Rezultat je već primljen!
Sustavi brojeva
Postoje položajni i nepozicijski brojčani sustavi. Arapski sustav brojeva koji koristimo u svakodnevnom životu je pozicijski, dok rimski nije. U položajnim brojevnim sustavima položaj broja jednoznačno određuje veličinu broja. Razmotrite ovo na primjeru broja 6372 u decimalnom brojevnom sustavu. Brojimo ovaj broj s desna na lijevo počevši od nule:
Tada se broj 6372 može predstaviti na sljedeći način:
6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .
Broj 10 definira brojevni sustav (u ovom slučaju to je 10). Vrijednosti položaja zadanog broja uzimaju se u stupnjevima.
Razmotrimo pravi decimalni broj 1287.923. Numeriramo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalne točke lijevo i desno:
Tada se broj 1287.923 može predstaviti kao:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .
Općenito, formula se može prikazati na sljedeći način:
C n s n + C n-1 s n-1 +...+C 1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
gdje je C n cijeli broj na poziciji n, D -k - razlomački broj na poziciji (-k), s- brojevni sustav.
Nekoliko riječi o brojevnim sustavima Broj u dekadskom brojevnom sustavu sastoji se od skupa znamenki (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), u oktalnom brojevnom sustavu sastoji se od skup znamenki (0,1, 2,3,4,5,6,7), u binarnom sustavu - iz skupa znamenki (0,1), u heksadecimalnom brojevnom sustavu - iz skupa znamenki (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), gdje A,B,C,D,E,F odgovaraju brojevima 10,11, 12,13,14,15 U tablici 1 brojevi su prikazani u različitim brojevnim sustavima.
| stol 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notacija | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi
Za prevođenje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi najlakše je da broj prvo prevedete u decimalni brojevni sustav, a zatim ga iz dekadskog brojevnog sustava prevedete u traženi brojevni sustav.
Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni brojevni sustav
Pomoću formule (1) možete pretvoriti brojeve iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni brojevni sustav.
Primjer 1. Pretvorite broj 1011101.001 iz binarnog brojevnog sustava (SS) u decimalni SS. Odluka:
1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Primjer2. Pretvorite broj 1011101.001 iz oktalnog brojevnog sustava (SS) u decimalni SS. Odluka:
Primjer 3 . Pretvorite broj AB572.CDF iz heksadecimalnog u decimalni SS. Odluka:
Ovdje A- zamijenjen sa 10, B- u 11, C- u 12, F- u 15.
Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav
Za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav potrebno je odvojeno prevesti cijeli broj i razlomački dio broja.
Cjelobrojni dio broja prevodi se iz decimalnog SS u drugi brojevni sustav - uzastopnim dijeljenjem cijelog dijela broja s bazom brojevnog sustava (za binarni SS - s 2, za 8-znamenkasti SS - s 8, za 16-znamenkasti - za 16, itd. ) da se dobije cijeli ostatak, manji od baze SS.
Primjer 4 . Prevedimo broj 159 iz decimalnog SS u binarni SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Kao što se može vidjeti sa Sl. 1, broj 159, kad se podijeli s 2, daje količnik 79, a ostatak je 1. Nadalje, broj 79, kad se podijeli s 2, daje kvocijent 39, a ostatak je 1, i tako dalje. Kao rezultat toga, konstruiranjem broja iz ostatka dijeljenja (s desna na lijevo), dobivamo broj u binarnom SS: 10011111 . Stoga možemo napisati:
159 10 =10011111 2 .
Primjer 5 . Pretvorimo broj 615 iz decimalnog SS u oktalni SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Kada pretvarate broj iz decimalnog SS u oktalni SS, trebate uzastopno podijeliti broj s 8 sve dok ne dobijete cijeli broj manji od 8. Kao rezultat toga, gradeći broj od ostatka dijeljenja (s desna na lijevo) mi dobiti broj u oktalnom SS: 1147 (vidi sliku 2). Stoga možemo napisati:
615 10 =1147 8 .
Primjer 6 . Prevedimo broj 19673 iz decimalnog brojevnog sustava u heksadecimalni SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Kao što je vidljivo sa slike 3, uzastopnim dijeljenjem broja 19673 sa 16 dobili smo ostatke 4, 12, 13, 9. U heksadecimalnom brojevnom sustavu broj 12 odgovara C, broj 13 - D. Dakle, naš heksadecimalni broj je 4CD9.
Za pretvorbu ispravnih decimalnih razlomaka (realnog broja s nultim cijelim dijelom) u brojevni sustav s bazom s, taj se broj mora sukcesivno množiti s s sve dok razlomački dio ne bude čista nula, ili dobijemo traženi broj znamenki. Ako množenje rezultira brojem čiji cijeli broj nije nula, tada se taj cijeli broj ne uzima u obzir (oni se redom uključuju u rezultat).
Pogledajmo gore navedeno s primjerima.
Primjer 7 . Prevedimo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sustava u binarni SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Kao što se može vidjeti na sl. 4, broj 0,214 se uzastopno množi s 2. Ako je rezultat množenja broj čiji cijeli dio nije nula, tada se cijeli dio piše zasebno (lijevo od broja), a broj je zapisan s nultim cijelim dijelom. Ako se pri množenju dobije broj s nultim cijelim dijelom, tada se lijevo od njega upisuje nula. Proces množenja se nastavlja sve dok se u razlomku ne dobije čista nula ili dok se ne dobije potreban broj znamenki. Pišući podebljanim brojevima (slika 4) odozgo prema dolje, dobivamo traženi broj u binarnom sustavu: 0. 0011011 .
Stoga možemo napisati:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Primjer 8 . Prevedimo broj 0,125 iz decimalnog brojevnog sustava u binarni SS.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Za pretvaranje broja 0,125 iz decimalnog SS u binarni, ovaj se broj uzastopno množi s 2. U trećoj fazi dobivena je 0. Stoga je dobiven sljedeći rezultat:
0.125 10 =0.001 2 .
Primjer 9 . Prevedimo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sustava u heksadecimalni SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Slijedeći primjere 4 i 5, dobivamo brojeve 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ali u heksadecimalnom SS, brojevi C i B odgovaraju brojevima 12 i 11. Dakle, imamo:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Primjer 10 . Prevedimo broj 0,512 iz decimalnog brojevnog sustava u oktalni SS.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Primljeno:
0.512 10 =0.406111 8 .
Primjer 11 . Prevedimo broj 159.125 iz decimalnog brojevnog sustava u binarni SS. Da bismo to učinili, odvojeno prevedemo cijeli dio broja (primjer 4) i razlomački dio broja (primjer 8). Kombinirajući ove rezultate, dobivamo:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Primjer 12 . Prevedimo broj 19673.214 iz decimalnog brojevnog sustava u heksadecimalni SS. Da bismo to učinili, odvojeno prevodimo cijeli broj (primjer 6) i razlomački dio broja (primjer 9). Daljnjim kombiniranjem ovih rezultata dobivamo.
Analizirajmo jednu od najvažnijih tema u informatici -. U školskom kurikulumu ona je prikazana prilično "skromno", najvjerojatnije zbog manjka sati za to. Znanje o ovoj temi, posebno o prijevod brojevnih sustava, preduvjet su za uspješno polaganje ispita i upis na visoka učilišta na odgovarajućim fakultetima. U nastavku, pojmovi kao što su položajni i nepozicijski brojevni sustavi, navedeni su primjeri ovih brojevnih sustava, pravila za pretvaranje cijelih decimalnih brojeva, pravilnih decimalnih razlomaka i mješovitih decimalnih brojeva u bilo koji drugi brojevni sustav, pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni, pretvaranje iz oktalnog i heksadecimalnog brojevnog sustava u binarni brojevni sustav su predstavio. Ispiti sadrže velik broj zadataka na ovu temu. Sposobnost njihovog rješavanja jedan je od zahtjeva za kandidate. Uskoro: Za svaku temu odjeljka, uz detaljan teorijski materijal, bit će predstavljene gotovo sve moguće opcije zadaci za samostalan studij. Osim toga, imat ćete priliku besplatno preuzeti gotova detaljna rješenja za te zadatke s usluge za hosting datoteka, ilustrirajući različite načine dobivanja pravog odgovora.
položajni brojevni sustavi.
Nepozicijski brojevni sustavi- brojevni sustavi u kojima kvantitativna vrijednost znamenke ne ovisi o njezinu mjestu u broju.
Nepozicijski sustavi brojeva uključuju, na primjer, rimski, gdje umjesto brojeva postoje latinična slova.
| ja | 1 (jedan) |
| V | 5 (pet) |
| x | 10 (deset) |
| L | 50 (pedeset) |
| C | 100 (sto) |
| D | 500 (pet stotina) |
| M | 1000 (tisuću) |
Ovdje slovo V označava 5, bez obzira na mjesto. Međutim, vrijedi spomenuti da iako je rimski brojčani sustav klasičan primjer nepozicijskog numeričkog sustava, on nije potpuno nepozicijski, jer. manji broj prije nego što se od njega oduzme veći:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
položajni brojevni sustavi.
Pozicijski brojevni sustavi- brojevni sustavi u kojima kvantitativna vrijednost znamenke ovisi o njezinu mjestu u broju.
Na primjer, ako govorimo o decimalnom sustavu brojeva, tada u broju 700 broj 7 znači "sedam stotina", ali ista brojka u broju 71 znači "sedam desetica", au broju 7020 - "sedam tisuća" .
Svaki položajni brojevni sustav ima svoje baza. Baza je prirodan broj veći ili jednak dva. Jednak je broju znamenki koje se koriste u ovom brojevnom sustavu.
- Na primjer:
- Binarni- položajni brojevni sustav s bazom 2.
- Kvartar- položajni brojevni sustav s bazom 4.
- pet puta- položajni brojevni sustav s bazom 5.
- oktalni- položajni brojevni sustav s bazom 8.
- Heksadecimalni- položajni brojevni sustav s bazom 16.
Za uspješno rješavanje zadataka na temu "Sustavi brojeva" učenik mora znati napamet korespondenciju binarnih, decimalnih, oktalnih i heksadecimalnih brojeva do 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Korisno je znati kako se u tim brojevnim sustavima dobivaju brojevi. To možete pogoditi u oktalnom, heksadecimalnom, ternarnom i drugom položajni brojevni sustavi sve se događa slično nama poznatom decimalnom sustavu:
Broju se dodaje jedan i dobiva se novi broj. Ako mjesto jedinica postane jednako bazi brojevnog sustava, povećavamo broj desetica za 1, i tako dalje.
Upravo je ta "tranzicija jednog" ono što plaši većinu studenata. Zapravo, sve je vrlo jednostavno. Do prijelaza dolazi ako znamenka jedinica postane jednaka baza brojevnog sustava, povećavamo broj desetica za 1. Mnogi, prisjećajući se dobrog starog decimalnog sustava, odmah se zbune u pražnjenju iu ovom prijelazu, jer su decimalne i, na primjer, binarne desetice različite stvari.
Dakle, snalažljivi studenti imaju "svoje metode" (začudo ... rade) kada ispunjavaju, na primjer, tablice istinitosti, čiji su prvi stupci (vrijednosti varijabli) zapravo popunjeni binarnim brojevima u rastućem redoslijedu. .
Na primjer, pogledajmo unos brojeva oktalni sustav: Prvom broju (0) dodamo 1, dobijemo 1. Zatim 1 dodamo 1, dobijemo 2 itd. do 7. Ako broju 7 dodamo jedan, dobit ćemo broj jednak osnovi brojevnog sustava, t.j. 8. Zatim trebate povećati znamenku desetica za jedan (dobivamo oktalnu deseticu - 10). Slijede, očito, brojevi 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
pravila za pretvaranje iz jednog brojevnog sustava u drugi.
1 Pretvorite cijele decimalne brojeve u bilo koji drugi brojevni sustav.
Broj se mora podijeliti sa nova baza brojeva. Prvi ostatak dijeljenja je prva najmanje značajna znamenka novog broja. Ako je kvocijent dijeljenja manji ili jednak novoj bazi, tada se on (kvocijent) mora ponovno podijeliti s novom bazom. Dijeljenje se mora nastaviti sve dok ne dobijemo kvocijent manji od nove baze. To je najviša znamenka novog broja (treba zapamtiti da npr. u heksadecimalnom sustavu slova slijede nakon 9, odnosno ako ste dobili 11 u ostatku, trebate ga napisati kao B).
Primjer ("dijeljenje kutom"): Prevedimo broj 173 10 u oktalni brojevni sustav.
Dakle, 173 10 \u003d 255 8
2 Pretvaranje točnih decimalnih razlomaka u bilo koji drugi brojevni sustav.
Broj se mora pomnožiti s novom bazom brojevnog sustava. Znamenka koja je prešla u cijeli broj najviša je znamenka razlomljenog dijela novog broja. da bi se dobila sljedeća znamenka, razlomački dio dobivenog proizvoda mora se ponovno pomnožiti s novom bazom brojevnog sustava sve dok ne dođe do prijelaza na cjelobrojni dio. Množenje nastavljamo sve dok razlomački dio ne postane jednak nuli, odnosno dok ne postignemo točnost zadanu u zadatku ("...izračunaj s točnošću od npr. dvije decimale").
Primjer: Prevedimo broj 0,65625 10 u oktalni brojevni sustav.
Napomena 1
Ako želite pretvoriti broj iz jednog brojevnog sustava u drugi, zgodnije je prvo ga pretvoriti u decimalni brojevni sustav, a tek onda prenijeti iz decimalnog brojevnog sustava u bilo koji drugi brojevni sustav.
Pravila za pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni
U računalnoj tehnologiji koja koristi strojnu aritmetiku, pretvorba brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi igra važnu ulogu. U nastavku donosimo osnovna pravila za takve transformacije (prijevode).
Prilikom prevođenja binarnog broja u decimalni, potrebno je binarni broj predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao umnožak znamenke broja i odgovarajuće potencije osnovnog broja, u ovom slučaju $2 $, a zatim treba izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Slika 1. Tablica 1
Primjer 1
Pretvorite broj $11110101_2$ u decimalni brojevni sustav.
Odluka. Koristeći gornju tablicu $1$ stupnjeva baze $2$, predstavljamo broj kao polinom:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Da biste pretvorili broj iz oktalnog u decimalni, trebate ga predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao umnožak znamenke broja i odgovarajuće potencije osnovnog broja, u ovom slučaju $8$, a zatim potrebno je izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Slika 2. Tablica 2
Primjer 2
Pretvorite broj $75013_8$ u decimalni brojevni sustav.
Odluka. Koristeći gornju tablicu $2$ stupnjeva baze $8$, predstavljamo broj kao polinom:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Da biste pretvorili broj iz heksadecimalnog u decimalni, morate ga predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao umnožak znamenke broja i odgovarajuće potencije osnovnog broja, u ovom slučaju $16$, a zatim potrebno je izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Slika 3. Tablica 3
Primjer 3
Pretvori broj $FFA2_(16)$ u decimalni brojevni sustav.
Odluka. Koristeći gornju tablicu $3$ baznih potencija od $8$, predstavljamo broj kao polinom:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Pravila za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u drugi
- Da biste pretvorili broj iz decimalnog u binarni, potrebno ga je uzastopno podijeliti s $2$ sve dok ostatak ne bude manji ili jednak $1$. Broj u binarnom sustavu predstavlja se kao niz posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 4
Pretvorite broj $22_(10)$ u binarni brojevni sustav.
Odluka:
Slika 4
$22_{10} = 10110_2$
- Da biste pretvorili broj iz decimalnog u oktalni, potrebno ga je uzastopno podijeliti s $8$ sve dok ostatak ne bude manji ili jednak $7$. Predstavite broj u oktalnom brojevnom sustavu kao niz znamenki zadnjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 5
Pretvorite broj $571_(10)$ u oktalni brojevni sustav.
Odluka:
Slika 5
$571_{10} = 1073_8$
- Da biste pretvorili broj iz decimalnog u heksadecimalni, potrebno ga je uzastopno podijeliti sa $16$ sve dok ostatak ne bude manji ili jednak $15$. Izrazite broj u heksadecimalnom obliku kao niz znamenki zadnjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 6
Pretvorite broj $7467_(10)$ u heksadecimalni brojevni sustav.
Odluka:
Slika 6
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Da bi se pravi razlomak iz decimalnog brojevnog sustava pretvorio u nedecimalni, potrebno je razlomački dio pretvorenog broja pomnožiti s bazom sustava u koji se pretvara. Frakcija će u novom sustavu biti prikazana kao cijeli dijelovi proizvoda, počevši od prvog.
Na primjer: $0,3125_((10))$ u oktalnom bi izgledalo kao $0,24_((8))$.
U ovom slučaju možete naići na problem kada konačni decimalni razlomak može odgovarati beskonačnom (periodičkom) razlomku u nedecimalnom brojevnom sustavu. U ovom slučaju, broj znamenki u razlomku predstavljenom u novom sustavu ovisit će o potrebnoj točnosti. Također treba napomenuti da cijeli brojevi ostaju cijeli brojevi, a pravi razlomci ostaju razlomci u bilo kojem brojevnom sustavu.
Pravila za pretvaranje brojeva iz binarnog brojevnog sustava u drugi
- Da bi se broj pretvorio iz binarnog u oktalni, mora se podijeliti u trijade (trojke znamenki), počevši od najmanje značajne znamenke, ako je potrebno, dodajući nule do najviše trijade, zatim zamjenjujući svaku trijadu odgovarajućom oktalnom znamenkom prema tablici 4.
Slika 7. Tablica 4
Primjer 7
Pretvorite broj $1001011_2$ u oktalni brojevni sustav.
Odluka. Koristeći tablicu 4, prevodimo broj iz binarnog u oktalni:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Za pretvorbu broja iz binarnog u heksadecimalni, treba ga podijeliti na tetrade (četiri znamenke), počevši od najmanje značajne znamenke, ako je potrebno, dopunjavajući staru tetradu nulama, a zatim svaku tetradu treba zamijeniti odgovarajućom oktalnom znamenkom prema Tablica 4.
1. Redno brojanje u raznim brojevnim sustavima.
U suvremenom životu koristimo se položajnim brojevnim sustavima, odnosno sustavima u kojima broj označen znamenkom ovisi o položaju znamenke u zapisu broja. Stoga ćemo ubuduće govoriti samo o njima, izostavljajući termin "pozicijski".
Da bismo naučili kako prevesti brojeve iz jednog sustava u drugi, shvatimo kako se odvija sekvencijalno snimanje brojeva koristeći decimalni sustav kao primjer.
Budući da imamo decimalni brojevni sustav, imamo 10 znakova (znamenki) za sastavljanje brojeva. Započinjemo rednim brojanjem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Brojevi su gotovi. Povećavamo kapacitet broja i resetiramo niži red: 10. Zatim opet povećavamo niži red dok ne ponestane svih znamenki: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Povećavamo viši red za 1 i niži red postavimo na nulu: 20. Kada iskoristimo sve znamenke za obje znamenke (dobijemo broj 99), opet povećavamo brojnost broja i resetujemo postojeće znamenke: 100. I tako dalje.
Pokušajmo isto učiniti u 2., 3. i 5. sustavu (uvedimo oznake za 2. sustav, za 3. itd.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Ako brojevni sustav ima bazu veću od 10, tada ćemo morati unijeti dodatne znakove, uobičajeno je unositi slova latinične abecede. Na primjer, za heksadecimalni sustav, osim deset znamenki, potrebna su nam dva slova ( i ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Prijelaz iz decimalnog brojevnog sustava u bilo koji drugi.
Da biste cijeli pozitivni decimalni broj pretvorili u brojevni sustav s drugom bazom, morate taj broj podijeliti s bazom. Dobiveni kvocijent se opet dijeli s bazom, i dalje sve dok kvocijent ne bude manji od baze. Kao rezultat, napišite zadnji kvocijent i sve ostatke u jednom retku, počevši od posljednjeg.
Primjer 1 Prevedimo decimalni broj 46 u binarni brojevni sustav.
Primjer 2 Prevedimo decimalni broj 672 u oktalni brojevni sustav.
Primjer 3 Prevedimo decimalni broj 934 u heksadecimalni brojevni sustav.
3. Prijevod iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni.
Kako bismo naučili kako prevesti brojeve iz bilo kojeg drugog sustava u decimalni, analizirajmo decimalni zapis koji nam je poznat.
Na primjer, decimalni broj 325 je 5 jedinica, 2 desetice i 3 stotine, tj.
Potpuno je ista situacija i u drugim brojevnim sustavima, samo što nećemo množiti s 10, 100 itd., nego sa stupnjem baze brojevnog sustava. Za primjer, uzmimo broj 1201 u ternarnom brojevnom sustavu. Brojimo znamenke s desna na lijevo počevši od nule i predstavljamo svoj broj kao zbroj umnožaka znamenke s trostrukim stupnjem znamenke broja:
Ovo je decimalni zapis našeg broja, tj.
Primjer 4 Pretvorimo oktalni broj 511 u decimalni brojevni sustav.
Primjer 5 Pretvorimo heksadecimalni broj 1151 u decimalni brojevni sustav.
4. Prijelaz iz binarnog sustava u sustav s osnovom "potencije dvojke" (4, 8, 16 itd.).
Za pretvorbu binarnog broja u broj s bazom "potencija dva" potrebno je binarni niz podijeliti u skupine prema broju znamenki jednakom stupnju s desna na lijevo i svaku skupinu zamijeniti odgovarajućom znamenkom broja novi brojevni sustav.
Na primjer, pretvorimo binarni broj 1100001111010110 u oktalni. Da bismo to učinili, podijelimo ga u grupe od 3 znaka počevši s desne strane (jer ), a zatim upotrijebimo tablicu korespondencije i zamijenimo svaku grupu novim brojem:
Naučili smo kako izgraditi tablicu korespondencije u paragrafu 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Oni.
Primjer 6 Pretvorimo binarni broj 1100001111010110 u heksadecimalni sustav.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Prijelaz iz sustava s osnovom "potencija dvojke" (4, 8, 16 itd.) u binarni.
Ovaj prijevod sličan je prethodnom, napravljen u suprotnom smjeru: svaku znamenku zamjenjujemo grupom znamenki u binarnom sustavu iz tablice korespondencije.
Primjer 7 Prevedimo heksadecimalni broj C3A6 u binarni brojevni sustav.
Da bismo to učinili, zamijenit ćemo svaku znamenku broja skupinom od 4 znamenke (jer ) iz tablice korespondencije, dopunjujući skupinu nulama na početku ako je potrebno:
Napomena 1
Ako želite pretvoriti broj iz jednog brojevnog sustava u drugi, zgodnije je prvo ga pretvoriti u decimalni brojevni sustav, a tek onda prenijeti iz decimalnog brojevnog sustava u bilo koji drugi brojevni sustav.
Pravila za pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni
U računalnoj tehnologiji koja koristi strojnu aritmetiku, pretvorba brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi igra važnu ulogu. U nastavku donosimo osnovna pravila za takve transformacije (prijevode).
Prilikom prevođenja binarnog broja u decimalni, potrebno je binarni broj predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao umnožak znamenke broja i odgovarajuće potencije osnovnog broja, u ovom slučaju $2 $, a zatim treba izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Slika 1. Tablica 1
Primjer 1
Pretvorite broj $11110101_2$ u decimalni brojevni sustav.
Odluka. Koristeći gornju tablicu $1$ stupnjeva baze $2$, predstavljamo broj kao polinom:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Da biste pretvorili broj iz oktalnog u decimalni, trebate ga predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao umnožak znamenke broja i odgovarajuće potencije osnovnog broja, u ovom slučaju $8$, a zatim potrebno je izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Slika 2. Tablica 2
Primjer 2
Pretvorite broj $75013_8$ u decimalni brojevni sustav.
Odluka. Koristeći gornju tablicu $2$ stupnjeva baze $8$, predstavljamo broj kao polinom:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Da biste pretvorili broj iz heksadecimalnog u decimalni, morate ga predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao umnožak znamenke broja i odgovarajuće potencije osnovnog broja, u ovom slučaju $16$, a zatim potrebno je izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Slika 3. Tablica 3
Primjer 3
Pretvori broj $FFA2_(16)$ u decimalni brojevni sustav.
Odluka. Koristeći gornju tablicu $3$ baznih potencija od $8$, predstavljamo broj kao polinom:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Pravila za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u drugi
- Da biste pretvorili broj iz decimalnog u binarni, potrebno ga je uzastopno podijeliti s $2$ sve dok ostatak ne bude manji ili jednak $1$. Broj u binarnom sustavu predstavlja se kao niz posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 4
Pretvorite broj $22_(10)$ u binarni brojevni sustav.
Odluka:
Slika 4
$22_{10} = 10110_2$
- Da biste pretvorili broj iz decimalnog u oktalni, potrebno ga je uzastopno podijeliti s $8$ sve dok ostatak ne bude manji ili jednak $7$. Predstavite broj u oktalnom brojevnom sustavu kao niz znamenki zadnjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 5
Pretvorite broj $571_(10)$ u oktalni brojevni sustav.
Odluka:
Slika 5
$571_{10} = 1073_8$
- Da biste pretvorili broj iz decimalnog u heksadecimalni, potrebno ga je uzastopno podijeliti sa $16$ sve dok ostatak ne bude manji ili jednak $15$. Izrazite broj u heksadecimalnom obliku kao niz znamenki zadnjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 6
Pretvorite broj $7467_(10)$ u heksadecimalni brojevni sustav.
Odluka:
Slika 6
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Da bi se pravi razlomak iz decimalnog brojevnog sustava pretvorio u nedecimalni, potrebno je razlomački dio pretvorenog broja pomnožiti s bazom sustava u koji se pretvara. Frakcija će u novom sustavu biti prikazana kao cijeli dijelovi proizvoda, počevši od prvog.
Na primjer: $0,3125_((10))$ u oktalnom bi izgledalo kao $0,24_((8))$.
U ovom slučaju možete naići na problem kada konačni decimalni razlomak može odgovarati beskonačnom (periodičkom) razlomku u nedecimalnom brojevnom sustavu. U ovom slučaju, broj znamenki u razlomku predstavljenom u novom sustavu ovisit će o potrebnoj točnosti. Također treba napomenuti da cijeli brojevi ostaju cijeli brojevi, a pravi razlomci ostaju razlomci u bilo kojem brojevnom sustavu.
Pravila za pretvaranje brojeva iz binarnog brojevnog sustava u drugi
- Da bi se broj pretvorio iz binarnog u oktalni, mora se podijeliti u trijade (trojke znamenki), počevši od najmanje značajne znamenke, ako je potrebno, dodajući nule do najviše trijade, zatim zamjenjujući svaku trijadu odgovarajućom oktalnom znamenkom prema tablici 4.
Slika 7. Tablica 4
Primjer 7
Pretvorite broj $1001011_2$ u oktalni brojevni sustav.
Odluka. Koristeći tablicu 4, prevodimo broj iz binarnog u oktalni:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Za pretvorbu broja iz binarnog u heksadecimalni, treba ga podijeliti na tetrade (četiri znamenke), počevši od najmanje značajne znamenke, ako je potrebno, dopunjavajući staru tetradu nulama, a zatim svaku tetradu treba zamijeniti odgovarajućom oktalnom znamenkom prema Tablica 4.
