Osnovni pojmovi brojnih sistema
Brojevni sistem je skup pravila i tehnika za pisanje brojeva pomoću skupa digitalnih znakova. Broj cifara potreban za pisanje broja u sistemu naziva se baza brojevnog sistema. Osnova sistema je upisana desno od broja u indeksu: ; ; itd.
Postoje dva tipa brojevnih sistema:
pozicijski, kada je vrijednost svake cifre broja određena njenom pozicijom u zapisu broja;
nepozicioni, kada vrijednost cifre u broju ne zavisi od njenog mjesta u zapisu broja.
Primer nepozicionog brojevnog sistema je rimski: brojevi IX, IV, XV, itd. Primjer pozicijskog brojevnog sistema je decimalni sistem koji se koristi svakodnevno.
Bilo koji cijeli broj u pozicijskom sistemu može se napisati kao polinom:
gdje je S baza brojevnog sistema;
Cifre broja zapisane u datom brojevnom sistemu;
n je broj cifara broja.
Primjer. Broj zapisuje se u polinomskom obliku kako slijedi:
Vrste brojevnih sistema
Rimski numerički sistem je nepozicioni sistem. Koristi slova za pisanje brojeva. latinica. U ovom slučaju, slovo I uvijek znači jedan, slovo V znači pet, X znači deset, L znači pedeset, C znači sto, D znači pet stotina, M znači hiljadu, itd. Na primjer, broj 264 je napisan kao CCLXIV. Prilikom pisanja brojeva u rimskom numeričkom sistemu, vrijednost broja je algebarski zbir cifara uključenih u njega. U ovom slučaju cifre u unosu broja po pravilu slijede opadajuće vrijednosti i nije dozvoljeno upisivanje više od tri identične cifre uporedo. U slučaju kada iza cifre veće vrijednosti slijedi cifra manje vrijednosti, njen doprinos vrijednosti broja u cjelini je negativan. Tipični primjeri koji ilustruju opšta pravila zapisi brojeva u rimskom brojevnom sistemu dati su u tabeli.
Tabela 2. Pisanje brojeva u rimskom numeričkom sistemu
|
III |
||||
|
VII |
VIII |
|||
|
XIII |
XVIII |
XIX |
XXII |
|
|
XXXIV |
XXXIX |
XXIX |
||
|
200 |
438 |
649 |
999 |
1207 |
|
CDXXXVIII |
DCXLIX |
CMXCIX |
MCCVII |
|
|
2045 |
3555 |
3678 |
3900 |
3999 |
|
MMXLV |
MMMDLV |
MMMDCLXXVIII |
MMMCM |
MMMCMXCIX |
Nedostatak rimskog sistema je nedostatak formalnih pravila za pisanje brojeva i, shodno tome, aritmetičkih operacija s višecifrenim brojevima. Zbog neugodnosti i velike složenosti, rimski brojčani sistem se trenutno koristi tamo gdje je to zaista zgodno: u literaturi (numeracija poglavlja), u papirologiji (niz pasoša, vrijednosnih papira, itd.), u dekorativne svrhe na brojčaniku sata i u niz drugih slučajeva.
Dekadski brojevni sistem je trenutno najpoznatiji i najkorišćeniji. Invencija decimalni sistem račun se odnosi na glavna dostignuća ljudske misli. Bez toga teško da bi mogao postojati, a kamoli nastati moderna tehnologija. Razlog zašto je decimalni brojevni sistem postao opšteprihvaćen nije nimalo matematički. Ljudi su navikli da broje decimalno jer imaju 10 prstiju na rukama.
Drevna slika decimalnih cifara (slika 1) nije slučajna: svaka cifra označava broj po broju uglova u njoj. Na primjer, 0 - bez ugla, 1 - jedan ugao, 2 - dva ugla, itd. Pravopis decimalnih cifara pretrpeo je značajne promene. Forma koju koristimo uspostavljena je u 16. veku.
Decimalni sistem se prvi put pojavio u Indiji oko 6. veka. nova era. Indijsko numerisanje koristilo je devet numeričkih znakova i nulu da označi praznu poziciju. U ranim indijskim rukopisima koji su došli do nas, upisani su brojevi obrnutim redosledom- većina značajna figura postavljen sa desne strane. Ali ubrzo je postalo pravilo postavljati takvu figuru na lijevu stranu. Posebna važnost je pridavana nultom simbolu, koji je uveden za pozicionu notaciju. Indijsko numerisanje, uključujući nulu, došlo je do našeg vremena. U Evropi su hinduističke metode decimalne aritmetike postale široko rasprostranjene početkom 13. veka. zahvaljujući radu italijanskog matematičara Leonarda iz Pize (Fibonači). Evropljani su pozajmili indijski sistem brojeva od Arapa, nazvavši ga arapskim. Ovaj istorijski netačan naziv zadržao se do danas.
Decimalni sistem koristi deset cifara - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9, kao i simbole "+" i "-" za označavanje znaka broja i zarez ili tačka za razdvajanje celobrojnih i razlomačkih brojeva.
AT kompjuteri Oh koristi se binarni sistem brojeva, njegova osnova je broj 2. Za pisanje brojeva u ovom sistemu koriste se samo dvije cifre - 0 i 1. Suprotno uobičajenoj zabludi, binarni sistem brojeva nisu izmislili inženjeri kompjuterskog dizajna, već matematičari i filozofi mnogo prije pojave kompjutera, čak u sedamnaestom i devetnaestom vijeku. Prvu objavljenu raspravu o binarnom brojevnom sistemu dao je španski sveštenik Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Opću pažnju na ovaj sistem privukao je članak njemačkog matematičara Gottfrieda Wilhelma Leibniza, objavljen 1703. godine. U njemu su objašnjene binarne operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Leibniz nije preporučio korištenje ovog sistema za praktična proračuna, ali je naglasio njegovu važnost za teorijska istraživanja. Vremenom, binarni sistem brojeva postaje dobro poznat i razvija se.
Izbor binarnog sistema za primenu u računarska nauka se objašnjava činjenicom da elektronski elementi- okidači koji čine kompjuterske čipove mogu biti samo u dva radna stanja.
Uz pomoć binarnog sistema kodiranja mogu se zabilježiti svi podaci i znanje. Ovo je lako razumjeti ako se sjetite principa kodiranja i prijenosa informacija pomoću Morzeove azbuke. Telegrafista, koristeći samo dva znaka ove abecede - tačke i crtice, može prenijeti gotovo svaki tekst.
Binarni sistem je zgodan za računar, ali nezgodan za osobu: brojevi su dugi i teško ih je zapisati i zapamtiti. Naravno, možete pretvoriti broj u decimalni sistem i napisati ga u ovom obliku, a zatim, kada bude trebalo da ga prevedete nazad, ali svi ti prijevodi oduzimaju mnogo vremena. Stoga se koriste brojni sistemi koji se odnose na binarni - oktalni i heksadecimalni. Za pisanje brojeva u ovim sistemima potrebno je 8 odnosno 16 cifara. U heksadecimalnom, prvih 10 cifara je uobičajeno, a zatim se koriste velika latinična slova. Heksadecimalna cifra A odgovara decimali 10, heksadecimalna B decimalna 11 itd. Upotreba ovih sistema objašnjava se činjenicom da je prelazak na pisanje broja u bilo kom od ovih sistema sa njegove binarne notacije veoma jednostavan. Ispod je tabela korespondencije između brojeva napisanih u različitim sistemima.
Tabela 3. Korespondencija brojeva zapisanih u različitim brojevnim sistemima
|
Decimala |
Binarno |
oktalno |
Heksadecimalni |
|
001 |
|||
|
010 |
|||
|
011 |
|||
|
100 |
|||
|
101 |
|||
|
110 |
|||
|
111 |
|||
|
1000 |
|||
|
1001 |
|||
|
1010 |
|||
|
1011 |
|||
|
1100 |
|||
|
1101 |
D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/ |
||
|
1110 |
|||
|
1111 |
|||
|
10000 |
Pravila za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi
Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi važan je dio mašinske aritmetike. Razmotrite osnovna pravila prevođenja.
1. Za prijevod binarni broj u decimalnom, potrebno ga je napisati kao polinom, koji se sastoji od proizvoda cifara broja i odgovarajućeg stepena broja 2, i izračunati prema pravilima decimalne aritmetike:
Prilikom prevođenja zgodno je koristiti tabelu dvojaka:
Tabela 4. Moći 2
|
n (stepen) |
|||||||||||
|
1024 |
Primjer. Pretvorite broj u decimalni brojevni sistem.
2. Za prevođenje oktalnog broja u decimalni, potrebno ga je napisati kao polinom koji se sastoji od proizvoda cifara broja i odgovarajućeg stepena broja 8, te izračunati prema pravilima decimalne aritmetike:
Prilikom prevođenja zgodno je koristiti tablicu potencija osam:
Tabela 5. Moći 8
|
n (stepen) |
Proučavajući kodiranja, shvatio sam da ne razumijem dovoljno dobro sisteme brojeva. Ipak, često je koristio 2-, 8-, 10-, 16-ti sistem, prevodio jedan u drugi, ali sve se radilo na "automatiku". Nakon što sam pročitao mnoge publikacije, iznenadio sam se nedostatkom jedne, napisane običan jezik, članci o takvom osnovnom materijalu. Zato sam odlučio da napišem svoju, u kojoj sam pokušao da na pristupačan i uredan način predstavim osnove brojevnih sistema.
Uvod
Notacija je način pisanja (predstavljanja) brojeva.Šta se pod ovim misli? Na primjer, vidite nekoliko stabala ispred sebe. Vaš zadatak je da ih prebrojite. Da biste to učinili, možete saviti prste, napraviti zareze na kamenu (jedno drvo - jedan prst / zarez) ili spojiti 10 stabala s nekim predmetom, na primjer, kamenom, i jednu kopiju sa štapićem i položiti ih na mljeveno kako vi računate. U prvom slučaju, broj je predstavljen kao linija savijenih prstiju ili zareza, u drugom - kompozicija kamenja i štapića, gdje su kamenčići na lijevoj, a štapići na desnoj.
Brojevni sistemi se dijele na pozicione i nepozicione, a pozicione, zauzvrat, na homogene i mješovite.
ne-pozicioni- najstariji, u njemu svaka cifra broja ima vrijednost koja ne ovisi o njegovoj poziciji (cifre). Odnosno, ako imate 5 crtica, onda je i broj jednak 5, jer svaka crtica, bez obzira na svoje mjesto u redu, odgovara samo 1 jednoj stavci.
Pozicioni sistem- vrijednost svake cifre zavisi od njene pozicije (cifre) u broju. Na primjer, deseti brojevni sistem, koji nam je poznat, je pozicijski. Uzmimo u obzir broj 453. Broj 4 označava broj stotina i odgovara broju 400, 5 - broju desetica i sličan je vrijednosti 50, a 3 - jedinicama i vrijednosti 3. Kao što vidite, što je veći cifra, to je veća vrijednost. Konačan broj se može predstaviti kao zbir 400+50+3=453.
homogeni sistem- za sve cifre (pozicije) broja, skup važećih znakova (cifara) je isti. Kao primjer, uzmimo 10. sistem spomenut ranije. Prilikom pisanja broja u homogenom 10. sistemu možete koristiti samo jednu cifru od 0 do 9 u svakoj cifri, tako da je broj 450 dozvoljen (1. cifra - 0, 2. - 5, 3. - 4), ali 4F5 nije, budući da znak F nije dio cifara od 0 do 9.
mješoviti sistem- u svakoj cifri (poziciji) broja, skup važećih znakova (brojeva) može se razlikovati od skupova ostalih cifara. Upečatljiv primjer je sistem mjerenja vremena. U kategoriji sekundi i minuta moguće je 60 različitih karaktera (od "00" do "59"), u kategoriji sati - 24 različiti likovi(od "00" do "23"), u pražnjenju dana - 365 itd.
Nepozicioni sistemi
Čim su ljudi naučili da broje, pojavila se potreba za beleženjem brojeva. U početku je sve bilo jednostavno - zarez ili crtica na nekoj površini odgovarala je jednom predmetu, na primjer, jednom voću. Tako se pojavio prvi sistem brojeva - jedinica.Sistem brojeva jedinica
Broj u ovom brojevnom sistemu je niz crtica (štapića), čiji je broj jednak vrijednosti dati broj. Dakle, usev od 100 datulja će biti jednak broju koji se sastoji od 100 crtica.Ali ovaj sistem ima očigledne neprijatnosti - šta više broja- što je duži niz štapova. Osim toga, lako možete pogriješiti prilikom pisanja broja ako slučajno dodate dodatni štapić ili ga, obrnuto, ne dodate.
Radi praktičnosti, ljudi su počeli grupirati štapove po 3, 5, 10 komada. Istovremeno, svaka grupa je odgovarala određenom znaku ili objektu. U početku su se za brojanje koristili prsti, pa su se prvi znakovi pojavili za grupe od 5 i 10 komada (jedinica). Sve je to omogućilo stvaranje više pogodni sistemi unose brojeva.
staroegipatski decimalni sistem
U starom Egiptu su se posebni znakovi (brojevi) koristili za označavanje brojeva 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Evo nekih od njih:Zašto se zove decimalni? Kao što je gore napisano - ljudi su počeli grupirati simbole. U Egiptu su odabrali grupu od 10, a broj "1" je ostao nepromijenjen. AT ovaj slučaj, broj 10 se naziva baza decimalnog brojevnog sistema, a svaki simbol je u određenoj mjeri reprezentacija broja 10.
Brojevi u staroegipatskom brojevnom sistemu pisani su kao njihova kombinacija
znakova, od kojih se svaki ponavljao najviše devet puta. Konačna vrijednost bila je jednaka zbroju elemenata broja. Vrijedi napomenuti da je ovaj način dobivanja vrijednosti karakterističan za svaki nepozicioni brojevni sistem. Primjer je broj 345:
Babilonski seksagezimalni sistem
Za razliku od egipatskog sistema, u babilonskom sistemu korištena su samo 2 simbola: "ravni" klin za jedinice i "ležeći" za desetice. Za određivanje vrijednosti broja potrebno je sliku broja podijeliti na cifre s desna na lijevo. Novi iscjedak počinje pojavom ravnog klina nakon ležeg. Uzmimo broj 32 kao primjer:
Broj 60 i svi njegovi stepeni su takođe označeni ravnim klinom, kao i "1". Stoga je vavilonski brojevni sistem nazvan seksagezimalnim.
Vavilonci su sve brojeve od 1 do 59 napisali u decimalnom nepozicionom sistemu, a velike vrednosti- u poziciji sa bazom 60. Broj 92:
Zapis broja bio je dvosmislen, jer nije bilo cifre za nulu. Reprezentacija broja 92 može značiti ne samo 92=60+32, već i, na primjer, 3632=3600+32. Za određivanje apsolutne vrijednosti broja uvedena je poseban karakter da naznači nedostajuću seksagezimalnu cifru, koja odgovara izgledu cifre 0 u decimalnom zapisu:
Sada broj 3632 treba napisati kao:
Babilonski seksagezimalni sistem je prvi brojevni sistem koji se delimično zasniva na pozicionom principu. Ovaj sistem računanje se i danas koristi, na primjer, kod određivanja vremena - sat se sastoji od 60 minuta, a minuta od 60 sekundi.
Rimski sistem
Rimski sistem se ne razlikuje mnogo od egipatskog. Koristi velika latinična slova I, V, X, L, C, D i M, redom, da označi brojeve 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000. Broj u rimskom brojevnom sistemu je skup uzastopnih cifara.Metode za određivanje vrijednosti broja:
- Vrijednost broja jednaka je zbiru vrijednosti njegovih znamenki. Na primjer, broj 32 u rimskom numeričkom sistemu je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Ako se lijevo od veće cifre nalazi manji broj, tada je vrijednost jednaka razlici između veće i manje cifre. Istovremeno, lijeva cifra može biti manja od desne za najviše jedan red: na primjer, ispred L (50) i C (100) od „mlađih“ može stajati samo X (10), prije D (500) i M (1000) - samo C(100), prije V(5) - samo I(1); broj 444 u razmatranom brojevnom sistemu biće zapisan kao CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Vrijednost je jednaka zbiru vrijednosti grupa i brojeva koji se ne uklapaju ispod 1 i 2 boda.
1) slovenski
2) grčki (jonski)
Pozicioni sistemi brojeva
Kao što je već spomenuto, prvi preduslovi za nastanak pozicijskog sistema pojavili su se u starom Babilonu. U Indiji je sistem imao oblik pozicionog decimalnog numerisanja pomoću nule, a od Hindusa su ovaj sistem brojeva posudili Arapi, od kojih su ga preuzeli Evropljani. Iz nekog razloga, u Evropi je ovom sistemu dodijeljen naziv "Arap".Decimalni brojni sistem
Ovo je jedan od najčešćih brojevnih sistema. To je ono što koristimo kada zovemo cijenu robe i izgovaramo broj autobusa. U svakoj cifri (poziciji) može se koristiti samo jedna cifra iz opsega od 0 do 9. Osnova sistema je broj 10.Na primjer, uzmimo broj 503. Ako bi ovaj broj bio napisan u nepozicionom sistemu, onda bi njegova vrijednost bila 5 + 0 + 3 = 8. Ali imamo pozicijski sistem, što znači da svaka cifra broja mora pomnožiti sa osnovom sistema, u ovom slučaju brojem “10”, podignutom na stepen jednak cifrenom broju. Ispostavilo se da je vrijednost 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Da biste izbjegli zabunu kada istovremeni rad kod nekoliko brojevnih sistema, baza je označena kao subscript. Dakle, 503 = 503 10 .
Pored decimalnog sistema posebnu pažnju zaslužuju 2-, 8-, 16-ti sistemi.
Binarni sistem brojeva
Ovaj sistem se uglavnom koristi u računarstvu. Zašto nisu počeli da koriste 10. na koji smo navikli? Prvu mašinu za računanje stvorio je Blaise Pascal, koji je u njoj koristio decimalni sistem, što se pokazalo nezgodnim u modernim elektronske mašine, jer je zahtijevala proizvodnju uređaja sposobnih za rad u 10 država, što je povećalo njihovu cijenu i konačne dimenzije mašine. Ovi nedostaci su lišeni elemenata koji rade u 2. sistemu. Ipak, sistem koji se razmatra nastao je mnogo prije pronalaska kompjutera i seže do civilizacije Inka, gdje se koristio quipu - složeni pleksusi i čvorovi užadi.Binarni pozicioni brojevni sistem ima osnovu od 2 i koristi 2 znaka (cifre) za pisanje broja: 0 i 1. U svakom bitu je dozvoljena samo jedna cifra - 0 ili 1.
Primjer je broj 101. Sličan je broju 5 u decimalnom brojevnom sistemu. Da biste izvršili konverziju iz 2. u 10., potrebno je pomnožiti svaku cifru binarnog broja sa osnovom „2“, podignutom na stepen jednak cifri. Dakle, broj 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .
Pa, za mašine je 2. sistem brojeva pogodniji, ali često vidimo da koristimo brojeve u 10. sistemu na računaru. Kako onda mašina određuje koji broj korisnik unosi? Kako prevodi broj iz jednog sistema u drugi, jer ima samo 2 znaka na raspolaganju - 0 i 1?
Da bi računar radio sa binarnim brojevima (kodovima), oni moraju biti negdje pohranjeni. Za pohranjivanje svake pojedinačne znamenke koristi se okidač, tj elektronsko kolo. Može biti u 2 stanja, od kojih jedno odgovara nuli, a drugo jedan. Za pohranjivanje jednog broja koristi se registar - grupa okidača, čiji broj odgovara broju cifara u binarnom broju. A skup registara je RAM. Broj sadržan u registru je mašinska riječ. Aritmetika i logičke operacije riječima vrši aritmetičko-logička jedinica (ALU). Da bi se pojednostavio pristup registrima, oni su numerisani. Broj se zove adresa registra. Na primjer, ako trebate dodati 2 broja, dovoljno je navesti brojeve ćelija (registra) u kojima se nalaze, a ne same brojeve. Adrese se pišu u 8- i heksadecimalnom sistemu (o njima će biti reči u nastavku), jer je prelazak sa njih na binarni sistem i obrnuto prilično jednostavan. Za prelazak sa 2. na 8. broj potrebno ga je podijeliti u grupe od po 3 cifre s desna na lijevo, i preći na 16. - po 4 cifre.Ako u krajnjoj lijevoj grupi cifara nema dovoljno cifara, tada se slijeva popunjavaju nulama, koje se nazivaju vodećim. Uzmimo za primjer broj 101100 2. U oktalnom je 101 100 = 54 8 a u heksadecimalnom je 0010 1100 = 2C 16 . Odlično, ali zašto vidimo decimalne brojeve i slova na ekranu? Kada se pritisne tipka, određeni niz električnih impulsa se prenosi na računar, a svaki znak ima svoj niz električnih impulsa (nule i jedinice). Program tastature i drajvera ekrana poziva tablica kodova karaktera (na primjer, Unicode, koji vam omogućava da kodirate 65536 znakova), određuje kojem karakteru odgovara primljeni kod i prikazuje ga na ekranu. Tako se tekstovi i brojevi pohranjuju u memoriju računara u binarni kod, a programski pretvaraju u slike na ekranu.
Oktalni sistem brojeva
Osmi brojevni sistem, kao i binarni, se često koristi digitalna tehnologija. Ima bazu 8 i koristi cifre od 0 do 7 za predstavljanje broja.Primjer oktalnog broja: 254. Za konverziju u 10. sistem, svaka cifra originalnog broja mora se pomnožiti sa 8 n, gdje je n broj cifre. Ispada da je 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .
Heksadecimalni sistem brojeva
Heksadecimalni sistem se široko koristi u savremenih kompjutera, na primjer, specificira boju: #FFFFFF - Bijela boja. Sistem koji se razmatra ima osnovu 16 i koristi se za pisanje broja: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, gdje su slova 10, 11, 12, 13, 14, 15.Uzmimo broj 4F5 16 kao primjer. Za transfer do oktalni sistem- prva transformacija heksadecimalni broj u binarnu, a zatim, razbijanje u grupe od 3 cifre, u oktalnu. Da biste broj pretvorili u 2, svaka cifra mora biti predstavljena kao 4-bitni binarni broj. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Ali u grupama 1 i 3 nema dovoljno znamenki, pa popunimo svaku vodećim nulama: 0100 1111 0101. Sada moramo podijeliti rezultirajući broj u grupe od 3 znamenke s desna na lijevo: 0100 1111 0101 \u003d 0110 011 . 101. Prevedemo svaku binarnu grupu u oktalni sistem, množimo svaku cifru sa 2n, gdje je n broj cifre: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Pored razmatranih pozicionih brojevnih sistema, postoje i drugi, na primjer:
1) Ternarni
2) Kvartar
3) Duodecimalni
Pozicioni sistemi se dele na homogene i mešovite.
Homogeni pozicioni sistemi brojeva
Definicija data na početku članka opisuje homogene sisteme prilično u potpunosti, tako da pojašnjenje nije potrebno.Mješoviti sistemi brojeva
Već datoj definiciji možemo dodati sljedeću teoremu: „ako su P=Q n (P,Q,n cijeli brojevi pozitivni brojevi, dok su P i Q baze), tada se zapis bilo kojeg broja u mješovitom (P-Q)-tom brojevnom sistemu identično poklapa sa zapisom istog broja u brojevnom sistemu sa bazom Q.”Na osnovu teoreme možemo formulisati pravila za prelazak iz P-tog u Q-ti sistem i obrnuto:
- Za prijenos iz Q-tog u P-th, potreban vam je broj u Q-ti sistem, podijeliti u grupe od n cifara, počevši od desna cifra, i zamijenite svaku grupu jednom cifrom u Pth sistemu.
- Za prelazak iz P-tog u Q-ti potrebno je svaku cifru broja u P-tom sistemu prevesti u Q-tu i cifre koje nedostaju popuniti vodećim nulama, osim lijeve, tako da svaki broj u osnovnom Q sistemu sastoji se od n cifara.
Mješoviti sistemi brojeva su također, na primjer:
1) Faktorski
2) Fibonači
Prevod iz jednog brojevnog sistema u drugi
Ponekad morate da konvertujete broj iz jednog brojevnog sistema u drugi, pa pogledajmo kako se prevodi između različitih sistema.Decimalna konverzija
U brojevnom sistemu sa osnovom b postoji broj a 1 a 2 a 3. Za konverziju u 10. sistem, svaka cifra broja mora se pomnožiti sa b n, gdje je n broj cifre. Dakle (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .Primjer: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Pretvaranje iz decimalnog brojevnog sistema u drugi
cijeli dio:- Cijeli dio decimalnog broja sukcesivno dijelimo sa osnovom sistema u koji prenosimo, sve dok decimalni broj ne postane nula.
- Ostaci dobijeni dijeljenjem su cifre željenog broja. Broj u novom sistemu se upisuje počevši od posljednjeg ostatka.
- Pomnožimo razlomački dio decimalnog broja sa osnovom sistema u koji želite da prevedete. Odvajamo cijeli dio. Nastavljamo da množimo razlomak sa bazom novi sistem dok ne postane 0.
- Broj u novom sistemu su celobrojni delovi rezultata množenja po redosledu koji odgovara njihovom prijemu.
15\8 = 1, ostatak 7
1\8 = 0, ostatak 1
Nakon što smo napisali sve ostatke odozdo prema gore, dobili smo konačni broj 17. Dakle, 15 10 \u003d 17 8.
Binarna u oktalna i heksadecimalna konverzija
Za pretvaranje u oktalni, dijelimo binarni broj u grupe od 3 znamenke s desna na lijevo, a krajnje znamenke koje nedostaju popunjavamo vodećim nulama. Zatim transformišemo svaku grupu sukcesivnim množenjem cifara sa 2 n, gde je n broj cifre.Uzmimo za primjer broj 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Za pretvaranje u heksadecimalni - dijelimo binarni broj u grupe od 4 znamenke s desna na lijevo, a zatim - slično konverziji od 2. do 8.
Pretvaranje iz oktalnog i heksadecimalnog sistema u binarni
Pretvaranje iz oktalnog u binarni - svaku cifru oktalnog broja pretvaramo u binarni trocifreni broj dijeljenjem sa 2 (za više informacija o dijeljenju pogledajte gornji odlomak „Pretvorba iz decimalnog u drugi”), ekstremne cifre koje nedostaju će biti popunjen vodećim nulama.Na primjer, uzmite u obzir broj 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Prevod od 16. do 2. - svaku znamenku heksadecimalnog broja pretvaramo u binarni 4-cifreni broj dijeljenjem sa 2, popunjavajući nedostajuće ekstremne znamenke vodećim nulama.
Pretvaranje razlomaka bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni
Konverzija se vrši na isti način kao i kod celih delova, samo što se cifre broja množe sa osnovom na stepen “-n”, gde n počinje od 1.
Primjer: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 .25 + 0.125) = 5.375 10
Pretvaranje razlomka binarnog sistema u 8. i 16
Prevođenje razlomaka vrši se na isti način kao i za cjelobrojne dijelove broja, s jedinim izuzetkom da podjela na grupe od 3 i 4 znamenke ide desno od decimalnog zareza, a cifre koje nedostaju se popunjavaju sa nulama na desnoj strani.Primjer: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Pretvaranje razlomaka decimalnog sistema u bilo koji drugi
Da biste preveli razlomak broja u druge sisteme brojeva, potrebno je da cijeli broj pretvorite na nulu i da počnete da množite rezultirajući broj sa osnovom sistema u koji želite da prevedete. Ako se kao rezultat množenja ponovno pojave cjelobrojni dijelovi, moraju se ponovo okrenuti na nulu, nakon što se zapamti (zapiše) vrijednost rezultirajućeg cjelobrojnog dijela. Operacija se završava kada frakcijski dio potpuno nestane.Na primjer, prevedemo 10,625 10 u binarni sistem:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapisujući sve ostatke od vrha do dna, dobijamo 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
1. Redno brojanje u različitim brojevnim sistemima.
AT savremeni život koristimo pozicione sisteme brojeva, odnosno sisteme u kojima broj označen cifrom zavisi od položaja cifre u zapisu broja. Stoga ćemo ubuduće govoriti samo o njima, izostavljajući termin "pozicioni".
Da bismo naučili kako prevesti brojeve iz jednog sistema u drugi, hajde da shvatimo kako sekvencijalno pisanje brojeve koristeći decimalni sistem kao primjer.
Pošto imamo decimalni brojevni sistem, imamo 10 znakova (cifara) za građenje brojeva. Počinjemo sa rednim brojanjem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Brojevi su gotovi. Povećavamo kapacitet broja i resetujemo niži red: 10. Zatim ponovo povećavamo niži red dok ne ponestane svih cifara: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Povećavamo viši red za 1 i podesimo niži red na nulu: 20. Kada iskoristimo sve cifre za obe cifre (dobijemo broj 99), ponovo povećavamo cifren kapacitet broja i resetujemo postojeće cifre: 100. I tako dalje.
Pokušajmo učiniti isto u 2., 3. i 5. sistemu (hajde da uvedemo notaciju za 2. sistem, za 3. itd.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Ako brojevni sistem ima bazu veću od 10, onda ćemo morati ući dodatni karakteri, uobičajeno je unositi slova latinice. Na primjer, za heksadecimalni sistem, pored deset cifara, potrebna su nam dva slova ( i ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Prijenos iz decimalnog brojevnog sistema u bilo koji drugi.
Da biste cijeli pozitivan decimalni broj pretvorili u brojevni sistem s drugom osnovom, trebate ovaj broj podijeliti osnovom. Dobijeni količnik se ponovo dijeli sa osnovom, i dalje dok količnik ne bude manji od baze. Kao rezultat, napišite posljednji količnik i sve ostatke u jednom redu, počevši od posljednjeg.
Primjer 1 Prevedemo decimalni broj 46 u binarni brojevni sistem.
Primjer 2 Prevedemo decimalni broj 672 u oktalni brojevni sistem.
Primjer 3 Pretvorite decimalni broj 934 u heksadecimalni sistem obračun.
3. Prevođenje iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni.
Da bismo naučili kako prevesti brojeve iz bilo kojeg drugog sistema u decimalni, analizirajmo decimalni zapis koji nam je poznat.
Na primjer, decimalni broj 325 je 5 jedinica, 2 desetice i 3 stotine, tj.
Potpuno ista situacija je i u drugim brojevnim sistemima, samo što ćemo množiti ne sa 10, 100 itd., već sa stepenom baze brojevnog sistema. Na primjer, uzmimo broj 1201 u ternarnom brojevnom sistemu. Numerimo znamenke s desna na lijevo počevši od nule i predstavljamo naš broj kao zbir proizvoda jedne cifre sa trostrukom u stepenu cifre:
Ovo je decimalni zapis našeg broja, tj.
Primjer 4 Pretvorite u decimalni brojevni sistem oktalni broj 511.
Primjer 5 Pretvorimo heksadecimalni broj 1151 u decimalni brojevni sistem.
4. Prelazak iz binarnog sistema u sistem sa osnovom "power of two" (4, 8, 16, itd.).
Da bi se binarni broj pretvorio u broj sa osnovom "potencijal dva", potrebno je podijeliti binarni niz u grupe prema broju cifara jednakom stepenu s desna na lijevo i svaku grupu zamijeniti odgovarajućom znamenkom novi sistem brojeva.
Na primjer, pretvorimo binarni broj 1100001111010110 u oktalni. Da bismo to učinili, podijelimo ga u grupe od 3 znaka počevši s desne strane (jer ), a zatim upotrijebimo tablicu korespondencije i zamijenimo svaku grupu novim brojem:
Naučili smo kako da napravimo tabelu korespondencije u paragrafu 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
One.
Primjer 6 Pretvorimo binarni broj 1100001111010110 u heksadecimalni sistem.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Prebacivanje iz sistema sa baznom "potencijom dvojke" (4, 8, 16, itd.) u binarni.
Ovaj prijevod je sličan prethodnom napravljenom u poleđina: svaku cifru zamjenjujemo grupom cifara u binarnom sistemu iz tabele pretraživanja.
Primjer 7 Prevedemo heksadecimalni broj C3A6 u binarni brojevni sistem.
Da bismo to učinili, zamijenit ćemo svaku znamenku broja grupom od 4 znamenke (jer ) iz tablice korespondencije, dopunivši grupu nulama na početku ako je potrebno:
Metodički komentar lekcije
Ciljevi nastavnika: Pokazati učenicima metode integracije znanja iz različitih izvora, stvoriti uslove za produktivan rad u grupama.
Ciljevi učenika: Upoznati se sa istorijom nastanka brojevnih sistema, naučiti principe konstruisanja različitih brojevnih sistema i oblasti njihove upotrebe, steći potrebne veštine timski rad sa raznim izvorima informacija.
Na času matematike u 5. razredu, dok su radili zadatak u vezi sa razlaganjem višecifrenih brojeva na cifre, učenici su imali pitanja: „Zašto brojimo deseticama? Zašto se to ne može posmatrati drugačije? Postoje li drugi načini brojanja? Nastavnik je zamoljen da pronađe odgovore na ova pitanja tako što će tokom sedmice pretraživati, analizirati i sumirati informacije o ovoj temi, radeći u malim grupama formiranim od učenika razreda po želji. Rezultate ovog rada treba formalizovati i prezentirati na času matematike za nedelju dana. Na kraju časa odeljenje je podeljeno u sledeće kreativne grupe:
- Sistemi brojeva ( opšti koncepti) - 5 osoba
- Binarni sistem - 7 ljudi (ovo pitanje je izazvalo najveće interesovanje)
- Heksadecimalni sistem - 5 osoba
- Decimalni sistem - 5 osoba
- Ostali sistemi brojeva - 3 osobe
- Prebacivanje iz jednog sistema u drugi - 5 ljudi.
Kao rezultat aktivnosti pretraživanja učenika, dobijena je sljedeća lekcija:
“Brojevi ne vladaju svijetom, već pokazuju kako se svijetom vlada”
(I-In Goethe)
Grupe studenata predstavile su rezultate pretraživanja i analitičkog rada.
I - Opšti pojmovi
Brojevni sistem je skup metoda za označavanje brojeva - jezik čija su abeceda simboli (brojevi) i sintaksa - pravilo koje omogućava da se nedvosmisleno formuliše brojčani zapis.
Broj je neki apstraktni entitet za opisivanje količine
Cifra je znak koji se koristi za pisanje brojeva. Brojevi su različiti, najčešći su arapski brojevi; manje uobičajeni rimski brojevi (mogu se vidjeti na satu ili u oznaci stoljeća)
Baza je broj cifara koji se koristi u brojevnom sistemu.
Primjeri brojeva u različitim brojevnim sistemima:
11001 2 – binarni broj
221 3 - broj u ternarnom brojevnom sistemu
31 8 - broj u oktalnom brojevnom sistemu
25 10 - broj u decimalnom brojevnom sistemu
U starim knjigama iz aritmetike, pored 4 računske operacije, spominje se i peta - numeracija. Numeracija (račun) bila je jedan od prvih problema sa kojima se susreće u konstrukciji aritmetike.
Postoji mnogo načina za pisanje brojeva pomoću brojeva. Ove metode se mogu podijeliti u tri grupe:
- pozicioni brojevni sistemi
- mešoviti sistemi brojeva
- nepozicioni brojevni sistemi
Novčanice su primjer mješovitog sistema brojeva. Sada se u Rusiji koriste kovanice i novčanice sljedećih apoena: 1 kopejka, 5 kopejki, 10 kopejki, 50 kopejki, 1 rublja, 2 rublje, 5 rubalja, 10 rubalja, 50 rubalja, 100 rubalja, 500 rubalja, 10000 rubalja, rublja. Da biste dobili određeni iznos u rubljama, morate koristiti određenu količinu novčanica različitih apoena. Pretpostavimo da kupujemo usisivač koji košta 6379 rubalja. Da biste platili kupovinu, trebat će vam 6 novčanica od 1000 rubalja, 3 novčanice od 100 rubalja, 1 novčanica od pedeset rubalja, dvije desetke, jedna novčanica od pet rubalja i dva novčića od 2 rublje. Ako zapišemo broj novčanica i kovanica, počevši od 100 rubalja i završavajući s jednom kopejkom, zamjenjujući nedostajuće apoene nulama, tada ćemo dobiti broj predstavljen u mješovitom brojevnom sistemu: u našem slučaju, 603121200000.
U ne pozicioni sistemi Računa, vrijednost broja ne ovisi o položaju cifara u zapisu broja. Ako bismo pomiješali brojeve u broju 603121200000, onda ne bismo mogli shvatiti koliko košta usisivač; u nepozicionom sistemu, brojevi se mogu preurediti, dok se iznos ne menja. Primjer nepozicionog sistema je rimski sistem. Ovakvi sistemi su izgrađeni na principu aditivnosti (engleski add. - sum). Kvantitativni ekvivalent broja definiran je kao zbir cifara. Na primjer:
U pozicionim sistemima brojeva, redosled cifara u unosu brojeva je uvek važan. (25 i 52 su različiti brojevi)
Svaki brojni sistem namijenjen za praktičnu upotrebu mora osigurati:
- sposobnost predstavljanja broja u datom rasponu brojeva
- nedvosmislenost reprezentacije
- kratkoća i lakoća pisanja
- lakoća savladavanja sistema, kao i jednostavnost i praktičnost upravljanja njime
II - Binarni sistem brojeva
Binarni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa bazom 2. U ovom brojevnom sistemu prirodni brojevi se pišu pomoću dva simbola: 1 i 0. Cifra binarnog sistema je bit. Osam cifara je bajt.
Binarni sistem brojeva izmislili su matematičari i filozofi još u 17.-19. veku. Izuzetni matematičar Leibniz je rekao: „Računanje uz pomoć dvojke... je glavno za nauku i stvara nova otkrića... Kada se brojevi svedu na najjednostavnije početke, a to su 0 i 1, svuda se pojavljuje divan poredak. ” Kasnije je binarni sistem zaboravljen, a tek 1936-1938 američki inženjer i matematičar Claude Shannon pronašao je izuzetnu primjenu binarnog sistema u dizajnu elektronskih kola.
Binarni sistem se koristi u digitalnim uređajima jer je najjednostavniji.
Prednosti binarnog sistema:
- Što je manje vrijednosti u sistemu, to je lakše napraviti pojedinačni elementi radeći na ovim vrijednostima. Dvije cifre se lako predstavljaju fizičke pojave: postoji struja - nema struje; indukcija magnetsko polje veća od granične vrijednosti ili ne, itd.
- Što manje stanja element ima, to je veća otpornost na buku i brže može raditi.
- Binarna aritmetika je prilično jednostavna.
- Moguće je koristiti logički aparat za izvođenje bitskih operacija
Za pretvaranje iz binarnog u decimalni, koristi se tabela stepena 2.
III - Heksadecimalni brojni sistem
AT moderno vrijeme seksagezimalni sistem brojeva koristi se za mjerenje vremena, uglova.
U prikazu vremena koriste se tri pozicije: sati, minute, sekunde, jer za svaku poziciju moramo koristiti 60 cifara, a imamo samo 10, onda se za svaku koriste dvije decimalne cifre (00, 01, ...). seksagezimalni položaj, pozicije su razdvojene dvotočkom. h:m:s.
Razmotrite radnje u seksagezimskom brojevnom sistemu na dva zadatka:
- Kolač je potrebno peći u rerni 45 minuta. Koliko će sekundi trebati?
- Potrebno je ispeći 10 pita. Koliko će vremena trebati?
Da biste izvršili proračune u seksagezimskom brojevnom sistemu, morate znati tablice sabiranja i množenja seksagezimalnih brojeva. Svaka tablica je vrlo velika, veličine je 60 * 60, jedva smo se sjetili uobičajene tablice množenja, a bit će nam mnogo teže naučiti seksagezimalnu tablicu. Kako biti? Ove probleme možete riješiti u decimalnom brojevnom sistemu, a zatim rezultat prevesti u seksagezimalni.
45 minuta=0*3600+45*60+0= 2700 sekundi
2700*10=27000 sekundi će biti potrebno da se ispeče 10 pita.
27000/60=450 (ostatak 0)
450/60=7 (ostatak 30)
7/60=0 (ostatak 7) Ispostavilo se 07:30:00
IV - Decimalni brojevni sistem
Predstavljanje brojeva arapskim brojevima je najčešći pozicioni brojevni sistem, naziva se „dekadski brojevni sistem“. Naziva se decimalnim jer koristi deset cifara: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Najveći je decimalni brojevni sistem poznato dostignuće Indijska matematika (595). Sistem baze 10 prodro je karavanskim putevima od Indije do mnogih područja Bliskog istoka. Postepeno, ovaj sistem je počeo da se sve više koristi u arapskom svetu, iako su ostali sistemi ostali u upotrebi u isto vreme. "Knjiga Abakusa" Leonarda iz Pize (1202) bila je jedan od izvora za prodor indoarapskog sistema brojeva u Zapadnu Evropu. Ova knjiga je bila grandiozno djelo za ono vrijeme, u štampanom obliku imala je 460 stranica. Njegov autor je poznat i pod imenom Fibonači. Njegova knjiga predstavljala je matematičku enciklopediju svog vremena. Decimalni sistem je postao široko rasprostranjen i priznat u Evropi tek tokom renesanse.
V - Drugi sistemi brojeva
Heksadecimalni sistem brojeva - za pisanje brojeva koriste se sljedeći znakovi: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.
Binarno-decimalni brojevni sistem. U takvom sistemu svaka decimalna cifra je kodirana određenu kombinaciju binarne cifre. Oznaka svake decimalne cifre naziva se tetrada. primjer:
125 10 =000100100101 2-10 (3 tetrade)
0000=1 0100=4 1000=8
0001=1 0101=5 1001=9
Petostruki sistem brojeva - Prvi matematičari su mogli brojati samo na prste jedne ruke, a da je bilo više objekata, rekli bi ovo: "pet + jedan" itd. Ponekad se kao osnova uzimao broj 20 - broj prstiju na rukama i nogama. Od 307 brojevnih sistema primitivnih američkih naroda, 146 su bili decimalni, 106 kvinarni i decimalni. U karakterističnijem obliku, sistem baza 20 postojao je među Majama u Meksiku i među Keltima u Evropi.
VI - Transfer iz jednog sistema u drugi
Da li su sistemi brojeva povezani? Da li je moguće prevesti broj iz jednog sistema u drugi? Postoje dva glavna pravila za prelazak sa jednog sistema na drugi:
Prevođenje iz bilo kojeg drugog u decimalni sistem vrši se prema formulama:
11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10
221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10
31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10
25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10
Pretvaranje broja iz decimalnog sistema u sistem sa bilo kojom bazom vrši se prema algoritmu:
25 10 pretvoriti u binarni broj
25/2=12 (ostatak 1)
12/2=6 (ostatak 0)
6/2=3 (ostatak 0)
3/2=1 (ostatak 1)
1/2=0 (ostatak 1) Dobio sam broj 11001 2
25 10 pretvoriti u ternarni broj
25/3=8 (ostatak 1)
8/3=2 (ostatak 2)
2/3=0 (ostatak 2) Primljeno 221 3
25 10 pretvoriti u oktalni broj
25/8=3 (ostatak 1)
3/8=0 (ostatak 3) Dobili smo 31 8
Nakon predstavljanja rezultata rada kreativnih grupa, svi brojevni sistemi su vrednovani prema kriterijumima navedenim na početku, i svi su došli do zaključka da je kao rezultat istorijskog razvoja matematike najpogodniji sistem (decimalni) postao najčešći. Istovremeno, bilo je vatrenih pristalica binarnog sistema, koji su smatrali da je on veoma važan za elektroniku.
Lekcija je završena sinkvinom.
Sistem brojeva je zgodan, brz, pomaže, broji, snima
„Prebrojavanje i kalkulacije su osnova reda u glavi“ (I. Pestalozzi)
Izvori informacija
- D.Ya. Stroik "Kratak esej o istoriji matematike" ("Nauka", Moskva, 1990).
- N.Ya. Vilenkin, L.P. Šibasov, Z.F. Šibasov „Iza stranica udžbenika matematike“ („Prosveščenie“, Moskva, 2008).
- A.V. Dorofejev „Stranice istorije na časovima matematike“ („Prosvetljenje“, Moskva, 2007).
- Internet resursi "Wikipedia".
Kalkulator vam omogućava da konvertujete cijele i razlomke iz jednog brojevnog sistema u drugi. Osnova brojevnog sistema ne može biti manja od 2 i veća od 36 (10 cifara i 26 latinična slova ipak). Brojevi ne smiju biti duži od 30 znakova. Za unos razlomci brojeva koristite simbol. ili, . Da konvertujete broj iz jednog sistema u drugi, unesite originalni broj u prvo polje, baza originalni sistem broj u drugo i bazu brojevnog sistema u koji broj želite da konvertujete u treće polje, a zatim kliknite na dugme "Preuzmi zapis".
originalni broj zabilježeno u 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 35 -ti brojni sistem.
Želim da dobijem zapis o broju 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ti brojni sistem.
Uzmite unos
Završeni prijevodi: 1419274
Sistemi brojeva
Sistemi brojeva se dijele na dva tipa: pozicioni i nije poziciono. Koristimo arapski sistem, on je pozicioni, a postoji i rimski - samo nije pozicioni. U pozicionim sistemima, pozicija cifre u broju jedinstveno određuje vrijednost tog broja. Ovo je lako razumjeti gledajući primjer nekog broja.
Primjer 1. Uzmimo broj 5921 u decimalnom brojevnom sistemu. Numerimo broj s desna na lijevo počevši od nule:
Broj 5921 može se napisati u sljedećem obliku: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Broj 10 je karakteristika koja definira sistem brojeva. Vrijednosti položaja datog broja uzimaju se kao stepeni.
Primjer 2. Razmotrimo pravi decimalni broj 1234.567. Numerimo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalnog zareza lijevo i desno:
Broj 1234.567 se može napisati na sljedeći način: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 -1 + 2 6 +7 10 -3 .
Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi
Većina na jednostavan način Prenošenje broja iz jednog brojevnog sistema u drugi je prevođenje broja prvo u decimalni brojevni sistem, a zatim dobijenog rezultata u traženi brojevni sistem.
Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem
Za pretvaranje broja iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni, dovoljno je numerisati njegove znamenke, počevši od nule (cifra lijevo od decimalnog zareza) slično primjerima 1 ili 2. Nađimo zbir proizvoda cifara broja po osnovici brojevnog sistema na stepen pozicije ove cifre:
1.
Pretvorite broj 1001101.1101 2 u decimalni brojevni sistem.
Rješenje: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
odgovor: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Pretvorite broj E8F.2D 16 u decimalni brojevni sistem.
Rješenje: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
odgovor: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10
Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem
Za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojni sistem, cijeli i razlomački dijelovi broja moraju se prevesti odvojeno.
Pretvaranje celobrojnog dela broja iz decimalnog sistema brojeva u drugi brojni sistem
Cjelobrojni dio se prevodi iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem sukcesivnim dijeljenjem cijelog broja sa osnovom brojevnog sistema dok se ne dobije cjelobrojni ostatak, manji od baze brojevnog sistema. Rezultat prijenosa bit će zapis iz ostataka, počevši od posljednjeg.
3.
Pretvorite broj 273 10 u oktalni brojevni sistem.
Rješenje: 273 / 8 = 34 i ostatak 1, 34 / 8 = 4 i ostatak 2, 4 je manji od 8, tako da je proračun završen. Zapis ostataka će izgledati ovako: 421
Ispitivanje: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , rezultat je isti. Dakle, prevod je tačan.
odgovor: 273 10 = 421 8
Razmislite o pretvaranju pravih decimala u razni sistemi obračun.
Pretvaranje razlomka broja iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem
Podsjetimo da je pravi decimalni razlomak realni broj sa nulom cijeli dio . Da biste preveli takav broj u brojevni sistem sa osnovom N, potrebno je da dosljedno množite broj sa N dok se razlomački dio ne poništi ili ne dobije potreban broj cifara. Ako se tokom množenja dobije broj čiji je cijeli broj drugačiji od nule, tada se cijeli dio više ne uzima u obzir, jer se sekvencijalno unosi u rezultat.
4.
Pretvorite broj 0,125 10 u binarni brojevni sistem.
Rješenje: 0,125 2 = 0,25 (0 je cijeli broj, koji će biti prva znamenka rezultata), 0,25 2 = 0,5 (0 je druga znamenka rezultata), 0,5 2 = 1,0 (1 je treća znamenka rezultata , a budući da je razlomak nula , prijevod je gotov).
odgovor: 0.125 10 = 0.001 2
