Ključne riječi:
- notacija
- broj
- abeceda
- pozicioni brojevni sistem
- baza
- prošireni oblik pisanja broja
- skupljena notacija brojeva
- binarni sistem brojeva
- oktalni brojevni sistem
- heksadecimalni brojni sistem
1.1.1. Opće informacije o brojevnim sistemima
Rice. 1.1.
Znakovi koji se koriste za pisanje brojeva u različitim brojevnim sistemima
U bilo kom brojevnom sistemu, brojevi se koriste za označavanje brojeva koji se nazivaju čvorni; ostali brojevi (algoritamski) se dobijaju kao rezultat bilo koje operacije iz nodalnih brojeva.
Primjer 1... Za Babilonce su ključni brojevi bili 1, 10, 60; u rimskom numeričkom sistemu, brojevi čvorova su 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000, označeni sa I, V, X, L, C, D, M.
Brojni sistemi se razlikuju po izboru nodalnih brojeva i po metodama generisanja algoritamskih brojeva. Mogu se razlikovati sljedeće vrste brojevnih sistema:
- unarni sistemi;
- nepozicioni sistemi;
- pozicioni sistemi.
Najjednostavniji i najstariji sistem je takozvani unarni brojevni sistem. Koristi samo jedan simbol za pisanje bilo kojeg broja - štap, čvor, zarez, kamenčić. Dužina zapisa broja sa takvim kodiranjem direktno je povezana sa njegovom vrednošću, što ovu metodu čini sličnom geometrijskom predstavljanju brojeva u obliku segmenata. Uniarni sistem leži u osnovi aritmetike, a ona je ta koja još uvijek uvodi prvašiće u svijet brojanja. Unarni sistemi se takođe nazivaju sistemi oznaka.
U nepozicionim brojevnim sistemima, brojevi se formiraju sabiranjem nodalnih brojeva.
Primjer 2... U drevnom egipatskom brojevnom sistemu, brojevi 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 bili su označeni na sljedeći način:
Isti brojevi u rimskom numeričkom sistemu označeni su na sljedeći način: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Ovdje se algoritamski brojevi dobijaju sabiranjem i oduzimanjem nodalnih brojeva, uzimajući u obzir sljedeće pravilo: svaki manji znak, postavljen desno od većeg, dodaje se njegovoj vrijednosti, a svaki manji znak, koji se nalazi lijevo od veći, oduzima se od njega.
Decimalni brojevni sistem, koji smo navikli koristiti u svakodnevnom životu, koji nam je poznat od djetinjstva, u kojem vršimo sva računanja, primjer je pozicijskog brojevnog sistema. U njemu se algoritamski brojevi formiraju na sljedeći način: vrijednosti znamenki se množe s "težinama" odgovarajućih znamenki i sve dobivene vrijednosti se sabiraju. To se jasno može vidjeti u brojevima ruskog jezika, na primjer: "tristo pet deset sedam".
Osnova pozicionog brojevnog sistema može biti bilo koji prirodan broj q> 1.
Abeceda decimalnog sistema sastoji se od brojeva 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Abeceda proizvoljnog pozicionog brojevnog sistema sa osnovom q su brojevi 0, 1, ..., q-1, od kojih se svaki može napisati pomoću jednog jedinstvenog znaka; najmanje značajna cifra je uvijek O.
Glavne prednosti svakog pozicionog brojevnog sistema su jednostavnost izvođenja aritmetičkih operacija i ograničen broj znakova potrebnih za pisanje bilo kojeg broja.
a 1 - brojevi koji pripadaju abecedi datog brojevnog sistema;
q 1 - "težina" i-te kategorije.
Pisanje broja prema formuli (1) naziva se prošireni oblik zapisa. Redukovani oblik pisanja broja je njegov prikaz u obliku ± a n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 ... a -m 1
- 1 U nastavku će se razmatrati samo pozitivni cijeli brojevi.
Primjer 3. Razmotrimo decimalni broj 14351.1. Njegov sažeti oblik zapisa toliko je poznat da ne primjećujemo kako u mislima prelazimo na proširenu notaciju, množeći znamenke broja s "težinama" znamenki i zbrajamo rezultirajuće proizvode:
1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .
1.1.2. Binarni sistem brojeva
Binarni brojevni sistem naziva se pozicioni brojevni sistem sa bazom 2. Za pisanje brojeva u binarnom brojevnom sistemu koriste se samo dve cifre: 0 i 1.
Na osnovu formule (1) za binarne cijele brojeve, možete napisati:
Na primjer:
10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .
Ovakav oblik zapisa "podaće" pravilo za pretvaranje prirodnih binarnih brojeva u decimalni brojevni sistem: potrebno je izračunati zbir stepena dva koja odgovaraju jedinicama u redukovanom obliku pisanja binarnog broja.
Dobijmo iz formule (1") pravilo za pretvaranje cjelobrojnih decimalnih brojeva u binarni sistem brojeva.
Podijelite
a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 + ... + a 0 2 0 sa 2.
Količnik će biti jednak
a n-1 2 n-2 + ... + a 1,
a ostatak će biti 0.
Rezultirajući količnik se ponovo dijeli sa 2, ostatak dijeljenja će biti jednak 1.
Ako nastavimo sa ovim procesom dijeljenja, tada ćemo u n-tom koraku dobiti skup brojeva:
a 0, a 1, a 2, ..., a n-1
koji su uključeni u binarni prikaz originalnog broja i poklapaju se sa ostatcima kada se on uzastopno podeli sa 2. Prilikom upisivanja originalnog broja u binarni brojevni sistem, treba imati na umu da su ostaci nakon dijeljenja sa 2 dobijeni obrnutim redoslijedom od redoslijeda odgovarajućih cifara u binarnom prikazu originalnog broja ...
Primjer 4... Pretvorimo decimalni broj 11 u binarni zapis. Slijed gore navedenih radnji (algoritam prijevoda) može se prikazati na sljedeći način:
Zapisujući ostatke dijeljenja u smjeru označenom strelicom, dobijamo: 11 10 = 1011 2.
Primjer 5... Ako je decimalni broj dovoljno velik, onda je prikladniji sljedeći način pisanja gornjeg algoritma:
363 10 = 101101011 2
1.1.3. Oktalni sistem brojeva
Oktalni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa osnovom 8. Za pisanje brojeva u oktalnom brojevnom sistemu koriste se brojevi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Na osnovu formule (1) za cijeli oktalni broj, možete napisati:
Na primjer: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10
Dakle, da biste konvertovali celobrojni oktalni broj u decimalni brojevni sistem, idite na njegov prošireni zapis i izračunajte vrednost rezultirajućeg izraza.
Da biste pretvorili cjelobrojni decimalni broj u oktalni brojevni sistem, morate uzastopno podijeliti ovaj broj i rezultirajuće cjelobrojne količnike sa 8 dok ne dobijete količnik jednak nuli. Originalni broj u novom brojevnom sistemu sačinjava se sekvencijalnim bilježenjem rezultujućih ostataka, počevši od posljednjeg.
Primjer 6. Prevedemo decimalni broj 103 u oktalni brojevni sistem.
1.1.4. Heksadecimalni sistem brojeva
Baza: q = 16.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Ovdje samo deset od šesnaest cifara ima općeprihvaćenu oznaku 0, ..., 9. Za pisanje cifara sa decimalnim kvantitativnim ekvivalentima 10, 11, 12, 13, 14, 15, obično je prvih pet slova latinice korišteno.
Dakle, unos 3AF16 znači:
3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.
Primjer 7... Prevedemo decimalni broj 154 u heksadecimalni brojevni sistem.
1.1.5. Pravilo za pretvaranje cijelih decimalnih brojeva u bazu q
Za pretvaranje cjelobrojnog decimalnog broja u bazu q:
- sekvencijalno izvoditi dijeljenje datog broja i rezultirajućih cjelobrojnih količnika na osnovu novog brojevnog sistema dok ne dobijemo količnik jednak nuli;
- rezultirajuće ostatke, koji su cifre broja u novom brojevnom sistemu, treba uskladiti sa abecedom novog brojevnog sistema;
- napravite broj u novom brojevnom sistemu, zapišite ga, počevši od posljednjeg primljenog ostatka.
Kreirajmo tablicu korespondencije za decimalne, binarne, oktalne i heksadecimalne brojeve od 0 do 20.
Jedinstvena zbirka digitalnih obrazovnih resursa (http://school-collection.edu.ru/) sadrži interaktivnu animaciju „Pretvaranje decimalnog broja u drugi brojevni sistem“. Uz njegovu pomoć možete gledati prevođenje proizvoljnog cijelog broja od 0 do 512 u pozicijski brojevni sistem, čija baza ne prelazi 16.
U virtuelnoj laboratoriji "Digitalne vage" koja se nalazi na istom mestu možete savladati još jednu metodu pretvaranja celih decimalnih brojeva u druge sisteme brojeva - metodu razlika.
1.1.6. Binarna aritmetika
Binarna aritmetika se zasniva na upotrebi sljedećih tablica sabiranja i množenja:
Primjer 8... Tabela binarnog sabiranja je izuzetno jednostavna. Pošto je 1 + 1 = 10, onda 0 ostaje u ovom bitu, a 1 se prenosi na sljedeći bit.
Primjer 9... Operacija množenja se izvodi prema uobičajenoj šemi koja se koristi u decimalnom brojevnom sistemu, uz sekvencijalno množenje pomnoženog sa sljedećom cifrom množitelja.
Dakle, u binarnom sistemu, množenje se svodi na pomake množenika i sabiranja.
1.1.7. „Kompjuterski“ sistemi brojeva
U računarskoj tehnologiji koristi se binarni brojevni sistem koji pruža niz prednosti u odnosu na druge sisteme:
- binarni brojevi su predstavljeni u kompjuteru koristeći prilično jednostavne tehničke elemente sa dva stabilna stanja;
- prezentacija informacija pomoću samo dva stanja je pouzdana i otporna na buku;
- binarna aritmetika je najjednostavnija;
- postoji matematički aparat koji obezbeđuje logičke transformacije binarnih podataka.
Razmjena informacija između kompjuterskih uređaja vrši se prijenosom binarnih kodova. Zbog njihove velike dužine i vizuelne uniformnosti, za osobu je nezgodno koristiti takve kodove. Stoga stručnjaci (programeri, inženjeri) u nekim fazama razvoja, stvaranja, podešavanja kompjuterskih sistema zamjenjuju binarne kodove njihovim ekvivalentnim vrijednostima u oktalnim ili heksadecimalnim sistemima brojeva. Kao rezultat toga, dužina originalne riječi se smanjuje za tri ili četiri puta, respektivno. To čini informacije lakšim za pregled i analizu.
Uz pomoć resursa "Interaktivna knjiga zadataka, odjeljak" Brojevni sistemi "" (http://school-collection.edu.ru/), možete provjeriti koliko ste čvrsto savladali materijal proučavan u ovom odlomku.
Najvažnija stvar
Brojevni sistem je sistem znakova u kojem se usvajaju određena pravila za pisanje brojeva. Znakovi kojima se pišu brojevi nazivaju se brojevi, a njihova kombinacija se naziva abeceda brojevnog sistema.
Brojevni sistem se naziva pozicijskim ako kvantitativni ekvivalent cifre u broju zavisi od njegove pozicije u brojevnom zapisu. Osnova pozicionog brojevnog sistema jednaka je broju cifara koje čine njegovu abecedu.
Osnova pozicionog brojevnog sistema može biti bilo koji prirodan broj q> 1.
U pozicijskom brojevnom sistemu sa osnovom q, bilo koji broj se može predstaviti kao:
Broj;
q - osnova brojevnog sistema;
i i - brojevi koji pripadaju azbuci datog brojevnog sistema;
n - broj cijelih cifara broja;
m - broj razlomaka broja;
q i - "težina" i-te kategorije.
Pitanja i zadaci
Kako se prebaciti sa skupljenog oblika pisanja decimalnog broja u njegov prošireni oblik?
Odgovori
Razmotrimo decimalni broj 14351.1. Njegov sažeti oblik zapisa toliko je poznat da ne primjećujemo kako u mislima prelazimo na proširenu notaciju, množeći znamenke broja s "težinama" znamenki i zbrajamo rezultirajuće proizvode:
1 · 10 4 + 4 · 10 3 + 3 · 10 2 + 5 · 10 1 + 1 · 10 0 + 1 · 10 -1.
Prelazak iz skupljenog u prošireno
1. Pogledajte broj koji vam je dat i odredite broj njegovih cifara.
primjer:
Upišite 5827 u proširenom obliku.
Pročitajte broj naglas: pet hiljada osamsto dvadeset sedam.
Imajte na umu da ovaj broj ima četiri cifre. Kao rezultat toga, prošireni obrazac će sadržavati četiri pojma.
2. Prepišite broj kao zbir njegovih cifara, ostavljajući razmak između njih da pomnožite svaku cifru nekom cifrom (više o tome kasnije).
primjer:
5827 prepisati na sljedeći način:
3. Cifre broja nalaze se na određenim pozicijama koje odgovaraju (s desna na lijevo) jedinicama, deseticama, stotinama, hiljadama itd. Odredite naziv pozicije i njegovo značenje za svaku cifru (s desna na lijevo).
primjer:
Pošto u ovom broju postoje četiri znamenke, tada morate odrediti nazive četiri pozicije (s desna na lijevo).
7 odgovara jedinicama (vrijednost = 1 = 10 0).
2 odgovara deseticama (vrijednost = 10 = 10 1).
8 odgovara stotinama (vrijednost = 100 = 10 2).
5 odgovara hiljadama (vrijednost = 1000 = 10 3).
4. Pomnožite svaku cifru datog broja sa vrednošću odgovarajuće pozicije.
primjer:
5 · 10 3 + 8 · 10 2 + 2 · 10 1 + 7 · 10 0
PRORAČUNSKI SISTEMI I
PRENOS BROJA IZ JEDNOG SISTEMA U DRUGI
Sistem brojeva (CC) - to je način predstavljanja brojeva i odgovarajućih pravila djelovanja na njima.
Sistemi brojeva se dijele na pozicione i nepozicione
Osnova brojevnog sistema- nazovite broj cifara koji se koriste za pisanje brojeva
SS alfabet- pozivanje svih brojeva (znakova) koji se koriste za pisanje brojeva
Prošireni oblik pisanja broja
Aq = a n a n-1 ..a 1 a 0 = a n q n + a n-1 q n-1 + .. a 1 q 1 + a 0 q 0
q - baza
a i - brojevi
n - broj bitova celobrojnog dela
m - broj cifara razlomka
123,45 10 =100+20+3+0,4+0,05=1∙10 2 +2∙10 1 +3∙10 0 +4∙10 -1 +5∙10 -2
123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2
Tabela ekvivalenata brojeva
| q = 10 | q = 16 | q = 12 | q = 8 | q = 5 | q = 4 | q = 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 10 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 11 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 10 | 100 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 11 | 101 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 11 | 12 | 110 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 12 | 13 | 111 |
| 8 | 8 | 8 | 10 | 13 | 20 | 1000 |
| 9 | 9 | 9 | 11 | 14 | 21 | 1001 |
| 10 | A | A | 12 | 20 | 22 | 1010 |
| 11 | V | V | 13 | 21 | 23 | 1011 |
| 12 | WITH | 10 | 14 | 22 | 30 | 1100 |
| 13 | D | 11 | 15 | 23 | 31 | 1101 |
| 14 | E | 12 | 16 | 24 | 32 | 1110 |
| 15 | F | 13 | 17 | 30 | 33 | 1111 |
| 16 | 10 | 14 | 20 | 31 | 100 | 10000 |
Abecede u odgovarajućim brojevnim sistemima su podebljane.
Pravilo za pretvaranje broja iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni
Da biste broj pretvorili u decimalni brojevni sistem, potrebno je:
1.upišite broj u proširenom obliku
2. Pretvorite sve znamenke u decimalni SS (za SS sa q> 10)
3.izračunati vrijednost rezultirajućeg izraza
123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2 =64+16+3+0,5+5/64=83,578 10
1BE, 84 16 = 1 ∙ 16 2 + B∙16 1 +E∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =
1∙16 2 +11 ∙16 1 +14 ∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =
256+11∙16+14∙1+0,5+0,015=446,515 10
Riješite primjere:
2) 150 6 = A 10
4) DF 18 = A 10
5) 1AB 16 = A 10
Pravilo za pretvaranje decimalnih cijelih brojeva u druge sisteme brojeva:
1. Deljenje sa ostatkom datog broja i rezultujućim nepotpunim količnikima izvoditi uzastopno na osnovu novog SS dok ne dobijemo nepotpun količnik manji od djelitelja.
2. Rezultirajući ostaci, koji su cifre broja u novom SS, dovode se u liniju sa abecedom novog SS (za SS sa q> 10)
3. Napravite broj u novom SS, zapišite sve ostatke, počevši od posljednjeg količnika
| 19 10 = 10011 2 |  |
| 19 10 = 13 16 | |
| 205 10 = CD 16 |  |
Riješite primjere:
1) 5 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
2) 15 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
1) 150 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
Brza binarna konverzija po stepenu dvojke dekompozicije
Pogodno je pretvoriti broj u binarni SS za neke brojeve na drugi način: dekompozicijom na stepen dvojke. Naravno, za ovo morate znati ove diplome napamet ;-)
19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 =1∙2 4 + 0∙2 3 +0∙2 2 +1∙2 1 + 1∙2 0 =10011 2
Možete preskočiti prošireni oblik pisanja broja. Ako postoji stepen, onda stavljamo jedan, ako nema stepena po redu (u našem primjeru 3 i 2), onda tu stavljamo 0.
19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 10011 2
Ova metoda je posebno pogodna za brojeve čija je vrijednost blizu stepena.
Riješite primjere:
1) 161 10 = A 2
1) 321 10 = A 2
1) 600 10 = A 2
Pravilo za pretvaranje binarnog broja u SS sa bazom q = 2 n
1.dati binarni broj, počevši od zareza (celobrojni i razlomak), u grupe od n znamenki u svakoj
Osnova pozicionog brojevnog sistema je cijeli broj q, koji se podiže na stepen.
Osnova pozicionog brojevnog sistema je niz brojeva, od kojih svaki određuje kvantitativni ekvivalent (težinu) znaka, u zavisnosti od njegovog mesta u brojevnom kodu.
Decimalna baza: ... 10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…
Osnova proizvoljnog pozicionog brojevnog sistema: ... q n, q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …
Baza u bilo kom sistemu je prikazana kao 10, ali ima drugačije kvantitativno značenje. Pokazuje koliko se puta mijenja kvantitativna vrijednost cifre kada se pomakne na susjednu poziciju. Mogući su mnogi pozicioni sistemi, jer se bilo koji broj, ne manji od 2, može uzeti kao osnova brojevnog sistema.
Naziv brojevnog sistema odgovara njegovoj bazi (decimalni, binarni, petostruki, itd.).
U radixu q (q-arnog numeričkog sistema), jedinice cifara su sekvencijalne stepene broja q, drugim riječima, q jedinice bilo koje kategorije čine jedinicu sljedeće kategorije.
Za upisivanje brojeva q-aich numerički sistem je potreban q razni znakovi (cifre) koji predstavljaju brojeve 0, 1, ..., q – 1.
Prema tome, osnova pozicionog brojevnog sistema jednaka je broju simbola (znakova) u njegovom alfabetu. Snimite broj q v q-arni brojevni sistem ima oblik 10.
Primjer 1. Oktalni sistem brojeva.
baza: q = 8.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7.
Brojevi: na primjer, 45023.152 8; 751.001 8.
Primjer 2. Petostruki sistem brojeva .
baza: q = 5.
Abeceda: 0, 1, 2, 3 i 4.
Brojevi: na primjer, 20304 5; 324,03 5.
Primjer 3. Heksadecimalni sistem brojeva.
baza: q = 16.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Ovdje samo deset od šesnaest cifara ima općeprihvaćenu oznaku 0-9. Za pisanje ostalih znakova abecede (10, 11, 12, 13, 14 i 15) obično se koristi prvih pet slova latinice.
Brojevi: na primjer, B5C3.1A2 16; 355.0FA01 8.
U pozicijskom brojevnom sistemu, svaki realan broj se može predstaviti u sljedećem obliku:
A q = ±( a n–1 × q n –1 + a n–2 × q n –2 +…+ a 0 × q 0 + a–1 × q –1 + a–2 × q –2 +…+ a –m × q –m), (1) ili ±.
Evo A - sam broj; q - radix;
i ja- brojevi koji pripadaju azbuci datog brojevnog sistema; NS - broj cijelih cifara broja; T - broj razlomanih cifara broja.
Proširivanje broja po formuli (1) se zove prošireni oblik snimanja ... Inače, ovaj oblik notacije se naziva polinom ili smireno.
Primjer 1. Decimala A 10 = 5867,91 prema formuli (1) je predstavljen na sljedeći način:
A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.
Primjer 2. Formula (1) za oktalni brojevni sistem je:
A 8 = ± ( a n–1 × 8 n –1 + a n–2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 8 0 + a–1 × 8 –1 + a–2 × 8 –2 +… + a –m× 8 - m),
gdje i ja- brojevi 0–7.
Oktalni broj A 8 = 7064,3 u obliku (1) biće zapisan na sledeći način:
A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.
Primjer 3. Pet broj A 5 = 2430,21 prema formuli (1) biće zapisano na sljedeći način:
A 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5 "+ 0 × 5 ° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.
Procjenom ovog izraza možete dobiti decimalni ekvivalent navedenog petostrukog broja: 365,44 10.
Primjer 4. Heksadecimalni zapis je 3 AF 16 znači:
3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.
Osnova pozicionog brojevnog sistema je cijeli broj q, koji se podiže na stepen.
Osnova pozicionog brojevnog sistema je niz brojeva, od kojih svaki određuje kvantitativni ekvivalent (težinu) znaka, u zavisnosti od njegovog mesta u brojevnom kodu.
Decimalna baza: ... 10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…
Osnova proizvoljnog pozicionog brojevnog sistema: ... q n, q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …
Baza u bilo kom sistemu je prikazana kao 10, ali ima drugačije kvantitativno značenje. Pokazuje koliko se puta mijenja kvantitativna vrijednost cifre kada se pomakne na susjednu poziciju. Mogući su mnogi pozicioni sistemi, jer se bilo koji broj, ne manji od 2, može uzeti kao osnova brojevnog sistema.
Naziv brojevnog sistema odgovara njegovoj bazi (decimalni, binarni, petostruki, itd.).
U radixu q (q-arnog numeričkog sistema), jedinice cifara su sekvencijalne stepene broja q, drugim riječima, q jedinice bilo koje kategorije čine jedinicu sljedeće kategorije.
Za upisivanje brojeva q-aich numerički sistem je potreban q razni znakovi (cifre) koji predstavljaju brojeve 0, 1, ..., q – 1.
Prema tome, osnova pozicionog brojevnog sistema jednaka je broju simbola (znakova) u njegovom alfabetu. Snimite broj q v q-arni brojevni sistem ima oblik 10.
Primjer 1. Oktalni sistem brojeva.
baza: q = 8.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7.
Brojevi: na primjer, 45023.152 8; 751.001 8.
Primjer 2. Petostruki sistem brojeva .
baza: q = 5.
Abeceda: 0, 1, 2, 3 i 4.
Brojevi: na primjer, 20304 5; 324,03 5.
Primjer 3. Heksadecimalni sistem brojeva.
baza: q = 16.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Ovdje samo deset od šesnaest cifara ima općeprihvaćenu oznaku 0-9. Za pisanje ostalih znakova abecede (10, 11, 12, 13, 14 i 15) obično se koristi prvih pet slova latinice.
Brojevi: na primjer, B5C3.1A2 16; 355.0FA01 8.
U pozicijskom brojevnom sistemu, svaki realan broj se može predstaviti u sljedećem obliku:
A q = ±( a n–1 × q n –1 + a n–2 × q n –2 +…+ a 0 × q 0 + a–1 × q –1 + a–2 × q –2 +…+ a –m × q –m), (1) ili ±.
Evo A - sam broj; q - radix;
i ja- brojevi koji pripadaju azbuci datog brojevnog sistema; NS - broj cijelih cifara broja; T - broj razlomanih cifara broja.
Proširivanje broja po formuli (1) se zove prošireni oblik snimanja ... Inače, ovaj oblik notacije se naziva polinom ili smireno.
Primjer 1. Decimala A 10 = 5867,91 prema formuli (1) je predstavljen na sljedeći način:
A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.
Primjer 2. Formula (1) za oktalni brojevni sistem je:
A 8 = ± ( a n–1 × 8 n –1 + a n–2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 8 0 + a–1 × 8 –1 + a–2 × 8 –2 +… + a –m× 8 - m),
gdje i ja- brojevi 0–7.
Oktalni broj A 8 = 7064,3 u obliku (1) biće zapisan na sledeći način:
A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.
Primjer 3. Pet broj A 5 = 2430,21 prema formuli (1) biće zapisano na sljedeći način:
A 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5 "+ 0 × 5 ° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.
Procjenom ovog izraza možete dobiti decimalni ekvivalent navedenog petostrukog broja: 365,44 10.
Primjer 4. Heksadecimalni zapis je 3 AF 16 znači:
3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.
