Pogledajmo jedan od glavne teme u informatici - . U školski kurikulum otkriva se prilično "skromno", najvjerojatnije zbog manjka predviđenih sati za to. Znanje o ovoj temi, posebno na prijevod brojevnih sustava, su preduvjet za uspješan položen ispit i upis na sveučilišta na odgovarajućim fakultetima. Ispod detaljno pojmove kao što su pozicioni i nepozicijski brojevni sustavi, dati su primjeri ovih brojevnih sustava, pravila za pretvaranje cjelobrojnih decimalnih brojeva, regularnih decimalnih razlomaka i mješovitih decimalnih brojeva u bilo koji drugi brojevni sustav, pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni, pretvaranje iz oktalnog i heksadecimalnog brojevnog sustava u binarni brojevni sustav predstavljeni. Na ispitima u u velikom broju postoje zadaci na ovu temu. Sposobnost njihovog rješavanja jedan je od uvjeta za prijavitelje. Uskoro: Za svaku temu rubrike, uz detaljan teorijski materijal, gotovo sve moguće opcije zadataka za samostalno istraživanje. Osim toga, imat ćete priliku potpuno besplatno preuzeti gotove datoteke s servisa za dijeljenje datoteka. detaljna rješenja na ove zadatke, ilustrirajući razne načine dobivanje točnog odgovora.
pozicioni brojevni sustavi.
Nepozicijski brojevni sustavi- brojevni sustavi u kojima kvantitativna vrijednost znamenke ne ovisi o njezinom mjestu u broju.
Nepozicijski brojevni sustavi uključuju, na primjer, rimski, gdje umjesto brojeva - slova.
| ja | 1 (jedan) |
| V | 5 (pet) |
| x | 10 (deset) |
| L | 50 (pedeset) |
| C | 100 (sto) |
| D | 500 (petsto) |
| M | 1000 (tisuću) |
Ovdje slovo V znači 5, bez obzira na njegovo mjesto. No, vrijedno je spomenuti da iako je rimski brojčani sustav klasičan primjer nepozicionog brojevnog sustava, on nije u potpunosti nepozicionalan, jer. manji broj prije nego što se od njega oduzima veći:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
pozicioni brojevni sustavi.
Pozicijski brojevni sustavi- brojevni sustavi u kojima kvantitativna vrijednost znamenke ovisi o njezinom mjestu u broju.
Na primjer, ako govorimo o decimalnom brojevni sustav, tada u broju 700 broj 7 znači "sedam stotina", ali ista brojka u broju 71 znači "sedam desetica", a u broju 7020 - "sedam tisuća".
Svaki pozicijski brojevni sustav ima svoje baza. Baza je prirodni broj veći ili jednak dva. Jednako je broju znamenki koje se koriste u ovom brojevnom sustavu.
- Na primjer:
- Binarni- pozicijski brojevni sustav s bazom 2.
- kvartar- pozicijski brojevni sustav s bazom 4.
- pet puta- pozicijski brojevni sustav s bazom 5.
- oktalni- pozicijski brojevni sustav s bazom 8.
- Heksadecimalni- pozicijski brojevni sustav s bazom 16.
Za uspješno rješavanje zadataka na temu "Brojveni sustavi", učenik mora napamet znati korespondenciju binarnih, decimalnih, oktalnih i heksadecimalnih brojeva do 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Korisno je znati kako se brojevi dobivaju u tim brojevnim sustavima. To možete pogoditi u oktalnom, heksadecimalnom, ternarnom i drugom pozicioni brojevni sustavi sve se događa slično nama poznatom decimalnom sustavu:
Broju se dodaje jedan i dobiva se novi broj. Ako mjesto jedinica postane jednako bazi brojevnog sustava, povećavamo broj desetica za 1, i tako dalje.
Upravo je ta "tranzicija jednog" ono što plaši većinu studenata. Zapravo, sve je prilično jednostavno. Prijelaz se događa ako znamenka jedinica postane jednaka baza brojevnog sustava, povećavamo broj desetica za 1. Mnogi se, prisjećajući se dobrog starog decimalnog sustava, odmah zbune u pražnjenju i u ovom prijelazu, jer su decimalne i npr. binarne desetice različite stvari.
Dakle, snalažljivi učenici imaju "svoje metode" (iznenađujuće ... rade) kada ispunjavaju, na primjer, tablice istinitosti, čiji su prvi stupci (vrijednosti varijabli) zapravo ispunjeni binarnim brojevima u rastućem redoslijedu .
Na primjer, pogledajmo unos brojeva oktalni sustav: Prvom broju (0) dodamo 1, dobijemo 1. Zatim 1 dodamo 1, dobijemo 2, itd. do 7. Ako 7 dodamo jedan, dobivamo broj jednak bazi brojevnog sustava, t.j. 8. Zatim trebate povećati znamenku desetica za jedan (dobivamo oktalnu deseticu - 10). Sljedeći su, očito, brojevi 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
pravila za pretvorbu iz jednog brojevnog sustava u drugi.
1 Pretvorite cjelobrojne decimalne brojeve u bilo koji drugi brojevni sustav.
Broj se mora podijeliti sa nova brojevna baza. Prvi ostatak dijeljenja je prva najmanja znamenka novog broja. Ako je kvocijent dijeljenja manji ili jednak novoj bazi, tada se on (količnik) mora ponovno podijeliti s novom bazom. Dijeljenje se mora nastaviti sve dok ne dobijemo kvocijent manji od nove baze. Ovo je najviša znamenka novog broja (morate zapamtiti da, na primjer, u heksadecimalnom sustavu slova slijede nakon 9, odnosno ako ste dobili 11 u ostatku, trebate ga napisati kao B).
Primjer ("podjela kutom"): Prevedimo broj 173 10 u oktalni sustav računanje.
Dakle, 173 10 \u003d 255 8
2 Pretvaranje točnih decimalnih razlomaka u bilo koji drugi brojevni sustav.
Broj se mora pomnožiti s novom bazom brojevnog sustava. Znamenka koja je prešla u cijeli broj je najviša znamenka razlomka novog broja. da bi se dobila sljedeća znamenka, razlomak dobivenog proizvoda mora se ponovno pomnožiti s novom bazom brojevnog sustava sve dok ne dođe do prijelaza na cijeli broj. Nastavljamo množenje sve dok razlomak ne postane jednak nuli, odnosno dok ne postignemo točnost navedenu u zadatku ("... izračunaj s točnošću od, na primjer, dva decimalna mjesta").
Primjer: Prevedimo broj 0,65625 10 u oktalni brojevni sustav.
Metodički komentar lekcije
Ciljevi nastavnika: Pokazati učenicima metode integriranja znanja iz različitih izvora, stvoriti uvjete za produktivan rad u skupinama.
Ciljevi učenika: Upoznati povijest nastanka brojevnih sustava, naučiti principe konstruiranja različitih brojevnih sustava i područja njihove uporabe, steći potrebne vještine timski rad s raznim izvorima informacija.
Na satu matematike u 5. razredu, dok su rješavali zadatak vezan za razlaganje višeznamenkastih brojeva u znamenke, učenici su imali pitanja: „Zašto brojimo s deseticama? Zašto se to ne može smatrati drugačije? Postoje li drugi načini brojanja? Učiteljica je zamoljena da odgovore na ova pitanja pronađe tražeći, analizirajući i sažimajući informacije o ovoj temi tijekom tjedna, radeći u malim grupama formiranim od učenika razreda po želji. Rezultate ovog rada treba formalizirati i prezentirati na satu matematike za tjedan dana. Na kraju sata, razred je podijeljen u sljedeće kreativne grupe:
- Brojevni sustavi ( opći pojmovi) - 5 osoba
- Binarni sustav - 7 ljudi (ovo je pitanje potaknulo najveći interes)
- Heksadecimalni sustav - 5 osoba
- Decimalni sustav - 5 osoba
- Ostali brojčani sustavi - 3 osobe
- Prebacivanje iz jednog sustava u drugi - 5 ljudi.
Kao rezultat aktivnosti pretraživanja učenika, dobivena je sljedeća lekcija:
“Brojevi ne vladaju svijetom, nego pokazuju kako se svijetom vlada”
(Ja-U Goetheu)
Grupe učenika prezentirale su rezultate tragačkog i analitičkog rada.
I - Opći pojmovi
Brojevni sustav je skup metoda za označavanje brojeva - jezik čija su abeceda simboli (brojevi) i sintaksa - pravilo koje omogućuje nedvosmisleno formuliranje zapisa brojeva.
Broj je neki apstraktni entitet za opisivanje količine
Znamenka je znak koji se koristi za pisanje brojeva. Brojevi su različiti, najčešći su arapski brojevi; manje uobičajeni rimski brojevi (mogu se vidjeti na satu ili u oznaci stoljeća)
Baza je broj znamenki korištenih u brojevnom sustavu.
Primjeri brojeva u različitim brojevnim sustavima:
11001 2 – binarni broj
221 3 - broj u ternarnom brojevnom sustavu
31 8 - broj u oktalnom brojevnom sustavu
25 10 - broj u decimalnom brojevnom sustavu
U starim knjigama iz aritmetike, osim 4 računske operacije, spominje se i peta – numeriranje. Numeracija (račun) bila je jedan od prvih problema s kojima se susreće u konstrukciji aritmetike.
Postoji mnogo načina za pisanje brojeva pomoću brojeva. Ove metode se mogu podijeliti u tri skupine:
- pozicioni brojevni sustavi
- mješoviti brojevni sustavi
- nepozicioni brojevni sustavi
Novčanice su primjer mješovitog brojevnog sustava. Sada se u Rusiji koriste kovanice i novčanice sljedećih apoena: 1 kopejka, 5 kopejki, 10 kopejki, 50 kopejki, 1 rublja, 2 rublje, 5 rubalja, 10 rubalja, 50 rubalja, 100 rubalja, 500 rubalja, 10000 rubalja, rubalja. Da biste dobili određeni iznos u rubljama, trebate upotrijebiti određenu količinu novčanica različitih apoena. Pretpostavimo da kupujemo usisivač koji košta 6379 rubalja. Da biste platili kupnju, trebat će vam 6 novčanica od 1000 rubalja, 3 novčanice od 100 rubalja, 1 novčanica od pedeset rubalja, dvije desetke, jedna novčanica od pet rubalja i dva novčića od 2 rublje. Ako zapišemo broj novčanica i kovanica, počevši od 100 rubalja i završavajući s jednom kopejkom, zamjenjujući nedostajuće apoene s nulama, tada ćemo dobiti broj predstavljen u mješovitom brojevnom sustavu: u našem slučaju, 603121200000.
U nepozicionim brojevnim sustavima vrijednost broja ne ovisi o položaju znamenki u unosu broja. Kad bismo pomiješali brojeve u broju 603121200000, onda ne bismo mogli shvatiti koliko košta usisavač; u ne pozicijski sustav Brojevi se mogu preurediti bez promjene iznosa. Primjer nepozicioniranog sustava je rimski sustav. Takvi su sustavi izgrađeni na principu aditivnosti (engleski add. - zbroj). Kvantitativni ekvivalent broja definiran je kao zbroj znamenki. Na primjer:
U pozicionim brojevnim sustavima redoslijed znamenki u unosu broja uvijek je važan. (25 i 52 su različiti brojevi)
Svaki brojevni sustav namijenjen za praktičnu upotrebu mora osigurati:
- sposobnost predstavljanja broja u zadanom rasponu brojeva
- jednoznačnost reprezentacije
- kratkoća i lakoća pisanja
- jednostavnost svladavanja sustava, kao i jednostavnost i praktičnost upravljanja njime
II - Binarni brojevni sustav
Binarni brojevni sustav je pozicijski brojevni sustav s bazom 2. U ovom brojevnom sustavu prirodni brojevi se pišu pomoću dva simbola: 1 i 0. Znamenka binarni sustav- malo. Osam znamenki je bajt.
Binarni brojevni sustav izumili su matematičari i filozofi još u 17.-19. stoljeću. Izvanredni matematičar Leibniz rekao je: “Računanje uz pomoć dvojki... glavno je za znanost i stvara nova otkrića... Kada se brojevi svedu na najjednostavnije početke, a to su 0 i 1, posvuda se pojavljuje prekrasan poredak. ” Kasnije je binarni sustav zaboravljen, a tek je 1936.-1938. američki inženjer i matematičar Claude Shannon pronašao izvanrednu primjenu binarnog sustava u dizajnu elektroničkih sklopova.
Binarni sustav se koristi u digitalnim uređajima jer je najjednostavniji.
Prednosti binarnog sustava:
- Što je manje vrijednosti u sustavu, to je lakše napraviti pojedinačni elementi djelujući na tim vrijednostima. Dvije znamenke se lako predstavljaju fizičke pojave: ima struje - nema struje; indukcija magnetsko polje veća od granične vrijednosti ili ne, itd.
- Što manje stanja element ima, to je veća otpornost na buku i brže može raditi.
- Binarna aritmetika je prilično jednostavna.
- Moguće je koristiti logički aparat za izvođenje bitskih operacija
Za pretvaranje iz binarnog u decimalni, koristi se tablica potencija 2.
III - Heksadecimalni brojevni sustav
U Moderna vremena seksagezimalni brojevni sustav koristi se za mjerenje vremena, kutova.
U prikazu vremena koriste se tri pozicije: sati, minute, sekunde, budući da za svaku poziciju moramo koristiti 60 znamenki, a imamo samo 10, onda se za svaku koriste dvije decimalne znamenke (00, 01, ...). seksagezimalni položaj, položaji su odvojeni dvotočkom. h:m:s.
Razmotrite radnje u seksagezimskom brojevnom sustavu na dva zadatka:
- Kolač je potrebno peći u pećnici 45 minuta. Koliko će to sekundi trajati?
- Potrebno je ispeći 10 pita. Koliko će vremena trebati?
Za izračune u seksagezimskom brojevnom sustavu morate poznavati tablice zbrajanja i množenja seksagezimalnih brojeva. Svaka tablica je jako velika, veličine je 60 * 60, jedva smo se sjetili uobičajene tablice množenja, a bit će nam puno teže naučiti seksagezimalnu tablicu. Kako biti? Te probleme možete riješiti u decimalnom brojevnom sustavu, a zatim rezultat prevesti u seksagezimalni.
45 minuta=0*3600+45*60+0= 2700 sekundi
2700*10=27000 sekundi bit će potrebno da se ispeče 10 pita.
27000/60=450 (ostatak 0)
450/60=7 (ostatak 30)
7/60=0 (ostatak 7) Ispalo je 07:30:00
IV - Decimalni brojevni sustav
Predstavljanje brojeva arapskim brojevima najčešći je pozicijski brojevni sustav, naziva se "dekadski brojevni sustav". Naziva se decimalnim jer koristi deset znamenki: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Najviše je decimalni brojevni sustav poznato dostignuće Indijska matematika (595). Sustav baze 10 prodro je karavanskim putevima od Indije do mnogih područja Bliskog istoka. Postupno se ovaj sustav počeo sve više koristiti u arapskom svijetu, iako su ostali sustavi ostali u uporabi u isto vrijeme. "Knjiga o abakusu" Leonarda iz Pize (1202.) bila je jedan od izvora prodora indoarapskog brojevnog sustava u Zapadnu Europu. Ova je knjiga za ono vrijeme bila grandiozno djelo, u tiskanom obliku imala je 460 stranica. Njegov je autor poznat i pod imenom Fibonacci. Njegova knjiga predstavljala je matematičku enciklopediju svog vremena. Decimalni sustav postao je raširen i priznat u Europi tek tijekom renesanse.
V - Ostali brojevni sustavi
Heksadecimalni brojevni sustav - za pisanje brojeva koriste se sljedeći znakovi: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.
Binarni decimalni sustav računanje. U takvom sustavu svaka decimalna znamenka je kodirana određena kombinacija binarne znamenke. Oznaka svake decimalne znamenke naziva se tetrada. Primjer:
125 10 =000100100101 2-10 (3 tetrade)
0000=1 0100=4 1000=8
0001=1 0101=5 1001=9
Peterostruki brojevni sustav - Prvi matematičari mogli su brojati samo na prste jedne ruke, a ako bi bilo više objekata, rekli bi ovo: "pet + jedan" itd. Ponekad se kao osnova uzimao broj 20 - broj prstiju na rukama i nogama. Od 307 brojevnih sustava primitivnih američkih naroda, 146 su bili decimalni, 106 kvinarni i decimalni. U karakterističnijem obliku, sustav baza 20 postojao je među Majama u Meksiku i među Keltima u Europi.
VI - Prijenos iz jednog sustava u drugi
Jesu li sustavi brojeva povezani? Je li moguće prevesti broj iz jednog sustava u drugi? Postoje dva glavna pravila za prijenos s jednog sustava na drugi:
Prijevod iz bilo kojeg drugog u decimalni sustav provodi se prema formulama:
11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10
221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10
31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10
25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10
Pretvorba broja iz decimalnog sustava u sustav s bilo kojom bazom provodi se prema algoritmu:
25 10 pretvoriti u binarni broj
25/2=12 (ostatak 1)
12/2=6 (ostatak 0)
6/2=3 (ostatak 0)
3/2=1 (ostatak 1)
1/2=0 (ostatak 1) Dobili smo broj 11001 2
25 10 pretvoriti u ternarni broj
25/3=8 (ostatak 1)
8/3=2 (ostatak 2)
2/3=0 (ostatak 2) Primljeno 221 3
25 10 pretvoriti u oktalni broj
25/8=3 (ostatak 1)
3/8=0 (ostatak 3) Dobili smo 31 8
Nakon predstavljanja rezultata rada kreativnih skupina, svi brojevni sustavi ocijenjeni su prema kriterijima navedenim na početku, te su svi došli do zaključka da je kao rezultat povijesnog razvoja matematike najpogodniji sustav (decimalni) postao najčešći. Istodobno, bilo je gorljivih pristaša binarnog sustava, koji su smatrali da je on vrlo važan za elektroniku.
Nastava je završena sinkvinom.
Brojevni sustav je zgodan, brz, pomaže, broji, bilježi
“Brojenje i izračuni su osnova reda u glavi” (I. Pestalozzi)
Izvori informacija
- D.Ya. Stroik "Kratak esej o povijesti matematike" ("Nauka", Moskva, 1990.).
- N.Ya. Vilenkin, L.P. Šibasov, Z.F. Shibasov "Iza stranica udžbenika matematike" ("Prosveshchenie", Moskva, 2008).
- A.V. Dorofejev „Stranice povijesti u nastavi matematike“ („Prosvjeta“, Moskva, 2007).
- Internetski resursi "Wikipedia".
brojevni sustav je skup metoda za imenovanje i pisanje brojeva. U bilo kojem brojevnom sustavu odabrani su određeni simboli koji predstavljaju brojeve (oni se nazivaju figure), a ostali brojevi dobivaju se kao rezultat bilo kakvih operacija nad znamenkama ovog brojevnog sustava.
Sustav se zove pozicijski ako se vrijednost svake znamenke (njezina težina) mijenja ovisno o njezinom položaju (poziciji) u nizu znamenki koje predstavljaju broj.
Zove se broj jedinica bilo koje kategorije, kombiniranih u jedinicu višeg reda baza pozicijskog brojevnog sustava. Ako je broj takvih znamenki P, tada se zove brojevni sustav P-ichny. Baza brojevnog sustava jednaka je broju znamenki koje se koriste za pisanje brojeva u tom brojevnom sustavu.
Snimanje proizvoljan broj x u P-aran položajni brojevni sustav temelji se na prikazu ovog broja kao polinom
x = a n P n + a n -1 P n -1 + ... + a 1 P 1 + a 0 P 0 + a -1 P -1 + ... + a -m P -m
Aritmetičke operacije nad brojevima u bilo kojem pozicijskom brojevnom sustavu izvode se prema istim pravilima kao i u decimalnom sustavu, budući da se sve temelje na pravilima za izvođenje operacija nad odgovarajućim polinomima. U ovom slučaju trebate koristiti samo one tablice zbrajanja i množenja koje odgovaraju ovoj bazi. P brojevni sustavi.
Pri pretvaranju brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u sustav s bazom P> 1 obično koristi sljedeći algoritam:
1) ako je cijeli broj preveden, tada se dijeli sa P, nakon čega se pohranjuje ostatak dijeljenja. Rezultirajući kvocijent ponovno se dijeli sa P, ostatak se pamti. Postupak se nastavlja sve dok kvocijent ne postane nula. Ostaci nakon dijeljenja po P izdaju se obrnutim redoslijedom od njihova primitka;
2) ako je razlomak broja preveden, onda se množi s P, nakon čega se cijeli broj pohranjuje i odbacuje. Novodobljeni razlomak se množi sa P itd. Postupak se nastavlja sve dok ne postane frakcijski dio nula. Cjelobrojni dijelovi se ispisuju iza zareza redoslijedom kojim su primljeni. Rezultat može biti konačan ili periodični razlomak u brojevnom sustavu s bazom P. Stoga, kada je razlomak periodičan, morate u nekom koraku odrezati množenje i zadovoljiti se približnim zapisom izvornog broja u sustavu s bazom P .
Kodiranje brojeva
Da biste koristili brojeve, trebate ih nekako imenovati i napisati, potreban vam je sustav numeriranja. Različiti sustavi brojanja i pisanja brojeva koegzistirali su i natjecali se jedni s drugima tisućama godina, ali do kraja "predkompjuterske ere" broj "deset" je počeo igrati posebnu ulogu u brojanju, a popularni sustav pokazalo se kodiranje pozicijski decimalni sustav. U ovom sustavu vrijednost znamenke u broju ovisi o njenom mjestu (poziciji) unutar broja. Dekadski brojevni sustav došao je iz Indije (najkasnije od 6. stoljeća nove ere). Abeceda ovog sustava: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - ukupno ima 10 znamenki, pa je baza brojevnog sustava 10. Broj se piše kao kombinacija jedinica, desetica, stotina, tisuća itd. Primjer: 1998=8*10 0 + 9*10 1 + 9*10 2 + 1*10 3 .
U ovom sustavu postoji 10 znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ali informaciju ne nosi samo broj, već i mjesto na kojem broj stoji (da je, njegov položaj). Krajnja desna znamenka broja pokazuje broj jedinica, druga s desne strane - broj desetica, sljedeća - broj stotina itd.
333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3
Imajte na umu da se izbor broja 10 kao baze brojevnog sustava objašnjava tradicijom, a ne nekim izvanrednim svojstvima broja 10. Općenito, prikaz broja N u p-arnom brojevnom sustavu, ovaj:
N=a n *p n +a n-l *p n-l +...+a l *p l +a o , gdje ali ¹ 0, ali i Î {0, 1, 2, ..., ali i }.
U Babilonu se, na primjer, koristio 60-decimalni brojevni sustav, abeceda je sadržavala brojeve od 1 do 59, nije bilo broja 0, tablice množenja bile su vrlo glomazne, pa je vrlo brzo zaboravljen, ali odjeci njegove nekadašnje rasprostranjenosti mogu promatrajte sada - podjelu sata za 60 minuta, dijeleći krug na 360 stupnjeva.
Binarni brojevni sustav
Binarni brojevni sustav izumili su matematičari i filozofi još prije pojave računala (XVII - XIX stoljeće). Izvanredni matematičar Leibniz rekao je: "Računanje uz pomoć dvojki... temeljno je za znanost i stvara nova otkrića... Kada se brojevi svedu na najjednostavnija načela, a to su 0 i 1, posvuda se pojavljuje prekrasan poredak." Kasnije je binarni sustav zaboravljen, a tek je 1936. - 1938. američki inženjer i matematičar Claude Shannon pronašao izvanredne primjene binarnog sustava u dizajnu elektroničkih sklopova. Razmotrimo primjer predstavljanja broja u binarnom sustavu:
Primjer 2.1.1. Pretvorimo broj 2000 u binarni sustav.
1. Podijelite 2000 s osnovom novog brojevnog sustava - 2:
2000:2=1000(0 - ostatak),
2. Sakupljamo zadnji količnik dijeljenja (uvijek jednak 1) i ostatak dijeljenja i zapisujemo ih redom, počevši od dna:
2000 10 ==11111010000 2
Da bismo provjerili, prevest ćemo rezultirajući broj u decimalni brojevni sustav, za ovo:
1. Odaberite binarne znamenke broja, odnosno snagu broja 2, počevši od 0:
2. Napiši zbroj umnožaka 0 i 1 odgovarajućom potencijom broja 2 (vidi prikaz broja u p-arnom brojevnom sustavu):
0*2 0 +0*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +l*2 4 +0*2 5 +l*2 6 +l*2 7 +l*2 8 +l*2 9 + l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000
Postoje brojevni sustavi povezani s binarnim. Kada radite s računalima, ponekad morate imati posla s binarnim brojevima, budući da su binarni brojevi ugrađeni u dizajn računala. Binarni sustav je prikladan za računalo, ali nezgodan za osobu - preduge brojeve je nezgodno zapisati i zapamtiti. U pomoć dolaze brojevni sustavi, vezani za binarni – oktalni i heksadecimalni.
Na primjer, u heksadecimalnom sustavu za pisanje brojeva koristi se 10 arapskih brojeva i slova. latinično pismo(A B C D E F). Za pisanje broja u ovom brojevnom sustavu zgodno je koristiti binarni prikaz brojevima. Uzmimo za primjer isti broj - 2000 ili 11111010000 u binarnom sustavu. Podijelimo ga na četiri znaka, pomičući se s desna na lijevo, u zadnja četiri lijevo dodijelimo beznačajnu 0 tako da broj znakova u trozvucima bude četiri: 0111 1101 0000. Krenimo s prijevodom - broj 0111 u binarni sustav odgovara broju 7 u decimalnom sustavu (7 10 \u003d 1 * 2 0 +1*2 1 +1*2 2), u heksadecimalnom brojevnom sustavu postoji znamenka 7; broj 1101 u binarnom sustavu odgovara broju 13 u decimalnom sustavu (13=1*2 0 + 0*2 1 + 1*2 2 + 1*2 3), u heksadecimalnom sustavu ovaj broj odgovara znamenki D, i, konačno, broj 0000 - u bilo kojem brojevnom sustavu 0. Sada pišemo rezultat:
11111010000 2 = 7D0 16 .
TWELUX I OKTALNI BROJEVNI SUSTAVI
Iako je decimalni sustav najčešće korišten, to ne znači da je najbolji. Široka rasprostranjenost uvelike je posljedica anatomske okolnosti da na rukama i stopalima imamo deset prstiju i deset prstiju. Što se tiče pozicijskog principa i digitalnih oznaka, oni se jednako dobro mogu prilagoditi brojevnom sustavu s bilo kojom osnovom, bez obzira na to je li ona jednaka 2, 10 ili bilo kojem drugom pozitivnom cijelom broju osim jedan. Na primjer, zamjena u polinomski prikaz 7 x 2 + 6x 1 + 5x 0 + 4x –1 + 3x-2 umjesto toga x vrijednost 10, dobivamo broj 765,43 u našem uobičajenom decimalnom sustavu. Ali bez imalo štete po pozicijsko načelo označavanja cijelih brojeva i razlomaka umjesto x Također možete zamijeniti bilo koji drugi pozitivan cijeli broj. Umjesto broja 10 kao baze brojevnog sustava najčešće se predlagalo korištenje brojeva 8 i 12. Sustavi koji nastaju takvim zamjenama poznati su kao oktalni i duodecimalni. U oktalnom sustavu umjesto varijable x u polinomskom prikazu, zamijenite 8, a onda će broj jednak 765,43 u decimalnom sustavu, u oktalnom sustavu biti jednak (8 2) + 6(8 1) + 5(8 0) + 4(8 -1) + 3 ( 8–2), tj. broj. U duodecimalu, isti polinomski prikaz za x= 12 daje (12 2) + 6(12 1) + 5(12 0) + 4(12 -1) + 3(12 -2), ili u našem uobičajenom zapisu. Što se tiče računanja, ona se u sva tri brojevna sustava, decimalnom, oktalnom i duodecimalnom, izvode gotovo na isti način i s jednakom lakoćom. Razlika je uglavnom u tablicama zbrajanja i množenja, jer se one mijenjaju iz jednog brojevnog sustava u drugi. Na primjer, sedam plus sedam jednako je osam plus šest u oktalnom, deset plus četiri u decimalnom i dvanaest plus dva u duodecimalu. Simbolično, ovi zbroji i proizvodi mogu se zapisati na sljedeći način:Vidimo da prijelaz s decimalnog na oktalni ili duodecimalni sustav zahtijeva potpunu reviziju tablica zbrajanja i množenja; ovo objašnjava zašto prijedlozi za prelazak na ove brojevne sustave nisu bili široko prihvaćeni. Prednosti ove tranzicije nadoknađuju se poteškoćama koje s njim dolaze. Glavne prednosti oktalnog i duodecimalnog brojevnog sustava odnose se na djeljivost njihovih baza. Uzimajući u obzir samo cijele brojeve manje od polovice baze (budući da nijedan broj ne može biti djelitelj baze ako je taj broj veći od polovice baze, ali manji od nje), lako je razumjeti da broj 10 ima dva tjedna - brojeve 3 i 4, dok je u oktalnom sustavu jedini nedjelitelj manji od polovice baze broj 3, au duodecimalnom sustavu jedini nedjelitelj baze je broj 5. Drugim riječima, prednost broj 12 kao baza brojevnog sustava je taj da ima djelitelje brojeva 2, 3, 4 i 6, dok broj 10 ima djelitelje 2 i 5. Broj 8 ima djelitelje samo 2 i 4, ali njegov glavna prednost u odnosu na druge je da kontinuirana bisekcija uvijek vodi do "jednostrukog" razlomka u polinomskom obliku. Na primjer, ako je 8 podijeljeno s 2 10 , tada je rezultat točno (0,004) 8 , dok ako se 12 podijeli s 2 10 , tada dobivate (približno) (0,0183) 12 , a ako podijelite s 2 10 broj 10 je (također približno) bit će jednako (0,0097656) 10 .
Proučavajući kodiranja, shvatio sam da ne razumijem dovoljno dobro sustave brojeva. Ipak, često je koristio 2-, 8-, 10-, 16-ti sustav, prevodio jedan u drugi, ali sve se radilo na "automatski". Nakon što sam pročitao mnoge publikacije, iznenadio sam se nedostatkom niti jedne napisane prostim jezikom, članci o takvom osnovnom materijalu. Zato sam odlučio napisati svoju, u kojoj sam pokušao na pristupačan i uredan način predstaviti osnove brojevnih sustava.
Uvod
Notacija je način pisanja (predstavljanja) brojeva.Što se pod tim misli? Na primjer, vidite nekoliko stabala ispred sebe. Vaš zadatak je da ih prebrojite. Da biste to učinili, možete saviti prste, napraviti zareze na kamenu (jedno stablo - jedan prst / usjek) ili spojiti 10 stabala s nekim predmetom, na primjer, kamenom, i jednu kopiju štapićem i položiti ih na mljeveno kako vi brojite. U prvom slučaju, broj je predstavljen kao linija savijenih prstiju ili zareza, u drugom - sastav kamenja i štapića, gdje su kamenje na lijevoj strani, a štapići na desnoj strani.
Brojevni sustavi se dijele na pozicijske i nepozicione, a pozicione, pak, na homogene i mješovite.
nepozicionaran- najstariji, u njemu svaka znamenka broja ima vrijednost koja ne ovisi o njegovom položaju (znamenka). Odnosno, ako imate 5 crtica, onda je broj također 5, jer svaka crtica, bez obzira na svoje mjesto u retku, odgovara samo 1 jednoj stavci.
Pozicijski sustav- vrijednost svake znamenke ovisi o njenoj poziciji (znamenka) u broju. Na primjer, 10. brojevni sustav, koji nam je poznat, je pozicijski. Razmotrimo broj 453. Broj 4 označava broj stotina i odgovara broju 400, 5 - broju desetica i sličan je vrijednosti 50, a 3 - jedinicama i vrijednosti 3. Kao što vidite, što je veći znamenku, to je veća vrijednost. Konačni broj može se predstaviti kao zbroj 400+50+3=453.
homogeni sustav- za sve znamenke (pozicije) broja, skup valjanih znakova (znamenaka) je isti. Kao primjer, uzmimo 10. sustav spomenut ranije. Prilikom pisanja broja u homogenom 10. sustavu, u svakoj znamenki možete koristiti samo jednu znamenku od 0 do 9, pa je dopušten broj 450 (1. znamenka - 0, 2. - 5, 3. - 4), ali 4F5 nije, budući da znak F nije dio znamenki od 0 do 9.
mješoviti sustav- u svakoj znamenki (poziciji) broja skup valjanih znakova (brojeva) može se razlikovati od skupova ostalih znamenki. Upečatljiv primjer je sustav mjerenja vremena. U kategoriji sekundi i minuta moguće je 60 različitih znakova (od "00" do "59"), u kategoriji sati - 24 različiti likovi(od "00" do "23"), u pražnjenju dana - 365, itd.
Nepozicijski sustavi
Čim su ljudi naučili brojati, pojavila se potreba za bilježenjem brojeva. U početku je sve bilo jednostavno - zarez ili crtica na nekoj površini odgovarala je jednom predmetu, na primjer, jednom voću. Tako se pojavio prvi brojevni sustav - jedinica.Brojevni sustav jedinica
Broj u ovom brojevnom sustavu je niz crtica (štapića), čiji je broj jednak vrijednosti zadanog broja. Dakle, usjev od 100 datulja bit će jednak broju koji se sastoji od 100 crtica.Ali ovaj sustav ima očite neugodnosti - što je veći broj, to je duži niz štapića. Osim toga, lako možete pogriješiti prilikom pisanja broja ako slučajno dodate dodatni štapić ili ga, obrnuto, ne dodate.
Radi praktičnosti, ljudi su počeli grupirati štapiće po 3, 5, 10 komada. Pritom je svaka skupina odgovarala određenom znaku ili objektu. U početku su se za brojanje koristili prsti, pa su se prvi znakovi pojavili za grupe od 5 i 10 komada (jedinica). Sve je to omogućilo stvaranje više prikladni sustavi unose brojeva.
staroegipatski decimalni sustav
U starom Egiptu su se posebni znakovi (brojevi) koristili za označavanje brojeva 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Ovo su neki od njih:Zašto se zove decimalni? Kao što je gore napisano - ljudi su počeli grupirati simbole. U Egiptu su odabrali grupu od 10, a broj "1" je ostao nepromijenjen. U ovaj slučaj, broj 10 naziva se baza decimalnog brojevnog sustava, a svaki simbol je u određenoj mjeri prikaz broja 10.
Brojevi u staroegipatskom brojevnom sustavu napisani su kao njihova kombinacija
znakova, od kojih se svaki ponavljao najviše devet puta. Konačna vrijednost bila je jednaka zbroju elemenata broja. Vrijedi napomenuti da je ova metoda dobivanja vrijednosti karakteristična za svaki nepozicijski brojevni sustav. Primjer je broj 345:
Babilonski seksagezimalni sustav
Za razliku od egipatskog sustava, u babilonskom sustavu korištena su samo 2 simbola: "ravni" klin za jedinice i "ležeći" za desetice. Za određivanje vrijednosti broja potrebno je sliku broja podijeliti na znamenke s desna na lijevo. Novi iscjedak počinje pojavom ravnog klina nakon ležeg. Uzmimo broj 32 kao primjer:
Broj 60 i svi njegovi stupnjevi također su označeni ravnim klinom, kao i "1". Stoga je babilonski brojevni sustav nazvan seksagezimalnim.
Sve brojeve od 1 do 59 Babilonci su napisali u decimalnom nepozicionom sustavu, a velike vrijednosti- u položaju s bazom 60. Broj 92:
Zapis broja bio je dvosmislen, jer nije bilo znamenke za nulu. Prikaz broja 92 mogao bi značiti ne samo 92=60+32, već i, na primjer, 3632=3600+32. Za određivanje apsolutne vrijednosti broja uvedena je poseban karakter za označavanje seksagezimalne znamenke koja nedostaje, što odgovara izgledu znamenke 0 u decimalnom zapisu:
Sada broj 3632 treba napisati kao:
Babilonski seksagezimalni sustav je prvi brojevni sustav koji se dijelom temelji na pozicijskom principu. Ovaj sustav računanje se i danas koristi npr. kod određivanja vremena – sat se sastoji od 60 minuta, a minuta od 60 sekundi.
rimski sustav
Rimski se sustav ne razlikuje puno od egipatskog. Za označavanje brojeva 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000 koristi se velika latinična slova I, V, X, L, C, D i M. Broj u rimskom brojevnom sustavu je skup uzastopnih znamenki.Metode za određivanje vrijednosti broja:
- Vrijednost broja jednaka je zbroju vrijednosti njegovih znamenki. Na primjer, broj 32 u rimskom brojevnom sustavu je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Ako se lijevo od veće znamenke nalazi manji broj, tada je vrijednost jednaka razlici između veće i manje znamenke. Istodobno, lijeva znamenka može biti manja od desne za najviše jedan red: na primjer, ispred L (50) i C (100) od "mlađih" može stajati samo X (10), prije D (500) i M (1000) - samo C(100), prije V(5) - samo I(1); broj 444 u razmatranom brojevnom sustavu bit će zapisan kao CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Vrijednost je jednaka zbroju vrijednosti skupina i brojeva koji se ne uklapaju pod 1 i 2 boda.
1) slavenski
2) grčki (jonski)
Pozicijski brojevni sustavi
Kao što je već spomenuto, prvi preduvjeti za nastanak pozicijskog sustava pojavili su se u starom Babilonu. U Indiji je sustav imao oblik pozicijskog decimalnog numeriranja pomoću nule, a od Hindusa su ovaj sustav brojeva posudili Arapi, od kojih su ga preuzeli Europljani. Iz nekog razloga, u Europi je ovom sustavu dodijeljen naziv "Arap".Decimalni brojevni sustav
Ovo je jedan od najčešćih brojevnih sustava. To je ono što koristimo kada nazivamo cijenu robe i izgovaramo broj autobusa. U svakoj znamenki (poziciji) može se koristiti samo jedna znamenka iz raspona od 0 do 9. Osnova sustava je broj 10.Na primjer, uzmimo broj 503. Ako je ovaj broj zapisan u nepozicionom sustavu, tada bi njegova vrijednost bila 5 + 0 + 3 = 8. Ali imamo pozicijski sustav, što znači da svaka znamenka broja mora pomnožiti s bazom sustava, u ovom slučaju brojem “10”, podignutom na stepen jednak znamenkastom broju. Ispostavilo se da je vrijednost 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Kako bi se izbjegla zabuna kada istovremeni rad s nekoliko brojevnih sustava, baza je označena kao subscript. Dakle, 503 = 503 10 .
Osim decimalnog sustava, posebnu pozornost zaslužuju 2-, 8-, 16-ti sustavi.
Binarni brojevni sustav
Ovaj sustav se uglavnom koristi u informatiku. Zašto nisu počeli koristiti 10. na koji smo navikli? Prvi računski stroj stvorio je Blaise Pascal, koji je u njemu koristio decimalni sustav, što se pokazalo nezgodnim u modernim elektronički strojevi, budući da je zahtijevala proizvodnju uređaja sposobnih za rad u 10 država, što je povećalo njihovu cijenu i konačne dimenzije stroja. Ovi nedostaci su lišeni elemenata koji rade u 2. sustavu. Međutim, dotični sustav nastao je mnogo prije izuma računala i ide “korijenima” u civilizaciju Inka, gdje se koristio quipu - složeni pleksusi i čvorovi užadi.Binarni pozicijski brojevni sustav ima bazu od 2 i koristi 2 znaka (znamenke) za pisanje broja: 0 i 1. U svakom bitu dopuštena je samo jedna znamenka - 0 ili 1.
Primjer je broj 101. Sličan je broju 5 u decimalnom brojevnom sustavu. Za pretvorbu iz 2. u 10. potrebno je svaku znamenku binarnog broja pomnožiti s osnovom “2”, podignutom na stepen jednak znamenki. Dakle, broj 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .
Pa, za strojeve je prikladniji 2. brojevni sustav, ali često vidimo da koristimo brojeve u 10. sustavu na računalu. Kako onda stroj određuje koji broj korisnik upisuje? Kako prevodi broj iz jednog sustava u drugi, jer ima na raspolaganju samo 2 znaka - 0 i 1?
Da bi računalo radilo s binarnim brojevima (kodovima), oni moraju biti negdje pohranjeni. Za pohranjivanje svake pojedinačne znamenke koristi se okidač, tj elektronički sklop. Može biti u 2 stanja, od kojih jedno odgovara nuli, a drugo jedan. Za pohranu jednog broja koristi se registar - skupina okidača, čiji broj odgovara broju znamenki u binarnom broju. A skup registara je radna memorija. Broj sadržan u registru je strojna riječ. Aritmetika i logičke operacije riječima provodi aritmetičko-logička jedinica (ALU). Kako bi se pojednostavio pristup registrima, oni su numerirani. Broj se zove adresa registra. Na primjer, ako trebate dodati 2 broja, dovoljno je navesti brojeve ćelija (registra) u kojima se nalaze, a ne same brojeve. Adrese su zapisane u 8- i heksadecimalnom sustavu (o njima će biti riječi u nastavku), budući da je prijelaz s njih na binarni sustav i obrnuto prilično jednostavan. Za prijenos iz 2. u 8. broj potrebno ga je podijeliti u grupe od po 3 znamenke s desna na lijevo, te ići na 16. - po 4 znamenke. Ako u krajnjoj lijevoj skupini znamenki nema dovoljno znamenki, tada se slijeva popunjavaju nulama, koje se nazivaju vodećim. Uzmimo za primjer broj 101100 2. U oktalnom je 101 100 = 54 8, a u heksadecimalnom je 0010 1100 = 2C 16 . Super, ali zašto na ekranu vidimo decimalne brojeve i slova? Kada se pritisne tipka, određeni slijed električnih impulsa se prenosi na računalo, a svaki znak ima svoj slijed električnih impulsa (nula i jedinica). Poziva program upravljačkog programa tipkovnice i zaslona tablica kodova znakova (na primjer, Unicode, koji vam omogućuje kodiranje 65536 znakova), određuje kojem znaku odgovara primljeni kod i prikazuje ga na ekranu. Tako se tekstovi i brojevi pohranjuju u memoriju računala u binarnom kodu, i programski pretvaraju u slike na ekranu.
Oktalni brojevni sustav
Osmi brojevni sustav, kao i binarni, često se koristi u digitalna tehnologija. Ima bazu 8 i koristi znamenke od 0 do 7 za predstavljanje broja.Primjer oktalni broj: 254. Za pretvorbu u 10. sustav, svaka znamenka izvornog broja mora se pomnožiti s 8 n, gdje je n znamenkast broj. Ispada da je 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .
Heksadecimalni brojevni sustav
Heksadecimalni sustav se široko koristi u moderna računala, na primjer, određuje boju: #FFFFFF - bijela boja. Sustav koji se razmatra ima bazu 16 i koristi se za pisanje broja: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, gdje su slova 10, 11, 12, 13, 14, 15.Uzmimo za primjer broj 4F5 16. Za pretvaranje u oktalni sustav, prvo heksadecimalni broj pretvaramo u binarni, a zatim, razbijajući ga u skupine od 3 znamenke, u oktalni. Za pretvaranje broja u 2, svaka znamenka mora biti predstavljena kao 4-bitni binarni broj. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Ali u skupinama 1 i 3 nema dovoljno znamenke, pa popunimo svaku vodećim nulama: 0100 1111 0101. Sada moramo podijeliti rezultirajući broj u grupe od 3 znamenke s desna na lijevo: 0100 1111 0101 \u003d 0110 011 . 101. Prevedimo svaku binarnu grupu u oktalni sustav, množeći svaku znamenku s 2n, gdje je n broj znamenke: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Osim razmatranih pozicijskih brojevnih sustava, postoje i drugi, na primjer:
1) Ternarni
2) Kvartar
3) Duodecimalni
Pozicijski sustavi se dijele na homogene i mješovite.
Homogeni pozicijski brojevni sustavi
Definicija dana na početku članka prilično u potpunosti opisuje homogene sustave, pa je pojašnjenje nepotrebno.Mješoviti brojevni sustavi
Već datoj definiciji možemo dodati sljedeći teorem: „ako su P=Q n (P,Q,n cijeli brojevi pozitivni brojevi, dok su P i Q baze), tada se zapis bilo kojeg broja u mješovitom (P-Q)-tom brojevnom sustavu identično poklapa sa zapisom istog broja u brojevnom sustavu s bazom Q.”Na temelju teorema možemo formulirati pravila za prijenos s Pth na Q sustav i obrnuto:
- Za prijenos iz Q-tog u P-ti, potreban vam je broj u Q-tom sustavu, podijeljen u grupe od n znamenki, počevši od desna znamenka i zamijenite svaku grupu jednom znamenkom P-ti sustav.
- Za prijenos iz P-tog u Q-ti, potrebno je svaku znamenku broja u P-tom sustavu prevesti u Q-tu, a znamenke koje nedostaju popuniti vodećim nulama, osim lijeve, tako da svaki broj u osnovnom Q sustavu sastoji se od n znamenki .
Mješoviti brojevni sustavi su također, na primjer:
1) Faktorski
2) Fibonacci
Prijevod iz jednog brojevnog sustava u drugi
Ponekad trebate pretvoriti broj iz jednog brojevnog sustava u drugi, pa pogledajmo kako prevesti između različitih sustava.Decimalna konverzija
U brojevnom sustavu s bazom b postoji broj a 1 a 2 a 3. Za pretvaranje u 10. sustav, svaka znamenka broja mora se pomnožiti s b n, gdje je n znamenkasti broj. Dakle (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .Primjer: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Pretvaranje iz decimalnog brojevnog sustava u druge
cijeli dio:- Cjelobrojni dio decimalnog broja sukcesivno dijelimo s bazom sustava u koji prenosimo, sve dok decimalni broj ne postane nula.
- Ostaci dobiveni dijeljenjem su znamenke željenog broja. Broj u novi sustav pišu se počevši od posljednjeg ostatka.
- Pomnožimo razlomački dio decimalnog broja s bazom sustava u koji želite prevesti. Odvajamo cijeli dio. Nastavljamo množiti razlomak s bazom novog sustava sve dok ne postane 0.
- Broj u novom sustavu su cjelobrojni dijelovi rezultata množenja redoslijedom koji odgovara njihovom primitku.
15\8 = 1, ostatak 7
1\8 = 0, ostatak 1
Nakon što smo napisali sve ostatke odozdo prema gore, dobivamo konačni broj 17. Dakle, 15 10 \u003d 17 8.
Binarna u oktalna i heksadecimalna pretvorba
Za pretvorbu u oktalni, dijelimo binarni broj u skupine od 3 znamenke s desna na lijevo, a krajnje znamenke koje nedostaju popunjavamo vodećim nulama. Zatim transformiramo svaku grupu sukcesivnim množenjem znamenki s 2 n , gdje je n broj znamenke.Uzmimo za primjer broj 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Za pretvorbu u heksadecimalni - dijelimo binarni broj u grupe od 4 znamenke s desna na lijevo, zatim - slično pretvorbi iz 2. u 8.
Pretvaranje iz oktalnog i heksadecimalnog sustava u binarni
Pretvaranje iz oktalnog u binarni - svaku znamenku oktalnog broja pretvaramo u binarni 3-znamenkasti broj dijeljenjem s 2 (za više informacija o dijeljenju pogledajte gornji odlomak "Pretvorba iz decimalnog u drugi"), ekstremne znamenke koje nedostaju će ispuniti vodećim nulama.Na primjer, razmotrite broj 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Prijevod od 16. do 2. - pretvoriti svaku znamenku heksadecimalni broj u binarni 4-bitni broj dijeljenjem s 2, popunite nedostajuće ekstremne bitove s vodećim nulama.
Pretvaranje razlomka bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni
Pretvorba se provodi na isti način kao i za cijele dijelove, osim što se znamenke broja množe s osnovom na stepen “-n”, gdje n počinje od 1.
Primjer: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 .25 + 0.125) = 5.375 10
Pretvaranje razlomka binarnog sustava u 8. i 16
Prijevod razlomka izvodi se na isti način kao i za cjelobrojne dijelove broja, s jedinom iznimkom da podjela na skupine od 3 i 4 znamenke ide desno od decimalne točke, znamenke koje nedostaju su dopunjene s nulama desno.Primjer: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Pretvaranje razlomaka decimalnog sustava u bilo koji drugi
Da biste preveli razlomački dio broja u druge brojevne sustave, trebate cijeli broj okrenuti na nulu i početi množiti rezultirajući broj s bazom sustava u koji želite prevesti. Ako se kao rezultat množenja ponovno pojave cjelobrojni dijelovi, moraju se ponovno okrenuti na nulu, nakon što se zapamti (zapiše) vrijednost dobivenog cjelobrojnog dijela. Operacija završava kada frakcijski dio potpuno nestane.Na primjer, prevedemo 10.625 10 u binarni sustav:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapisujući sve ostatke od vrha do dna, dobivamo 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
Predstavljanje brojeva i naredbi u računalu(INFlesson5.doc).
Ideja izražavanja brojeva u deset znakova, dajući im, osim značenja u obliku, i značenje na mjestu, toliko je jednostavna da je upravo zbog te jednostavnosti teško razumjeti koliko je to nevjerojatno. Koliko je teško doći do ove metode, vidimo na primjeru najveći geniji grčko učenje Arhimeda i Apolonija, od kojih je ova misao ostala skrivena.
Pierre Simon Laplace
Učenje predstavljanja brojčane informacije potrebno je upoznati se s pravilima prevođenja jednog prikaza broja u drugi, pokušati shvatiti zašto isti broj u različitim situacijama mora biti različito predstavljen. Tehnike predstavljanja brojeva obrađene su u posebnom dijelu teorije brojeva "Brojveni sustavi".
Dodao se još jedan važan koncept- brojevni sustav. Zašto je ona potrebna? o čemu se radi? Sustavi brojeva su sustavi koje je napravio čovjek. Takvi se sustavi nazivaju Umjetna Za razliku od prirodnim sustava koje je stvorila priroda. Prirodni (prirodni) sustavi uključuju galaksije, naše Sunčev sustav, osobu u cjelini i tako dalje. Umjetni sustavi uključuju gradove, tvornice, obrazovni sustav, nacionalne jezike, odnosno sve što su napravili ljudi.
Umjetne sustave možemo podijeliti na
materijal: automobili, avioni, kuće, gradovi, brane itd.;
javnost , tj razne udruge ljudi: sabor, javni obrazovni sustav, šahovski klub itd.;
informativno: nacionalni jezici, računalna mreža Internet, brojevni sustavi itd.
Svaki umjetni sustav stvoren sa Svrha. Može se tvrditi da je najbolji umjetni sustav onaj koji najbolje osigurava postizanje cilja njegova stvaranja.
Svrha stvaranja brojevnog sustava je da se najviše razvije zgodan način unose brojeva. Brojčani sustav omogućuje prikaz u kompaktnom obliku kvantitativne informacije o objektima i manipulirati njima koristeći prilično jednostavna pravila.
prvih devet prirodni brojevi označavamo posebni znakovi:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Učinite isto sa svim brojevima koji se susreću u praksi, t.j. bilo bi nezgodno sve brojeve koji se pojavljuju posebnim znakovima. Čak i kada bi naše potrebe bile ograničene na brojanje unutar tisuću, bilo bi potrebno zapamtiti tisuću posebnih znakova. Naravno, dugo su ljudi počeli birati jednu ili drugu seriju "ključnih", osnovnih brojeva i označavati ih samo posebnim znakovima.
Brojevni sustavi su briljantan izum čovječanstva. Kako bih izvijestio da je danas 2007. godina na prirodnom jeziku, prisiljen sam koristiti 16 znakova (bez razmaka). Koristeći jezik brojeva, istu stvar možete predstaviti s četiri znaka. Ispada da su brojevi kodovi odgovarajućih riječi, što potvrđuje i činjenica da broj godine, napisan riječima i brojevima, čitamo na isti način. Brojevi u različitim prirodnim jezicima različito se izgovaraju, a njihova pravila za označavanje i izvođenje aritmetičke operacije nad njima su isti.
Koncept broja temeljan je i za matematiku i za informatiku. Ali ako se u matematici najveća pažnja posvećuje metodama obrade brojeva, onda se za informatiku ne mogu zanemariti metode predstavljanja brojeva, jer određuju potrebne memorijske resurse, brzinu i pogrešku izračuna.
1. Notacija- ovo je način predstavljanja brojeva i odgovarajuća pravila za djelovanje na brojeve.
Različiti brojevni sustavi koji su postojali prije i koji se koriste u naše vrijeme mogu se podijeliti na nepozicione i pozicijske.
1.1 Nepozicijski brojevni sustavi.
Nepozicioni brojevni sustavi su koristili stari Egipćani,
Grci, Rimljani i neki drugi narodi antike. U nepozicionim brojevnim sustavima vrijednost koju on (znak) označava ne ovisi o položaju predznaka u zapisu broja.
Do nas je došao rimski sustav pisanja brojeva (rimski brojevi), koji se u nekim slučajevima još uvijek koristi u numeriranju (stoljeća, svesci, poglavlja knjiga). U rimskom sustavu latinska slova se koriste kao brojevi:
1 5 10 50 100 500 1000
Na primjer, broj CCXXXII sastoji se od dvjesto, tri desetice i dvije jedinice i jednak je dvjesto trideset i dvije.
Rimski brojevi se pišu s lijeva na desno u silaznom redoslijedu. U ovom slučaju se dodaju njihove vrijednosti. Ako je s lijeve strane napisan manji broj, a s desne veći broj, tada se njihove vrijednosti oduzimaju.
VI \u003d 5 + 1 \u003d 6, i IV \u003d 5 - 1 \u003d 4.
MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.
Brojevni sustavi bez položaja bili su manje-više prikladni za zbrajanje i oduzimanje, ali nimalo prikladni za množenje i dijeljenje.
1.2 Pozicijski brojevni sustavi (PSS).
Pozicijski brojevni sustavi prikladni su po tome što vam omogućuju da pišete proizvoljno velike brojke s nekoliko brojeva. Dovoljna je važna prednost pozicijskih brojevnih sustava jednostavni algoritmi izvoditi aritmetičke operacije nad brojevima.
U pozicionim brojevnim sustavima, vrijednost označena znamenkom u unosu broja ovisi o njegovu položaju.
Broj upotrijebljenih znamenki se zove osnovu PSS.
Brojevni sustav koji se koristi u modernoj matematici je pozicijski decimalni sustav. Njegova baza je deset, budući da su svi brojevi napisani pomoću deset znamenki:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Mnogi od nas, ove ikone, poznate od djetinjstva, povezane su s konceptom "broja". Međutim, možemo koristiti bilo koje ikone kao brojeve. Da, i brojevi ne moraju biti deset.
Iako se decimalni sustav obično naziva arapskim, on je nastao u Indiji, u 5. stoljeću. U Europi je ovaj sustav naučen u 12. stoljeću iz arapskih znanstvenih rasprava, koje su prevedene na latinski. To objašnjava naziv "arapski brojevi".
Pozicijski tip decimalnog sustava lako je razumjeti na primjeru bilo kojeg višeznamenkastog broja. Na primjer, u broju 333, prva znamenka znači tri stotine, druga - tri desetice, treća - tri jedinice. Ista znamenka, ovisno o položaju u zapisu broja, označava različite vrijednosti.
333 = 3 100 + 3 10 + 3.
Bilo koji decimalni broj može se predstaviti kao zbroj proizvoda njegovih sastavnih znamenki odgovarajućim potencijama desetice. Isto vrijedi i za decimale.
26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .
To vam omogućuje pretvaranje brojeva s bazom koja nije jednaka 10 u decimalni prikaz.
Za izvođenje takvog prijevoda potrebno je izvorni broj napisati kao zbroj umnožaka znamenki broja s odgovarajućim stupnjevima baze i izračunati vrijednost dobivenog numerički izraz prema pravilima decimalne aritmetike.
1. 432,32 5 → A 10 .
432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =
2. DF,4A 16 → A 10
DF,4A 16 = 13*16 1 + 15*16 0 + 4*16 -1 + A*16 -2 = 208 + 15 +
Broj "deset" nije jedina moguća osnova za pozicijski sustav. Poznati ruski matematičar N.N. Luzin je to ovako izrazio: "Prednosti decimalnog sustava nisu matematičke, već zoološke. Da imamo osam prstiju umjesto deset, čovječanstvo bi koristilo oktalni sustav."
Zapisivanje brojeva u pozicijski sustav s bazom n (n- oznaka baze PSS) koju trebate imati abeceda iz n znamenke. Obično za ovo n ≤ 10 koristiti n prvi arapski brojevi, i n > 10 Deset arapskih brojeva dodaju se latinična slova.
Evo primjera abecede nekoliko sustava:
Baza sustava kojoj pripada broj označena je indeksom tog broja.
10110012, 36718, 3B8F16.
1.3 Pretvaranje decimalnih brojeva u PSS s bazom različitom od 10.
1.3.1 Prijevod cijelih brojeva.
Izrazite bazu novog brojevnog sustava u decimalnom sustavu
izračun i sve naknadne radnje koje treba izvršiti u decimalnom brojevnom sustavu;
Zadani broj i rezultirajuće nepotpune količnike dosljedno dijelimo s osnovom novog brojevnog sustava dok ne dobijemo nepotpuni kvocijent manji od djelitelja;
Rezultirajući ostaci, koji su znamenke broja u novom brojevnom sustavu, moraju se uskladiti s abecedom novog brojevnog sustava;
Sastavite broj u novom brojevnom sustavu, zapišite ga počevši od posljednjeg kvocijenta.
1.3.2 Prijevod frakcijskih brojeva.
Izraziti bazu novog brojevnog sustava u decimalnom sustavu i izvršiti sve naknadne radnje u dekadskom brojevnom sustavu;
Uzastopno množi zadani broj i rezultirajući razlomci umnožaka temeljenih na novom brojevnom sustavu sve dok razlomak umnoška ne postane jednak nuli ili dok se ne postigne potrebna točnost predstavljanja broja u novom brojevnom sustavu;
Rezultirajući cjelobrojni dijelovi proizvoda, koji su znamenke broja u novom brojevnom sustavu, moraju se uskladiti s abecedom novog brojevnog sustava;
Sastavite razlomački dio broja u novom brojevnom sustavu, počevši od cjelobrojnog dijela prvog proizvoda.
Primjeri prijevoda određenih decimalnih brojeva prikazani su u Dodatku 1.
Prilog 1.
©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali pruža besplatno korištenje.
Datum izrade stranice: 16.02.2016
