Rezultat je već primljen!
Sistemi brojeva
Postoje pozicioni i nepozicioni sistemi brojeva. Arapski brojčani sistem koji koristimo u svakodnevnom životu je pozicioni, ali rimski nije. U sistemima pozicionog numerisanja, pozicija broja jedinstveno određuje veličinu broja. Pogledajmo ovo koristeći decimalni broj 6372 kao primjer. Nabrojimo ovaj broj s desna na lijevo počevši od nule:
Tada se broj 6372 može predstaviti na sljedeći način:
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Broj 10 definira brojni sistem (u ovom slučaju to je 10). Vrijednosti položaja datog broja uzimaju se kao stepeni.
Razmotrimo pravi decimalni broj 1287.923. Numerimo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalnog zareza lijevo i desno:
Tada se broj 1287.923 može predstaviti kao:
1287,923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 + · 10 10 -3.
Općenito, formula se može predstaviti na sljedeći način:
C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
gdje je C n cijeli broj na poziciji n, D -k - razlomak na poziciji (-k), s- sistem brojeva.
Nekoliko reči o brojevnim sistemima Broj u decimalnom brojevnom sistemu sastoji se od više cifara (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), u oktalnom brojevnom sistemu - iz skupa brojevi (0,1, 2,3,4,5,6,7), u binarnom brojevnom sistemu - iz skupa cifara (0,1), u heksadecimalnom brojevnom sistemu - iz skupa brojeva (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), pri čemu A, B, C, D, E, F odgovaraju brojevima 10,11 ,12,13,14,15, prikazani su brojevi u različitim brojevnim sistemima.
| Tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notacija | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi
Za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi, najlakši način je da prvo broj pretvorite u decimalni brojevni sistem, a zatim ga iz decimalnog brojevnog sistema prevedete u traženi brojevni sistem.
Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem
Koristeći formulu (1), možete pretvoriti brojeve iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem.
Primjer 1. Pretvorite broj 1011101.001 iz binarnog zapisa (SS) u decimalni SS. Rješenje:
1 2 6 +0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125
Primjer2. Pretvorite 1011101.001 iz oktalnog brojevnog sistema (SS) u decimalni SS. Rješenje:
Primjer 3 ... Pretvorite broj AB572.CDF iz heksadecimalne baze u decimalni SS. Rješenje:
Evo A-zamijenjeno sa 10, B- u 11, C- u 12, F- do 15.
Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem
Da biste brojeve iz decimalnog brojevnog sistema pretvorili u drugi brojevni sistem, potrebno je odvojeno prevesti cijeli broj i razlomački dio broja.
Cijeli dio broja se prenosi iz decimalnog SS u drugi brojevni sistem - uzastopnim dijeljenjem cijelog dijela broja sa osnovom brojevnog sistema (za binarni SS - sa 2, za 8-arni SS - sa 8, za 16-ar - za 16 itd.) ) dok se ne dobije cijeli ostatak, manji od baze CC.
Primjer 4 ... Pretvorimo broj 159 iz decimalnog SS u binarni SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Kao što se vidi sa sl. 1, broj 159 kada se podijeli sa 2 daje količnik 79, a ostatak 1. Nadalje, broj 79 kada se podijeli sa 2 daje količnik 39 i ostatak 1, itd. Kao rezultat toga, izgradivši broj iz ostatka podjele (s desna na lijevo), dobijamo broj u binarnom SS: 10011111 ... Stoga možemo napisati:
159 10 =10011111 2 .
Primjer 5 ... Pretvorimo broj 615 iz decimalnog SS u oktalni SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Prilikom pretvaranja broja iz decimalnog SS u oktalni SS, potrebno je da broj uzastopno podijelite sa 8 dok ne dobijete cijeli ostatak manji od 8. Kao rezultat, gradite broj od ostataka dijeljenja (s desna na lijevo), dobijamo broj u oktalnom SS: 1147 (vidi sliku 2). Stoga možemo napisati:
615 10 =1147 8 .
Primjer 6 ... Pretvorite broj 19673 iz decimalnog u heksadecimalni SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Kao što se može vidjeti sa slike 3, sekvencijalnim dijeljenjem 19673 sa 16, dobili smo ostatke 4, 12, 13, 9. U heksadecimalnom sistemu, broj 12 odgovara C, broj 13 D. Dakle, naš heksadecimalni broj je 4CD9.
Da bi se konvertovali tačni decimalni razlomci (realan broj sa nultim celim delom) u bazu s, ovaj broj se mora uzastopno množiti sa s dok se ne dobije čista nula u razlomku, ili dobijemo traženi broj cifara. Ako se prilikom množenja dobije broj s cijelim dijelom koji je različit od nule, onda se ovaj cijeli dio ne uzima u obzir (oni se sekvencijalno dodaju rezultatu).
Razmotrimo gore navedeno s primjerima.
Primjer 7 ... Pretvorite broj 0,214 iz decimalnog u binarni SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Kao što se može vidjeti sa slike 4, broj 0,214 se sekvencijalno množi sa 2. Ako množenje rezultira brojem različit od nule s cijelim dijelom, tada se cijeli dio piše odvojeno (lijevo od broja), a broj se piše sa nultim cijelim dijelom. Ako se pri množenju dobije broj s cijelim dijelom nula, tada se nula upisuje lijevo od njega. Proces množenja se nastavlja sve dok se u razlomku ne dobije čista nula ili dok se ne dobije potreban broj znamenki. Zapisujući podebljane brojeve (slika 4) od vrha do dna, dobijamo traženi broj u binarnom brojevnom sistemu: 0. 0011011 .
Stoga možemo napisati:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Primjer 8 ... Pretvorimo broj 0,125 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Da bi se broj 0,125 pretvorio iz decimalnog SS u binarni, ovaj broj se sekvencijalno množi sa 2. U trećoj fazi, ispalo je 0. Dakle, dobijen je sljedeći rezultat:
0.125 10 =0.001 2 .
Primjer 9 ... Pretvorimo broj 0,214 iz decimalnog u heksadecimalni SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Slijedeći primjere 4 i 5, dobijamo brojeve 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ali u heksadecimalnom SS, brojevi 12 i 11 odgovaraju brojevima C i B. Dakle, imamo:
0,214 10 = 0,36C8B4 16.
Primjer 10 ... Pretvaranje decimalnog u decimalni SS broj 0,512.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Primljeno:
0.512 10 =0.406111 8 .
Primjer 11 ... Pretvaranje broja 159.125 iz decimalnog u binarni SS. Da bismo to učinili, odvojeno prevodimo cijeli dio broja (Primjer 4) i razlomak broja (Primjer 8). Dalje, kombinujući ove rezultate, dobijamo:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Primjer 12 ... Pretvaranje broja 19673.214 iz decimalnog u heksadecimalni SS. Da bismo to učinili, prevodimo odvojeno cijeli dio broja (Primjer 6) i razlomački dio broja (Primjer 9). Dalje, kombinujući ove rezultate, dobijamo.
Pogledajmo jednu od najvažnijih tema u informatici -. U školskom nastavnom planu i programu otkriva se prilično "skromno", najvjerovatnije zbog manjka sati za to. Znanje o ovoj temi, posebno o prevođenje brojevnih sistema, preduslov su za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita i upis na univerzitete na odgovarajućim fakultetima. U nastavku se detaljno razmatraju koncepti kao što su pozicione i nepozicione sisteme brojeva, dati su primjeri ovih brojevnih sistema, pravila za pretvaranje cijelih decimalnih brojeva, regularnih decimalnih razlomaka i mješovitih decimalnih brojeva u bilo koji drugi brojevni sistem, pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni, pretvaranje iz oktalnog i heksadecimalnog brojevnog sistema u binarni broj sistema. Na ispitima postoji veliki broj problema na ovu temu. Sposobnost njihovog rješavanja jedan je od zahtjeva za kandidate. Uskoro: Za svaku temu sekcije, pored detaljnog teorijskog materijala, biće predstavljene gotovo sve moguće opcije zadataka za samostalno učenje. Osim toga, imat ćete priliku besplatno preuzeti potpuno gotova detaljna rješenja za ove probleme sa usluge hostinga datoteka, koja ilustruju različite načine da dobijete pravi odgovor.
pozicioni brojevni sistemi.
Nepozicioni sistemi brojeva- sistemi brojeva u kojima kvantitativna vrijednost cifre ne zavisi od njenog položaja u broju.
Nepozicioni sistemi brojeva uključuju, na primjer, rimski, gdje umjesto brojeva postoje latinična slova.
| I | 1 (jedan) |
| V | 5 (pet) |
| X | 10 (deset) |
| L | 50 (pedeset) |
| C | 100 (sto) |
| D | 500 (petsto) |
| M | 1000 (hiljada) |
Ovdje slovo V označava 5 bez obzira na njegovu lokaciju. Međutim, vrijedno je napomenuti da iako je rimski brojevni sistem klasičan primjer nepozicionog brojevnog sistema, on nije potpuno nepozicionalan, jer manji broj prije nego što se od njega oduzme veći:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
Sistemi pozicijskih brojeva.
Sistemi pozicijskih brojeva- sistemi brojeva, u kojima kvantitativna vrijednost cifre zavisi od njenog položaja u broju.
Na primjer, ako govorimo o decimalnom sistemu, onda u broju 700 broj 7 znači "sedam stotina", ali isti broj u broju 71 znači "sedam desetica", au broju 7020 - "sedam hiljada".
Svaki pozicioni brojevni sistem ima svoje baza... Za bazu se bira prirodni broj veći ili jednak dva. Jednako je broju cifara koje se koriste u ovom brojevnom sistemu.
- Na primjer:
- Binarno- pozicioni brojevni sistem sa osnovom 2.
- kvartar- pozicioni brojevni sistem sa bazom 4.
- Petostruko- pozicioni brojevni sistem sa bazom 5.
- Octal- pozicijski brojevni sistem sa bazom 8.
- Heksadecimalni- pozicioni brojevni sistem sa bazom 16.
Za uspješno rješavanje zadataka na temu „Brajevi sistemi“, učenik mora napamet znati korespondenciju binarnih, decimalnih, oktalnih i heksadecimalnih brojeva do 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Korisno je znati kako se brojevi dobijaju u ovim brojevnim sistemima. Možda ćete to pogoditi u oktalnom, heksadecimalnom, ternarnom i drugima pozicioni brojevni sistemi sve se dešava slično kao decimalni sistem na koji smo navikli:
Jedan se dodaje broju i dobija se novi broj. Ako mjesto jedinica postane jednako osnovici brojevnog sistema, povećavamo broj desetica za 1, itd.
Ovaj "jedan prelaz" je ono što plaši većinu učenika. U stvari, sve je prilično jednostavno. Prijelaz se događa ako bit jedinica postane jednak baza brojevnog sistema, povećavamo broj desetica za 1. Mnogi, sećajući se starog dobrog decimalnog sistema, odmah se zbune u cifri i u ovom prelazu, jer su decimalne i, na primer, binarne desetice različite stvari.
Dakle, snalažljivi učenici imaju "svoje vlastite tehnike" (iznenađujuće ... rade) kada popunjavaju, na primjer, tablice istinitosti, čiji su prvi stupci (vrijednosti varijabli) u stvari ispunjeni binarnim brojevima u rastućem redoslijedu. .
Na primjer, pogledajmo unos brojeva oktalni sistem: Prvom broju (0) dodajemo 1, dobijamo 1. Zatim dodajemo 1 na 1, dobijamo 2, itd. do 7. Ako 7 dodamo jedan, dobijamo broj jednak osnovici brojevnog sistema, tj. 8. Zatim trebate povećati mjesto desetica za jedan (dobijamo oktalnu deseticu - 10). Dalje, očigledno, postoje brojevi 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
Pravilo prevođenja iz jednog brojevnog sistema u drugi.
1 Pretvorba decimalnih cijelih brojeva u bilo koji drugi brojni sistem.
Broj se mora podijeliti sa novi radix... Prvi ostatak dijeljenja je prva najmanje značajna znamenka novog broja. Ako je količnik dijeljenja manji ili jednak novoj bazi, tada se (količnik) mora ponovo podijeliti na novu bazu. Dijeljenje se mora nastaviti sve dok ne dobijemo količnik manji od nove baze. Ovo je najznačajnija znamenka novog broja (morate zapamtiti da, na primjer, u heksadecimalnom sistemu postoje slova nakon 9, tj. ako ste dobili 11 u ostatku, trebate to napisati kao B).
Primjer ("podjela uglom"): Prevedemo broj 173 10 u oktalni brojevni sistem.
Dakle 173 10 = 255 8
2 Pretvaranje tačnih decimalnih razlomaka u bilo koji drugi brojevni sistem.
Broj se mora pomnožiti sa novom bazom brojevnog sistema. Cifra koja je prešla u cijeli dio je najznačajnija cifra razlomka novog broja. da bi se dobila sljedeća znamenka, razlomak rezultujućeg proizvoda mora se ponovo pomnožiti s novom bazom brojevnog sistema sve dok ne dođe do prijelaza na cijeli dio. Nastavljamo množenje sve dok razlomak ne postane jednak nuli, ili dok ne dostignemo tačnost navedenu u zadatku ("... izračunaj s tačnošću od, na primjer, dvije decimale").
Primjer: Prevedemo broj 0,65625 10 u oktalni brojevni sistem.
Napomena 1
Ako želite prevesti broj iz jednog brojevnog sistema u drugi, onda je zgodnije da ga prvo prevedete u decimalni brojevni sistem, a tek onda iz decimalnog broja u bilo koji drugi brojevni sistem.
Pravila za pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni
U računarstvu, koristeći mašinsku aritmetiku, konverzija brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi igra važnu ulogu. Ispod su osnovna pravila za takve transformacije (prevode).
Prilikom pretvaranja binarnog broja u decimalni, potrebno je binarni broj predstaviti u obliku polinoma, čiji je svaki element predstavljen kao proizvod cifre broja i odgovarajućeg stepena osnovnog broja, u ovom slučaju 2 $, a zatim morate izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $
Slika 1. Tabela 1
Primjer 1
Broj $ 11110101_2 $ pretvoriti u decimalni zapis.
Rješenje. Koristeći gornju tablicu od $1 $ stepeni baze $2 $, predstavljamo broj u obliku polinoma:
$ 11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 + 2 = 4 + 128 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $
Da biste broj iz oktalnog brojevnog sistema pretvorili u decimalni, trebate ga predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao proizvod cifre broja i odgovarajuće snage osnovnog broja, u ovom slučaju 8 dolara $, a zatim morate izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $
Slika 2. Tabela 2
Primjer 2
Broj $ 75013_8 $ se pretvara u decimalni zapis.
Rješenje. Koristeći tablicu $2 $ stepeni baze $8 $, predstavljamo broj u obliku polinoma:
$ 75013_8 = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $
Za konvertovanje broja iz heksadecimalnog sistema brojeva u decimalni, potrebno ga je predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao proizvod cifre broja i odgovarajućeg stepena osnovnog broja, u ovom slučaju $ 16 $, a zatim morate izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $
Slika 3. Tabela 3
Primjer 3
Pretvorite broj $ FFA2_ (16) $ u decimalni zapis.
Rješenje. Koristeći gornju tabelu od $3 $ stepeni baze $8 $, predstavljamo broj kao polinom:
$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442 $_
Pravila za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi
- Da biste broj pretvorili iz decimalnog u binarni, on se mora uzastopno podijeliti sa $2 $ dok ne bude ostatak manji ili jednak $1 $. Broj u binarnom sistemu predstavljen je kao niz posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 4
Pretvorite broj $ 22_ (10) $ u binarni zapis.
Rješenje:
Slika 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Da biste broj pretvorili iz decimalnog u oktalni, on se mora uzastopno podijeliti sa 8 dolara sve dok ne bude ostatak manji ili jednak 7 dolara. Oktalni broj je predstavljen kao niz cifara rezultata posljednjeg dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 5
Broj $ 571_ (10) $ se pretvara u oktalnu notaciju.
Rješenje:
Slika 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Da biste broj pretvorili iz decimalnog u heksadecimalni, on se mora uzastopno podijeliti sa 16 dolara sve dok ne bude ostatak manji ili jednak 15 dolara. Broj u heksadecimalnom sistemu predstavljen je kao niz cifara posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 6
Broj $ 7467_ (10) $ pretvara se u heksadecimalni zapis.
Rješenje:
Slika 6.
7467 $ (10) = 1D2B_ (16) $
Da bi se tačan razlomak iz decimalnog brojevnog sistema pretvorio u nedecimalni, potrebno je razlomački dio broja koji treba pretvoriti uzastopno pomnožiti sa osnovom sistema u koji se treba pretvoriti. Frakcija u novom sistemu biće predstavljena u vidu celih delova radova, počevši od prvog.
Na primjer: $ 0,3125 _ ((10)) $ u oktalnom obliku će izgledati kao $ 0,24 _ ((8)) $.
U ovom slučaju možete naići na problem kada beskonačan (periodični) razlomak u nedecimalnom brojevnom sistemu može odgovarati konačnom decimalnom razlomku. U ovom slučaju, broj cifara u razlomku predstavljenom u novom sistemu zavisiće od zahtevane preciznosti. Također treba napomenuti da cijeli brojevi ostaju cijeli, a pravilni razlomci ostaju razlomci u bilo kojem brojevnom sistemu.
Pravila za pretvaranje brojeva iz binarnog brojevnog sistema u drugi
- Da bi se broj pretvorio iz binarnog brojevnog sistema u oktalni, on se mora podijeliti na trijade (trojke cifara), počevši od najmanjeg bita, dopuniti najznačajniju trozvuku nulama ako je potrebno, a zatim zamijeniti svaki trozvuk odgovarajućom oktalnom znamenkom prema tabeli 4.
Slika 7. Tabela 4
Primjer 7
Pretvorite broj $ 1001011_2 $ u oktalnu notaciju.
Rješenje... Koristeći tabelu 4, pretvorimo broj iz binarnog u oktalni:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Da bi se broj pretvorio iz binarnog brojevnog sistema u heksadecimalni, treba ga podijeliti na tetrade (četiri cifre), počevši od najmanjeg bita, ako je potrebno, dodajući nule na stariju tetradu, a zatim zamijeniti svaku tetradu odgovarajućom oktalnom znamenkom prema do tabele 4.
1. Redni račun u različitim brojevnim sistemima.
U savremenom životu koristimo pozicione sisteme brojeva, odnosno sisteme u kojima broj označen brojem zavisi od položaja broja u brojevnom zapisu. Stoga ćemo u nastavku govoriti samo o njima, izostavljajući pojam „pozicioni“.
Da bismo naučili kako prevesti brojeve iz jednog sistema u drugi, hajde da shvatimo kako se sekvencijalno beleženje brojeva dešava koristeći decimalni sistem kao primer.
Pošto imamo decimalni brojevni sistem, imamo 10 znakova (cifara) za konstruisanje brojeva. Počinjemo sa rednim brojanjem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Brojevi su gotovi. Povećavamo cifreni kapacitet broja i nulimo najmanji bitni bit: 10. Zatim ponovo povećavamo najmanji značajan bit dok ne ponestane sve cifre: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Povećajte najznačajniji bit za 1, a nula najmanji: 20. Kada iskoristimo sve cifre za obe cifre (dobijemo broj 99), ponovo povećavamo cifreni kapacitet broja i resetujemo postojeće cifre: 100. I tako dalje.
Pokušajmo isto učiniti u 2., 3. i 5. sistemu (upisaćemo oznaku za 2. sistem, za 3. itd.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Ako brojevni sistem ima bazu veću od 10, tada ćemo morati unijeti dodatne znakove, uobičajeno je unositi slova latinice. Na primjer, za 12-arni sistem, pored deset cifara, potrebna su nam dva slova (s):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Konverzija iz decimalnog brojevnog sistema u bilo koji drugi.
Da biste konvertovali cjelobrojni pozitivni decimalni broj u brojevni sistem s drugom osnovom, trebate ovaj broj podijeliti osnovom. Dobijeni količnik ponovo podijelite sa osnovom, i dalje dok količnik ne bude manji od baze. Kao rezultat, napišite posljednji količnik i sve ostatke počevši od posljednjeg u jednom redu.
Primjer 1. Pretvaranje decimalnog broja 46 u binarni sistem brojeva.
Primjer 2. Pretvaranje decimalnog 672 u oktalni brojevni sistem.
Primjer 3. Pretvorite decimalni broj 934 u heksadecimalni zapis.
3. Pretvorba iz bilo kog brojevnog sistema u decimalni.
Da bismo naučili kako pretvoriti brojeve iz bilo kojeg drugog sistema u decimalni, analizirajmo uobičajenu notaciju decimalnog broja.
Na primjer, decimalni broj 325 je 5 jedinica, 2 desetice i 3 stotine, tj.
Potpuno ista situacija je i u drugim brojevnim sistemima, samo što ćemo množiti ne sa 10, 100 itd., već sa stepenom baze brojevnog sistema. Na primjer, uzmimo ternarni broj 1201. Numerirajmo cifre s desna na lijevo počevši od nule i predstavimo naš broj kao zbir proizvoda cifre sa tri u stepenu cifre broja:
Ovo je decimalni prikaz našeg broja, tj.
Primjer 4. Pretvaranje oktalnog broja 511 u decimalni zapis.
Primjer 5. Pretvorimo heksadecimalni broj 1151 u decimalni brojevni sistem.
4. Konverzija iz binarnog sistema u sistem sa osnovom "potencijal dvojke" (4, 8, 16, itd.).
Da biste pretvorili binarni broj u broj sa osnovom "potencijal dva", potrebno je podijeliti binarni niz u grupe prema broju cifara jednakom stepenu s desna na lijevo i svaku grupu zamijeniti odgovarajućom znamenkom novi sistem brojeva.
Na primjer, Pretvorite binarni 1100001111010110 u oktalni. Da bismo to učinili, podijelimo ga u grupe od 3 znaka, počevši s desne strane (od), a zatim koristimo tablicu korespondencije i zamijenimo svaku grupu novom znamenkom:
Naučili smo kako napraviti tabelu korespondencije u klauzuli 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
One.
Primjer 6. Pretvorite binarni 1100001111010110 u heksadecimalni broj.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Prebacivanje iz sistema sa bazom "potencijal dvojke" (4, 8, 16, itd.) u binarni.
Ovaj prevod je sličan prethodnom, izveden u suprotnom smeru: svaku cifru zamenjujemo grupom cifara u binarnom sistemu iz tabele pretraživanja.
Primjer 7. Prevedemo heksadecimalni broj S3A6 u binarni brojevni sistem.
Da biste to učinili, zamijenite svaku znamenku broja grupom od 4 znamenke (od) iz tablice korespondencije, dodajući, ako je potrebno, grupu s nulama na početku:
Napomena 1
Ako želite prevesti broj iz jednog brojevnog sistema u drugi, onda je zgodnije da ga prvo prevedete u decimalni brojevni sistem, a tek onda iz decimalnog broja u bilo koji drugi brojevni sistem.
Pravila za pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni
U računarstvu, koristeći mašinsku aritmetiku, konverzija brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi igra važnu ulogu. Ispod su osnovna pravila za takve transformacije (prevode).
Prilikom pretvaranja binarnog broja u decimalni, potrebno je binarni broj predstaviti u obliku polinoma, čiji je svaki element predstavljen kao proizvod cifre broja i odgovarajućeg stepena osnovnog broja, u ovom slučaju 2 $, a zatim morate izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $
Slika 1. Tabela 1
Primjer 1
Broj $ 11110101_2 $ pretvoriti u decimalni zapis.
Rješenje. Koristeći gornju tablicu od $1 $ stepeni baze $2 $, predstavljamo broj u obliku polinoma:
$ 11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 + 2 = 4 + 128 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $
Da biste broj iz oktalnog brojevnog sistema pretvorili u decimalni, trebate ga predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao proizvod cifre broja i odgovarajuće snage osnovnog broja, u ovom slučaju 8 dolara $, a zatim morate izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $
Slika 2. Tabela 2
Primjer 2
Broj $ 75013_8 $ se pretvara u decimalni zapis.
Rješenje. Koristeći tablicu $2 $ stepeni baze $8 $, predstavljamo broj u obliku polinoma:
$ 75013_8 = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $
Za konvertovanje broja iz heksadecimalnog sistema brojeva u decimalni, potrebno ga je predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao proizvod cifre broja i odgovarajućeg stepena osnovnog broja, u ovom slučaju $ 16 $, a zatim morate izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $
Slika 3. Tabela 3
Primjer 3
Pretvorite broj $ FFA2_ (16) $ u decimalni zapis.
Rješenje. Koristeći gornju tabelu od $3 $ stepeni baze $8 $, predstavljamo broj kao polinom:
$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442 $_
Pravila za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi
- Da biste broj pretvorili iz decimalnog u binarni, on se mora uzastopno podijeliti sa $2 $ dok ne bude ostatak manji ili jednak $1 $. Broj u binarnom sistemu predstavljen je kao niz posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 4
Pretvorite broj $ 22_ (10) $ u binarni zapis.
Rješenje:
Slika 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Da biste broj pretvorili iz decimalnog u oktalni, on se mora uzastopno podijeliti sa 8 dolara sve dok ne bude ostatak manji ili jednak 7 dolara. Oktalni broj je predstavljen kao niz cifara rezultata posljednjeg dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 5
Broj $ 571_ (10) $ se pretvara u oktalnu notaciju.
Rješenje:
Slika 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Da biste broj pretvorili iz decimalnog u heksadecimalni, on se mora uzastopno podijeliti sa 16 dolara sve dok ne bude ostatak manji ili jednak 15 dolara. Broj u heksadecimalnom sistemu predstavljen je kao niz cifara posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 6
Broj $ 7467_ (10) $ pretvara se u heksadecimalni zapis.
Rješenje:
Slika 6.
7467 $ (10) = 1D2B_ (16) $
Da bi se tačan razlomak iz decimalnog brojevnog sistema pretvorio u nedecimalni, potrebno je razlomački dio broja koji treba pretvoriti uzastopno pomnožiti sa osnovom sistema u koji se treba pretvoriti. Frakcija u novom sistemu biće predstavljena u vidu celih delova radova, počevši od prvog.
Na primjer: $ 0,3125 _ ((10)) $ u oktalnom obliku će izgledati kao $ 0,24 _ ((8)) $.
U ovom slučaju možete naići na problem kada beskonačan (periodični) razlomak u nedecimalnom brojevnom sistemu može odgovarati konačnom decimalnom razlomku. U ovom slučaju, broj cifara u razlomku predstavljenom u novom sistemu zavisiće od zahtevane preciznosti. Također treba napomenuti da cijeli brojevi ostaju cijeli, a pravilni razlomci ostaju razlomci u bilo kojem brojevnom sistemu.
Pravila za pretvaranje brojeva iz binarnog brojevnog sistema u drugi
- Da bi se broj pretvorio iz binarnog brojevnog sistema u oktalni, on se mora podijeliti na trijade (trojke cifara), počevši od najmanjeg bita, dopuniti najznačajniju trozvuku nulama ako je potrebno, a zatim zamijeniti svaki trozvuk odgovarajućom oktalnom znamenkom prema tabeli 4.
Slika 7. Tabela 4
Primjer 7
Pretvorite broj $ 1001011_2 $ u oktalnu notaciju.
Rješenje... Koristeći tabelu 4, pretvorimo broj iz binarnog u oktalni:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Da bi se broj pretvorio iz binarnog brojevnog sistema u heksadecimalni, treba ga podijeliti na tetrade (četiri cifre), počevši od najmanjeg bita, ako je potrebno, dodajući nule na stariju tetradu, a zatim zamijeniti svaku tetradu odgovarajućom oktalnom znamenkom prema do tabele 4.
