ostatak 1)
1/2=0 (ostatak 1) Dobio sam broj 11001 2
25 10 pretvoriti u ternarni broj
25/3=8 (ostatak 1)
8/3=2 (ostatak 2)
2/3=0 (ostatak 2) Primljeno 221 3
25 10 pretvoriti u oktalni broj
25/8=3 (ostatak 1)
3/8=0 (ostatak 3) Dobili smo 31 8
Nakon predstavljanja rezultata rada kreativnih grupa, svi brojevni sistemi su vrednovani prema kriterijumima navedenim na početku, i svi su došli do zaključka da je kao rezultat istorijskog razvoja matematike najpogodniji sistem (decimalni) postao najčešći. Istovremeno, bilo je vatrenih pristalica binarnog sistema, koji su smatrali da je on veoma važan za elektroniku.
Lekcija je završena sinkvinom.
Sistem brojeva je zgodan, brz, pomaže, broji, snima
„Prebrojavanje i kalkulacije su osnova reda u glavi“ (I. Pestalozzi)
Izvori informacija
- D.Ya. Stroik "Kratak esej o istoriji matematike" ("Nauka", Moskva, 1990).
- N.Ya. Vilenkin, L.P. Šibasov, Z.F. Šibasov „Iza stranica udžbenika matematike“ („Prosveščenie“, Moskva, 2008).
- A.V. Dorofejev „Stranice istorije na časovima matematike“ („Prosvetljenje“, Moskva, 2007).
- Internet resursi "Wikipedia".
sistem brojeva je skup metoda za imenovanje i pisanje brojeva. U bilo kom brojevnom sistemu biraju se određeni simboli koji predstavljaju brojeve (oni se nazivaju figure), a ostali brojevi se dobijaju kao rezultat bilo kakvih operacija nad znamenkama ovog brojevnog sistema.
Sistem se zove pozicioni ako se vrijednost svake cifre (njena težina) mijenja ovisno o njenoj poziciji (poziciji) u nizu cifara koji predstavljaju broj.
Zove se broj jedinica bilo koje kategorije, kombinovanih u jedinicu višeg reda baza pozicionog brojevnog sistema. Ako je broj takvih cifara P, tada se poziva brojni sistem P-ichny. Osnova brojevnog sistema je ista kao i broj cifara koji se koriste za pisanje brojeva u tom brojevnom sistemu.
Snimanje proizvoljan broj x v P-aran pozicioni brojevni sistem se zasniva na predstavljanju ovog broja kao polinom
x = a n P n + a n -1 P n -1 + ... + a 1 P 1 + a 0 P 0 + a -1 P -1 + ... + a -m P -m
Aritmetičke operacije nad brojevima u bilo kom pozicijskom brojevnom sistemu izvode se po istim pravilima kao i u decimalnom sistemu, pošto se sve zasnivaju na pravilima za izvođenje operacija nad odgovarajućim polinomima. U ovom slučaju trebate koristiti samo one tablice sabiranja i množenja koje odgovaraju ovoj bazi. P sistemi brojeva.
Prilikom pretvaranja brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u sistem sa osnovom P> 1 obično koristi sljedeći algoritam:
1) ako je cijeli dio broja preveden, onda se dijeli sa P, nakon čega se pohranjuje ostatak podjele. Rezultirajući količnik je opet podijeljen sa P, ostatak se pamti. Postupak se nastavlja sve dok količnik ne postane nula. Ostaci nakon dijeljenja P izdaju se obrnutim redoslijedom od njihovog prijema;
2) ako se razlomak broja prevede, onda se množi sa P, nakon čega se cijeli broj pohranjuje i odbacuje. Novo dobijeni razlomak se množi sa P itd. Postupak se nastavlja sve dok ne postane razlomak nula. Cjelobrojni dijelovi se ispisuju iza zareza redoslijedom kojim su primljeni. Rezultat može biti ili konačni ili periodični razlomak u brojevnom sistemu sa bazom P. Stoga, kada je razlomak periodičan, morate u nekom koraku odsjeći množenje i zadovoljiti se približnim zapisom originalnog broja u sistemu sa bazom P .
Kodiranje brojeva
Da biste koristili brojeve, morate ih nekako imenovati i napisati, potreban vam je sistem numeracije. Različiti sistemi brojanja i pisanja brojeva koegzistirali su i takmičili se jedni s drugima hiljadama godina, ali do kraja "pre-kompjuterske ere" broj "deset" je počeo da igra posebnu ulogu u brojanju, a popularan sistem ispostavilo se kodiranje pozicioni decimalni sistem. U ovom sistemu, vrijednost cifre u broju zavisi od njenog mjesta (pozicije) unutar broja. Decimalni brojevni sistem došao je iz Indije (ne kasnije od 6. veka nove ere). Abeceda ovog sistema: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - ima ukupno 10 cifara, tako da je osnova brojevnog sistema 10. Broj se piše kao kombinacija jedinica, desetica, stotina, hiljada itd. Primjer: 1998=8*10 0 + 9*10 1 + 9*10 2 + 1*10 3 .
U ovom sistemu postoji 10 cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ali informaciju ne nosi samo broj, već i mjesto na kojem broj stoji (da je, njegov položaj). Krajnja desna znamenka broja pokazuje broj jedinica, druga s desne strane - broj desetica, sljedeća - broj stotina itd.
333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3
Imajte na umu da se izbor broja 10 kao osnove brojevnog sistema objašnjava tradicijom, a ne nekim izuzetnim svojstvima broja 10. Generalno, reprezentacija broja N u p-arnom brojevnom sistemu, to:
N=a n *p n +a n-l *p n-l +...+a l *p l +a o , gdje a ¹ 0, a i Î {0, 1, 2, ..., a i }.
U Babilonu se, na primjer, koristio sistem brojeva od 60 decimala, abeceda je sadržavala brojeve od 1 do 59, nije bilo broja 0, tablice množenja su bile veoma glomazne, pa je vrlo brzo zaboravljen, ali odjeci njegove nekadašnje rasprostranjenosti mogu promatrajte sada - podjelu sata za 60 minuta, dijeleći krug na 360 stepeni.
Binarni sistem brojeva
Binarni sistem brojeva izmislili su matematičari i filozofi čak i prije pojave kompjutera (XVII - XIX vijek). Izvanredni matematičar Leibniz je rekao: "Računanje uz pomoć dvojke... je fundamentalno za nauku i stvara nova otkrića... Kada se brojevi svedu na najjednostavnije principe, koji su 0 i 1, svuda se pojavljuje divan poredak." Kasnije je binarni sistem zaboravljen, a tek 1936. - 1938. američki inženjer i matematičar Claude Shannon je pronašao izvanredne primjene binarnog sistema u dizajnu elektronskih kola. Razmotrimo primjer predstavljanja broja u binarnom sistemu:
Primjer 2.1.1. Pretvorimo broj 2000 u binarni sistem.
1. Podijelite 2000 sa osnovom novog brojevnog sistema - 2:
2000:2=1000(0 - ostatak),
2. Sakupljamo zadnji količnik dijeljenja (uvijek jednak 1) i ostatak dijeljenja i zapisujemo ih redom, počevši od dna:
2000 10 ==11111010000 2
Da bismo provjerili, rezultujući broj ćemo prevesti u decimalni brojevni sistem, za ovo:
1. Odaberite binarne cifre broja, odnosno stepen broja 2, počevši od 0:
2. Napišite zbir proizvoda 0 i 1 odgovarajućim stepenom broja 2 (pogledajte prikaz broja u p-arnom brojevnom sistemu):
0*2 0 +0*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +l*2 4 +0*2 5 +l*2 6 +l*2 7 +l*2 8 +l*2 9 + l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000
Postoje brojevni sistemi povezani sa binarnim. Kada radite sa računarima, ponekad morate imati posla sa binarnim brojevima, jer su binarni brojevi ugrađeni u dizajn računara. Binarni sistem je zgodan za računar, ali nezgodan za osobu - preduge brojeve je nezgodno zapisati i zapamtiti. Sistemi brojeva priskaču u pomoć, vezani za binarni - oktalni i heksadecimalni.
Na primjer, u heksadecimalnom sistemu, 10 arapskih brojeva i slova se koristi za pisanje brojeva. latinica(A, B, C, D, E, F). Za pisanje broja u ovom brojevnom sistemu, zgodno je koristiti binarno predstavljanje brojevi. Uzmimo za primjer isti broj - 2000 ili 11111010000 u binarnom sistemu. Podijelimo ga na četiri znaka, krećući se s desna na lijevo, u posljednja četiri s lijeve strane zadajemo beznačajnu 0 tako da je broj znakova u trozvucima četiri: 0111 1101 0000. Počnimo s prijevodom - broj 0111 u binarni sistem odgovara broju 7 u decimalnom sistemu (7 10 \u003d 1 * 2 0 +1*2 1 +1*2 2), postoji cifra 7 u heksadecimalnom brojevnom sistemu; broj 1101 u binarnom sistemu odgovara broju 13 u decimalnom sistemu (13=1*2 0 + 0*2 1 + 1*2 2 + 1*2 3), u heksadecimalnom sistemu ovaj broj odgovara cifri D, i, konačno, broj 0000 - u bilo kojem brojevnom sistemu 0. Sada pišemo rezultat:
11111010000 2 = 7D0 16 .
TWELUX I OKTALNI BROJEVNI SISTEMI
Iako je decimalni sistem najčešće korišten, to ne znači da je najbolji. Široka rasprostranjenost je najvećim dijelom posljedica anatomske okolnosti da imamo deset prstiju i deset prstiju na rukama i stopalima. Što se tiče pozicionog principa i digitalnih oznaka, oni se s jednakim uspjehom mogu prilagoditi brojevnom sistemu sa bilo kojom osnovom, bez obzira da li je jednak 2, 10 ili bilo kojem drugom pozitivnom cijelom broju osim jedan. Na primjer, zamjena u polinomski prikaz 7 x 2 + 6x 1 + 5x 0 + 4x –1 + 3x-2 umjesto toga x vrijednost 10, dobijamo broj 765,43 u našem uobičajenom decimalnom sistemu. Ali bez imalo štete po pozicijski princip označavanja cijelih brojeva i razlomaka umjesto x Također možete zamijeniti bilo koji drugi pozitivan cijeli broj. Umjesto broja 10 kao osnove brojevnog sistema najčešće se predlagalo korištenje brojeva 8 i 12. Sistemi koji nastaju takvim zamjenama poznati su kao oktalni i duodecimalni. U oktalnom sistemu, umjesto varijable x u polinomskom prikazu, zamijenite 8, a onda će broj jednak 765,43 u decimalnom sistemu, u oktalnom sistemu biti jednak (8 2) + 6(8 1) + 5(8 0) + 4(8 -1) + 3 (8–2), tj. broj. U duodecimalnom, isti polinomski prikaz za x= 12 daje (12 2) + 6(12 1) + 5(12 0) + 4(12 -1) + 3(12 -2), ili u našoj uobičajenoj notaciji. Što se tiče računanja, ona se u sva tri brojevna sistema, decimalnom, oktalnom i duodecimalnom, izvode gotovo na isti način i sa istom lakoćom. Razlika je uglavnom u tablicama sabiranja i množenja, jer se one mijenjaju iz jednog brojevnog sistema u drugi. Na primjer, sedam plus sedam jednako je osam plus šest u oktalnom, deset plus četiri u decimalu i dvanaest plus dva u duodecimalu. Simbolično, ovi zbroji i proizvodi se mogu napisati na sljedeći način:Vidimo da prijelaz sa decimalnog na oktalni ili duodecimalni zahtijeva potpunu reviziju tablica sabiranja i množenja; ovo objašnjava zašto prijedlozi za prelazak na ove sisteme brojeva nisu bili široko prihvaćeni. Prednosti ove tranzicije su nadoknađene poteškoćama koje sa sobom nose. Glavne prednosti oktalnog i duodecimalnog brojevnog sistema odnose se na djeljivost njihovih baza. Uzimajući u obzir samo cijele brojeve manje od polovine osnovice (pošto nijedan broj ne može biti djelitelj baze ako je ovaj broj veći od polovine baze, ali manji od nje), lako je shvatiti da broj 10 ima dvije sedmice - brojevi 3 i 4, dok je u oktalnom sistemu jedini nedjelitelj manji od polovine osnovice broj 3, au duodecimalnom sistemu jedini nedjelitelj baze je broj 5. Drugim riječima, prednost broj 12 kao osnova brojevnog sistema je taj što ima djelitelje brojeva 2, 3, 4 i 6, dok broj 10 ima djelitelje 2 i 5. Broj 8 ima samo djelitelje 2 i 4, ali njegov glavna prednost u odnosu na ostale je da kontinuirana bisekcija uvijek vodi do "jednostruke" frakcijske reprezentacije u polinomskom obliku. Na primjer, ako je 8 podijeljeno sa 2 10 , tada je rezultat tačno (0,004) 8 , dok ako se 12 podijeli sa 2 10 , onda dobijate (približno) (0,0183) 12 , a ako podijelite sa 2 10 broj 10 je (takođe približno) bit će jednako (0,0097656) 10 .
Proučavajući kodiranja, shvatio sam da ne razumijem dovoljno dobro sisteme brojeva. Ipak, često je koristio 2-, 8-, 10-, 16-ti sistem, prevodio jedan u drugi, ali sve je rađeno na "automatski". Nakon što sam pročitao mnoge publikacije, iznenadio sam se nedostatkom jedne, napisane običan jezik, članci o takvom osnovnom materijalu. Zato sam odlučio da napišem svoju, u kojoj sam pokušao da na pristupačan i uredan način predstavim osnove brojevnih sistema.
Uvod
Notacija je način pisanja (predstavljanja) brojeva.Šta se pod ovim misli? Na primjer, vidite nekoliko stabala ispred sebe. Vaš zadatak je da ih prebrojite. Da biste to učinili, možete saviti prste, napraviti zareze na kamenu (jedno drvo - jedan prst / zarez) ili spojiti 10 stabala s nekim predmetom, na primjer, kamenom, i jednu kopiju sa štapićem i položiti ih na mljeveno kako vi računate. U prvom slučaju, broj je predstavljen kao linija savijenih prstiju ili zareza, u drugom - kompozicija kamenja i štapića, gdje su kamenčići na lijevoj, a štapići na desnoj.
Brojevni sistemi se dijele na pozicione i nepozicione, a pozicione, zauzvrat, na homogene i mješovite.
nepozicionalan- najstariji, u njemu svaka cifra broja ima vrijednost koja ne ovisi o njegovoj poziciji (cifre). Odnosno, ako imate 5 crtica, onda je i broj jednak 5, jer svaka crtica, bez obzira na svoje mjesto u redu, odgovara samo 1 jednoj stavci.
Pozicioni sistem- vrijednost svake cifre zavisi od njene pozicije (cifre) u broju. Na primjer, deseti brojevni sistem, koji nam je poznat, je pozicijski. Uzmimo u obzir broj 453. Broj 4 označava broj stotina i odgovara broju 400, 5 - broju desetica i sličan je vrijednosti 50, a 3 - jedinicama i vrijednosti 3. Kao što vidite, što je veći cifra, to je veća vrijednost. Konačan broj se može predstaviti kao zbir 400+50+3=453.
homogeni sistem- za sve cifre (pozicije) broja, skup važećih znakova (cifara) je isti. Kao primjer, uzmimo 10. sistem spomenut ranije. Prilikom pisanja broja u homogenom 10. sistemu možete koristiti samo jednu cifru od 0 do 9 u svakoj cifri, tako da je broj 450 dozvoljen (1. cifra - 0, 2. - 5, 3. - 4), ali 4F5 nije, budući da znak F nije dio cifara od 0 do 9.
mješoviti sistem- u svakoj cifri (poziciji) broja, skup važećih znakova (brojeva) može se razlikovati od skupova ostalih cifara. Upečatljiv primjer je sistem mjerenja vremena. U kategoriji sekundi i minuta moguće je 60 različitih karaktera (od "00" do "59"), u kategoriji sati - 24 različiti likovi(od "00" do "23"), u pražnjenju dana - 365, itd.
Nepozicioni sistemi
Čim su ljudi naučili da broje, pojavila se potreba za beleženjem brojeva. U početku je sve bilo jednostavno - zarez ili crtica na nekoj površini odgovarala je jednom predmetu, na primjer, jednom voću. Tako se pojavio prvi sistem brojeva - jedinica.Sistem brojeva jedinica
Broj u ovom brojevnom sistemu je niz crtica (štapića), čiji je broj jednak vrijednosti datog broja. Dakle, usev od 100 datulja će biti jednak broju koji se sastoji od 100 crtica.Ali ovaj sistem ima očigledne neugodnosti - što je veći broj, to je duži niz štapova. Osim toga, lako možete pogriješiti prilikom pisanja broja ako slučajno dodate dodatni štapić ili ga, obrnuto, ne dodate.
Radi praktičnosti, ljudi su počeli grupirati štapove po 3, 5, 10 komada. Istovremeno, svaka grupa je odgovarala određenom znaku ili objektu. U početku su se za brojanje koristili prsti, pa su se prvi znakovi pojavili za grupe od 5 i 10 komada (jedinica). Sve je to omogućilo stvaranje više pogodni sistemi unose brojeva.
staroegipatski decimalni sistem
U starom Egiptu su se posebni znakovi (brojevi) koristili za označavanje brojeva 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Evo nekih od njih:Zašto se zove decimalni? Kao što je gore napisano - ljudi su počeli grupirati simbole. U Egiptu su odabrali grupu od 10, a broj "1" je ostao nepromijenjen. V ovaj slučaj, broj 10 se naziva baza decimalnog brojevnog sistema, a svaki simbol je u određenoj mjeri reprezentacija broja 10.
Brojevi u staroegipatskom brojevnom sistemu pisani su kao njihova kombinacija
znakova, od kojih se svaki ponavljao najviše devet puta. Konačna vrijednost bila je jednaka zbroju elemenata broja. Vrijedi napomenuti da je ovaj način dobivanja vrijednosti karakterističan za svaki nepozicioni brojevni sistem. Primjer je broj 345:
Babilonski seksagezimalni sistem
Za razliku od egipatskog sistema, u babilonskom sistemu korištena su samo 2 simbola: "ravni" klin za jedinice i "ležeći" za desetice. Za određivanje vrijednosti broja potrebno je sliku broja podijeliti na cifre s desna na lijevo. Novi iscjedak počinje pojavom ravnog klina nakon ležeg. Uzmimo broj 32 kao primjer:
Broj 60 i svi njegovi stepeni su takođe označeni ravnim klinom, kao i "1". Stoga je vavilonski brojevni sistem nazvan seksagezimalnim.
Sve brojeve od 1 do 59 su Babilonci napisali u decimalnom nepozicionom sistemu, a velike vrednosti- u poziciji sa bazom 60. Broj 92:
Zapis broja bio je dvosmislen, jer nije bilo cifre za nulu. Reprezentacija broja 92 mogla bi značiti ne samo 92=60+32, već i, na primjer, 3632=3600+32. Za određivanje apsolutne vrijednosti broja uvedena je poseban karakter da naznači nedostajuću seksagezimalnu cifru, koja odgovara izgledu cifre 0 u decimalnom zapisu:
Sada broj 3632 treba napisati kao:
Babilonski seksagezimalni sistem je prvi brojevni sistem koji se delimično zasniva na pozicionom principu. Ovaj sistem računanje se i danas koristi, na primjer, kod određivanja vremena - sat se sastoji od 60 minuta, a minuta od 60 sekundi.
Rimski sistem
Rimski sistem se ne razlikuje mnogo od egipatskog. Koristi velika latinična slova I, V, X, L, C, D i M, redom, da označi brojeve 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000, redom. Broj u rimskom brojevnom sistemu je skup uzastopnih cifara.Metode za određivanje vrijednosti broja:
- Vrijednost broja jednaka je zbiru vrijednosti njegovih znamenki. Na primjer, broj 32 u rimskom numeričkom sistemu je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Ako se lijevo od veće cifre nalazi manji broj, tada je vrijednost jednaka razlici između veće i manje cifre. Istovremeno, lijeva cifra može biti manja od desne za najviše jedan red: na primjer, ispred L (50) i C (100) od „mlađih“ može stajati samo X (10), prije D (500) i M (1000) - samo C(100), prije V(5) - samo I(1); broj 444 u razmatranom brojevnom sistemu biće zapisan kao CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Vrijednost je jednaka zbiru vrijednosti grupa i brojeva koji se ne uklapaju ispod 1 i 2 boda.
1) slovenski
2) grčki (jonski)
Sistemi pozicijskih brojeva
Kao što je već spomenuto, prvi preduslovi za nastanak pozicijskog sistema pojavili su se u starom Babilonu. U Indiji je sistem imao oblik pozicionog decimalnog numerisanja pomoću nule, a od Hindusa su ovaj sistem brojeva posudili Arapi, od kojih su ga preuzeli Evropljani. Iz nekog razloga, u Evropi je ovom sistemu dodijeljen naziv "Arap".Decimalni brojevni sistem
Ovo je jedan od najčešćih brojevnih sistema. To je ono što koristimo kada nazivamo cijenu robe i izgovaramo broj autobusa. U svakoj cifri (poziciji) može se koristiti samo jedna cifra iz opsega od 0 do 9. Osnova sistema je broj 10.Na primjer, uzmimo broj 503. Ako bi ovaj broj bio napisan u nepozicionom sistemu, onda bi njegova vrijednost bila 5 + 0 + 3 = 8. Ali imamo pozicijski sistem, što znači da svaka cifra broja mora pomnožiti sa osnovom sistema, u ovom slučaju brojem “10”, podignutom na stepen jednak cifrenom broju. Ispostavilo se da je vrijednost 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Da biste izbjegli zabunu kada istovremeni rad kod nekoliko brojevnih sistema, baza je označena kao subscript. Dakle, 503 = 503 10 .
Pored decimalnog sistema, posebnu pažnju zaslužuju 2-, 8-, 16-ti sistemi.
Binarni sistem brojeva
Ovaj sistem se uglavnom koristi u računarska nauka. Zašto nisu počeli da koriste 10. na koji smo navikli? Prvu mašinu za računanje stvorio je Blaise Pascal, koji je u njoj koristio decimalni sistem, što se pokazalo nezgodnim u modernim elektronske mašine, jer je zahtijevala proizvodnju uređaja sposobnih za rad u 10 država, što je povećalo njihovu cijenu i konačne dimenzije mašine. Ovi nedostaci su lišeni elemenata koji rade u 2. sistemu. Međutim, dotični sistem nastao je mnogo prije pronalaska kompjuteri i ide „korijene“ u civilizaciju Inka, gdje se koristio quipu - složeni pleksusi i čvorovi užadi.Binarni pozicioni brojevni sistem ima osnovu od 2 i koristi 2 znaka (cifre) za pisanje broja: 0 i 1. U svakom bitu je dozvoljena samo jedna cifra - 0 ili 1.
Primjer je broj 101. Sličan je broju 5 u decimalnom brojevnom sistemu. Da biste izvršili konverziju iz 2. u 10., potrebno je svaku cifru binarnog broja pomnožiti sa osnovom “2”, podignutom na stepen jednak cifri. Dakle, broj 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .
Pa, za mašine je 2. sistem brojeva pogodniji, ali često vidimo da koristimo brojeve u 10. sistemu na računaru. Kako onda mašina određuje koji broj korisnik unosi? Kako prevodi broj iz jednog sistema u drugi, jer ima samo 2 znaka na raspolaganju - 0 i 1?
Da bi računar radio sa binarnim brojevima (kodovima), oni moraju biti negdje pohranjeni. Za pohranjivanje svake pojedinačne znamenke koristi se okidač, tj elektronsko kolo. Može biti u 2 stanja, od kojih jedno odgovara nuli, a drugo jedan. Za pohranjivanje jednog broja koristi se registar - grupa okidača, čiji broj odgovara broju cifara u binarnom broju. A skup registara je RAM. Broj sadržan u registru je mašinska riječ. Aritmetika i logičke operacije riječima vrši aritmetičko-logička jedinica (ALU). Da bi se pojednostavio pristup registrima, oni su numerisani. Broj se zove adresa registra. Na primjer, ako trebate dodati 2 broja, dovoljno je navesti brojeve ćelija (registra) u kojima se nalaze, a ne same brojeve. Adrese se pišu u 8- i heksadecimalnom sistemu (o njima će biti reči u nastavku), jer je prelazak sa njih na binarni sistem i obrnuto prilično jednostavan. Za prelazak sa 2. na 8. broj potrebno ga je podijeliti u grupe od po 3 cifre s desna na lijevo, i preći na 16. - po 4 cifre.Ako u krajnjoj lijevoj grupi cifara nema dovoljno cifara, tada se slijeva popunjavaju nulama, koje se nazivaju vodećim. Uzmimo za primjer broj 101100 2. U oktalnom je 101 100 = 54 8 a u heksadecimalnom je 0010 1100 = 2C 16 . Odlično, ali zašto vidimo decimalne brojeve i slova na ekranu? Kada se pritisne tipka, određeni niz električnih impulsa se prenosi na računar, a svaki znak ima svoj niz električnih impulsa (nula i jedinica). Program tastature i drajvera ekrana poziva tablica kodova karaktera (na primjer, Unicode, koji vam omogućava da kodirate 65536 znakova), određuje kojem karakteru odgovara primljeni kod i prikazuje ga na ekranu. Tako se tekstovi i brojevi pohranjuju u memoriju računala u binarnom kodu, i programski pretvaraju u slike na ekranu.
Oktalni sistem brojeva
Osmi brojevni sistem, kao i binarni, se često koristi digitalna tehnologija. Ima bazu 8 i koristi cifre od 0 do 7 za predstavljanje broja.Primjer oktalni broj: 254. Za konverziju u 10. sistem, svaka cifra originalnog broja mora se pomnožiti sa 8 n, gdje je n broj cifre. Ispada da je 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .
Heksadecimalni sistem brojeva
Heksadecimalni sistem se široko koristi u savremenih kompjutera, na primjer, specificira boju: #FFFFFF - Bijela boja. Sistem koji se razmatra ima osnovu 16 i koristi se za pisanje broja: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, gdje su slova 10, 11, 12, 13, 14, 15.Uzmimo broj 4F5 16 kao primjer. Da bismo konvertovali u oktalni sistem, prvo konvertujemo heksadecimalni broj u binarni, a zatim, razbijajući ga u grupe od 3 cifre, u oktalni. Da biste broj pretvorili u 2, svaka cifra mora biti predstavljena kao 4-bitni binarni broj. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Ali u grupama 1 i 3 nema dovoljno znamenki, pa popunimo svaku vodećim nulama: 0100 1111 0101. Sada moramo podijeliti rezultirajući broj u grupe od 3 znamenke s desna na lijevo: 0100 1111 0101 \u003d 0110 011 . 101. Prevedemo svaku binarnu grupu u oktalni sistem, množimo svaku cifru sa 2n, gdje je n broj cifre: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Pored razmatranih pozicionih brojevnih sistema, postoje i drugi, na primjer:
1) Ternarni
2) Kvartar
3) Duodecimalni
Pozicioni sistemi se dele na homogene i mešovite.
Homogeni pozicioni sistemi brojeva
Definicija data na početku članka prilično u potpunosti opisuje homogene sisteme, tako da pojašnjenje nije potrebno.Mješoviti sistemi brojeva
Već datoj definiciji možemo dodati sljedeću teoremu: „ako su P=Q n (P,Q,n cijeli brojevi pozitivni brojevi, dok su P i Q baze), tada se zapis bilo kojeg broja u mješovitom (P-Q)-tom brojevnom sistemu identično poklapa sa zapisom istog broja u brojevnom sistemu sa bazom Q.”Na osnovu teoreme možemo formulisati pravila za prelazak sa Pth na Q sistem i obrnuto:
- Za prijenos iz Q-tog u P-ti potreban vam je broj u Q-tom sistemu, podijeljen u grupe od n cifara, počevši od desna cifra, i zamijenite svaku grupu jednom cifrom P-ti sistem.
- Za prelazak iz P-tog u Q-ti potrebno je svaku cifru broja u P-tom sistemu prevesti u Q-ti i cifre koje nedostaju popuniti vodećim nulama, osim lijeve, tako da svaki broj u osnovnom Q sistemu sastoji se od n cifara.
Mješoviti sistemi brojeva su također, na primjer:
1) Faktorski
2) Fibonači
Prevod iz jednog brojevnog sistema u drugi
Ponekad morate da konvertujete broj iz jednog brojevnog sistema u drugi, pa pogledajmo kako se prevodi između različitih sistema.Decimalna konverzija
U brojevnom sistemu sa osnovom b postoji broj a 1 a 2 a 3. Za konverziju u 10. sistem, svaka cifra broja mora se pomnožiti sa b n, gdje je n broj cifre. Dakle (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .Primjer: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Pretvaranje iz decimalnog brojevnog sistema u drugi
cijeli dio:- Cijeli dio decimalnog broja sukcesivno dijelimo sa osnovom sistema u koji prenosimo, sve dok decimalni broj ne postane nula.
- Ostaci dobijeni dijeljenjem su cifre željenog broja. Broj u novi sistem pišu se počevši od posljednjeg ostatka.
- Pomnožimo razlomački dio decimalnog broja sa osnovom sistema u koji želite da prevedete. Odvajamo cijeli dio. Nastavljamo da množimo razlomak sa osnovom novog sistema sve dok ne postane 0.
- Broj u novom sistemu su celobrojni delovi rezultata množenja po redosledu koji odgovara njihovom prijemu.
15\8 = 1, ostatak 7
1\8 = 0, ostatak 1
Nakon što smo napisali sve ostatke odozdo prema gore, dobili smo konačni broj 17. Dakle, 15 10 \u003d 17 8.
Binarna u oktalna i heksadecimalna konverzija
Za pretvaranje u oktalni, dijelimo binarni broj u grupe od po 3 znamenke s desna na lijevo, a krajnje znamenke koje nedostaju popunjavamo vodećim nulama. Zatim transformišemo svaku grupu sukcesivnim množenjem cifara sa 2 n, gde je n broj cifre.Uzmimo broj 1001 2 kao primjer: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Za pretvaranje u heksadecimalni - dijelimo binarni broj na grupe od 4 znamenke s desna na lijevo, a zatim - slično konverziji od 2. do 8.
Pretvaranje iz oktalnog i heksadecimalnog sistema u binarni
Pretvaranje iz oktalnog u binarni - svaku cifru oktalnog broja pretvaramo u binarni trocifreni broj dijeljenjem sa 2 (za više informacija o dijeljenju, pogledajte gornji odlomak „Pretvorba iz decimalnog u drugi“), ekstremne cifre koje nedostaju će biti popunjen vodećim nulama.Na primjer, uzmite u obzir broj 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Prijevod od 16. do 2. - pretvoriti svaku cifru heksadecimalni broj u binarni 4-bitni broj dijeljenjem sa 2, popunite nedostajuće ekstremne bitove vodećim nulama.
Pretvaranje razlomaka bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni
Konverzija se vrši na isti način kao i kod celih delova, samo što se cifre broja množe sa osnovom na stepen “-n”, gde n počinje od 1.
Primjer: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 .25 + 0.125) = 5.375 10
Pretvaranje razlomka binarnog sistema u 8. i 16
Prevođenje razlomaka vrši se na isti način kao i za cjelobrojne dijelove broja, s jedinim izuzetkom da podjela na grupe od 3 i 4 znamenke ide desno od decimalnog zareza, a cifre koje nedostaju se popunjavaju sa nulama na desnoj strani.Primjer: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Pretvaranje razlomka decimalnog sistema u bilo koji drugi
Da biste preveli razlomak broja u druge sisteme brojeva, potrebno je da cijeli broj pretvorite na nulu i da počnete da množite rezultirajući broj sa osnovom sistema u koji želite da prevedete. Ako se, kao rezultat množenja, ponovno pojave cjelobrojni dijelovi, moraju se ponovo okrenuti na nulu, nakon što se zapamti (zapiše) vrijednost rezultirajućeg cjelobrojnog dijela. Operacija se završava kada frakcijski dio potpuno nestane.Na primjer, prevedemo 10.625 10 u binarni sistem:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapisujući sve ostatke od vrha do dna, dobijamo 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
Predstavljanje brojeva i komandi u računaru(INFlesson5.doc).
Ideja izražavanja brojeva u deset znakova, dajući im, osim značenja u obliku, i značenje na mjestu, toliko je jednostavna da je upravo zbog te jednostavnosti teško razumjeti koliko je to nevjerovatno. Koliko je teško doći do ove metode, vidimo na primjeru najveći genije grčko učenje Arhimeda i Apolonija, od kojih je ova misao ostala skrivena.
Pierre Simon Laplace
Naučite kako da predstavljate numeričke informacije potrebno je upoznati se sa pravilima prevođenja jednog prikaza broja u drugi, pokušati razumjeti zašto isti broj u različitim situacijama mora biti različito predstavljen. Tehnike predstavljanja brojeva obrađene su u posebnom dijelu teorije brojeva "Brojni sistemi".
Još jedan je dodao važan koncept- sistem brojeva. Zašto je ona potrebna? o čemu se radi? Sistemi brojeva su sistemi koje je napravio čovjek. Takvi sistemi se nazivaju vještački Za razliku od prirodno sistema koje je stvorila priroda. Prirodni (prirodni) sistemi uključuju galaksije, naše Solarni sistem, osobu u cjelini i tako dalje. Veštački sistemi obuhvataju gradove, fabrike, obrazovni sistem, nacionalne jezike, odnosno sve ono što ljudi naprave.
Veštački sistemi se mogu podeliti na
materijal: automobili, avioni, kuće, gradovi, brane, itd.;
javnosti , to je razna udruženja ljudi: parlament, sistem javnog obrazovanja, šahovski klub, itd.;
informativno: nacionalni jezici, računarsku mrežu Internet, sistemi brojeva itd.
Svaki veštački sistem kreirano sa svrha. Može se tvrditi da je najbolji vještački sistem onaj koji najbolje osigurava postizanje cilja njegovog stvaranja.
Svrha stvaranja brojnog sistema je da se najviše razvije zgodan način unose brojeva. Sistem brojeva omogućava prikaz u kompaktnom obliku kvantitativne informacije o objektima i manipulirati njima koristeći prilično jednostavna pravila.
prvih devet prirodni brojevi označavamo specijalni znakovi:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Isto uradite sa svim brojevima koje se susreću u praksi, tj. bilo bi nezgodno sve brojeve koji se pojavljuju posebnim znakovima. Čak i kada bi naše potrebe bile ograničene na brojanje unutar hiljadu, bilo bi potrebno zapamtiti hiljadu posebnih znakova. Naravno, dugo su ljudi počeli birati jednu ili drugu seriju "ključnih", osnovnih brojeva i označavati ih samo posebnim znakovima.
Sistemi brojeva su briljantan izum čovječanstva. Da bih rekao da je danas 2007. godina na prirodnom jeziku, prinuđen sam da koristim 16 karaktera (bez razmaka). Koristeći jezik brojeva, istu stvar možete predstaviti sa četiri znaka. Ispada da su brojevi šifre odgovarajućih riječi, što potvrđuje i činjenica da broj godine, ispisan riječima i brojevima, čitamo na isti način. Brojevi u različitim prirodnim jezicima različito se izgovaraju, a njihova notacija i pravila izvršavanja aritmetičke operacije nad njima su isti.
Koncept broja je fundamentalan i za matematiku i za informatiku. Ali ako se u matematici najveća pažnja poklanja metodama obrade brojeva, onda se za informatiku ne mogu zanemariti metode predstavljanja brojeva, jer upravo one određuju potrebne memorijske resurse, brzinu i grešku izračunavanja.
1. Notacija- ovo je način predstavljanja brojeva i odgovarajuća pravila za djelovanje na brojeve.
Različiti brojevni sistemi koji su postojali ranije i koji se koriste u našem vremenu mogu se podijeliti na nepozicione i pozicione.
1.1 Nepozicioni sistemi brojeva.
Nepozicioni sistem brojeva koristili su stari Egipćani,
Grci, Rimljani i neki drugi narodi antike. U nepozicionim brojevnim sistemima, vrijednost koju on (znak) označava ne zavisi od položaja znaka u zapisu broja.
Do nas je došao rimski sistem pisanja brojeva (rimski brojevi), koji se u nekim slučajevima još uvijek koristi u numeraciji (vjekovi, tomovi, poglavlja knjiga). U rimskom sistemu, latinična slova se koriste kao brojevi:
1 5 10 50 100 500 1000
Na primjer, broj CCXXXII sastoji se od dvije stotine, tri desetice i dvije jedinice i jednak je dvije stotine trideset i dvije.
Rimski brojevi se pišu s lijeva na desno u opadajućem redoslijedu. U ovom slučaju se dodaju njihove vrijednosti. Ako je s lijeve strane napisan manji, a s desne veći broj, tada se njihove vrijednosti oduzimaju.
VI \u003d 5 + 1 \u003d 6, i IV = 5 - 1 \u003d 4.
MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.
Nepozicioni brojevni sistemi bili su manje-više pogodni za sabiranje i oduzimanje, ali nimalo prikladni za množenje i dijeljenje.
1.2 Sistemi pozicionih brojeva (PSS).
Sistemi pozicijskih brojeva su zgodni po tome što vam omogućavaju da pišete proizvoljno veliki brojevi sa nekoliko brojeva. Dovoljna je važna prednost pozicionih brojevnih sistema jednostavni algoritmi obavljaju aritmetičke operacije nad brojevima.
U pozicionim brojevnim sistemima, vrijednost označena cifrom u unosu broja ovisi o njegovoj poziciji.
Broj korištenih cifara se poziva osnovu PSS.
Sistem brojeva koji se koristi u modernoj matematici je pozicioni decimalni sistem. Njegova osnova je deset, jer su svi brojevi napisani pomoću deset cifara:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Mnogi od nas, ove ikone, poznate od djetinjstva, povezane su s konceptom "broja". Međutim, možemo koristiti bilo koje ikone kao brojeve. Da, i brojevi ne moraju biti deset.
Iako se decimalni sistem obično naziva arapskim, on je nastao u Indiji, u 5. veku. U Evropi je ovaj sistem naučen u 12. veku iz arapskih naučnih rasprava, koje su prevedene na latinski. Ovo objašnjava naziv "arapski brojevi".
Pozicioni tip decimalnog sistema lako je razumjeti na primjeru bilo kojeg višecifrenog broja. Na primjer, u broju 333, prva znamenka znači tri stotine, druga - tri desetice, treća - tri jedinice. Ista cifra, ovisno o poziciji u zapisu broja, označava različite vrijednosti.
333 = 3 100 + 3 10 + 3.
Bilo koji decimalni broj može se predstaviti kao zbir proizvoda njegovih sastavnih cifara odgovarajućim stepenom desetice. Isto vrijedi i za decimale.
26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .
Ovo vam omogućava da brojeve sa osnovom koja nije jednaka 10 pretvorite u decimalni prikaz.
Da bi se izvršio takav prijevod, potrebno je originalni broj napisati kao zbir proizvoda cifara broja na odgovarajuće stupnjeve baze i izračunati vrijednost rezultirajućeg broja. numerički izraz prema pravilima decimalne aritmetike.
1. 432,32 5 → A 10 .
432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =
2. DF,4A 16 → A 10
DF,4A 16 = 13*16 1 + 15*16 0 + 4*16 -1 + A*16 -2 = 208 + 15 +
Broj "deset" nije jedina moguća osnova za pozicioni sistem. Poznati ruski matematičar N.N. Luzin je to ovako rekao: "Prednosti decimalnog sistema nisu matematičke, već zoološke. Da imamo osam prstiju umjesto deset, onda bi čovječanstvo koristilo oktalni sistem."
Za pisanje brojeva u pozicionom sistemu sa bazom n (n- oznaka baze PSS) koju trebate imati abeceda od n cifre. Obično za ovo n ≤ 10 koristiti n prvi arapski brojevi, i n > 10 Na deset arapskih brojeva dodaju se latinična slova.
Evo primjera abecede nekoliko sistema:
Baza sistema kojoj pripada broj označena je indeksom tog broja.
10110012, 36718, 3B8F16.
1.3 Pretvaranje decimalnih brojeva u PSS sa osnovom različitom od 10.
1.3.1 Prevođenje cijelih brojeva.
Osnovu novog brojevnog sistema izraziti u decimalnom sistemu
izračunavanje i sve naredne radnje koje treba izvršiti u decimalnom brojevnom sistemu;
Konzistentno dijelimo dati broj i rezultirajuće nepotpune količnike sa osnovom novog brojevnog sistema dok ne dobijemo nepotpuni količnik manji od djelitelja;
Dobijeni ostaci, koji su cifre broja u novom brojevnom sistemu, moraju se uskladiti sa alfabetom novog brojevnog sistema;
Sastavite broj u novom brojevnom sistemu, zapišite ga počevši od posljednjeg količnika.
1.3.2 Prevođenje razlomaka brojeva.
Izraziti bazu novog brojevnog sistema u dekadnom sistemu i izvršiti sve naredne radnje u decimalnom brojevnom sistemu;
Uzastopno množenje dati broj i rezultujući razlomački delovi proizvoda zasnovani na novom brojevnom sistemu sve dok razlomak proizvoda ne postane jednak nuli ili dok se ne postigne potrebna tačnost predstavljanja broja u novom brojevnom sistemu;
Rezultirajući cjelobrojni dijelovi proizvoda, koji su cifre broja u novom brojevnom sistemu, moraju se uskladiti sa alfabetom novog brojevnog sistema;
Sastavite razlomak broja u novom brojevnom sistemu, počevši od celobrojnog dela prvog proizvoda.
Primjeri prijevoda određenih decimalnih brojeva prikazani su u Dodatku 1.
Aneks 1.
©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali pruža besplatno korišćenje.
Datum kreiranja stranice: 16.02.2016
